Kapitel 13 Energie, Impuls und Drehimpuls des makroskopischen

Kapitel 13
Energie, Impuls und Drehimpuls des
makroskopischen Feldes
Zur Vereinfachung werden wir von nun an die kalligraphische Notation für
makroskopische (gemittelte) Felder nicht mehr benutzen und die gleiche Symbole für makroskopische und mikroskopische Felder benutzen, solange kein
Missverständniss besteht. Wir haben also E → E, D → D, B → B, H → H, · · ·.
In Kap. 8 haben wir Energie, Impuls und Drehimpuls des mikroskopischen Feldes
eingeführt und dieses Konzept in Teil IV auf das Strahlungsfeld im Vakuum angewendet.
Wir wollen im folgenden die Betrachtungen von Kap. 8 auf das makroskopische Feld
übertragen.
13.1
Energie
Ausgangspunkt für die Energiebilanz in Kap. 8 war die von einem (mikroskopischen) Feld
(E, B) an einem System geladener Massenpunkte pro Zeiteinheit geleistete Arbeit
Z
dWM
=
j · E dV .
(13.1)
dt
Grundlage von (13.1) ist die Lorentz-Kraft, z.B. für eine Punktladung q:
K = q E + (v × B) ,
(13.2)
deren magnetischer Anteil zu (13.1) keinen Beitrag liefert. Mit (11.1) ist es klar, dass
die selbe Gleichungen für die gemittelte Kraft < K > als Funktion der makroskopischen
Felder gelten.
Arbeit der freien Ladungen
Die an den freien Ladungen der Dichte ρf vom makroskopischen Feld pro Zeiteinheit
121
geleistete Arbeit ist dann (13.1):
dWM
=
dt
Z
jf · E dV.
(13.3)
Die rechte Seite von (13.3) können wir mit (11.39) zu
Z dWM
∂D
=
E · (∇ × H) − E ·
dV
dt
∂t
(13.4)
umformen. Wie in Kap. 8 können wir (13.4) symmetrisieren, mit Hilfe der Identität
∇ · (a × b) = b · (∇ × a) − a · (∇ × b)
(13.5)
und (11.38),
∇×E = −
∂B
.
∂t
(13.6)
Man erhält:
dWM
= −
dt
Z
dV
∂D
∂B
∇ · (E × H) + E ·
+H·
∂t
∂t
.
(13.7)
Der Vergleich mit (8.6) zeigt, dass
S = E×H
(13.8)
als Energiestromdichte des makroskopischen Feldes (Poynting-Vektor) zu deuten ist (vgl.
(8.9)).
Lineare, isotrope Medien
Zur Interpretation der restlichen Terme betrachten wir die Näherung linearer Medien:
D = E;
B = µ H.
(13.9)
Dann wird
∂D
∂B
1∂
+H·
=
E·D + H ·B
∂t
∂t
2 ∂t
und wir können analog (8.10) die Größe
E·
ωF =
1
E·D+H ·B
2
(13.10)
(13.11)
als Energiedichte des makroskopischen Feldes interpretieren. Der Erhaltungssatz (8.13)
bleibt mit den neuen Definitionen (13.8),(13.11) unverändert:
Z
Z
dWM
d
+
ωF dV +
S · df = 0 .
(13.12)
dt
dt V
∂V
122
13.2
Impuls, Drehimpuls
Nach (13.2) ist
dPM
= q E + (v × B)
(13.13)
dt
die Änderung des Impulses der Probeladung q im Feld (E, B). Für die Impulsänderung
eines Systems freier Ladungen, beschrieben durch ρf , jf im Feld (E, B) folgt:
Z
dPM
=
dV ρf E + (jf × B) .
(13.14)
dt
Analog zu Abschnitt 8.2 formen wir (13.14) mit
∇ · D = ρf ;
∇×H −
∂D
= jf
∂t
(13.15)
um zu
dPM
=
dt
Z
dV
∂D
E(∇ · D) + (∇ × H) × B −
×B
∂t
.
(13.16)
Wir symmetrisieren (13.16) mit Hilfe von
∇ · B = 0;
dPM
dt
Z
=
∇×E = −
∂B
,
∂t
n
dV E(∇ · D) + H(∇ · B) +
(∇ × H) × B + (∇ × E) × D −
(13.17)
(13.18)
o
∂
(D × B) .
∂t
Wie in Kap. 8 lässt sich dann
πF = D × B
(13.19)
als Impulsdichte des makroskopischen elektromagnetischen Feldes interpretieren (vgl. (8.39).
Da in dem restlichen Teil von (13.18) verglichen mit (8.23) jeweils die Paare E, D (statt
E E ) und B, H (statt B B ) erscheinen, erhält man aus dem Vergleich mit (8.26) (im
Fall linearer Medien) für den Maxwell Spannungstensor1
E·D
H·B
Tim =
δim − Ei Dm +
δim − Hi Bm .
(13.20)
2
2
Der Erhaltungssatz (8.30) bleibt mit den neuen Definitionen (13.19),(13.20) unverändert:
d
(PM +
dt
Z
π F dV )i +
V
I X
3
Tim dfm = 0 ,
(13.21)
F m=1
Analog erhält man für die Drehimpulsdichte (vgl. (8.40))
λF = = r × π F .
1
(13.22)
Anmerkung: wegen (11.42) und (11.45) bleibt Tim ein symmetrischer Tensor für den Fall linearer,
isotroper Medien.
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