Dienstag 5.6.2012

Mathematik für Informatiker B, SS 2012
Dienstag 5.6
$Id: folgen.tex,v 1.12 2012/06/05 11:12:18 hk Exp $
§6
Folgen
6.4
Folgen reeller Zahlen
In der letzten Sitzung haben wir den Begriff des Grenzwerts einer Folge in einem metrischen Raum eingeführt, und auch schon einige kleine Tatsachen über diesen Begriff
eingesehen. Allerdings haben wir bisher recht wenig Beispiele für Folgengrenzwerte
behandeln können, hauptsächlich wissen wir das die Folge (1/n)n≥1 in R gegen Null
konvergiert. Dass die Behandlung von Beispielen noch recht schwer ist, liegt im wesentlichen daran, dass wir momentan nur die Definition eines Grenzwerts zur Verfügung
haben, aber keine Rechenregeln für Grenzwerte kennen. Wenn man aber immer auf
die Definition der Konvergenz zurückgehen muss, ist die Behandlung von Beispielen
unnötig aufwändig. Wir werden daher jetzt einen Satz über die Grenzwerte von Summen, Produkten und Quotienten konvergenter Folgen herleiten. Zunächst halten wir
einmal die explizite Form der Grenzwertdefinition für X = R fest.
Lemma 6.13 (Konvergenz reeller Folgen)
Eine Folge (an )n∈N reeller Zahlen konvergiert genau dann gegen eine reelle Zahl a ∈ R,
wenn die folgende Aussage gilt:
∀( > 0)∃(n0 ∈ N)∀(n ≥ n0 ) : |an − a| < Beweis: Dies ist klar nach Lemma 4, da die Metrik auf R durch d(x, y) = |x − y| für
alle x, y ∈ R definiert ist.
Damit kommen wir zu den Grenzwertsätzen für X = R.
Lemma 6.14 (Rechenregeln für Folgengrenzwerte)
Seien (an )n∈N und (bn )n∈N zwei konvergente reelle Folgen. Dann gelten:
(a) Die Folge (an + bn )n∈N ist konvergent mit
lim (an + bn ) = lim an + lim bn .
n→∞
n→∞
n→∞
(b) Für jede Konstante λ ∈ R ist auch die Folge (λan )n∈N konvergent mit
lim (λan ) = λ lim an .
n→∞
n→∞
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(c) Die Folge (an · bn )n∈N ist konvergent mit
lim (an · bn ) = ( lim an ) · ( lim bn ).
n→∞
n→∞
n→∞
(d) Ist bn 6= 0 für alle n ∈ N und limn→∞ bn =
6 0, so ist auch die Folge (an /bn )n∈N
konvergent mit
lim an
an
n→∞
=
.
lim
n→∞ bn
lim bn
n→∞
Beweis: Wir weisen die Konvergenz jeweils in der Form von Lemma 13 nach. Schreibe
a := limn→∞ an und b := limn→∞ bn .
(a) Sei > 0 gegeben. Dann gibt es n1 , n2 ∈ N mit
|an − a| <
für n ≥ n1 und |bn − b| < für n ≥ n2 .
2
2
Setze n0 := max{n1 , n2 }. Für jedes n ∈ N mit n ≥ n0 gilt dann n ≥ n1 und n ≥ n2 ,
also auch
|(an + bn ) − (a + b)| = |(an − a) + (bn − b)| ≤ |an − a| + |bn − b| < + = .
2 2
Dies zeigt, dass (an + bn )n∈N gegen a + b konvergiert.
(c) Diese Aussage ist schon etwas komplizierter. Zunächst ist die konvergente Folge
(an )n∈N nach Lemma 10 beschränkt, also existiert ein M > 0 mit |an | ≤ M für alle
n ∈ N. Weiter existieren n1 , n2 ∈ N mit
|an − a| <
für alle n ≥ n1 und |bn − b| <
für alle n ≥ n2 .
2|b| + 1
2M
Setze n0 := max{n1 , n2 }. Ist dann n ∈ N mit n ≥ n0 , so haben wir auch
|an bn −ab| = |an bn −an b+an b−ab| ≤ |an bn −an b|+|an b−ab| = |an (bn −b)|+|(an −a)b|
= |an | · |bn − b| + |an − a| · |b| < M ·
+
· |b| < + = .
2M
2|b| + 1
2 2
Damit konvergiert die Folge (an bn )n∈N gegen ab.
(b) Sei λ ∈ R. Da die konstante Folge (λ)n∈N gegen λ konvergiert, folgt dies aus Teil
(c).
(d) Sei > 0. Es gibt n1 , n2 ∈ N mit
|b|
|b|2 |b|
|an − a| <
für n ≥ n1 und |bn − b| < min
,
für n ≥ n2 .
4
4|a| + 1 2
Setze n0 := max{n1 , n2 }. Sei n ∈ N mit n ≥ n0 . Dann gilt zunächst
|b| = |b − bn + bn | ≤ |bn − b| + |bn | <
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|b|
|b|
+ |bn |, also auch |bn | > .
2
2
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Weiter folgt
an a an b − bn a |an b − ab + ab − bn a|
|an − a| · |b| |a| · |bn − b|
=
− =
≤
+
bn
b
bn b
|bn | · |b|
|bn | · |b|
|bn | · |b|
2
|an − a| |a| · |bn − b|
|b| 2
2|a|
|b|
=
+
<
·
+ 2 ·
< + = .
|bn |
|bn | · |b|
4 |b|
|b| 4|a| + 1
2 2
Also konvergiert die Folge (an /bn )n∈N gegen a/b.
Die Aussage (a) gilt auch für die Subtraktion anstelle der Addition. Dies können wir
leicht auf die anderen Regeln zurückführen. Zunächst gilt nämlich
lim (−an ) = lim ((−1) · an ) = (−1) · lim an = − lim an
n→∞
n→∞
n→∞
n→∞
nach Regel (b) und mit der Additionsregel (a) folgt dann auch
lim (an − bn ) = lim (an + (−bn )) = lim an + lim (−bn ) = lim an − lim bn .
n→∞
n→∞
n→∞
n→∞
n→∞
n→∞
Als eine erste Anwendung dieser Rechenregeln wollen wir den Grenzwert der Folge
((2n + 1)/(3n + 2))n∈N berechnen. Die Rechenregeln sind hier nicht direkt anwendbar
da sowohl Zähler als auch Nenner divergent sind, aber dieser Umstand läßt sich durch
Erweitern mit 1/n beheben:
1
(2n + 1)
2+
2n + 1
= lim n1
lim
= lim
n→∞ (3n + 2)
n→∞ 3n + 2
n→∞ 3 +
n
1
n
2
n
1
n→∞ n
2 + lim
=
3+2·
lim 1
n→∞ n
2
= .
3
Es gibt auch noch eine Rechenregel für die Grenzwerte von Betragsfolgen. Hierzu sollten
wir uns zunächst an einige kleine Formeln aus dem letzten Semester erinnern. Seien
x, y ∈ R, oder auch x, y ∈ C, das macht hier keinen Unterschied. Wir haben die
Dreiecksungleichung
|x + y| ≤ |x| + |y|.
Damit folgt weiter
|x| = |x − y + y| ≤ |x − y| + |y| =⇒ |x − y| ≥ |x| − |y|.
Vertauschen wir x und y, so ist auch
−(|x| − |y|) = |y| − |x| ≤ |y − x| = | − (y − x)| = |x − y|.
Der Betrag der Differenz |x|−|y| ist jetzt eine der beiden Zahlen |x|−|y| oder −(|x|−|y|)
und da beide höchstens |x − y| sind, ist somit auch
|x| − |y| ≤ |x − y|.
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Damit ist es leicht den Grenzwert einer Betragsfolge zu berechnen.
Lemma 6.15: Sei (an )n∈N eine konvergente reelle Folge. Dann ist auch die Folge
(|an |)n∈N der Beträge konvergent und es gilt
lim |an | = lim an .
n→∞
n→∞
Beweis: Schreibe a := limn→∞ an . Sei > 0. Dann existiert ein n0 ∈ N mit |an − a| < für alle n ≥ n0 . Für jedes n ∈ N mit n ≥ n0 gilt dann auch
|an | − |a| ≤ |an − a| < .
Damit konvergiert (|an |)n∈N gegen |a|.
Aus der Konvergenz der Betragsfolge (|an |)n∈N folgt umgekehrt aber nicht die Konvergenz der Originalfolge (an )n∈N , wie schon das Beispiel an = (−1)n zeigt. Es gibt aber
einen wichtigen Sonderfall in dem diese Umkehrung doch wahr ist. Zunächst ist eine
reelle Folge (an )n∈N genau dann eine Nullfolge, also gegen 0 konvergent, wenn
∀( > 0)∃(n0 ∈ N)∀(n ≥ n0 ) : |an | < gilt und wegen |an | = |an | für jedes n ∈ N ergibt sich die Äquivalenz
lim an = 0 ⇐⇒ lim |an | = 0.
n→∞
n→∞
Es gibt noch eine weitere ähnliche Aussage, das Einschnürungslemma oder SandwichLemma. Hier sind drei reelle Folgen (an )n∈N , (bn )n∈N und (cn )n∈N mit an ≤ bn ≤ cn
für alle n ∈ N gegeben, die Folge (bn )n∈N ist zwischen den beiden Folgen (an )n∈N und
(cn )n∈N eingeschnürt. Konvergieren dann die beiden äußeren Folgen (an )n∈N und (cn )n∈N
gegen denselben Grenzwert a ∈ R, so konvergiert auch die mittlere Folge (bn )n∈N gegen
a. Dies ist gerade Aufgabe (40).
Ausgerüstet mit diesen Formeln können wir jetzt einige Beispiele rechnen. Diese
beruhen größtenteils auf dem schon früher gerechneten Grundbeispiel
1
lim = 0.
n→∞ n
Weiter ist für jeden Exponenten k ∈ N∗ auch
1
lim k = 0,
n→∞ n
da es sich hier um eine Teilfolge von (1/n)n∈N handelt. Mit den Grenzwertsätzen kann
man jetzt auch kompliziertere Ausdrücke behandeln, beispielsweise
3 − n7 + n54
3n4 − 7n3 + 5
=
lim
n→∞ 5n4 − 2n3 + n2 + 1
n→∞ 5 − 2 + 12 +
n
n
lim
1
n4
1
+ 5 · limn→∞ n14
n→∞ n
lim 1 + lim n12 + lim n14
n→∞ n
n→∞
n→∞
3 − 7 · lim
=
14-4
5−2·
3
= ,
5
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wobei wir diesmal einen Zwischenschritt ausgelassen haben. Wir wollen noch ein weiteres solches Beispiel rechnen, bei dem sich Zähler- und Nennergrad voneinander unterscheiden. Betrachte
n2 + 7n − 3
lim
.
n→∞ 2n3 + 5n − 1
Wir wollen wieder so erweitern, dass in Zähler und Nenner nach der Erweiterung konvergente Folgen auftauchen. Hierzu erweitern wir mit dem Kehrwert der höheren auftretenden Potenz von n, also in diesem Beispiel mit 1/n3 . Dann haben wir
1
+ n72 − n33
n2 + 7n − 3
n
lim
. = lim
= 0.
n→∞ 2n3 + 5n − 1
n→∞ 2 + 52 − 13
n
n
Als nächstes Beispiel wollen wir einmal den zunächst recht kompliziert wirkenden
Grenzwert
sin(n4 + 1)
lim
n→∞
n
berechnen. Es stellt sich heraus, dass derartige Grenzwerte einfach zu berechnen sind,
obwohl der Zähler recht kompliziert ist. Der Sinus nimmt ja nur Werte zwischen −1
und 1 an, es ist also | sin(n4 + 1)| ≤ 1 für alle n ∈ N. Damit ist auch
sin(n4 + 1) | sin(n4 + 1)|
1
1
sin(n4 + 1)
1
=
≤
=⇒
−
≤
≤ ,
n
n
n
n
n
n
und das schon oben erwähnte Sandwich Lemma, Aufgabe (40), liefert auch
sin(n4 + 1)
= 0.
n→∞
n
lim
Derartige Überlegungen kann man dann mit unserer Erweiterungstechnik kombinieren,
wie etwa im Beispiel des folgenden Grenzwerts
sin(n4 −5n2 +3n+1)
n2
n
1
+ (−1)
n
n2
2+
2n2 + sin(n4 − 5n2 + 3n + 1)
=
lim
lim
n→∞
n→∞
3n2 + n + (−1)n
3+
2
= .
3
Hier haben wir verwendet das genau wie obigen Beispiel auch
4
2
sin(n4 − 5n2 + 3n + 1) ≤ 1 und somit lim sin(n − 5n + 3n + 1) = 0
n2
n→∞
n2
n2
und analog auch
(−1)n
=0
n→∞
n2
lim
gelten.
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