Zusammenfassung Lineare Algebra II - Telle

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Zusammenfassung Lineare Algebra II
Determinatenform, Determinaten:
Multilinearform (n-Linearform):
Definition:
Seien Vi , i  N n K-Vektorräume. Eine Abbildung
n
 : Vi  K
i 1
heißt Multilinearform (oder: n-Linearform) genau dann, wenn gilt:
(DF1): Für jedes k  N n und jedes (n-1)-Tupel
(v1 ,..., vk 1 , vk 1 ,..., vn ) von Vektoren vi Vi ist die durch
v ,...., v
k 1 , v k 1 ,..., v n
v ,...., v
k 1 , v k 1 ,..., v n
1
1
: Vk  K
(r ) :  (v1 ,..., vk 1 , r , vk 1,..., vn )
gegebene Abbildung eine Linearform auf Vk.
Alternierende Multilinearform:
Definition:
n
Sei V ein Vektorraum. Eine Multilinearform  : V n : V  K heißt
i 1
alternierende Multilinearform genau dann, wenn gilt:
(DF2): Ist (v1 ,..., v n )  V n und gibt es i, j  N n , i  j mit vi  v j
dann ist  (v1 ,..., vn )  0
Hinweis: Alternierend heißt, wenn man zwei Vektoren vertauscht, daß
sich das Vorzeichen ändert. Beweis siehe E1 in den
Studientagsunterlagen.
Determinatenform:
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Definition:
Sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum und n=dim V. Eine
alternierende n-Linearform
 :V n  K
heißt eine Determinantenform auf V.
Man definiert:
DET (V ) : { |  : V n  K ist Determinan tenform auf V }
DET(V) ist für jeden endlichdimensionalen Vektorraum V ein KVektorraum: Beweis siehe 6.2.2
Es gilt: dim DET(V)=1. Beweis siehe 6.2.24.
Determinante eines Endomorphismus; Determinatenabbildung:
Definition:
Die Determinante eines Endomorphismus f  End (V ) ist das
eindeutig bestimmte Element  f  K für das für alle   DET (V ) gilt:
 f n f 
Dabei ist für u1 ,..., u n  V :
  f n (u1 ,..., u n )  ( f (u1 ),..., f (u n ))
Beweis siehe 6.3.7 bzw. Studientagsinformation.
Definition:
Sei n  N und V ein n-dimensionaler Vektorraum. Dann heißt
det : End (V )  K
f  det( f ) :  f
die Determinantenabbildung.
Wichtige Eigenschaften einer Determinate:
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Satz:
Seien A, B  K n dann gilt:
1. | AB || A || B |
2. A invertierbar | A | 0
3. A invertierbar | A 1 || A | 1
 11 *  * 


* 
 0 
4. A  ( ik ) Dreicksmatrix, also A  
oder
    


 0  0  
nn 

 11 0  0 


n
 *    

|
A
|

 ii
A

   0 
i 1


 *  *  
nn 

5. det(A)=0, wenn die Matrix linear abhängige Spalten hat
Hinweis: Eine Matrix heißt regulär, wenn diese invertierbar ist.
Beweis siehe 6.3.14 und 6.3.19 und 6.3.25.
Explizite Formel für Determinaten von A (Lebnizsche Determinatenformel):
Satz:
Für alle n  N , A  ( ik )  K n ist
| A |
n
 sign( ) (i )i
 S n
i 1
Bemerkung: Das Summenzeichen bedeutet, daß aus jeder Spalte der
Matrix A genau ein Element ausgewählt wird und dann das Produkt
gebildet wird.
So schön die Formel auch ist, eignet sie sich jedoch kaum für große n.
Das liegt an der Anzahl der Permutation. Für eine Menge mit n
Elementen gibt es n! Permutation. Bereits für n=7 ist n!=5040.
Beweis: siehe 6.3.16.
Erläuterungen:
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Sn ist die Permutationsgruppe; S n  { : N n  N n |  ist bijektiv }
2

n 
 1

Notation:   
 (1)  (2)   (n) 
 sign ( )  (1) inv( ) heißt Signum von .
 inv()=Zahl der Inversionen (Fehlstände).
 Inversion: (i, k )  N n  N n mit i  k und  (i)   (k )
Beispiel in E3 der Studientagsunterlagen.
Berechnung von Determinaten:
Spezialfall: n=2:
Es gilt:
11 12
 11 22   2112
 21  22
1 2 
 1 2
,  2  
 . Deshalb gilt
Da 2!=2 folgt: :  1  
1 2 
2 1
sign ( 1 )  (1) 0  1, sign ( 2 )  (1)1  1 .
Mit | A |
n
 sign( ) (i )i folgt dann 1(11 22 )  1( 2112 ) .
 S n
i 1
Spezialfall: n=3:
 11  12  13
Es gilt  21  22  23
 31  32  33
Regel von Sarus. D.h. 1. und 2. Spalte neben die Determinante
schreiben. Dann Diagonale (links oben bis rechts unten) mit +
und Diagonale (rechts oben bis links unten) -.
Gezeigt wird das mit der Leibnizschen-Formel. Es sind dann
n=3,3!=6 Permutationen vorhanden. Dann rechnet man die
Fehlstellungen aus und berechnet die Vorzeichen.
Determinantenberechnung durch elementare Umformungen:
Sei A  K n ,  K .

Multipliziert man eine Zeile (Spalte) von A mit , so
ändert sich |A| um den Faktor .
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

Vertauscht man zwei Zeilen (Spalten) von A, so
ändert die Determinante sein Vorzeichen.
Addiert man das -fache eine Zeile (Spalte) zu einer
anderen Zeile (Spalte), so ändert sich die
Determinante nicht.
Hinweis: Im Gegensatz zur Lösung von linearen
Gleichungssystemen kann man bei Determinaten Spalten- und
Zeilenumformungen durcheinander benutzen.
Beispiel: Man bringt die Matrix auf Dreiecksform und merkt
sich die Veränderungen, also etwa Vorzeichen und Skalare.
Determinaten einer Dreiecksmatrix:
 11 *  * 
 11 0  0 




 
 0 
 *    
oder A  
A
    
   0 




 0  0  
 *  *  
nn 
nn 


n
Dann gilt: det( A) | A |   ii
i 1
D.h. die Determinante einer Dreiecksmatrix ist gleich dem
Produkt der Elemente der Hauptdiagonalen.
Vandermondsche Determinante:
Seien n  N , i  K , i  N n . Man definiert eine Matrix
Vn (1 ,..., n )  ( ik )  K n durch  ik :  ik 1 d.h
1  1  12   1n 1 


1  2  22   2n 1 
Vn ( 1 ,..., n )  

 
 
1   2   n 1 
n
n
n 

Dann ist der Wert der Determinante
 (
i
 j )
1 j i  n
Hinweis: Es gilt:
n  i 1
 n




( i   j )     ( i   j )      ( i   j ) 

1 j i  n
j 1  i  j 1
 i  2  j 1

n 1
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Bemerkung: Das heißt also auch, daß die Determinate ungleich
Null ist, wenn alle ai paarweise verschieden sind.
Beweis siehe 7.1.6. Wird mit vollständiger Induktion gezeigt.
Laplacescher Entwicklungssatz:
Adjungierte Matrix:
Definition:
Aik heißt das algebraische Komplement von A.
Man erhält Aik indem man die i-te Zeile und k-te
Spalte aus der Matrix streicht. Aik ist dann bis auf
das Vorzeichen (-1)i+k die Determinate der so
erhaltenen (n-1)-reihigen Matrix.
Es gilt Aik : (1) i  k det S ik ( A)
Es gilt AdA : t ( Aik ) heißt die zu A adjungierte
Matrix.
Insgesamt erhält man bei einer (n,n)-Matrix n2
Elemente.
Inversionsformel:
Satz:
det A  0  A 1 
1
( AdA)
det A
Satz von Laplace:
Entwicklung von |A| nach der k-ten Spalte:
n
| A |   ik (1) i  k | S ik |
i 1
Entwicklung von |A| nach der i-ten Zeile:
n
| A |   ik (1) i  k | S ik |
k 1
Lineare Gleichungssysteme und Determinaten:
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Cramersche Regel:
Lineare Gleichungssystem Ax=b.
Es sei A  K n , | A | 0, b  K n .
 1 
 
Dann hat das LGS eine eindeutig bestimmte Lösung x      K n .
 
 n
Mit A  ( ik )  (a1 ,..., an ) wobei a i  K n i-ter Spaltenvektor
und Ai (b)  (a1 ,..., ai 1 , b, ai 1 ,..., an ) gilt:
i 
det Ai (b) | Ai (b) |

det A
| A|
Beweis bzw. Herleitung siehe Studientagsunterlagen!!!
Euklidische Vektorräume:
Definition:
Sei V ein reeller Vektorraume.
Eine Abbildung  : V  V  R heißt Skalarprodukt auf V, falls gilt:
(E1)  ist bilinear:
 (u  v, w)   (u, w)   (v, w)
 (u,v  w)   (u, v)   (u, w)
(E2)  ist symmetrisch:
 (u, v)   (v, u )
(E3)  ist positiv definit:
v  0   ( v, v )  0
Schreibweise: uv   (u , v)
(V ,  ) heißt euklidischer Vektorraum genau dann, wenn  ist Skalarprodukt
auf V.
Definition:
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 1 
 1 
n
 
 
Seien a    , b      R n dann ist ab   i  i  t ab das kanonische
i 1
 
 
 n
 n
Skalarprodukt des Rn.
Hinweis: Dabei handelt es sich um die üblich Matrizenmultiplikation.
Definition:
Sei V euklidischer Vektorraum. Dann heißt v  vv Betrag, Länge oder
Norm von v.
Eigenschaften der Norm:
Seien V ein euklidischer Vektorraum und x, y  V ,  R . Es gilt:
1.
x |  | x
2.
x 0x0
3. Cauchy-Schwarzsche Ungleichung: xy  x y . Wobei Gleichheit
eintrifft, wenn x und y linear abhängig sind.
Winkel:
Seien a, b  V , a  0, b  0 . Den Winkel  (a, b)  [0,  ] wird durch Angabe
seines Cosinus definiert. Es gilt:
cos( (a, b)) 
ab
a b
Dies ist sinnvoll, da aufgrund des Cauchy-Schwarzen Ungleichung
ab
1 
 1 gilt.
a b
Orthogonalität:
Sei V ein euklidischer Vektorraum und a, b  V . Dann heißt a orthogonal zu b
(in Zeichen ab ) falls gilt:
ab=0
Orthogonalbasis, Orthonormalbasis:
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Eine Basis ( wi | i  I ) von V heißt Orthogonalbasis falls für alle i, j  I , i  j
gilt:
wi w j
Gilt zusätzlich wi  1 für alle i  I , so heißt ( wi | i  I ) Orthonormalbasis.
Hinweis: Man erhält zum Beispiel aus einer Orthogonalbasis ( wi | i  I ) eine
1
Orthonormalbasis (vi | i  I ) indem man folgendes setzt: vi :
wi
wi
Achtung: Unitäre Vektorräume (so etwas wie ein euklidischer Vektorraum über dem
Komplexen in Verbindung mit Sesquilinearformen) und Matrixdarstellung adjungierter
Homomorphismen wie in den Studientagsunterlagen.
Polynome und Normalformen:
Polynomring:
Definition:
Sei R ein unitärer Ring. Man setzt:
R[ x] : R ( N0 ) : { p | p : N 0  R und p(n)  0 nur für endlich vi ele n  N 0 }
und definiert durch
( p  q)( n) : p(n)  q(n)
n
( pq)( n) :  p(i )q(n  i )
i 0
eine Addition und eine Multiplikation zwischen den Elementen von R
0
und R N .
Zusätzlich definiert man noch die skalare Multiplikation zwischen den
0
0
Elementen von R und R N indem man für r  R, p  R ( N ) , n  N 0
setzt:
(rp )( n) : rp (n)
Bemerkung: man fordert in der Menge "nur endliche viele n", da das
Polynom als Abbildung definiert wird. D.h. ein Polynom hat endlich
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viele Koeffizienten. Das ist auch damit verträglich, daß das
Erzeugendensystem nur aus endlich Linearkombinationen besteht.
Bemerkung: Statt eines Ringes R kann man auch einen Körper nehmen.
Dabei wird mit der zusätzlich definierten Skalarenmultiplikation K[x]
zu einer kommutativen unitären K-Algebra.
Bemerkung: R[x] Polynomring in der Unbestimmten x genannt. Dann
kann man so Rechnen, wie man es "in der Schule gelernt" hat.






Damit ist R[x] ein unitärer Ring und heißt Polynomring über R.
Die Elemente von R[x] heißen Polynome.
Die p(n) heißen die Koeffizienten von p  R[x] .
Die Unbestimmte x  R[x] ist definiert durch x(n)   1n für alle
n N .
x 0    R heißt konstantes Polynom
0 x 0  0 heißt Nullpolynom
Darstellung der Polynome durch die Unbestimmte x:
Zu jedem p  R ( N ) , p  0 gibt es genau ein n  N 0 und
eindeutig bestimmte  i  R für 0  i  n mit  i  0 und
0
n
p  ( p(0), p(1),..., p (n),0,0,...)    i x i
i 0
In dieser Darstellung sind die  die Koeffizienten.
Grad:
n
Ist p    i x i mit  n  0 so heißt grad p=n der Grad von p.
i 0
Ist p das Nullpolynom, so ist der Grad "Minus Unendlich".
Primärzerlegung:
Irreduzibel:
p heißt irreduzibel, falls p nur trivale Teiler besitzt, d.h. für jeden Teiler
q  K [x] von p ein   K /{0} existiert mit q   oder q  p .
Vorüberlegung:
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Zu jedem p  K [x ] mit grad p>0 gibt es genau ein   K /{0} und genau ein
n  N und bis auf die Reihenfolge eindeutig bestimmte normierte irreduzible
n
Polynome p1 ,..., p n mit p    pi .
i 1
Faßt man in dieser Darstellung gleiche irreduzible Faktoren zusammen, so
erhält man die...
Primär- oder Primzerlegung:
Sei   K ; n1 ,..., nk  N und q1 ,..., qk paarweise verschiede normierte
k
irreduzible Polynome, dann heißt p    qini die Primzerlegung. Diese
i 1
Darstellung ist bis auf die Reihenfolge der Faktoren eindeutig. p ist genau dann
normiert, wenn   1 gilt.
Einsetzen in Polynome:
Definition:
Seien R und S Ringe. Eine Abbildung f : R  S heißt
Ringhomomorphismus, wenn gilt:
(a) f (r1  r2 )  f (r1 )  f (r2 )
(b) f (r1r2 )  f (r1 ) f (r2 )
Gilt zusätzlich f (eR )  eS , dann heißt der Ringhomomorphismus ein unitärer
Ringhomomorphismus.
Sei R ein unitärer Ring und  : K  R ein unitärer Ringhomomorphismus. Beim
Einsetzen in Polynomen denkt man insbesondere an:
(a) R=K und  : id K : K  K
(b) R=End(V) und  :  : K  End (V );  ( ) :  id v
(c) R  K n und  :  : K  K n ;  ( ) :  E n
Bei den Bespielen (b) und (c) nennt man  den Diagonalhomomorphismus.
Sei   R dann heißt
m
m
i 0
i 0
  : K [ x]  R,   (  i x i ) :   (  i ) i
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die Einsetzungsabbildung.
(Beachte Studientagsunterlagen Seite 4-5)
Nullstelle:
n
Sei p    i x i  K [ x] . Ein   K heißt Nullstelle von p, falls gilt:
i 0
n
p( )    i x i  0.
i 0
Division mit Rest:
Zu f , g  K [ x] mit f  0 existieren eindeutig bestimmte q, r  K [ x] mit
g=qf+r und grad r < grad f. Es folgt  ist genau dann Nullstelle von p, wenn
es ein q  K [x] existiert, mit p=(x-)q.
Ordnung, einfache, mehrfach Nullstelle:
Seien p  K [ x], p  0,  K . Man definiert:
ord p ( ) : max{ k | k  N 0 und ( x   ) k teilt p}
Dann heißt ord die Ordnung von  bezüglich p.
 heißt m-fache Nullstelle von p, wenn ord p ( )  m  N . Im Fall m=1
spricht man von einfachen Nullstellen.
Satz:
Für p  K [x ] mit m:=grad p  0 und den k verschiedenen Nullstellen
1 ,..., k  K gilt k  m und:
(a) p hat höchstens n Nullstellen in K- Sind die  i , i  N k k
verschiedene Nullstellen von p in K, so existiert genau ein q  K [x]
k
mit p  q ( x   i )
i 1
ord p ( i )
. Dieses q ist zu allen x   i , i  N k
teilerfremd, d.h. kein  i , i  N k ist Nullstelle von q.
k
(b)
 ord
i 1
p
( i )  m
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
Man sagt p zerfällt in K[x] falls q  K . In diesem Fall gilt
k
 ord
i 1


p
( i )  m .
K heißt algebraisch abgeschlossen, wenn jedes Polynom positiven Grades
eine Nullstelle hat.
K ist genau dann algebraisch abgeschlossen, wenn jedes Polynom positiven
Grades in K[x] zerfällt.
Eigenwerte, Eigenvektoren, Eigenräume
Definition:
Sei V ein Vektorraum und f  End (V ) . Ein   K heißt ein Eigenwert von f,
wenn es ein vom Nullvektor verschiedenes v  V gibt mit
f (v)  v
Ist  Eigenwert von f, so nennt man v  V einen Eigenvektor von f zum
Eigenwert  (Selbstverständlich muß  den obigen Bedingungen genügen).
Der Unterraum Eig f ( ) : Kern( f  id V )  Kern(id V  f ) von V heißt
Eigenraum von  bezüglich f.
Ersetzt man f durch A, V durch Kn, idV durch En und den Ausdruck f(v) durch
die Matrizenmultiplikation Av, so erhält man die entsprechenden Begriffe für
Matrizen A  K n .
Hinweis: Bei der Definitition von Eig f ( ) bzw. Eig A ( ) : Kern(En  A)
wurde nicht vorausgesetzt, daß  Eigenwert von f bzw. A ist. Es gilt aber:
  K Eigenwert von V  Kern(En  A)  Eig A ( )  {0}  det(En  A)  0
Beweis siehe 12.2.6
Definition:
Für n  N , A  K n , A  ( ik ) gilt: Ist x die Unbestimmte über K, so ist
 ik x   ik  K[ x]; i.k  N n und daher ( ik x   ik )  ( xEn  A)  ( K[ x]) n .
Insbesondere ist also det( xEn  A) Element von K[x]. Man setzt
 A : det( xEn  A)
das charakteristische Polynom von A.
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Ist f  End (V ) und ist B Basis von V, so heißt
 f :  MatB , B ( f )  det( f  id V ) das charakteristische Polynom von f.
Die Eigenwerte von f bzw. A sind genau die Nullstellen des
charakteristischen Polynoms. Beweis: 12.2.24.
Bemerkung: Man hätte auch die Determinate der Matrix ( A  xEn ) betrachten
können. Jedoch erhält man mit obiger Definition prinzipiell normierte
Polynome. Es gilt  A : det( xEn  A)  (1) n det( A  xEn ) .
Charakteristische Polynome, Zerfall, Minimalpolynom
Minmalpolynom:
Sei dim V  n, f  End (V ), A  K n . Das eindeutig bestimmte, normierte
Polynom kleinsten Grades  f mit  f ( f )  0 beziehungsweise
 A mit  A ( A)  0 heißt das Minimalpolynom von f beziehungsweise A.
Bemerkung: Es gilt:  A   Â und mit A : Mat B , B ( f ) gilt  f   A . Ähnliche
Matrizen haben das gleiche Minimalpolynom.
Satz von Hamilton-Cayley:
Es gilt  A (A)   , d.h.  A ist Teiler von  A .
Es gilt  f ( f )  0 , d.h.  f ist Teiler von  f .
Bemerkung: Zerfällt  f   f zerfällt
Normalformen, Normalformenproblem, diagonalisierbar, triangulierbar
Normalform:
Unter einer Normalform versteht man speziell eine quadratische Matrix von
"möglichst einfacher Gestalt". Hierbei denkt man insbesondere an
Diagonalmatrizen, obere Dreiecksmatrizen und Diagonalkästchenmatrizen
sowie eine Kombination von Dreiecksmatrix und Diagonalkästchenmatrix.
Definition:
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Ein B  K n heißt Diagonalkästchenmatrix, falls n1 ,..., nk  N mit
k
n   ni und B1  K n1 ,..., Bk  K nk , so daß gilt:
i 1
 B1    


    
B
   


   B 
k 

Normalformenproblem (Diagonalmatrix):

Für Endomorphismen f  End (V ) : Gibt es eine Basis B von V, so daß
Mat B , B ( f ) möglichst einfache Gestalt hat?

Für Matrizen A  K n : Gibt es eine Matrix M, so daß M 1 AM möglichst
einfache Gestalt hat?
Definition:
Seien B, C  K n . B heißt ähnlich zu C, falls eine invertierbare Matrix
M gibt, mit B  M 1CM .



Ähnlichkeit ist eine Äquivalenzrelation.
Rang und Determinate sind Invariante dieser Äquivalenzrelation.
Sind B, C Basen von V, so sind Mat B , B ( f ) und Mat C ,C ( f ) ähnlich.
Definition:
Sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum und f  End (V ) . Man
definiert:

f diagonalisierbar  Es gibt eine Basis B von V, so daß
Mat B , B ( f ) eine Diagonalmatrix ist.

f triangulierbar  Es gibt eine Basis B von V, so daß
Mat B , B ( f ) eine obere Dreiecksmatrix ist.
Es sei n  N , A  K n . Man definiert:


A ist diagonalisierbar  Es gibt eine zu A ähnliche
Diagonalmatrix.
A ist triangulierbar  Es gibt eine zu A ähnliche (obere)
Dreiecksmatrix.
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Folgerung:
1. A ist diagonalisierbar  Es gibt eine invertierbare Matrix M, so
daß M 1 AM eine Diagonalmatrix ist.
2. A ist triangulierbar  Es gibt eine invertierbare Matrix M, so daß
M 1 AM eine obere Dreiecksmatrix ist.
Das heißt aber auch: Nach Definition ist ein f  End (V ) genau dann
diagonalisierbar, wenn es eine Basis B  (v1 ,..., vk ) von V und
1 ,..., k  K gibt, mit
 1 0  0 


0    
Mat B , B ( f )  
   0


0  0  
k 

k
Beachte: Es gilt:  f :  ( x  i )
i 1
Dies bedeutet jedoch: f (vi )  i vi für jedes i  N k . Und das sind
gerade die Eigenwerte bezüglich einer Basis.
Um also festzustellen, ob eine Matrix A diagonalisierbar ist und wie sie
konkret aussieht, sind folgende Schritte notwendig:
1. Berechnung des charakteristischen Polynoms
2. Bestimmung der Eigenwerte von A
3. Berechnung der Eigenräume um die Basis zu bestimmten.
Dann gilt M 1 AM . Wobei M aus der Basis
zusammengesetzt wird.
4. Sind alle Eigenwerte paarweise verschieden, dann ist A
diagonalisierbar.
Weitere Kriterien für Diagonalisierbarkeit:
Seien 1 ,..., k verschiedene Eigenvektoren von f  End (V ) .
Ein v  V kann offenbar nur zu höchstens einem Eigenwert i
bezüglich f Eigenvektor sein. Daher ist die Summe der
Eigenräume von 1 ,..., k bezüglich f in V immer direkt:
k
k
 Eig
i 1
k
f
(i )   Eig f (i )  V
i 1
i 1
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Folglich sind äquivalent:


f ist diagonalisierbar
V besitzt eine Basis B  (v1 ,..., vk ) von Eigenvektoren
v1 ,..., vk von f.

k
V   Eig f (i )
i 1
Eine entsprechende Aussage für Matrizen erhält man, wenn man f durch
A und V durch Kn ersetzt.
Normalformenproblem (Triangulierbare Matrix):
Satz:
Sei f  End (V ) bzw. A  K n . Dann gilt f bzw. A sind triangulierbar
  f bzw  A zerfällt.
  f bzw.  A zerfällt.
Bemerkung: Ist K algebraisch abgeschlossen, so sind alle
f  End (V ) bzw. A  K n .triangulierbar. Es gilt: f  End (V ) bzw.
A  K n .sind diagonalisierbar wenn das charakteristische Polynom
zerfällt und nur einfache Nullstellen hat.
Anwendung:
Folgendermaßen erhält man eine tridiagonal Matrix:






Man bestimmt das charakteristische Polynom einer Matrix.
Dann bestimmt man die Eigenwerte. Das charakteristische
Polynom muß zerfallen.
Zu jeden verschiedenen Eigenwert bestimmt man den
dazugehörigen Eigenraum, bestimmt also insbesondere die
Zeilennormalform.
Man hat dann also eine Basis des entsprechenden
Eigenraums.
Dann setzt man aus den Basen eine Matrix M zusammen und
invertiert diese.
Nun gilt M 1 AM ist tridiagonal Matrix.
Normalformenproblem (Jordanzerlegung):
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Die Frage bei Normalformen ist. Gibt es, wenn etwa das charakteristische
Polynom einer Matrix zwar zerfällt, aber keine einfachen Nullstellen hat, somit
also nicht diagonalisierbar ist, noch eine einfachere Form, als die Darstellung
durch eine Dreiecksmatrix.
Definition:
Sei R ein Ring. Dann gilt:
r  R heißt nilpotent : n  N mit r n  0
Bemerkung: Matrizen bilden einen unitären Ring. Folglich gilt der Satz
auch Matrizen. Im übrigen ist jede Matriz nilpotent, wenn Ihre
Diagonalelemente Null sind.
Jordanzerlegung:
Es sei dim V  n  ,V  0, f  End (V ), A  K n . Das Minimalpolynom
von f bzw. A zerfalle.
Es existieren eindeutig bestimmte Endomorphismen d , n  End (V ) mit:
1.
2.
3.
4.
f=d+n
d ist diagonalisierbar, n ist nilpotent
d n  nd
d , n  K[ f ]
Es existieren eindeutig bestimmte Matrizen D, N  K n mit:
1.
2.
3.
4.
A=D+N
D ist diagonalisierbar, N ist nilpotent
DN=ND
D, N  K [ A]
f=d+n mit d diagonalisierbar, n nilpotent d  n  n  d heißt
Jordanzerlegung von f.
A=D+N mit D Diagonalmatrix, N nilpotent und DN=ND heißt
Jordanzerlegung von A.
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