2. Lineare Gleichungssysteme 2.1. Lösungsverhalten Lineares
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2. Lineare Gleichungssysteme 2.1. Lösungsverhalten Lineares Gleichungssystem (LGS) mit m Gleichungen und n Unbekannten: a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn = b2 ... ... ... ... am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn = bm in Matrixschreibweise: Ax = b A . . . vom Typ m × n, Koeffizientenmatrix x ∈ Rn . . . Vektor der gesuchten Unbekannten b ∈ Rm . . . Vektor der rechten Seiten Die Matrix a11 a12 . . . a1n b1 a21 a22 . . . a2n b2 (A | b) = .. ... ... ... . am1 am2 . . . amn bm heißt erweiterte Koeffizientenmatrix der LGS. 1 Kann ein Zeilenvektor der erweiterten Koeffizientenmatrix durch andere Zeilenvektoren dieser Matrix linear kombiniert werden, so kann diese Zeile (und im LGS die entsprechende Gleichung = unwesentliche Gleichung) gestrichen werden. Die Anzahl der wesentlichen Gleichungen eines LGS ist gleich dem Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix. Ein LGS kann geschrieben werden in der Form: a11 a x1 · .. 21 . am1 a12 a22 + x2 · .. . am2 a1n a2n + . . . + xn · .. . amn b1 b2 = .. . bm Lösungen x = (x1, x2, . . . , xn)T bestehen also aus Zahlen, mit denen die rechte Seite b des LGS aus den Spaltenvektoren von A linear kombiniert werden kann. Folgerungen. • Gilt rg(A) < rg(A | b), so gibt es keine Lösung. • Gilt rg(A) = rg(A | b), so gibt es mindestens eine Lösung. • Es gibt nur die folgenden Möglichkeiten: 1. Das LGS besitzt keine Lösung. 2. Das LGS besitzt genau eine Lösung. 3. Das LGS besitzt unendlich viele Lösungen. 2 • Zwei verschiedene inhomogenen LGS Lösungen x1 und x2 eines Ax = b, b 6= o , unterscheiden sich um eine Lösung xh xh = x1 − x2 des zugehörigen homogenen LGS Ax = o . Weiter gilt: Es existieren k = n − rg(A) (n= Anzahl der Unbekannten) linear unabhängige Lösungen xh,1, . . . , xh,k des homogenen LGS, und die allgemeine Lösung des inhomogenen LGS lautet x = xp + λ1xh,1 + . . . + λk xh,k mit reellen Zahlen λ1, . . . , λk , wobei xp (irgend-) eine Lösung des inhomogenen LGS ist. Das heißt, dass jede Lösung des inhomogenen LGS eine solche Darstellung besitzt. Für LGS mit mehreren Lösungen gilt also: ”Anzahl der λi = Anzahl der xi – Anzahl der wesentlichen Gleichungen” Ist n = rg(A), also k = 0, so gibt es genau eine Lösung des LGS. Im Falle eines homogenen LGS ist das die Lösung x = o. Um die Lösungsmenge eines inhomogenen LGS angeben zu können, benötigen wir also eine (spezielle) Lösung dieses LGS und, falls k > 0, k linear unabhängige Lösungen des homogenen LGS. Ist das gegebene LGS selbst homogen (und k > 0), so benötigen wir k linear unabhängige Lösungen dieses homogenen LGS. 3
