Gleichmäßig beschleunigte Bewegung

Gleichmäßig beschleunigte Bewegung
Ein Körper wird gleichmäßig
• mit der Beschleunigung a
• in der Zeit t
• über die Strecke s
• von der Geschwindigkeit v0
• auf die Geschwindigkeit v1
beschleunigt (abgebremst).
Dann gilt:
(1) v1 = v 0 + at
s = v0t + a t2
2
Wenn von den fünf Größen a, t, s, v0 und v1
drei bekannt sind, können die beiden anderen
berechnet werden.
(2)
1) Gegeben: a, t, v0
Es gibt zehn Fälle, die im
Folgenden abgehandelt werden:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
a
X
X
X
X
t
X
X
X
s
X
X
Gesucht:
(1)
v1
X
X
X
X
X
v0
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
s, v1
v 1 = v 0 + at
s = v0t + a t2
2
________________________________________________________________________
(2)
2) Gegeben: a, t, v1
(1) v1 = v 0 + at ⇔ v 0 = v1 − at
(2)
Gesucht:
a
a
s = v 0 t + a t 2 = (v1 − at)t + t 2 = v1t − t 2
2
2
2
s, v0
v 0 = v 1 − at
s = v1t −
a 2
t
2
________________________________________________________________________
3) Gegeben: a, t, s
Gesucht:
v0, v1
s a
s a
v0 = − t
s = v0t + a t2 ⇔ v0 = − t
2
t 2
t 2
s a
s a
s a
v1 = + t
(1) v1 = v 0 + at = − t + at = + t
t 2
t 2
t 2
________________________________________________________________________
(2)
4) Gegeben: a, v0, v1
Gesucht:
t, s
v − v0
v1 − v 0
t= 1
a
a
2
2
v − v 0 a (v1 − v 0 )
2v (v − v 0 ) + (v1 − v 0 )
+
= 0 1
(2) s = v 0 t + a t 2 = v 0 1
2
2
2
a
a
2a
2
v 2 − v02
(v − v 0 )(2v 0 + v1 − v 0 ) (v1 − v 0 )(v1 + v 0 ) v1 − v 0 2
s= 1
= 1
=
=
2a
2a
2a
2a
________________________________________________________________________
(1)
v1 = v 0 + at ⇔ t =
5) Gegeben: t, v0, v1
Gesucht:
a, s
v − v0
v1 − v 0
a= 1
t
t
v − v0 2
v − v0
t = v0t + 1
t
(2) s = v 0 t + a t 2 = v 0 t + 1
2
2t
2
v + v1
2v + v1 − v 0
v + v1
s= 0
t
t= 0
t
= 0
2
2
2
________________________________________________________________________
(1)
v1 = v 0 + at ⇔ a =
6) Gegeben: s, v0, v1
(1)
(2)
Gesucht:
v1 − v 0
v − v0
(1a) a = 1
t
t
v − v0 2
v − v0
s = v0t + a t2 = v0t + 1
t = v0t + 1
t
2
2t
2
2v + v1 − v 0
v + v1
2s
= 0
t= 0
t⇔t=
2
2
v 0 + v1
a, t
v1 = v 0 + at ⇔ a =
t=
2s
v 0 + v1
v − v0
v1 − v 0 v1 − v 0 (v1 − v 0 )(v1 + v 0 ) v12 − v 0 2
a= 1
=
=
=
2s
2s
t
2s
2s
v 0 + v1
________________________________________________________________________
2
2
(1a) a =
7) Gegeben: t, s, v0,
Gesucht:
a, v1
2(s − v 0 t)
a=
t2
2(s − v 0 t)
s = v0t + a t2 ⇔ a =
2
t2
2(s − v 0 t)
(1) v1 = v 0 + at = v 0 +
t
t2
2s
2s − 2v 0 t
2s
2s
v1 =
− v0
= v0 +
= v0 +
− 2v 0 =
− v0
t
t
t
t
________________________________________________________________________
(2)
8) Gegeben: t, s, v1
(1) v1 = v 0 + at ⇔ v 0 = v1 − at
(1b) v 0 = v1 − at
Gesucht:
a, v0
s = v 0 t + a t 2 = (v1 − at)t + a t 2 = v1t − at 2 + a t 2 = v1t − a t 2
2
2
2
2
2(v1t − s)
2(v1t − s) 2v1 2s
a=
⇔a=
=
− 2
2
t2
t
t
t
2s
2(v1t − s)
2v t − 2s 2s
v0 =
− v1
(1b) v 0 = v1 − at = v1 −
t = v1 − 1
=
− v1
2
t
t
t
t
____________________________________________________________________________
(2)
Gesucht:
9) Gegeben: a, s, v0
(2)
2
v
v 0 2 2s −v 0 ± v 0 + 2sa
⇔t=− 0 ±
+
=
a
a2
a
a
(1)
t, v1
2v
2s
s = v0t + a t2 ⇔ a t2 + v0t − s = 0 ⇔ t2 + 0 t −
=0
2
2
a
a
v1 = v 0 + at = v 0 + a
− v 0 ± v 0 2 + 2sa
t=
−v 0 ± v 0 2 + 2sa
a
v1 = ± v 0 2 + 2sa
− v 0 = ± v 0 2 + 2sa
a
____________________________________________________________________________
10) Gegeben: a, s, v1
Gesucht:
(1)
v1 = v 0 + at ⇔ v 0 = v1 − at
(2)
s = v 0 t + a t 2 = (v1 − at)t + a t 2 = v1t − at 2 + a t 2 = v1t − a t 2
2
2
2
2
2v
a
2s
⇔ t 2 − v1t + s = 0 ⇔ t 2 − 1 t +
=0
2
a
a
t, v0,
(1b) v 0 = v1 − at
2
v
v 2 2s v1 ± v1 − 2sa
⇔ t = 1 ± 12 −
=
a
a
a
a
v1 m v12 − 2sa
(1b) v 0 = v1 − at = v1 − a
= m v12 − 2sa
a
v1 ± v12 − 2sa
t=
a
v 0 = m v12 − 2sa