Aufgabe 1. Rechnen mit Kreuzprodukt. In einem

Aufgabe 1. Rechnen mit Kreuzprodukt.
In einem Geometrieprogramm sei das Kreuzprodukt für Vektoren im R3 implementiert. Darauf stützend, wie implementieren Sie
die folgenden Aufgaben?
a) die Verbindungsgerade g zweier Punkte p1 und p2
b) den Schnittpunkt p zweier Geraden g1 und g2
c) die Parallele g 0 zu einer gegebenen Gerade g durch einen gegebenen Punkt p
d) die Gerade g durch einen gegebenen Punkt p mit Steigungswinkel α
Nehmen Sie an, dass alle Punkte und Geraden in homogenen Koordinaten vorliegen.
L ÖSUNG :
a) g = p1 × p2 ,
b) p = g1 × g2 ,
c) p0 = g × ∞, wobei ∞ die Gerade im Unendlichen (0,0,1) sei. Dann ist g 0 = p × p0 .
d) p0 = (cos α, sin α, 0), der Punkt im Unendlichen in Richung der Steigung α. Nun g 0 = p × p0 .
Aufgabe 3. Kreuzprodukt und Beweisen.
a) Bestimmen Sie in der Standardeinbettung (x, y) 7→ (x, y, 1) der euklidischen Ebene in RP2 die homogenen Koordinaten
der beiden Koordinatenachsen von R2 .
11
b) In der Mathematikausstellung ixquadrat steht folgendes Exponat
(siehe Abb, rechts):
Will man zwei Zahlen x und y
miteinander multiplizieren, so fällt
man in R2 von (−x, 0) und von
(y, 0) das Lot auf eine Normalparabel. Schneidet man die Verbindungsgerade dieser beiden Parabelpunkte mit der y-Achse, so landet
man genau im Punkt (0, x · y). Beweisen Sie diese Eingenschaft mit
Hilfe von homogenen Koordinaten
und dem Kreuzprodukt.
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
5
4
3
2
1
0 1
2
3
4
5
6
L ÖSUNG :


0
a) x-Achse:  1 
0


1
y-Achse:  0 
0
b) Es gilt

 
   
 
 



1
0
0
−x
y
1
x2 − y 2
 x2  ×  y 2  ×  0  = 
 ×  0  =  −xy 2 − x2 y  = −(x + y)  xy 
x+y
2
2
1
1
0
−xy − x y
0
−(x + y)
1
1
Aufgabe 4. Projektives Konstruieren.
Gegeben sei die folgende (unvollständige) Photographie eines Schachbretts:
Zeichnen Sie die fehlenden Felder des Schachbrettes perspektivisch richtig ein.
L ÖSUNG :
Zur Lösung dieser Aufgabe muss man sich nur auf die grundlegenden Eigenschaften projektiver Geometrie besinnen:
Euklidisch parallele Geraden schneiden sich im Unendlichen.
Schnittpunkte von Geraden bleiben unter projektiven Transformationen erhalten.
Sich gegenüberliegende Seiten des Schachbretts sind natürlich parallel. Ihre jeweiligen Schnittpunkte im Unendlichen werden unter der gewählten Perspektive (∼ Projektive Transformation / Schiefdraufschauen“) sichtbar: Die so bestimmten Schnittpunkte
”
werden im untenstehenden Bild mit A und B bezeichnet.
Da der Schnitt von Geraden erhalten bleibt, lässt sich durch den Schnittpunkt der beiden Diagonalen der perspektivisch richtige
Mittelpunkt M des Schachbretts bestimmen.
Die Gerade durch (M und A) bzw. (M und B) teilen dann das Schachbrett perspektivisch richtig in obere und untere bzw. rechte
und linke Spielbretthälfte ein.
B
A
M
Wiederholt man obiges Verfahren, erhält man schliesslich folgendes Ergebnis des perspektivisch richtig gezeichneten Schachbretts:
2
Aufgabe 5. Perspektivischer Würfel.
Vervollständigen Sie die unten stehende Vorlage zu einem perspektivischen Würfel. Dabei sind die Ecken des
Würfels wie im Schrägbild nebenan angeordnet. Der
Punkt Fernpunkt ist ein Punkt auf der Ferngeraden, der
für die Konstruktion benötigt wird.
3
L ÖSUNG :
Die vollständige Konstruktion ist unten angegeben.
4