Dimension physikalischer Größen - public.fh

Dimension physikalischer Größen
Physik 131
Peter Riegler
[email protected]
Fachhochschule Braunschweig/Wolfenbüttel
Dimension physikalischer Größen – p.1/12
Basisgrößen
Alle physikalischen Größen können über folgende Basisgrößen
ausgedrückt werden:
Basisgröße DIM Basiseinheit Zeichen
Länge
L
Meter
m
Masse
M
Kilogramm
kg
Zeit
T
Sekunde
s
Stromstärke
I
Ampere
A
Temperatur
Θ
Kelvin
K
Stoffmenge
n
Mol
mol
(Lichtstärke
Candela
cd)
Dimension physikalischer Größen – p.2/12
Dimension
Die Dimension jeder physikalischen Größe ist eindeutig, z.B.
Strecke x → DIMx = L
(Sprich: Eine Strecke hat die Dimension Länge).
Die Einheit einer Größe hängt dagegen vom Einheitensystem
ab, z.B. die Einheit [x] einer Strecke x:
•
SI–System: [x] =m (auch MKSA–System)
•
cgs–System: [x] =cm
•
imperiales System: [x] =inch
In Deutschland ist das SI–System das gesetzliche Messsystem.
Dimension physikalischer Größen – p.3/12
SI–Einheiten von abgeleiteten Größen
Beispiele:
Kraft
F =
[F ] =
m·a
[m] · [a]
[F ] = kg · m ·
Frequenz [f ] =
s−1
Aktivität [A] =
s−1
s−2
def
= N
def
= Hz
def
= Bq
Dimension physikalischer Größen – p.4/12
Dimensionen von physikalischen Größen
allgemeine Größe X :
DIMX = M r Ls T t I u Θv (r, s, t, u, v ∈ Z)
SI–Einheit: [X] = kgr ms st Au Kv
Beispiele:
Größe
Fläche
DIMA
Volumen
DIMV
Geschwindigkeit DIMv
Kraft
DIMF
Frequenz
DIMf
Arbeit
DIMW
DIM
=
L2
=
L3
=
LT −1
=
M LT −2
=
T −1
= M L2 T −2
SI–Einheit
m2
m3
m s−1
kg m s−2 = N
s−1 = Hz
kg m2 s−2 = J
Dimension physikalischer Größen – p.5/12
Dimensionsanalyse
Anwendungen:
1. Überprüfen eigener Resultate auf Fehler, Fehlersuche
2. Rekonstruktion von Zusammenhängen, die man zum Teil
vergessen hat
3. Erraten“ von physikalischen Zusammenhängen
”
Grundidee:
• Die Größen auf jeder Seite einer Gleichung müssen
dieselbe Dimension (bzw. SI–Einheit) haben.
•
Jeder Term muss dieselbe Dimension (bzw. SI–Einheit)
haben.
Dimension physikalischer Größen – p.6/12
Dimensionsanalyse — Beispiel 1a
x(t) = x0 + v0 t2 + a0 t2
Dimensionsanalyse:
L 2
L 2
L = L + T + 2T
T
T
Dimensionen stimmen nicht überein ⇒ falsch!
Caveat: Falsche Zahlenfaktoren (dimensionslos!) können mit
einer Dimensionsanalyse nicht entdeckt werden (z.B. x = at2
statt x = (a/2)t2 ).
Dimension physikalischer Größen – p.7/12
Dimensionsanalyse — Beispiel 1b
x(t) = x0 cos(v0 · t)
Das Argument einer Funktion muss dimensionslos sein (d.h.
[Argument]=1), sonst kann die Funktion nicht ausgewertet
werden!
Hier: Argument v0 t von cos hat Dimension (L/T )T = L 6= 1,
also muss Fehler vorliegen.
Dimension physikalischer Größen – p.8/12
Dimensionsanalyse — Beispiel 2
Vor welcher Ableitung steht c2 in der Wellengleichung,
2w
2w
2w
∂
∂ 2w
∂
∂
2
2
−
c
=
0
oder
c
−
= 0?
2
2
2
2
∂t
∂x
∂t
∂x
(w ist z.B. Erregung bei einer mechanischen Welle.)
Antwort durch Dimensionsanalyse (bzw. Einheitenanalyse)
2
−1
[c] = m s ⇒ c = m2 s−2
2 ∂ w
−2
s
=
[w]
∂t2
2 ∂ w
−2
m
=
[w]
∂x2
⇒
∂2w
∂t2
∂2w
2
− c ∂x2
= 0 ist richtig (nicht sicher
falsch).
Dimension physikalischer Größen – p.9/12
Dimensionsanalyse — Beispiel 3
Wovon hängt die Schwingungsperiode τ eines Fadenpendels
ab und wie ist diese Abhängigkeit?
Schritt 1: Auflisten, wovon τ abhängen könnte:
• Fadenlänge l
• Masse m am Faden
• maximaler Auslenkungwinkel ϕmax
• Erdbeschleunigung g
Schritt 2: Sinnvollen Ansatz machen (Potenzansatz):
τ = Clα mβ ϕγmax g δ
Dabei ist C eine dimensionslose Zahl.
Dimension physikalischer Größen – p.10/12
Dimensionsanalyse — Beispiel 3
Schritt3: Dimensionsanalyse
[l] = L, [m] = M, [ϕmax ] = 1, [g] = L · T −2 , [τ ] = T
τ
⇒T
T
= Clα mβ ϕγmax g δ
= Lα · M β · 1γ · (L · T −2 )δ
= Lα+δ M β T −2δ
1 = −2δ
⇒ 0 = α+δ
0 =
β





⇒
(
α = 12 , β = 0, δ = − 12
γ beliebig
p
⇒ Schwingungsperiode τ = C l/gf (ϕmax ) mit beliebiger
Funktion f , die nicht per Dimensionsanalyse bestimmt werden
kann.
Dimension physikalischer Größen – p.11/12
Andere Anwendung
Per Dimensionsanalyse können oft auch rein mathematische
Ergebnisse auf Fehler getestet werden.
Beispiel:
y = sin(ax) ⇒ x = arcsin(y/a)
Wir tun so, als ob das eine physikalische Gleichung sei, und
weisen dem Ergebnis eine beliebige Dimension zu, z.B.
DIMx = L.
Dimensionsanalyse:
Ausgangsgleichung y = sin(ay) ⇒ DIMy = 1, DIMa = L−1
Damit ergibt sich für Resultat“ x = arcsin(y/a):
”
L = arcsin(L)“, was aus Dimensionsgründen nicht möglich
”
ist.
Dimension physikalischer Größen – p.12/12