Blatt 8 - staff.uni

Institut für Physik
WS 2011/2012
Friederike Schmid
Übungen zur Vorlesung Quantenmechanik II
Blatt 8
Fragen zur Vorlesung:
1. Wie lauten die Maxwellgleichungen?
2. Wie lautet der Zusammenhang zwischen (Vektor)potential und elektromagnetischen Feldern?
3. Worin besteht die Coulomb-Eichung? Warum wird sie in der nichtrelativistischen Quantenoptik gerne verwendet?
4. Was besagt die Transversalitätsbedingung bei freien Strahlungsfeldern? Woher kommt
sie?
5. Wie lautet die allgemeine Lösung der Wellengleichung für freie Strahlungsfelder?
6. Wie wird diese allgemeine Lösung quantisiert?
7. Wie kommt man darauf, dass Photonen Spin 1 haben?
8. Wie beschreibt man linear zirkularisierte, zirkular polarisierte Photonen?
9. Was sind kohärente Lichtzustände? Warum sind sie wichtig?
10. Was versteht man unter ”nichtklassischem” Licht?
11. Erläutern Sie die Unschärferelation für Amplitude und Phase von Licht?
12. Warum werden masselose Bosonen eher als Felder wahrgenommen, und massive Fermionen eher als Teilchen?
Aufgaben (Abgabe am 18.1. oder in den Übungen)
Aufgabe 18) Kommutatorrelation des elektromagnetischen Feldes (4 Punkte)
In der Vorlesung haben wir den folgenden Ausdruck für den Feldoperator des Vektorpotentials des freien elektromagnetischen Feldes hergeleitet:
s
1 X
2πh̄
−ikr
A(r, t) = √
(ak,α eikr + a+
)~ǫk,α
c
k,α e
ω
V k,α
k
Dabei sind a, a+ Leiteroperatoren und ~ǫ die normierten Polarisationsvektoren der Felder.
(a) Leiten Sie die Feldoperatorausdrücke für die Felder E und B her.
(b) Zeigen Sie die Kommutatorrelation für freie elektromagnetische Felder
[Ex (r, t), By (r′ , t)] = 4πi h̄ c
Hinweis: Substituieren Sie die Summe
Aufgabe 19) Casimir-Effekt (8 Punkte)
P
k
∂
δ(r − r′ )
∂z
durch das Integral
V
(2π)3
R
d3 k.
Betrachten Sie zwei planparallele, ideal leitende Platten der Fläche A → ∞ im Abstand
D. Die Eigenfrequenzen des elektromagnetischen Feldes zwischen den Platten haben die
Form ωk = c|k|, wobei kz = nπ/D mit n = 0, 1, 2, 3... (Die z-Richtung steht senkrecht auf
den Platten). Im allgemeinen sind zwei unabhängige Polarisationsrichtungen α möglich,
nur im Fall kz = 0 gibt es nur eine (Warum?).
(a) Geben Sie Ausdrücke für die Grundzustandsenergie E0 = V1 k,α 12 h̄ωk für endlichen
Plattenabstand D und unendlichen Abstand an. Führen Sie, wenn möglich, den
Kontinuumslimes durch, d. h. ersetzen Sie in unendlich ausgedehnten RaumrichR
P
tungen kβ → L/2π dkβ mit L → ∞. Sie erhalten divergierende Integrale. Lassen
Sie sich davon vorerst nicht stören.
P
(b) Zeigen Sie: Die Differenz ∆E zwischen der Grundzustandsenergie pro Volumen bei
endlichem Plattenabstand D und unendlichem Plattenabstand kann in die Form
∆E ∝ F (0) + 2
∞
X
n=1
F (n) − 2
Z
0
∞
F (n) dn
√
R
gebracht werden mit F (n) = n∞2 dz z. Hier ist F (n) nach wie vor divergent.
Hinweis: Substituieren Sie z = n2 + (D/π)2 (kx2 + ky2 ) für den Fall mit Platten, und
n = kz D/π für den Fall ohne Platten.
(c) Für Wellenvektoren von der Ordnung inverser atomarer Abstände wird die Näherung
ideal leitender Platten unphysikalisch. Nehmen Sie daher an, daß der Integrand in
F (n) zusätzlich einen Cutoff enthält, der garantiert, daß F (n) → 0 für n → ∞.
Zeigen Sie mit Hilfe der Euler-Maclaurin-Formel
N
X
n=1
Z
F (n)−
N
0
1
1
1
F (n)dn = (F (N)−F (0))+ (F ′ (N)−F ′ (0))−
(F ′′′ (N)−F ′′′ (0))+...
2
12
720
daß die Casimirenergie pro Plattenfläche unabhängig von der Form des Cutoffs durch
h̄cπ 2
∆E
=−
A
720D 3
gegeben ist.
Berechnen Sie die daraus resultierende Anziehungskraft zwischen den Platten. Diese
Anziehung wird im Vakuum allein durch die Vakuumfluktuationen des elektromagnetischen Feldes erzeugt.