Energie - Familie Michele

c Oliver Michele
6. Mai 2007
Wiederholung: Arbeit – Energie – Leistung
Definition der Arbeit
Die an einem Körper verrrichtete Arbeit ist definiert als
W =F ·s
(1)
Dabei muss die Kraft F parallel zum Weg s sein.
Abbildung 1: Die schiefe Ebene.
Beispiel: Die schiefe Ebene. Die Hangabtriebskraft ist der Teil der Gewichtskraft G, der parallel
zur schiefen Ebene wirkt (s. Abb 1). Sie berechnet sich zu:
FH = m · g · sin α.
(2)
Um den Wagen mit konstanter Geschwindigkeit v den Berg hochzuziehen (keine zusätzliche Beschleunigung!) ist als Zugkraft die Kraft FH nötig. Wird der Wagen entlang der schiefen Ebene die
Strecke s bewegt, wird dabei die Arbeit
W = F · s = m · g · sin α · s
(3)
geleistet. In dem Wagen (besser in dem System Wagen und Erde) ist diese Arbeit als Lageenergie
E gespeichert.
Energie ist gespeicherte Arbeit.
Die Energie hat die gleiche Einheit wie die Arbeit: Joule (oder Newtonmeter)
Gegenbeispiel: Die Kreisbewegung. Bei der Drehbewegung ist die Kraft immer zum Bewegungszentrum (z. B. Sonne oder Atomkern) gerichtet. Es gibt keine Kraftkomponente, die parallel zur momentanen Bewegungsrichtung ist. Es wird also keine Arbeit geleistet. Die Energie des
Körpers nimmt nicht zu. Dies sieht man auch daran, dass sich nur die Richtung der Geschwindigkeit ändert, nicht aber ihr Betrag.
Formeln für die Energie
Potentielle Energie (Lageenergie)
Die Lageenergie wird aus der Gewichtskraft G = m · g und der Höhe h berechnet:
W = F ·s
= m·g·s
(4)
(5)
Es ergibt sich also
Epot = m · g · h
[email protected]
(6)
http://www.familie-michele.de
c Oliver Michele
6. Mai 2007
20
F [N]
15
10
5
0
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
s [m]
Abbildung 2: Das F -s-Diagramm einer Feder.
Kinetische Energie (Bewegungsenergie)
Für die beschleunigte Bewegung gelten die Formeln F = m · a und s = 12 a · t2 . Einsetzen in die
Definition der Arbeit ergibt:
W = F ·s
(7)
= (m · a) ·
1
· a · t2
2
(8)
1
· m · a2 · t2
2
1
=
m(a · t)2
2
=
(9)
(10)
Mit der Formel v = a · t ergibt sich letztlich:
Ekin = 12 mv 2
(11)
Anwendung: Fällt ein Körper aus der Höhe h herunter, wird seine potentielle Energie umgewandelt in kinetische Energie. Ist diese Umwandlung vollständig (ohne Reibungsverluste), so können
die Energien gleich gesetzt werden, um die Geschwindigkeit zu berechnen:
1
· m · v2
2
2 · g · h = v2
p
v =
2·g·h
m·g·h =
(12)
(13)
(14)
Dies ist die vom freien Fall bekannte Formel für die Geschwindigkeit.
Potentielle Energie (Spannenergie einer Feder)
Bei der Herleitung der Formel für die Lageenergie konnte die Formel W = F ·s verwendet werden,
weil die Gewichtskraft unabhängig von der Höhe konstant ist (zumindest näherungsweise). Bei
der Feder ist die Kraft abhängig davon, wie stark die Feder bereits gespannt ist. Dabei gilt das
Hooke’sche Gesetz F = D ·s. Allgemein kann man die Energie auch als Fläche im F -s-Diagramm
(s. Abb. 2) berechnet werden.
[email protected]
http://www.familie-michele.de
c Oliver Michele
6. Mai 2007
W = F ·s
1
Fmax · smax
=
2
1
=
D·s·s
2
(15)
(16)
(17)
Wird eine Feder, die die Federkonstante D hat um den Weg s auseinandergezogen oder zusammengedrückt, wird dazu die folgende Energie benötigt:
Epot =
1
2
· D · s2
(18)
Anwendung: Bei der Behandlung der Würfe wurde ein Abschussgerät mit einer Feder verwendet.
Welche Abschussgeschwindigkeit kann man damit erreichen? Die Kugel habe die Masse m, die
Feder die Federkonstante D und die Feder kann den Weg s zusammengedrückt werden.
1
1
· D · s2 =
· m · v2
2
2
D
· s2
v2 =
rm
D
v =
·s
m
(19)
(20)
(21)
Leistung
Bei der Definition der Leistung geht die Zeit ein, in der eine Arbeit geleistet wird. Je schneller die
gleiche Arbeit gleistet wird, umso größer ist die Leistung. Die Formel, die dies wiedergibt ist:
P =
W
.
t
(22)
Die Einheit der Leistung ist 1 J/ s= 1 Watt= 1 W.
Beispiel: Ein Schüler (m = 70 kg) läuft die Treppenstufen am Haupteingang in t = 12 s hoch.
Der Höhenunterschied ist circa h = 5 m. Wie groß ist die Leistung des Schülers?
W
t
m·g·h
=
t
70 kg · 9, 81 N/kg · 5 m
=
12 s
≈ 286 W
P =
[email protected]
(23)
(24)
(25)
(26)
http://www.familie-michele.de