Freie gedämpfte Schwingungen

Freie gedämpfte Schwingungen
Reale Schwingungsvorgänge verlaufen gedämpft, da mechanische
Energie in andere Energieformen umgewandelt wird. Meistens sind es
Reibungsvorgänge, bei denen Bewegungsenergie in Wärme
verwandelt wird.
Wir wollen annehmen, dass die Reibung wie im Falle der
Stokes’schen Reibung vom Betrag der Geschwindigkeit abhängt und
setzen die Reibungskraft (rk – Reibungskoeffizient) an mit
r
r
FR = −rk v
Des weiteren wirke eine rücktreibende Kraft, die einen ausgelenkten
Oszillator in seine Ruhestellung zurücktreibt. Diese Kraft sei wie im
Falle des Federschwingers oder des mathematischen Pendels eine
lineare Funktion des Ortes:
r
r
Frr = −D r
Die Bewegungsgleichung unter Einbeziehung der Trägheitskraft lautet
dann:
r r r
r
r
r
FT + FR + Frr = 0 = −m&r& − rk v − Dr
r
r
Im eindimensionalen Fall (hier sei r = x i ) vereinfacht sich die letzte
Gleichung zu
m&x& + rk x& + Dx = 0
Dies ist die Bewegungsgleichung des linearen gedämpften
harmonischen Oszillators.
Mit den Abkürzungen
rk
D
= 2δ und ω02 =
m
m
lautet die Gleichung
&x& + 2δx& + ω02 x = 0
Diese homogene Differentialgleichung zweiter Ordnung mit
konstanten Koeffizienten kann mit folgendem Ansatz gelöst werden:
x ( t ) = A exp(λt )
Mit x& ( t ) = Aλ exp(λt ) und &x&( t ) = Aλ exp(λt ) erhält man
durch Einsetzen in die Differentialgleichung (Dgl) eine quadratische
Gleichung für den Parameter λ:
2
λ1, 2 = −δ ± δ 2 − ω02
Die Lösung der Dgl kann als Linearkombination unter Verwendung
des Lösungsansatzes für beide Parameter geschrieben werden:
− δt
{
x(t) = e A e
δ 2 − ω02 t
+e
− δ 2 − ω02 t
}
Wir diskutieren die Lösung dieser Gleichung in drei Fällen:
schwache Dämpfung
starke Dämpfung
Schwingfall
Aperiodischer
Grenzfall
Kriechfall
δ 2 − ω02 < 0
δ 2 − ω02 = 0
δ 2 − ω02 > 0
Der Schwingfall
Im Falle schwacher Dämpfung ist δ − ω0 < 0 . Damit führt die
Wurzel aus einer negativen Zahl zu einem komplexen Ausdruck.
Unter Verwendung des Ausdruckes für eine komplexe
Exponentialfunktion
2
2
e iz = cos z + i sin z
(i imaginäre Einheit: i = − 1 ) vereinfacht sich der obere Ausdruck zu

cos( ω2 − δ 2 t ) + i sin( ω2 − δ 2 t )
0
0


x(t) = e A

2
2
2
2
+ cos(− ω0 − δ t ) + i sin(− ω0 − δ t )
− δt
Mit sin-x = -sinx und cos-x =cosx gilt dann
{
}
x ( t ) = e−δt A 2 cos( ω02 − δ2 t )
Mir der neuen Amplitude x0 = 2A erhalten wir schließlich
x ( t ) = x 0e− δt cos( ω02 − δ2 t )
Diese Gleichung beschreibt eine Schwingung mit der Kreisfrequenz
ω = ω02 − δ 2
deren Amplitude exponentiell mit der Zeit abnimt. Den Parameter
der die Stärke des Abfalls mit der Zeit beschreibt, nennt man auch
logarithmisches Dekrement.
δ,
x ( t ) = x 0e− δt cos( ω02 − δ2 t )
Gedämpfte Schwingung
-1
f = 1 Hz ; x0 = 1cm ; δ = 0,5 s
1
∝ exp(− δt )
0,8
0,6
Elongation / cm
0,4
0,2
0
-0,2
0
1
2
3
4
5
-0,4
-0,6
-0,8
-1
t/s
Schwingfall
Abfall der Amplitude
Der Kriechfall
2
2
Im Fall starker Dämpfung δ − ω0 > 0 erhalten wir mit
x (t) = e
− δt
{
A e
δ 2 − ω 02 t
+e
−
δ 2 − ω 02 t
unter Verwendung der Beziehung 2sinh(z)=exp(z)-exp(-z) :
)
(
sinh ( δ − ω t )
x ( t ) = 2Ae−δt sinh δ 2 − ω02 t
Ersetzt man wieder 2A durch die Amplitude x0, so gilt schließlich
x ( t ) = x 0e −δt
2
2
0
}
Nach einem kurzen Anstieg fällt die Amplitude mit einer durch die
Dämpfung δ bestimmten Zeitkonstante ab:
(
x ( t ) = x 0e −δt sinh δ2 − ω02 t
)
Kriechfall
-1
-1
f = 1 Hz ; ω0 = 6,28..s ; δ = 25 s
1
0,9
Elongation / cm
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0
0,5
1
1,5
2
t/s
Aperiodischer Grenzfall
Der aperiodische Grenzfall ist gegeben unter der Bedingung
δ 2 − ω02 = 0 .
Mit einem veränderten Lösungsansatz erhält man als Lösung der
Bewegungsgleichung
x ( t ) = Ate− δt
Die Funktion x(t) verläuft ähnlich wie im Kriechfall, geht jedoch in
der kürzestmöglichen Zeit gegen Null.
Beispiel
Gedämpfte Schwingung
1,2
1
0,8
0,6
x / w. E.
0,4
0,2
0
-0,2
0
0,5
1
1,5
2
2,5
-0,4
-0,6
-0,8
-1
t/s
Schwingfall
Kriechfall
Grenzfall
Die oben gezeigten Funktionen wurden für folgende Parameter
berechnet:
Frequenz der ungedämpften Schwingung: f = 1 Hz
Schwingfall: δ = 0,5 s-1 ; δ-1 = τ = 2 s
Kriechfall:
δ = 30 s-1
Aperiodischer Grenzfall: δ = ω0 = 2πf = 6,28...s-1
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