Stichprobenverfahren - Fakultät Statistik

Stichprobenverfahren
JProf. Dr. Hans Manner
Fakultät Statistik
Technische Universität Dortmund
Email: [email protected]
Sommersemester 2015
Stand: 01.04.2015
§-1 Aktueller Bezug
1
§0 Einführung in die Stichprobenverfahren
0.1 Voraussetzungen und Notationen
• Die Menge potentieller Untersuchungseinheiten {U1, U2, . . . , UN } heißt
Grundgesamtheit (kurz: GG) vom Umfang N .
• Jeder Untersuchungseinheit Ui wird ein eindeutig fester Merkmalswert Yi zugeordnet.
• Es wird eine zufällige Stichprobe vom Umfang n gezogen.
• Die ”Ergebnisse” yi, i = 1, . . . , n, repräsentieren Zufallsvariablen.
• Notation bei Stichprobenverfahren
in der Grundgesamtheit: Großbuchstaben, feste Werte (meist) unbekannt
in der Stichprobe: Kleinbuchstaben, zufällige Werte, Realisationen von Zufallsvariablen
0.2 Gütekriterien im Rahmen der Stichprobentheorie
• Erwartungstreue: Sei θ der interessierende Parameter, dann heißt T (y1, . . . , yn)
erwartungstreu für θ , falls E(T (y1, . . . , yn)) = E(T ) = θ .
• Varianzvergleich: Seien T1 und T2 zwei erwartungstreue Schätzer für θ , dann heißt T1
”besser” als T2, falls Var(T1) < Var(T2).
• MSE-Vergleich: Seien T1 und T2 zwei beliebige Schätzer für θ , dann heißt T1 ”besser”
als T2, falls MSE(T1) < MSE(T2).
(Hinweis: MSE(T ) = Var(T ) + [E(T ) − θ]2)
2
§1 Einfache Zufallsauswahl
Definition 1.1
Eine Stichprobe vom Umfang n aus einer Grundgesamtheit vom Umfang N heißt
einfache Zufallsstichprobe ohne Zurücklegen (kurz: eZoZ), wenn sie die gleiche
Auswahlwahrscheinlichkeit wie alle anderen möglichen Stichproben gleichen Umfangs
besitzen.
Beispiel 1.2
N = 4, Merkmalswerte {1, 3, 5, 7}, Stichprobe vom Umfang n = 2.
Mögliche Stichproben
{1, 3} {1, 5} {1, 7} {3, 5} {3, 7}
Auswahlwahrscheinlichkeiten
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
⇒ einfache Zufallsstichprobe
Auswahlwahrscheinlichkeiten
1/2
0
0
0
0
6⇒ einfache Zufallsstichprobe
{5, 7}
1/6
1/2
3
Bemerkung 1.3
(i) Man unterscheidet Modelle ohne Zurücklegen (eZoZ) und mit Zurücklegen (eZmZ).
(ii) Modell ohne Zurücklegen:
y1, . . . , yn identisch verteilt, aber stochastisch abhängig.
(iii) Modell mit Zurücklegen:
y1, . . . , yn unabhängig und identisch verteilt.
(iv) Problem: viele statistische Analysen (z. B. Lineares Modell, statistische Tests) setzen
stochastische Unabhängigkeit voraus; in der Praxis werden aber meist Modelle ohne
Zurücklegen angewendet.
Definition 1.4
Es bezeichnet in der Grundgesamtheit
N
1 X
Yi
Merkmalsdurchschnitt
Ȳ . :=
N i=1
N
X
Y. :=
Yi = N Ȳ .
Merkmalssumme
i=1
N
2
1 X
2
Yi − Ȳ .
SY :=
N − 1 i=1
N
k
1 X
µk :=
Yi − Ȳ .
N i=1
Merkmalsvarianz
k-tes zentrales Moment
4
Definition 1.4 (Fortsetzung)
Es bezeichnet in der Stichprobe
n
1X
ȳ. :=
yi
n i=1
n
X
1
2
2
(yi − ȳ.)
sy :=
n − 1 i=1
Stichprobenmittel
Stichprobenvarianz
Satz 1.5
Für eine einfache Zufallsstichprobe ohne Zurücklegen gilt:
(i) E(ȳ.) = Ȳ .
1
n
1
2
(ii) Var(ȳ.) =
K µ2
1−
SY =
n
N
n
2
2
(iii) E(sy ) = SY
1
n−3
2
2
(iv) Var(sy ) =
K1 µ4 −
K2 µ2
n
n(n − 1)
n−1
der Endlichkeitskorrektur der Mittelwertschätzung und den
mit K = 1 −
N −1
Endlichkeitskorrekturen der Varianz
(n − 1) N 3 − (n2 + 1) N 2 + (n2 + n) N
K1 =
(n − 1) (N − 1) (N − 2) (N − 3)
5
und
−(n − 3) N 4 + (n2 − 3n − 6) N 3 + (9n + 3) N 2 − (3n2 + 3n) N
.
K2 =
−(n − 3) (N − 1)2 (N − 2) (N − 3)
Beweis:
(i)–(iii): Übungsaufgabe
(iv): Beweisskizze in der Vorlesung; ausführlicher Beweis von (iv) in Kreienbrock, L. (1986),
Statistische Hefte 27, 23–35 (jetzt Statistical Papers).
Endlichkeitskorrekturen sind von besonderer Wichtigkeit für den Vergleich von eZoZ und
eZmZ, denn es gilt
Satz 1.6
Falls n fest, so gilt
lim K = lim K1 = lim K2 = 1.
N →∞
N →∞
N →∞
6
Korollar 1.7
Für eine einfache Zufallsstichprobe mit Zurücklegen gilt:
(i) E(ȳ.) = Ȳ .
1
µ2
(ii) Var(ȳ.) =
n
2
(iii) E(sy ) = µ2
n−3
1
2
2
µ4 −
µ2
(iv) Var(sy ) =
n
n(n − 1)
Bemerkung 1.8
Satz 1.5 entspricht der praktizierten Auswahl, Korollar 1.7 entspricht der praktizierten
Auswertung (bzw. Voraussetzung vieler statistischer Verfahren)
⇒
Größenordnung der K’s ist von zentraler Bedeutung, ob eine eZoZ als eZmZ interpretiert
werden darf
⇒
vor der Weiterverarbeitung der Daten (Lineares Modell, Test, ...) muss überprüft werden,
ob die relativen Abweichungen der Endlichkeitskorrekturen von 1 nicht zu groß sind, d. h.
(*) (1 − K) < (**) (1 − K1) < 1
(***) (1 − K2) < 2
7
Gültigkeit dieser Abweichungen:
(1 − K) < ⇔
Var(ȳ.(mZ)) − Var(ȳ.(oZ))
Var(ȳ.(mZ))
<
n
1−
n−1
< ⇔ f :=
<+
N −1
N
N
d. h. es gilt ungefähr ”relative Abweichung” =
ˆ Auswahlsatz f .
Beachte: Diese Aussage ist unabhängig(!) von der Varianz SY2 der Grundgesamtheit.
⇔
Die Ungleichungen (**) und (***) sind keine relativen Varianzabweichungen, da die
Varianzen aus Satz 1.5(iv) und Korollar 1.7(iv) Summanden in Abhängigkeit von µ2 und
µ4 sind, d. h. (**) und (***) müssen separat berechnet werden und es müssen µ2 und
µ4 berücksichtigt werden.
Zentraler Grenzwertsatz für die einfache Zufallsauswahl
Das Auswahlmodell der eZoZ führt zu dem statistischen Modell
• y1, . . . , yn sind identisch verteilt.
• E(y1) = Ȳ .
N −1 2
SY
• Var(y1) = µ2 =
N
• y1, . . . , yn sind stochastisch abhängig.
1
1 2
• Cov(y1, y2) = −
µ 2 = − SY
N −1
N
8
⇒ keine Anwendung des (normalen) Zentralen Grenzwertsatzes, da yi stochastisch
abhängig.
Dennoch kann ein Grenzwertsatz angegeben werden:
Hájek, J. (1960). Limiting distributions in simple random sampling from a finite population.
Publications of the Mathematical Institute of the Hungarian Academy of Sciences 5,
361–374.
Voraussetzungen 1.9
Sei eine unendliche Folge von Urnen der Größe Nν gegeben, aus denen eZoZ vom Umfang
nν gezogen werden. Weiterhin sei
•
•
•
•
nν → ∞ und (Nν − nν ) → ∞, falls ν → ∞.
Iν := {1, . . . , Nν }
Yνi, i ∈ Iν Merkmalswert in der GG ν
yνi, i = 1, . . . , nν Merkmalswert in der Stichprobe ν
)
(
r
Xnν
yνi
für beliebige τ > 0.
• Iντ := i ∈ Iν : |Yνi − Ȳν.| > τ Var
i=1
1 X
Yνi
• Ȳν. :=
Nν i∈I
ν
9
Satz 1.10 (Hájek, 1960)
Unter den Voraussetzungen 1.9 gilt
ȳν. − E(ȳν.)
* N (0, 1),
p
ν→∞
Var(ȳν.)
dann und nur dann, wenn
P
Yνi − Ȳν.
i∈Iντ
lim P
ν→∞
Yνi − Ȳν.
2
2 = 0.
i∈Iν
(Bedingung vom Lindeberg-Typ)
Beweisidee: Weise nach, dass eZoZ asymptotisch äquivalent zu einem Auswahlverfahren
mit stochastisch unabhängigen Zufallsvariablen ist.
Bemerkung 1.11
Gilt für fν := nν /Nν die Beschränkung 0 < < fν < 1 − für ν > ν0, so kann man
auch die schwächere Noether-Bedingung
2
max Yνi − Ȳν.
i∈Iν
lim P
2 = 0.
ν→∞
Yνi − Ȳν.
i∈Iν
verwenden.
10
Definition 1.12
Seien x1, . . . , xN unabhängig identisch verteilte Zufallsvariablen mit W = P (x1 = 1),
x := [x1, . . . , xN ]T und X ∈ {0, 1}N eine Realisation von x.
Sei weiterhin I := {1, . . . , N } und s(I) ⊆ I eine beliebige Stichprobe aus I. Dann heißt
s(I) nach einer Poisson-Auswahl erzeugt (kurz: Poisson-Stichprobe), falls gilt
i ∈ I, Xi = 1 ⇔ i ∈ s(I).
Beispiel: N=10 , d. h. I = {1, 2, . . . , 10}
X = [0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0] ⇒ s(I) = {4, 5, 8}.
Bemerkung 1.13
(i) Der Auswahlumfang einer Poisson-Auswahl ist eine Zufallsvariable k.
(ii) Eine eZoZ mit Bin(N, n/N )-verteilten Stichprobenumfang k führt zur PoissonAuswahl. ( ÜA)
11
Lemma 1.14 (fundamentales Grenzwertlemma der Stichprobentheorie)
Voraussetzungen:
(i) n < N fest
(ii) k ∼ Bin(N, n/N ) und k0 sei eine Realisierung von k.
(iii) sn(I) eZoZ vom Umfang n und sk0 (I) Poisson-Stichprobe vom Umfang k0 derart, dass
(iv) η :=
X
sn(I) = sk0 (I)
falls
n = k0
sn(I) ⊂ sk0 (I)
falls
n < k0
sn(I) ⊃ sk0 (I)
falls
n > k0
∗
X
(yi − Ȳ .), η :=
(yi − Ȳ .)
i∈sk (I)
0
i∈sn (I)
Behauptung:
∗ 2
E(η − η )
≤
Var(η ∗)
s
1
1
+
n
N −n
Beweis:
η − η ∗ 

0






P
(yi − Ȳ. )
= i∈sn (I)6=sk0 (I)






i∈s
P
falls k0 = n
falls k0 < n
(yi − Ȳ. ) falls k0 > n
k0 (I)6=sn (I)
12
d.h. für eine Realisation k0 von k liegt eine Stichprobe von Umfang |k0 − n| vor
h
i
∗ 2
∗ 2
∗
⇒ E[(η − η ) ] = E E(η − η ) | k = E Var(η − η ) | k




|k − n| X
|k − n| N − |k − n| X
2
2
·
·
(Yi − Ȳ. )  ≤ E 
·
(Yi − Ȳ. ) 
= E
N
N −1
N
i∈I
q
i∈I
E(k − n)2 = µ2 ·
√
Var k
= µ2 · E|k − n| ≤ µ2 ·
s
s
n
n
n
= µ2 · N ·
· 1−
= µ2 · n · 1 −
N
N
N


h
i
1
k N −k X
2
∗
2

(Yi − Ȳ. )
=
Var η = E Var(η | k) = E
·
·
· µ2 · E N k − k
N N −1
N −1
∗
i∈I
h
i
1
n
1
2
2
=
· µ2 · N · E k − Var k − (E k) =
· µ2 · N · n − n · 1 −
−n
N −1
N −1
N
h
i
n
n
n
2
=
· µ2 · N − 1 +
−n =
· µ2 · N − N + n − nN
N −1
N
N · (N − 1)
n
n
· µ2 · [N · (N − 1) − n · (N − 1)] = n · 1 −
· µ2
=
N · (N − 1)
N
∗ 2
⇒ (insgesamt):
E (η − η )
≤
Var η ∗
s
1
n) =
n · (1 − N
s
1
1
+
n
N −n
13
Bemerkung 1.15
(i) Lemma 1.14 besagt, dass die einfache Zufallsauswahl und die Poisson-Auswahl zu
asymptotisch gleichen Verteilungen führen.
(ii) Da die Poisson-Auswahl auf u.i.v. Zufallsvariablen beruht, ist der ”normale” Zentrale
Grenzwertsatz hierauf anwendbar, d. h. ”Rest”-Beweis von Satz 1.10 durch Anwendung
des Zentralen Grenzwertsatzes von Lindeberg(-Feller) auf Poisson-Stichprobe (siehe
Hájek, 1960)
(iii) Lemma 1.14 angewandt auf mit ν indizierte Urnen
2
E (ην − ην∗ )
=0
lim
ν→∞
Var(ην∗ )
(iv) Anwendungsregeln für die Gültigkeit
n > 50
µ23
n > 25 3
µ2
3/2
Beachte: Schiefekoeffizient µ3/µ2 ; unbekannte Struktur von Y1, . . . , YN beeinflusst
die Verteilung von y1, . . . , yn.
14
Satz 1.10 ist von großer praktischer Relevanz:
Korollar 1.16
ȳ. − u1−α/2
q
q
c (ȳ.) ; ȳ. + u1−α/2
Var
c (ȳ.)
Var
c (ȳ.) =
ist approximativ
ein
(1
−
α)
-Konfidenzintervall
für
Ȳ
.
Hierbei
ist
Var
2
1
n
1
−
n
N sy .
Korollar 1.17
Es gilt für den notwendigen Stichprobenumfang n∗, so dass das (1 − α)-Konfidenzintervall
für Ȳ . höchstens eine Länge von 2 d hat,
n0
∗
,
n >
1 + n0/N
wobei
n0 =
u1−α/2 sy
d
2
.
15
Gebundene Hochrechnung
Bislang ist man immer davon ausgegangen, dass bei der Erhebung an Ui ein Merkmal
Yi, i = 1, . . . , N , beobachtet werden kann, und dies die einzige Information über die
Grundgesamtheit darstellt.
Die Schätzung von Ȳ . heißt dann freie Hochrechnung.
Häufig liegen aber weitere Informationen vor, z. B.
•
•
•
•
aus früheren Auswahlen oder Vollerhebungen
durch Pilotstudien
Informationen der amtlichen Statistik
...
Diese Informationen sollen ausgenutzt werden und eine daran gebundene Hochrechnung
erfolgen.
Voraussetzung 1.18
Neben dem Merkmal Yi besitzt jede Untersuchungseinheit Ui noch ein Merkmal Xi,
i = 1, . . . , N .
16
Differenzenschätzung
Satz 1.19
Bei einer eZoZ sei neben dem Merkmal Y ein Merkmal X erhoben und zusätzlich sei der
Merkmalsdurchschnitt X̄. bekannt. Dann gilt
(i) Ȳˆ. = (ȳ. − x̄.) + X̄. ist ein erwartungstreuer Schätzer für Ȳ ..
h
i
n
1
2
2
ˆ
1−
SY + SX − 2 ρ SX SY
(ii) Var(Ȳ .) =
n
N
n
X
n
1
1
2
ˆ
c (Ȳ .) =
(yi − xi − ȳ. + x̄.)
(iii) Var
1−
n
N
n − 1 i=1
ist ein erwartungstreuer Schätzer für Var(Ȳˆ.).
Beweis: (i) klar!
(ii) Sei di = (yi − xi ), i = 1, . . . , n, und Di = (Yi − Xi ), i = 1, . . . , N . Dann gilt
Var(Ȳˆ.)
=
=
=
¯ = 1
Var(ȳ. − x̄.) = Var(d.)
n
1
n
1
n
n
1−
N
N
2
1 X
Di − D̄.
N −1
i=1
N
n
1−
N
n
1−
N
2
2
SY + SX − 2ρSX SY
1 X
2
2
(Yi − Ȳ .) + (Xi − X̄.) − 2(Yi − Y.)(Xi − X.)
N −1
i=1
(iii) klar!
17
Bemerkung 1.20
(i) Differenzenschätzer werden immer dann genutzt, wenn ein Zusammenhang der Form
Y = X + a, a ∈ IR, zu vermuten ist (z. B. bei Wahlen, Ernteerträgen, . . . )
(ii) Der Differenzenschätzer ist besser als der Mittelwertschätzer ȳ. aus freier
Hochrechnung, falls
2
SX
− 2 ρ SX
1 SX
<ρ
SY < 0 ⇔
2 SY
Verhältnisschätzung
Satz 1.21
Bei einer eZoZ mit erhobenen Merkmalen Y und X und bekanntem Merkmalsmittel X̄.
sei
ȳ.
der Verhältnisschätzer für Ȳ .,
(i) Ȳˆ. = X̄.
x̄.
ȳ.
Ȳ .
(ii) R̂ =
der Verhältnisschätzer für R =
.
x̄.
X̄.
Dann gilt für die Verzerrung von R̂:
B(R̂) = −
1
Cov(R̂, x̄.)
E(x̄.)
18
Beweis:
Cov R̂, x̄.
=
=
ȳ.
ȳ.
x̄. − E
E
E(x̄.) = E(ȳ.) − E(R̂) E(x̄.) = Ȳ . − E(R̂) X̄.
x̄.
x̄.
X̄. R − E(R̂) = E(x̄.) −Bias(R̂)
=⇒ Beh.
Korollar 1.22
Unter den Voraussetzungen von Satz 1.21 gilt
|B(R̂)| ≤ CV(x̄.)
q
Var(R̂)
mit CV(x̄.) dem Variationskoeffizienten von x̄.
Beweis: ÜA
Dieses Korollar ist schön, aber wenig nützlich, da Var(R̂) wegen der Verzerrung von R̂
keine Aussagen ermöglicht. Deshalb wird B(R̂) anders angenähert.
19
Satz 1.23
Unter den Voraussetzungen von Satz 1.21 ist
B̃(R̂) = R CV(x̄.) [CV(x̄.) − ρ(ȳ., x̄.)CV(ȳ.)]
Beweis: Vorlesung
ˆ.
Betrachte den mittleren quadratischen Fehler von R̂ und Ȳ
Satz 1.24
Unter den Voraussetzungen von Satz 1.21 ist
i
n
1 h 2
1
2
2
] (R̂) =
SY + R SX − 2 ρ R SX SY
1−
(i) MSE
n
N X̄.2
eine Näherungswert für MSE(R̂) = E(R̂ − R)2.
h
i
1
n
2
2
2
ˆ
] (Ȳ .) =
(ii) MSE
1−
SY + R SX − 2 ρ R SX SY
n
N
ˆ.) = E(Ȳˆ. − Ȳ .)2.
eine Näherungswert für MSE(Ȳ
Beweis: analog zu Satz 1.23 mit MSE(R̂) = E(R̂ − R)2 = f (θ).
20
Bemerkung 1.25
(i) Die gebundene Hochrechnung liefert einen kleineren quadratischen Fehler als die freie
] (Ȳˆ.,geb) < MSE(ȳ.,frei), falls
Hochrechnung, d. h. MSE
CV(X)
< 2 ρ,
CV(Y )
denn
] (Ȳˆ.,geb ) < MSE(ȳ.,frei )
MSE
2
2
⇔
R SX − 2 ρ R SX SY < 0
⇔
CV(X)
<2ρ
CV(Y )
⇔
R S X < 2 ρ SY
⇔
SX
SY
<2ρ
X̄.
Ȳ .
(ii) Sind X und Y proportional, d. h. Yi = a Xi, i = 1, . . . , N , so gilt
] (R̂) = 0,
MSE
2
2
denn Yi = a Xi =⇒ SY
= a2 SX
, R = a, ρ = 1.
21
(iii) Hängen X und Y linear voneinander ab, d. h. Yi = a + b Xi, i = 1, . . . , N , so
] (Ȳˆ.,geb),
ist die freie Hochrechnung besser als die gebundene, d. h. MSE(ȳ.,frei) < MSE
falls
b2 1
n
X̄.2 MSE(1/x̄.)
> 2
1−
2
SX
a n
N
denn mit Yi = a + bXi folgt
ȳ.
X̄.
x̄.
1
MSE(ȳ.,frei ) =
n
ˆ
MSE(Ȳ
.,geb ) = MSE
und
2
= X̄. MSE
n
1−
N
a + bx̄.
x̄.
1
2
SY =
n
2
2
2
2
= X̄. a MSE
n
1−
N
1
x̄.
b SX
⇒ Verhältnisschätzung ist gut bei proportionaler Abhängigkeit, schlecht bei linearer
Abhängigkeit mit großem Achsenabschnitt.
22
Verbesserung des Verhältnisschätzers durch Modifizierung des Auswahlverfahrens
Definition 1.26
Sind die Werte Xi, i = 1, . . . , N , bekannt und wählt man die erste Einheit der Stichprobe
mit Wahrscheinlichkeit proportional zur Größe X einer Einheit sowie die restlichen (n − 1)
Einheiten als eZoZ, so heißt dieses Verfahren ppas-Auswahl (probability proportional to
aggregated size).
Satz 1.27
Bei ppas-Auswahl gilt:
ȳ.
ˆ.) = E X̄.
= Ȳ .
(i) E(Ȳ
x̄.


Pn
2
X(
yi)
1
1
2
ˆ
−
Y.
(ii) Var(Ȳ .) = 2  N −1 X.
Pi=1
n
N
i=1 xi
n−1
(∗)
"
#
Pn
2
N −1 Pn−1 Pn
y + 2 n−1
i=1
j=i+1 yi yj
c (Ȳˆ.) = 1 (N Ȳˆ.)2 − X. i=1 i
(iii) Var
P
n
N2
i=1 xi
ˆ.)
ist ein erwartungstreuer Schätzer für Var(Ȳ
P
(
bedeutet Summe über alle möglichen Stichproben)
(∗)
Beweis: Vorlesung
23
Regressionsschätzung
Verhältnisschätzung ist dann schlecht, wenn eine Beziehung Y = A + B X besteht; dies
führt zur Idee der Regressionsschätzung
Satz 1.28
Für eine eZoZ und b0 ∈ IR fest gilt
ˆ. = ȳ. + b (X̄. − x̄.) ist ein erwartungstreuer Schätzer für Ȳ .
(i) Ȳ
0
n
1
2
2 2
ˆ.) =
1−
(SY − 2 b0 SXY + b0SX )
(ii) Var(Ȳ
n
N
n
1
2
2 2
c (Ȳˆ.) =
1−
(sy − 2 b0 sxy + b0sx) ist ein erwartungstreuer Schätzer
(iii) Var
n
N
ˆ.)
für Var(Ȳ
Beweis: ÜA
Bemerkung 1.29
ˆ.) → min! ⇔ b = SXY . Für die Varianz gilt in diesem Fall
(i) Var(Ȳ
0
2
SX
ˆ.) = 1
Var(Ȳ
n
1−
n
N
2
SY −
2
SXY
2
SX
!
24
(ii) Kennt man b0 nicht, so kann man den gewöhnlichen KQ-Schätzer an dessen Stelle
setzen; der Satz 1.28 gilt dann allerdings nur noch approximativ. Insbesondere gilt
dann für die Varianz
n
1
2
2
ˆ.) =
1−
SY (1 − ρ )
Var(Ȳ
n
N
Auswahl mit ungleichen Auswahlwahrscheinlichkeiten
Bis auf die Modifizierung der ppas-Auswahl wurde bislang immer von gleichen
Auswahlwahrscheinlichkeiten ausgegangen. Das ist nicht immer sinnvoll, z. B.
• Auswahl von Gemeinden
• Auswahl von landwirtschaftlichen Nutzflächen
d. h. wenn die (absolute) Realisierung von einer externen Größe der
Untersuchungseinheit abhängt.
⇒ Der Satz von Horvitz / Thompson
25
Voraussetzungen 1.30
Betrachtet wird ein beliebiges Auswahlverfahren, bei welchem jede Untersuchungseinheit
Ui, i = 1, . . . , N , höchstens ein Mal in die Auswahl gelangen kann. Sei
1 , falls Ui in der Stichprobe,
ti :=
0 , sonst,
und ci ∈ IR, i = 1, . . . , N , feste Koeffizienten.
Allgemeiner linearer Schätzer
N
X
` :=
ci ti Yi
i=1
Mit diesem allgemeinen Ansatz können nun beliebige Parametrisierungen und beliebige
Auswahlverfahren betrachtet werden.
Lemma 1.31
Sei Πi die Wahrscheinlichkeit, dass Ui, und Πij die Wahrscheinlichkeit, dass Ui und Uj
in die Stichprobe gelangen. Dann gilt unter den Voraussetzungen 1.30
E(ti) = Πi, i = 1, . . . , N
Var(ti) = Πi(1 − Πi), i = 1, . . . , N
E(ti tj ) = Πij , i 6= j, i, j = 1, . . . , N
Cov(ti, tj ) = Πij − Πi Πj , i 6= j, i, j = 1, . . . , N
N
X
(v) E(`) =
ci Πi Yi
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
i=1
26
Soll ` erwartungstreu für Ȳ . sein, so muss
N ci =
1
, i = 1, . . . , N,
Πi
definiert werden. Für diesen Schätzer gilt der wichtigste Satz der Stichprobentheorie:
Satz 1.32 (Horvitz-Thompson-Varianzformel)
Sei Π0i, i = 1, . . . , n, die Auswahlwahrscheinlichkeit
Untersuchungseinheit in der Stichprobe und
der
i-ten
gezogenen
n
1 X 1
ˆ
Ȳ .HT :=
yi
N i=1 Π0i
der Horvitz-Thompson-Schätzer für Ȳ . Dann gilt


N
N
N

1 
X (1 − Πi) 2 X X Πij − Πi Πj

ˆ
Var(Ȳ .HT) = 2 
Yi +
Yi Yj 

N  i=1
Πi
Πi Πj
i=1 j=1
i6=j
falls Πi > 0 für alle i = 1, . . . , N.
27
Beweis:

ˆ. )
Var(Ȳ
HT
=
=
1
Var 
N2
N
X
i=1
=
1
ti Yi 
Πi
N N
1 XX
Cov
N2
i=1 j=1

1
1
ti Yi ,
tj Y j
Πi
Πj
!
N N
1 X X Yi Yj
= 2
Cov ti , tj
N
Πi Πj
i=1 j=1










N
N
N
2


X
X
X
Y
Y
Yi
1
i j
Πi (1 − Πi ) +
Πij − Πi Πj
2

N2 
Π
Π
Π


i j


i=1 j=1
i=1 i




i6=j
Horvitz, D.G., Thompson, D.J. (1952): A generalization of sampling without replacement
from a finite universe. Journal of the American Statistical Association 47, 663-685.
Mit diesem Satz kann im Prinzip jedes beliebige Auswahlverfahren (mit oder
ohne Zurücklegen) behandelt werden. Bei Auswahlverfahren mit Zurücklegen ist
n in Satz 1.32 die Anzahl der unterschiedlichen Untersuchungseinheiten in der
Stichprobe.
Die Schätzung der Varianz erfolgt durch:
28
Satz 1.33


0
0
0
n
n X
n
0
X

X
Π
−
Π
Π
1
−
Π
1
ij
i
j


2
i
ˆ
\
y
+
Var
y
y


HT (Ȳ .HT ) =
i
j
i
0 Π0 Π0

N 2  i=1 (Π0i)2
Π
ij
i
j
i=1 j=1
i6=j
ˆ. ),
ist unter den Voraussetzungen 1.30 und 1.32 ein erwartungstreuer Schätzer für Var(Ȳ
HT
falls Πij > 0 für alle i 6= j , i, j = 1, . . . , N .
Beweis: Seien f und g beliebige reelle Funktionen, dij ∈ IR beliebige Konstanten, `1 =
und `2 =
n X
n
X
ti ci f (Yi )
i=1
ti tj dij g(Yi ) g(Yj ). Dann gilt
i=1 j=1
i6=j
E(`1 ) =
N
X
ci f (Yi ) Πi
und
E(`2 ) =
i=1
2
Setze f (Y ) = Y , ci =
N
X
1 − Πi 2
E(`1 ) =
Yi
Πi
i=1
N
X
,
dij g(Yi ) g(Yj ) Πij
i=1 j=1
i6=j
1 − Πi
Π2i
N X
N
X
, g(Y ) = Y , dij =
E(`2 ) =
Πij − Πi Πj
Πij Πi Πj
N X
N
X
Πij − Πi Πj
i=1 j=1
i6=j
Πij Πi Πj
, dann gilt
Yi Yj
1
und E
(`1 + `2 ) = Var(Ȳˆ.HT ).
2
N
29
Bemerkung: Ausgesprochen wichtig ist, dass für das Auswahlverfahren
Πi > 0 ∀i
und
Πij > 0 ∀i, j, i 6= j
gelten muss!!!
ABER: Der erwartungstreue Varianzschätzer kann negative Schätzwerte liefern.
Falls der tatsächliche Stichprobenumfang n fest ist, lässt sich die Varianz des HorvitzThompson Schätzers und des unverzerrten Varianzschätzers nach Yates und Grundy (1953,
JRRS B 15, 253-261) wie folgt darstellen:
Satz 1.34
ˆ. gilt:
Für den Horvitz-Thompson-Schätzer Ȳ
HT


2 
N X
N
X
Y
Y
1
i
j


ˆ. ) =
(Π
Π
−
Π
)
−
(i) Var(Ȳ


i
j
ij
HT
N 2  i=1 j=1
Πi
Πj 
i<j
30


0
0
0
n X
n
X
−
Π
Π
Π
1
ij
j
i

ˆ
\
(ii) Var

YG (Ȳ .HT ) =
n2  i=1 j=1
Π0ij
yi
yj
−
Π0i
Π0j
!2




i<j
Aus diesem allgemeinen Ansatz von Horvitz und Thompson kann ein weiteres wichtiges
Resultat hergeleitet werden:
Satz 1.35
Seien z1, . . . , zn unkorrelierte Zufallsvariablen mit E(zi) = µ, i = 1, . . . , n. Dann gilt
n
X
1
2
c
(zi − z̄.)
Var(z̄.) =
n (n − 1) i=1
ist ein erwartungstreuer Schätzer für Var(z̄.)
31
Beweis:
n
1X
E(zi ) = µ,
E(z̄.) =
n
2
2
E(zi zj ) = Cov(zi , zj )+µ = µ (unkorreliert),
2
2
Var(z̄.) = E(z̄. )−µ
i=1
n
X
2
(zi − z̄.)
n
X
=
i=1
!2
−
zi
n
X
2
2
zi zj +
zi − n z̄. =
i=1 j=1
i=1
=
n X
n
X
2
2
(n z̄.) − n z̄. −
i=1
n X
n
X
⇒E
1
n (n − 1)
!
(zi − z̄.)
i=1
2
!2
zi
i=1
2
zi zj = n(n − 1)z̄. −
i=1 j=1
i6=j
n
X
n
X
n X
n
X
−
n X
n
X
2
zi zj − n z̄.
i=1 j=1
i6=j
zi zj
i=1 j=1
i6=j
n
n
XX
1
2
2
= E(z̄. )−
E(zi zj ) = Var(z̄.)+µ −µ = Var(z̄.)
n(n − 1)
2
i=1 j=1
i6=j
Bemerkung: Die Voraussetzung in Satz 1.35 beinhaltet keine identischen Verteilungen,
d. h. insbesondere keine identischen Varianzen.
Konfidenzintervall:
Ȳˆ.HT ±
q
ˆ
\
Var
HT (Ȳ .HT ) u1−α/2
Eine wichtige Anwendung: pps-Verfahren
32
pps-Verfahren
Beispiel: Auswahl aus einer Grundgesamtheit mit Geschlechterverhältnis männlich :
weiblich = 2 : 1 in der Form, dass 100 Männer und 100 Frauen in die Stichprobe gelangen
⇒ Männer haben geringere ”Chance” in die Stichprobe zu gelangen.
⇒ Männer sind ”unterrepräsentiert”.
Definition 1.36
Sei Pi > 0 die Wahrscheinlichkeit beim einmaligen Ziehen Ui aus der Grundgesamtheit
PN
zu entnehmen,
Pj = 1. Sei Xi ein bekanntes zusätzliches Merkmal von Ui
Pj=1
N
und Pi = Xi/ j=1 Xj für alle i = 1, . . . , N . Dann heißt eine solche Auswahl
pps-Auswahl (probability proportional to size) mit Zurücklegen.
Bemerkung: Das obige Auswahlverfahren beschreibt (zunächst) eine Stichprobe vom
Umfang eins.
Realisierungsmöglichkeiten von pps-Auswahlen
Ziehungstechnik 1:
Verfahren zum Ziehen einer Einheit / Zufallszahlen
" k−1
!
k
X
X
Ik :=
Pi ,
Pi , |Ik | = Pk , k = 0, 1, . . . , N, P0 := 0
i=0
i=0
z Zufallszahl aus [0, 1], z ∈ Ik ⇒ wähle Uk
33
Voraussetzung ist, dass alle Pi bekannt sind und die Untersuchungseinheiten angeordnet
werden können!
Ziehungstechnik 2:
Verfahren zum Ziehen einer Einheit / Zufallszahlen
Xmax := max Xi,
i=1,...,N
X0 ≥ Xmax
Algorithmus:
1. Schritt: z1 diskrete Zufallszahl aus {1, . . . , N }, wähle Uz1 vorläufig
2. Schritt: z2 stetige Zufallszahl aus [0, X0]
falls Xz1 ≥ z2 ⇒ wähle Uz1 endgültig ⇒ STOP
falls Xz1 < z2, gehe zu Schritt 1
Lahiri-Verfahren führt zu pps-Auswahl, denn
p̃ := Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Durchgang eine Einheit gezogen wird;
p̃ =
N
X
i=1
q̃ := 1 − p̃, d.h.
Z X
N
X
i 1
X̄.
1 Xi
=
, da
du = P (z2 ≤ Xi ),
P (Ui in Stichprobe) =
N X0
X0
X0
0
z2 ∼ U [0, X0 )
i=1
34
p̃i = Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Durchgang Ui gezogen wird =
Pi
=
Wahrscheinlichkeit, dass Ui gezogen wird =
∞
X
Xi
N X0
P (Ui im j -ten Durchgang und nicht(s) vorher)
j=i
=
∞
Xi
Xi
Xi X k
Xi
1
2 Xi
3 Xi
+ q̃
+ q̃
+ q̃
+ ··· =
q̃ =
N X0
N X0
N X0
N X0
N X0
N X0 1 − q̃
k=0
=
1 Xi 1
1 Xi X0
Xi
=
= PN
N X0 p̃
N X0 X̄.
Xj
j=1
Vorteil: es sind nur die Xz1 als bekannt vorauszusetzen (Kosten- und Zeitersparnis)
Ziehungstechnik 3:
Verfahren zum Ziehen einer Stichprobe vom Umfang n mit Zurücklegen
wiederhole Ziehungstechnik 1 bzw. 2 n-mal
35
Satz 1.37
Bei n-maliger Wiederholung einer pps-Auswahl mit Zurücklegen gilt:
n
1 X yi
ˆ
ist erwartungstreu für Ȳ .
(i) Ȳ . =
N n i=1 pi
ˆ.) =
(ii) Var(Ȳ
N
X
1
N2 n
Pi
i=1
1
c (Ȳˆ.) = 1
(iii) Var
N 2 n(n − 1)
(Hansen-Hurwitz Schätzer)
2
Yi
1
= 2
− Y.
Pi
N n
n
X


i=1
1
yi
−
pi
n
n
X
j=1
N
X
Y2
i
i=1
Pi
!
2
− Y.
2
yj
 ist erwartungstreu für Var(Ȳˆ.)
pj
Beweis: Vorlesung
Folgerung 1.38
Unter den Voraussetzungen von Satz 1.37 und Pi = Xi/X., i = 1, . . . , N , gilt
ˆ.) =
Var(Ȳ
1
N
N X
X
N 2 n i=1
j=1
i<j
"
Xi Xj
Yi
Yj
−
Xi
Xj
2 #
N
X. X
= 2
Xi
N n i=1
Yi
−R
Xi
2
36
Beweis:
N X
N
X
Yj
Yi
−
Xi
Xj
Xi Xj
i=1 j=1
i<j
=
N X
N
X
Yi2 Xj
Xi
i=1 j=1
i<j
=
N
X
Y2
i
i=1
=
X.
Xi
N
X
i=1
2
!2
+
X. − Y. =
Yj2 Xi
Xj
N X
i=1
Xi
!
− 2 Yi Yj
=
N X
N
X
Yi2 Xj
i=1 j=1
Xi
−
N
X
i=1
2
Yi −
N X
N
X
i=1 j=1
Yi Yj +
N
X
i=1
2
N X
Yi
Xi
Yi
Y. 2
− Y.
=
−
Xi X.
Xi /X.
X.
Xi
X.
i=1
2
Yi
−R
Xi
Bemerkung:
ˆ.) ist im pps-Verfahren klein, falls Y und X nahezu proportional
(i) Var(Ȳ
(ii) Verhalten bei linearer Abhängigkeit, siehe ÜA
37
2
Yi
Allgemein gilt:
Lemma 1.39
ˆ
Var Ȳ .pps < Var (ȳ.eZmZ )
dann und nur dann, wenn
N
X
i=1
Yi2
>0
Xi − X̄.
Xi
(! Dies bedeutet hohe Korrelation!)
Beweis:
2
N
N
X
X
2
X.
Y
Y.
1
1
i
ˆ.
Var Ȳ
<
Var
(ȳ.
)
⇔
X
−
<
Y
−
Ȳ
.
pps
i
i
eZmZ
N 2n
Xi
X.
nN
i=1
⇔
N
X. X
N2
i=1
⇔
Yi2
Y.2 Xi
Yi Y.
+
−
2
Xi
X.2
X.
!
N
1 X 2
2
<
Yi − Ȳ .
N
i=1
N
N
N
N
X
X
Yi2
Y.2
1 X 2
X. X Yi2
Y.2
2
2
+
Y
−
Ȳ
.
⇔
X̄.
−
Y
<0
−
2
<
i
i
N2
Xi
N2
N2
N
Xi
i=1
⇔
i=1
N
X
i=1
2
Yi
i=1
X̄.
−1
Xi
<0⇔
N
X
Y2
i
i=1
Xi
i=1
X̄. − Xi < 0 ⇔
i=1
N
X
Y2
i
i=1
Xi
Xi − X̄. > 0
38
Ziehungstechnik 4:
Zurücklegen / direkt
Verfahren zum Ziehen einer Stichprobe vom Umfang n ohne
Xi
führt zur Einheit U1
X.
Xi
2. Schritt: pps-Auswahl mit P̃i =
führt zur Einheit U2
X. − X1
Xi
˜
3. Schritt: pps-Auswahl mit P̃i =
führt zur Einheit U3
X. − X1 − X2
...
Xi
∗
führt zur Einheit Un
n. Schritt: pps-Auswahl mit Pi =
Pn−1
X. − i=1 Xi
1. Schritt: pps-Auswahl mit Pi =
Ziehungstechnik 5: Verfahren zum Ziehen einer Stichprobe vom Umfang n ohne
Zurücklegen / systematische pps-Auswahl
Ik =
" k−1
X
i=0
Xi,
k
X
#
Xi,
, |Ik | = Xk , k = 0, . . . , N, X0 := 0
i=0
X.
X.
, z` := z1 + (` − 1) , ` = 2, . . . , n
z1 Zufallszahl aus 0,
n
n
z` ∈ Ik ⇒ wähle Uk , ` = 1, . . . , n
39
Bemerkungen:
X.
, so ist die Stichprobe vom Umfang n definiert.
n
X.
• Ist Xi >
, so gelangt Ui mit Wahrscheinlichkeit eins in die Stichprobe und das
n
X.
Verfahren ist keine pps-Auswahl. Falls Xi >
n
1. Möglichkeit: Mehrfachauswertung (praxisgerecht)
2. Möglichkeit: ”Restgesamtheitsverfahren”, Beispiel:
• Ist Xi <
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Xi 300 90 10 10 50 210 10 10 300 10
n = 4, X. = 1000, ⇒ d = 250 ⇒ U1 und U9 in die Stichprobe.
Restgesamtheit
i
2
3
4
5
6
7
8
10
0
Xi 90 10 10 50 210 10 10 10
n0 = 2, X.0 = 400, ⇒ d0 = 200 ⇒ U6 in die Stichprobe
⇒ von 4 Stichprobenelementen wird nur eines, nämlich das letzte, zufällig ausgewählt.
• Ziehungstechnik setzt geordnete Grundgesamtheit voraus
• 50 Modifikationen in Brewer, K.R.W., Hanif, M. (1983), Sampling with unequal
probabilities, Springer, New York.
40
Neben solchen ”Feinheiten” treten zwei Hauptprobleme bei pps-Auswahlen auf:
Lemma 1.40
Für n = 2 und Ziehung gemäß Ziehungstechnik 4 gilt


N

X
Pj 


(i) Πi = Pi 1 +


1
−
P
j
j=1
j6=i
(ii) Πij = Pi Pj
1
1
+
1 − Pi
1 − Pj
Beweis: ÜA
Für n > 2 müssen Approximationen angegeben werden.
Satz 1.41
X.
Sei {Y1, . . . , YN } zufällig geordnet, Xi <
für alle i = 1, . . . , N , und eine ppsn
Stichprobe ohne Zurücklegen nach Ziehungstechnik 5 (Kumulationsverfahren) erhoben.
Dann gilt:
41
2
N X
Y
1
i
ˆ.
(i) Var(Ȳ
− Ȳ . Pi Ci
kum ) '
n i=1 N Pi
mit Ci = 1 − (n − 1)Pi, i = 1, . . . , N
c (Ȳˆ.kum) '
(ii) Var
n X
n
X
1
n − 1 i=1
j=1
i<j
yi
yj
−
N Π0i
N Π0j
!2
1−
0
Πi
0
Πj
1
+
n
n
X
!
0 2
(Πi)
i=1
Beweis: Hartley, H.O., Rao, J.N.K. (1962). Sampling with unequal probabilities and
without replacement. AMS 33, 350-374.
Bemerkung:
(i) Satz 1.41 ist Folge von Satz 1.32.
n
(ii) Ist Πi =
⇒ Formeln wie bei eZoZ
N
(iii) Ist Ci ≡ 1 ⇒ Formeln Satz 1.37
42
Ein weiteres Problem der pps-Auswahl ergibt sich im homograden Fall, d. h. bei der
Schätzung von Anteilen
Übliche Transformation
1
0
,
,
falls Ui Eigenschaft besitzt
sonst
0
1
,
,
falls Ui Eigenschaft besitzt
sonst
Yi =
oder
Ỹi =
ˆ
¯
Ȳˆ.pps + Ỹ.
pps = 1
Dann gilt nicht notwendigerweise
Beispiel: N = 10, n = 3
i
Yi
Pi
1
1
1/2
2
0
1/10
3
1
1/20
4
0
1/20
5
0
1/20
6
0
1/20
7
0
1/20
8
0
1/20
9
0
1/20
10
0
1/20
pps-Auswahl: Y1, Y2, Y3
Ȳˆ.pps
ˆ
¯
Ỹ.
pps
=
1
10 · 3
=
1
10 · 3
1
0
1
+
+
1/2
1/10
1/20
0
1
0
+
+
1/2
1/10
1/20
=
22
11
=
30
15
=
10
5
=
30
15
43
Systematische Auswahl mit zufälligem Start
Forderung: einfach zu realisierende Auswahl
Durchführung:
•
•
•
•
geordnete Grundgesamtheit
Bestimmung einer Schrittlänge d
zufällige Auswahl der ersten Stichprobeneinheit
systematische Auswahl: jede d-te Einheit
Vorteile:
•
•
•
•
Kenntnis von N ist nicht unbedingt erforderlich
Auswahl ohne Auswahlgrundlage möglich
Minimierung der Fehler in der Feldarbeit
Kosten- und Zeiterspanis
Probleme:
• Störung der Repräsentativität bei Systematik der GG
• nur ein Element wird zufällig erhoben (Varianzschätzung?)
44
Definition 1.42
N
und z eine Zufallszahl aus {1, . . . , d}.
n
Ermittelt man eine Stichprobe vom Umfang n durch
(i) Sei {U1, . . . , Un} eine geordnete GG, d :=
Uz , Uz+d, Uz+2d, . . . , Uz+(n−1)d,
so heißt das Verfahren systematische Auswahl mit zufälligem Start z und Schrittlänge
d.
(ii) Die Merkmalswerte der GG werden dann auch mit yij , i = 1, . . . , d, j = 1, . . . , n.
Schema:
Nr. der Stichprobe
1
2
···
j
···
n
1
...
i
yi1 yi2 · · ·
yij · · ·
yin
...
d
Interpretationsmöglichkeiten:
• Schichten {(1, . . . , d), (d + 1, . . . , 2d), . . .} ⇒ geschichtete Auswahl mit Umfang
jeweils 1
• Klumpen {alle möglichen d Stichproben} ⇒ einfache Zufallsauswahl von einem
Klumpen des Umfangs n
Frage: N = d n?
45
Auswahlmodelle
Voraussetzung: N bekannt
1. Fall: Schrittlänge d ist vorgegeben
⇒ n ist abhängig von z
N = (n − 1)d + r
 N
N


−
 d
d
d
mit r =


 d
,
,
N
N
falls
6
=
d
d
N
N
falls
=
d
d
z≤r
⇒ Umfang = n
r < z ≤ d ⇒ Umfang = n − 1
r=d
⇒ Umfang = n (unabhängig von z )
Lineares Auswahlmodell A:
z aus {1, . . . , d} ⇒ Uz , Uz+d, Uz+2d, . . . auswählen
Lineares Auswahlmodell B:
z 0 aus {1, . . . , N } ⇒ r 0 :=
mod (z 0/d) ∈ {0, . . . , d − 1}

r0 = d − 1 ⇒ z = 1 


0
r =d−2 ⇒ z =2
⇒ ..
⇒ weiter wie A
.



0
r =0
⇒ z=d
(Stichproben habe unterschiedliche Auswahlwahrscheinlichkeiten)
46
Zirkuläres Auswahlmodell nach Lahiri
Skizze in Vorlesung
z aus {1, . . . , d} ⇒ Uz , Uz+d, Uz+2d, . . . , Uz̃ mit z̃ ≤ z auswählen
(Stichprobenumfang immer gleich n)
2. Fall: Stichprobenumfang n ist vorgegeben
Auswahlmodelle analog zu oben und
Auswahlmodell mit periodisch wechselnden Auswahlabständen
⇒
(n − r 0)-mal Schrittlänge
r 0-mal Schrittlänge
N
0
0
= d Rest r
n
d = d0
d = d0 + 1
Schätzverfahren
Auch bei systematischer Auswahl ist ȳ. ein sinnvoller Schätzer, dessen Eigenschaften aber
vom Auswahlmodell bestimmt werden.
47
Satz 1.43
(a) Sei N = nd, dann gilt:
ȳ. ist erwartungstreu für Ȳ .
unabhängig vom verwendeten Auswahlmodell.
(b) Sei N 6= nd, dann gilt:
ȳ. ist erwartungstreu für Ȳ .,
(i) falls nach Auswahlmodell
B oder
nach Lahiri ausgewählt wurde
N
− 1 , falls nach Auswahlmodell A ausgewählt wurde.
(ii) E(ȳ.) = Ȳ . + Ȳ.
n0 d
Dabei ist N = (n − 1)d + r und n0 der tatsächlich realisierte Stichprobenumfang.
Beweis: ÜA
Bemerkung: B(ȳ.) = Ȳ.
N
−1
0
nd
in (ii) ist (häufig) nicht praxisrelevant.
Wegen Satz 1.43 kann in guter Approximation von der Voraussetzung
E(ȳ.)
=
Ȳ .
N
=
nd
ausgegangen werden.
48
Satz 1.44
Bei einer systematischen Stichprobe mit N = nd gilt
Var(ȳ.) =
N1 2
N −1 2
SY −
S ,
N
N W
wobei
d
2
SW
n
1 XX
2
=
(yij − ȳi.) (Variabilität innerhalb der ”Stichproben”)
N − 1 i=1 j=1
Beweis:
Var(ȳ.) = E ȳi. − Ȳ .
2
d
1X
2
=
(ȳi. − ȳ..)
d
(ȳ.. = Ȳ .)
i=1
Betrachte die Streuungszerlegung:
d X
n
X
d X
n
d
X
X
2
2
2
yij − ȳ.. =
yij − ȳi. + n
(ȳi. − ȳ..)
i=1 j=1
i=1 j=1
i=1
d
n
d
2
2
1 XX
1 XX
N −1 2
N −1 2
n yij − ȳi. =
SY −
SW
⇒ Var(ȳ.) =
yij − ȳ.. −
dn
dn
N
N
i=1 j=1
i=1 j=1
Varianz hängt von den Stichproben untereinander ab
⇒ (Interpretation wie beim Klumpenverfahren): Intraklasskorrelation
49
Folgerung 1.45
Sei
N
Pd
i=1
Pn
Pn
ρw =
j 0 =1 (yij
j=1
j6=j 0
− Ȳ .)(yij 0 − Ȳ .)
dn(n − 1)(N − 1)SY2
die Intraklasskorrelation der systematischen Auswahl, dann gilt
Var(ȳ.) =
N −1 2
S (1 + (n − 1)ρw )
Nn Y
Beweis:
Var(ȳ.)
=
=
1
d
d
X
ȳi. − Ȳ .
2
i=1
=
1
d
d
X


i=1
1
n
n
X
2
yij − Ȳ . =
j=1
1
d
d
X
i=1

1

n2
n
X
2
(yij − Ȳ .)
j=1
d
n
n
1 XX X
(yij − Ȳ .)(yij 0 − Ȳ .)
d n2
0
i=1 j=1 j =1
=
X
d X
n
d X
n X
n
X
1
2
(yij − Ȳ .) +
(yij − Ȳ .)(yij 0 − Ȳ .)
d n2
0
i=1 j=1
=
i=1 j=1 j =1
j6=j 0
i
1
1 h
2
2
2
(N
−
1)
S
+
(n
−
1)
(N
−
1)
S
ρ
=
(N
−
1)
S
(1 + (n − 1)ρw )
w
Y
Y
Y
d n2
N n
50
Folgerung 1.46
1
Var(ȳ.sys) < Var(ȳ.eZoZ ) ⇔ ρw < −
N −1
Satz 1.47
n
N − n 02 02
1 X
2
(yij − ȳi.)
Sei N = nd, v =
sy , sy =
Nn
n − 1 j=1
h
i
N −1 2 N −n
⇒ E(v) =
Sy
(1 − ρw )
6= Var(ȳ.sys)
Nn
N
Bemerkung:
c (ȳ.) bei eZoZ
(i) v =
ˆ Var
1
N −1
≈ 0 (zufällige Ordnung der GG),
(ii) v erwartungstreu ⇔ ρw = −
(iii) praxisrelevant, falls ρw
Auswahlsatz)
N −n
N
≈ 1 (kleiner
⇒ Berücksichtigung von Strukturen der GG: zufällige Anordnung, lineare Anordnung,
periodische Anordnung
51
§2 Geschichtete Auswahlverfahren
Definition 2.1
Zerlegt man eine GG von N Einheiten in L disjunkte Teilmengen vom Umfang Nh, mit
PL
N =
h=1 Nh , und werden den Nh Einheiten der h-ten Teilmenge nh Einheiten
unabhängig und zufällig entnommen, so heißt das Auswahlverfahren geschichtete
Zufallsauswahl.
Definition 2.2
Es bezeichne in der GG
N
L
Nh
Wh = Nh/N
Yhi
Nh
X
Ȳh. =
Yhi/Nh
Ȳ .. =
2
Sh =
i=1
Nh
L X
X
h=1 i=1
Nh
X
Umfang
Anzahl der Schichten
Umfang in Schicht h
Gewicht der Schicht h
Merkmal von Einheit i in Schicht h
Yhi/N
2
Yhi − Ȳh. /(Nh − 1)
Schichtvarianz
i=1
In der Stichprobe entsprechend mit kleinen Buchstaben.
52
Satz 2.3
Zieht man aus jeder Schicht unabhängige eZoZ, so gilt
ˆ.. =
(i) Ȳ
L
X
Wh ȳh. ist erwartungstreu für Ȳ ..
h=1
L
X
1
nh
2 1
c (Ȳˆ..) =
(iii) Var
Wh
nh
h=1
ˆ..) =
(ii) Var(Ȳ
2
Wh
h=1
L
X
nh
1−
Nh
nh
1−
Nh
2
Sh
2
sh ist erwartungstreu für Var(Ȳˆ..)
Beweis: ÜA
Schichtungseffekt: Fünf wesentliche Aspekte
•
•
•
•
•
Stichprobenplan je Schicht
Schichtungsvariable
Schichtgrenzen
Aufteilung des Stichprobenumfangs
Anzahl der Schichten
ˆ..) minimieren
Ziel: Schichtungseffekt maximieren ⇔ Var(Ȳ
53
Voraussetzungen
(I) eZoZ in jeder Schicht
(II) Schichtungsvariable ist bekannt
(III) Anzahl L der Schichten vorgegeben
(A) Aufteilungsproblem
Zusätzliche Voraussetzung:
(IV) Schichtgrenzen vorgegeben
• Einfache Aufteilungen
– gleichmäßige Aufteilung: nh = n/L, h = 1, . . . , L
– proportionale Aufteilung: nh = Wh n, h = 1, . . . , L
ˆ.. = ȳ.
(selbstgewichtende Stichprobe: Ȳ
konstante Auswahlsätze: f = nh/Nh = n/N )
– Aufteilung nach der Auswahl: nh als Zufallsvariable, h = 1, . . . , L
• Optimale Aufteilung
54
Einschub: Aufteilung nach der Auswahl
Satz
Wird eine einfache Zufallsstichprobe nachträglich geschichtet und ist dann n0h der (zufällige)
Stichprobenumfang der h-ten Schicht, h = 1, . . . , L, dann gilt
1
ˆ
(a) Ȳ .. =
N
L
X
1
Nh 0
nh
h=1
n0h
X
yhi ist ein erwartungstreuer Schätzer für Ȳ ..
i=1
L
L
X
X
N
−
n
1
2
2
ˆ..) ≈
(b) Var(Ȳ
Wh Sh + 2
(1 − Wh)Sh
N n h=1
N h=1


0
nh
L
L
0 X
X
X
N
1
1
1
n
N
−
n
h

2
2
2
h
ˆ..2 +
c (Ȳˆ..) =
y
−
N
Ȳ
1
−
s
(c) Var

hj
h
h
n (N − 1) N h=1 n0h j=1
N 2 h=1
n0h
Nh
55
Satz 2.4
Sei ein geschichtetes Auswahlverfahren unter den Voraussetzung (I) – (IV) gegeben.
Sei weiterhin
L
X
C = C0 +
c h nh
h=1
die für die Untersuchung zur Verfügung stehenden Kosten. Dann gilt:
√
ch
W
S
/
h
h
∗
nh = n
L
P
√
Wg Sg / cg
g=1
mit
L
P
n = (C − C0)
√
Wh Sh/ ch
h=1
L
P
Wh Sh
√
ch
h=1
ˆ..) unter der Nebenbedingung C = C + PL c n
minimiert Var(Ȳ
0
h
h=1 h
Beweis: Vorlesung
56
Bemerkung
(i) Sind die Konstanten in allen Schichten gleich, d.h. ch ≡ c, dann gilt
L
X
nh =
h=1
C − C0
=n
c
(ii) Neyman, J. (1934), Tschuprow, A.A. (1923) ⇒ optimale Aufteilung, NeymanTschuprow-Aufteilung
Bemerkung 2.5
Nachteile/Probleme bei der optimalen Aufteilung
•
•
•
•
Sh unbekannt
∗
nh > Nh möglich
∗
nh 6∈ IN
Restriktion muss exakt erfüllt sein
d. h. n∗h ist nur pseudo-optimale Lösung
57
(B) Schichtungsproblem
Die Voraussetzung (IV) wird hier nicht angenommen, d. h. nur die Voraussetzungen (I) –
(III). Hinzu kommen
Annahmen 2.6
(i) der Wertebereich des Y -Merkmals sei [a, b] ⊆ IR
(ii) die L Schichten werden durch L + 1 Stratifikationspunkte
a = y0 < y1 < y2 < · · · < yL−1 < yL = b
definiert ⇒ Schichtenbildungsproblem:
Minimiere
z(y1, . . . , yL−1) = Var(Ȳˆ..)
unter den Restriktionen
a = y0 < y1 < y2 < · · · < yL−1 < yL = b,
yh ≥ 0
Lösungsstrategien:
• Dalenius-Gleichungen
• Heuristik
• Methoden aus OR
58
Dalenius-Gleichungen
Dalenius, T. (1950). The problem of optimum stratification. Skandinavisk Aktuarietidskrift
33, 203–213.
Voraussetzungen: (I), (II), (III), Annahmen 2.6 und
Definition 2.7
Sei auf der GG eine stückweise stetige Dichte f definiert. Dann definiere
Z yh
(a) ph =
f (y) dy, h = 1, . . . , L
yh−1
1
(b) µh =
ph
Z
1
ph
Z
2
(c) σh =
yh
y f (y) dy,
yh−1
yh
2
h = 1, . . . , L
(y − µh) f (y) dy,
h = 1, . . . , L
yh−1
Definition 2.7 beinhaltet die stetigen Verallgemeinerungen von Wh, Ȳh. und Sh2
Lemma 2.8
ˆ..),
In der stetigen Parametrisierung gemäß Definition 2.7 gilt für die Varianz von Var(Ȳ
falls mit Zurücklegen gezogen wird,
L
LX 2 2
ˆ
(a) Varglm(Ȳ ..) =
ph σh bei gleichmäßiger Aufteilung
n h=1
59
L
1X
2
ˆ
ph σh bei proportionaler Aufteilung
(b) Varprop(Ȳ ..) =
n h=1
!2
L
1 X
ˆ
(c) Varopt(Ȳ ..) =
ph σ h
bei optimaler Aufteilung nach Neyman-Tschuprow
n h=1
und bei konstanten Kosten in jeder Schicht.
ˆ..) =
Beweis: Wird in jeder Schicht unabhängig eine eZmZ gezogen, so gilt Var(Ȳ
L
X
h=1
2 1
Wh
nh
µ2(h) .
Mit der stetigen Parametrisierung gemäß Definition 2.7 gilt dann
ˆ..) =
Var(Ȳ
L
X
2 1
2
ph
σh
nh
h=1
Einsetzen von nh = n/L (gleichmäßige Aufteilung, nh = ph n (proportionale Aufteilung) und nh =
P
n ph σh / L
g=1 pg σg (Neyman-Tschuprow-Aufteilung) liefert die Beh. (a)–(c)
Lösung des Schichtenbildungsproblems durch Minimierung der Varianzen in Anhängigkeit
von y1, . . . , yL−1
Satz 2.9 (Dalenius-Gleichungen)
Das Gleichungssystem
2
2
2
2
(a) ph σh + (yh − µh) = ph+1 σh+1 + (µh+1 − yh) , h = 1, . . . , L − 1,
bei gleichmäßiger Aufteilung
60
(b) yh − µh = µh+1 − yh, h = 1, . . . , L − 1, bei proportionaler Aufteilung
1 2
1 2
2
2
(c)
σh + (yh − µh) =
σh+1 + (µh+1 − yh) , h = 1, . . . , L − 1,
σh
σh+1
bei optimaler Aufteilung
stellt eine notwendige Bedingung für die Lösung des Schichtenbildungsproblems in
Abhängigkeit von y1, . . . , yL−1 dar.
Beweis: Vorlesung
Bemerkungen:
(i) Dalenius-Gleichungen sind nur notwendige Bedingungen, d. h. es existieren mehrere
Lösungen; sogar Sattelpunkte erfüllen Satz 2.9
(ii) Lösungen durch numerische Verfahren und Ausnutzen der Staffelungseigenschaft
LS(yh−1, yh) = RS(yh, yh+1)
Heuristische Schichtenbildung
Hier wird keine bestimmte Aufteilungsart vorausgesetzt.
• konstante Schichtung nach Aoyama (1954)
yh − yh−1 =
b−a
≡ const.
L
61
• proportionale Schichtung nach Mahalanobis (1952)
ph µh ≡ const.
√
• kumulative f -Regel nach Dalenius/Hodges (1957); häufig verwendete Regel, da gute
Approximation zu Satz
2.9.
Z q
u
Definiere y(u) =
⇒ wähle
a
y1, . . . , yL−1,
f (t) dt, u ≤ b, −→ H,
u→b
so dass
y(yh) =
H
L
Bemerkungen
(i) Effizienz der Regeln hängt von f und der Aufteilung ab
(ii) Es existiert eine Vielzahl von Regeln, vgl. Drexl (1982), Geschichtete Stichprobenverfahren.
(iii) Verallgemeinerungen auf Ziehen ohne Zurücklegen sind möglich, wenn auch nur bedingt
notwendig, wenn stetige Dichte vorausgesetzt.
62
§3 Mehrstufige Zufallsstichproben
bisher: vollständig zugängliche Auswahlgrundlage
jetzt: direkter Zugriff auf potenzielle Untersuchungseinheiten nicht möglich, weil
• keine Auswahlgrundlage existiert,
• mögliche Verzeichnisse zu groß oder unvollständig sind
• Datenschutzgründe den direkten Zugriff auf ein bestehendes Verzeichnis verwehren
⇒ stufenweise Erhebung der Untersuchungseinheiten
Vorteil der Stufenbildung:
• allgemein im organisatorischen und wirtschaftlichen Bereich
• Auswahlgrundlage ist immer nur für jede Stufe einzeln zu beschaffen
63
Beispiel 3.1
Musterstichprobenpläne des Arbeitskreises Deutscher Markt- und Sozialforschungsinstitute
e.V. von Schäfer (1979)
Bevölkerungsstichproben
1. Stufe: Verzeichnisse der Stimmbezirke der Bundestagswahl, z. B. über den
Bundeswahlleiter
Nur für die ausgewählten Stimmbezirke:
2. Stufe: Liste der Haushalte ermitteln
Nur für die ausgewählten Haushalte:
3. Stufe: ”Liste” aller potenziellen Zielpersonen ermitteln
Bemerkung 3.2
Vorteile des Musterstichprobenplans
•
•
•
•
Erleichterung der Erhebungsorganisation
Gewährleistung des Datenschutzes
Bündelung der Feldarbeit
Ersparnis von Wegzeiten und Kosten
Nachteil:
• Assoziation der ausgewählten Einheiten untereinander
64
Einstufige Zufallsauswahl
Definition 3.3
(a) Zerlegt man eine Grundgesamtheit in K disjunkte Teilmengen vom Umfang Mi,
P
i = 1, . . . , K , mit
i Mi = N und wählt man aus diesen Mengen k zufällig aus,
so heißen die Teilmengen Klumpen und das Auswahlverfahren Klumpenauswahl.
(b) Gehen alle ausgewählten Einheiten in die Untersuchung ein, so bezeichnet man das
Verfahren als einstufig.
(c) Wird das Prinzip aus (a) in den ausgewählten Klumpen wiederholt, so heißt das
Verfahren mehrstufig.
Notation 3.4
Bei einer einstufigen Klumpenauswahl sei
Yij
Yi . =
PMi
j=1
Yij
i-te Klumpensumme
1
Mi Yi .
PK
1
i=1
K
Durchschnitt im i-ten Klumpen
Ȳi. =
Ȳ =
Ȳ .. =
SY2 =
1
N
Yi .
PK PMi
j=1 Yij
PK PMi
1
i=1
j=1 Yij
N −1
Merkmalswert der j -ten Einheit im i-ten Klumpen,
j = 1, . . . , Mi, i = 1, . . . , K
durchschnittliche Klumpensumme
Merkmalsdurchschnitt
i=1
− Ȳ ..
2
Merkmalsvarianz
65
Satz 3.5 (Spezialfall Mi = M , i = 1, . . . , K )
Werden bei einstufiger Klumpenauswahl aus K Klumpen der Größe M k Klumpen durch
eine einfache Zufallsstichprobe gezogen, dann gilt
k
1 X
ˆ
Yi. ist ein erwartungstreuer Schätzer für Ȳ ..
(a) Ȳ .. =
M k i=1
K
X
1
k
1
1
k
2
2
ˆ.. =
(b) Var Ȳ
1
−
(Y
.
−
Ȳ
)
=
1
−
S
i
C
M2 k
K K − 1 i=1
M2 k
K
Beweis:
ˆ..) =
E(Ȳ
k
k K
K
1 X
1 XX
1
1
1 X
E(Yi. ) =
Yj.
=
k
Yj. = Ȳ ..
M k
M k
K
M K k
i=1
i=1 j=1
j=1
X
k
K
1
1
1
1
k
1 X
eZoZ
2
ˆ
Var
Var(Ȳ ..) =
Yi.
=
1−
(Yi − Ȳ )
2
2
M
k
M k
K K−1
i=1
i=1
Definition 3.6
Die Größe
ρW
K X
M X
M
X
1
(Yij − Ȳ ..)(Yij 0 − Ȳ ..)
=
2
(M − 1) (N − 1) SY i=1 j=1 0
j =1
j6=j 0
heißt Intraklasskorrelationskoeffizient.
66
Bemerkung 3.7
Die Größe ρW aus Definition 3.6 ist ein Maß für den Zusammenhang zwischen den
Merkmalswerten innerhalb eines Klumpens und es gilt
1
≤ ρW ≤ 1
−
M −1
Lemma 3.8
Für die Varianz aus Satz 3.5(b) gilt
ˆ.. ≈ Var(ȳ.) (1 + (M − 1) ρ ) ,
Var Ȳ
W
wobei Var(ȳ.) die Varianz der Mittelwertschätzung bei einfacher Zufallsstichprobe ist.
Beweis: Betrachte die Varianzzerlegung
K
K X
M X
M
X
X
2
2
(Yi. − Ȳ ) = (N − 1)SY +
(Yij − Ȳ ..)(Yij 0 − Ȳ ..)
i=1
i=1 j=1 j 0 =1
j6=j 0
67
Dann gilt
ˆ
Var Ȳ ..
=
=
≈
i
k
1 h
1
2
2
(N − 1) SY + (M − 1)(N − 1)SY ρw
1−
M2 k
K K−1
1
M k
M K−1 2
1−
S (1 + (M − 1)ρw )
M k
M K M K−M Y
M k
1
2
1−
SY (1 + (M − 1)ρw ) = Var(ȳ.) (1 + (M − 1)ρw )
M k
M K
Definition 3.9
Bei einer einstufigen Klumpenauswahl heißt die Größe
(1 + (M − 1) ρW )
Designeffekt.
68
Bemerkung 3.10
Der Designeffekt aus Definition 3.9 wird häufig auch als Varianzaufblähungsfaktor
bezeichnet, da der Intraklasskorrelationskoeffizient in der Regel größer als Null ist.
ρW kann als Hilfe zur Entscheidung zwischen einfacher Zufallsauswahl und Klumpenauswahl
benutzt werden:


<0


ρw
=0


 >0
,
Klumpenverfahren genauer
,
beide Auswahlverfahren gleich
,
einfache Zufallsstichprobe genauer
Satz 3.11
Zieht man aus K Klumpen unterschiedlicher Größe k Klumpen mittels einfacher
Zufallsstichprobe, so gilt
k
K X
ˆ
Yi. ist ein erwartungstreuer Schätzer für Ȳ ..
(a) (i) Ȳ ..(a) =
N k i=1
K
2 X
2
1
k
1
K
ˆ..
1
−
Y
.
−
Ȳ
(ii) Var Ȳ
=
i
(a)
N2 k
K K − 1 i=1
k
ˆ..
(b) (i) Ȳ
(b)
k
1X
1X 1
=
Yi. ist ein verzerrter Schätzer für Ȳ ..
Ȳi. =
k i=1
k i=1 Mi
69
1
ˆ
(ii) Var Ȳ ..(b) =
k
ˆ.. =
(c) (i) Ȳ
Pk
(c)
k
X
1
i=1
1−
Mi
k
K
1
K−1
K
X
i=1

Ȳi. −
1
K
K
X
2
Ȳj .
j=1
Yi. ist ein verzerrter Schätzer für Ȳ ..
i=1
K
2
X
2
K
1
k
1
2
ˆ..
(ii) Var Ȳ
≈
M
Ȳ
.
−
Ȳ
..
1
−
i
(c)
N2 k
K K − 1 i=1 i
Bemerkung 3.12
Für die Schätzer aus Satz 3.11 gilt
ˆ
ˆ
ˆ
Var Ȳ ..(a) > Var Ȳ ..(c) > Var Ȳ ..(b)
und für die Verzerrungen
0 = B Ȳˆ..(a) < B Ȳˆ..(c) < B Ȳˆ..(b) 70
§4 Zweiphasige Auswahl
Engl.: Two-phase sampling, Double sampling
Auswahlprinzip
Grundgesamtheit
l
Merkmalswerte
U1 ,
l
(X1, Y1),
U2 ,
l
(X2, Y2),
. . .,
. . .,
UN
l
(XN , YN )
1. Phase: Auswahl vom Umfang n0 (aus N )
Stichprobe von x-Werten:
x01, x02, . . . , x0n0
2. Phase: Auswahl vom Umfang n (aus n0)
Stichprobe von x und y -Werten:
(x1, y1), (x2, y2), . . . , (xn, yn)
Beispiel: Mikrozensus (N ≈ 83000000)
1. Phase: n0 ≈ 830000 Standardbefragung
2. Phase: n ≈ 83000 interessierende Zusatzbefragung, z. B. Daten zum Gesundheitswesen
!!! Dies hat NICHTS mit einer zweistufigen Auswahl zu tun !!!
71
Ziel ist die Schätzung von Ȳ . unter ”optimaler” Ausnutzung der Zusatzinformation X ,
die nicht a-priori bekannt ist (im Gegensatz zur pps-Auswahl).
Dazu verwendet man verschiedene Prinzipien.
Da zwei Auswahlen betrachtet werden, müssen auch zwei Erwartungswerte bzw. Varianzen
betrachtet werden.
Bezeichnungen:
E1 / Var1: Erwartungswert und Varianz der 1. Phase
E2 / Var2: Erwartungswert und Varianz der 2. Phase gegeben die Ergebnisse der 1. Phase
Für diese bedingten Momente gilt:
Lemma 4.1
Für bedingte Erwartungswerte und Varianzen in zwei Phasen und eine Zufallsvariable z gilt
(i) E(z) = E1 E2(z)
(ii) Var(z) = E1 Var2(z) + Var1 E2(z)
Auswertung bei verschiedenen Subauswahlen
• Differenzenschätzung
Satz 4.2
In dem oben geschilderten Auswahlverfahren mit
eZoZ vom Umfang n0 aus N in der 1. Phase und
eZoZ vom Umfang n aus n0 in der 2. Phase gilt:
72
ˆ. = (ȳ. − x̄.) + x̄0. ist erwartungstreu für Ȳ .
(i) Ȳ
1
1
1
1
2
ˆ) =
(ii) Var(Ȳ
−
SY −
− 0 SX (2ρSY − SX )
n
N
n
n
Beweis: Vorlesung
Folgerung 4.3
Für die Varianz aus Satz 4.2 (ii) gilt
c (Ȳˆ.) =
Var
mit
1
1
−
n0
N
2
sy +
1
1
− 0
n
n
2
sd
n
2
1 X
2
sd =
(yi − xi) − (ȳ. − x̄.)
n − 1 i=1
ˆ.)
ist ein erwartungstreuer Schätzer für Var(Ȳ
Beweis: ÜA
73
Fasst man die zwei Phasen als unabhängige Verfahren auf (z. B. bei Kombination von
Untersuchungen: Werte x0i aus 1. Untersuchung, Werte xi aus 2. Untersuchung, d. h. xi
nicht notwendigerweise in 1. Untersuchung enthalten.), so gilt:
Folgerung 4.4
Bei unabhängigen Auswahlen in der 1. und 2. Phase gilt
0
ˆ
(i) E(Ȳ .) = E (ȳ. − x̄.) + x̄ . = Ȳ .
1
1
1
1
2
2
2
ˆ.) =
−
(SY + SX − 2 ρ SX SY ) +
−
S
(ii) Var(Ȳ
X
n
N
n0
N
c (Ȳˆ.) = 1 − 1 s2 + 1 − 1 s2 0 ist erwartungstreu für Var(Ȳˆ.),
(iii) Var
d
x
n
N
n0
N
n0
X
1
0
0 2
2
(xi − x̄ .)
wobei sx0 = 0
n − 1 i=1
Die Folgerung ist sehr wichtig, wenn Untersuchungsergebnisse zusammengefasst werden.
Auswahlphase ←→ Untersuchung ←→ Varianzanteil ←→ Varianzkomponente ←→
Lineares Modell
74
• pps-Schätzung
Satz 4.5
Falls die 1. Phase durch eZoZ und die 2. Phase durch pps-Auswahl (mit Zurücklegen) nach
x0 gewonnen wird, dann gilt
n
0 X
x
.
yi
1
ˆ. =
ist erwartungstreu für Ȳ .
(i) Ȳ
0
n n i=1 xi
1
n0 − 1
1
0
2
V
+
(N
−
n
)
S
,
Y
N (N − 1) n n0
N n0
2
N
X
Xi
Yi
− Y.
wobei V =
X.
X
/X.
i
i=1

!2 
n
n
0 2
X y2
(x.
)
1 X yi
1
i
ˆ
c


(iii) Var(Ȳ .) = 02
−
2
n n(n − 1) i=1 xi
n i=1 xi



!2
n
2
n
2
2
0
0
2
 Xy
X yi
Xy 
(N − n
(x.)
1
0
i
i

+
x.
−
−
2 
0
0
0
N n n (n − 1)  i=1 xi
n n−1
x
x
i
i
i=1
i=1
ˆ.) =
(ii) Var(Ȳ
ˆ.)
ist ein unverzerrter Schätzer für Var(Ȳ
Beweis: analog zu Satz 4.2 unter Ausnutzung der Ergebnisse von Satz 1.37 und Folgerung
1.38 für die pps-Auswahl
75
Bei Kombination von unabhängigen Untersuchungen gilt analog zu Folgerung 4.4:
Folgerung 4.6
Falls die 1. Phase mit eZoZ und die 2. Phase unabhängig mit pps (nach dem LahiriVerfahren) ausgewählt wird, gilt
!
0 n
X
1
yi
ˆ. = x.
ist erwartungstreu für Ȳ .
(i) Ȳ
0
n
n i=1 xi
"
2
2#
ˆ.) = 1 − 1 Y . S 2 + 1 V 1 + 1 − 1 SX
(ii) Var(Ȳ
n0
N X.2 X
n
n0
N X̄.2
#
2 " 0 2
n 0
X
(x.)
1
ȳ.
n
yi
2
c (Ȳˆ.) =
(iii) Var
−
−
1
−
s
x
n(n − 1)n0 i=1 xi
x̄.
n0
N
!2 n
1 X yi
1
1
2
+
−
s
x
n i=1 xi
n0
N
ist erwartungstreu für Var(Ȳ .)
76
• Verhältnisschätzung
Diese Prinzipien können auch auf Verhältnisschätzer übertragen werden. Es gilt:
Satz 4.7
Bei eZoZ in 1. und 2. Phase gilt
0
ȳ.
ȳ. 0
x̄. = Ȳ . − E1 Cov
, x̄.x̄.
(i) E
x̄.
x̄.
!
2
ȳ. 0
Ȳ .
1
1
Ȳ . 2
2
(ii) MSE
SY − 2
x̄. ≈
−
ρ SX SY + 2 SX
x̄.
n
N
X̄.
X̄.
2
2
1 Ȳ . 2
1
1
1
1
1
2 SX
−
−
−
SY
+
SX +
0
0
2
n
N X̄.
n
N
n
N
X̄.2
Bemerkung: erwartungstreue Schätzung von Ȳ. dann durch ppas-Auswahl
Prinzipiell kann jede Auswahl so berücksichtigt werden.
(Ist aber nicht immer einfach!)
Zweiphasige Auswahl kann auch genutzt werden, um mit der Information der 1. Phase
über die X -Werte Schichten für die 2. Phase zu bilden, siehe Cochran (1977).
77
————————————————————————————————————
EINSCHUB:
Zusammenfassung der Auswahlverfahren
Skizze in Vorlesung
Beispiel: Muster-Stichprobenpläne des Arbeitskreises Deutscher Marktforschungsinstitute
Drei–stufige Klumpenauswahl
1. Stufe: Auswahl von Stimmbezirken
• Schichten durch Anordnung (Ordnungskriterium: Bundesländer, Regierungsbezirke,
Ortsgrößenklassen nach Boustedt)
• pps-Auswahl nach Einwohnerzahl
• systematische Auswahl (Kumulationsverfahren nach Mahalanobis)
2. Stufe: Auswahl von Haushalten
• einfache Zufallsauswahl
• Random-Route
3. Stufe: Auswahl von Haushalten
• einfache Zufallsauswahl
• Schwedenschlüssel
=⇒ ca. sechs Auswahlstrategien werden benutzt
=⇒ Schätzer und Varianzen??
78
§5 Capture-Recapture-Verfahren
Problem: N ist unbekannt
Beispiele:
• Tierpopulation
• Marktforschung, z. B. Kunden/Käufer eines Produkts
Idee:
1. Schritt: definiere eine (auch räumlich begrenzte) Population
2. Schritt Prüfung, ob
• offene Population
– Immigration (Einwanderung)
– Emigration (Auswanderung)
– Recruitment (Erneuerung)
– Sterblichkeit
• geschlossene Population
79
3. Schritt
(i) Ziehen einer Stichprobe (Capture)
(ii) Markierung der Individuen (Mark)
(iii) Zurücklegen in die GG (Release)
4. Schritt
(i) Ziehen einer Stichprobe (Recapture)
(ii) Prüfen der Markierungen
Voraussetzung:
Zwischen Schritt 3 und 4 findet ein vollständiges Durchmischen der GG statt
Erweiterung:
• Einfache Durchführung von Schritt 3 und 4
(Single-Mark-Release)
• Mehrfache Durchführung von Schritt 3 und 4
(Multiple-Marking)
80
• Single-Mark-Release bei geschlossenen Populationen
Annahmen 5.1
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
N konstant
In der Capture-Stichprobe gelte πi = const., i = 1, . . . , N .
Die Recapture-Stichprobe sei eZoZ.
Der Verlust der Markierung ist unmöglich.
Definition 5.2
Beim Capture-Recapture-Verfahren unter Annahmen 5.1 sei
M
Umfang der Capture-Stichprobe (=
ˆ Anzahl der Markierungen)
n
Umfang der Recapture-Stichprobe
m
Anzahl der markierten Individuen in der Recapture-Stichprobe
Dann heißt
M n
N̂ =
m
der Petersen- oder Lincoln-Schätzer (Lincoln-Index) für N .
Bemerkung: m ∼ Hyp
M
N, n,
N
Bemerkung: Der Schätzer N̂ entsteht durch
Markierte
m
M
=
=
ˆ
Unmarkierte
n−m
N̂ − M
81
Geht man von einem Binomial-Modell aus, so gilt
Satz 5.3
Ist m ∼ Bin(n, P ) mit P = M/N , dann ist N̂ ML-Schätzer für N .
Beweis: Mit
n M k M n−k
1−
P (m = k) =
N
N
k
folgt
n
ln P (m = k) = ln
+ k (ln M − ln N ) + (n − k) (ln(N − M ) − ln N )
k
d
1
1
1
!
⇒
ln P (m = k) = k −
+ (n − k)
−
=0
dN
N
N −M
N
m
n−m
n−m
n−m
n
nM
k=m
⇒ − +
−
=0⇔
=
⇔ N n − N M = N n − nM ⇒ N̂ =
N N −M
N
N −M
N
m
2
3
d
m
ln
P
(m
=
k)
=
·
·
·
=
−
<0
N =N̂
dN 2
M 2 n(n − m)
Bemerkung:
(i) ML-Theorie =⇒ asymptotische Normalität, Fisher-Information, Varianzschätzung
(ii) da N̂ verzerrt =⇒ Bailey-Schätzer
2
M (n + 1)
M
(n + 1)(n − m)
c (N̂1) =
N̂1 =
mit Bias(N̂1) < Bias(N̂ ) und Var
m+1
(m + 1)2 (m + 2)
Begründung des Petersen-Schätzer N̂ über unvollständige Vier-Felder-Tafel:
82
Sei xij die Anzahl der anwesenden Individuen in der ersten und/oder zweiten Stichprobe,
d. h.
2. Stichprobe
1. Stichprobe
gefangen
nicht gef.
gefangen
x11 = m
x12
x1 . = M
nicht gef.
x21
?
x.1 = n
N
Herleitung:
Die Stichproben sind unabhängig mit E(xij ) = mij , dann gilt
m11 m22
m̂12 m̂21
x12 x21
= 1 (Odds Ratio gleich eins) und m̂22 =
=
m21 m12
m̂11
x11
⇒ N̂
=
=
=
x12 x21
x11
i
1 2
1 h
x11 + x21 x11 + x12 x11 + x12 x21 =
(x11 + x12 )(x11 + x21 )
x11
x11
x11 + x21 + x12 + m̂22 = x11 + x21 + x12 +
x1. x.1
M n
=
x11
m
83
Bemerkung:
(i) Ein Schätzer für die Varianz des Petersen-Schätzers ist gegeben durch
c (N̂ ) = M n (M − m) (n − m)
Var
m3
=⇒ Konfidenzintervall mit Quantil der Standardnormalverteilung
(ii) Die Anzahl der markierten Tiere in der zweiten Stichprobe kann null sein; weiterer
modifizierter Schätzer von Chapman:
Ñ =
(M + 1) (n + 1)
−1
m+1
mit approximativ unverzerrtem Varianzschätzer
c (Ñ ) = (M + 1) (n + 1) (M − m) (n − m)
Var
(m + 1)2 (m + 2)
84
• Multiples Marking bei geschlossenen Populationen
(Schnabel-Census)
Notation 5.4:
(i) betrachte Folge von s Stichproben
(ii) ni, i = 1, . . . , s Umfang der i-ten Stichprobe
(iii) mi, i = 1, . . . , s Anzahl Markierter in i-ter Stichprobe
(iv) ui = ni − mi
Pi−1
(v) Mi =
j=1 uj Gesamtzahl Markierter in der Population vor Stichprobe i, i =
1, . . . , s + 1 =⇒ M1 = 0, M2 = n1 − m1
(vi) r = Ms+1 Gesamtanzahl Markierter nach dem Experiment
(vii) w ⊆ {1, . . . , s} Fanggeschichte
(viii) aw Anzahl der Tiere mit Fanggeschichte w =⇒ r =
P
aw
(ix) Pw Wahrscheinlichkeit, dass ein Individuum die Fanggeschichte w hat
!N −r
X
Y a
N!
1−
Pk
Pk k
P (aw = ak ) = Q
k ak !(N − r)!
k
k
Multinomialverteilung über die Fanggeschichten w unter der Voraussetzung, dass alle
Individuen unabhängig agieren.
w
Beispiel: s=3, # Fanggeschichten = 23:
(0, 0, 0), (1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 0), (0, 1, 1), (0, 0, 1), (1, 1, 1)
85
Satz 5.5
Im Multiple-Marking-Modell wird der ML-Schätzer bestimmt als Lösung von
r
1−
N
=
s Y
i=1
ni
1−
N
Beweis: betrachte Likelihood obiger Multinomialverteilung
Bemerkung:
• s = 2 =⇒ N̂ Petersen-Schätzer, denn
s=2
⇒
⇒
⇒
n1
n2
N −r
1
r
= 1−
1−
⇒
= 2 (N − n1 )(N − n2 )
1−
N
N
N
N
N
2
2
N − N r = N − N n1 − N n2 + n1 n2
n1 n2
M n
M n
N =
=
=
n1 + n2 − r
M + n − (M + n − m)
m
• s ≥ 3 =⇒ iterieren; Nullstellen eines Polynoms vom Grade s − 1
• Aber: ML-Theorie kann angewendet werden
86
Satz 5.6
Im Multiple-Marking Modell gilt für den ML-Schätzer N̂ aus Satz 5.5
!
!
s s X
X
2
2
s−1
s−1
−
N̂ − ni
+
N̂ − ni
2
N̂
N̂
i=1
i=1
(i) b̂ =
! 2
s X
1
s−1
1
2
+
−
N̂ − r
N̂
N̂ − ni
i=1
ist ein Schätzer für die Verzerrung von N̂ .
(ii) Die asymptotische Varianz von N̂ ergibt sich aus
!−1
s
X
s−1
1
1
+
−
Var(N̂ ) ≈
N̂ − r
N̂
i=1 N̂ − ni
Bemerkung: Allgemeine Abschätzung nach Chapman (1952)
ni Mi
ni Mi
max r, min
≤ N̂ ≤ max
i=2,...,s mi
mi
=⇒ gute Einschränkung für Startwerte eines iterativen Verfahrens
87
Bemerkungen zu offenen Populationen:
Das Vorliegen der vier Prozesse:
•
•
•
•
Einwanderung %
Auswanderung &
Geburt %
Tod &
”stört” die Bestimmung von N̂ . Es müssen zusätzliche Parameter benutzt werden.
ϕ
νi
...
Wahrscheinlichkeit von Stichprobe i nach (i + 1) zu überleben
Wahrscheinlichkeit, dass ein in Stichprobe i gezogenes Tier
in die Population zurückkehrt
=⇒ Folge von (bedingten) Schätzern im Multinomialmodell (d. h. N̂i ist eine Zeitreihe)
88
§6 Netzwerk- oder Multiplizitätsstichproben
(engl. Network-Sampling, Multiplicity-Sampling)
Beispiel 6.1 (Prävalenz einer seltenen Krankheit)
(a) Multiplizität
Betrachte eine Zufallsstichprobe von Krankenhäusern. Die Akten der Krankenhäuser
der Zufallsstichprobe enthalten die Daten der erkrankten Personen. Beachte, dass
ein Patient in mehreren Krankenhäusern behandelt worden sein kann. Je häufiger ein
Patient in verschiedenen Krankenhäusern behandelt worden ist, desto größer ist die
Wahrscheinlichkeit, dass die Krankenakte des Patienten in die Stichprobe gelangt.
(b) Netzwerk
Betrachte eine Stichprobe von Haushalten. Alle Bewohner des Haushaltes werden
nach der Krankheit befragt. Außerdem wird jeder Bewohner gefragt, ob seine/ihre
Geschwister an der Krankheit leiden. Eine Person mit mehrerer Geschwistern in
verschiedenen Haushalten hat somit eine höhere Wahrscheinlichkeit als eine Person ohne
Geschwister in einem Single-Haushalt in die Stichprobe zu gelangen. Beachte, dass
selbst Bewohner eines gemeinsamen Haushalts unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten
haben können, um in die Stichprobe zu gelangen. Unter einem Netzwerk verstehen wir
die Menge aller Untersuchungseinheiten, die die gleiche Verbindungsstruktur (linkage
configuration) aufweisen.
89
Voraussetzungen 6.2
• Sei Yi der Merkmalswert der i-ten Untersuchungseinheit. Das Merkmal kann eine
Indikatorvariable sein, Yi = 1, falls die Krankheit vorliegt, Yi = 0 sonst, oder z.B. die
Behandlungskosten.
• Sei N die Anzahl der Untersuchungseinheiten in der Population.
N
P
• Sei Y. =
Yi die interessierende Populationssumme.
i=1
• Sei M die Anzahl der Auswahleinheiten (Krankenhäuser, Haushalte).
• Sei mi die Anzahl, wie oft die i-te Untersuchungseinheit mit den Auswahleinheiten
verbunden ist.
• Es werden n Auswahleinheiten mittels eZoZ gezogen und alle Untersuchungseinheiten,
die mit den gezogenen Auswahleinheiten verbunden sind, gelangen in die Stichprobe.
• Die Auswahlwahrscheinlichkeit für die i-te Untersuchungseinheit ist pi = mi/M ;
das ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine Auswahleinheit, die mit der
Untersuchungseinheit verbunden ist, gezogen wird.
90
Satz 6.3 (Multiplicity estimator)
(a) Ein unverzerrter Schätzer für Y. ist gegeben durch
M X Yi
Ŷ. =
,
n i∈S mi
wobei S die Menge der Untersuchungseinheiten in der Stichprobe bezeichnet.
(b) Sei
X Yi
wj =
mi
i∈A
j
mit Aj der Menge der Untersuchungseinheiten in der j -ten Auswahleinheit, dann lässt
sich der Schätzer aus (a) auch darstellen als
n
MX
wj ,
Ŷ. =
n j=1
(c) Die Varianz des multiplicity estimator ist gegeben durch
M
X
M (M − n) 1
Var(Ŷ.) =
n
M − 1 j=1
Y.
wj −
M
2
91
(d) Ein unverzerrter Schätzer für Var(Ŷ.) ist gegeben durch
c (Ŷ.) = M (M − n) s2 ,
Var
w
n
wobei
n
2
sw
1 X
2
(yi − w̄) ,
=
n − 1 j=1
n
1X
w̄ =
wj .
n j=1
Beweis: siehe Vorlesung
Bemerkung 6.4
(a) Unter einem Netzwerk verstehen wir die Menge aller Untersuchungseinheiten, die die
gleiche Verbindungsstruktur (linkage configuration) aufweisen. Ein Netzwerk kann
somit mit mehreren Auswahleinheiten verbunden sein (Geschwister in verschiedenen
Haushalten) und eine Auswahleinheit kann mit mehreren Netzwerken (Nicht-Geschwister
im selben Haushalt) verbunden sein.
(b) Zerlege die Population in K Netzwerke.
Sei Yk∗ die Summe der YWerte der Untersuchungseinheiten im k-ten Netzwerk und m∗k die gemeinsame
Vielfachheit jeder Untersuchungseinheit innerhalb des Netzwerks, k =
1, . . . , K . Dann haben alle Untersuchungseinheiten innerhalb eines Netzwerks
die gleiche Auswahlwahrscheinlichkeit in die Stichprobe zu gelangen.
Diese
Auswahlwahrscheinlichkeit ist gleich der Auswahlwahrscheinlichkeit für das k-te
Netzwerk.
92
(c) Die Auswahlwahrscheinlichkeit für das k-te Netzwerk ist
,
M − m∗ M k
.
πk = 1 −
n
n
(d) Sei m∗jk die Anzahl der Auswahleinheiten, die mit beiden Netzwerken j und k verbunden
sind. Dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass die beiden Netzwerke gemeinsam in die
Stichprobe gelangen, gegeben durch
,
M − m∗ − m∗ + m∗ M j
k
jk
πjk = πj + πk − 1 +
.
n
n
93
Satz 6.5 (Horvitz-Thompson-Netzwerk-Schätzer)
(a) Der Horvitz-Thompson Schätzer für Y. ist gegeben durch
κ
X
yk∗
,
Ŷ . =
π
k
i=1
wobei κ die Anzahl der verschiedenen Netzwerke der Untersuchungseinheiten in der
Stichprobe bezeichne.
(b) Die Varianz des Horvitz-Thompson-Schätzers ist gegeben durch
Var(Ŷ .) =
K X
1 − πk
k=1
πk
∗ 2
(yk ) +
K X
X
πk` − πk π`
k=1 `6=k
πk πl
∗ ∗
yk y`
(c) Ein erwartungstreuer Schätzer für die Varianz ist gegeben durch
c (Ŷ .) =
Var
κ
X
k=1
1
1
−
πk2
πk
!
κ X
X
1
1
∗ 2
∗ ∗
(yk ) +
−
yk y`
π k π`
πk`
k=1 `6=k
94
Beispiel 6.6 (Prävalenz einer seltenen Krankheit in einer Stadt)
Aus M = 5000 Haushalten einer Stadt werden n = 100 Haushalte mittels eZoZ
ausgewählt und alle Erwachsenen in den ausgewählten Haushalten berichten über sich und
über alle Geschwister, die in der Stadt leben, ob sie an der Krankheit leiden. Die Ergebnisse
der Untersuchung lassen sich wie folgt zusammenfassen:
• Im Stichprobenhaushalt 1 leben zwei Erwachsene, ein Mann und eine Frau.
– Der Mann hat einen Bruder, der in einem anderen Haushalt in der Stadt lebt.
Der Mann hat die Krankheit nicht (y1 = 0), aber der Bruder hat sie (y2 = 1).
Zusammen bilden die beiden ein Netzwerk (Netzwerk 1) mit Vielfachheit m∗1 = 2.
– Die Frau hat die Krankheit (y3 = 1) und zwei Geschwister leben in unterschiedlichen
Haushalten in der Stadt, der Bruder mit der Krankheit (y4 = 1) und die Schwester
ohne (y5 = 0). Diese drei Geschwister bilden ein Netzwerk (Netzwerk 2) mit
m∗2 = 3.
• Der Haushalt der Schwester der Frau aus Haushalt 1 ist auch in die Stichprobe
gekommen (Haushalt 2).
– Das Netzwerk 2 der drei Geschwister ist doppelt ausgewählt und befragt worden.
– Der Ehemann in Haushalt 2 hat die Krankheit nicht (y6 = 0). Da keine Geschwister
von ihm in der Stadt leben, bildet er alleine ein Netzwerk (Netzwerk 3) mit m∗3 = 1.
• Im Haushalt 3 lebt nur ein Erwachsener mit (y7 = 1). Keine Geschwister von ihm
leben in der Stadt. Er bildet alleine ein Netzwerk (Netzwerk 4) mit m∗4 = 1.
• In anderen 97 ausgewählten Haushalten hat keiner der Bewohner die Krankheit. Auch
deren Geschwister haben die Krankheit nicht. Alle y -Werte sind somit 0.
95
Bemerkung 6.7
(a) Wenn die Auswahleinheiten der Population in Schichten aufgeteilt werden, kann das
Problem auftreten, dass Untersuchungseinheiten mit Auswahleinheiten verbunden sind,
die zu verschiedenen Schichten gehören. Dann sind die Beobachtungen zwischen den
Schichten nicht wie bei der gewöhnlichen geschichteten Auswahl unabhängig.
(b) Seien die M Auswahleinheiten in L disjunkte Schichten aufgeteilt. Seien Mh
Auswahleinheiten in Schicht h und in jeder Schicht wird eine eZoZ vom Umfang nh
gezogen, h = 1, . . . , L. Sei Ahj die Menge der Untersuchungseinheiten, die mit der
j -ten Auswahleinheit in Schicht h verbunden sind. Für die i-te Untersuchungseinheit
sei mi die Anzahl der Auswahleinheiten, die mit der Untersuchungseinheit verbunden
sind. Für die j -te Auswahleinheit in Schicht h definiere die neue interessierende Variable
P
whj durch whj =
i∈Aj Yi /mi . Definiere das Stichprobenmittel der w -Variablen in
Pnh
Schicht h als w̄h = (1/nh) j=1 whj .
Der geschichtete unverzerrte multiplicity Schätzer für Y. lautet dann
Ŷ . =
L
X
Mhw̄h.
h=1
(c) Beachte, dass Ŷ . unverzerrt für Y. ist; aber Mhw̄h ist im Allgemeinen nicht unverzerrt
für die entsprechende Schichtsumme.
96
§7 Nachweisbarkeit und Stichprobenverfahren
(engl. Detectability and Sampling)
In den bisherigen Verfahren ist (weitestgehend) davon ausgegangen worden, dass das
interessierende Merkmal fehlerfrei für jede Untersuchungseinheit in der Stichprobe erfasst
werden konnte. In manchen Situationen ist dies jedoch kaum der Fall.
Beispiele:
(a) Bei Zählungen häufiger Vogelarten ist es unwahrscheinlich, dass alle Vögel in einem
Gebiet (plot) entdeckt werden.
(b) In Erhebungen aus der Luft zur Zählung großer Säugetiere können einige Tiere
unsichtbar bleiben.
(c) Bei der Bestimmung von Mineralien, z.B. Diamanten, in Erd- oder Erzstichproben
können einige Objekte übersehen werden.
Bemerkung 7.1: (Konstante Nachweisbarkeit in einer Region)
Angenommen die Nachweisbarkeit für eine gewisse Tierart in einer Region sei gegeben durch
eine konstante Wahrscheinlichkeit p. Sei y die Anzahl der beobachteten Tiere in der Region
und sei die tatsächliche Anzahl (Populationsgröße) Y . Die Entdeckungswahrscheinlichkeit
für ein Tier in der Region sei p. Unter der Annahme, dass die Tiere unabhängig voneinander
entdeckt werden, ist y binomial verteilt mit Parametern Y und p.
97
Falls die Entdeckungswahrscheinlichkeit p bekannt ist, dann ist ein unverzerrter Schätzer
für Y gegeben durch
1−p
y
mit Var(Ŷ ) = Y
.
Ŷ =
p
p
Ein unverzerrter Schätzer für die Varianz ist gegeben durch
c (Ŷ ) = y 1 − p .
Var
p2
Bemerkung 7.2 (Schätzung der Nachweisbarkeit, Entdeckungswahrscheinlichkeit)
Die Entdeckungswahrscheinlichkeit p ist in der Regel unbekannt und muss geschätzt werden,
siehe Beispiel Verhältnisschätzung mit zweiphasiger Auswahl. Um p zu schätzen, können
Methoden der zweiphasigen Auswahl oder Capture-Recapture Methoden angewendet
werden. Diese Methoden liefern auch immer eine Schätzung für die Varianz der geschätzten
Nachweisbarkeit.
Satz 7.3 (Effekt der geschätzten Nachweisbarkeit)
Sei p̂ ein (approximativ) unverzerrter Schätzer für die Nachweisbarkeit p, und p̂ sei nicht
mit y , der Anzahl der beobachteten Tiere, korreliert. Dann ist ein approximativ unverzerrter
Schätzer für die Populationsgröße Y gegeben durch
y
Ŷ =
p̂
1−p
Y2
mit Var(Ŷ ) ≈ Y
+ 2 Var(p̂)
p
p
Beweis: Anwendung des Fehlerfortpflanzungsgesetzes, siehe Vorlesung.
98
Satz 7.4 (Nachweisbarkeit und eZoZ)
Betrachte eine eZoZ von n Untersuchungseinheiten aus einer Grundgesamtheit von N
Einheiten. Sei Yi die tatsächliche Anzahl der Tiere in der i-ten Untersuchungseinheit und
PN
yi die Anzahl der beobachteten Tiere. Die Populationsgröße ist somit Y. =
i=1 Yi . Die
Entdeckungen in den einzelnen Untersuchungseinheiten seien unabhängig. Für eine feste
Untersuchungseinheit i in der Stichprobe ist yi binomial verteilt mit Parameter Yi und p,
der konstanten bekannten Entdeckungswahrscheinlichkeit.
(a) Ein unverzerrter Schätzer für die Populationsgröße ist gegeben durch
n
N
N1X
Ŷ . =
yi.
ȳ. =
p
p n i=1
(b) Die Varianz von Ŷ . ist gegeben durch
Var(Ŷ .) = N
2
1
n
n
1−
N
2
SY +
1−p
p
Y.
.
Nn
(c) Ein erwartungstreuer Schätzer für die Varianz von Ŷ . ist gegeben durch
2 N
1
n
1
−
p
2
c (Ŷ .) =
1
−
s
ȳ. .
Var
y +
p2 n
N
N
Beweis: siehe Vorlesung
99
Satz 7.5 (Geschätzte Nachweisbarkeit und eZoZ)
Gegeben die Voraussetzungen von Satz 7.4. Jedoch sei die Entdeckungswahrscheinlichkeit
p unbekannt, aber es steht ein (approximativ) unverzerrter Schätzer p̂ zur Verfügung
c (p̂). Zudem sei die Schätzung p̂
sowie eine Schätzung für die Varianz von p̂, nämlich Var
unkorreliert mit ȳ. .
(a) Ein Schätzer für die Populationsgröße ist gegeben durch
n
N1X
N
ȳ. =
yi.
Ŷ . =
p̂
p̂ n i=1
Der Schätzer ist nicht mehr erwartungstreu für Y. .
(b) Die Varianz von Ŷ . ist gegeben durch
"
Var(Ŷ .) ≈ N
2
1
n
1−
n
N
2
SY +
1−p
p
#
2
Y.
Y.
+ 2 2 Var(p̂) .
N n
N p
(c) Ein Schätzer für die Varianz von Ŷ . ist gegeben durch
2
N
c
Var(Ŷ .) = 2
p̂
"
N −n
N
s2y
n
+
1−p
N
2
#
ȳ c
ȳ. + 2 Var(p̂) .
p̂
100
Satz 7.6
Falls eine eZmZ gezogen wird mit bekannter Entdeckungswahrscheinlichkeit p, dann ist
ein erwartungstreuer Schätzer für die Populationsgröße gegeben durch
"
#
2
1−p Y
N
2 SY
mit Var(Ŷ .) = N
+
.
Ŷ . = ȳ
p
n
p N n
Ein unverzerrter Schätzer für die Varianz von Ŷ . ist gegeben durch
n
X
1
2
c
Var(Ŷ .) =
(τi − Ŷ .)
n(n − 1) i=1
mit τi = N yi/p, i = 1, . . . , n.
Bemerkung 7.7 (Ungleiche Auswahlwahrscheinlichkeiten von Gruppen mit ungleichen
Entdeckungswahrscheinlichkeiten)
Sei Yij das interessierende Merkmal (stetig, diskret, binär) der j -ten Beobachtungseinheit
in der i-ten Untersuchungseinheit.
Sei πi die Wahrscheinlichkeit, dass die i-te Untersuchungseinheit in die Stichprobe gelangt,
und πii0 die Wahrscheinlichkeit, dass die i-te und i0-te Untersuchungseinheit gemeinsam
in die Stichprobe gelangen.
Sei gij die Entdeckungswahrscheinlichkeit für die j -te Beobachtungseinheit in der i-ten
Untersuchungseinheit.
101
Sei Mi die Anzahl der Beobachtungseinheiten in der i-ten Untersuchungseinheit und mi
die entdeckten Beobachtungseinheiten in dieser Untersuchungseinheit.
Die Anzahl der verschiedenen Untersuchungseinheiten in der Stichprobe sei ν .
PMi
Sei Yi =
j=1 Yij , i = 1, . . . , k .
Mi
N P
P
Yij .
Populationsgröße: Y =
i=1 j=1
Horvitz-Thompson-Schätzer:
mi
ν
X
yij
1 X
Ŷ =
πi j=1 gij
i=1
mit
Var(Ŷ ) =
N X
1 − πi
i=1
π
Mi N X
N
X
X
X
1
−
g
π
−
π
π
1
0
0
ij
i i
2
2
ii
Yi +
Yi Yi0 +
Yij
πi πi0
πi j=1
gij
0
i=1
i=1
i6=i
Unverzerrter Varianzschätzer:
c (Ŷ ) =
Var
ν X
1 − πi
i=1
π2
mi
ν X
ν
X
X
X
π
−
π
π
1
0
0
i i
2
ii
Ŷi +
Ŷi Ŷi0 +
πii0 πi πi0
πi j=1
0
i=1
i=1
i6=i
1 − gij
2
gij
Pmi
mit Ŷi =
j=1 yij /gij , i = 1, . . . , ν .
Steinhorst, Samuel (1989), Sightability adjustment methods for aerial surveys of wildlife
populations, Biometrics, 45, 415–425.
102
!
2
yij
§8 Adaptive Stichprobenverfahren
Adaptive Stichprobenverfahren heißen solche Stichprobendesigns, bei denen die Auswahl
von Untersuchungseinheiten, die in die Stichprobe gelangen, abhängig sein darf von den
bereits erhobenen Merkmalswerten in der Untersuchung.
Motivation:
• Viele Tier- und Pflanzenpopulationen haben die Tendenz sich zu versammeln oder
anzuhäufen z.B. aufgrund von Herden- oder Schwarmbildung bzw. Umweltregel- bzw.
unregelmäßigkeiten.
• Häufig ist der Ort und die Form der Ansammlung nicht vor der Untersuchung
vorhersagbar, so dass traditionelle Stichprobenverfahren zur Erhöhung der Präzision
wie z.B. die Schichtenbildung nicht möglich sind.
8.1 Adaptive Klumpenstichprobenverfahren
Definition 8.1
Adaptive Klumpenstichprobenverfahren sind solche Stichprobendesigns, bei denen
zunächst eine Startstichprobe von Untersuchungseinheiten (initial set of units) mit einer
zufälligen Stichprobenprozedur gezogen wird, und, wenn die erhobenen Merkmale dieser
ausgewählten Untersuchungseinheiten ein gewisses Kriterium erfüllen, dann werden auch
alle Untersuchungseinheiten in der Nachbarschaft mit in die Stichprobe aufgenommen.
103
Hier: Startstichprobe mit eZoZ oder eZmZ
Voraussetzungen 8.2
• Die Population besteht aus N Untersuchungseinheiten, die mit 1, 2, . . . , N (Labels)
durchnummeriert werden können und zugehörigen Merkmalswerten Y1, Y2, . . . , YN .
• Die Stichprobe s ist eine Menge von Labels, die die Untersuchungseinheiten, die
beobachtet werden sollen, identifizieren.
• Die Daten bestehen aus den beobachteten y -Werten zusammen mit den dazugehörigen
Labels.
• Der interessierende Parameter ist das Populationsmittel oder die Populationsgröße, d.h.,
N
1 X
Yi
Ȳ . =
N i=1
oder
Y. = N Ȳ .
Bezeichnung 8.3
Ein Stichprobendesign (sampling design) ist eine Funktion P (s|Y ), die jeder Stichprobe s
eine Wahrscheinlichkeit zuweist. In diesem Kapitel hängen die Auswahlwahrscheinlichkeiten
der Stichproben von den Populationswerten Y1, . . . , YN ab.
104
Annahme 8.4
(a) Für jede Untersuchungseinheit Ui in der Population ist eine Nachbarschaft Ai
eindeutig definiert. Die (Definition der) Nachbarschaft hängt nicht von den YPopulationswerten ab. Darüber hinaus ist die Nachbarschaftsbeziehung symmetrisch,
d.h. falls Untersuchungseinheit Ui in der Nachbarschaft von Uj ist, dann ist auch Uj
in der Nachbarschaft von Ui.
(b) Die Bedingung weitere Untersuchungseinheiten aus der Nachbarschaft der
Untersuchungseinheiten der Startstichprobe in die Stichprobe aufzunehmen, wird durch
ein Intervall oder eine Menge C basierend auf dem Wertebereich der Y-Merkmalswerte
bestimmt. Eine Untersuchungseinheit Ui erfüllt die Bedingung, falls Yi ∈ C .
Beispiel: Eine Untersuchungseinheit Ui erfüllt die Bedingung, falls Yi größer oder gleich
einer Konstanten c ist, d. h. C = {Y : Y ≥ c}.
Bemerkung 8.5 (Adaptive Strategie)
• Falls eine Untersuchungseinheit Ui die Bedingung aus Annahme 8.4(b) erfüllt, werden
alle Untersuchungseinheiten aus der Nachbarschaft von Ui ebenfalls in die Stichprobe
aufgenommen und beobachtet.
• Einige der neuen Untersuchungseinheiten könnten die Bedingung ebenfalls erfüllen,
andere nicht.
• Wenn neue Untersuchungseinheiten die Bedingung erfüllen, dann werden auch alle
Untersuchungseinheiten aus der Nachbarschaft dieser Untersuchungseinheiten in die
Stichprobe aufgenommen und beobachtet.
• usw.
105
Bezeichnung 8.6
• Betrachte die Menge aller Untersuchungseinheiten, die mit der adaptiven Strategie
aus Bemerkung 8.5 aufgrund der Untersuchungseinheit Ui der Startstichprobe in die
Stichprobe gelangt sind. Diese Menge bezeichnen wir als Klumpen (cluster).
• Innerhalb eines Klumpens gibt es eine Untermenge, die als Netzwerk bezeichnet
wird. Die Untersuchungseinheiten des Netzwerks haben die Eigenschaft, dass, wenn
ein Element des Netzwerks in die Startstichprobe gelangt, dann kommen aufgrund der
adaptiven Strategie auch alle anderen Elemente des Netzwerks in die Stichprobe; anders
ausgedrückt: alle Untersuchungseinheiten in dem Netzwerk erfüllen die Bedingung.
• Jede Untersuchungseinheit, die die Bedingung nicht erfüllt, aber in der Nachbarschaft
einer Untersuchungseinheit liegt, die die Bedingung erfüllt, wird als edge unit
bezeichnet.
Bemerkung 8.7
Falls eine Untersuchungseinheit, die zu einem Netzwerk gehört, in die Startstichprobe
gelangt, so gelangen alle Untersuchungseinheiten dieses Netzwerks sowie die edge units in
die Stichprobe.
Die Auswahl eines edge units führt zu keiner weiteren Auswahl von Untersuchungseinheiten.
Untersuchungseinheiten, die die Bedingung nicht erfüllen, bilden somit jeweils ein Netzwerk
der Größe 1.
Seien die Y -Populationswerte gegeben. Dann lässt sich die Population eindeutig in
Netzwerke aufteilen.
106
Lemma 8.8 (Startstichprobe mit eZoZ)
Sei mi die Anzahl der Untersuchungseinheiten in dem Netzwerk, zu dem die
Untersuchungseinheit Ui gehört, und sei ai die Gesamtzahl von Untersuchungseinheiten in
Netzwerken, bei denen Ui edge unit ist. Die Startstichprobe von Umfang n wird als eZoZ
gezogen. Dann gilt:
(a) Die Auswahlwahrscheinlichkeit für Ui in jedem der n Züge ist
pi =
mi + ai
,
N
i = 1, . . . , N.
(b) Die Wahrscheinlichkeit, dass Ui in die Stichprobe gelangt, ist
N − m − a .N i
i
πi = 1 −
,
n
n
i = 1, . . . , N.
Lemma 8.9 (Startstichprobe mit eZmZ)
Die Startstichprobe von Umfang n wird als eZmZ gezogen. Dann gilt:
(a) Die Auswahlwahrscheinlichkeit für Ui in jedem der n Züge ist
pi =
mi + ai
,
N
i = 1, . . . , N.
(b) Die Wahrscheinlichkeit, dass Ui in die Stichprobe gelangt, ist
n
πi = 1 − (1 − pi) ,
i = 1, . . . , N.
107
Bemerkung 8.10
(a) Falls die Untersuchungseinheit Ui die Bedingung erfüllt, so ist ai = 0. Falls Ui die
Bedingung nicht erfüllt, so ist mi = 1.
(b) Die Auswahlwahrscheinlichkeiten pi und die Einschlusswahrscheinlichkeiten πi können
nicht anhand der Daten bestimmt werden, weil unter Umständen einige der ai unbekannt
bleiben.
Satz 8.11 (modifizierter Hansen-Hurwitz Schätzer)
Bezeichne Ψi das Netzwerk, das die Untersuchungseinheit Ui enthält, und sei mi die
Anzahl der Untersuchungseinheiten in diesem Netzwerk. Definiere
1 X
Yj .
wi =
mi j∈Ψ
i
(a) Der unverzerrte modifizierte Hansen-Hurwitz Schätzer für das Populationsmittel lautet
n
1X
ˆ
wi .
Ȳ . =
n i=1
(b) Falls die Startstichprobe eine eZoZ ist, so gilt
1
VaroZ (Ȳˆ.) =
n
n
1−
N
N
2
1 X
wi − Ȳ .
N − 1 i=1
108
(b0) Falls die Startstichprobe eine eZmZ ist, so gilt
N
X
2
1
1
VarmZ (Ȳˆ.) =
wi − Ȳ .
n N i=1
(c) Ein unverzerrter Schätzer für die Varianz ist
c oZ (Ȳˆ.) = 1
Var
n
n
1−
N
n
2
1 X
ˆ
wi − Ȳ .
n − 1 i=1
(c0) Ein unverzerrter Schätzer für die Varianz ist
n 2
X
1
1
ˆ
ˆ
c
VarmZ (Ȳ .) =
wi − Ȳ .
n n − 1 i=1
Beweis: siehe Vorlesung
109
Bemerkung 8.12 (modifizierter Horvitz-Thompson Schätzer)
Falls die Startstichprobe eine eZoZ ist, so definiere die Wahrscheinlichkeit
0
πi
N − m .N i
.
=1−
n
n
Falls die Startstichprobe eine eZmZ ist, so definiere πi0 = 1 − (1 − mi/N )n. Dabei ist
mi wiederum die Anzahl von Untersuchungseinheiten in dem Netzwerk, das Ui enthält.
Erfüllt Ui die Bedingung nicht, so ist mi = 1. Sei Ji = 0, falls Ui nicht die Bedingung
erfüllt und nicht in der Startstichprobe ist, andernfalls Ji = 1. Sei ν die Anzahl der
unterschiedlichen Untersuchungseinheiten in der Stichprobe. Dann ist der modifizierte
Horvitz-Thompson-Schätzer für das Populationsmittel gegeben durch
ν
1 X Yi Ji
ˆ
Ȳ . =
.
N i=1 πi0
Alternativ: Sei K die Anzahl der Netzwerke in der Population und sei Ψk die Menge der
Untersuchungseinheiten im k-ten Netzwerk. Sei xk die Anzahl der Untersuchungseinheiten
P
im k-ten Netzwerk. Sei Yk∗ =
i∈Ψk Yi die Merkmalssumme im k -ten Netzwerk. Die
Wahrscheinlichkeit πi0 ist für alle Untersuchungseinheiten in dem Netzwerk gleich, d.h.
πi0 = αk und
N − x .N k
αk = 1 −
n
n
n
bei eZoZ und αk = 1 − (1 − xk /N ) bei eZoZ. Definiere Zk = 1, falls irgendeine
Untersuchungseinheit aus dem k-ten Netzwerk in der Startstichprobe ist, sonst Zk = 0.
110
Mit der Netzwerknotation lässt sich obiger Schätzer auch darstellen als
K
X
Yk∗ Zk
1
ˆ
Ȳ . =
N k=1 αk
Für die Varianzen und Varianzformeln siehe Thompson (2002), Sampling, Wiley, Seite
296-297.
Bemerkung 8.13
Betrachte die adaptive Klumpenstichprobe mit Startstichprobenumfang n und betrachte
eine eZoZ mit festen Stichprobenumfang n∗. Dann lässt sich zeigen, dass die adaptive
Strategie mit dem modifizierten Hansen-Hurwitz-Schätzer zu einer größeren Präzision der
Schätzung führt als eine eZoZ, falls gilt
1
1
− ∗
n
n
1
2
Sy <
n
n
1−
N
K
1 XX
2
(Yi − wi)
N − 1 k=1 i∈Ψ
i
mit Ψk dem k-ten Netzwerk in der Population.
D.h. adaptive Klumpenstichprobenverfahren sind effizienter als eine eZoZ, wenn die
Variabilität innerhalb der Netzwerke in der Population hinreichend groß ist.
111
8.2 Systematische und Strip adaptive Klumpenstichprobenverfahren
Annahmen 8.14
Die Grundgesamtheit lässt sich in N primäre Einheiten aufteilen. Jede der primären
Einheiten besteht aus M sekundären Einheiten. Damit gibt es M N Einheiten in
der Grundgesamtheit.
Die M N Einheiten der Grundgesamtheit werden mit Uij ,
i = 1, . . . , N , j = 1, . . . , M , bezeichnet. Jede Uij ist eindeutig mit einem
Merkmalswert Yij verbunden. Die interessierenden Parameter sind das Populationsmittel
PN PM
Ȳ = (M N )−1 i=1 j=1 Yij bzw. die Populationsgröße Y = M N Ȳ .
Bemerkung 8.15
Bezüglich der adaptiven Strategie gelten die gleichen Voraussetzungen wie in Abschnitt 8.1.
Die Nachbarschaft der sekundären Einheiten muss eindeutig definiert sein. Eine Bedingung
muss existieren, die das adaptive Hinzufügen von sekundären Untersuchungseinheiten zur
Startstichprobe regelt. Seien die Y -Werte der Grundgesamtheit gegeben, dann lässt sich
die Grundgesamtheit eindeutig in K Netzwerke aufteilen.
Bemerkung 8.16 (Design)
Es wird zunächst eine Startstichprobe von Umfang n der primären Einheiten mittels eZoZ
gezogen. Wenn eine sekundäre Einheiten in einer primären Einheit der Startstichprobe die
Bedingung erfüllt, so werden alle sekundären Einheiten in der Nachbarschaft ebenfalls in
die Stichprobe aufgenommen. Wenn eine der neu aufgenommenen sekundären Einheiten
auch die Bedingung erfüllt, so werden auch die sekundären Einheiten aus der Nachbarschaft
dieser Einheit in die Stichprobe aufgenommen, usw.
112
Bezeichnung 8.17
(a) Wenn die primären Einheiten gleichmäßig über die Studienregion verteilt sind, so spricht
man von einer systematischen Startstichprobe.
(b) Die primären Einheiten heißen Strips (Streifen), wenn die sekundären Einheiten in den
primären Einheiten in gerader Linie angeordnet sind.
Lemma 8.18 (Startstichprobe mit eZoZ)
Sei mij die Anzahl der primären Einheiten, die mit dem Netzwerk, welches Uij enthält,
verbunden ist, und aij die Anzahl der primären Einheiten, bei denen Ui edge unit ist. Die
Startstichprobe von Umfang n wird als eZoZ gezogen. Dann gilt:
(a) Die Auswahlwahrscheinlichkeit für Uij in jedem der n Züge ist
pij
mij + aij
,
=
N
i = 1, . . . , N, j = 1, . . . , M.
(b) Die Wahrscheinlichkeit, dass Uij in die Stichprobe gelangt, ist
πij
N − m − a .N ij
ij
=1−
,
n
n
i = 1, . . . , N, j = 1, . . . , M.
113
Satz 8.19
PM
Sei Yi =
j=1 Yij . Ein unverzerrter Schätzer für Ȳ ist gegeben durch
n
1 X
ˆ
¯
Yi
Y0 =
M n i=1
mit
1
ˆ
¯
Var(Y0) =
M 2n
N
n
1−
N
1 X
2
(Yi − M Ȳ )
N − 1 i=1
n
1−
N
1 X
¯0)2.
(Yi − M Yˆ
n − 1 i=1
und unverzerrter Varianzschätzung
c (Yˆ
¯0) = 1
Var
M 2n
n
Beweis: Anwendung von Satz 1.5
Beachte: Eine unverzerrte Varianzschätzung gibt es nicht, wenn die primären Einheiten
mit einer systematischen Auswahl mit zufälligem Start gezogen wurden.
114
Satz 8.20 (Schätzer basierend auf partiellen Auswahlwahrscheinlichkeiten)
Sei K die Anzahl der Netzwerke in der Grundgesamtheit und Yk die k-te Netzwerksumme
des interessierenden Merkmals. Sei
1, falls die i-te primäre Einheit mit dem Netzwerk k verbunden ist,
Iik =
0, sonst.
PN
Sei xk =
i=1 Iik die Anzahl der primären Einheiten in der Grundgesamtheit, die mit
dem k-ten Netzwerk verknüpft sind. Die Auswahlwahrscheinlichkeit, dass die primäre
Einheit mit dem k-ten Netzwerk verknüpft ist, ist somit xk /N .
Definiere für die i-te primäre Einheit
K
1 X Yk Iik
.
wi =
M k=1 xk
(a) Ein unverzerrter Schätzer für Ȳ ist gegeben durch
n
1X
ˆ
¯
Y1 =
wi
n i=1
¯1) = 1
mit Var(Yˆ
n
n
1−
N
N
2
1 X
wi − Ȳ .
N − 1 i=1
(b) Die Varianz wird unverzerrt geschätzt durch
c (Yˆ
¯1) = 1
Var
n
n
1−
N
n
2
1 X
ˆ
¯
wi − Y1 .
n − 1 i=1
115
Satz 8.21 (Schätzer basierend auf partiellen Einschlusswahrscheinlichkeiten)
Sei αk die Wahrscheinlichkeit, dass eine oder mehrere primäre Einheiten, die mit dem
k-ten Netzwerk verknüpft sind, in die Startstichprobe gelangen, d.h.
N − x .N k
αk = 1 −
.
n
n
Sei αkj die Wahrscheinlichkeit, dass eine oder mehrere primäre Einheiten, die mit dem
k-ten und dem j -ten Netzwerk verknüpft sind, in die Startstichprobe gelangen, d.h.,
N − xk N − xj N − xk − xj + xkj .N ,
αkj = 1 −
+
−
n
n
n
n
wobei xkj die Anzahl der primären Einheiten ist, die mit den Netzwerken k und j verknüpft
sind.
Sei Zk = 1, wenn eine oder mehrere primären Einheiten in der Startstichprobe sind, die
mit dem k-ten Netzwerk verknüpft sind, sonst Zk = 0.
Dann ist ein unverzerrter Schätzer für Ȳ gegeben durch
Ȳˆ2 =
K
1 X Yk Zk
M N k=1 αk
mit
K
K
XX
1
ˆ
Var(Ȳ2) =
YK Yj
M 2N 2 k=1 j=1
αkj
−1
αk αj
,
116
wobei αkk = αk .
Der unverzerrte Varianzschätzer lautet
K
K
X X YK Yj Zk Zj
1
ˆ
c
Var(Ȳ2) =
M 2N 2 k=1 j=1
αkj
αkj
−1
αk αj
8.3 Geschichtete adaptive Klumpenstichprobenverfahren
Designs für geschichtete adaptive Klumpenstichprobenverfahren: Die Grundgesamtheit
wird in L disjunkte Schichten aufgeteilt und jede Schicht h besteht aus Nh Einheiten,
PL
h = 1, . . . , L. Der Umfang der Grundgesamtheit ist N =
Jeder
h=1 Nh .
Untersuchungseinheit Uhi wird eindeutig ein Merkmalswert Yhi, h = 1, . . . , L,
i = 1, . . . , Nh, zugeordnet. In jeder Schicht h wird nun eine Startstichprobe vom Umfang
nh gezogen. Für die adaptive Strategie gelten dieselben Annahmen und Voraussetzungen
wie in Abschnitt 8.1 und 8.2.
Für gegebene Y -Werte kann die Population wiederum in K disjunkte Netzwerke aufgeteilt
werden. Netzwerke sind dadurch charakterisiert, dass, wenn eine Einheit des Netzwerks
in der Startstichprobe ist, so gelangen alle Einheiten des Netzwerks in die endgültige
Stichprobe. Beachte, dass die Einheiten des Netzwerks zu unterschiedlichen Schichten
gehören können.
117
Sei rhi die Anzahl, wie oft Untersuchungseinheit Uhi ausgewählt wird.
Sei mkhi die Anzahl der Einheiten aus der Schicht k, die mit dem Netzwerk, das Uhi
enthält, verknüpft sind.
Sei akhi die Anzahl der Netzwerke in Schicht k, bei denen Uhi edge unit ist.
Die erwartete Anzahl, wie oft Uhi ausgewählt wird, ist dann
E(rhi) =
L
X
k=1
nk
mkhi + akhi
.
Nk
Die Wahrscheinlichkeit, dass Uhi in die Stichprobe gelangt, ist
πhi
L Y
Nk − mkhi − akhi.Nk =1−
nk
nk
k=1
Satz 8.22
Definiere
L
whi
L
.X n
nh X
k
=
ξkhi
mkhi,
Nh k=1
N
k
k=1
wobei ξkhi die Gesamtsumme der Y -Werte der Einheiten des Netzwerks von Uhi aus
Schicht k.
118
Ein unverzerrter Schätzer für das Populationsmittel Ȳ ist dann gegeben durch
nh
L
X
X
1
N
h
whi
Ȳˆ1 =
N h=1 nh i=1
mit
L
1 X
Sh2
ˆ
Var(Ȳ1) = 2
Nh(Nh − nh) ,
N h=1
nh
wobei
N
2
Sh
h
X
2
1
=
whi − W̄h
Nh − 1 i=1
N
h
1 X
whi.
und W̄h =
nh i=1
Die Varianz Sh2 wird durch die Stichprobenvarianz
n
h
1 X
2
2
sh =
(whi − w̄) ,
nh i=1
n
h
1 X
w̄ =
whi,
nh i=1
unverzerrt geschätzt.
119
Bemerkung 8.23
(a) Anstelle von whi kann auch die neue Variable
0
whi
=
L
X
ξkhi
L
.X
k=1
mkhi
k=1
ˆ 0, indem w durch w0 in
definiert werden. Damit ergibt sich ein neuer Schätzer Ȳ
hi
1
hi
0
Satz 8.22 ersetzt wird. Beachte, dass whi und whi gleich sind, falls die Schichten alle
gleich groß sind und die Umfänge der Startstichproben in den Schichten ebenfalls.
(b) Anstelle von whi kann auch die neue Variable
00
whi
.
= ξhhi mhhi
definiert werden, d.h. es werden keine Untersuchungseinheiten des Netzwerks von Uhi
ˆ 00 ergibt sich,
berücksichtigt, die in anderen Schichten liegen. Der neue Schätzer Ȳ
1
00
indem whi durch whi in Satz 8.22 ersetzt wird.
Satz 8.24
Seien die K verschiedenen Netzwerke mit 1, 2, . . . , K bezeichnet.
Sei Yi die
Gesamtsumme im i-ten Netzwerk. Sei xhi die Anzahl der Einheiten in Schicht h,
die mit dem Netzwerk i verknüpft sind. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Startstichprobe
120
mit dem Netzwerk i verknüpft ist, lautet
L Y
Nk − xki.Nk αi = 1 −
.
n
n
k
k
k=1
Sei qi = 1 − αi, dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Startstichprobe mit den
Netzwerken i und j verknüpft ist, gegeben durch
αij
L Y
Nk − xki − xkj .Nk = 1 − qi − qj +
nk
nk
k=1
Sei Zi = 1, falls die Startstichprobe mit dem Netzwerk i verknüpft ist, sonst Zi = 0.
Der unverzerrte stratifizierte Schätzer vom Horvitz-Thompson-Typ ist gegeben durch
K
1 X Yi Zi
ˆ
Ȳ2 =
N i=1 αi
k
k
1 XX
ˆ
mit Var(Ȳ2) = 2
Yi Yj
N i=1 j=1
αij
−1
αi αj
Die Varianz wird erwartungstreu geschätzt durch
k
k
1 X X Yi Yj Zi Zj
ˆ
c
Var(Ȳ2) = 2
N i=1 j=1
αij
αij
−1
αi αj
121
§9 Ausblick auf weitere Verfahren und Anwendungen
• Nonresponse
• Multivariate Stichprobenverfahren
• Ranked Set Sampling
122
9.1 Nonresponse
Einfaches Modell: Unterteile die GG in zwei Schichten; Schicht 1 sind die Responder und
Schicht 2 die Nonresponder. Seien W1 = N1/N und W2 = N2/N die entsprechenden
Schichtgewichte.
Wenn die Untersuchung beendet ist, liegen nur Informationen über Schicht 1 vor; es gibt
keine Daten aus Schicht 2.
Wie sieht der Erwartungswert von ȳ bei eZoZ bei Vorliegen von Nonresponse aus?
Kann ein zuverlässiges Konfidenzintervall für Ȳ angegeben werden?
Bias: W2 (Ȳ1 − Ȳ2)
Stetiges Merkmal: ??
Binäres Merkmal: P2 ∈ [0, 1]
Seien W1 und W2 bekannt und sei eine Stichprobe vom Umfang n1 gegeben, dann ist ein
approximatives (1 − α)-Konfidenzintervall für P1 gegeben durch
p1 ± u1−α/2
q
p1 (1 − p1)/n1
123
Ein konservatives (1 − α)-Konfidenzintervall für P ist gegeben durch
[P̂L, P̂U ]
mit
p1 − u1−α/2
P̂L = W1
und
P̂U = W1
p1 + u1−α/2
q
p1 (1 − p1)/n1
q
+ W2 · 0
p1 (1 − p1)/n1
+ W2 · 1
Je größer W2, d.h. der Anteil der Nonresponder, desto breiter ist das Konfidenzintervall.
Ziel: W2 möglichst klein.
Die Grenzen können auch etwas schmaler gemacht werden, da nie gleichzeitig p2 = 0 und
p2 = 1 — wie oben angenommen — auftreten kann.
Literatur: Kapitel 13 in Cochran (1977), Sampling Techniques, Wiley.
124
9.2 Multivariate Stichprobenverfahren
Literatur: Kreienbrock, L. (1986). Einfache und geschichtete Zufallsauswahl aus endlichen
Grundgesamtheiten bei multivariaten Beobachtungen. Dissertation, Fachbereich Statistik,
Uni Dortmund.
In allen bisherigen Stichprobenverfahren wurde nur ein Merkmal Y erhoben. Häufig werden
aber mehrere Merkmale Y1, . . . Yk an einer Untersuchungseinheit erhoben.
Beachte: einfache und geschichtete Zufallsauswahl wählen die Untersuchungseinheit aus;
unabhängig davon, ob ein oder mehrere Merkmal erhoben werden.
Aber: die Merkmale Y1, . . . Yk sind in der Regel korreliert; die Rolle der Varianz bei einem
Merkmal übernimmt nun die Kovarianzmatrix der Merkmale Y1, . . . Yk .
Wann ist eine Kovarianzmatrix A ”kleiner” als eine Kovarianzmatrix B ?
125
9.3 Ranked Set Sampling
Kosteneffektive Stichprobenverfahren
Problem: Bestimmung von Yi ist kostspielig, arbeitsaufwendig und/oder zeitaufwendig.
McIntyre (1952, Australian Journal of Agricultural Research),
Durchschnittlicher Heuertrag wurde effizienter (präziser) als durch eZoZ geschätzt.
Grundlegende Idee / Annahme:
Eine Stichprobe (Menge) von Untersuchungseinheiten kann durch gewisse Charakteristika
bezüglich der interessierenden Variablen Y , ohne diese tatsächlich zu messen, klassifiziert
bzw. geordnet werden.
McIntyre (1952):
1. Schritt: Ziehe eine eZoZ vom Umfang k, ordne die k Stichprobenelemente bzgl. der
Variablen Y durch Beurteilung (ohne die tatsächliche Messung von Y ), wähle das
Stichprobenelement mit Rang 1 und messe Y ; ignoriere alle weiteren Stichprobenelemente.
2. Schritt: Ziehe eine neue eZoZ vom Umfang k, ordne die k Stichprobenelemente
bzgl. der Variablen Y durch Beurteilung (ohne die tatsächliche Messung von Y ), wähle das
Stichprobenelement mit Rang 2 und messe Y ; ignoriere alle weiteren Stichprobenelemente.
...
k. Schritt: Ziehe eine neue eZoZ vom Umfang k, ordne die k Stichprobenelemente
bzgl. der Variablen Y durch Beurteilung (ohne die tatsächliche Messung von Y ), wähle das
Stichprobenelement mit Rang k und messe Y ; ignoriere alle weiteren Stichprobenelemente.
126
Wiederhole die Schritte 1 bis n m-mal (m Zyklen) ⇒ Stichprobenumfang n = m k.
Das Konzept des Ranked Set Sampling (RSS) ist ähnlich der geschichteten Zufallsauswahl.
RSS kann als Post-Stratifikation der Stichprobenelemente bezüglich ihrer Ränge aufgefasst
werden.
Das Ranking kann durch eine latente Variable (Beispiel McIntyre: Beurteilung der Größe
des Heuertrags durch einen erfahrenen Bauern per einfacher Betrachtung des Feldes) oder
durch eine externe Variable X erfolgen.
Unter einer Konsistenzannahme lässt sich zeigen, dass das Stichprobenmittel
des RSS-Verfahrens erwartungstreu für das Populationsmittel ist und die Varianz
des Stichprobenmittels des RSS-Verfahrens stets kleiner gleich der Varianz des
Stichprobenmittels bei eZmZ ist; und die Gleichheit gilt nur dann, wenn das Ranking
zufällig geschieht.
Literatur: Chen, Z., Bai, Z., Sinha, B.K. (2004), Ranked Set Sampling, Springer.
127

Zugehörige Unterlagen

148 KAPITEL 6. ZUSTANDSRAUM-MODELLE Prognosen über den

Stichproben und Stichprobenfunktion

Stichprobenverfahren - Fakultät Statistik

Zugehörige Unterlagen

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Stichprobenverfahren - Fakultät Statistik

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