Zusammengewürfelte Übungen (2) Zufallsexperiment

MK 19.1.2008 Zusammen_Ueb2.mcd
Zusammengewürfelte Übungen (2)
Zufallsexperiment, Ergebnis, Ereignis, Zählprinzip, Urnenmodell
(1) Was bedeuten A \ B, B \ A, A ∩ B = { } und A ⊆ B für die Ereignisse A und B ?
(2) In einer Urne sind fünf Kugeln. Die Kugeln sind mit a, b, c, 1, 2 beschriftet. Es werden alle fünf Kugeln gezogen
und wir betrachen die folgenden Ereignisse:
E1 = ' Unter den ersten drei gezogenen ist nur ein Buchstabe '
E2 = ' Die 1 oder die 2 erscheinen zuletzt '
E3 = ' Die 1 erscheint zuerst '
E4 = ' abc werden in dieser Reihenfolge gezogen '
a) Es wird nur nach Buchstabe oder Zahl unterschieden.
Schreiben Sie E1 bis E4 als Mengen. Welche Mengen sind vereinbar, welche nicht?
b) Formulieren Sie die Gegenereignisse zu E1 bis E4 in Worten.
c) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten für E1 bis E4, alle Elementarereignisse sind gleichwahrscheinlich.
(3) Wir betrachten die Ereignisse E1, E2 und E3. Formulieren Sie die folgenden Aussagen in Mengenschreibweise.
a) Genau ein Ereignis tritt ein.
b) Höchstens ein Ereignis tritt ein.
c) Mindestens ein Ereignis tritt ein.
(4) Monika ist Studentin und hat mit zwei Kommilitoninnen ein Häuschen gemietet. Zu Beginn der kalten
Jahreszeit muss das Wasser in den Leitungen zu den zwei Außenwasserhähnen abgelassen werden.
Zuerst wird die Leitung nach draußen geschlossen (zugedreht), dann wird der Außenhahn geöffnet. Nun kann
das Ablassventil geöffnet werden und das Wasser aus der Leitung wird in einem Eimer aufgefangen.
Da das Haus schon etwas älter ist, viele der Leitungen unter Putz verlaufen und sich keine der Studentinnen
wirklich auskennt, gleicht das Unterfangen einer Lotterie, dessen Hauptpreis ein trockener Keller darstellt.
Monika nimmt an, dass die 6 Absperrventile und die zwei Ablassstutzen in dem einen Kellerraum
etwas mit dem geplanten Vorhaben zu tun haben.
a) Berechnen Sie, wieviele Möglichkeiten Monika hat, eine Leitung zu leeren.
b) Berechnen Sie, wieviele Möglichkeiten Monika hat, beide Leitungen zu leeren.
c) Mindestens eine der drei Studentinnen studiert etwas Vernünftiges, nämlich Mathematik. So ist sie in der
Lage, aus der räumlichen Anordnung zwei Ventile (Ablassventile) dem jeweiligen Ablassstutzen
zuzuordnen. Wieviele Möglichkeiten gibt es jetzt?
(5) Wie viele verschiedene ganze Zahlen kann ihr Taschenrechner (10 Stellen) darstellen?
(6) Wie viele verschiedene Zahlenwerte kann ihr Taschenrechner (10-stellige Mantisse) darstellen?
(7) Kater Felix kennt sechs Katzendamen, die er täglich beglückt. Berechnen Sie die Anzahl möglicher amouröser
Reihenfolgen.
(8) Beim Skatspiel erhält jeder der drei Spieler zehn Karten, die verbleibenden zwei kommen in den Skat.
Wieviele unterschiedliche Spiele sind möglich?
(9) Zur Mathe-Schulaufgabe der 12 SA (26 Schüler) bringen 4 Schüler einen Taschenrechner mit, der
programmierbar ist und somit leider nicht erlaubt. Der elende Lehrer kontrolliert zufällig drei Schüler.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Mathelehrer
a) keinen Schüler erwischt,
b) genau einen Schüler erwischt,
c) mindestens einen Schüler erwischt,
d) dreimal fündig wird,
e) diesmal SIE erwischt,
f) Sie oder Ihre beste Freundin Nadine (auch ein Mistviech!) erwischt.
Musterlöung:
(1) Was bedeuten A \ B, B \ A, A ∩ B = { } und A ⊆ B für die Ereignisse A und B ?
A \ B: A tritt ein, B jedoch nicht
B \ A: B tritt ein, A jedoch nicht
A ∩ B = { } : A und B sind nicht vereinbar
A ⊆ B: Wenn A eingetreten ist, dann ist auch B eingetreten
(2) In einer Urne sind fünf Kugeln. Die Kugeln sind mit a, b, c, 1, 2 beschriftet. Es werden alle fünf Kugeln gezogen
und wir betrachen die folgenden Ereignisse:
E1 = ' Unter den ersten drei gezogenen ist nur ein Buchstabe '
E2 = ' Die 1 oder die 2 erscheinen zuletzt '
E3 = ' Die 1 erscheint zuerst '
E4 = ' abc werden in dieser Reihenfolge gezogen '
a) Es wird nur nach Buchstabe oder Zahl unterschieden.
Schreiben Sie E1 bis E4 als Mengen. Welche Mengen sind vereinbar, welche nicht?
b) Formulieren Sie die Gegenereignisse zu E1 bis E4 in Worten.
c) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten für E1 bis E4, alle Elementarereignisse sind gleichwahrscheinlich.
a) E1 = { BZZBB, ZBZBB, ZZBBB }
E2 = { BBBZZ, BBZBZ, BZBBZ, ZBBBZ }
E3 = { ZBBBZ, ZBBZB, ZBZBB, ZZBBB }
E4 = { BBBZZ, ZBBBZ, ZZBBB }
Gemeinsame Elemente haben E1, E3, E4 und E2, E3, E4 und E3, E4 und sind somit vereinbar.
Unvereinbar sind somit E1, E2.

b) E1 = ' Unter den ersten drei gezogenen ist mehr als ein Buchstabe '

E2 = ' Das zuletztgezogene ist ein Buchstabe '

E3 = ' Die 1 erscheint nicht zuerst '

E4 = ' Die Reihenfolge abc taucht nicht auf '
c) |Ω| = 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 120
|E1| = 3 ⋅ 2! ⋅ 3! = 36 => P1 =
|E2| = 4 ⋅ 2! ⋅ 3! = 48 => P1 =
|E3| = 4 ⋅ 3! = 24 => P1 =
36
120
48
120
= 0.3
= 0.4
24
= 0.2
120
6
|E4| = 3 ⋅ 2! = 6 => P1 =
= 0.05
120
(3) Wir betrachten die Ereignisse E1, E2 und E3. Formulieren Sie die folgenden Aussagen in Mengenschreibweise.
a) Genau ein Ereignis tritt ein.
b) Höchstens ein Ereignis tritt ein.
c) Mindestens ein Ereignis tritt ein.
 
 
 
a) Genau ein Ereignis tritt ein. Ergebnis ω ∈ (E1 ∩ ( E2 ∪ E3)) ∪ (E2 ∩ ( E1 ∪ E3)) ∪ (E3 ∩ ( E1 ∪ E2))
b) Höchstens ein Ereignis tritt ein.
 
 
 
  
Ergebnis ω ∈ (E1 ∩ ( E2 ∪ E3)) ∪ (E2 ∩ ( E1 ∪ E3)) ∪ (E3 ∩ ( E1 ∪ E2)) ∪ ( E1 ∪ E2 ∪ E3)
c) Mindestens einEreignis tritt ein.
  
Ergebnis ω ∈ Ω \ ( E1 ∪ E2 ∪ E3)
(4) Monika ist Studentin und hat mit zwei Kommilitoninnen ein Häuschen gemietet. Zu Beginn der kalten
Jahreszeit muss das Wasser in den Leitungen zu den zwei Außenwasserhähnen abgelassen werden.
Zuerst wird die Leitung nach draußen geschlossen (zugedreht), dann wird der Außenhahn geöffnet. Nun kann
das Ablassventil geöffnet werden und das Wasser aus der Leitung wird in einem Eimer aufgefangen.
Da das Haus schon etwas älter ist, viele der Leitungen unter Putz verlaufen und sich keine der Studentinnen
wirklich auskennt, gleicht das Unterfangen einer Lotterie, dessen Hauptpreis ein trockener Keller darstellt.
Monika nimmt an, dass die 6 Absperrventile und die zwei Ablassstutzen in dem einen Kellerraum
etwas mit dem geplanten Vorhaben zu tun haben.
a) Berechnen Sie, wieviele Möglichkeiten Monika hat, eine Leitung zu leeren.
b) Berechnen Sie, wieviele Möglichkeiten Monika hat, beide Leitungen zu leeren.
c) Mindestens eine der drei Studentinnen studiert etwas Vernünftiges, nämlich Mathematik. So ist sie in der
Lage, aus der räumlichen Anordnung zwei Ventile (Ablassventile) dem jeweiligen Ablassstutzen
zuzuordnen. Wieviele Möglichkeiten gibt es jetzt?
a) Nichts bekannt: P('eine Leitung') = 6 ⋅ 5 = 30
b) Nichts bekannt: P('zwei Leitungen') = 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 = 360
c) Zuordnung bekannt: P('eine Leitung') = 4 ⋅ 2 = 8
Zuordnung bekannt: P('zwei Leitungen') = 4 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 1 = 24
(5) Wie viele verschiedene ganze Zahlen kann ihr Taschenrechner (10 Stellen) darstellen?
Vorzeichen (+ oder -), 10 Ziffern, (+ - 0 = 0, also eine doppelt)
10
AnzZahlen = 2 ⋅ 10
− 1 = 19999999999
(6) Wie viele verschiedene Zahlenwerte kann ihr Taschenrechner (10-stellige Mantisse) darstellen?
Mantisse: Vorzeichen (+ oder -) , 1 Ziffer:1bis 9, Dezimalpunkt, + 9 Ziffern
Exponent: Vorzeichen (+ oder -) , 2 Ziffern, (+ - 00 = 00, also eine doppelt)
Die Null
9
(
2
)
AnzZahlen = 2 ⋅ 9 ⋅ 10 ⋅ 2 ⋅ 10 − 1 + 1 = 3582000000001
(7) Kater Felix kennt sechs Katzendamen, die er täglich beglückt. Berechnen Sie die Anzahl möglicher amouröser
Reihenfolgen.
Anz = 6! = 720
(8) Beim Skatspiel erhält jeder der drei Spieler zehn Karten, die verbleibenden zwei kommen in den Skat.
Wieviele unterschiedliche Spiele sind möglich?
 32   22   12 
15
 ⋅   ⋅   ⋅ 1 = bk ( 32 , 10) ⋅ bk ( 22 , 10) ⋅ bk ( 12 , 10) = 2.75329 × 10
 10   10   10 
AnzSpiele = 
(9) Zur Mathe-Schulaufgabe der 12 SA (26 Schüler) bringen 4 Schüler einen Taschenrechner mit, der
programmierbar ist und somit leider nicht erlaubt. Der elende Lehrer kontrolliert zufällig drei Schüler.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Mathelehrer
a) keinen Schüler erwischt,
b) genau einen Schüler erwischt,
c) mindestens einen Schüler erwischt,
d) dreimal fündig wird,
e) diesmal SIE erwischt,
f) Sie oder Ihre beste Freundin Nadine (auch ein Mistviech!) erwischt.
Mistviecher (M): 4 Brave Schüler (B): 26 - 4 = 22
 22 
 
 3  = 22 21 20
Pa =
⋅
⋅
= 0.59231
 26  26 25 24
 
3 
 22   4 
 ⋅ 
 2   1  = 22 21 3 4
Pb =
⋅
⋅
⋅ = 0.35538
26 25 24 1
 26 
 
3 
 22 
 
 3  = 1 − 22 ⋅ 21 ⋅ 20 = 0.40769
Pc = 1 −
26 25 24
 26 
 
3 
 22   4 
 ⋅ 
 0   3  = 4 ⋅ 3 ⋅ 2 = 1.53846 × 10− 3
Pd =
26 25 24
 26 
 
3 
 25 
 
 3  = 1 − 25 ⋅ 24 ⋅ 23 = 0.11538
Pe = 1 −
26 25 24
 26 
 
3 
 24 
 
 3  = 1 − 24 ⋅ 23 ⋅ 22 = 0.22154
Pf = 1 −
26 25 24
 26 
 
3 
Binomialkoeffizient:


bk ( n , k) := wenn  k < 1 , 1 ,
n
k


⋅ bk ( n − 1 , k − 1) 