1. Freie ungedämpfte Schwingungen

1. Freie ungedämpfte Schwingungen
1.1 Schwingungsgleichung
1.2 Statische Vorlast
1.3 Einheiten
1.4 Energiebilanz
1.5 Federsysteme
Prof. Dr. Wandinger
2. Systeme mit 1 Freiheitsgrad
Elastodynamik 1
2.1-1
1.1 Schwingungsgleichung
●
Bewegungsgleichung:
●
Lösungsansatz:
m ẍ c x=0
x t = A 1 sin t  A2 cos t 
ẋ t =  A1 cost − A 2 sin  t  
2
ẍ t =−  A1 sin t  A2 cost  
=−2 x t 
●
●
Einsetzen:
−m 2c  x t =0
Nichttriviale Lösung für:
Prof. Dr. Wandinger
2
−m  c=0 
2. Systeme mit 1 Freiheitsgrad
c
=
m

Elastodynamik 1
2.1-2
1.1 Schwingungsgleichung
●
Schwingungskenngrößen:
–
–
Kreisfrequenz:
c
=
m
Frequenz:

f=
–
●

Periode:
1
m
T = =2
f
c
Prof. Dr. Wandinger
Bestimmung von A1 und A2
aus Anfangsbedingungen
Beispiel:
–

1 c
=
2 2 m

●
Auslenkung x0 und Geschwindigkeit v0 zum
Zeitpunkt t = 0 gegeben
x 0 =x 0= A2  A2=x 0
v0
v0 = ẋ 0= A1  A1 = 
2. Systeme mit 1 Freiheitsgrad
Elastodynamik 1
2.1-3
1.1 Schwingungsgleichung
●
Ergebnis:
x t = x 0 cost v 0 /sin t = A sin  t  
–
Zusammenhang:
A sint = A sint cos  A cost sin 
x 0= Asin 
v0
 =A cos 
Prof. Dr. Wandinger
2. Systeme mit 1 Freiheitsgrad
2
0
A= x  v 0 / 
 x0
tan =
v0

2
Elastodynamik 1
2.1-4
1.1 Schwingungsgleichung
●
Zusammenfassung:
–
Zeitverläufe:
x t = A sin  t 

ẋ t =vt = A cos  t  = Asin t
2


ẍ t =a t =−2 A sin  t  =2 A sin  t 
–
Maxima:
x max = A , v max = A , amax =2 A
Prof. Dr. Wandinger
2. Systeme mit 1 Freiheitsgrad
Elastodynamik 1
2.1-5
1.1 Schwingungsgleichung
v
ωA
α
x
A
α
α
ω2A
Prof. Dr. Wandinger
α=ωt + φ
α=ωt + φ
a
2. Systeme mit 1 Freiheitsgrad
Elastodynamik 1
2.1-6
1.1 Schwingungsgleichung
x(t)/A
a(t)/ω2A
v(t)/ωA
ωt
Prof. Dr. Wandinger
2. Systeme mit 1 Freiheitsgrad
Elastodynamik 1
2.1-7
1.1 Schwingungsgleichung
●
Beispiel: Zugstab mit Einzelmasse
●
L
F = A=E  A=EA⋅
L
E, A
m
L
●
ΔL
F
–
–
Ermittlung der Federkonstante c:
●
Auslenken der Masse
um ΔL
Prof. Dr. Wandinger
Bestimmung der dazu
nötigen Kraft F:
Für die Federkonstante
c folgt:
F
EA
c=
=
L L
Frequenz:
1 c
1 EA
f=
=
2 m 2 mL
2. Systeme mit 1 Freiheitsgrad


Elastodynamik 1
2.1-8
1.1 Schwingungsgleichung
●
Beispiel: Torsionsstab mit
Einzelmasse
–
–
L
G, J
Torsionsstab:
●
Länge L
●
Torsionssteifigkeit GJ
●
masselos
Scheibe:
●
–
Θ
Massenträgheitsmoment
Θ
Freiheitsgrad:
●
Verdrehung φ
M, φ
Prof. Dr. Wandinger
2. Systeme mit 1 Freiheitsgrad
Elastodynamik 1
2.1-9
1.1 Schwingungsgleichung
–
Ermittlung der Federkonstante c:
●
●
●
Verdrehen der Scheibe
um Winkel φ
Bestimmung des dazu
nötigen Moments M:
GJ
M=

L
Für die Federkonstante
folgt:
c=
Prof. Dr. Wandinger
GJ
L
–
Schwingungsgleichung:
 ̈c =0
–
Kreisfrequenz:
c
GJ
=  =
L
 
–
Frequenz:
f=
2. Systeme mit 1 Freiheitsgrad

1 GJ
=
2  2 L 

Elastodynamik 1
2.1-10
1.1 Schwingungsgleichung
●
Beispiel: Kragbalken mit
Einzelmasse
E, I
●
F =3
m
●
L
F
w
–
Bestimmung der dazu
nötigen Kraft F:
–
Für die Federkonstante
c folgt:
EI
c=3 3
L
Frequenz:
Ermittlung der Federkonstante c:
●
Auslenken der Masse
um w
Prof. Dr. Wandinger
EI
w
3
L
2. Systeme mit 1 Freiheitsgrad
1
EI
f=
3
2
m L3

Elastodynamik 1
2.1-11
1.1 Schwingungsgleichung
●
Beispiel: Rollschwinger
–
Eine zylindrische Walze mit
Masse m und Massenträgheitsmoment Θ bezüglich
des Schwerpunktes wird
durch eine im Schwerpunkt
befestigte Feder der Steifigkeit c gehalten.
–
Die Walze kann auf einer
horizontalen Ebene rollen.
m, Θ
r
c
Prof. Dr. Wandinger
x
φ
2. Systeme mit 1 Freiheitsgrad
Elastodynamik 1
2.1-12
1.1 Schwingungsgleichung
–
Walze freigeschnitten:
–
m, Θ
S
x
r
mg
c∙x
–
φ
–
N
–
H
Rollbedingung:
Prof. Dr. Wandinger
 m r 2  ̈c r 2 =0
–
x=r   ẍ=r ̈
Drallsatz bezüglich
Schwerpunkt S:
 ̈=r H
Impulssatz:
m ẍ=−c x−H
 H =−c r −m r ̈
Schwingungsgleichung:
Frequenz:
1
c r2
f=
2 m r 2
2. Systeme mit 1 Freiheitsgrad

Elastodynamik 1
2.1-13
1.2 Statische Vorlast
c(xs + x)
xs
x
xs + x
G
G
Prof. Dr. Wandinger
2. Systeme mit 1 Freiheitsgrad
Elastodynamik 1
2.1-14
1.2 Statische Vorlast
●
Statische Ruhelage:
●
c x s =G
●
Impulssatz:
●
m ẍ =G−c  x s  x 
 m ẍc x=0
●
Eine Schwingung erfolgt
immer um die statische
Ruhelage.
Prof. Dr. Wandinger
Vorspannkraft und statische Last sind im Gleichgewicht.
Bei linearen Systemen
muss die statische Last
nicht berücksichtigt
werden, wenn die Auslenkung von der statischen
Ruhelage aus gemessen
wird.
2. Systeme mit 1 Freiheitsgrad
Elastodynamik 1
2.1-15
1.2 Statische Vorlast
●
Die Frequenz kann aus der statischen Auslenkung
berechnet werden:
–
Gewichtskraft:
G=m g
–
Statische Ruhelage:
c g
c x s =m g  =
m xs
–
Frequenz:
1 g
f=
2 x s

Prof. Dr. Wandinger
2. Systeme mit 1 Freiheitsgrad
Elastodynamik 1
2.1-16
1.3 Einheiten
●
Die Einheiten von Steifigkeit und Masse müssen
konsistent sein.
–
●
In der Praxis werden in
der Regel folgende Einheiten verwendet:
Beispiel:
–
Längeneinheit: mm
N
[c]= , [m]=kg
m
–
Krafteinheit: N
–
Elastizitätsmodul: N/mm2
c
N
kg⋅m
1
=
= 2
= 2
m m⋅kg s ⋅m⋅kg s
[ ]
[ f ]=
[
c
1
= =1 Hz
m s
Prof. Dr. Wandinger
●
Damit ist die Einheit für die
Masse eine abgeleitete
Einheit.
]
2. Systeme mit 1 Freiheitsgrad
Elastodynamik 1
2.1-17
1.3 Einheiten
●
Einheit für die Masse:
kg⋅m
kg⋅103 mm
1 N =1 2 =1
2
s
s
kg⋅mm
1 N =1000
2
s
2
1 kg=10
−3
Ns
mm
●
●
Konsistente Einheiten:
–
N, kg, m
–
N, t, mm
Falsch:
–
N, kg, mm
N s2
1
=1000 kg=1t
mm
Prof. Dr. Wandinger
2. Systeme mit 1 Freiheitsgrad
Elastodynamik 1
2.1-18
1.3 Einheiten
●
Beispiel: Kragbalken mit Einzelmasse
–
–
Für die folgenden Zahlenwerte ist die Frequenz zu bestimmen:
●
E = 2∙105N/mm2
●
I = 2∙105mm4
●
L = 1000mm
●
m = 1kg
Umrechnung der Masse:
●
m = 1∙10-3t
Prof. Dr. Wandinger
2. Systeme mit 1 Freiheitsgrad
Elastodynamik 1
2.1-19
1.3 Einheiten
–
Frequenz:
1
EI
f=
3
2
m L3

1 3⋅2⋅105 N /mm2⋅2⋅105 mm4 1 4⋅3⋅1010 Nmm2
f=
=
−3
2
3
3
2 10 Ns /mm⋅1000 mm
2 106 Ns2 mm2
100
1
=   3 =55,13 Hz
s

Prof. Dr. Wandinger

2. Systeme mit 1 Freiheitsgrad
Elastodynamik 1
2.1-20
1.4 Energiebilanz
●
●
●
Kinetische Energie:
1
1
E k = m v 2= m 2 A 2 cos2  t 
2
2
Elastische Energie:
1
1
E p = c x 2= c A2 sin 2 t 
2
2
Energieerhaltung:
E k E p = E=const.
1 2

A [ m 2 cos2  tc sin 2  t  ]=const.
2
Prof. Dr. Wandinger
2. Systeme mit 1 Freiheitsgrad
Elastodynamik 1
2.1-21
1.4 Energiebilanz
●
●
●
Aus der Energieerhaltung folgt:
m 2=c
1
1
2
Gesamtenergie: E =E k E p = c A = m 2 A2
2
2
1
1
2
2
Mit
cos =  1cos 2  , sin =  1−cos 2  
2
2
folgt:
Prof. Dr. Wandinger
1
E k = E  1cos2  t 2  
2
1
E p = E  1−cos2  t2  
2
2. Systeme mit 1 Freiheitsgrad
Elastodynamik 1
2.1-22
1.4 Energiebilanz
Ep/Emax
Ek/Emax
t
v/vmax
Prof. Dr. Wandinger
x/xmax
2. Systeme mit 1 Freiheitsgrad
Elastodynamik 1
2.1-23
1.5 Federsysteme
●
Parallelschaltung:
●
Reihenschaltung:
c1
c1
c2
c2
m
x
m
x
Prof. Dr. Wandinger
2. Systeme mit 1 Freiheitsgrad
Elastodynamik 1
2.1-24
1.5 Federsysteme
●
Parallelschaltung:
–
Die Federkräfte addieren
sich:
F = F 1 F 2 =c1 xc 2 x
=c1 c 2  x=c x
c1
c2
m
–
c
x
m
–
–
Damit folgt für die Steifigkeit der Ersatzfeder:
c=c 1c 2
Bei mehr als zwei Federn gilt:
Beide Federn haben die
gleiche Auslenkung x.
Prof. Dr. Wandinger
2. Systeme mit 1 Freiheitsgrad
n
c=∑ ck
k =1
Elastodynamik 1
2.1-25
1.5 Federsysteme
–
Beispiele:
c1
c
EI
m
m
c2
EI
c1
c2
m
Prof. Dr. Wandinger
2. Systeme mit 1 Freiheitsgrad
Elastodynamik 1
2.1-26
1.5 Federsysteme
●
Reihenschaltung:
c1
–

c
–
c2
x
x
Beide Federn haben die
gleiche Kraft F.
Prof. Dr. Wandinger

c1 c 2
1 1 1
= 
 c=
c c1 c 2
c1c2
m
–
Die Wege addieren sich:
F F
x= x 1 x 2 = 
c1 c 2
1 1
=F

c1 c2
Damit folgt für die Steifigkeit der Ersatzfeder:
–
Bei mehr als zwei Federn gilt: 1 n 1
=∑
c k =1 c k
2. Systeme mit 1 Freiheitsgrad
Elastodynamik 1
2.1-27
1.5 Federsysteme
●
Beispiel:
cF
E, I
L/2
L/2
m
E, I
cF
L/2
L/2
m
System 1
Prof. Dr. Wandinger
System 2
2. Systeme mit 1 Freiheitsgrad
Elastodynamik 1
2.1-28
1.5 Federsysteme
–
–
Die beiden dargestellten
Systeme bestehen jeweils aus einem masselosen Balken (Biegesteifigkeit EI), einer Feder
(Federkonstante cF ) und
einer Masse m.
–
Daten:
●
L = 1m
●
m = 5kg
●
EI = 4∙1010Nmm2
●
cF = 500N/mm
Wie groß sind die Eigenfrequenzen?
Prof. Dr. Wandinger
2. Systeme mit 1 Freiheitsgrad
Elastodynamik 1
2.1-29
1.5 Federsysteme
–
System 1:
●
●
●
●
Durchbiegung in Balkenmitte und Verlängerung der Feder sind
gleich.
Ersatzsteifigkeit:
c 1=c F c B =c F 
●
Frequenz:
Es handelt sich um eine
Parallelschaltung.
Federsteifigkeit des Balkens:
48 EI
c B= 3
L
Prof. Dr. Wandinger
48 EI
3
L
2. Systeme mit 1 Freiheitsgrad
1 c1
f 1=
2 m

3
1 c F L 48 EI
=
3
2
mL

Elastodynamik 1
2.1-30
1.5 Federsysteme
–
System 2:
●
●
●
Die Auslenkung der
Masse ist gleich der
Summe der Durchbiegung des Balkens und
der Verlängerung der
Feder.
Ersatzsteifigkeit:
3
●
1 1
L
= 
c 2 c F 48 EI
3
48 EI c F L
=
48 c F EI
Frequenz:
Es handelt sich um eine
Reihenschaltung.
Prof. Dr. Wandinger
2. Systeme mit 1 Freiheitsgrad
48 c F EI
1
f 2=
2  cL³48 EI  m

Elastodynamik 1
2.1-31
1.5 Federsysteme
–
Zahlenwerte:
●
●
Masse:
2
−3
−3 Ns
5 kg=5⋅10 t=5⋅10
mm
●
Balkensteifigkeit:
10
48⋅4⋅10 Nmm
c B=
9
2
10
mm
N
=1920
mm
Prof. Dr. Wandinger
2
Ersatzsteifigkeiten:
c 1=500 N /mm1920 N /mm
=2420 N /mm
cF cB
c 2=
c F c B
2
500⋅1920 N ⋅mm
=
5001920 mm2⋅N
=396,7 N / mm
2. Systeme mit 1 Freiheitsgrad
Elastodynamik 1
2.1-32
1.5 Federsysteme
●
Frequenzen:
f 1=
1
2420 N⋅mm
=110,7 Hz
−3
2  5⋅10 mm⋅Ns²
f 2=
1
396,7 N⋅mm
=44,8 Hz
−3
2 5⋅10 mm⋅Ns²
Prof. Dr. Wandinger


2. Systeme mit 1 Freiheitsgrad
Elastodynamik 1
2.1-33
1.5 Federsysteme
●
Schräg eingebaute Feder:
–
Bei einer schräg eingebauten Feder ist die Federachse
gegenüber der Schwingungsrichtung geneigt.
–
Vorgehen:
●
●
●
Die Verschiebung wird in ihre Komponenten parallel und
senkrecht zur Federachse zerlegt. Da die Verschiebung als
klein vorausgesetzt wird, kann diese Zerlegung am unverformten System durchgeführt werden.
Mit Hilfe der Federkonstanten wird die Federkraft parallel zur
Federachse ermittelt.
Daraus wird die Komponente der Federkraft in Schwingungsrichtung berechnet.
Prof. Dr. Wandinger
2. Systeme mit 1 Freiheitsgrad
Elastodynamik 1
2.1-34
1.5 Federsysteme
–
Beispiel:
●
Zerlegung der Verschiebung x:
m
α
c
x
●
●
xp
c
α
x α
x p = x sin 
Die abgebildete Masse
kann sich nur in x-Richtung bewegen.
Sie wird durch zwei Federn gestützt.
Prof. Dr. Wandinger
●
Federkraft:
2. Systeme mit 1 Freiheitsgrad
F p =c x p =c x sin 
Elastodynamik 1
2.1-35
1.5 Federsysteme
●
Kraft in Schwingungsrichtung:
2
F =F p sin =c sin  x
F
α
●
Fp
Ersatzsteifigkeit der beiden Federn:
2
c ges =2 c sin 
Prof. Dr. Wandinger
2. Systeme mit 1 Freiheitsgrad
Elastodynamik 1
2.1-36