§3 Der Euklidische Abstand

§3 Der Euklidische Abstand
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§3 Der Euklidische Abstand
Der Abstand zweier Punkte P und Q in der Modellebene ist eine Zahl, die von den Koordinaten der
Punkte abhängt. Der Term, mit dem die Berechnung erfolgt, wird in der Anschauungsebene mit Hilfe
des Satzes des Pythagoras gewonnen.
y
Definition:
Q = ( x2 ; y2 )
y2
Gegeben seien zwei Punkte P = (x1; y1 )
und Q = ( x2 ; y2 ) . Dann heißt die Zahl
d ( P, Q) =
( x2 − x1 )2 + (y 2 − y1 )2
x1
Euklidischer Abstand von P und Q.
y1
Bei der Definition des Abstandsausdrucks
werden außerdem folgende algebraischen
Tatsachen benutzt:
x2
x
y2 − y1
P = (x1 ;y1 )
x2 − x1
(1)
Die Entfernung zweier Zahlen a und b auf der reellen Zahlengeraden ist unabhängig von deren
Größe und Vorzeichen immer durch den Term b − a gegeben.
(2)
Für je zwei reellen Zahlen a und b gilt b − a = a − b .
(3)
Für jede reelle Zahl z gilt z = z2 .
2
Der Euklidische Abstand besitzt vier grundlegende Eigenschaften, in denen das Wesen der Abstandsmessung zum Ausdruck kommt:
Theorem
(1) Für je zwei Punkte P und Q ist ihr Abstand d(P,Q) nicht negativ, d.h. d(P,Q) ≥ 0.
(2) Der Abstand zweier Punkte P und Q ist genau dann 0, wenn die beiden Punkte identisch sind.
(3) Der Abstand zweier Punkte P und Q ist unabhängig von der Reihenfolge, in der die Punkte
betrachtet werden, d.h. d(P,Q) = d(Q,P).
(4) Werden drei Punkte P, Q und R betrachtet, so ist die Summe zweier Abstände immer
mindestens so groß wie der dritte, d.h. d(P,Q) + d(Q,R) ≥ d(P,R) (Dreiecksungleichung).
Übungen zu §3
Aufgabe 3.1
Gegeben ist das Viereck ABCD mit A = (–5; –4), B = (7; –2), C = (5; 6) und D = (–2; 5).
(a) Zeichne das Viereck in ein Koordinatensystem und miss die Abstände, die die Eckpunkte
paarweise voneinander haben (sechs Werte).
(b) Berechne die Abstände mit der Euklidischen Abstandsformel.
Aufgabe 3.2
Gegeben ist für eine reelle Zahl t das Dreieck ABC mit A = (–t; –2t), B = (3t; –t), C = (0; t) .
(a) Berechne den Umfang des Dreiecks in Abhängigkeit von t.
(b) Welche Werte ergeben sich aus der Umfangsformel für t = 2 und t = –3?
Den nachfolgenden Aufgaben 3.3 und 3.4 ist eine häufig wiederkehrende Fragestellung gemeinsam:
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Welche Punkte P = (x; y) erfüllen gleichzeitig zwei vorgegebene Bedingungen?
Das folgende Beispiel verdeutlicht, wie bei der Beantwortung einer solchen Frage vorzugehen ist:
Beispiel
Welche Punkte auf der Gitterlinie h: y = –2 haben vom Punkt Z = (–1; 4) den Abstand 10?
Lösung:
Für einen beliebigen Punkt P = (x; y) der Modellebene ist zu klären, wann er gleichzeitig die
Bedingung P ∈h und die Bedingung d(P;Z) = 10 erfüllt.
(1)
P ∈h
(2)
d(P;Z) = 10
(1) → (2)
⇔ y = −2
⇔
(x − (−1))2 + (y − 4)2 = 10
⇔ (x − (−1))2 + (y − 4)2 = 100
(x + 1)2 + (−2 − 4)2 = 100 ⇔ (x + 1)2 = 64
⇔ [x + 1 = −8 ] ∨ [x + 1 = 8 ] ⇔ [x = −9 ] ∨ [ x = 7]
Die einzigen Punkte auf h, die vom Punkt Z den Abstand 10 haben, sind (–9; –2) und (7; –2).
Aufgabe 3.3
Gegeben sind die Punkte A = (–3; 4), B = B =
(
)
(
)
21; −2 , C = (0; 5) und D = −1;− 24 .
(a) Zeichne die Punkte in ein Koordinatensystem und miss ihre Abstände vom Ursprung.
(b) Bestätige rechnerisch, dass alle vier Punkte den Abstand 5 vom Ursprung (0; 0) haben.
(c) Zeige, dass die Koordinaten der vier Punkte die Bedingung x 2 + y 2 = 25 erfüllen.
(d)
Zeige, dass die Koordinaten eines jeden Punktes P = (x; y) die Bedingung x 2 + y 2 = 25
erfüllt, wenn dieser den Abstand 5 vom Ursprung O = (0; 0) hat.
[Hinweis: Zeige, dass die Bedingung aus der Gleichung d(P; O) = 5 hergeleitet werden kann.]
3
(e) Ermittle zeichnerisch alle Punkte P = (x; y) auf der Gitterlinie v : x = 2 , die den Abstand 5 vom
Ursprung haben. Berechne dann die Koordinaten dieser Punkte.
[Hinweis: Die Koordinaten von P müssen gleichzeitig zwei Bedingungen erfüllen!]
(f)
(g)
8
Ermittle zeichnerisch alle Punkte P = (x; y) auf der Gitterlinie h : y = 3 , die den Abstand 5 vom
Ursprung haben. Berechne dann die Koordinaten dieser Punkte.
[Hinweis: Die Koordinaten von P müssen gleichzeitig zwei Bedingungen erfüllen!]
Der Punkt P habe die Koordinaten (a; a). Bestimme alle Werte von a, für die P den Abstand 5
vom Ursprung hat.
Aufagbe 3.4
Gegeben ist der Punkt M = (–2; 1).
(a) Ermittle zeichnerisch alle Punkte auf der Abszisse, die von M den Abstand 6 haben. Berechne
die Koordinaten dieser Punkte.
(b) Ermittle zeichnerisch alle Punkte auf der Ordinate, die von M den Abstand 7 haben. Berechne
die Koordinaten dieser Punkte.
(c) Der Punkt P habe die Koordinaten (a; a). Für welche Werte von a hat P den Abstand 4 von M?
Aufgabe 3.5
(a) Erläutere allgemein unter Verwendung der Abstandsformel, weshalb der Euklidische Abstand
die ersten drei der in dem Theorem genannten Eigenschaften hat.
(b) Erläutere am Beispiel der Ergebnisse der Aufgabe 3.1 die Gültigkeit der Dreiecksungleichung.
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Anhang zu §3: Quadratische Gleichungen
Im Rahmen der Übungen zu §3 sind eine Reihe von quadratischen Gleichungen zu lösen. Da auch die
Übungen zu den folgenden Paragraphen immer wieder auf quadratische Gleichungen führen, werden in
diesem Anhang die wichtigsten Lösungsverfahren zusammengestellt.
Definition
Seien a, b, c reelle Zahlen, wobei a von 0 verschieden ist. Eine Gleichung der Form
ax 2 + bx + c = 0
heißt quadratische Gleichung in der Variablen x mit den Koeffizienten a, b und c.
Der Koeffizient a, der zum quadratischen Term x2 gehört, heißt Leitkoeffizient.
Reelle Zahlen x, die die Gleichung erfüllen, heißen (reelle) Lösungen der Gleichung.
Die meisten Verfahren zum Lösen von (auch nicht-quadratischen) Gleichungen basieren im Wesentlichen auf zwei Prinzipien:
I
Isolieren
II
Faktorisieren
=
Vereinfache die Ausgangsgleichung
(evtl. Kehrwertbilden, Ausmultiplizieren etc.)
⇔
=
Trenne Variablenterme von Konstanten
⇔
x+
x+
x=
Klammere die Variable aus
⇔
(
)x=
Isoliere die Variable durch Division
⇔
x=
=
Erzeuge eine Nullstellengleichung
⇔
=0
Faktorisiere den Nullstellenterm
⇔
(
)·(
)=0
Wende das Prinzip der Nullteilerfreiheit an
⇔
=0 ∨
=0
Durch Faktorisieren wird eine komplizierte Gleichung
in mehrere einfache Gleichungen überführt, die eventuell
durch Isolieren gelöst werden können.
Die Nullteilerfreiheit ist eine Eigenschaft der Multiplikation der reellen Zahlen, die hier ohne weitere
Begründung als gültig vorausgesetzt wird:
Theorem
Das Produkt r ⋅s zweier reeller Zahlen r und s ist dann und nur dann gleich 0, wenn mindestens
einer der beiden Faktoren r oder s gleich 0 ist.
Wir behandeln nun auf dieser Grundlage die wichtigsten Typen quadratischer Gleichungen.
3.0 Der „entartete Typ“ (a = 0)
bx + c = 0
Ist der Leitkoeffizient gleich 0, so entartet die quadratische Gleichung zu einer linearen Gleichung;
es wird als bekannt vorausgesetzt, wie diese Gleichung durch Isolieren gelöst werden kann.
Wir werden daher im Folgenden immer stillschweigend davon ausgehen, dass der Leitkoeffizient a
von 0 verschieden ist.
3.1 Der erste direkt faktorisierbare Typ (b ≠ 0 und c = 0):
ax 2 + bx = o
Der quadratische Term wird durch Ausklammern von x faktorisiert:
§3 Der Euklidische Abstand
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⇔
5x2 − 7x = 0
x(5x – 7) = 0
⇔
ax 2 + bx = 0
x(ax + b) = 0
⇔
[x = 0] ∨ [5x – 7 = 0]
⇔
[x = 0] ∨ [ax + b = 0]
⇔
[x = 0] ∨ [ x = 5 ]
⇔
[x = 0] ∨ [ x = − a ]
7
3.2 Der rein-quadratische Typ (b = 0 und c ≠ 0):
ax 2 + c = 0
−2x 2 + 11 = 0
(1)
11
2
⇔
x2 −
⇔
x2 0
⇔
⎡x = −
⎢⎣
ax 2 + c = 0
=0
11
2
11 ⎤
∨
2 ⎥
⎦
⎡x =
⎢⎣
11
2
⎤
⎥⎦
6x2 + 15 = 0
(2)
b
c
⇔
x2 + a = 0
⇔
x2 = − a
⇔
⎡x = −
⎢⎣
c
−
c⎤
∨
a⎥
⎦
⎡x =
⎢⎣
c
a
−
⎤
⎥⎦
Die Gleichung ax 2 + c = 0 ist nur lösbar,
wenn die Koeffizienten a und c verschiedene
5
⇔
x2 + 2 = 0
⇔
x 2 = − 2 [keine Lösung]
c
Vorzeichen haben; denn dann ist der Term − a
positiv.
5
3.3 Der allgemeine Typ (b ≠ 0 und c ≠ 0): ax 2 + bx + c = 0
Die Gleichung wird durch Divison durch den Leitkoeffizienten normiert.
Anschließend werden die ersten beiden Summanden quadratisch ergänzt, so dass mit Hilfe der
ersten binomische Formel ein Quadrat gebildet werden kann.
Dann kann, wie im rein-quadratischen Fall, das Prinzip
angewandt werden.
2x2 + 13x − 27 = 0
(1)
13
x
2
⇔
x2 +
⇔
x2 + 2 ⋅
⇔
⇔
⇔
⇔
(x + )
(x + )
−
27
2
13
x
4
+
ax 2 + bx + c = 0
=0
( )
13 2
4
z 2 = q ⇔ ⎡⎣ z = − q ⎤⎦ ∨ ⎡⎣ z = q ⎤⎦
=
( )
27
13 2
+
2
4
b
c
⇔
x2 + a x + a = 0
⇔
x 2 + 2 2a x + ( 2a )2 = − a +
b
b
13 2
4
=
27 169
+
2
16
⇔
(x + 2a )2 =
13 2
4
=
385
16
⇔
(x + 2a )2 =
⎡ x + 13 = −
⎢⎣
4
385
4
⎤ ∨ ⎡ x + 13 =
⎥⎦ ⎢⎣
4
385 ⎤
4 ⎥
⎦
⇔
b 2 −4 ac ≥ 0
⎡ x = −13− 385 ⎤ ∨ ⎡ x = −13+ 385 ⎤
4
4
⎣⎢
⎦⎥ ⎣⎢
⎦⎥
b
b
⎡
b
⎢x + 2 a
⎣
=
b2
4a2
x=
−
4ac
4a 2
b 2 − 4ac
−
⎡
b
∨ ⎢ x + 2a
⎣
⇔
c
4a 2
b 2 − 4ac ⎤
⎥
2a
⎦
=
b2 − 4ac
2a
−b ± b2 − 4ac
2a
⎤
⎥
⎦
b2
4a 2
§3 Der Euklidische Abstand
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3.4 Die Diskriminantenformel
Das unter 3.3 dargestellten Verfahren (quadratische Ergänzung) ist etwas aufwendig; es kann jedoch
durch Anwendung der rechts hergeleiteten Formel abgekürzt werden. Die Lösungsformel darf jedoch
nur benutzt werden, wenn die Diskriminante b 2 − 4ac nicht negativ ist.
Offenbar ist es vorteilhaft, immer zunächst die Diskriminante zu untersuchen. Ist sie nicht negativ, wird
ihr Wert in der Lösungsformel direkt weiterverarbeitet.
Theorem
Sei ∆ := b2 − 4ac die Diskriminante der Gleichung ax 2 + bx + c = 0 . Dann gibt es im Fall
∆ < 0: Keine Lösung
b
∆ = 0: Genau eine Lösung: − 2a .
∆ > 0: Genau zwei Lösungen:
b
[Beachte: − 2a =
− b− ∆
2a
− b+ ∆
2a
und
− b− Δ
2a
=
− b+ Δ
,
2a
falls Δ = 0 ]
.
3.5 Der zweite direkt faktorisierbare Typ
In vielen speziellen Fällen kann die Lösung drastisch abgekürzt werden, weil der quadratische Term mit
etwas Geschick direkt faktorisiert werden kann. Dazu betrachten wir die folgende Umformung, die,
rückwärts gelesen anzeigt, wie vorzugehen ist:
(x + p)(x + q) = x2 + px + qx + pq = x2 + (p + q)x + pq
Beispiele:
(1)
x 2 + 5x + 6 = 0
⇔ (x + 2)(x + 3) = 0 ⇔
(2)
x 2 − 5x + 6 = 0
⇔ (x − 2)(x − 3) = 0 ⇔
2
(3)
x − 5x − 6 = 0
⇔ (x − 6)(x + 1) = 0
⇔
(4)
x 2 + 5x − 6 = 0
⇔ (x + 6)(x − 1) = 0
⇔
[ x = −2] ∨ [x = −3]
[ x = 2] ∨ [ x = 3]
[x = 6 ] ∨ [x = −1]
[x = −6] ∨ [ x = 1]
{+6 = pq; p + q = +5}
{+6 = pq; p + q = −5}
{−6 = pq; p + q = −5}
{−6 = pq; p + q = +5}
Zusammenfassung
Gegeben sei eine quadratische Gleichung ax 2 + bx + c = 0 [mit a ≠ 0].
* Ist ein Koeffizient gleich 0, so wird die Gleichung gemäß 3.0, 3.1 oder 3.2 gelöst.
* Andernfalls wird geprüft, ob der quadratische Term gemäß 3.5 faktorisiert werden kann.
* Ist direktes Faktorisieren nicht möglich, werden die Diskriminante untersucht und, falls sie
nicht negativ ist, die Lösungen gemäß 3.4 berechnet.
Für dieses Verfahren ist es günstig, die Gleichung so umzuformen, dass in den Koeffizienten keine Brüche vorkommen.
Beispiele:
5
2
− 7 x2 − 3 x +
(1)
⇔
11
7
=0
15x2 + 14x − 33 = 0
2
14 − 4 ⋅15 ⋅(−33) = 196 + 1980 = 2176 > 0
Daher hat die Gleichung zwei Lösungen.
x1 :=
−14− 2176
30
x2 :=
−14+ 2176
30
≈ −2, 02
≈ 1,09
(2)
4,2315x 2 − 11, 78x + 26,23 = 0
Die Diskriminate der Gleichung ist:
(−11,78)2 − 4 ⋅ 4,2315 ⋅ 26,23
= −302, 20058 < 0
Die Gleichung hat keine Lösung.
§3 Der Euklidische Abstand
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Übungen zum Anhang von §3
Übung 3.6
Zeige durch Anwendung des jeweils passenden Verfahrens, dass die quadratischen Gleichungen die
gegebenen Lösungsmengen haben.
(a)
2x2 + x + 10 = 0
(b)
(c)
t 2 + 3t = 28 {–7; 4}
4y2 = 28 {– 7 ; 7 }
(d)
11
; 0}
3
(n)
3a 2 + 11a = 0
(o)
(p)
14m − 100 = 2m 2 Ø
h 2 + 60 = 17h {5; 12}
100v 2 + 4 = 80v {
(q)
5 − 4z 2 = 2 {−
(e)
3 − (2p + 1)2 =
(r)
2y2 + 128 = 32y {8}
(f)
x2 + 5
= x 5 { 5}
2
(s)
x 2 − 7x + 12 = 0 {3; 4}
(g)
(3k − 2)k + 6 = 2(3 − k) {0}
(t)
9c 2 + c + 6 = 5(1− c) {− }
(h)
x2 −
(u)
(3b − 4)(3 − 9b) = 6(b − 2) {0;
(i)
56g = 7g 2 {0; 8}
(v)
z 2 = 1 + 2z {1 − 2 ; 1 + 2 }
(j)
(u + 5)2 = 5(2u + 3) Ø
(w)
(12s − 1)(3s + 5) = (2 − 6s)2 { }
(k)
2d2 = d2 −
(x)
7x 2 + 26x − 8 = 0 {–4;
(y)
(a − 1)(a + 5) = (2 + a)2 Ø
(z)
3x2 − 48 = 0 {–4; 4}
(l)
(m)
19
12
x−
7
4
Ø
2− 3 2+ 3
;
}
5
5
2
p(5 − 4p) { }
9
3
4
= 0 {− ;
8d + 2
3
2
6r + 1 = r 5 Ø
{
7
3
}
−4− 10
3
;
−4+ 10
3
}
3
4
(q + 4)( q + 9) = (6 + q)2 {0}
{−
3
2
3
;+ 2 }
1
3
13
9
}
1
9
2
7
}
Übung 3.7
Bestimme die Anzahl der Lösungen der quadratischen Gleichung. Die Gleichungsvariable ist in den
eckigen Klammern [ ] angebenen.
(a) [y]
y 2 + 3ty + 5t 2 + 1 = 0
Δ = −11t 2 − 4
(0 Lösungen)
(b) [a]
a(3k + a) = k(a − k)
∆=0
(1 Lösung)
(c) [z]
3az2 + (6a + 1)z + 1 = 0
Δ = 36a 2 + 1
(d)
mx 2 − x + m(1 − m) = (m − 1)x 2
Δ = 4(m − )2
[x]
1
2
(2 Lösungen)
(abhängig von m)
Übung 3.8
Für welche Parameterwerte hat die Gleichung die angegebene Zahl von Lösungen? Die Gleichungsvariable ist in den eckigen Klammern [ ] angebenen.
(a) [x]
x 2 − 12x + 18m = 0
2 Lösungen
(m < 2)
4 4
3 3
2y2 − 3ky + 2 = 0
1 Lösung
( k ∈{− ; } )
(c) [t]
t 2 + q = qt − 3
1 Lösung
(q ∈{−2; 6})
(d)
a(r(r − 2) + 1) = (r + 2)(r − 2)
0 Lösungen
(a > 2)
(b)
[y]
[r]