4 Das starke Gesetz der großen Zahlen - Mitschrieb-Wiki

4 Das starke Gesetz der großen Zahlen
Satz 4.1 (Borel-Cantelli Lemma) Sei (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum und
(An )n∈N ⊂ A eine Folge von Ereignissen.
∞ [
∞
\
lim sup An :=
n→∞
Ak
n=1 k=n
ist das Ereignis, dass unendlich viele der An ’s eintreten.
a) Dann gilt:
∞
X
P (An ) < ∞ =⇒ P (lim sup An ) = 0.
n→∞
n=1
b) Sind die Ereignisse An , n ∈ N stochastisch unabhängig, so gilt:
∞
X
P (An ) = ∞ =⇒ P (lim sup An ) = 1.
n→∞
n=1
Beweis
P∞
S
n→∞
a) Sei Bn :=T ∞
k=n P (Ak ) −→ 0.
k=n Ak , n ∈ N ⇒ P (Bn ) ≤
Da Bn ↓ ∞
n=1 Bn folgt:
∞
\
P (lim sup An ) = P (
n→∞
Bn ) = lim P (Bn ) = 0.
n→∞
n=1
b) Sei Pn := P (An ), n ∈ N.(An ) stoch. unabh ⇒ (Acn ) stoch unabh. Es gilt:
0 ≤ P(
∞
\
Ack )
stetig von oben
=
lim P (
N →∞
n=1
unabh.
=
lim
N →∞
≤
N
\
Ack )
n=1
N
Y
(1 − Pk )
k=1
lim exp(−
N →∞
N
X
Pk )
nach Vor.
=
0
k=1
Somit:
c
0 ≤ P ((lim sup An ) ) = P (
n→∞
∞ \
∞
[
n=1 k=n
Ack )
≤
∞
X
n=1
P(
∞
\
k=n
Ack ) = 0
37
38
KAPITEL 4. DAS STARKE GESETZ DER GROSSEN ZAHLEN
Definition Es seien X, X1 , X2 , . . . ZV auf einem W’Raum (Ω, A, P ).
f.s.
Xn konvergiert P-fast sicher gegen X, (Xn → X) wenn gilt:
P {ω ∈ Ω | lim Xn (ω) = X(ω)} = 1.
n→∞
Bemerkung {limn→∞ Xn (ω) = X(ω)} ∈ A, denn:
(i) supn≥1 Xn ist A-messbar, da {supn≥1 Xn ≤ a} =
T∞
≤ a} ∈ A.
{z }
n=1 {Xn
|
∈A
inf Xn = − sup(−Xn ) ist A-mb. ⇒ lim sup Xn = inf sup Xk , lim inf Xn A-
n≥1
n→∞
n≥1 k≥n
n→∞
n≥1
messbar.
(ii) {limn→∞ Xn = X} = (lim inf (Xn −X))−1 ({0})∩(lim sup(Xn −X))−1 ({0}) ∈ A
n→∞
n→∞
Im Folgenden sei (Xn )n∈N eine Folge von ZV auf einem W’Raum (Ω, A, P ). Starke
Gesetz der großen Zahlen sind Resultate der Form
!
n
1 X
f.s.
Xi − bn → 0
an
i=1
wobei (an )n∈N , (bn )n∈N ⊂ R. Der wichtigste Satz ist hier:
Satz 4.2 (Starkes Gesetz der großen Zahlen) Ist (Xn )n∈N eine Folge von u.i.v.
ZV mit E|X1 | < ∞, so gilt:
n
1X
f.s.
Xi → EX1 .
n
n=1
| {z }
=sn
Beweis Sei zunächst Xk ≥ 0 ∀ k ∈ N und Yk := Xk · 1[Xk ≤k] (Yk entsteht aus Xk
k→∞
P
durch Abschneiden bei k). Sei Sn∗ := nk=1 Yk EYk = E[Xk ·1[Xk ≤k] ] = E X1 · 1[X1 ≤k] −→
EX1 mit S.2.1 (Monotone Konvergenz).
Aus der Analysis: Sei (an )n∈N ⊂ R
n
1X
ak = a.
n→∞ n
lim an = a ⇒ lim
n→∞
k=1
Damit folgt:
n
1X
1
lim ESn∗ = lim
EYk = EX1 .
n→∞ n
n→∞ n
k=1
Die Yn ’s sind wieder unabhängig und es gilt:
Var(Sn∗ ) =
n
X
k=1
Var(Yk ) ≤
n
X
k=1
EYk2 ≤
n
X
E[Xk2 · 1[Xk ≤n] ] = n · E[X12 · 1[0,n] (X1 )] (∗)
k=1
Sei α > 1 und mn := bαn c ∀ n ∈ N. Für x > 0 sei Ψ(x) :=
N (x) := min{n | mn ≥ x}
P∞
1
n=N (x) mn
mit
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Für beliebige z ≥ 1 gilt: bzc ≥
2α
mN (x) ≥ x. Mit k := α−1
gilt:
Ψ(x) =
∞
X
n=N (x)
z
2
und somit
1
mn
=
1
bαn c
≤
2
αn
und αN (x) ≥ bαN (x) c =
∞
X
1
1
1
≤2·
= 2 · α−N (x) ·
n
mn
α
1−
n=N (x)
1
α
≤
k
(∗∗)
x
Die Ungleichung von Tschebyscheff liefert ∀ ε > 0 :
(∗) X
∞
∞
X
1
1
∗
∗
|Smn − ESmn | > ε
E[X12 · 1[0,mn ] (X1 )]
P
≤
2
mn
ε mn
n=1
n=1
∞
S.2.1
=
X 1
1
2
E[X
·1
(X1 )]
1
ε2
mn [0,mx ]
n=1
(∗∗) k
1
2
E[X
Ψ(X
)]
≤ 2 EX1
1
1
ε2
ε
=
Üb
=⇒
1
∗
mn (Smn
f.s.
Üb
∗ ) → 0 =⇒
− ESm
n
1
∗ f.s.
mn Smn →
EX1 .
Nächstes Ziel: ∗ weg bekommen.
Es gilt:
∞
X
P (Xn 6= Yn ) =
n=1
∞
X
P (X1 > n)
n=1
Z
≤
P (X1 > x)1(x)
Bsp 3.1
=
EX1 < ∞.
[0,∞]
S.4.1a)
=⇒ P ({ω ∈ Ω | Xn (ω) 6= Yn (ω) für unendlich viele n}) = 0
|
{z
}
=:N0
∀ ω 6∈ N0 ∃ k(ω) ∈ N mit Xn (ω) = Yn (ω) ∀ n ≥ k(ω).
Auf N0C gilt also:
k(ω)
1
1 X
n→∞
(Sn (ω) − Sn∗ (ω)) = (
Xi (ω) − Yi (ω)) → 0
n
n
i=1
=⇒
1
1
f.s.
f.s.
(Sn − Sn∗ ) → 0 =⇒
Sm → EX1
n
mn n
(∆)
Jetzt muss die Einschränkung auf die Teilfolge (mn )n∈N weg.
Da Sn ≥ 0, gilt für mn ≤ k ≤ mn+1 :
mn Smn
Sk
mn+1 Smn+1
·
≤
≤
·
mn+1 mn
k
mn
mn+1
Da
mn+1 n→∞
→
mn
α folgt mit (∆):
1
Sk
Sk
EX1 ≤ lim inf ( ) ≤ lim sup( ) ≤ αEX1
k→∞
α
k
k
k→∞
P -f.s.
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KAPITEL 4. DAS STARKE GESETZ DER GROSSEN ZAHLEN
Sei Nα die Ausnahmemenge zu α in der Konvergenz (∆). Da α > 1 beliebig, gilt auf
∞
[
(
N1+ 1 )C :
j
j=1
|
{z
}
P -Nullmenge
EX1 ≤ lim inf (
k→∞
Sk
Sk
) ≤ lim sup( ) ≤ EX1
k
k
k→∞
1
f.s.
Sn → EX1
n
Jetzt muss noch die Bedingung Xk ≥ 0 weg. Es folgt:
=⇒ Xn :=
Xn =
n
n
k=1
k=1
1 X − f.s.
1X +
Xk −
Xk → EX1+ − EX1− = EX1 .
n
n
Beispiel 4.1 (Wiederholte Spiele)
Gegeben 2 Spieler. Spieler A erzielt in Runde n Xn Punkte und Spieler B Yn Punkte.
Die Zufallsvariablen seien alle unabhängig und identisch verteilt. Es sei Dn := Xn −
Yn . Spieler APgewinnt Runde n, falls Dn > 0.
Sei pn = P ( nk=1 Dk > 0) die Wahrscheinlichkeit, dass Spieler A nach n Runden
mehr Punkte hat. Es gilt nach S.4.2:
n
1X
f.s.
1[Dk >0] → E 1[D1 >0] = p1 .
n
k=1
Ist p1 > 12 , so gewinnt Spieler A langfristig mehr Runden als B. Dies gilt jedoch
nicht, wenn die Punkte addiert werden! Beispiel dazu:
(
n + 1, mit Wahrscheinlichkeit p1
Xk :=
, Yk ≡ n mit Wahrscheinlichkeit 1
0,
mit Wahrscheinlichkeit 1 − p1
Sei p1 = 0, 999, n = 1000. =⇒ p1000 = (0, 999)1000 ≈ 0, 37