Musterlösung Probeklausur - Walter Schottky Institut

WALTER SCHOTTKY INSTITUT
Lehrstuhl für Halbleitertechnologie
Prof. Dr.-Ing. M.-C. Amann
Musterlösung Probeklausur
WERKSTOFFE DER ELEKTROTECHNIK
WS 2009 / 2010
Aufgabe 1: Ladungsträgerdichten
(22 Punkte)
Das Lithium-Atom (Li) hat die Elektronenkonfiguration [He] 2s1. Im Metall
wird das 2s-Elektron als Leitungselektron abgegeben.
a) Geben Sie die Elektronenkonfiguration des verbleibenden Rumpf-Ions an:
Li: 1s2 2s1 ≙ [He] 2s1
 Li+: 1s2
≙ [He]

Welche effektive Anzahl Z* von Elektronen bestimmt das magnetische
Verhalten der Atomrümpfe?
Z*
= 2

b) Aus welchen Anteilen setzt sich die magnetische Suszeptibilität von
Lithium-Metall zusammen?
Abgeschlossene Schale
 keine permanenten Momente
kein Para- / Ferromagnetismus der Atomrümpfe!
 Atomrümpfe: Diamagnetismus

Leitungselektronen: Dia- und Paramagnetismus

m
m
el
el

   dia   dia   para
1
c) Berechnen Sie die Fermi-Energie und die Fermi-Temperatur von LithiumMetall!
3
1  2m  2 3
n  2  2 0  EF 2
3π   
2
2
2
EF 
3π n  3
2m 0


1e- pro Atom ⇒ Elektronendichte = Atomdichte
n



Ar u
2


2  2   3
EF 
  4,68eV
 3π
Ar u 
2m 0 

EF  k BTF

TF 
EF
 54 312 K
kB

d) Berechnen Sie die einzelnen Aneile der magnetischen Suszeptibilität aus
b) sowie die gesamte magnetische Suszeptibilität von metallischem
Lithium!
m
 dia

 
el
n * 2 2
Z e r µ0  4,89  107
6m 0
el
dia

el
para
nµ2Bµ0

 6,63  106
k BTF
m
 m   dia
  el  6,14  106



e) Ist metallisches Lithium diamagnetisch, paramagnetisch oder
ferromagnetisch? (Begründung!) Wie hängt die gesamte magnetische
Suszeptibilität von metallischem Lithium von der Temperatur ab?
(Begründung!)
0  m 1


metallisches Lithium ist paramagnetisch
m
 dia
ist temperaturunabhängig
TF  T ⇒  el ist temperaturunabhängig

 m hängt nicht von der Temperatur ab.




2
Aufgabe 2: Dielektrizität, Polarisation von Gasen
(18 Punkte)
Betrachtet werden die drei Gase Krypton (Kr), Schwefeldioxid (SO2) und
Kohlendioxid (CO2) (Aufbau s. Abbildung).
Kr
a)
S
O
O
O
C
O
Welche Mechanismen tragen jeweils zur elektrischen Polarisation bei?
Differenz Elektronegativitäten: keine ionische Bindung ⇒ keine
ionische Polarisation
Kr, CO2:
unpolares Molekül ⇒ nur elektronische Polarisation 
SO2:
b)
polares Molekül
⇒ elektron. und Orientierungspol. 
Skizzieren Sie für die drei Gase jeweils den Verlauf des Realteils der
Dielektrizitätskonstante als Funktion der Frequenz!
Kr, CO2:
(Resonanz d. el. Pol.)

´
1

SO2:
(Or. Pol; el. Pol.)

´
1

3
c)
Gegeben sei nun ein Plattenkondensator mit der Kapazität C0 im
Vakuum, der mit einer Spannungsquelle (Spannung U0 = 20V)
aufgeladen und anschließend von der Spannungsquellegetrennt wurde.
Nach dem Fluten des Kondensators mit Krypton (p=200bar, T = 273K)
mißt man am Kondensator eine Spannung U1 = 18,7V. Berechnen Sie
den Atomradius von Krypton!
C0  ε0
A
d
C1  ε 0 r
r 

A
d

U0
   1   el  1
U1

 el  N

  4πR3

p
k BT

N

R
r 
3
p
U
4πR3  1  0
k BT
U1
k BT  U 0 
 1  101,4 pm

4π p  U 1 
Aufgabe 3: Metallische Bindung


(17 Punkte)
Aluminium hat die Elektronenkonfiguration [Ne] 3s23p1. Zu seiner
Leitfähigkeit tragen nur die Elektronen der dritten Schale bei. Die Dichte 
und die relative Atommasse Ar betragen jeweils  = 2,7 x 103 kg/m3 und
Ar=27. Bei 300K wird ein spezifischer Widerstand von spez = 2,6 x 10-6 cm
und ein Elastizitätsmodul von c = 1,09 x 1011N/m2 gemessen.
a) Berechnen Sie die Leitungselektronendichte n, die Fermi-Energie EF, die
Geschwindigkeit der Elektronen vel an der Fermi-Kante und die
Geschwindigkeit der longitudinalen Phononen vph (= Schallgeschwindigkeit) für Aluminium.
n  3 n Al
n Al 

Ar u
(jedes Atom gibt 3e- ab)


4

n 3
Ar u
 1,807  1023 cm -3

3
1  2m  2 3
n  2  2  EF 2
3π   

EF 
c

2
2
3π 2 n  3  11,65 eV

2m
2 EF
m
 2,025  106
m
s
vel  vF 
v ph|| 

 6,35  103
m
s



b) Wie hoch ist die spezifische Wärme der Elektronen pro Volumeneinheit
Cel bei Raumtemperatur (T=300K)? Berechnen Sie bei dieser Temperatur
die Wärmeleitfähigkeit el und die mittlere freie Weglänge der
Leitungselektronen.
Cel  6 n k 2B
T
J
 3,32  104
EF
Km 3

Wiedemann-Frantz-Gesetz:
el
π 2 k 2B
L
3 e2
T


1

 spez
π 2 k 2B T
W
el 
 281,9
2
3 e  spez
Km
1
3
el  Cel vel lel  lel 
Aufgabe 4: Halbleiter
3 el
 12,6 nm
Cel vel


(28 Punkte)
Der Halbleiter Indiumantimonid (InSb) wird zur Herstellung von InfrarotDetektoren verwendet. InSb hat eine Bandlücke von 0,172eV und bei einer
Temperatur von 300K eine intrinsische Ladungsträgerkonzentration von
ni=2,04 x 1016cm-3.
5
a) Erklären Sie das physikalische Grundprinzip der optischen Anregung in
Halbleitern! Warum läßt sich mit Halbleitern nur Licht bis zu einer
bestimmten Wellenlänge detektieren? Wo liegt die Grenze bei InSb?
Elektronen aus dem Valenzband werden durch Absorption von
Photonen ausreichender Energie ins Leitungsband angehoben; Löcher
bleiben zurück.

Es werden somit Elektron-Loch-Paare erzeugt.

E Ph  hf 

hc


 Eg
hc
: max
Eg
Für Wellenlängen größer max 

hc
 7,208 µm
Eg

ist das Material transparent.
b) InSb wird mit Zink (Zn) dotiert. Warum wirkt das 2-wertige Zn immer als
Akzeptor, unabhängig davon, auf welchem Gitterplatz es eingebaut wird?
In: 3-wertig; Sb: 5-wertig; Zn: 2-wertig.
Zn stellt weniger Valenzelektronen zur Verfügung als In und Sb. 
 Zn ist sowohl auf In-Platz als auch auf Sb-Platz ein Akzeptor.
c) Im vorliegenden Fall soll Zn-dotiertes InSb verwendet werden, wobei das
Konzentrationsverhältnis zwischen Löchern und Elektronen 30:1 betragen
soll. Wieviele Dotieratome müssen dazu in den Kristall eingebracht
werden, wenn jedes Dotieratom ein Loch zur Verfügung stellt? (T=300K)
(Falls Sie diese Aufgabe nicht lösen, rechnen Sie im weiteren mit
1x1017cm-3 Dotieratomen)
n  N A  p  N D
(Neutralitätsbedingung)
T=300K ⇒
(vollständige Ionisation)

n  NA  p
n p  ni2
(Massenwirkungsgesetz)

p
 30
n

n p  30n 2  ni2  n 
ni
30

6

 p  30 ni

1 
29

N A   30 
ni  1,08  1017 cm -3
 ni 
30 
30


d) Wie hängt ni von der Temperatur ab? Betrachten Sie das Material aus
Aufgabe c) für den Fall einer erhöhten Temperatur von T=400K. Wie
groß sind nun ni, p und n?
ni  N N e
*
L
*
V
-
Eg

2k BT
3
 m* k T  2
N L*  2  n B2 
 2π 

3
 m* k T  2
NV*  2  p B2 
 2π 


ni T   2  mn* m*p 
3
3
4
3
Eg
3
 k B  2  2 - 2k BT
 T e

2 
 2π  
Eg
Eg





Eg


 T 2 
ni T   C T0   e 2k BT 2k BT0 2k BT0
 T0 
3
2
3

E g T T
 T  2 2k B T T00
ni T   ni T0    e
 T0 
T0=300K; T=400K
 ni T   ni T0  3,537  7,215  1016 cm -3
ni2 T 
p  n  NA 
 NA
p






p
1
N A  N A2  4ni2  1,441 1017 cm -3
2


n
ni2 (T )
 3,612  1016 cm -3
p

7