Teil 5

Spezialfall m1 = m2 und ~v2 = ~0
Impulserhaltung:
m~v1 = m (~u1 + ~u2)
Quadrieren ergibt
m2~v12
Energieerhaltung:
Deshalb muss gelten
=m
2
¡
u21
+ 2~u1 · ~u2 +
¢
m 2 m¡ 2
2
u + u2
v =
2 1
2 1
u22
¢
2~u1 · ~u2 = 0,
d. h. gleich massive Partner stoßen sich elastisch in einem rechten Winkel.
Schwerpunktgeschwindigkeit
Greifen keine äußeren Kräfte an, so bleibt der Impuls des Systems konstant.
N
X
d~
pi
i=1
dt
= 0.
Verändern sich die Massen nicht, so ändert sich auch die Geschwindigkeit des
Systems nicht, genauer,
N
X
d~vi
= 0.
mi
dt
i=1
Damit lässt sich eine mittlere Geschwindigkeit definieren, welche unverändert
bleibt:
N
. 1 X
mi~vi.
~vS =
M i=1
Offensichtlich ist
d~rS
,
dt
d. h. die Geschwindigkeit des Schwerpunktes des Systems bleibt erhalten.
Oft vereinfachen sich die auftretenden Gleichungen erheblich, wenn man in das
Schwerpunktsystem transformiert, denn
~vS =
p~S
=
N
X
mi~vi = M~vS
i=1
p~S,S
=
N
X
i=1
mi (~vi − ~vi,S ) =
N
X
i=1
mi~vi −
N
X
i=1
mi~vi,S = M~vS − M~vS = ~0.
Die kinetische Energie transformiert sich ebenso einfach:
Ekin =
=
=
=
Ekin =
weil ja
¡
1
1
2
m1v1 + m2v22
2
2
¢
1¡
2
2
m1(~v1,S + ~vS ) + m2(~v2,S + ~vS )
2
¢ 1¡
¢
1¡
2
2
2
2
m1v1,S + m2v2,S + m1vS + m2vS + (m1~v1,S + m2~v2,S ) · ~vS
2
2
¢ 1¡
¢
1¡
2
2
2
2
m1v1,S + m2v2,S + m1vS + m2vS + ~0 · ~vS
2
2
1
(S)
Ekin + M vS2
2
m1vS2
+
m2vS2
¢
= ~0.
Bewegung zweier Teilchen im Schwerpunktsystem
Nach Voraussetzung wirken keine äußeren Kräfte auf das System, d. h. es wirken
nur die inneren Kräfte F~12 und F~21.
F~21
d~v1,S
=
;
dt
m1
F~12
d~v2,S
=
dt
m2
Subtraktion (unter Berücksichtigung von F~12 = −F~21) liefert
d(~v1,S − ~v2,S )
=
dt
µ
¶
1
1
F~21,
+
m1 m2
wo (~v1,S −~v2,S ) = ~v12,S die Relativgeschwindigkeit zwischen den Teilchen darstellt.
Mit der Definition der reduzierten Masse µ
. m1 m 2
µ=
m1 + m 2
kann so eine besonders einfache Bewegungsgleichung gefunden werden
dv12,S
.
F~21 = µ
dt
Die Bewegung der beiden Teilchen kann also auf die Bewegung eines einzelnen
Teilchens der reduzierten Masse µ reduziert werden.
Elastische Stöße im Schwerpunktsystem
Wegen p~S,S = ~0 muss auch gelten
p2,S
p~1,S = −~
und
p~01,S = −~
p02,S .
Einsetzen in den Energiesatz ergibt
¶
¶
µ
µ
1
1 1
1
1 1
+
=
+
p02
p21,S + Q.
1,S
2 m1 m2
2 m1 m2
Verwende reduzierte Masse µ, so
p21,S
p02
1,S
=
+ Q.
2µ
2µ
2
Für elastische Stöße ist Q = 0 (nach Definition), folglich p02
1,S = p1,S und
2
p02
2,S = p2,S .
Dies lässt lediglich eine Drehung der Impulse zu!
~v10
~v2,S
~v2
~v10 ,S
θ
~v20
Laborsystem
~v1,S
~v20 ,S
~v1
Schwerpunktsystem
Elastische Stöße im Schwerpunktsystem II
Oft wird der eine Stoßpartner vor dem Stoß in Ruhe sein, etwa wenn ein Teilchen
der Masse m1 in einem Beschleuniger auf ein Targetteilchen der Masse m2 trifft.
Dann gilt also ~v2 = ~0. Wir wollen diesen wichtigen Spezialfall untersuchen. Der
Einfachheit halber berücksichtigen wir nur elastische Stöße und untersuchen, wie
der Streuwinkel θ die Streuresultate beeinflusst.
Die Schwerpunktgeschwindigkeit ist
m1~v1 + m2~0
~v1
,
=
~vS = ~uS =
m1 + m 2
1+A
wo A =
m2
.
m1
Wir rechnen in das Schwerpunktsystem um:
~v1,S
~v2,S
~u1,S
A
~v1,
= ~v1 − ~vS =
1+A
~v1
= ~v2 − ~vS = −
1+A
= ~u1 − ~vS
Wir lösen die letzte Gleichung nach ~u1 auf und quadrieren das Resultat.
2
v
v1
1
2
2
cos θ
+ 2u1,S
u1 = u1,S +
(1 + A)2
1+A
Das Resultat bringen wir auf einen Nenner
2
u21 =
(1 + A) u21,S + v12 + 2 (1 + A) u1,S v1 cos θ
(1 + A)
2
.
Wegen der Energieerhaltung im Schwerpunktsystem für elastische Stöße
2
2
2
p02
1,S /(2µ) = p1,S /(2µ) gilt auch (sofern m1 und m2 gleich bleiben!) u1,S = v1,S
und mit v1,S = v1A/(1 + A) gilt folglich
u21
=
2A
v1
2
+ 2A cos θ + 1
(1 + A)
2
.
Energieübertrag in einem elastischen Stoß:
0
− Ekin,1 A2 + 2A cos θ + 1
∆Ekin Ekin,1
=
=
− 1.
2
Ekin
Ekin,1
(1 + A)
1
|∆Ekin / Ekin|
θ=π
θ = 3/4 π
0,1
0,01
0,01
0,1
1
m2/m1
10
100
Starre Körper
Die Bewegung eines ausgedehnten Körpers ist komplizierter als die eines
Massenpunktes. Der Einfachheit halber betrachten wir als Modell einen starren
Körper, der sich nicht deformieren lässt.
Starrer Körper: Die gegenseitigen Abstände der konstituierenden
Massenpunkte lassen sich nicht verändern.
Freiheitsgrade eines Massenpunktes: 3 (Translation) Freiheitsgrade eines starren
Körpers: 6 (Translation, Rotation)
Die Bewegung eines starren Körpers lässt sich beschreiben durch eine
Überlagerung einer Translation mit einer Rotation.
Bewegungsenergie eines starren Körpers
ω
~r1
mi
~vS
~vi,S
~vi,S = ω × ~ri
Bewegungsenergie Ekin:
P
1
Ekin = 2 i=1 mivi2
P
2
1
= 2 P i mi ¡(~vi,S + ~vS )
¢
1
2
2
= 2 Pi mi vi,S + 2vi,S vS + vS
M 2
2
= 12 i mivi,S
+
2 vS
P
= Ekin,trans + 12 i miri2ω 2
= Ekin,trans + Ekin,rot
P
Die neu auftretende Größe i miri2 heißt
Trägheitsmoment J des starren Körpers
bezüglich der gewählten Rotationsachse.
Damit gilt Ekin,rot = J/2ω 2.
Trägheitsmoment
Wir definieren also das Trägheitsmoment um eine Rotationsachse als
. X
J=
miri2 > 0,
ferner
[J] = M L2 = kg m2.
Das Trägheitsmoment ist weder ein Vektor noch ein Skalar, sondern ein
sog. Tensor. Für die Rotationsenergie lässt sich schreiben
Ekin,rot
1 2
= Jω .
2
Trägheitsmoment eines Zylinders
r
R
J=
RR
0
dmr2
dm = 2πrdrhρ
h
dJ = dmr 2 = 2πr3drhρ
R
RR
J = dJ = 2πhρ 0 drr3
J = π2 hρR4
Hohlzylinder: J =
π
2 hρ
¡
Ra4
−
Ri4
¢
Bergabrollen von Zylindern: “Bergrennen”
ω
h
m, J, R
v
ω=
Epot = mgh
v
R
Etot = Ekin + Erot
mgh = 12 mv 2 + 12 Jω 2
¡
¢ 2
1
J
= m + R2 v
q 2
v = m2+mgh
J/R2
Zylinder mit verschiedenen Trägheitsmomenten sind verschieden schnell!
Satz von Steiner
~ri = ~rS + ~ri,S
~ri
~rS
S
Pi
~ri,S
2
~ri2 = rS2 + ri,S
+ 2~rS · ~ri,S
P
mi~ri2
aber
=
=
P
P
mirS2
M rS2
+
P
2
miri,S
+ JS + 2~rS
P
+ 2~rS ·
mi~ri,S
P
mi~ri,S
mi~ri,S = 0, nach Definition des Schwerpunktes!
Satz von Steiner: J = M rS2 + JS
Maxwell-Rad
R
~ = ~r × F~
Drehmoment M
~ | = rmg
M = |M
m
r
a=
a=
F = mg
d2 φ
r dt2
g
2
2r
1+ R 2
=
rM
J
=
r 2 mg
1 mR2 +mr 2
2
Drehmoment
~
M
F~
~r
Pi
~:
Drehmoment M
.
~ =
M
~r × F~
h i
~ = Nm
M
Trotzdem: Drehmoment 6= Arbeit!
Das Drehmoment ist ein Vektor, Arbeit ein Skalar!
Drehmoment II
Wir betrachten 2 Massenpunkte m1 und m2, auf die, neben der gegenseitigen
Wechselwirkung F~21 = F~12, zusätzlich eine äußere Kraft F~1 bzw. F~2 wirken soll.
Die dazugehörigen Drehmomente bzgl. des Nullpunktes ~0 sind
~ 1 = ~r1 × (F~1 + F~21),
M
~ 2 = ~r2 × (F~2 + F~12)
M
und das Gesamtdrehmoment lautet
~ = (~r1 × F~1) + (~r2 × F~2) + (~r1 − ~r2) × F~21.
M
Die inneren Kräfte F~21 = F~12 wirken aber entlang von ~r1 − ~r2 und deshalb
verschwindet der letzte Term. Somit:
~ = (~r1 × F~1) + (~r2 × F~2),
M
das totale Drehmoment ist gleich der Vektorsumme der einzelnen Drehmomente.
Insbesondere gilt:
Wirken keine äußeren Kräfte auf
das System, verschwindet auch das
Drehmoment auf das System.
Drehimpuls
~
L
~vi
~ri
Pi
~r × ω
~ × ~r = (~r · ~r)~
ω − (~r · ω
~ )~r
Der Impuls mi~vi ändert sich laufend.
~ ändert sich nicht!
Der Drehimpuls L
.
~ =
L
~r × p~
P
~
L=
mi~ri × ~vi
P
~
ω × ~ri)
L=
mi~ri × (~
P
~
~
L=
mi r 2 ω
~ = J~
L
ω
Drehimpuls II
[J] = M L2/T = kg m2/s = J s
Der Drehimpuls ist quantisiert! D. h. es gibt einen kleinsten Drehimpuls. Nach
Heisenberg gilt
∆x∆p ≥ h̄,
folglich muss jede Änderung des Drehimpulses mindestens h̄ betragen. h̄ =
1, 054 · 10−34 Js ist sehr klein, weshalb man diesen Effekt im alltäglichen Leben
auch nicht bemerkt. Elementarteilchen haben aber einen Eigendrehimpuls, ihren
sog. Spin, der in Einheiten von h̄ ausgedrückt wird.
F: Neutron: Spin = 1/2h̄, Proton: Spin = 1/2h̄, Elektron: Spin = 1/2h̄,
B: Photon: Spin = 1h̄, W- und Z-Bosonen: Spin = 1h̄, Graviton: Spin = 2h̄.
Erhaltung des Drehimpulses
Der Drehimpuls des Systems ist gegeben durch
~ = (~r1 × p~1) + (~r2 × p~2).
L
Die zeitliche Änderung erhalten wir durch Ableitung nach der Zeit,
~
dL
dt
~
dL
dt
d~
p1
d~
p2
d~r1
d~r2
= (
× p~1 + ~r1 ×
)+(
× p~2 + ~r2 ×
)
dt
dt
dt
dt
d~
p1
d~
p2
+ ~r2 ×
weil ~vi k p~i
= ~r1 ×
dt
dt
~
= (~r1 × F~1) + (r~2 × F~2) = M
Die zeitliche Änderung des Gesamtdrehimpulses relativ zu einem Punkt ist gleich
dem Gesamtdrehmoment relativ zum selben Punkt. Insbesondere gilt:
Wirken keine äußeren Kräfte auf das
System, bleibt dessen Drehimpuls
konstant.
Anwendung: Kepler I und II
Kepler I: Die Planeten bewegen sich auf
Ellipsenbahnen. In einem Brennpunkt
steht sie Sonne.
Kepler II: Der Verbindungsstrahl
Sonne-Planet überstreicht in gleichen
Zeiten gleiche Flächen.
~r(t + dt)
dA
~r(t)
d~r = ~v dt
dA = 12 (~r × ~v ) =
1 ~
2m |L|
Anwendung II: Bestimmung des Trägheitsmoments
Körper A
Scheibe m, R
Tisch: J0
Feder mit Richtmoment D
Drehmoment M = −Dφ
Bewegungsgleichung
J0φ̈ = −Dφ
p
p
φ(t) = a sin( D/J0t), also T0 = 2π J0/D
J1 = J0 + JScheibe = J0 + 12 mR2
q
→ T1 = 2π (J0 + 12 mR2)/D
∆T 2 ⇒ D
p
TA = 2π (J0 + JA)/D
Vergleich Translation ↔ Rotation
Translation
Länge L
Masse m
Geschwindigkeit v
Impuls p~
Kraft F~
Ekin = 12 mv 2
Rückstellkraft F~ = −D~x p
Schwingungsdauer T = 2π m/D
Rotation
Winkel φ
Träheitsmoment J
Winkelgeschwindigkeit ω
~
Drehimpuls L
~
Drehmoment M
Ekin = 12 Jω 2
~ = −Dφ
~
Rückstelldrehmoment M
p
Schwingungsdauer T = 2π J/D