Senkrechter Wurf Das ist der einfachste Fall, denn wir haben nur

Vorbemerkung: Diese Herleitung ist besonders ausführlich, damit ihr es wirklich versteht. Es wird nicht
erwartet, dass das alles so in der Klausur wiedergegeben wird.
Senkrechter Wurf
Das ist der einfachste Fall, denn wir haben nur eine Richtung
Startbedingung: Abwurfgeschwindigkeit v0
Gravitationsbeschleunigung g = 9,81 m/s² auf
der Erde, auf dem Mond ist g = 1,6 m/s²)
Für die Geschwindigkeit gilt:
v (t )=v 0 −g⋅t ( v0 ist nach oben gerichtet, g nach unten)
Im höchsten Punkt der Bahn ist v = 0, also
v
0=v 0− g⋅t Steig ⇔ t Steig = 0
g
Weil es nach unten genauso lang wie nach oben dauert, ist die
2⋅v 0
Flugzeit t Flug =2⋅t Steig=
g
Für den Weg (hier: die Höhe, denn es geht ja nach oben) gilt:
1
h(t )=v 0⋅t− ⋅gt 2
2
Auch aus dieser Formel können wir die Flugzeit berechnen, denn am Ende der Flugzeit ist
wieder h = 0
1
0= v 0⋅t Flug − ⋅g t 2Flug
2
1
0=t Flug⋅(v 0 − ⋅g t Flug )
2
Der erste Fall ist der Abwurf, der zweite die Landung.
1
t Flug =0 ∨ v 0 − ⋅g t Flug =0
2
2⋅v 0
t Flug =0 ∨ t Flug =
g
m
s m ²
Der Ordnung halber begründen wir mal die Einheit [t Flug ]=
= ⋅s = s
m
s m
²
s
Natürlich interessiert uns die maximale Höhe. Die ist nach der halben Flugzeit erreicht
v
(s.o.: Steigzeit t Steig= 0 )
g
Wenn wir die Steigzeit in die Formel für die Höhe einsetzen, erhalten wir
1
h(t )=v 0⋅t − g t 2
2
2
v ⋅v 1
v
v 2 1 g⋅v 20 1 v 20
hmax = 0 0 − g⋅( 0 ) = o −
=
g
2
g
g 2 g2
2 g
2
1v
Nebenbei fällt aus hmax = 0 auch noch eine Formel für die Geschwindigkeit nach dem
2 g
Fall aus der Höhe h ab (z.B. für Eiszapfen, die von der Dachrinne fallen) :
1 v2
∣ ⋅2 ⋅g
m
m2 m
2 g
[
v
]=
m⋅
=
=
Stimmt
die
Einheit?
Passt!
2
s2
s2 s
v =2⋅g⋅h ∣√
v = √2⋅g⋅h
Anmerkung für Mathematik-Anwender:
Wenn wir h(t ) als Funktion behandeln, können wir die maximale Höhe als Extremwert
(= Nullstelle der 1. Ableitung) betrachten. Dann geht alles ganz flott:
1
h(t )=v 0⋅t− ⋅g t 2
2
h' (t)=v o − g⋅t
(Ach so, v(t) ist also die 1. Ableitung von h(t)!)
0=v 0− g⋅t liefert wieder die „Steigzeit“, wenn wir das in h(t) einsetzen haben wir wieder
die Maximal-Höhe
h=
√ √