Folien zur Veranstaltung QM I

Kombinatorik.
? Beispiel : Multiple-Choice-Klausur
− 16 Fragen
− Je 4 Antwortalternativen ( eine ist richtig )
− Zufälliges Ankreuzen
? Wahrscheinlichkeit für mindestens 8 Treffer ?
→ Mögliche Lösungsstrategie :
Wie viele Ankreuzmöglichkeiten gibt es insgesamt?
Bei wie vielen dieser Möglichkeiten gibt es ≥ 8 Treffer ?
→ Quotienten bilden
→ „ Wie viele Möglichkeiten ? “ → Kombinatorik
1.1
QM1_17
1
? Beispiel : Aufteilen von Vpn auf Gruppen
− 20 Vpn
− Aufzuteilen in 2 Gruppen zu 10
− 10 Vpn haben kritisches, nicht sichtbares Merkmal A
? Wie wahrscheinlich sind ≥ 8 A-Vpn in Gruppe 1 ?
→ Mögliche Lösungsstrategie :
Wie viele Möglichkeiten der Verteilung gibt es ?
Bei wie vielen kommen ≥ 8 A-Vpn in Gruppe 1 ?
→ Quotienten bilden
→ „ Wie viele Möglichkeiten ? “ → Kombinatorik
? Beispiel : Lotto 6 aus 49
? Wie wahrscheinlich sind ≥ 5 Richtige ?
→ Vorgehen entsprechend
1.1
QM1_17
2
→ Notationen
♦
n ! := 1 · 2 · . . . · (n − 1) · n
für natürliches n
( ‚ n Fakultät ‘ )
− Dabei : 0 ! := 1
?
1! = 1
?
2! = 1 · 2 = 2
?
3! = 1 · 2 · 3 = 6
?
4 ! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24
?
5 ! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 120
] : Anzahl
?
] Möglichkeiten : Anzahl der Möglichkeiten
♦ Ist G endliche Menge, so heißt die Anzahl der Elemente von G
auch die Mächtigkeit von G
Abkürzung : |G|
?
Ist A = {2, 3, 5} , so |A| = 3
1.1
QM1_17
3
→ Produktmengen.
♦ Sind A und B Mengen, so heißt
A × B := { (a, b) | a ∈ A , b ∈ B }
auch Cartesisches Produkt von A und B
Die Elemente (a, b) von A × B heißen Paare
? Gleichzeitiges Werfen eines Würfels und einer Münze
? Beschreibung der mögichen Ergebnisse ?
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ( Würfelergebnisse )
B = {W, Z} ( Münzenergebnisse )
Ergebnisse des zusammengesetzten Versuchs :
→
A×B
mit
(a, b)
................
.........
.......
Würfel
?
( 2 , Z) : Würfel : 2
................
............
........
..
Münze
Münze : Z
? ] Ergebnisse der zusammengesetzten Versuchs ?
→ Äquivalent : | A × B | = ?
1.1
QM1_17
4
• Ist | A | = m und | B | = n , so
|A × B | = m · n
o
n Begründung am Beispiel Würfel und Münze :
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ( Würfelergebnisse )
B = {W, Z} ( Münzenergebnisse )
Veranschaulichung des Cartesischen Produkts
B
Z
t
d
t
t
t
t
W
t
t
t
t
t
t
1
2
3
4
5
6
B
o entspricht ( 2 , Z )
→
Offenbar : | A × B | = 6 × 2 = 12
A
? Bekannt : Koordinatensystem als Veranschaulichung von R × R
y
........
.........
...
...
...
...
...
...........................................
..
...
...
...
..
...
..
...
..
...
..
...
..
...
..
...
..
...
..
...
..
...
..
...
.
...
...............................................................................................................................................................................................................................
......
q
1
1
1.1
(3, 2)
x
QM1_17
5
• Ist | A | = m und | B | = n , so
|A × B | = m · n
o
n Begründung am Beispiel Würfel und Münze :
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ( Würfelergebnisse )
B = {W, Z} ( Münzenergebnisse )
Systematische Herstellung der Möglichkeiten
− durch sukzessives Auswahlverfahren
.....
.
.
.
.
.
.
......
.
.
.
.
.
.
...
1
2.......... 3
4
5
6
...
...
...
W Z W Z... W Z W Z W Z W Z
......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
............. .. .................
.............. ... ... ...............
......... ..... .. .... ...........................
........ ............ ....
...... ..........
...
.
.
.
.
.
.
.
......
.
...
....... .........
...... .................
...
...
........
......
.........
..
......
.........
...
......
.........
..
......
........
.
.
.
.
.
.
.
.
.
......
.
.
.........
.
.
.
.
...
....
..
......
......
.
.........
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
......
.........
.
....
......
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.........
.
.
.
.
.
.
.
......
...
.
....
......
.
.
.........
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
......
.........
...
.
....
......
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.........
.
.
.
.
.
...
......
.
....
......
.
.
...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
.
.
.
.
.
.
... ...
.... .....
.... .....
.... ....
.... ....
.... ....
. ..
. ..
. ...
. ...
. ...
.
.
... ...
.
.
.
.. ..
.. ..
... ..
... ..
... ....
... .....
.. ....
.. .....
.. .....
...
.
.
..
.. .....
.
.
.
.
.
.
....
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
..
.
.
....
...
....
...
....
...
....
.
.
...
...
...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
...
...
...
...
...
.
.
.
.
.
.
....
...
....
...
....
...
....
...
...
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
(1)
(2)
(3)
(1) : Wahl des ersten Elements a von ( a , b ) ∈ A × B
− 6 Möglichkeiten
(2) : Wahl des zweiten Elements b von ( a , b ) ∈ A × B
− Jeweils 2 Möglichkeiten
(3) : Fertig
B
entspricht ( 2 , Z )
→ Offenbar : ] Wahlmöglichkeiten insgesamt : 6 · 2 = 12 B : Beachte : ‚ jeweils ‘ ↔ Multiplikation
1.1
QM1_17
6
• Ist | A | = m und | B | = n , so
|A × B | = m · n
o
n Kurz, allgemein :
Es gibt m Möglichkeiten für a
Für jede davon : n Möglichkeiten für b
→
Also : m · n Möglichkeiten für ( a , b )
→ Produkte von mehr als zwei Mengen
♦
A × B × C := { (a, b, c) | a ∈ A , b ∈ B , c ∈ C }
Elemente (a, b, c) heißen Tripel
♦
Entsprechend A × B × C × D
Elemente (a, b, c, d) heißen Quadrupel
♦
Etc. etc.
Mit dem Latein am Ende ?
Elemente von A1 × A2 × . . . × An heißen n-Tupel
?
Statt ‚ Quintupel ‘ also auch ‚ 5-Tupel ‘
Ist (a1 , . . . , an ) n-Tupel , so heißen die ai Komponenten
?
1.1
Die dritte Komponente von (1, 9, 7, 1) ist 7
QM1_17
7
Statt A × A × . . . × A ( n Mal ) auch : An
? Viermalige Durchführung eines Wahrnehmungsexperiments
− Einzelergebnisse jeweils + oder −
? Beschreibung der Ergebnisse der Gesamtversuchs ?
A = {+, −}
Gesamtergebnisse : A4
( a1 , a 2 , a 3 , a 4 )
?
.
.......
..........
...
.
.
.......
..........
...
.
.
.......
..........
...
.
.
.......
..........
...
.
1.
2.
3.
4.
Versuch
(+, −, −, +) : + bei Versuch 1 , − bei Versuch 2 , . . .
? ] Gesamtergebnisse ?
?
Würfeln mit drei Würfeln ( verschiedenfarbig )
? Beschreibung der möglichen Ergebnisse ?
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ( ein Würfel )
Gesamtergebnisse : A3
?
( 2, 5, 2 ) : 1. Würfel : 2 , 2. Würfel : 5 , 3. Würfel : 2
? ] Gesamtergebnisse ?
1.1
QM1_17
8
•
o
n
|A| = m , |B | = n , |C | = k
⇒ | A×B×C | = m·n·k
Auswahl eines (a, b, c) in 3 Schritten
Möglichkeiten
........................................................................................................................................................................................................................................................................................................
.. . .
........ .... .................
.........
.........
....
.........
.........
........
.........
.
.
.
.
.
.
....
.
.
.........
.........
...
.........
.........
.........
.
.
.
.
.
.
.
.
.........
....
.....
.
.
.
.
.
.
.........
.
.
.
......
.
.
.........
.
.
.
.
.
.
.
...
.......
......
.
.
.
.
.
.
.
............................................................................................................................................................................................................................................................................................................
.
.
.. .
.. .....
.. .....
.
.
... .....
.
.
...
...
..
..
...
...
.
.
.
.
.
.
...
...
...
...
..
..
.
.
.
.
.
.
.
.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
...
...
..
..
..
.
.
.
.
.
...
.
.
.
...
...
.
.
.
.
..
...
.
.
.
.
.
.
.
.
...
...
.
.
...
.
.
.
.
...
.
.
.
.
.
..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
..
..........
..........
..........
..........
..........
.
.
.
.
.
........
.. ... ....
.. ... ....
.. ... ....
.. ... ....
.. ... ....
.. .... ....
.
.
.
.
.
.
... ... ...
... ... ...
... ... ...
... ... ...
... ... ...
... ... ...
.. ... ....
.. ... ....
.. ... ....
.. ... ....
.. ... ....
.. ... ....
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
... ... ....
... ... ....
... ... ....
... ... ....
... ... ....
... ... ....
... .... ....
... .... ....
... .... ....
... .... ....
... .... ....
... .... ....
...
...
...
...
...
...
..
..
..
..
..
..
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
..
..
..
..
..
.
.
.
.
.
.
..
.. ..
..
.. ..
..
..
.
.
.
.
.
.
..
..
..
..
→
Insgesamt also m · n · k Möglichkeiten
4
Analog für mehr als drei ‚ Faktoren ‘
→
Spezialfall
•
1.1
Ist | A | = n , so | Ak | = nk
m
jeweils n
jeweils k
QM1_17
9
B Wichtige Technik in der Kombinatorik :
− Finde geeignete ‚ Kodierung ‘
→ Übersetze dadurch neue Probleme in bekannte
?
Wie viele Möglichkeiten gibt es beim Würfeln mit drei Würfeln ?
Übersetzung wie oben :
( mit A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} )
Die Möglichkeiten entsprechen genau den Elementen von A3
] Möglichkeiten = | A3 | = | A |3 = 63 = 216
B
Entscheidend : die richtige Kodierung
?
] Möglichkeiten bei 4-maligem Wahrnehmungsexperiment ?
Dabei : Möglichkeiten bei einmaliger Durchführung : +, −
→
] Möglichkeiten = 24 = 16
4
Sprechweise :
Elemente von Ak heißen auch k-Tupel aus A
4
Schreibweise :
( 3 Würfel , mit A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} )
Möglichkeiten bei drei Würfeln
‚ ↔ ‘ hier : genaue Entsprechung
→
1.1
↔ 3-Tupel aus A
( ‚ bijektiv ‘ )
Wegen der genauen Entsprechung : gleiche Anzahlen
QM1_17
10
?
Beispiel allgemein :
−
Gegeben : Versuch mit n möglichen Ergebnissen
−
Ergebnisse zusammengefasst in Menge G
−
Versuch wird k Mal durchgeführt
?
] Ergebnisse des Gesamtversuchs ?
Geeignete Kodierung :
Ergebnisse des Gesamtversuchs ↔ k-Tupel aus G
→
?
] Gesamtergebnisse = | Gk | = nk
Gegeben ist eine Urne U mit n Kugeln
−
Es wird k Mal mit Zurücklegen gezogen
−
Reihenfolge wird dabei berücksichtigt
?
Wie viele mögliche Ergebnisse gibt es ?
Abgekürzt : k×ZmZmR
− k× Ziehen mit Zurücklegen mit Reihenfolge(berücksichtigung)
1.1
QM1_17
11
?
] Ergebnisse bei k×ZmZmR aus Urne U mit n Kugeln ?
4
U wird aufgefasst als Menge der Kugeln also | U | = n
→
Finde geeignete Kodierung !
Möglichkeiten ↔ k-Tupel aus U
− Übersetzung : j-te Komponente = Kugel des j-ten Zugs
? (2, 4, 1, 2) : 1. Zug : 2 ,
→
?
−
?
2. Zug : 4 ,
3. Zug : 1 ,
4. Zug : 2
] Anzahl Möglichkeiten = nk
Weiteres Beispiel
Gegeben : b Buntstifte und f Fächer
] Möglichkeiten, die Buntstifte auf die Fächer zu verteilen ?
− Es können mehrere Buntstifte in das gleiche Fach kommen
− Fächer können auch leer bleiben
→
Geeignete Kodierung ?
Menge der Fächer : F
Verteilmöglichkeiten ↔ b -Tupel aus F
−
?
→
1.1
j-te Komponente : Fach für den j-ten Buntstift
(4, 3, 4, 5) : 1. Stift : 4. Fach , 2. Stift : 3. Fach , etc.
] Verteilmöglichkeiten = | F b | = f b
QM1_17
12
?
Beispiel : Wie groß ist die Mächtigkeit der Potenzmenge ?
♦ Ist A eine Menge , so ist die Potenzmenge von A die Menge
aller Teilmengen von A
→
Bezeichnung : P(A)
P(A) := { B | B ⊆ A }
Formal :
?
A = {a, b}
→
P(A) = {∅, {a}, {b}, {a, b}}
?
A = {a}
→
P(A) = {∅, {a}}
?
A = ∅
→
P(A) = {∅}
?
Wie groß ist | P(A) | , wenn | A | = n ?
→
Finde geeignete Kodierung !
Elemente von A ordnen
Teilmengen B von A
−
?
Ist A = {1, 2, 3, 4, 5} , so :
{1, 3, 4} ↔ (1, 0, 1, 1, 0)
−
∅ ↔ (0, 0, 0, 0, 0)
1.1
n-Tupel aus {0, 1}
j-te Komponente des n-Tupels : j-tes Element von A in B ?
−
→
↔
] Teilmengen von A = ] n-Tupel aus {0, 1} = 2n
QM1_17
13
→
Lexikographische Reihenfolge
→
Nützliches Hilfsmittel , auch zur Kontrolle :
−
?
→
Systematisches Auflisten aller Möglichkeiten ( dann : Zählen )
Geeignete Systematik ?
Wie im Lexikon
Voraussetzung : Einzelelemente müssen geordnet sein ( werden )
?
4×ZmZmR aus A = {a, b, c}
Geeignete Kurznotation wählen : abac für (a, b, a, c)
→
Ergebnis der lexikographischen Anordnung ( spaltenweise )
aaaa
aaab
aaac
aaba
aabb
aabc
aaca
aacb
aacc
→
1.1
abaa
abab
abac
abba
abbb
abbc
abca
abcb
abcc
acaa
acab
acac
acba
acbb
acbc
acca
accb
accc
baaa
baab
baac
baba
babb
babc
baca
bacb
bacc
bbaa
bbab
bbac
bbba
bbbb
bbbc
bbca
bbcb
bbcc
bcaa
bcab
bcac
bcba
bcbb
bcbc
bcca
bccb
bccc
caaa
caab
caac
caba
cabb
cabc
caca
cacb
cacc
cbaa
cbab
cbac
cbba
cbbb
cbbc
cbca
cbcb
cbcc
ccaa
ccab
ccac
ccba
ccbb
ccbc
ccca
cccb
cccc
Tatsächlich : 81 = 34 Möglichkeiten
QM1_17
14
→
Gleich wahrscheinliche Ergebnisse
♣
Situation : Versuch mit endlich vielen möglichen Ergebnissen
−
→
Alle Ergebnisse werden als gleich wahrscheinlich angesehen
Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses dann :
] günstige Ergebnisse
] Ergebnisse insgesamt
?
Beispiel : Einmal Würfeln
−
Mögliche Ergebnisse : 1, 2, 3, 4, 5, 6
−
Gleichwahrscheinlichkeit sei plausibel
?
Mögliches Ereignis : ‚ Gerade Zahl ‘
Günstige Ergebnisse : 2, 4, 6
→
Wahrscheinlichkeit für ‚ Gerade Zahl ‘ :
] günstige Ergebnisse
3
1
=
=
] Ergebnisse insgesamt
6
2
1.1
QM1_17
15
→
Modell der Gleichwahrscheinlichkeit etwas formaler
Unterscheide : Ergebnisse und Ereignisse
?
Beispiel : Würfeln
−
Ergebnisse : 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6
−
Ereignis beispielsweise : ‚ Gerade Zahl ‘
B
Ereignisse ‚ bestehen aus ‘ Ergebnissen
Menge aller Ergebnisse : Meist Ω
?
Würfelbeispiel : Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Identifiziere Ereignisse mit Teilmengen von Ω
−
?
nämlich mit denen aus den jeweils ‚ günstigen Ergebnissen ‘
‚ Gerade Zahl ‘
entspricht dann
A = {2, 4, 6}
Bei Gleichwahrscheinlichkeit aller Ergebnisse dann :
−
Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A :
P( A ) =
1.1
] günstige Ergebnisse
|A|
=
] Ergebnisse insgesamt
|Ω|
QM1_17
16
W. : Wahrscheinlichkeit
?
Beispiel : Prüfung , 5 Prüflinge
−
3 Prüfungsthemen
−
Wahl des Prüfungsthemas : Karte ziehen
?
→
W. , dass alle das gleiche Thema bekommen ?
Finde geeignete Formalisierung !
Menge der Themen : G = {1, 2, 3}
Prüfungsmöglichkeiten durch 5×ZmZmR aus G
Ω = G5 ,
| Ω | = | G5 | = 35 = 243
Ereignis A : ‚ Alle bekommen das gleiche Thema ‘
−
→
Formal : A = { (1, 1, 1, 1, 1) , (2, 2, 2, 2, 2) , (3, 3, 3, 3, 3) }
P( A ) =
|A|
3
1
1
= 5 = 4 =
|Ω|
3
3
81
B
Modell der Gleichwahrscheinlichkeit angemessen ?
?
Bei verschiedenfarbigen Karten wohl nicht !
1.1
QM1_17
17
→ Permutationen.
♦ Sei G endliche Menge , | G | = n , k ≤ n .
Eine k-Permuation aus G ist ein k-Tupel ( g1 , . . . , gk ) aus G
mit gi 6= gj für alle i 6= j
?
( 3 , 5 , 1 , 2 ) ist eine 4-Permutation aus {1, 2, 3, 4, 5, 6}
?
Gegeben ist eine Urne U mit n Kugeln
−
Es wird k Mal ohne Zurücklegen gezogen
−
Reihenfolge wird dabei berücksichtigt
?
Wie viele mögliche Ergebnisse gibt es ?
Abgekürzt : k×ZoZmR
− k× Ziehen ohne Zurücklegen mit Reihenfolge(berücksichtigung)
→
Finde wieder geeignete Kodierung !
Zugmöglichkeiten ↔ k-Permutationen aus U
?
( 2 , 3 , 1 ) : 1. Zug : 2 , 2. Zug : 3 , 3. Zug : 1
4
Kodierung bekannt von ZmZmR , nur ohne Wiederholungen
→
] Zugmöglichkeiten = ] k-Permutationen aus U
1.1
QM1_17
18
?
] k-Permutationen = ?
♣
G endliche Menge , | G | = n , k ≤ n
→
Erzeugen der k-Permutationen mit Entscheidungsbaum
?
G = {a, b, c, d} ,
k = 2
....
....
....
.... c
b
....
...
...
..
a c
d a b ....d
...
.............
........... ...........
........ ... ..... ...............
........
........ .....
...
.
.
.
.
.
.
.
........
...
.....
........
...
...
........
........
...
...
........
........
...
...
........
.
.
.
........
.
.
.
.
.
.
.
...
.
........
.....
.
.
.
.
.
.
.
.
.
........
.
.
.
...
.....
..
.
.
........
.
.
.
.
.
.
.
.
...
........
.
.....
.
.
.
.
.
.
.
........
.
.
.
.
...
.....
..
.
........
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
........
.
.....
.
.
.
.
.
.
.
.
........
.
.
.
...
.
.....
........
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
........
...
......
............
.....
.
.
.
.
.
.........
........
........
.......
.
.
.
.. .. ...
.. ... ....
.. ... ....
.. ... ....
.
.
.
.. .... ....
. .. ...
. .. ...
. ... ...
.
.
.
.
.
.
.
.
. . ..
. . .
. . .
. . .
... .. ....
... .. .....
... .. .....
... ... .....
...
...
...
...
... ....
... ....
... ....
... ....
...
...
...
...
..
..
..
...
...
...
...
...
...
...
..
...
..
..
...
...
.
.
...
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
...
.
.
...
...
...
.
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
.
...
...
...
...
...
...
...
..
..
..
...
.
.
.
...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
...
...
..
..
..
...
...
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
...
...
...
...
...
...
...
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
.
...
..
..
..
...
...
...
...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
.
.
.
.
.
..
..
..
.
.
.
.
..
..
..
..
a
b c
B
B
d
c
Bei der 2. Wahl :
Wahlmöglichkeiten verschieden , aber
−
Zahl der Möglichkeiten gleich ( 3 )
1.1
a b
entspricht ( c , d )
−
→
d
Insgesamt 4 · 3 = 12 Möglichkeiten
QM1_17
19
?
] k-Permutationen = ?
♣
G endliche Menge , | G | = n , k ≤ n
→
Erzeugen der k-Permutationen mit Entscheidungsbaum
−
in k Schritten
− 1. : 1. Komponente – n Möglichkeiten
− 2. : 2. Komponente – jeweils (n − 1) Möglichkeiten
− 3. : 3. Komponente – jeweils (n − 2) Möglichkeiten
. . . . . . . . . . . .
− k. : k. Komponente – jeweils (n − (k − 1)) Möglichkeiten
→
Anzahl der Möglichkeiten insgesamt :
n · (n − 1) · (n − 2) · . . . · (n − (k − 1))
Umformung :
n · (n − 1) · (n − 2) · . . . · (n − (k − 1)) · (n − k) · (n − (k + 1)) · . . . · 1
(n − k) · (n − (k + 1)) · . . . · 1
→
1.1
Das ist
n!
(n − k) !
QM1_17
20
•
] k-Permutationen aus G mit | G | = n :
n!
(n − k)!
?
−
|G| = 4 ,
k = 2
] k-Permutationen :
1·2·3·4
4!
=
= 3 · 4 = 12
(4 − 2) !
1·2
B
−
?
→
Formel bequeme Schreibweise
als Rechenvorschrift weniger geeignet
3×ZoZmR aus Urne mit 7 Elementen
] Möglichkeiten :
7!
= 5 · 6 · 7 = 210
(7 − 3) !
?
−
?
7-köpfiger Verein , zu bilden : 3-köpfiger Vorstand
verschiedene Ämter
] mögliche Vorstände ?
Übersetzung : 3×ZoZmR aus 7 Mitgliedern
→
1.1
] mögliche Vorstände : 210
QM1_17
21
→
Spezialfall k = n
♦ Die n-Permutationen aus G mit | G | = n heißen auch
einfach Permutationen ( von G )
4
Permutationen : Mögliche Reihenfolgen der Elemente von G
•
] Permutationen von G mit | G | = n :
o
n
Begründung wie bei k-Permutationen ( nur einfacher )
4
Die allgemeine Formel stimmt :
n!
n!
n!
n!
=
=
= n!
(n − n) !
0!
1
B
Die Definition 0 ! = 1 erweist sich als sinnvoll
?
Klausur aus 5 Aufgaben
?
] Reihenfolgen der Bearbeitung ?
Die Reihenfolgen sind gerade die Permutationen der Aufgaben
→
1.1
] Reihenfolgen der Bearbeitung : 5 ! = 120
QM1_17
22
?
−
→
Urne U mit Kugeln 0 , . . . , 9 ( Ziffern )
3×ZmZmR ( zufällig )
Ergebnis : 3-stellige Zahl
( wie 385 , 121 , 007 , . . . )
? W. einer Zahl ohne Ziffernwiederholung ?
→
Geeignete Modellierung
Setze U = { 0, 1, . . . , 9 }
Ω = U3 ,
| Ω | = 103 = 1000
Annahme der Gleichverteilung sei angemessen
‚ Verschiedene Ziffern ‘ : Ereignis A
Elemente von A sind gerade die 3-Permutationen aus U
→
?
P( A ) =
W., dass mindestens 2 Ziffern gleich sind ?
→
B
1.1
8 · 9 · 10
|A|
=
= .72
|Ω|
1000
1 − P( A ) = .28
Gegenereignisse
QM1_17
23
→
Kombinationen.
♦ Sei G endliche Menge , | G | = n , k ≤ n .
Eine k-elementige Teilmenge von G heißt auch k-Kombination
aus G
?
Gegeben ist eine Urne U mit n Kugeln
−
Es wird k Mal ohne Zurücklegen gezogen
−
Reihenfolge wird nicht berücksichtigt
?
Wie viele mögliche Ergebnisse gibt es ?
Abgekürzt : k×ZoZoR
− k× Ziehen ohne Zurücklegen ohne Reihenfolge(berücksichtigung)
→
Finde wieder geeignete Kodierung !
Zugmöglichkeiten ↔ k-Kombinationen aus U
−
Teilmenge der gezogenen Kugeln
→
] Zugmöglichkeiten = ] k-Kombinationen aus U
B
Im Ergebnis dasselbe wie Ziehen aller Kugeln auf einmal
1.1
QM1_17
24
4 Erinnerung : Bei Mengen spielt die Reihenfolge keine Rolle
?
{ a , b , c , d } = { d , b , a , c } ( = { d , b , d , c , a } etc. )
?
Lexikographische Auflistung der 3-Kombinationen aus { a, b, c, d, e }
Elemente sind schon in natürlicher Weise geordnet
Geeignete Kurznotation vereinbaren : abe statt { a , b , e }
Elemente einer Teilmenge in natürlicher Ordnung notieren
→
Auflistung :
abc abd abe acd ace ade bcd bce bde cde
1.1
QM1_17
25
?
] k-Kombinationen aus G ?
→
?
(|G| = n)
Anzahl sei x
Neue Frage : ] k-Permutationen ?
−
Antwort bekannt : n ! / (n − k) !
Trotzdem : Neue Antwort finden !
→
Herstellung der k-Permutationen in zwei Schritten
1. Wahl der k Elemente der Permutation ( ohne Ordnung )
−
x Möglichkeiten
2. Wahl einer Reihenfolge der gewählten Elemente
−
→
Jeweils k ! Möglichkeiten
] k-Permutationen : x · k !
Gleichsetzen :
x·k! =
→
Auflösen :
x =
1.1
n!
(n − k) !
n!
k ! (n − k) !
QM1_17
26
• Sei G endliche Menge , | G | = n , k ≤ n .
Die Anzahl der k-Kombinationen aus G ist dann
n!
k ! (n − k) !
?
3×ZoZoR aus Urne mit 5 Kugeln
n = 5, k = 3
→
B
5!
5!
4·5
2·5
=
=
=
= 10
3 ! (5 − 3) !
3! 2!
1·2
1·1
Kürzungsoperationen möglichst ökonomisch !
♦ Die Zahlen
n
n!
:=
k ! (n − k) !
k
heißen auch Binomialkoeffizienten
Sprechweise : n über k
B
Binomialkoeffizient
.
......
.........
...
..
...
.
kein n !!!
1.1
QM1_17
27
→
Eigenschaften der Binomialkoeffizienten
n
n
=
k
n−k
•
o
n
n
n−k
=
n!
(n − k) ! (n − (n − k)) !
n!
n!
=
=
=
(n − k) ! k !
k ! (n − k) !
4
•
o
n
1.1
n
n
=
= 1
0
n
•
o
n
n
k
n!
n
n!
=
= 1
=
0 ! (n − 0) !
1 · n!
0
Insbesondere :
0
= 1
0
n
n
=
= n
1
n−1
n!
n
n!
=
=
= n
1 ! (n − 1) !
1 · (n − 1) !
1
QM1_17
28
→
Eigenschaften anschaulich :
n
n
=
k
n−k
→
Gegeben G mit | G | = n
Mit Komplementbildung :
k-elementige Teilmengen ↔ (n − k)-elementige Teilmengen
?
?
Mit G = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } :
A = { 1, 3, 4, 6 }
↔
Ac = { 2, 5 }
→ ] k-elementige Teilmengen = ] (n − k)-elementige Teilmengen
n
n
=
= 1
0
n
→
→
Es gibt eine Teilmenge mit 0 Elementen ( ∅ )
→
Es gibt eine Teilmenge mit n Elementen ( G selber )
n
= n
1
→
→
−
1.1
Entsprechung :
Elemente ↔ 1-elementige Teilmengen
a
↔
{a}
QM1_17
29
→ Binomische Formeln
?
?
( a + b )n = ?
(a + b)3 = (a + b)(a + b)(a + b)
= aaa + aab + aba + abb + baa + bab + bba + bbb
= a3 + a2 b + a2 b + ab2 + a2 b + ab2 + ab2 + b3
= a3 + 3 a2 b + 3 ab2 + b3
→
Schritte :
−
Alles ausmultiplizieren
−
Faktoren in Produkten umordnen
−
Gleiche Summanden zusammenfassen
4
Ausmultiplizieren :
−
3 ursprüngliche Faktoren (a + b)
−
Jeder davon liefert entweder a oder b
→
1.1
Alle entstehenden Produkte haben 3 Faktoren ( a oder b )
QM1_17
30
( a + b )n = ?
?
→
Lösung :
( a + b )n als Produkt von n Faktoren (a + b) ausschreiben
Ausmultiplizieren
−
Ergebnis : Summe von Produkten aus Faktoren a , b
−
Jedes Produkt hat n solche Faktoren
Faktoren in den Produkten umordnen
−
Alle Produkte haben die Form ak bn−k ( k = 0, . . . , n )
Gleiche Summanden ak bn−k zusammenfassen
?
Wie oft kommt ak bn−k vor ?
] Möglichkeiten , aus den n Faktoren (a + b)
diejenigen k auszuwählen , die a liefern
ak bn−k
•
n
kommt
Mal vor
k
( a + b )n
n X
n k n−k
=
a b
k
k=0
1.1
QM1_17
31
n
(a + b)
→
n X
n k n−k
=
a b
k
k=0
?
n = 0
0 X
0 k 0−k
0 0 0
(a + b) =
a b
=
a b = 1·1·1 = 1
k
0
0
k=0
?
n = 1
( a + b )1
1 X
1 k 1−k
=
a b
k
k=0
1 0 1−0
1 1 1−1
=
a b
+
a b
0
1
= 1·1·b + 1·a·1 = b + a = a + b
?
n = 2
( a + b )2
2 X
2 k 2−k
=
a b
k
k=0
2 0 2−0
2 1 2−1
2 2 2−2
a b
+
a b
=
a b
+
0
1
2
= 1 · 1 · b2 + 2 · a · b + 1 · a2 · 1
= b2 + 2 ab + a2 = a2 + 2 ab + b2
1.1
QM1_17
32
n
(a + b)
→
n X
n k n−k
=
a b
k
k=0
?
n = 5
( a + b )5
5 X
5 k 5−k
=
a b
k
k=0
5 2 5−2
5 1 5−1
5 0 5−0
+
a b
+
a b
+
=
a b
2
1
0
5 3 5−3
5 4 5−4
5 5 5−5
+
a b
+
a b
+
a b
3
4
5
= 1 · 1 · b5 + 5 · a · b4 + 10 · a2 · b3 +
+ 10 · a3 · b2 + 5 · a4 · b1 + 1 · a5 · 1
= a5 + 5 a4 b + 10 a3 b2 + 10 a2 b3 + 5 ab4 + b5
4
1.1
( a − b )n = ( a + (−b) )n
QM1_17
33
→
Pascalsches Dreieck
→
Übersichtliche Anordnung der Binomialkoeffizienten
n :
0
1
2
3
4
5
.
4
1.1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
1
1
1
1
2
3
4
6
1
5
10
. . . . . . .
k : 0
.
1
.
1
.
1
3
1
4
10
5
. . .
2
3
.
4
.
1
5
.
1
. . .
.
Jeder Koeffizient ist Summe der darüberliegenden
QM1_17
34
→
?
Nochmal : Mächtigkeit der Potenzmenge
Wie viele Teilmengen besitzt eine Menge der Mächtigkeit n ?
→ Beantwortung in zwei Schritten :
Wie viele Teilmengen der Mächtigkeit k gibt es ?
− Dabei : k = 0 , 1 , . . . , n
Aufsummieren dieser Anzahlen
B
−
→
Hier ist zu summieren !
Aufteilung aller Möglichkeiten in disjunkte Klassen
Lösung also :
n
] Teilmengen mit Mächtigkeit k :
k
Summieren :
n n X
X
n
n k n−k
=
1 1
= ( 1 + 1 )n = 2n
k
k
k=0
1.1
k=0
QM1_17
35
?
→
] n-Tupel aus { 0 , 1 } mit genau k Einsen ?
Finde geeignete Kodierung !
n-Tupel mit k Einsen ↔ k-elementige Teilmengen von {1, . . . , n}
−
?
Teilmenge : Stellen der Einsen
( 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0 )
↔
{ 2, 5, 6 }
4
Kodierung ist ( umgekehrt ) schon bekannt
→
n
] n-Tupel mit k Einsen =
k
?
−
?
→
1.1
6-köpfiger Verein braucht 2-köpfigen Vorstand
Vorstände ganz gleichberechtigt
] Möglichkeiten ?
6
6!
6!
5·6
=
=
=
= 15
2
2 ! (6 − 2) !
2!4!
1·2
QM1_17
36
♣
Gegeben : 3 M(änner) , 4 F(rauen)
?
] Möglichkeiten einer 4-köpfigen Delegation mit ≥ 2 F ?
−
→
Delegationsmitglieder sind gleichberechtigt
Lösung im Überblick :
Einteilung der Möglichkeiten in disjunkte Klassen
−
definiert durch die Anzahl der F
Ermittlung der ] Möglichkeiten in den einzelnen Klassen
Aufsummieren dieser Zahlen
→
Lösung konkret :
Klassen gegeben durch 2 , 3 , 4 F
?
1.1
Teilproblem : ] Möglichkeiten mit genau k Frauen ?
QM1_17
37
?
Teilproblem : ] Möglichkeiten mit genau k Frauen ?
?
k = 2
→
Lösung in zwei Schritten :
Wahl von 2 F ( aus 4 )
4
− ] Möglichkeiten :
2
Wahl von ( 4 − 2 ) = 2 M ( aus 3 )
3
− ] Möglichkeiten :
2
→
Jede F-Wahl kann mit jeder M-Wahl kombiniert werden
→
4
3
] Gesamtmöglichkeiten :
= 6 · 3 = 18
2
2
?
→
?
→
1.1
Entsprechend für k = 3 :
4
3
] Gesamtmöglichkeiten :
= 4 · 3 = 12
3
1
Entsprechend für k = 4 :
4
3
] Gesamtmöglichkeiten :
= 1· 1 = 1
4
0
QM1_17
38
→ Zurück zur Lösung :
3 disjunkte Klassen von Möglichkeiten
−
2 , 3 oder 4 F
jeweilige ] Möglichkeiten :
−
18 ( 2 F ) ,
12 ( 3 F ) ,
1 (4 F),
→
] Möglichkeiten insgesamt : Summieren
→
18 + 12 + 1 = 31
→
Alternativlösung über das Gegenteil :
Gegenteil von ≥ 2 F : < 2 F
Hier : 1 F
( da insgesamt 3 M )
] Möglichkeiten mit 1 F : 4
7
] Möglichkeiten für irgendeine Delegation :
= 35
4
→
1.1
] Möglichkeiten mit ≥ 2 F : 35 − 4 = 31
QM1_17
39
→
Hypergeometrische Verteilung
♣
Standardbeispiel : Urne mit n Kugeln
−
( rot oder blau )
Davon : m rot und n − m blau
k×ZoZoR
( oder : auf einmal k Kugeln ziehen )
(0 ≤ r ≤ k)
?
W. für r rote Kugeln ?
B
Voraussetzung : Alle Möglichkeiten gleich wahrscheinlich
−
→
Kugeln seien physikalisch nicht ‚ wesentlich verschieden ‘
W. dann über Quotienten
] günstige Möglichkeiten
] Möglichkeiten insgesamt
n
] Möglichkeiten insgesamt =
k
?
1.1
] günstige Möglichkeiten = ?
QM1_17
40
?
] günstige Möglichkeiten = ?
Günstige Möglichkeit hier : r rote und k − r blaue Kugeln
→
Herstellung dieser Möglichkeiten in zwei Schritten
Wahl von r roten Kugeln ( aus m )
m
− ] Möglichkeiten :
r
Wahl von k − r blauen Kugeln ( aus n − m )
n−m
− ] Möglichkeiten :
k−r
→
Jede Wahl kann mit jeder kombiniert werden
→
m
n−m
] günstige Möglichkeiten :
r
k−r
→
W. für r rote Kugeln :
m
n−m
r
k−r
n
k
1.1
QM1_17
41
• n Kugeln , m rot ( Rest blau ) , k×ZoZoR ,
− Möglichkeiten gleichwahrscheinlich
→
W. für r rote Kugeln in der Ziehung :
m
n−m
r
k−r
n
k
?
n = 12 ,
m = 8,
?
W. für r = 4 rote Kugeln
k = 6
8
4
8
12 − 8
5
70 · 6
4
2
4
6−4
=
= .4545
= =
12
12
924
11
6
6
?
W. für r = 1 rote Kugel
8
12 − 8
8
4
1
6−1
1
5
= = ??
12
12
6
6
4
Geht auch nicht : 6 − 1 = 5 blaue Kugeln aus 4 ziehen ?
B
Herleitung war zu oberflächlich
1.1
QM1_17
42
♦
Definitionserweiterung :
n
:= 0
k
für ganzes k mit k < 0 oder k > n
→
Dann :
?
n = 12 ,
?
W. für r = 1 rote Kugel
m = 8,
k = 6
8
12 − 8
8
4
8·0
1
6−1
1
5
= =
= 0
12
12
924
6
6
→
Passt !
B
Definitionserweiterung vermeidet lästige Fallunterscheidungen
1.1
QM1_17
43
?
−
Lotto : 6 aus 49
Zusatzzahl wird nicht berücksichtigt
?
Wie wahrscheinlich sind r Richtige ? ( r = 0 , 1 , . . . , 6 )
?
Wo liegt der Zufall ?
−
Im Tipp ??
−
In der Ziehung !
→
−
→
Voraussetzung : Alle Ziehungen sind gleich wahrscheinlich
Plausibel ( ? )
Korrekte Art der Problemstellung :
−
Der Tipp liegt vor ( 6 Zahlen )
−
Die Kugeln werden ‚ zufällig ‘ gezogen
?
1.1
W. , dass r von den 6 getippten Zahlen gezogen werden = ?
QM1_17
44
?
→
−
→
?
→
−
→
W. , dass r von den 6 getippten Zahlen gezogen werden = ?
Hilfsvorstellung :
Die getippten Zahlen sind rot , die anderen blau ( ätherisch )
Frage dann :
W. für r rote Kugeln bei 6×ZoZoR
Zurückführung des Problems auf das Standardbeispiel
mit n = 49 , m = 6 , k = 6
Lösung : Die W. für r Richtige ist
6
43
6
49 − 6
r
6−r
r
6−r
=
49
49
6
6
?
r = 6
6
43
1·1
1
6
6−6
=
=
49
13 983 816
13 983 816
6
1.1
QM1_17
45
♣
−
Allgemeine Situation : n Kugeln
Davon : m rot und n − m blau
k×ZoZoR
→
−
( rot oder blau )
( oder : auf einmal k Kugeln ziehen )
Neue Sichtweise :
Die Zahl R der gezogenen roten Kugeln ist Zufallsvariable
Abkürzung : Zva
Diese Zva hat eine Verteilung
Beschreibung der Verteilung durch ihre W-Funktion : fR
4
fR gibt für jedes mögliche r die W. P( R = r ) an
→
Hier also :
−
→
fR ordnet r die W. für Ziehung mit r roten Kugeln zu
Die W.-Funktion ist hier gegeben durch
m
n−m
r
k−r
fR (r) =
n
k
1.1
(r = 0, ... ,k)
QM1_17
46
♦ Ist n > 0 , 0 ≤ m , k ≤ n , und ist die Verteilung einer Zva R
durch die W-Funktion fR mit
m
n−m
r
k−r
fR (r) =
(r = 0, ... ,k)
n
k
gegeben , so heißt die Verteilung von R auch hypergeometrische
Verteilung mit den Parametern n , m , k
Abkürzung für diese Verteilung : H(n , m , k)
Abkürzung dafür , dass R diese Verteilung hat : R ∼ H(n , m , k)
?
Ist R Zahl der Richtigen im Lotto 6 aus 49 , so gilt
R ∼ H(49 , 6 , 6)
?
−
→
Gegeben : 3 M(änner) , 5 F(rauen)
Durch Losen wird eine 4-köpfige Delegation gebildet
Ist R die Zahl der F in der Delegation , so gilt
R ∼ H(8 , 5 , 4)
1.1
QM1_17
47
?
Die H(49 , 6 , 6)-Verteilung
?
Lotto , 6 aus 49
−
R : Zahl der Richtigen
−
R ∼ H(49 , 6 , 6)
Verteilung von R über die W-Funktion
−
Exakte Werte : hier ungekürzt , gleicher Nenner
r
0
1
2
3
4
5
6
P(R = r) exakt P(R = r) gerundet
6096454/13983816
0.435965
5775588/13983816
0.413019
1851150/13983816
0.132378
246820/13983816
0.017650
13545/13983816
0.000969
258/13983816
0.000018
1/13983816
7.15×10−8
13983816/13983816
1
P(R = r)
.5
.1
0
1.1
r
r
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
.
...
...
...
...
...
.
..
.
r
.
r
.
r
.
0
1
2
3
4
5
6
r
r
r
QM1_17
48
?
Lotto , 6 aus 49
?
W. für mindestens 3 Richtige ?
Anders formuliert : P( R ≥ 3 ) = ?
→ ‚ R ≥ 3 ‘ setzt sich zusammen aus
‚ R = 3‘ , ‚ R = 4‘ , ‚ R = 5‘ , ‚ R = 6‘
Möglichkeiten sind ‚ disjunkt ‘
→
Wn addieren sich
P( R ≥ 3 ) = P( R = 3 ) + P( R = 4 ) + P( R = 5 ) + P( R = 6 )
= .017650 + .000969 + .000018 + .0000000715
= .01864
1.1
QM1_17
49
?
Die H(8 , 5 , 4)-Verteilung
?
Auslosen einer Delegation von 4 aus 3 M und 5 F
−
R : Zahl der F
−
R ∼ H(8 , 5 , 4)
Verteilung von R über die W-Funktion
−
Exakte Werte : hier ungekürzt , gleicher Nenner
r P(R = r) exakt P(R = r)
0
0/70
1
5/70
2
30/70
3
30/70
4
5/70
70/70
gerundet
0
0.071429
0.428571
0.428571
0.071429
1
P(R = r)
.5
.1
0
1.1
r
.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
0
1
2
r
r
r
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
3
4
r
r
QM1_17
50