t - ate.uni

-260-
Theoretische Elektrotechnik TET 2
6. Elektrodynamik
• Mikroskopische und makroskopische Maxwellgleichungen
• Die vektorielle Wellengleichung
• Die d‘Alembertsche Lösung
• Erhaltungssätze veränderlicher elektromagnetischer Felder
• Ebene Wellen
• Potentialdarstellung und retardierte Potentiale
[Buch Seite 162-359]
• Ausblick
-261-
Theoretische Elektrotechnik TET 2
Oft wird dieses Kapitel auch wie folgt überschrieben!
6. Schnellveränderliche
Felder
• Mikroskopische und makroskopische Maxwell-Gleichungen
• Die vektorielle Wellengleichung
• Die d‘Alembertsche Lösung
• Erhaltungssätze veränderlicher elektromagnetischer Felder
• Ebene Wellen
• Potentialdarstellung und retardierte Potentiale
[Buch Seite 218-359]
• Ausblick
1
-262-
Zu den Maxwell-Gleichungen I
Mikroskopische und makroskopische Betrachtung
(1) Makroskopische Maxwell-Gleichung (bisherige Schreibweise):
rot E = t B
rot H = J + t D
div D = div B = 0
D = E
B = μH
J = E
Dies ist eine allgemeine Darstellung aller Grundgesetze
der elektromagnetischen Felder, die wir in der Folie 191
nochmals zusammengetragen haben.
Die Gesetze gelten auch in Materie, d.h. es handelt sich
somit um die makroskopischen Maxwell-Gleichungen.
Makroskopisch, weil die mikroskopischen Materialeigenschaften über das Volumen V gemittelt wurden:
p
m
p V P m V M μ
Das Volumen V,
umfasst mehrere
Gitterperioden bzw.
mehrere Moleküle
des betrachteten
Mediums.
Dipoldichte
Für alle Feldgrössen
gilt demnach auch:
(Mittelung am Ort r )
v ( r ) := v
V ( r )
Zu den Maxwell-Gleichungen II
-263-
Mikroskopische und makroskopische Betrachtung
(2) Mikroskopische Maxwell-Gleichung (für Vakuumfelder):
rot E = t B
rot B = μ0 J + μ0 0 t E
div E = 0
div B = 0
F = q E + v B
(
)
Die mikroskopischen Maxwell-Gleichungen beschreiben die Feldgrössen exakt in jedem Punkt
des Raumes.
Der Standpunkt der Physiker: Die elektrische FeldStärke E und die magnetische Flussdichte B sind
die fundamentalen Grössen des elektromagnetischen Feldes (cf. Definition über die Kraftwirkung).
Die (freien) Stomdichten J und die (freien) RaumLadungen sind die «endgültigen» Quellen des
elektromagnetischen Feldes {E, B }.
Die zeitlichen Variationen von E und B sind selbstverständlich auch Ursache von B- und E-Feldern,
und wirken so wiederum auf die Quellen zurück.
Die grundlegenste Beschreibung dieser Rückwirung ist wiederum ein Kraftgesetz.
2
-264-
Zu den Maxwell-Gleichungen III
Mikroskopische und makroskopische Betrachtung
(3) Makroskopische Maxwell-Gleichung (für die Felder in Materie):
rot E = t B
rot H = J F + t D
div D = F
div B = 0
D = E
H = μ1 B
J = E
Der Standpunkt der PhysikerInnen: Die fundamentalen
Felder der Elektrodynamik sind die Felder E und B.
Die Felder D und H erfolgen durch die Materiebeschreibung (cf. Mittelung) und sind den fundamentalen Feldgrössen nachgestellt, d.h. ohne zentrale physikalische
Bedeutung.
Der Standpunkt der PhysikerInnen: Die konstitutiven
Beziehungen, d.h. die Materialgleichungen müssen für
das Magnetfeld demnach umgekehrt dargestellt werden.
Der Standpunkt der PhysikerInnen: Die Quellen sind
explizit als freie Quellengrössen zu kennzeichnen.
Der Standpunkt der IngenieurInnen: Die sehen das viel
gelassener ! Technisch gesehen: Die Stromdichten und
Raumladungsdichten sind freie Grössen; die Felder in
Materie sind gemittelte Grössen. Die Randbedingungen
sind in der Praxis jeweils für E, D, B und H zu erzwingen.
-265-
Zu den Maxwell-Gleichungen IV
Mikroskopische und makroskopische Betrachtung
(4) Fazit:
Wir nehmen (logischerweise) den Standpunkt der Techniker
innen ein und verbleiben bei den (makroskopischen) MaxwellGleichungen und den Materialgleichungen aus Folie 262.
Trotzdem gilt es bei den D- und H-Feldern besonders gut aufzupassen.
Brisantes Beispiel:
Gibt es ein dem D-Feld zugehöriges Potentialfeld? Zumal ja gilt:
D = E
«Das D-Feld ist eine Kopie des E-Feldes»
Nein! Die Bedingung für die Existens eines Potentialfeldes ist ja:
rot ( i ) = 0 rot D = rot 0 E + P = rot P 0
(
)
im allgemeinen Fall
Es gibt demnach im Allgemeinen auch kein Coulomb-Integral für
das D-Feld (cf. Folie 1-85) ! Die E- und D-Felder sind verschieden.
3
-266-
Zu den Maxwell-Gleichungen V
Mikroskopische und makroskopische Betrachtung
(5) Nachtrag: «Mathematische Begründung für die Existenz des D-Feldes»
(A) Inkonsistenz in den Maxwell-Gleichungen des quasistationären Feldes:
Es gilt die vektoranalytischen Identität (cf. hierzu auch Folie 48):
div ( rot i ) 0
=0
div rot E = div t B = t div B = 0
div rot H = div J = t 0
(
(
)
)
( )
(
)
Diese seltsame Inkonsistenz hat Maxwell entsprechend korrigiert:
div J = t = t div D = div t D
div J + div t D = div J + t D = 0
div rot H = div J + t D = 0
(
( )
) (
(
(
)
)
)
( )
(B) Korrektur:
Siehe Folien 186 und 187.
Ladungserhaltung ist Teil
der Maxwell-Gleichung.
rot H = J + t D
Zu den Maxwell-Gleichungen VI
-267-
Mikroskopische und makroskopische Betrachtung
(6) Allgemeine Aussagen zu den Maxwell-Gleichungen:
rot E = t B
rot H = J + t D
div D = div B = 0
(A) Rekapitulationen zum «Helmholtz-Theorem»:
Das Theorem von Helmholtz: Ein Vektorfeld ist im
homogenen unbegrenzten Raum dann eindeutig bestimmt, wenn dessen Rotation und dessen Divergenz
vorgegeben sind und zusätzlich das Vektorfeld im
Unendlichen verschwindet (Randbedingung im ).
(cf. hierzu Folie 54)
(B) Maxwell-Gleichungen:
Die Maxwell-Gleichungen sind ein Gleichungssystem,
welches die Rotation und die Divergenz des elektrischen bzw. magnetischen Feldes vorgibt.
Das Abklingverhalten wurde im Zusammenhang mit der
Poissonschen Vektoridentität (z.B. Folie 49) definiert.
4
-268-
Die vektorielle Wellengleichung I
Allgemeine inhomogene Wellengleichung
(1) Zur Vorgehensweise ausgehend von den Maxwell-Gleichungen:
E = t B
H = J + E + t D
D = B = 0
(A) Allgemeines Vorgehen:
Es soll eine Wellengleichung, bzw. eine Art
hyperbolische Differentialgleichung (siehe
Folie 210) hergeleitet werden:
{
}
{
}
2
2
f̂ f0 , r , r 2 v = ĝ g0 , t , t 2 v
Der Kompaktheit halber verwenden wir die
Nabla-Schreibweise.
(Maxwell-Gleichungen)
(B) Rechnerisches Vorgehen:
rot () =
rot () =
Entsprechendes Unformen
mit Hilfe vektoranalytischer
Beziehungen. Das Ordnen
nach den Orts- und Zeitableitungen ergibt dann
die Wellengleichung.
-269-
Die vektorielle Wellengleichung II
Allgemeine inhomogene Wellengleichungen
(2) Herleitung der Wellengleichung aus den Maxwell-Gleichungen:
E = t B
H = J + E + t D
D = B = 0
(A) Wellengleichung für das E-Feld:
E = t B = μ t H
1
μ E = t H
μ1 E = t H
(
)
:
(
1
μ
(
)
E = μ1 E + μ1 E
= μ1 E E + μ1 E
)
( )
( )
() ( )
() (
)
5
-270-
Die vektorielle Wellengleichung III
Allgemeine inhomogene Wellengleichungen
(2) Herleitung der Wellengleichung aus den Maxwell-Gleichungen:
(A) Wellengleichung für das E-Feld:
:
μ1 E = μ1 E E + μ1 E
D = E = E + E = E = E 1 (
)
(
() (
)
)
( )
= ln analog dazu : μ μ1 = ln μ1 = ln μ
μ1 E = μ1 E ln E + μ1 E
μ1 E = μ1 E ln E + μ1 E
1
(
(
(
)
)
)
() (
() ( )
() ( )
)
-271-
Die vektorielle Wellengleichung IV
Allgemeine inhomogene Wellengleichungen
(2) Herleitung der Wellengleichung aus den Maxwell-Gleichungen:
Maxwell-Gleichung
(A) Wellengleichung für das E-Feld:
:
t
(
H =
)
t
(
J + E + t E =
)
Zusammensetzen der Zwischenlösungen + :
t
2 J + t E + t 2 E
( ) ( E ln ) E + ( ) ( E ) = ( ) ( E ln ) E + μ ( ) ( E ) = μ μ
( ) ( E ln ) E ln μ ( E ) = μ μ
( μ μ ) E = ( E ln ) ln μ ( E ) + μ
1
μ
1
μ
1
μ
t
2
t 2
J
t
J
t
J
t
E
t
t E2
E
t
E
t
2
μ t E2
2
μ t E2
t J + 2
()
6
-272-
Die vektorielle Wellengleichung V
Allgemeine inhomogene Wellengleichungen
(2) Herleitung der Wellengleichung aus den Maxwell-Gleichungen:
E = t B
H = J + E + t D
D = B = 0
(B) Wellengleichung für das H-Feld:
H = J + E + t E
1 1
H
= J + E + t E
1 H = 1 J + E + t E
(
Merke: Die Materialparameter werden im
Leitungsgebiet als homogen angenommen.
)
(
)
1 J + E + t E = 1 J + E + t E
: 1 H = 1 H H + ( 1 ) H
(
(
)
)
(
(
)
)
(
)
-273-
Die vektorielle Wellengleichung VI
Allgemeine inhomogene Wellengleichungen
(2) Herleitung der Wellengleichung aus den Maxwell-Gleichungen:
(B) Wellengleichung für das H-Feld:
:
1 H = 1 H H + ( 1 ) H
B = μ H = μ H + H μ = 0 H = H μ1 μ
(
)
(
)
(
)
( )
μ = ln μ
1 H = 1 H ln μ H + ( 1 ) H
1
μ
(
)
(
)
μ
: J + E + t E = 1 J 1
(
)
(
t
)
Maxwell-Gleichung
2
H μ t 2 H
7
-274-
Die vektorielle Wellengleichung VII
Allgemeine inhomogene Wellengleichungen
(3) Herleitung der Wellengleichung aus den Maxwell-Gleichungen:
(B) Wellengleichung für das H-Feld:
Zusammensetzen der Zwischenlösungen + :
2
H ln μ H + ( 1 ) H = 1 J μ t H μ 2 H
t
2
H ln μ H + ( 1 ) H = J μ t H μ t 2 H
2
H ln μ H ln H = J μ t H μ t 2 H
1
(
(
(
( μ
)
)
t
)
(
(
(
)
)
)
2
μ t 2 H = H ln μ ln H J
)
(
)
(
)
Merke: Die beiden vektoriellen Wellengleichungen aus Folien 271
und 274 sind kompliziert und bedürfen einer weiteren Erläuterung.
-275-
Die vektorielle Wellengleichung VIII
Allgemeine inhomogene Wellengleichungen
(3) Diskussion der Wellengleichung:
(A) Allgemeine Form der inhomogenen, vektoriellen Wellengleichung:
(
(
2
μ t μ t 2 E = 2
μ t μ t 2 H = )
)
Terme der
Felddiffusion
(B) Zum Geltungsbereich:
E ln ln μ E + μ t J + H ln μ ln H J
(
(
)
)
(
(
«Quellenterme» herrührend
von Materialinhomogenitäten.
)
)
()
Reale
Quellen.
Dies ist eine der allgemeinsten Formen der Wellengleichungen.
Die Gleichung berücksichtigt Materialinhomogenitäten
im Feldgebiet aber nicht im Quellengebiet des elektrischen Strömungsfeldes (siehe hierzu Folie 272).
Die Gleichungen müssen vereinfacht werden !
8
Die vektorielle Wellengleichung IX
-276-
Spezielle Wellengleichungen
(1) Nichtleitendes, homogenes Feldgebiet mit Quellen:
( μ ) E = + μ J + ( )
( μ ) H = J
2
t 2
t
2
t 2
ln 0
ln μ 0
(homogenes
Medium)
Erste Betrachtungen:
Die elektrischen und magnetischen
Felder sind direkt über die QuellenStromdichte J verkoppelt.
Indirekte Verkopplung über die
Raumladungsdichte , denn die
Ladungserhaltung ist ja in den
Maxwellgleichungen enthalten
(cf. Folie 266).
Die vektorielle Wellengleichung X
-277-
Spezielle Wellengleichungen
(2) Nichtleitendes, inhomogenes, quellenfreies Feldgebiet:
( μ )
( μ )
2
t 2
2
t 2
E = H = (
(
E ln ln μ E
H ln μ ln H
)
)
(
(
)
)
J 0
0
(quellenfrei)
Erste Betrachtungen:
Die elektrischen und magnetischen
Felder erscheinen hier als nicht
verkoppelt .
Die Materialinhomogenitäten in μ
und wirken auf die Felder zurück.
Rückwirkung von Inhomogenitäten
auf die Felder sind bereits bekannt:
in der Form von Randbedingungen.
9
Die vektorielle Wellengleichung XI
-278-
Spezielle Wellengleichungen
(3) Nichtleitendes, homogenes, quellenfreies Feldgebiet:
( μ ) E = 0
( μ ) H = 0
2
t 2
2
t 2
Wir werden uns bis auf
Widerruf im Folgenden
an der homogenen
vektoriellen Wellengleichung orientieren !
Folie 210: Dies ist eine
entkoppelte, hyperbolische,
partielle Differentialgleichung.
ln 0; ln μ 0
J 0; 0
(homogen und quellenfrei)
Erste Betrachtungen:
Die elektrischen und magnetischen Felder
erscheinen hier wiederum als nicht verkoppelt.
Die elektrischen und magnetischen Felder
sind natürlich implizite und stets über die ersten
beiden Maxwellgleichungen verkoppelt.
Die elektrischen und magnetischen Felder sind
wiedrum indirekt über die Rand- bzw. Grenzbedingungen verkoppelt.
Die vektorielle Wellengleichung XII
-279-
Der d´Alembert-Operator
Zum Wellenoperator:
(
(
2
μ t 2 E = 0
2
μ t 2 H = 0
)
)
Der d‘Alembert-Operator:
Die homogene (vektorielle) Wellengleichung
( 1
v2
2
t 2 f = 0
)
(Die Konstante 1/v 2
ist willkürlich gewählt).
lässt sich kompakt auch vermittels des sog.
d‘Alembert-Operators (auch Wellenoperator)
v12 t 2
2
in äusserst kompakter Weise darstellen:
f = 0
f = E, H
10
-280-
Die d’Alembertsche Lösung I
Die transversale Welle
(1) Wahl der Ausbreitungsrichtung:
( μ ) E = 0
( μ ) H = 0
2
t 2
(A) Voraussetzungen:
Homogenes und quellenfreies Medium
(war ja Voraussetzung der Wellengleichung !).
t 2
2
Felder sind nur von der z-Richtung abhängig.
(B) Ausbreitung in z-Richtung:
E ( z,t ) = Ex ( z,t ) , Ey ( z,t ) , Ez ( z,t ) H ( z,t ) = H x ( z,t ) , H y ( z,t ) , H z ( z,t ) (C) Quellenfreiheit:
div D = div E = (
Ex ( z,t )
x
+
Ey ( z,t )
y
+
Allgemeiner
Lösungsansatz
Ez ( z,t )
z
) = z
Ez ( z,t ) = 0
-281-
Die d’Alembertsche Lösung II
Die transversale Welle
(1) Wahl der Ausbreitungsrichtung:
(C) Quellenfreiheit:
div B = μ div H = μ z
z
Ez ( z,t ) = 0
H z ( z,t ) = 0
(
H x ( z,t )
x
+
H y ( z,t )
y
+
H z ( z,t )
z
Ez ( z,t ) = Ez ( t )
H z ( z,t ) = H z ( t )
Felder sind konstant
in z-Richtung und
hängen nur von der
Zeit t ab.
) = μ
z
H z ( z,t ) = 0
Ez ( z,t ) 0
H z ( z,t ) 0
Zeitliche Änderungen breiten sich
nicht aus, d.h. Ausbreitung in zRichtung ist nicht beobachtbar, bei
konstanten Feldern entlang von z.
Ausbreitung ist in den (longitudinalen) z-Komponenten nicht beobachtbar: es handelt sich demnach um eine transversale bzw. ebene Welle.
11
-282-
Die d’Alembertsche Lösung III
Die transversale Welle
(2) Wellengleichung der Transversalkomponenten:
(
(
Die Felder sind nur
von der Ausbreitungsrichtung z abhängig:
2
z 2
2
μ t 2 ET = 0
2
2
H
=
0
2 μ
2
T
z
t
(3) Zerlegung des Wellenoperators:
(
2
z 2
)
μ t 2 Ex 2
z (
2
z 2
(
z
+ μ
(
ET = Ex , Ey
H T = H x , H y
)
)
2
z 2
t
)(
z
μ
t
(
)E
)
v12 t 2 ( z + 1v t ) ( z 1v t )
2
Die weiteren Betrachtungen
z.B. an der x-Komponente.
x
)
)
=0
Der Wellenoperator lässt sich
als Produkt zweier Richtungsableitungen angeben.
Diese Separation gilt nicht
Konstante 1/v 2 bzw. 1/v ist
vorerst willkürlich gewählt.
für den Laplace-Operator.
-283-
Die d’Alembertsche Lösung IV
Aufspüren des Lösungsansatzes
(1) Geeignete Koordinatentransformation:
(
2
z 2
)
v12 t 2 = ( z + 1v t ) ( z 1v t ) :=
2
(Wellenoperator)
Es ist günstig, neue Koordinaten so einzuführen, dass ihre partiellen Ableitungen gerade mit den Richtungsableitungen des Wellenoperators übereinstimmen (d’Alembertscher Ansatz).
Koordinatentransformation:*)
=
f = f (z,)
f z
f z =
f z
z *) Merke:
f
f
+
+
( z + ) = ( z + vt )
= 12 ( z ) = 12 ( z vt )
=
1
2
1
2
f Transformierte Wellengleichung:
= 1 ( z+ )
z= +
= = 21 z
)
2 (
(
2
z 2
)
v12 t 2 f = 0
2
=vt
z
=
z
+
=
=
z
=
z
+ 1v t
1v t
Richtungsableitungen
2
f=0
f = Ex
12
-284-
Die d’Alembertsche Lösung V
Aufspüren des Lösungsansatzes
(2) Lösungen der Wellengleichung:
2
Diese Gleichung bedeutet auch, dass f / nicht von der
Variablen abhängig ist. Es gilt demnach (g~ ist beliebig):
f=0
f = g ( )
Die Integration nach für einen festen Wert von ergibt:
f = G ( ) + C ~
*) Uminterpretationen:
G
C
1
x + vt ] :=G ( x + vt )
2[
(
)
:= C ( x vt )
]
(21 [x vt
)
~
G ist die Stammfunktion von g~ und C die Integrationskonstante.
Obige Integration nach nun für alle Werte von ausführen:
f = G ( ) + C ( )
In den Originalvariablen: *
)
f = G ( z + vt ) + C ( z vt )
-285-
Die d’Alembertsche Lösung VI
Aufspüren des Lösungsansatzes
(3) Die d’Alembertsche Lösung der Wellengleichung:
f
G ( z + vt )
v
C ( z vt )
v
z
Die Lösung f der Wellengleichung setzt sich aus einer
hinlaufenden Welle C und einer rücklaufenden Welle G
zusammen.
Ein Vergleich mit den Folien 282 und 283 ergibt für die
Ausbreitungsgeschwindigkeit:
v =1
μ
13
-286-
Die d’Alembertsche Lösung VII
Die transversale elektromagnetische Welle
(1) Ermittlung der weiteren Feldkomponenten:
(A) Die transversalen elektrischen Feldkomponenten:
Ex ( z,t ) = G ( z + vt ) + C ( z vt ) = Ex( ) ( z + vt ) + Ex( + ) ( z vt ) ()
(+)
Ey ( z,t ) = Ey ( z + vt ) + Ey ( z vt )
(B) Die transversalen magnetischen Feldkomponenten:
rot E = t B
ex
rot E = det 0
Ex
ey
0
Ey
ez
z
(
= z Ey ,
z
) (
Ex , 0 = t
Bx , t By , t Bz
)
0
-287-
Die d’Alembertsche Lösung VIII
Die transversale elektromagnetische Welle
(1) Ermittlung der weiteren Feldkomponenten:
(B) Die transversalen magnetischen Feldkomponenten:
(
z
Ey ,
z
) (
Ex , 0 = Bx , t By , t Bz
)
Ey( ) ( z + vt ) + Ey( + ) ( z vt )
t
Bx =
t
By = z Ex = Ex( ) ( z + vt ) Ex( + ) ( z vt )
t
Bz = 0
z
Ey =
t
… dt
f
f z
z
f = f ( ( z,t ))
=
«Integrationskonstanten» (konstant in t ).
Bx = 1v Ey( ) ( z + vt ) Ey( + ) ( z vt ) + C xB ( z )
By = Ex( ) ( z + vt ) + Ex( + ) ( z vt ) + C yB ( z )
des Magnetfeldes
Bz = CzB ( z ) : istz-Komponente
zeitunabhängig (cf. Folie 281).
1
v
(i) Merke:
(ii) Merke:
gd = g dt
gdt = g d
t
t
g=g( ( z,t ))
14
-288-
Die d’Alembertsche Lösung IX
Die transversale elektromagnetische Welle
(1) Ermittlung der weiteren Feldkomponenten:
(B) Die transversalen magnetischen Feldkomponenten (alternativer Zugang):
rot H =
D
t
ex
ey ez
rot H = det 0 0 z = z H y , z H x , 0 =
Hx Hy 0
(
(
(
(
) ( μ E ) = ( μ H )
) ( μ E ) = ( μ H )
t
Dx = z H y
t
x
t
Dy =
t
y
t
Dz = 0 )
z
Hx
) (
t
( E ) = 0
z
z
z
y
x
t
Dx , t Dy , t Dz
( μ ( μ )
)
B )
t
Ex = z By
t
Ey = + z
x
: z-Komponente des
elektrischen Feldes ist zeitunabhängig (cf. Folie 281).
-289-
Die d’Alembertsche Lösung X
Die transversale elektromagnetische Welle
(1) Ermittlung der weiteren Feldkomponenten:
(B) Die transversalen magnetischen Feldkomponenten (alternativer Zugang):
t ()
= + v12 v Ey( ) ( z + vt ) v Ey( + ) ( z vt ) z Bx = μ t E y
()
(+)
1 By = μ
t Ex = v2 v Ex ( z + vt ) v Ex ( z vt ) 1 v2
… dz
(
)
Bx = 1v Ey ( z + vt ) Ey( + ) ( z vt ) + C xB ( t ) z
By = 1v Ex( ) ( z + vt ) + Ex( + ) ( z vt ) + C yB ( t )
:
C xB ( z ) C xB ( t ) = const. 0
«Integrationskonstanten»
(konstant in z ).
C yB ( z ) C yB ( t ) = const. 0
15
-290-
Die d’Alembertsche Lösung XI
Die transversale elektromagnetische Welle
(2) Vollständige Lösung:
ET
Ex = Ex( ) ( z + vt ) + Ex( + ) ( z vt )
Z F = μ1v =
Ey = Ey( ) ( z + vt ) + Ey( + ) ( z vt )
HT
ZF =
Ez = 0
Hx =
Bx =
1
μ
1
ZF
+Ey( ) ( z + vt ) Ey( + ) ( z vt ) = H x( ) ( z + vt ) + H x( + ) ( z vt )
Hy =
By =
1
μ
1
ZF
Ex( ) ( z + vt ) + Ex( + ) ( z vt ) = H y( ) ( z + vt ) + H y( + ) ( z vt )
Hz = 0
μ
μ
μ
(Feldwellenimpedanz,
siehe Folie 195)
ET
ZF = HT
(Quotient der
Transversalkomponenten)
Die d’Alembertsche Lösung XII
-291-
Die transversale elektromagnetische Welle
(3) Allgemeine Darstellung:
H T( + )
T
Betrachtungen an der vorwärtslaufenden
transversal elektromagnetischen (TEM)
Welle:
ET(+ )
ev
ET( + )
ev = ez
H T( + ) = Z1F ev ET( + )
ET( + ) = Z F
+
T
v
Ey = Ey( + ) ( z vt )
Ez = 0
mit :
(
)
( H ( ) e )
Ex = Ex( + ) ( z vt )
H T( + )
H x = Z1F Ey( + ) ( z vt )
H y = + Z1F Ex( + ) ( z vt )
Hz = 0
16
Die d’Alembertsche Lösung XIII
-292-
Die transversale elektromagnetische Welle
(4) Beispiel: «Anschauliche Lösung»
H T( + )
ET( )
ev( )
T
H T( )
ET(+ )
ET sei in x-Richtung «gedreht».
ev(+ )
T
y
Betrachtungen an einer vorwärts- und
rückwärtslaufenden transversalen
elektromagnetischen (TEM) Welle:
Die vollständige Lösung im Vakuum:
Ex = Ex( ) ( z + vt ) + Ex( + ) ( z vt )
x
Ey = 0; Ez = 0
z
μ
ZF =
H x = 0; H z = 0
μ0
0
=
(120 ) Hy =
1
ZF
Ex( ) ( z + vt ) + Ex( + ) ( z vt ) Die d’Alembertsche Lösung XIV
-293-
Die transversale elektromagnetische Welle
(4) Beispiel: «Anschauliche Lösung»
E x(+ )
y
v
H y( + )
z
E x( )
Die TEM-Welle ist linear
polarisiert (in Richtung von E).
v
x
Das Vakuum hat eine Feldwellenimpedanz von 377 .
H y( )
ZF =
Die Ausbreitungsgeschwindigkeit ist die des Lichts !
μ0
0
377 v=
1
μ0 0
310 8 m s
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