Lösung 9

Methoden zum Entwurf von
zufallsgesteuerten Algorithmen
Departement Informatik
Dr. Hans-Joachim Böckenhauer
Dr. Dennis Komm
Dr. Richard Královič
http://www.ita.inf.ethz.ch/randalg16
Lösungsvorschläge – Blatt 9
Zürich, 03. Mai 2016
Lösung zu Aufgabe 17
(a) Wie in der Aufgabenstellung gefordert, konstruieren wir den α-Approximationsalgorithmus APPROX-KONTRAKTION für das Problem Min-Cut. Seien nun k die
Kosten eines minimalen Schnittes Cmin von G = (V, E).
Zunächst betrachten wir den Fall, dass der in Zeile 1 bestimmte Knoten einen Grad
von höchstens α · k besitzt. In diesem Fall berechnet APPROX-KONTRAKTION
mit Sicherheit eine α-Approximation. Ist dies nicht der Fall, so besitzt jeder Knoten
in G einen Grad von mindestens α · k + 1. Das bedeutet wiederum, dass
α·k
·n
2
gilt für alle Läufe von KONTRAKTION, die zu berücksichtigen sind. Mit dieser
Bedingung vollziehen wir nun den Beweis von Satz 5.2.1 nach. Seien die Ereignisse
Eventi wie im Beweis definiert. Es folgt sofort, dass
|E| >
Prob(Event1 ) ≥ 1 −
k
2
=
1
−
.
α·k
α·n
·n
2
Ferner besitzt der nach i − 1 Iterationen erzeugte Multigraph G/Fi genau n − i + 1
Knoten und mindestens
α · k · (n − i + 1)
2
Kanten. Ebenfalls analog zum Beweis von Satz 2.5.1 gilt

Prob Eventi |
i−1
\
j=1

Eventj  ≥
|E(G/Fi )| − |E(Cmin )|
|E(G/Fi )|
!
α · k · (n − i + 1)
2
≥
−k ·
2
α · k · (n − i + 1)
2
=1−
α · (n − i + 1)
für i ∈ {2, 3, . . . , n − 1}. Die Wahrscheinlichkeit, einen Schnitt der Grösse α · k zu
bestimmen, ist also

Prob 
n−2
\

Eventj  ≥
j=1
n−2
Y
2
1−
α · (n − i + 1)
i=1
!
!
2
2
= 1−
· ...
· 1−
α·n
α · (n − 1)
!
α·n−2
α · (n − 1) − 2
· ...
=
·
α·n
α · (n − 1)
!
n n
Y
Y
α·l−2
2
=
=
1−
,
α
·
l
α
·
l
l=3
l=3
2
· 1−
α·3
α·3−2
·
3·α
was zu zeigen war.
(b) Wir benutzen nun die Ergebnisse aus (a), um die Güte weiter abzuschätzen. Es gilt

Prob 
n−2
\

Eventj  ≥
j=1
∗
=
n Y
1−
l=3
n
Y
2
α·l
exp ln 1 −
l=3
n
Y
2
α·l
n
n
X
2
2
2 X
1
≈ exp −
= exp −
= exp − ·
α·l
α l=3 l
l=3
l=3 α · l
∗∗∗
2
2
2
≥ exp − · ln n = exp ln n− α = n− α ,
α
∗∗
!
!
was zu zeigen war.
∗
Für eine bessere Lesbarkeit sei exp(x) := ex , wobei e die Eulersche Zahl ist.
Hier benutzen wir den Hinweis aus der Aufgabenstellung, dass ln(1 − x) ≈ −x für 0 ≤ x ≤ 32 .
Pn
Pn
∗∗∗ Es gilt i=3 1i ≤ ln (n), also − i=3 1i ≥ − ln (n). exp(x) ist monoton steigend.
∗∗
Lösung zu Aufgabe 18
Wir betrachten die t-fache Wiederholung des Kommunikationsprotokolls PSet, dieses
modifizierte Protokoll bezeichnen wir als t-PSet. Wir wissen aus der Vorlesung, dass
die Fehlerwahrscheinlichkeit des Protokolls PSet auf einer Eingabe (x, U ) mit |U | = k
höchstens k · (2 ln n/n) ist. Einfaches Potenzieren dieser Fehlerwahrscheinlichkeit mit t
liefert eine zu schwache obere Schranke, damit könnten wir eine zu 0 konvergierende
Fehlerwahrscheinlichkeit nur für k ∈ o(n/(ln n)) erreichen. Wir wollen deshalb zeigen, dass
die Fehlerwahrscheinlichkeit von t-PSet höchstens k · (2 ln n/n)t beträgt.
Wir betrachten hierfür den Fall, dass x ∈
/ U gilt. Sei wie in der Vorlesung SPSet,x = {Pr |
r ∈ PRIM(n2 )} die Menge aller möglichen Berechnungen von PSet auf der Eingabe x. Sei
für i ∈ {1, . . . , k} das Ereignis Ai definiert durch
Ai = {Pm | m ∈ PRIM(n2 ) und Nummer(x) mod m = Nummer(qi ) mod m}.
Sei weiter St-PSet,x = {(Pr1 , . . . , Prt ) | r1 , . . . , rt ∈ PRIM(n2 )} die Menge aller möglichen
(t)
Berechnungen von t-PSet auf der Eingabe x. Dann ist für i ∈ {1, . . . , k} das Ereignis Ai
definiert durch
(t)
Ai = {(Pm1 , . . . , Pmt ) | m1 , . . . , mt ∈ PRIM(n2 ) und für alle j ∈ {1, . . . , t} gilt
Nummer(x) mod mj = Nummer(qi ) mod mj }.
(t)
Offensichtlich ist A = ki=1 Ai das Ereignis, dass t-PSet die falsche Antwort x ∈ U
ausgibt. Wie wir in der Vorlesung gesehen haben, gilt Prob(Ai ) ≤ 2 lnn n . Damit folgt
S
(t)
t
Prob(Ai ) ≤ 2 lnn n und somit auch unsere Behauptung Prob(A) ≤ k · (2 ln n/n)t .
Hiermit lässt sich die maximale Grösse der Menge U , für die die Fehlerwahrscheinlichkeit
mit wachsendem n gegen 0 konvergiert, in Abhängigkeit von t abschätzen durch
k∈o
n
ln n
t !
.
Für die gewünschte Kommunikationskomplexität von O(log n log log n) aus (i) ergibt sich
eine Anzahl von Wiederholungen in O(log log n) und damit kann U höchstens
k∈o
n
ln n
c·log log n !
Elemente enthalten, für eine Konstante c.
Bei (ii) ergibt sich analog eine Anzahl von t = c · (log n)d−1 Wiederholungen für ein
konstantes c und damit eine maximale Mengengrösse von
k∈o
n
ln n
c·(log n)d−1 !
.