M6/Lehrstuhl - Technische Universität München

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN
Zentrum Mathematik
Mathematik für Physiker 2
Prof. Dr. N. Berger
Wintersem. 2016/17
Blatt 5
(17.11.2016)
PD Dr. G. Witterstein
(Analysis 1) MA9202
http://www-m6.ma.tum.de/Lehrstuhl/MafPhy2 2016WS
Zentralübung
Z5.1. Charakterisierung der Konvergenz
Die Folge (an ) konvergiert (eigentlich oder uneigentlich) gegen a ∈ R
⇔ lim sup an = lim inf an = a.
n→∞
n→∞
Z5.2. Häufungspunkte von Folgen
Seien (an ), (bn ) zwei reelle Folgen mit lim bn = 0. Dann hat die Folge (an + bn ) die
n→∞
gleichen Häufungspunkte wie (an ).
Z5.3. Die erweiterte Zahlengerade R
Durch
f (x) =



x
1+|x| ,
1,
−1,
falls x ∈ R,
falls x = ∞,
falls x = −∞,
wird eine Funktion f : R → [−1, 1] auf R := R ∪ {−∞, ∞} definiert. Zeigen Sie:
(a) d(x, y) := |f (x) − f (y)| definiert eine Metrik auf R.
(b) (an ) konvergiert gegen a ∈ R, genau dann wenn lim d(an , a) = 0.
n→∞
Hinweis: Aus an → a folgt |an | → |a|.
(c) (an ) konvergiert uneigentlich gegen ∞, genau dann wenn lim d(an , ∞) = 0.
n→∞
Tutoraufgaben
T5.1. Konvergenz und Divergenz
Untersuchen Sie, ob die folgenden Folgen (evtl. uneigentlich) konvergieren oder divergieren. Bestimmen Sie ggf. ihren jeweiligen Grenzwert.
(a) (an )n∈N mit an = (xn + y n )1/n , wobei x > 0, y > 0
+ · · · + n−1
+ nn2
n2
n
(c) (cn )n∈N mit cn = (−1)
n+1
7n7 (1 + n1 )(n3 − 1)
(d) (dn )n≥2 mit dn = 2
(n + 3)(2n5 + 1)(n + 8)2
(b) (bn )n∈N mit bn =
1
n2
2
n2
n
+
T5.2. Produktfolgen und uneigentliche Konvergenz
Zeigen Sie:
(a) Seien (xn )n∈N und (yn )n∈N reelle Folgen mit
lim xn = a ∈ R \ {0}
n→∞
und
lim yn = +∞.
n→∞
Zeigen Sie, dass die Produktfolge (xn yn )n∈N uneigentlich gegen +∞ oder −∞ konvergiert, je nachdem, ob a > 0 oder a < 0.
(b) Finden Sie je ein Beispiel für reelle Folgen (xn )n≥1 und (yn )n≥1 mit lim xn = 0 und
n→∞
lim yn = +∞, für die
n→∞
(i) (xn yn )n≥1 gegen 0 konvergiert,
(ii) (xn yn )n≥1 gegen eine vorgegebene Zahl c ∈ R \ {0} konvergiert,
(iii) (xn yn )n≥1 uneigentlich gegen +∞ konvergiert,
(iv) (xn yn )n≥1 uneigentlich gegen −∞ konvergiert,
(v) (xn yn )n≥1 beschränkt ist, aber weder eigentlich noch uneigentlich konvergiert.
T5.3. Häufungspunkte
Sei (an ) eine reelle Folge mit Häufungspunkten k1 , k ∈ N.
(a) Ist 0 ein Häufungspunkt von (an )?
(b) Geben Sie ein Beispiel für eine solche Folge an.
Hausaufgaben
H5.1. Gegenbeispiele bei uneigentlicher Konvergenz
Seien (an ), (bn ), (cn ) (evtl. uneigentlich) konvergente Folgen mit Grenzwerten in R. Geben
Sie jeweils Beispiele für diese Folgen an, so dass (an bn ), (an /cn ) bzw. (an + bn ) (uneigentlich) gegen C ∈ R konvergieren bzw. divergent sind.
H5.2. Häufungspunkte
Bestimmen Sie für die Folge (cn )n∈N mit
(−1)n
cn = 1 −
sin(n π2 ),
n
cn , cn , lim sup cn , lim inf cn , alle Häufungspunkte und jeweils Teilfolgen, die gegen diese
n→∞
n→∞
konvergieren.
Hinweis: Benutzen Sie die Ceiling-Funktion ceil : R → Z, ceil(x) = inf{k ∈ Z|k ≥ x}.
√
H5.3. Newton-Verfahren zur Berechnung von c
Sei c > 0 und x1 > 0 gegeben. Durch xn+1 = 12 xn + xcn wird rekursiv eine Folge (xn )n∈N
definiert.
Zeigen Sie, dass x2n − c ≥ 0 für alle n ∈ N.
Zeigen Sie, dass (xn )n∈N konvergiert.
Bestimmen Sie den Grenzwert von (xn )n∈N .
√
Zeigen Sie, dass (rn )n∈N , rn := xn − c eine Nullfolge ist mit rn > 0.
2 n
2
√ (e) Zeige: Für n ∈ N gilt rn+1 ≤ 2r√nc und rn+1 ≤ 2 c 2r√1c
, wobei rn definiert in (d).
√
(f) Sei c = 2, x1 = 2. Schätzen Sie, wieviele Schritte man braucht um 2 auf 1000 Stellen
genau zu bestimmen.
(a)
(b)
(c)
(d)
H5.4. Cauchy-Folgen
(a) Sei λ ∈ (0, 1) und (an )n∈N eine Folge reeller Zahlen mit der Eigenschaft, dass
|an+1 − an | ≤ λ|an − an−1 |
(∗)
für alle n ≥ 1. Zeigen Sie direkt mit der Definition, dass (an )n∈N eine Cauchy-Folge
ist. Hinweis: Nutzen Sie die geometrische Summenformel.
n
(b) Sei bn := 3+4i
. Zeigen Sie, dass (bn )n∈N keine Cauchy-Folge ist.
5
Hausaufgabenabgabe: Freitag, 21.11.2014, zu Beginn der Zentralübung