Sei f : V → U eine lineare Abbildung. Dann gilt
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Satz 31 ( Erste Dimensionsformel) Sei f : V → U eine lineare
Abbildung. Dann gilt:
Satz 31 ( Erste Dimensionsformel) Sei f : V → U eine lineare
Abbildung. Dann gilt: Ist V endlichdimensional, so gilt:
dim(V ) = dim(Bildf ) + dim(Kernf ).
Satz 31 ( Erste Dimensionsformel) Sei f : V → U eine lineare
Abbildung. Dann gilt: Ist V endlichdimensional, so gilt:
dim(V ) = dim(Bildf ) + dim(Kernf ).
Bemerkung. Nach Lemma 20 sind Kernf und Bildf
Untervektorräumen.
Satz 31 ( Erste Dimensionsformel) Sei f : V → U eine lineare
Abbildung. Dann gilt: Ist V endlichdimensional, so gilt:
dim(V ) = dim(Bildf ) + dim(Kernf ).
Bemerkung. Nach Lemma 20 sind Kernf und Bildf
Untervektorräumen.
Beweis. Angenommen, V hat dimension n. Dann ist Kernf
endlichdimensional,
Satz 31 ( Erste Dimensionsformel) Sei f : V → U eine lineare
Abbildung. Dann gilt: Ist V endlichdimensional, so gilt:
dim(V ) = dim(Bildf ) + dim(Kernf ).
Bemerkung. Nach Lemma 20 sind Kernf und Bildf
Untervektorräumen.
Beweis. Angenommen, V hat dimension n. Dann ist Kernf
endlichdimensional, weil Kernf ⊆ V .
Satz 31 ( Erste Dimensionsformel) Sei f : V → U eine lineare
Abbildung. Dann gilt: Ist V endlichdimensional, so gilt:
dim(V ) = dim(Bildf ) + dim(Kernf ).
Bemerkung. Nach Lemma 20 sind Kernf und Bildf
Untervektorräumen.
Beweis. Angenommen, V hat dimension n. Dann ist Kernf
endlichdimensional, weil Kernf ⊆ V .
Sei (v1 , ..., vk ) eine Basis von Kernf .
Satz 31 ( Erste Dimensionsformel) Sei f : V → U eine lineare
Abbildung. Dann gilt: Ist V endlichdimensional, so gilt:
dim(V ) = dim(Bildf ) + dim(Kernf ).
Bemerkung. Nach Lemma 20 sind Kernf und Bildf
Untervektorräumen.
Beweis. Angenommen, V hat dimension n. Dann ist Kernf
endlichdimensional, weil Kernf ⊆ V .
Sei (v1 , ..., vk ) eine Basis von Kernf . Nach Folgerung (c)
(Basisergänzungsatz) können wir die Basis (v1 , ..., vk ) bis zum
einer Basis in V erganzen:
Satz 31 ( Erste Dimensionsformel) Sei f : V → U eine lineare
Abbildung. Dann gilt: Ist V endlichdimensional, so gilt:
dim(V ) = dim(Bildf ) + dim(Kernf ).
Bemerkung. Nach Lemma 20 sind Kernf und Bildf
Untervektorräumen.
Beweis. Angenommen, V hat dimension n. Dann ist Kernf
endlichdimensional, weil Kernf ⊆ V .
Sei (v1 , ..., vk ) eine Basis von Kernf . Nach Folgerung (c)
(Basisergänzungsatz) können wir die Basis (v1 , ..., vk ) bis zum
einer Basis in V erganzen: es gibt vk+1 , ..., vn so dass (v1 , ..., vn )
eine Basis ist.
Satz 31 ( Erste Dimensionsformel) Sei f : V → U eine lineare
Abbildung. Dann gilt: Ist V endlichdimensional, so gilt:
dim(V ) = dim(Bildf ) + dim(Kernf ).
Bemerkung. Nach Lemma 20 sind Kernf und Bildf
Untervektorräumen.
Beweis. Angenommen, V hat dimension n. Dann ist Kernf
endlichdimensional, weil Kernf ⊆ V .
Sei (v1 , ..., vk ) eine Basis von Kernf . Nach Folgerung (c)
(Basisergänzungsatz) können wir die Basis (v1 , ..., vk ) bis zum
einer Basis in V erganzen: es gibt vk+1 , ..., vn so dass (v1 , ..., vn )
eine Basis ist.
Wir zeigen: (f (vk+1 ), ..., f (vn )) ist eine Basis in Bildf .
Satz 31 ( Erste Dimensionsformel) Sei f : V → U eine lineare
Abbildung. Dann gilt: Ist V endlichdimensional, so gilt:
dim(V ) = dim(Bildf ) + dim(Kernf ).
Bemerkung. Nach Lemma 20 sind Kernf und Bildf
Untervektorräumen.
Beweis. Angenommen, V hat dimension n. Dann ist Kernf
endlichdimensional, weil Kernf ⊆ V .
Sei (v1 , ..., vk ) eine Basis von Kernf . Nach Folgerung (c)
(Basisergänzungsatz) können wir die Basis (v1 , ..., vk ) bis zum
einer Basis in V erganzen: es gibt vk+1 , ..., vn so dass (v1 , ..., vn )
eine Basis ist.
Wir zeigen: (f (vk+1 ), ..., f (vn )) ist eine Basis in Bildf .
f (vk+1 ), ..., f (vn ) ist erzeugend: Aus Beweis von Satz 30 folgt,
dass man jedes u ∈ Bildf
Satz 31 ( Erste Dimensionsformel) Sei f : V → U eine lineare
Abbildung. Dann gilt: Ist V endlichdimensional, so gilt:
dim(V ) = dim(Bildf ) + dim(Kernf ).
Bemerkung. Nach Lemma 20 sind Kernf und Bildf
Untervektorräumen.
Beweis. Angenommen, V hat dimension n. Dann ist Kernf
endlichdimensional, weil Kernf ⊆ V .
Sei (v1 , ..., vk ) eine Basis von Kernf . Nach Folgerung (c)
(Basisergänzungsatz) können wir die Basis (v1 , ..., vk ) bis zum
einer Basis in V erganzen: es gibt vk+1 , ..., vn so dass (v1 , ..., vn )
eine Basis ist.
Wir zeigen: (f (vk+1 ), ..., f (vn )) ist eine Basis in Bildf .
f (vk+1 ), ..., f (vn ) ist erzeugend: Aus Beweis von Satz 30 folgt,
dass man jedes u ∈ Bildf als eine Linearkombination von
Elementen f (v1 ), ..., f (vn ) darstellen kann:
Satz 31 ( Erste Dimensionsformel) Sei f : V → U eine lineare
Abbildung. Dann gilt: Ist V endlichdimensional, so gilt:
dim(V ) = dim(Bildf ) + dim(Kernf ).
Bemerkung. Nach Lemma 20 sind Kernf und Bildf
Untervektorräumen.
Beweis. Angenommen, V hat dimension n. Dann ist Kernf
endlichdimensional, weil Kernf ⊆ V .
Sei (v1 , ..., vk ) eine Basis von Kernf . Nach Folgerung (c)
(Basisergänzungsatz) können wir die Basis (v1 , ..., vk ) bis zum
einer Basis in V erganzen: es gibt vk+1 , ..., vn so dass (v1 , ..., vn )
eine Basis ist.
Wir zeigen: (f (vk+1 ), ..., f (vn )) ist eine Basis in Bildf .
f (vk+1 ), ..., f (vn ) ist erzeugend: Aus Beweis von Satz 30 folgt,
dass man jedes u ∈ Bildf als eine Linearkombination von
Elementen f (v1 ), ..., f (vn ) darstellen kann:
u = f (λ1 v1 + ...λn vn ) = λ1 f (v1 ) + λ2 f (v2 ) + ... + λn f (vn ).
Satz 31 ( Erste Dimensionsformel) Sei f : V → U eine lineare
Abbildung. Dann gilt: Ist V endlichdimensional, so gilt:
dim(V ) = dim(Bildf ) + dim(Kernf ).
Bemerkung. Nach Lemma 20 sind Kernf und Bildf
Untervektorräumen.
Beweis. Angenommen, V hat dimension n. Dann ist Kernf
endlichdimensional, weil Kernf ⊆ V .
Sei (v1 , ..., vk ) eine Basis von Kernf . Nach Folgerung (c)
(Basisergänzungsatz) können wir die Basis (v1 , ..., vk ) bis zum
einer Basis in V erganzen: es gibt vk+1 , ..., vn so dass (v1 , ..., vn )
eine Basis ist.
Wir zeigen: (f (vk+1 ), ..., f (vn )) ist eine Basis in Bildf .
f (vk+1 ), ..., f (vn ) ist erzeugend: Aus Beweis von Satz 30 folgt,
dass man jedes u ∈ Bildf als eine Linearkombination von
Elementen f (v1 ), ..., f (vn ) darstellen kann:
u = f (λ1 v1 + ...λn vn ) = λ1 f (v1 ) + λ2 f (v2 ) + ... + λn f (vn ).
Aber f (v1 ) = f (v2 ) = ... = f (vk ) = 0,
Satz 31 ( Erste Dimensionsformel) Sei f : V → U eine lineare
Abbildung. Dann gilt: Ist V endlichdimensional, so gilt:
dim(V ) = dim(Bildf ) + dim(Kernf ).
Bemerkung. Nach Lemma 20 sind Kernf und Bildf
Untervektorräumen.
Beweis. Angenommen, V hat dimension n. Dann ist Kernf
endlichdimensional, weil Kernf ⊆ V .
Sei (v1 , ..., vk ) eine Basis von Kernf . Nach Folgerung (c)
(Basisergänzungsatz) können wir die Basis (v1 , ..., vk ) bis zum
einer Basis in V erganzen: es gibt vk+1 , ..., vn so dass (v1 , ..., vn )
eine Basis ist.
Wir zeigen: (f (vk+1 ), ..., f (vn )) ist eine Basis in Bildf .
f (vk+1 ), ..., f (vn ) ist erzeugend: Aus Beweis von Satz 30 folgt,
dass man jedes u ∈ Bildf als eine Linearkombination von
Elementen f (v1 ), ..., f (vn ) darstellen kann:
u = f (λ1 v1 + ...λn vn ) = λ1 f (v1 ) + λ2 f (v2 ) + ... + λn f (vn ).
Aber f (v1 ) = f (v2 ) = ... = f (vk ) = 0, da v1 , ..., vk ∈ Kernf .
Satz 31 ( Erste Dimensionsformel) Sei f : V → U eine lineare
Abbildung. Dann gilt: Ist V endlichdimensional, so gilt:
dim(V ) = dim(Bildf ) + dim(Kernf ).
Bemerkung. Nach Lemma 20 sind Kernf und Bildf
Untervektorräumen.
Beweis. Angenommen, V hat dimension n. Dann ist Kernf
endlichdimensional, weil Kernf ⊆ V .
Sei (v1 , ..., vk ) eine Basis von Kernf . Nach Folgerung (c)
(Basisergänzungsatz) können wir die Basis (v1 , ..., vk ) bis zum
einer Basis in V erganzen: es gibt vk+1 , ..., vn so dass (v1 , ..., vn )
eine Basis ist.
Wir zeigen: (f (vk+1 ), ..., f (vn )) ist eine Basis in Bildf .
f (vk+1 ), ..., f (vn ) ist erzeugend: Aus Beweis von Satz 30 folgt,
dass man jedes u ∈ Bildf als eine Linearkombination von
Elementen f (v1 ), ..., f (vn ) darstellen kann:
u = f (λ1 v1 + ...λn vn ) = λ1 f (v1 ) + λ2 f (v2 ) + ... + λn f (vn ).
Aber f (v1 ) = f (v2 ) = ... = f (vk ) = 0, da v1 , ..., vk ∈ Kernf . Dann
u = λk+1 f (vk+1 ) + λk+2 f (vk+2 ) + ... + λn f (vn ).
Satz 31 ( Erste Dimensionsformel) Sei f : V → U eine lineare
Abbildung. Dann gilt: Ist V endlichdimensional, so gilt:
dim(V ) = dim(Bildf ) + dim(Kernf ).
Bemerkung. Nach Lemma 20 sind Kernf und Bildf
Untervektorräumen.
Beweis. Angenommen, V hat dimension n. Dann ist Kernf
endlichdimensional, weil Kernf ⊆ V .
Sei (v1 , ..., vk ) eine Basis von Kernf . Nach Folgerung (c)
(Basisergänzungsatz) können wir die Basis (v1 , ..., vk ) bis zum
einer Basis in V erganzen: es gibt vk+1 , ..., vn so dass (v1 , ..., vn )
eine Basis ist.
Wir zeigen: (f (vk+1 ), ..., f (vn )) ist eine Basis in Bildf .
f (vk+1 ), ..., f (vn ) ist erzeugend: Aus Beweis von Satz 30 folgt,
dass man jedes u ∈ Bildf als eine Linearkombination von
Elementen f (v1 ), ..., f (vn ) darstellen kann:
u = f (λ1 v1 + ...λn vn ) = λ1 f (v1 ) + λ2 f (v2 ) + ... + λn f (vn ).
Aber f (v1 ) = f (v2 ) = ... = f (vk ) = 0, da v1 , ..., vk ∈ Kernf . Dann
u = λk+1 f (vk+1 ) + λk+2 f (vk+2 ) + ... + λn f (vn ). Also ist
span({f (vk+1 ), ...f (vn )}) = Bildf .
Satz 31 ( Erste Dimensionsformel) Sei f : V → U eine lineare
Abbildung. Dann gilt: Ist V endlichdimensional, so gilt:
dim(V ) = dim(Bildf ) + dim(Kernf ).
Bemerkung. Nach Lemma 20 sind Kernf und Bildf
Untervektorräumen.
Beweis. Angenommen, V hat dimension n. Dann ist Kernf
endlichdimensional, weil Kernf ⊆ V .
Sei (v1 , ..., vk ) eine Basis von Kernf . Nach Folgerung (c)
(Basisergänzungsatz) können wir die Basis (v1 , ..., vk ) bis zum
einer Basis in V erganzen: es gibt vk+1 , ..., vn so dass (v1 , ..., vn )
eine Basis ist.
Wir zeigen: (f (vk+1 ), ..., f (vn )) ist eine Basis in Bildf .
f (vk+1 ), ..., f (vn ) ist erzeugend: Aus Beweis von Satz 30 folgt,
dass man jedes u ∈ Bildf als eine Linearkombination von
Elementen f (v1 ), ..., f (vn ) darstellen kann:
u = f (λ1 v1 + ...λn vn ) = λ1 f (v1 ) + λ2 f (v2 ) + ... + λn f (vn ).
Aber f (v1 ) = f (v2 ) = ... = f (vk ) = 0, da v1 , ..., vk ∈ Kernf . Dann
u = λk+1 f (vk+1 ) + λk+2 f (vk+2 ) + ... + λn f (vn ). Also ist
span({f (vk+1 ), ...f (vn )}) = Bildf .
Wir zeigen: {f (vk+1 ), ..., f (vn )}
Wir zeigen: {f (vk+1 ), ..., f (vn )} ist linear unabhängig.
Wir zeigen: {f (vk+1 ), ..., f (vn )} ist linear unabhängig.
Angenommen die Linearkombination
λk+1 f (vk+1 ) + ... + λn f (vn ) = ~0.
Wir zeigen: {f (vk+1 ), ..., f (vn )} ist linear unabhängig.
Angenommen die Linearkombination
λk+1 f (vk+1 ) + ... + λn f (vn ) = ~0. Z.z.:
λk+1 = λk+2 = ... = λn = 0.
Wir zeigen: {f (vk+1 ), ..., f (vn )} ist linear unabhängig.
Angenommen die Linearkombination
λk+1 f (vk+1 ) + ... + λn f (vn ) = ~0. Z.z.:
λk+1 = λk+2 = ... = λn = 0.
Wir haben:
1|~0 + 1~0 {z
+ ... + 1~0} +λk+1 f (vk+1 ) + ... + λn f (vn ) = ~0.
k mal
Wir zeigen: {f (vk+1 ), ..., f (vn )} ist linear unabhängig.
Angenommen die Linearkombination
λk+1 f (vk+1 ) + ... + λn f (vn ) = ~0. Z.z.:
λk+1 = λk+2 = ... = λn = 0.
Wir haben:
1|~0 + 1~0 {z
+ ... + 1~0} +λk+1 f (vk+1 ) + ... + λn f (vn ) = ~0.
k mal
Da f (v1 ) = f (v2 ) = ... = f (vk ) = ~0,
Wir zeigen: {f (vk+1 ), ..., f (vn )} ist linear unabhängig.
Angenommen die Linearkombination
λk+1 f (vk+1 ) + ... + λn f (vn ) = ~0. Z.z.:
λk+1 = λk+2 = ... = λn = 0.
Wir haben:
1|~0 + 1~0 {z
+ ... + 1~0} +λk+1 f (vk+1 ) + ... + λn f (vn ) = ~0.
k mal
Da f (v1 ) = f (v2 ) = ... = f (vk ) = ~0,
1f (v1 ) + 1f (v2 ) + ... + 1f (vk ) + λk+1 f (vk+1 ) + ... + λn f (vn ) = ~0.
Wir zeigen: {f (vk+1 ), ..., f (vn )} ist linear unabhängig.
Angenommen die Linearkombination
λk+1 f (vk+1 ) + ... + λn f (vn ) = ~0. Z.z.:
λk+1 = λk+2 = ... = λn = 0.
Wir haben:
1|~0 + 1~0 {z
+ ... + 1~0} +λk+1 f (vk+1 ) + ... + λn f (vn ) = ~0.
k mal
Da f (v1 ) = f (v2 ) = ... = f (vk ) = ~0,
1f (v1 ) + 1f (v2 ) + ... + 1f (vk ) + λk+1 f (vk+1 ) + ... + λn f (vn ) = ~0.
Weil f linear ist,
Wir zeigen: {f (vk+1 ), ..., f (vn )} ist linear unabhängig.
Angenommen die Linearkombination
λk+1 f (vk+1 ) + ... + λn f (vn ) = ~0. Z.z.:
λk+1 = λk+2 = ... = λn = 0.
Wir haben:
1|~0 + 1~0 {z
+ ... + 1~0} +λk+1 f (vk+1 ) + ... + λn f (vn ) = ~0.
k mal
Da f (v1 ) = f (v2 ) = ... = f (vk ) = ~0,
1f (v1 ) + 1f (v2 ) + ... + 1f (vk ) + λk+1 f (vk+1 ) + ... + λn f (vn ) = ~0.
Weil f linear ist,
f (1v1 + 1v2 + ... + 1vk + λk+1 vk+1 + ... + λn vn ) = ~0.
Wir zeigen: {f (vk+1 ), ..., f (vn )} ist linear unabhängig.
Angenommen die Linearkombination
λk+1 f (vk+1 ) + ... + λn f (vn ) = ~0. Z.z.:
λk+1 = λk+2 = ... = λn = 0.
Wir haben:
1|~0 + 1~0 {z
+ ... + 1~0} +λk+1 f (vk+1 ) + ... + λn f (vn ) = ~0.
k mal
Da f (v1 ) = f (v2 ) = ... = f (vk ) = ~0,
1f (v1 ) + 1f (v2 ) + ... + 1f (vk ) + λk+1 f (vk+1 ) + ... + λn f (vn ) = ~0.
Weil f linear ist,
f (1v1 + 1v2 + ... + 1vk + λk+1 vk+1 + ... + λn vn ) = ~0.
Also,
Wir zeigen: {f (vk+1 ), ..., f (vn )} ist linear unabhängig.
Angenommen die Linearkombination
λk+1 f (vk+1 ) + ... + λn f (vn ) = ~0. Z.z.:
λk+1 = λk+2 = ... = λn = 0.
Wir haben:
1|~0 + 1~0 {z
+ ... + 1~0} +λk+1 f (vk+1 ) + ... + λn f (vn ) = ~0.
k mal
Da f (v1 ) = f (v2 ) = ... = f (vk ) = ~0,
1f (v1 ) + 1f (v2 ) + ... + 1f (vk ) + λk+1 f (vk+1 ) + ... + λn f (vn ) = ~0.
Weil f linear ist,
f (1v1 + 1v2 + ... + 1vk + λk+1 vk+1 + ... + λn vn ) = ~0.
Also, 1v1 + 1v2 + ... + 1vk + λk+1 vk+1 + ... + λn vn ∈ Kernf .
Wir zeigen: {f (vk+1 ), ..., f (vn )} ist linear unabhängig.
Angenommen die Linearkombination
λk+1 f (vk+1 ) + ... + λn f (vn ) = ~0. Z.z.:
λk+1 = λk+2 = ... = λn = 0.
Wir haben:
1|~0 + 1~0 {z
+ ... + 1~0} +λk+1 f (vk+1 ) + ... + λn f (vn ) = ~0.
k mal
Da f (v1 ) = f (v2 ) = ... = f (vk ) = ~0,
1f (v1 ) + 1f (v2 ) + ... + 1f (vk ) + λk+1 f (vk+1 ) + ... + λn f (vn ) = ~0.
Weil f linear ist,
f (1v1 + 1v2 + ... + 1vk + λk+1 vk+1 + ... + λn vn ) = ~0.
Also, 1v1 + 1v2 + ... + 1vk + λk+1 vk+1 + ... + λn vn ∈ Kernf . Dann
ist er die Linarkombination von Elementen v1 , ..., vn
Wir zeigen: {f (vk+1 ), ..., f (vn )} ist linear unabhängig.
Angenommen die Linearkombination
λk+1 f (vk+1 ) + ... + λn f (vn ) = ~0. Z.z.:
λk+1 = λk+2 = ... = λn = 0.
Wir haben:
1|~0 + 1~0 {z
+ ... + 1~0} +λk+1 f (vk+1 ) + ... + λn f (vn ) = ~0.
k mal
Da f (v1 ) = f (v2 ) = ... = f (vk ) = ~0,
1f (v1 ) + 1f (v2 ) + ... + 1f (vk ) + λk+1 f (vk+1 ) + ... + λn f (vn ) = ~0.
Weil f linear ist,
f (1v1 + 1v2 + ... + 1vk + λk+1 vk+1 + ... + λn vn ) = ~0.
Also, 1v1 + 1v2 + ... + 1vk + λk+1 vk+1 + ... + λn vn ∈ Kernf . Dann
ist er die Linarkombination von Elementen v1 , ..., vn und deswegen
(Satz 25: eindeutigkeit) λk+1 = λk+2 = ... = λn = 0.
Wicht. Anwendung Erste Dimensionsformel für
Endomorphismen
Wicht. Anwendung Erste Dimensionsformel für
Endomorphismen
Def. 29 — Wied: Endomorphismus =
Wicht. Anwendung Erste Dimensionsformel für
Endomorphismen
Def. 29 — Wied: Endomorphismus = lineare Abbildung f : V → V
von K−Vektorraum V auf sich selbst.
Wicht. Anwendung Erste Dimensionsformel für
Endomorphismen
Def. 29 — Wied: Endomorphismus = lineare Abbildung f : V → V
von K−Vektorraum V auf sich selbst.
Folgerung.
Wicht. Anwendung Erste Dimensionsformel für
Endomorphismen
Def. 29 — Wied: Endomorphismus = lineare Abbildung f : V → V
von K−Vektorraum V auf sich selbst.
Folgerung. Sei f : V → V ein Endomorphismus von
endlichdimensionalen K-Vektorraum V .
Wicht. Anwendung Erste Dimensionsformel für
Endomorphismen
Def. 29 — Wied: Endomorphismus = lineare Abbildung f : V → V
von K−Vektorraum V auf sich selbst.
Folgerung. Sei f : V → V ein Endomorphismus von
endlichdimensionalen K-Vektorraum V . Dann gilt:
Wicht. Anwendung Erste Dimensionsformel für
Endomorphismen
Def. 29 — Wied: Endomorphismus = lineare Abbildung f : V → V
von K−Vektorraum V auf sich selbst.
Folgerung. Sei f : V → V ein Endomorphismus von
endlichdimensionalen K-Vektorraum V . Dann gilt:
f ist surjektiv ⇐⇒ f ist injektiv.
Wicht. Anwendung Erste Dimensionsformel für
Endomorphismen
Def. 29 — Wied: Endomorphismus = lineare Abbildung f : V → V
von K−Vektorraum V auf sich selbst.
Folgerung. Sei f : V → V ein Endomorphismus von
endlichdimensionalen K-Vektorraum V . Dann gilt:
f ist surjektiv ⇐⇒ f ist injektiv.
.
Beweis.
Wicht. Anwendung Erste Dimensionsformel für
Endomorphismen
Def. 29 — Wied: Endomorphismus = lineare Abbildung f : V → V
von K−Vektorraum V auf sich selbst.
Folgerung. Sei f : V → V ein Endomorphismus von
endlichdimensionalen K-Vektorraum V . Dann gilt:
f ist surjektiv ⇐⇒ f ist injektiv.
.
Beweis. Nach 1. Dimensionsformel (Satz 31) gilt:
Wicht. Anwendung Erste Dimensionsformel für
Endomorphismen
Def. 29 — Wied: Endomorphismus = lineare Abbildung f : V → V
von K−Vektorraum V auf sich selbst.
Folgerung. Sei f : V → V ein Endomorphismus von
endlichdimensionalen K-Vektorraum V . Dann gilt:
f ist surjektiv ⇐⇒ f ist injektiv.
.
Beweis. Nach 1. Dimensionsformel (Satz 31) gilt:
dim(V )
= dim(Bildf ) + dim(Kernf )
Wicht. Anwendung Erste Dimensionsformel für
Endomorphismen
Def. 29 — Wied: Endomorphismus = lineare Abbildung f : V → V
von K−Vektorraum V auf sich selbst.
Folgerung. Sei f : V → V ein Endomorphismus von
endlichdimensionalen K-Vektorraum V . Dann gilt:
f ist surjektiv ⇐⇒ f ist injektiv.
.
Beweis. Nach 1. Dimensionsformel (Satz 31) gilt:
dim(V )
n
= dim(Bildf ) + dim(Kernf )
=
Wicht. Anwendung Erste Dimensionsformel für
Endomorphismen
Def. 29 — Wied: Endomorphismus = lineare Abbildung f : V → V
von K−Vektorraum V auf sich selbst.
Folgerung. Sei f : V → V ein Endomorphismus von
endlichdimensionalen K-Vektorraum V . Dann gilt:
f ist surjektiv ⇐⇒ f ist injektiv.
.
Beweis. Nach 1. Dimensionsformel (Satz 31) gilt:
dim(V )
n
= dim(Bildf ) + dim(Kernf )
= dim(Bildf ) +
Wicht. Anwendung Erste Dimensionsformel für
Endomorphismen
Def. 29 — Wied: Endomorphismus = lineare Abbildung f : V → V
von K−Vektorraum V auf sich selbst.
Folgerung. Sei f : V → V ein Endomorphismus von
endlichdimensionalen K-Vektorraum V . Dann gilt:
f ist surjektiv ⇐⇒ f ist injektiv.
.
Beweis. Nach 1. Dimensionsformel (Satz 31) gilt:
dim(V )
n
= dim(Bildf ) + dim(Kernf )
.
= dim(Bildf ) +
?
Wicht. Anwendung Erste Dimensionsformel für
Endomorphismen
Def. 29 — Wied: Endomorphismus = lineare Abbildung f : V → V
von K−Vektorraum V auf sich selbst.
Folgerung. Sei f : V → V ein Endomorphismus von
endlichdimensionalen K-Vektorraum V . Dann gilt:
f ist surjektiv ⇐⇒ f ist injektiv.
.
Beweis. Nach 1. Dimensionsformel (Satz 31) gilt:
dim(V )
n
= dim(Bildf ) + dim(Kernf )
.
= dim(Bildf ) +
?
Beweis (surjektive) =⇒ (injektive).
Wicht. Anwendung Erste Dimensionsformel für
Endomorphismen
Def. 29 — Wied: Endomorphismus = lineare Abbildung f : V → V
von K−Vektorraum V auf sich selbst.
Folgerung. Sei f : V → V ein Endomorphismus von
endlichdimensionalen K-Vektorraum V . Dann gilt:
f ist surjektiv ⇐⇒ f ist injektiv.
.
Beweis. Nach 1. Dimensionsformel (Satz 31) gilt:
dim(V )
n
= dim(Bildf ) + dim(Kernf )
.
= dim(Bildf ) +
?
Beweis (surjektive) =⇒ (injektive). Ist f surjektiv,
Wicht. Anwendung Erste Dimensionsformel für
Endomorphismen
Def. 29 — Wied: Endomorphismus = lineare Abbildung f : V → V
von K−Vektorraum V auf sich selbst.
Folgerung. Sei f : V → V ein Endomorphismus von
endlichdimensionalen K-Vektorraum V . Dann gilt:
f ist surjektiv ⇐⇒ f ist injektiv.
.
Beweis. Nach 1. Dimensionsformel (Satz 31) gilt:
dim(V )
n
= dim(Bildf ) + dim(Kernf )
.
= dim(Bildf ) +
?
Beweis (surjektive) =⇒ (injektive). Ist f surjektiv, so ist Bildf = V .
Wicht. Anwendung Erste Dimensionsformel für
Endomorphismen
Def. 29 — Wied: Endomorphismus = lineare Abbildung f : V → V
von K−Vektorraum V auf sich selbst.
Folgerung. Sei f : V → V ein Endomorphismus von
endlichdimensionalen K-Vektorraum V . Dann gilt:
f ist surjektiv ⇐⇒ f ist injektiv.
.
Beweis. Nach 1. Dimensionsformel (Satz 31) gilt:
dim(V )
n
= dim(Bildf ) + dim(Kernf )
.
= dim(Bildf ) +
?
Beweis (surjektive) =⇒ (injektive). Ist f surjektiv, so ist Bildf = V .
Dann ist dim(Bildf ) = n
Wicht. Anwendung Erste Dimensionsformel für
Endomorphismen
Def. 29 — Wied: Endomorphismus = lineare Abbildung f : V → V
von K−Vektorraum V auf sich selbst.
Folgerung. Sei f : V → V ein Endomorphismus von
endlichdimensionalen K-Vektorraum V . Dann gilt:
f ist surjektiv ⇐⇒ f ist injektiv.
.
Beweis. Nach 1. Dimensionsformel (Satz 31) gilt:
dim(V )
n
= dim(Bildf ) + dim(Kernf )
.
= dim(Bildf ) +
?
Beweis (surjektive) =⇒ (injektive). Ist f surjektiv, so ist Bildf = V .
Dann ist dim(Bildf ) = n folglich dim(Kernf ) = 0.
Wicht. Anwendung Erste Dimensionsformel für
Endomorphismen
Def. 29 — Wied: Endomorphismus = lineare Abbildung f : V → V
von K−Vektorraum V auf sich selbst.
Folgerung. Sei f : V → V ein Endomorphismus von
endlichdimensionalen K-Vektorraum V . Dann gilt:
f ist surjektiv ⇐⇒ f ist injektiv.
.
Beweis. Nach 1. Dimensionsformel (Satz 31) gilt:
dim(V )
n
= dim(Bildf ) + dim(Kernf )
.
= dim(Bildf ) +
?
Beweis (surjektive) =⇒ (injektive). Ist f surjektiv, so ist Bildf = V .
Dann ist dim(Bildf ) = n folglich dim(Kernf ) = 0. Dann ist Kernf ={0}.
Wicht. Anwendung Erste Dimensionsformel für
Endomorphismen
Def. 29 — Wied: Endomorphismus = lineare Abbildung f : V → V
von K−Vektorraum V auf sich selbst.
Folgerung. Sei f : V → V ein Endomorphismus von
endlichdimensionalen K-Vektorraum V . Dann gilt:
f ist surjektiv ⇐⇒ f ist injektiv.
.
Beweis. Nach 1. Dimensionsformel (Satz 31) gilt:
dim(V )
n
= dim(Bildf ) + dim(Kernf )
.
= dim(Bildf ) +
?
Beweis (surjektive) =⇒ (injektive). Ist f surjektiv, so ist Bildf = V .
Dann ist dim(Bildf ) = n folglich dim(Kernf ) = 0. Dann ist Kernf ={0}.
Nach Lemma 19c ist f injektiv.
Wicht. Anwendung Erste Dimensionsformel für
Endomorphismen
Def. 29 — Wied: Endomorphismus = lineare Abbildung f : V → V
von K−Vektorraum V auf sich selbst.
Folgerung. Sei f : V → V ein Endomorphismus von
endlichdimensionalen K-Vektorraum V . Dann gilt:
f ist surjektiv ⇐⇒ f ist injektiv.
.
Beweis. Nach 1. Dimensionsformel (Satz 31) gilt:
dim(V )
n
= dim(Bildf ) + dim(Kernf )
.
= dim(Bildf ) +
?
Beweis (surjektive) =⇒ (injektive). Ist f surjektiv, so ist Bildf = V .
Dann ist dim(Bildf ) = n folglich dim(Kernf ) = 0. Dann ist Kernf ={0}.
Nach Lemma 19c ist f injektiv.
Beweis (surjektive) ⇐= (injektive).
Wicht. Anwendung Erste Dimensionsformel für
Endomorphismen
Def. 29 — Wied: Endomorphismus = lineare Abbildung f : V → V
von K−Vektorraum V auf sich selbst.
Folgerung. Sei f : V → V ein Endomorphismus von
endlichdimensionalen K-Vektorraum V . Dann gilt:
f ist surjektiv ⇐⇒ f ist injektiv.
.
Beweis. Nach 1. Dimensionsformel (Satz 31) gilt:
dim(V )
n
= dim(Bildf ) + dim(Kernf )
.
= dim(Bildf ) +
?
Beweis (surjektive) =⇒ (injektive). Ist f surjektiv, so ist Bildf = V .
Dann ist dim(Bildf ) = n folglich dim(Kernf ) = 0. Dann ist Kernf ={0}.
Nach Lemma 19c ist f injektiv.
Beweis (surjektive) ⇐= (injektive). Ist f injektiv,
Wicht. Anwendung Erste Dimensionsformel für
Endomorphismen
Def. 29 — Wied: Endomorphismus = lineare Abbildung f : V → V
von K−Vektorraum V auf sich selbst.
Folgerung. Sei f : V → V ein Endomorphismus von
endlichdimensionalen K-Vektorraum V . Dann gilt:
f ist surjektiv ⇐⇒ f ist injektiv.
.
Beweis. Nach 1. Dimensionsformel (Satz 31) gilt:
dim(V )
n
= dim(Bildf ) + dim(Kernf )
.
= dim(Bildf ) +
?
Beweis (surjektive) =⇒ (injektive). Ist f surjektiv, so ist Bildf = V .
Dann ist dim(Bildf ) = n folglich dim(Kernf ) = 0. Dann ist Kernf ={0}.
Nach Lemma 19c ist f injektiv.
Beweis (surjektive) ⇐= (injektive). Ist f injektiv, so ist
Lemma 19c
Kernf
=
{~0}.
Wicht. Anwendung Erste Dimensionsformel für
Endomorphismen
Def. 29 — Wied: Endomorphismus = lineare Abbildung f : V → V
von K−Vektorraum V auf sich selbst.
Folgerung. Sei f : V → V ein Endomorphismus von
endlichdimensionalen K-Vektorraum V . Dann gilt:
f ist surjektiv ⇐⇒ f ist injektiv.
.
Beweis. Nach 1. Dimensionsformel (Satz 31) gilt:
dim(V )
n
= dim(Bildf ) + dim(Kernf )
.
= dim(Bildf ) +
?
Beweis (surjektive) =⇒ (injektive). Ist f surjektiv, so ist Bildf = V .
Dann ist dim(Bildf ) = n folglich dim(Kernf ) = 0. Dann ist Kernf ={0}.
Nach Lemma 19c ist f injektiv.
Beweis (surjektive) ⇐= (injektive). Ist f injektiv, so ist
Lemma 19c
Kernf
=
{~0}. Dann ist dim(Kernf ) = 0
Wicht. Anwendung Erste Dimensionsformel für
Endomorphismen
Def. 29 — Wied: Endomorphismus = lineare Abbildung f : V → V
von K−Vektorraum V auf sich selbst.
Folgerung. Sei f : V → V ein Endomorphismus von
endlichdimensionalen K-Vektorraum V . Dann gilt:
f ist surjektiv ⇐⇒ f ist injektiv.
.
Beweis. Nach 1. Dimensionsformel (Satz 31) gilt:
dim(V )
n
= dim(Bildf ) + dim(Kernf )
.
= dim(Bildf ) +
?
Beweis (surjektive) =⇒ (injektive). Ist f surjektiv, so ist Bildf = V .
Dann ist dim(Bildf ) = n folglich dim(Kernf ) = 0. Dann ist Kernf ={0}.
Nach Lemma 19c ist f injektiv.
Beweis (surjektive) ⇐= (injektive). Ist f injektiv, so ist
Lemma 19c
Kernf
=
{~0}. Dann ist dim(Kernf ) = 0 folglich dim(Bildf ) = n.
Wicht. Anwendung Erste Dimensionsformel für
Endomorphismen
Def. 29 — Wied: Endomorphismus = lineare Abbildung f : V → V
von K−Vektorraum V auf sich selbst.
Folgerung. Sei f : V → V ein Endomorphismus von
endlichdimensionalen K-Vektorraum V . Dann gilt:
f ist surjektiv ⇐⇒ f ist injektiv.
.
Beweis. Nach 1. Dimensionsformel (Satz 31) gilt:
dim(V )
n
= dim(Bildf ) + dim(Kernf )
.
= dim(Bildf ) +
?
Beweis (surjektive) =⇒ (injektive). Ist f surjektiv, so ist Bildf = V .
Dann ist dim(Bildf ) = n folglich dim(Kernf ) = 0. Dann ist Kernf ={0}.
Nach Lemma 19c ist f injektiv.
Beweis (surjektive) ⇐= (injektive). Ist f injektiv, so ist
Lemma 19c
Kernf
=
{~0}. Dann ist dim(Kernf ) = 0 folglich dim(Bildf ) = n.
Dann ist Bild
Folg. (c) Basisergänzungssatz
=
V,
Wicht. Anwendung Erste Dimensionsformel für
Endomorphismen
Def. 29 — Wied: Endomorphismus = lineare Abbildung f : V → V
von K−Vektorraum V auf sich selbst.
Folgerung. Sei f : V → V ein Endomorphismus von
endlichdimensionalen K-Vektorraum V . Dann gilt:
f ist surjektiv ⇐⇒ f ist injektiv.
.
Beweis. Nach 1. Dimensionsformel (Satz 31) gilt:
dim(V )
n
= dim(Bildf ) + dim(Kernf )
.
= dim(Bildf ) +
?
Beweis (surjektive) =⇒ (injektive). Ist f surjektiv, so ist Bildf = V .
Dann ist dim(Bildf ) = n folglich dim(Kernf ) = 0. Dann ist Kernf ={0}.
Nach Lemma 19c ist f injektiv.
Beweis (surjektive) ⇐= (injektive). Ist f injektiv, so ist
Lemma 19c
Kernf
=
{~0}. Dann ist dim(Kernf ) = 0 folglich dim(Bildf ) = n.
Dann ist Bild
Folg. (c) Basisergänzungssatz
=
V , also f ist surjektiv.
Wiederholung und Plan:
Wiederholung und Plan:
◮
Ziel: alle lineare f : V → U zu beschreiben,
Wiederholung und Plan:
◮
Ziel: alle lineare f : V → U zu beschreiben, wobei V , U
K− Vektorräume sind, s.d. dim(V ) = n < ∞,
dim(U) = m < ∞.
Wiederholung und Plan:
◮
◮
Ziel: alle lineare f : V → U zu beschreiben, wobei V , U
K− Vektorräume sind, s.d. dim(V ) = n < ∞,
dim(U) = m < ∞.
Wir benutzen: Hauptsatz 29 der linearen Algebra:
Wiederholung und Plan:
◮
◮
Ziel: alle lineare f : V → U zu beschreiben, wobei V , U
K− Vektorräume sind, s.d. dim(V ) = n < ∞,
dim(U) = m < ∞.
Wir benutzen: Hauptsatz 29 der linearen Algebra:
◮
V
isomorph
∼
Kn , U
isomorph
∼
Km .
Wiederholung und Plan:
◮
◮
Ziel: alle lineare f : V → U zu beschreiben, wobei V , U
K− Vektorräume sind, s.d. dim(V ) = n < ∞,
dim(U) = m < ∞.
Wir benutzen: Hauptsatz 29 der linearen Algebra:
◮
◮
isomorph
isomorph
V
∼ Kn , U
∼ Km .
Die Koordinatenabbildung CBV : V → Kn , CBU : U → Km sind
Isomophismen, wobei BV , BU Basen in V bzw. U.
Wiederholung und Plan:
◮
◮
Ziel: alle lineare f : V → U zu beschreiben, wobei V , U
K− Vektorräume sind, s.d. dim(V ) = n < ∞,
dim(U) = m < ∞.
Wir benutzen: Hauptsatz 29 der linearen Algebra:
◮
◮
◮
isomorph
isomorph
V
∼ Kn , U
∼ Km .
Die Koordinatenabbildung CBV : V → Kn , CBU : U → Km sind
Isomophismen, wobei BV , BU Basen in V bzw. U.
Strategie:
Wiederholung und Plan:
◮
◮
Ziel: alle lineare f : V → U zu beschreiben, wobei V , U
K− Vektorräume sind, s.d. dim(V ) = n < ∞,
dim(U) = m < ∞.
Wir benutzen: Hauptsatz 29 der linearen Algebra:
◮
◮
◮
isomorph
isomorph
V
∼ Kn , U
∼ Km .
Die Koordinatenabbildung CBV : V → Kn , CBU : U → Km sind
Isomophismen, wobei BV , BU Basen in V bzw. U.
Strategie:
◮
Wir beschreiben alle lineare f : Kn → Km
Wiederholung und Plan:
◮
◮
Ziel: alle lineare f : V → U zu beschreiben, wobei V , U
K− Vektorräume sind, s.d. dim(V ) = n < ∞,
dim(U) = m < ∞.
Wir benutzen: Hauptsatz 29 der linearen Algebra:
◮
◮
◮
isomorph
isomorph
V
∼ Kn , U
∼ Km .
Die Koordinatenabbildung CBV : V → Kn , CBU : U → Km sind
Isomophismen, wobei BV , BU Basen in V bzw. U.
Strategie:
◮
◮
Wir beschreiben alle lineare f : Kn → Km
Wir untersuchen, wie ändert sich die Beschreibung, wenn wir
andere Basen BV′ , BU′ n V bzw. U wählen.
Wiederholung und Plan:
◮
◮
Ziel: alle lineare f : V → U zu beschreiben, wobei V , U
K− Vektorräume sind, s.d. dim(V ) = n < ∞,
dim(U) = m < ∞.
Wir benutzen: Hauptsatz 29 der linearen Algebra:
◮
◮
◮
isomorph
isomorph
V
∼ Kn , U
∼ Km .
Die Koordinatenabbildung CBV : V → Kn , CBU : U → Km sind
Isomophismen, wobei BV , BU Basen in V bzw. U.
Strategie:
◮
◮
Wir beschreiben alle lineare f : Kn → Km (Heute, Schema:)
Wir untersuchen, wie ändert sich die Beschreibung, wenn wir
andere Basen BV′ , BU′ n V bzw. U wählen.
Wiederholung und Plan:
◮
◮
Ziel: alle lineare f : V → U zu beschreiben, wobei V , U
K− Vektorräume sind, s.d. dim(V ) = n < ∞,
dim(U) = m < ∞.
Wir benutzen: Hauptsatz 29 der linearen Algebra:
◮
◮
◮
isomorph
isomorph
V
∼ Kn , U
∼ Km .
Die Koordinatenabbildung CBV : V → Kn , CBU : U → Km sind
Isomophismen, wobei BV , BU Basen in V bzw. U.
Strategie:
◮
Wir beschreiben alle lineare f : Kn → Km (Heute, Schema:)
◮
◮
Wir konstruieren ein Hauptbeispiel (Matrizen, nächste Folie)
Wir untersuchen, wie ändert sich die Beschreibung, wenn wir
andere Basen BV′ , BU′ n V bzw. U wählen.
Wiederholung und Plan:
◮
◮
Ziel: alle lineare f : V → U zu beschreiben, wobei V , U
K− Vektorräume sind, s.d. dim(V ) = n < ∞,
dim(U) = m < ∞.
Wir benutzen: Hauptsatz 29 der linearen Algebra:
◮
◮
◮
isomorph
isomorph
V
∼ Kn , U
∼ Km .
Die Koordinatenabbildung CBV : V → Kn , CBU : U → Km sind
Isomophismen, wobei BV , BU Basen in V bzw. U.
Strategie:
◮
Wir beschreiben alle lineare f : Kn → Km (Heute, Schema:)
◮
◮
◮
Wir konstruieren ein Hauptbeispiel (Matrizen, nächste Folie)
Wir zeigen, dass alle lineare f : Kn → Km wie in Hauptbeispiel
sind.
Wir untersuchen, wie ändert sich die Beschreibung, wenn wir
andere Basen BV′ , BU′ n V bzw. U wählen.
Wiederholung und Plan:
◮
◮
Ziel: alle lineare f : V → U zu beschreiben, wobei V , U
K− Vektorräume sind, s.d. dim(V ) = n < ∞,
dim(U) = m < ∞.
Wir benutzen: Hauptsatz 29 der linearen Algebra:
◮
◮
◮
isomorph
isomorph
V
∼ Kn , U
∼ Km .
Die Koordinatenabbildung CBV : V → Kn , CBU : U → Km sind
Isomophismen, wobei BV , BU Basen in V bzw. U.
Strategie:
◮
Wir beschreiben alle lineare f : Kn → Km (Heute, Schema:)
◮
◮
◮
Wir konstruieren ein Hauptbeispiel (Matrizen, nächste Folie)
Wir zeigen, dass alle lineare f : Kn → Km wie in Hauptbeispiel
sind.
Wir untersuchen, wie ändert sich die Beschreibung, wenn wir
andere Basen BV′ , BU′ n V bzw. U wählen.
◮
Am Donnerstag
Hauptbeispiel: Matrizen als lineare Abbildungen
Hauptbeispiel: Matrizen als lineare Abbildungen
Definition 29 Seien m, n ∈ N. Eine (m × n)- Matrix (über K) ist ein
rechteckiges Schema
Hauptbeispiel: Matrizen als lineare Abbildungen
Definition 29 Seien m, n ∈ N. Eine (m × n)- Matrix (über K) ist ein
rechteckiges Schema
a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n
A := .
..
.. ,
..
.
.
am1
am2
... amn
Hauptbeispiel: Matrizen als lineare Abbildungen
Definition 29 Seien m, n ∈ N. Eine (m × n)- Matrix (über K) ist ein
rechteckiges Schema
a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n
A := .
..
.. ,
..
.
.
am1
wobei alle aij ∈ K.
am2
... amn
Hauptbeispiel: Matrizen als lineare Abbildungen
Definition 29 Seien m, n ∈ N. Eine (m × n)- Matrix (über K) ist ein
rechteckiges Schema
a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n
A := .
..
.. ,
..
.
.
am1
wobei alle aij ∈ K. Bsp:
1
4
2
5
am2
3
6
... amn
Hauptbeispiel: Matrizen als lineare Abbildungen
Definition 29 Seien m, n ∈ N. Eine (m × n)- Matrix (über K) ist ein
rechteckiges Schema
a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n
A := .
..
.. ,
..
.
.
am1
wobei alle aij ∈ K. Bsp:
1
4
2
5
am2
3
6
... amn
ist eine (2 × 3)-Matrix,
Hauptbeispiel: Matrizen als lineare Abbildungen
Definition 29 Seien m, n ∈ N. Eine (m × n)- Matrix (über K) ist ein
rechteckiges Schema
a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n
A := .
..
.. ,
..
.
.
am1
wobei alle aij ∈ K. Bsp:
1
4
2
5
am2
3
6
... amn
0
ist eine (2 × 3)-Matrix, 7
9
11
8
10
12
1
A
Hauptbeispiel: Matrizen als lineare Abbildungen
Definition 29 Seien m, n ∈ N. Eine (m × n)- Matrix (über K) ist ein
rechteckiges Schema
a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n
A := .
..
.. ,
..
.
.
am1
wobei alle aij ∈ K. Bsp:
ist eine (3 × 2)-Matrix
1
4
2
5
am2
3
6
... amn
0
ist eine (2 × 3)-Matrix, 7
9
11
8
10
12
1
A
Hauptbeispiel: Matrizen als lineare Abbildungen
Definition 29 Seien m, n ∈ N. Eine (m × n)- Matrix (über K) ist ein
rechteckiges Schema
a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n
A := .
..
.. ,
..
.
.
am1
wobei alle aij ∈ K. Bsp:
1
4
2
5
am2
3
6
... amn
0
ist eine (2 × 3)-Matrix, 7
9
11
ist eine (3 × 2)-Matrix
Bemerkung Formal exakt ist eine (m × n)-Matrix eine Abbildung
A : {1, ..., m} × {1, ..., n} → K.
8
10
12
1
A
Hauptbeispiel: Matrizen als lineare Abbildungen
Definition 29 Seien m, n ∈ N. Eine (m × n)- Matrix (über K) ist ein
rechteckiges Schema
a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n
A := .
..
.. ,
..
.
.
am1
wobei alle aij ∈ K. Bsp:
1
4
2
5
am2
3
6
... amn
0
ist eine (2 × 3)-Matrix, 7
9
11
ist eine (3 × 2)-Matrix
Bemerkung Formal exakt ist eine (m × n)-Matrix eine Abbildung
A : {1, ..., m} × {1, ..., n} → K.
8
10
12
1
A
Ein (m × n) K-Matrix A definiert eine Abbildung fA : Kn → Km :
;
Ein (m × n) K-Matrix A definiert eine Abbildung fA : Kn → Km :
x1
a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn
x2
a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn
fA . :=
..
..
.
xn
am1 x1 + am2 x2 + ... + amn xn
;
Ein (m × n) K-Matrix A definiert eine Abbildung fA : Kn → Km :
Pn
x1
a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn
Pni=1 a1i xi
x2
a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn
i=1 a2i xi
fA . :=
=
.
..
..
..
Pn .
xn
am1 x1 + am2 x2 + ... + amn xn
i=1 ami xi
;
Ein (m × n) K-Matrix A definiert eine Abbildung fA : Kn → Km :
Pn
x1
a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn
Pni=1 a1i xi
x2
a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn
i=1 a2i xi
fA . :=
=
.
..
..
..
Pn .
xn
am1 x1 + am2 x2 + ... + amn xn
i=1 ami xi
Diese Abbildung heißt Multiplikation der Matrix mit dem Vektor,
;
Ein (m × n) K-Matrix A definiert eine Abbildung fA : Kn → Km :
Pn
x1
a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn
Pni=1 a1i xi
x2
a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn
i=1 a2i xi
fA . :=
=
.
..
..
..
Pn .
xn
am1 x1 + am2 x2 + ... + amn xn
i=1 ami xi
Diese Abbildung heißt Multiplikation der Matrix mit dem Vektor, statt
fA (v ) schreibt man gewöhnlich Av ;
Ein (m × n) K-Matrix A definiert eine Abbildung fA : Kn → Km :
Pn
x1
a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn
Pni=1 a1i xi
x2
a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn
i=1 a2i xi
fA . :=
=
.
..
..
..
Pn .
xn
am1 x1 + am2 x2 + ... + amn xn
i=1 ami xi
Diese Abbildung heißt Multiplikation der Matrix mit dem Vektor, statt
fA (v ) schreibt man gewöhnlich Av ;
Z.B.
Ein (m × n) K-Matrix A definiert eine Abbildung fA : Kn → Km :
Pn
x1
a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn
Pni=1 a1i xi
x2
a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn
i=1 a2i xi
fA . :=
=
.
..
..
..
Pn .
xn
am1 x1 + am2 x2 + ... + amn xn
i=1 ami xi
Diese Abbildung heißt Multiplikation der Matrix mit dem Vektor, statt
fA (v ) schreibt man gewöhnlich Av ;
Z.B.
Ein (m × n) K-Matrix A definiert eine Abbildung fA : Kn → Km :
Pn
x1
a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn
Pni=1 a1i xi
x2
a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn
i=1 a2i xi
fA . :=
=
.
..
..
..
Pn .
xn
am1 x1 + am2 x2 + ... + amn xn
i=1 ami xi
Diese Abbildung heißt Multiplikation der Matrix mit dem Vektor, statt
fA (v ) schreibt man gewöhnlich Av ;
1 2 3
Z.B.
4 5 6
Ein (m × n) K-Matrix A definiert eine Abbildung fA : Kn → Km :
Pn
x1
a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn
Pni=1 a1i xi
x2
a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn
i=1 a2i xi
fA . :=
=
.
..
..
..
Pn .
xn
am1 x1 + am2 x2 + ... + amn xn
i=1 ami xi
Diese Abbildung heißt Multiplikation der Matrix mit dem Vektor, statt
fA (v ) schreibt man gewöhnlich
Av ;
1
1 2 3
2
Z.B.
4 5 6
3
Ein (m × n) K-Matrix A definiert eine Abbildung fA : Kn → Km :
Pn
x1
a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn
Pni=1 a1i xi
x2
a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn
i=1 a2i xi
fA . :=
=
.
..
..
..
Pn .
xn
am1 x1 + am2 x2 + ... + amn xn
i=1 ami xi
Diese Abbildung heißt Multiplikation der Matrix mit dem Vektor, statt
fA (v ) schreibt man gewöhnlich
Av ;
1
1 2 3
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3
2
=
=
Z.B.
4 5 6
3
Ein (m × n) K-Matrix A definiert eine Abbildung fA : Kn → Km :
Pn
x1
a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn
Pni=1 a1i xi
x2
a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn
i=1 a2i xi
fA . :=
=
.
..
..
..
Pn .
xn
am1 x1 + am2 x2 + ... + amn xn
i=1 ami xi
Diese Abbildung heißt Multiplikation der Matrix mit dem Vektor, statt
fA (v ) schreibt man gewöhnlich
Av ;
1
1 2 3
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3
2
=
=
Z.B.
4 5 6
3
1+4+9
=
Ein (m × n) K-Matrix A definiert eine Abbildung fA : Kn → Km :
Pn
x1
a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn
Pni=1 a1i xi
x2
a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn
i=1 a2i xi
fA . :=
=
.
..
..
..
Pn .
xn
am1 x1 + am2 x2 + ... + amn xn
i=1 ami xi
Diese Abbildung heißt Multiplikation der Matrix mit dem Vektor, statt
fA (v ) schreibt man gewöhnlich
Av ;
1
1 2 3
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3
2
=
=
Z.B.
a21 x1 + a22 x2 + a23 x3
4 5 6
3
1+4+9
=
Ein (m × n) K-Matrix A definiert eine Abbildung fA : Kn → Km :
Pn
x1
a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn
Pni=1 a1i xi
x2
a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn
i=1 a2i xi
fA . :=
=
.
..
..
..
Pn .
xn
am1 x1 + am2 x2 + ... + amn xn
i=1 ami xi
Diese Abbildung heißt Multiplikation der Matrix mit dem Vektor, statt
fA (v ) schreibt man gewöhnlich
Av ;
1
1 2 3
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3
2
=
=
Z.B.
a21 x1 + a22 x2 + a23 x3
4 5 6
3
1+4+9
=
4 + 10 + 18
Ein (m × n) K-Matrix A definiert eine Abbildung fA : Kn → Km :
Pn
x1
a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn
Pni=1 a1i xi
x2
a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn
i=1 a2i xi
fA . :=
=
.
..
..
..
Pn .
xn
am1 x1 + am2 x2 + ... + amn xn
i=1 ami xi
Diese Abbildung heißt Multiplikation der Matrix mit dem Vektor, statt
fA (v ) schreibt man gewöhnlich
Av ;
1
1 2 3
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3
2
=
=
Z.B.
a21 x1 + a22 x2 + a23 x3
4 5 6
3
1+4+9
15
.
=
4 + 10 + 18
32
Ein (m × n) K-Matrix A definiert eine Abbildung fA : Kn → Km :
Pn
x1
a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn
Pni=1 a1i xi
x2
a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn
i=1 a2i xi
fA . :=
=
.
..
..
..
Pn .
xn
am1 x1 + am2 x2 + ... + amn xn
i=1 ami xi
Diese Abbildung heißt Multiplikation der Matrix mit dem Vektor, statt
fA (v ) schreibt man gewöhnlich
Av ;
1
1 2 3
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3
2
=
=
Z.B.
a21 x1 + a22 x2 + a23 x3
4 5 6
3
1+4+9
15
.
=
4 + 10 + 18
32
Mnemonische Regel:
Ein (m × n) K-Matrix A definiert eine Abbildung fA : Kn → Km :
Pn
x1
a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn
Pni=1 a1i xi
x2
a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn
i=1 a2i xi
fA . :=
=
.
..
..
..
Pn .
xn
am1 x1 + am2 x2 + ... + amn xn
i=1 ami xi
Diese Abbildung heißt Multiplikation der Matrix mit dem Vektor, statt
fA (v ) schreibt man gewöhnlich
Av ;
1
1 2 3
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3
2
=
=
Z.B.
a21 x1 + a22 x2 + a23 x3
4 5 6
3
1+4+9
15
.
=
4 + 10 + 18
32
Mnemonische Regel: Auf dem j-tem Platz des Produkts steht das
Skalarprodukt der j-ten Reihe der Matrix mit dem Vektor:
x1
a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n x2
..
..
.. .. =
.
.
.
.
xn
am1 am2 ... amn
Ein (m × n) K-Matrix A definiert eine Abbildung fA : Kn → Km :
Pn
x1
a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn
Pni=1 a1i xi
x2
a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn
i=1 a2i xi
fA . :=
=
.
..
..
..
Pn .
xn
am1 x1 + am2 x2 + ... + amn xn
i=1 ami xi
Diese Abbildung heißt Multiplikation der Matrix mit dem Vektor, statt
fA (v ) schreibt man gewöhnlich
Av ;
1
1 2 3
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3
2
=
=
Z.B.
a21 x1 + a22 x2 + a23 x3
4 5 6
3
1+4+9
15
.
=
4 + 10 + 18
32
Mnemonische Regel: Auf dem j-tem Platz des Produkts steht das
Skalarprodukt der j-ten Reihe der Matrix mit dem Vektor:
x1
a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n x2
..
..
.. .. =
.
.
.
.
xn
am1 am2 ... amn
Ein (m × n) K-Matrix A definiert eine Abbildung fA : Kn → Km :
Pn
x1
a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn
Pni=1 a1i xi
x2
a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn
i=1 a2i xi
fA . :=
=
.
..
..
..
Pn .
xn
am1 x1 + am2 x2 + ... + amn xn
i=1 ami xi
Diese Abbildung heißt Multiplikation der Matrix mit dem Vektor, statt
fA (v ) schreibt man gewöhnlich
Av ;
1
1 2 3
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3
2
=
=
Z.B.
a21 x1 + a22 x2 + a23 x3
4 5 6
3
1+4+9
15
.
=
4 + 10 + 18
32
Mnemonische Regel: Auf dem j-tem Platz des Produkts steht das
Skalarprodukt der j-ten Reihe der Matrix mit dem Vektor:
x1
a11 a12 ... a1n
a11 x1 +
a21 a22 ... a2n x2
..
..
.. .. =
.
.
.
.
xn
am1 am2 ... amn
Ein (m × n) K-Matrix A definiert eine Abbildung fA : Kn → Km :
Pn
x1
a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn
Pni=1 a1i xi
x2
a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn
i=1 a2i xi
fA . :=
=
.
..
..
..
Pn .
xn
am1 x1 + am2 x2 + ... + amn xn
i=1 ami xi
Diese Abbildung heißt Multiplikation der Matrix mit dem Vektor, statt
fA (v ) schreibt man gewöhnlich
Av ;
1
1 2 3
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3
2
=
=
Z.B.
a21 x1 + a22 x2 + a23 x3
4 5 6
3
1+4+9
15
.
=
4 + 10 + 18
32
Mnemonische Regel: Auf dem j-tem Platz des Produkts steht das
Skalarprodukt der j-ten Reihe der Matrix mit dem Vektor:
x1
a11 a12 ... a1n
a11 x1 + a12 x2 + ...
a21 a22 ... a2n x2
..
..
.. .. =
.
.
.
.
xn
am1 am2 ... amn
Ein (m × n) K-Matrix A definiert eine Abbildung fA : Kn → Km :
Pn
x1
a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn
Pni=1 a1i xi
x2
a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn
i=1 a2i xi
fA . :=
=
.
..
..
..
Pn .
xn
am1 x1 + am2 x2 + ... + amn xn
i=1 ami xi
Diese Abbildung heißt Multiplikation der Matrix mit dem Vektor, statt
fA (v ) schreibt man gewöhnlich
Av ;
1
1 2 3
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3
2
=
=
Z.B.
a21 x1 + a22 x2 + a23 x3
4 5 6
3
1+4+9
15
.
=
4 + 10 + 18
32
Mnemonische Regel: Auf dem j-tem Platz des Produkts steht das
Skalarprodukt der j-ten Reihe der Matrix mit dem Vektor:
x1
a11 a12 ... a1n
a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn
a21 a22 ... a2n x2
..
..
.. .. =
.
.
.
.
xn
am1 am2 ... amn
Ein (m × n) K-Matrix A definiert eine Abbildung fA : Kn → Km :
Pn
x1
a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn
Pni=1 a1i xi
x2
a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn
i=1 a2i xi
fA . :=
=
.
..
..
..
Pn .
xn
am1 x1 + am2 x2 + ... + amn xn
i=1 ami xi
Diese Abbildung heißt Multiplikation der Matrix mit dem Vektor, statt
fA (v ) schreibt man gewöhnlich
Av ;
1
1 2 3
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3
2
=
=
Z.B.
a21 x1 + a22 x2 + a23 x3
4 5 6
3
1+4+9
15
.
=
4 + 10 + 18
32
Mnemonische Regel: Auf dem j-tem Platz des Produkts steht das
Skalarprodukt der j-ten Reihe der Matrix mit dem Vektor:
a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn
x1
a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n x2
..
..
.. .. =
.
.
.
.
xn
am1 am2 ... amn
Ein (m × n) K-Matrix A definiert eine Abbildung fA : Kn → Km :
Pn
x1
a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn
Pni=1 a1i xi
x2
a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn
i=1 a2i xi
fA . :=
=
.
..
..
..
Pn .
xn
am1 x1 + am2 x2 + ... + amn xn
i=1 ami xi
Diese Abbildung heißt Multiplikation der Matrix mit dem Vektor, statt
fA (v ) schreibt man gewöhnlich
Av ;
1
1 2 3
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3
2
=
=
Z.B.
a21 x1 + a22 x2 + a23 x3
4 5 6
3
1+4+9
15
.
=
4 + 10 + 18
32
Mnemonische Regel: Auf dem j-tem Platz des Produkts steht das
Skalarprodukt der j-ten Reihe der Matrix mit dem Vektor:
a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn
x1
a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n x2 a21 x1 +
..
..
.. .. =
.
.
.
.
xn
am1 am2 ... amn
Ein (m × n) K-Matrix A definiert eine Abbildung fA : Kn → Km :
Pn
x1
a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn
Pni=1 a1i xi
x2
a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn
i=1 a2i xi
fA . :=
=
.
..
..
..
Pn .
xn
am1 x1 + am2 x2 + ... + amn xn
i=1 ami xi
Diese Abbildung heißt Multiplikation der Matrix mit dem Vektor, statt
fA (v ) schreibt man gewöhnlich
Av ;
1
1 2 3
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3
2
=
=
Z.B.
a21 x1 + a22 x2 + a23 x3
4 5 6
3
1+4+9
15
.
=
4 + 10 + 18
32
Mnemonische Regel: Auf dem j-tem Platz des Produkts steht das
Skalarprodukt der j-ten Reihe der Matrix mit dem Vektor:
a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn
x1
a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n x2 a21 x1 + a22 x2 + ... +
..
..
.. .. =
.
.
.
.
xn
am1 am2 ... amn
Ein (m × n) K-Matrix A definiert eine Abbildung fA : Kn → Km :
Pn
x1
a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn
Pni=1 a1i xi
x2
a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn
i=1 a2i xi
fA . :=
=
.
..
..
..
Pn .
xn
am1 x1 + am2 x2 + ... + amn xn
i=1 ami xi
Diese Abbildung heißt Multiplikation der Matrix mit dem Vektor, statt
fA (v ) schreibt man gewöhnlich
Av ;
1
1 2 3
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3
2
=
=
Z.B.
a21 x1 + a22 x2 + a23 x3
4 5 6
3
1+4+9
15
.
=
4 + 10 + 18
32
Mnemonische Regel: Auf dem j-tem Platz des Produkts steht das
Skalarprodukt der j-ten Reihe der Matrix mit dem Vektor:
a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn
x1
a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n x2 a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn
..
..
.. .. =
.
.
.
.
xn
am1 am2 ... amn
Ein (m × n) K-Matrix A definiert eine Abbildung fA : Kn → Km :
Pn
x1
a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn
Pni=1 a1i xi
x2
a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn
i=1 a2i xi
fA . :=
=
.
..
..
..
Pn .
xn
am1 x1 + am2 x2 + ... + amn xn
i=1 ami xi
Diese Abbildung heißt Multiplikation der Matrix mit dem Vektor, statt
fA (v ) schreibt man gewöhnlich
Av ;
1
1 2 3
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3
2
=
=
Z.B.
a21 x1 + a22 x2 + a23 x3
4 5 6
3
1+4+9
15
.
=
4 + 10 + 18
32
Mnemonische Regel: Auf dem j-tem Platz des Produkts steht das
Skalarprodukt der j-ten Reihe der Matrix mit dem Vektor:
a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn
x1
a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n x2 a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn
..
..
.. .. =
.
.
.
.
xn
am1 am2 ... amn
Ein (m × n) K-Matrix A definiert eine Abbildung fA : Kn → Km :
Pn
x1
a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn
Pni=1 a1i xi
x2
a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn
i=1 a2i xi
fA . :=
=
.
..
..
..
Pn .
xn
am1 x1 + am2 x2 + ... + amn xn
i=1 ami xi
Diese Abbildung heißt Multiplikation der Matrix mit dem Vektor, statt
fA (v ) schreibt man gewöhnlich
Av ;
1
1 2 3
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3
2
=
=
Z.B.
a21 x1 + a22 x2 + a23 x3
4 5 6
3
1+4+9
15
.
=
4 + 10 + 18
32
Mnemonische Regel: Auf dem j-tem Platz des Produkts steht das
Skalarprodukt der j-ten Reihe der Matrix mit dem Vektor:
a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn
x1
a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n x2 a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn
..
..
..
.. .. =
.
.
.
.
.
xn
am1 am2 ... amn
am1 x1 +
Ein (m × n) K-Matrix A definiert eine Abbildung fA : Kn → Km :
Pn
x1
a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn
Pni=1 a1i xi
x2
a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn
i=1 a2i xi
fA . :=
=
.
..
..
..
Pn .
xn
am1 x1 + am2 x2 + ... + amn xn
i=1 ami xi
Diese Abbildung heißt Multiplikation der Matrix mit dem Vektor, statt
fA (v ) schreibt man gewöhnlich
Av ;
1
1 2 3
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3
2
=
=
Z.B.
a21 x1 + a22 x2 + a23 x3
4 5 6
3
1+4+9
15
.
=
4 + 10 + 18
32
Mnemonische Regel: Auf dem j-tem Platz des Produkts steht das
Skalarprodukt der j-ten Reihe der Matrix mit dem Vektor:
a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn
x1
a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n x2 a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn
..
..
..
.. .. =
.
.
.
.
.
xn
am1 am2 ... amn
am1 x1 + am2 x2
Ein (m × n) K-Matrix A definiert eine Abbildung fA : Kn → Km :
Pn
x1
a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn
Pni=1 a1i xi
x2
a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn
i=1 a2i xi
fA . :=
=
.
..
..
..
Pn .
xn
am1 x1 + am2 x2 + ... + amn xn
i=1 ami xi
Diese Abbildung heißt Multiplikation der Matrix mit dem Vektor, statt
fA (v ) schreibt man gewöhnlich
Av ;
1
1 2 3
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3
2
=
=
Z.B.
a21 x1 + a22 x2 + a23 x3
4 5 6
3
1+4+9
15
.
=
4 + 10 + 18
32
Mnemonische Regel: Auf dem j-tem Platz des Produkts steht das
Skalarprodukt der j-ten Reihe der Matrix mit dem Vektor:
a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn
x1
a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n x2 a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn
..
..
..
.. .. =
.
.
.
.
.
xn
am1 am2 ... amn
am1 x1 + am2 x2 + ... + amn xn
Mnemonische Regel: Auf dem j-tem Platz des Produkts steht das
Skalarprodukt der j-ten Reihe der Matrix mit dem Vektor
−1 4 2
−2 1 0
Mnemonische Regel: Auf dem j-tem Platz des Produkts steht das
Skalarprodukt der
Reihe der Matrix mit dem Vektor
j-ten
2
−1 4 2
0 =
−2 1 0
1
Mnemonische Regel: Auf dem j-tem Platz des Produkts steht das
Skalarprodukt der
Reihe der Matrix mit dem Vektor
j-ten
2
−1 · 2 + 4 · 0 + 2 · 1
−1 4 2
0 =
−2 1 0
1
Mnemonische Regel: Auf dem j-tem Platz des Produkts steht das
Skalarprodukt der
Reihe der Matrix mit dem Vektor
j-ten
2
−1 · 2 + 4 · 0 + 2 · 1
−1 4 2
0 =
=
−2·2+1·0+0·1
−2 1 0
1
Mnemonische Regel: Auf dem j-tem Platz des Produkts steht das
Skalarprodukt der
Reihe der Matrix mit dem Vektor
j-ten
2
−1 · 2 + 4 · 0 + 2 · 1
−1 4 2
0 =
=
−2·2+1·0+0·1
−2 1 0
1
0
.
−4
Lemma 23
Abbildung
Multiplikation von Matrizen und Vektoren ist eine lineare
Lemma 23
Abbildung
Beweis:
Multiplikation von Matrizen und Vektoren ist eine lineare
Lemma 23
Abbildung
Beweis:
0 a11 ...
B
.
B
.
.
am1
...
Multiplikation von Matrizen und Vektoren ist eine lineare
a1n
.
.
.
amn
1 00
C
BB
C
AB
B
x1
.
.
.
xn
1 0
C
B
C
A+B
y1
.
.
.
yn
11
C
C
C
AC
A
Lemma 23
Abbildung
Beweis:
0 a11 ...
B
.
B
.
.
am1
...
Multiplikation von Matrizen und Vektoren ist eine lineare
a1n
.
.
.
amn
1 00
C
BB
C
AB
B
x1
.
.
.
xn
1 0
C
B
C
A+B
y1
.
.
.
yn
11
C
C
C
AC
A
0
B
=B
a11
.
.
.
am1
...
...
a1n
.
.
.
amn
10
C
B
C
AB
x1 + y1
.
.
.
xn + yn
1
C
C
A
Lemma 23
Abbildung
Beweis:
0 a11 ...
B
.
B
.
0
B
B
Multiplikation von Matrizen und Vektoren ist eine lineare
1 00
C
BB
C
AB
B
1
C
C
A
a1n
x1
.
.
+
.
.
.
.
.
am1
...
amn
xn
a11 (x1 + y1 ) + ... + a1n (xn + yn )
0
B
B
y1
.
.
.
yn
11
C
C
C
AC
A
0
B
=B
a11
.
.
.
am1
...
...
a1n
.
.
.
amn
10
C
B
C
AB
x1 + y1
.
.
.
xn + yn
1
C
C
A
=
Lemma 23
Abbildung
Beweis:
0 a11 ...
B
.
B
.
0
B
B
Multiplikation von Matrizen und Vektoren ist eine lineare
1 00
C
BB
C
AB
B
1
C
C
A
a1n
x1
.
.
+
.
.
.
.
.
am1
...
amn
xn
a11 (x1 + y1 ) + ... + a1n (xn + yn )
.
.
.
am1 (x1 + y1 ) + ... + amn (xn + yn )
0
B
B
1
C
C
A
y1
.
.
.
yn
11
C
C
C
AC
A
0
B
=B
a11
.
.
.
am1
...
...
a1n
.
.
.
amn
10
C
B
C
AB
x1 + y1
.
.
.
xn + yn
1
C
C
A
=
Lemma 23
Abbildung
Beweis:
0 a11 ...
B
.
B
.
0
B
B
Multiplikation von Matrizen und Vektoren ist eine lineare
1 00
C
BB
C
AB
B
1
C
C
A
a1n
x1
.
.
+
.
.
.
.
.
am1
...
amn
xn
a11 (x1 + y1 ) + ... + a1n (xn + yn )
.
.
.
am1 (x1 + y1 ) + ... + amn (xn + yn )
0
B
B
1
C
C
A
y1
.
.
.
yn
0
B
=B
11
C
C
C
AC
A
0
B
=B
a11
...
.
.
.
am1
...
a11 x1 + ... + a1n xn
.
.
.
am1 x1 + ... + amn xn
a1n
.
.
.
amn
1
C
C
A+
10
C
B
C
AB
x1 + y1
.
.
.
xn + yn
1
C
C
A
=
Lemma 23
Abbildung
Beweis:
0 a11 ...
B
.
B
.
0
B
B
Multiplikation von Matrizen und Vektoren ist eine lineare
1 00
C
BB
C
AB
B
1
C
C
A
a1n
x1
.
.
+
.
.
.
.
.
am1
...
amn
xn
a11 (x1 + y1 ) + ... + a1n (xn + yn )
.
.
.
am1 (x1 + y1 ) + ... + amn (xn + yn )
0
B
B
1
C
C
A
y1
.
.
.
yn
0
B
=B
11
C
C
C
AC
A
0
B
=B
a11
...
.
.
.
am1
...
a11 x1 + ... + a1n xn
.
.
.
am1 x1 + ... + amn xn
a1n
.
.
.
amn
10
C
B
C
AB
1 0
C
B
C
A+ B
1
C
C
A
x1 + y1
.
=
.
.
xn + yn
a11 y1 + ... + a1n yn
.
.
.
am1 y1 + ... + amn yn
1
C
C
A=
Lemma 23
Abbildung
Beweis:
0 a11 ...
B
.
B
.
0
B
B
0
B
B
Multiplikation von Matrizen und Vektoren ist eine lineare
1 00
C
BB
C
AB
B
1
C
C
A
a1n
x1
.
.
+
.
.
.
.
.
am1
...
amn
xn
a11 (x1 + y1 ) + ... + a1n (xn + yn )
.
.
.
am1 (x1 + y1 ) + ... + amn (xn + yn )
a11
...
a1n
x1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
am1
...
amn
xn
0
B
B
1
C
C
A
10
C
B
C
AB
1
C
C
A
y1
.
.
.
yn
0
B
=B
11
C
C
C
AC
A
0
B
=B
a11
...
.
.
.
am1
...
a11 x1 + ... + a1n xn
.
.
.
am1 x1 + ... + amn xn
a1n
.
.
.
amn
10
C
B
C
AB
1 0
C
B
C
A+ B
1
C
C
A
x1 + y1
.
=
.
.
xn + yn
a11 y1 + ... + a1n yn
.
.
.
am1 y1 + ... + amn yn
1
C
C
A=
Lemma 23
Abbildung
Beweis:
0 a11 ...
B
.
B
.
0
B
B
0
B
B
Multiplikation von Matrizen und Vektoren ist eine lineare
1 00
C
BB
C
AB
B
1
C
C
A
a1n
x1
.
.
+
.
.
.
.
.
am1
...
amn
xn
a11 (x1 + y1 ) + ... + a1n (xn + yn )
.
.
.
am1 (x1 + y1 ) + ... + amn (xn + yn )
a11
...
a1n
x1
.
.
.
+
.
.
.
.
.
.
am1
...
amn
xn
0
B
B
1
C
C
A
10
C
B
C
AB
1
C
C
A
0
B
B
y1
.
.
.
yn
11
C
C
C
AC
A
0
B
=B
a11
...
a1n
.
.
.
.
.
.
am1
...
amn
a11 x1 + ... + a1n xn
.
=
+
.
.
am1 x1 + ... + amn xn
a11
...
a1n
y1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
yn
am1
...
amn
0
B
B
10
C
B
C
AB
10
C
B
C
AB
1 0
C
B
C
A B
1
C
C
A
1
C
C
A
x1 + y1
.
=
.
.
xn + yn
a11 y1 + ... + a1n yn
.
.
.
am1 y1 + ... + amn yn
1
C
C
A=
Lemma 23
Abbildung
Beweis:
0 a11 ...
B
.
B
.
0
B
B
0
B
B
Multiplikation von Matrizen und Vektoren ist eine lineare
1 00
C
BB
C
AB
B
1
C
C
A
a1n
x1
.
.
+
.
.
.
.
.
am1
...
amn
xn
a11 (x1 + y1 ) + ... + a1n (xn + yn )
.
.
.
am1 (x1 + y1 ) + ... + amn (xn + yn )
a11
...
a1n
x1
.
.
.
+
.
.
.
.
.
.
am1
...
amn
xn
Ähnlich mit λv .
0
B
B
1
C
C
A
10
C
B
C
AB
1
C
C
A
0
B
B
y1
.
.
.
yn
11
C
C
C
AC
A
0
B
=B
a11
...
a1n
.
.
.
.
.
.
am1
...
amn
a11 x1 + ... + a1n xn
.
=
+
.
.
am1 x1 + ... + amn xn
a11
...
a1n
y1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
yn
am1
...
amn
0
B
B
10
C
B
C
AB
10
C
B
C
AB
1 0
C
B
C
A B
1
C
C
A
1
C
C
A
x1 + y1
.
=
.
.
xn + yn
a11 y1 + ... + a1n yn
.
.
.
am1 y1 + ... + amn yn
1
C
C
A=
Lemma 23
Abbildung
Beweis:
0 a11 ...
B
.
B
.
0
B
B
0
B
B
Multiplikation von Matrizen und Vektoren ist eine lineare
1 00
C
BB
C
AB
B
1
C
C
A
a1n
x1
.
.
+
.
.
.
.
.
am1
...
amn
xn
a11 (x1 + y1 ) + ... + a1n (xn + yn )
.
.
.
am1 (x1 + y1 ) + ... + amn (xn + yn )
a11
...
a1n
x1
.
.
.
+
.
.
.
.
.
.
am1
...
amn
xn
0
B
B
1
C
C
A
10
C
B
C
AB
Ähnlich mit λv .
Wichtige Frage
1
C
C
A
0
B
B
y1
.
.
.
yn
11
C
C
C
AC
A
0
B
=B
a11
...
a1n
.
.
.
.
.
.
am1
...
amn
a11 x1 + ... + a1n xn
.
=
+
.
.
am1 x1 + ... + amn xn
a11
...
a1n
y1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
yn
am1
...
amn
0
B
B
10
C
B
C
AB
10
C
B
C
AB
1 0
C
B
C
A B
1
C
C
A
1
C
C
A
x1 + y1
.
=
.
.
xn + yn
a11 y1 + ... + a1n yn
.
.
.
am1 y1 + ... + amn yn
1
C
C
A=
Lemma 23
Abbildung
Beweis:
0 a11 ...
B
.
B
.
0
B
B
0
B
B
Multiplikation von Matrizen und Vektoren ist eine lineare
1 00
C
BB
C
AB
B
1
C
C
A
a1n
x1
.
.
+
.
.
.
.
.
am1
...
amn
xn
a11 (x1 + y1 ) + ... + a1n (xn + yn )
.
.
.
am1 (x1 + y1 ) + ... + amn (xn + yn )
a11
...
a1n
x1
.
.
.
+
.
.
.
.
.
.
am1
...
amn
xn
0
B
B
1
C
C
A
10
C
B
C
AB
1
C
C
A
0
B
B
y1
.
.
.
yn
11
C
C
C
AC
A
0
B
=B
a11
...
a1n
.
.
.
.
.
.
am1
...
amn
a11 x1 + ... + a1n xn
.
=
+
.
.
am1 x1 + ... + amn xn
a11
...
a1n
y1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
yn
am1
...
amn
0
B
B
10
C
B
C
AB
10
C
B
C
AB
1 0
C
B
C
A B
1
C
C
A
1
C
C
A
x1 + y1
.
=
.
.
xn + yn
a11 y1 + ... + a1n yn
.
.
.
am1 y1 + ... + amn yn
1
C
C
A=
Ähnlich mit λv .
Wichtige Frage Wohin bildet diese Abbildung die Vektoren aus der
Standard-Basis ab?
0 a11 ... a1n 1 0 1 1
B
a21
...
a2n C B 0 C
B
B
C
C
B
B
C
=
.
. C
.
B
B
C
.
. C
..
A
.
. A
am1
...
amn
0
Lemma 23
Abbildung
Beweis:
0 a11 ...
B
.
B
.
0
B
B
0
B
B
Multiplikation von Matrizen und Vektoren ist eine lineare
1 00
C
BB
C
AB
B
1
C
C
A
a1n
x1
.
.
+
.
.
.
.
.
am1
...
amn
xn
a11 (x1 + y1 ) + ... + a1n (xn + yn )
.
.
.
am1 (x1 + y1 ) + ... + amn (xn + yn )
a11
...
a1n
x1
.
.
.
+
.
.
.
.
.
.
am1
...
amn
xn
0
B
B
1
C
C
A
10
C
B
C
AB
1
C
C
A
0
B
B
y1
.
.
.
yn
11
C
C
C
AC
A
0
B
=B
a11
...
a1n
.
.
.
.
.
.
am1
...
amn
a11 x1 + ... + a1n xn
.
=
+
.
.
am1 x1 + ... + amn xn
a11
...
a1n
y1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
yn
am1
...
amn
0
B
B
10
C
B
C
AB
10
C
B
C
AB
1 0
C
B
C
A B
1
C
C
A
1
C
C
A
x1 + y1
.
=
.
.
xn + yn
a11 y1 + ... + a1n yn
.
.
.
am1 y1 + ... + amn yn
1
C
C
A=
Ähnlich mit λv .
Wichtige Frage Wohin bildet diese Abbildung die Vektoren aus der
Standard-Basis ab?
0 a11 ... a1n 1 0 1 1 0 a11
B
a21
...
a2n C B 0 C
B
B
C
C B
B
B
B
C
= B
.
. C
.
B
B
C
B
.
. C
..
A
A
.
.
am1
...
amn
0
Lemma 23
Abbildung
Beweis:
0 a11 ...
B
.
B
.
0
B
B
0
B
B
Multiplikation von Matrizen und Vektoren ist eine lineare
1 00
C
BB
C
AB
B
1
C
C
A
a1n
x1
.
.
+
.
.
.
.
.
am1
...
amn
xn
a11 (x1 + y1 ) + ... + a1n (xn + yn )
.
.
.
am1 (x1 + y1 ) + ... + amn (xn + yn )
a11
...
a1n
x1
.
.
.
+
.
.
.
.
.
.
am1
...
amn
xn
0
B
B
1
C
C
A
10
C
B
C
AB
1
C
C
A
0
B
B
y1
.
.
.
yn
11
C
C
C
AC
A
0
B
=B
a11
...
a1n
.
.
.
.
.
.
am1
...
amn
a11 x1 + ... + a1n xn
.
=
+
.
.
am1 x1 + ... + amn xn
a11
...
a1n
y1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
yn
am1
...
amn
0
B
B
10
C
B
C
AB
10
C
B
C
AB
1 0
C
B
C
A B
1
C
C
A
1
C
C
A
x1 + y1
.
=
.
.
xn + yn
a11 y1 + ... + a1n yn
.
.
.
am1 y1 + ... + amn yn
1
C
C
A=
Ähnlich mit λv .
Wichtige Frage Wohin bildet diese Abbildung die Vektoren aus der
Standard-Basis ab?
0 a11 ... a1n 1 0 1 1 0 a11
B
a21
...
a2n C B 0 C
B
B
C
C B
B a21
B
B
C
= B
.
. C
.
B
B
C
B
.
. C
..
A
A
.
.
am1
...
amn
0
Lemma 23
Abbildung
Beweis:
0 a11 ...
B
.
B
.
0
B
B
0
B
B
Multiplikation von Matrizen und Vektoren ist eine lineare
1 00
C
BB
C
AB
B
1
C
C
A
a1n
x1
.
.
+
.
.
.
.
.
am1
...
amn
xn
a11 (x1 + y1 ) + ... + a1n (xn + yn )
.
.
.
am1 (x1 + y1 ) + ... + amn (xn + yn )
a11
...
a1n
x1
.
.
.
+
.
.
.
.
.
.
am1
...
amn
xn
0
B
B
1
C
C
A
10
C
B
C
AB
1
C
C
A
0
B
B
y1
.
.
.
yn
11
C
C
C
AC
A
0
B
=B
a11
...
a1n
.
.
.
.
.
.
am1
...
amn
a11 x1 + ... + a1n xn
.
=
+
.
.
am1 x1 + ... + amn xn
a11
...
a1n
y1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
yn
am1
...
amn
0
B
B
10
C
B
C
AB
10
C
B
C
AB
1 0
C
B
C
A B
1
C
C
A
1
C
C
A
x1 + y1
.
=
.
.
xn + yn
a11 y1 + ... + a1n yn
.
.
.
am1 y1 + ... + amn yn
1
C
C
A=
Ähnlich mit λv .
Wichtige Frage Wohin bildet diese Abbildung die Vektoren aus der
Standard-Basis ab?
0 a11 ... a1n 1 0 1 1 0 a11
B
a21
...
a2n C B 0 C
B
B
C
C B
B a21
B
B
C
= B
.
. C
.
.
B
B
C
B
.
. C
..
A
A
..
.
.
am1
...
amn
0
am1
Lemma 23
Abbildung
Beweis:
0 a11 ...
B
.
B
.
0
B
B
0
B
B
Multiplikation von Matrizen und Vektoren ist eine lineare
1 00
C
BB
C
AB
B
1
C
C
A
a1n
x1
.
.
+
.
.
.
.
.
am1
...
amn
xn
a11 (x1 + y1 ) + ... + a1n (xn + yn )
.
.
.
am1 (x1 + y1 ) + ... + amn (xn + yn )
a11
...
a1n
x1
.
.
.
+
.
.
.
.
.
.
am1
...
amn
xn
0
B
B
1
C
C
A
10
C
B
C
AB
1
C
C
A
0
B
B
y1
.
.
.
yn
11
C
C
C
AC
A
0
B
=B
a11
...
a1n
.
.
.
.
.
.
am1
...
amn
a11 x1 + ... + a1n xn
.
=
+
.
.
am1 x1 + ... + amn xn
a11
...
a1n
y1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
yn
am1
...
amn
0
B
B
10
C
B
C
AB
10
C
B
C
AB
1 0
C
B
C
A B
1
C
C
A
1
C
C
A
x1 + y1
.
=
.
.
xn + yn
a11 y1 + ... + a1n yn
.
.
.
am1 y1 + ... + amn yn
1
C
C
A=
Ähnlich mit λv .
Wichtige Frage Wohin bildet diese Abbildung die Vektoren aus der
Standard-Basis ab?
0 a11 ... a1n 1 0 1 1 0 a11 1
B
a21
...
a2n C B 0 C
B
B
C
C B
B a21 C
C
B
B
C
C
= B
.
. C
.
.
B
B
C
B
C
.
. C
.
..
A
A
A
.
.
.
am1
...
amn
0
am1
Lemma 23
Abbildung
Beweis:
0 a11 ...
B
.
B
.
0
B
B
0
B
B
Multiplikation von Matrizen und Vektoren ist eine lineare
1 00
C
BB
C
AB
B
1
C
C
A
a1n
x1
.
.
+
.
.
.
.
.
am1
...
amn
xn
a11 (x1 + y1 ) + ... + a1n (xn + yn )
.
.
.
am1 (x1 + y1 ) + ... + amn (xn + yn )
a11
...
a1n
x1
.
.
.
+
.
.
.
.
.
.
am1
...
amn
xn
0
B
B
y1
.
.
.
yn
11 0
C
C B
C
AC
A =B
1 0
C
B
C
A=B
10
C
B
C
AB
1
C
C
A
0
B
B
a11
.
.
.
am1
a11
...
.
.
.
am1
...
a11 x1 + ... + a1n xn
.
.
.
am1 x1 + ... + amn xn
...
a1n
y1
.
.
.
.
.
.
yn
...
amn
10
C
B
C
AB
Ähnlich mit λv .
Wichtige Frage Wo bildet diese
Standard-Basis ab?
0 a11 ... a1n
B
a21
...
a2n
B
B
.
.
B
.
..
.
am1
...
amn
a1n
.
.
.
amn
10
C
B
C
AB
1 0
C
B
C
A+B
1
C
C
A
1
C
C
A
x1 + y1
.
=
.
.
xn + yn
a11 y1 + ... + a1n yn
.
.
.
am1 y1 + ... + amn yn
Abbildung die Vektoren aus der
10
B
C
B
C
B
C
C
AB
1
0
.
.
.
0
1 0
C
B
C
B
C
=B
C
A B
a11
a21
.
.
.
am1
1
C
C
C
C
A
1
C
C
A=
a11
a21
..
.
a12
a22
...
...
am1
am2
... amn
a1n
a2n
..
.
0
1
..
.
0
a11
a21
..
.
a12
a22
...
...
am1
am2
... amn
a1n
a2n
..
.
0
1
..
.
0
=
a11
a21
..
.
a12
a22
...
...
am1
am2
... amn
a1n
a2n
..
.
0
1
..
.
0
=
a11
a21
..
.
a12
a22
...
...
am1
am2
... amn
a1n
a2n
..
.
0
1
..
.
0
=
a12
a11
a21
..
.
a12
a22
...
...
am1
am2
... amn
a1n
a2n
..
.
0
1
..
.
0
a12
a22
=
a11
a21
..
.
a12
a22
...
...
am1
am2
... amn
a1n
a2n
..
.
0
1
..
.
0
=
a12
a22
..
.
am2
a11
a21
..
.
a12
a22
...
...
am1
am2
... amn
a1n
a2n
..
.
0
1
..
.
0
=
a12
a22
..
.
am2
Ähnlich, die Matrix multipliziert mit dem i-ten Basisvektor ist
gleich die i-te Spalte von der Matrix
Matrix einer linearen Abbildung
Matrix einer linearen Abbildung
Die Vektoren aus der Standard-Basis
in Kn werden wir mit
0 1
B
B
B
B
e1 , ..., en bezeichnen: ei = B
B
B
B
0
.
.
.
1
.
.
.
0
C
C
C
C
C
←
C
C
C
A
i-ter Platz
Matrix einer linearen Abbildung
Die Vektoren aus der Standard-Basis
in Kn werden wir mit
0 1
B
B
B
B
e1 , ..., en bezeichnen: ei = B
B
B
B
Satz 32
0
.
.
.
1
.
.
.
0
C
C
C
C
C
←
C
C
C
A
i-ter Platz
Matrix einer linearen Abbildung
Die Vektoren aus der Standard-Basis
in Kn werden wir mit
0 1
B
B
B
B
e1 , ..., en bezeichnen: ei = B
B
B
B
0
.
.
.
1
.
.
.
0
C
C
C
C
C
←
C
C
C
A
i-ter Platz
Satz 32 f : Kn → Km sei eine lineare Abbildung.
Matrix einer linearen Abbildung
Die Vektoren aus der Standard-Basis
in Kn werden wir mit
0 1
B
B
B
B
e1 , ..., en bezeichnen: ei = B
B
B
B
0
.
.
.
1
.
.
.
0
C
C
C
C
C
←
C
C
C
A
i-ter Platz
Satz 32 f : Kn → Km sei eine lineare Abbildung.
i ∈ {1, ..., n}
Für jedes
Matrix einer linearen Abbildung
Die Vektoren aus der Standard-Basis
in Kn werden wir mit
0 1
B
B
B
B
e1 , ..., en bezeichnen: ei = B
B
B
B
0
.
.
.
1
.
.
.
0
C
C
C
C
C
←
C
C
C
A
i-ter Platz
Satz 32 f : Kn → Km sei eine lineare
Abbildung.
0 u1 1
B
B
i ∈ {1, ..., n} seien f (ei ) = ui := B
B
Standard-Basisvektoren.
i
ui2
.
.
.
uim
Für jedes
C
C
C
die Bilder der
C
A
Matrix einer linearen Abbildung
Die Vektoren aus der Standard-Basis
in Kn werden wir mit
0 1
B
B
B
B
e1 , ..., en bezeichnen: ei = B
B
B
B
0
.
.
.
1
.
.
.
0
C
C
C
C
C
←
C
C
C
A
i-ter Platz
Satz 32 f : Kn → Km sei eine lineare
Abbildung.
0 u1 1
B
B
i ∈ {1, ..., n} seien f (ei ) = ui := B
B
i
ui2
.
.
.
uim
C
C
C
die Bilder der
C
A
Standard-Basisvektoren. Dann für jeden Vektor
0
B
B
v=B
B
v1
v2
.
.
.
vn
1
C
C
C
∈ Kn gilt:
C
A
Für jedes
Matrix einer linearen Abbildung
Die Vektoren aus der Standard-Basis
in Kn werden wir mit
0 1
B
B
B
B
e1 , ..., en bezeichnen: ei = B
B
B
B
0
.
.
.
1
.
.
.
0
C
C
C
C
C
←
C
C
C
A
i-ter Platz
Satz 32 f : Kn → Km sei eine lineare
Abbildung.
0 u1 1
B
B
i ∈ {1, ..., n} seien f (ei ) = ui := B
B
i
ui2
.
.
.
uim
C
C
C
die Bilder der
C
A
Standard-Basisvektoren. Dann
0 für jeden Vektor
1
0
B
B
v=B
B
v1
v2
.
.
.
vn
1
C
C
C
∈ Kn gilt:
C
A
B
B
B
f (v ) = B
B
u11
u12
.
.
.
1
um
u21
u22
.
.
.
2
um
...
...
...
Für jedes
un1
un2
.
.
.
unm
0
C
B
C
B
C
B
C
B
C
A
v1
v2
.
.
.
vn
1
C
C
C
.
C
A
Matrix einer linearen Abbildung
Die Vektoren aus der Standard-Basis
in Kn werden wir mit
0 1
B
B
B
B
e1 , ..., en bezeichnen: ei = B
B
B
B
0
.
.
.
1
.
.
.
0
C
C
C
C
C
←
C
C
C
A
i-ter Platz
Satz 32 f : Kn → Km sei eine lineare
Abbildung.
0 u1 1
B
B
i ∈ {1, ..., n} seien f (ei ) = ui := B
B
i
ui2
.
.
.
uim
C
C
C
die Bilder der
C
A
Standard-Basisvektoren. Dann
0 für jeden Vektor
1
0
B
B
v=B
B
v1
v2
.
.
.
vn
1
C
C
C
∈ Kn gilt:
C
A
B
B
B
f (v ) = B
B
u11
u12
.
.
.
1
um
u21
u22
.
.
.
2
um
...
...
...
Für jedes
un1
un2
.
.
.
unm
0
C
B
C
B
C
B
C
B
C
A
v1
v2
.
.
.
vn
1
C
C
C
.
C
A
Matrix einer linearen Abbildung
Die Vektoren aus der Standard-Basis
in Kn werden wir mit
0 1
B
B
B
B
e1 , ..., en bezeichnen: ei = B
B
B
B
0
.
.
.
1
.
.
.
0
C
C
C
C
C
←
C
C
C
A
i-ter Platz
Satz 32 f : Kn → Km sei eine lineare
Abbildung.
0 u1 1
B
B
i ∈ {1, ..., n} seien f (ei ) = ui := B
B
i
ui2
.
.
.
uim
C
C
C
die Bilder der
C
A
Standard-Basisvektoren. Dann
0 für jeden Vektor
1
0
B
B
v=B
B
v1
v2
.
.
.
vn
1
C
C
C
∈ Kn gilt:
C
A
B
B
B
f (v ) = B
B
u11
u12
.
.
.
1
um
u21
u22
.
.
.
2
um
...
...
...
Für jedes
un1
un2
.
.
.
unm
0
C
B
C
B
C
B
C
B
C
A
v1
v2
.
.
.
vn
1
C
C
C
.
C
A
Matrix einer linearen Abbildung
Die Vektoren aus der Standard-Basis
in Kn werden wir mit
0 1
B
B
B
B
e1 , ..., en bezeichnen: ei = B
B
B
B
0
.
.
.
1
.
.
.
0
C
C
C
C
C
←
C
C
C
A
i-ter Platz
Satz 32 f : Kn → Km sei eine lineare
Abbildung.
0 u1 1
B
B
i ∈ {1, ..., n} seien f (ei ) = ui := B
B
i
ui2
.
.
.
uim
C
C
C
die Bilder der
C
A
Standard-Basisvektoren. Dann
0 für jeden Vektor
1
0
B
B
v=B
B
v1
v2
.
.
.
vn
1
C
C
C
∈ Kn gilt:
C
A
B
B
B
f (v ) = B
B
u11
u12
.
.
.
1
um
u21
u22
.
.
.
2
um
...
...
...
Für jedes
un1
un2
.
.
.
unm
0
C
B
C
B
C
B
C
B
C
A
v1
v2
.
.
.
vn
1
C
C
C
.
C
A
Matrix einer linearen Abbildung
Die Vektoren aus der Standard-Basis
in Kn werden wir mit
0 1
B
B
B
B
e1 , ..., en bezeichnen: ei = B
B
B
B
0
.
.
.
1
.
.
.
0
C
C
C
C
C
←
C
C
C
A
i-ter Platz
Satz 32 f : Kn → Km sei eine lineare
Abbildung.
0 u1 1
B
B
i ∈ {1, ..., n} seien f (ei ) = ui := B
B
i
ui2
.
.
.
uim
C
C
C
die Bilder der
C
A
Standard-Basisvektoren. Dann
0 für jeden Vektor
1
0
B
B
v=B
B
v1
v2
.
.
.
vn
1
C
C
C
∈ Kn gilt:
C
A
B
B
B
f (v ) = B
B
u11
u12
.
.
.
1
um
u21
u22
.
.
.
2
um
...
...
...
Für jedes
un1
un2
.
.
.
unm
0
C
B
C
B
C
B
C
B
C
A
v1
v2
.
.
.
vn
1
C
C
C
.
C
A
Matrix einer linearen Abbildung
Die Vektoren aus der Standard-Basis
in Kn werden wir mit
0 1
B
B
B
B
e1 , ..., en bezeichnen: ei = B
B
B
B
0
.
.
.
1
.
.
.
0
C
C
C
C
C
←
C
C
C
A
i-ter Platz
Satz 32 f : Kn → Km sei eine lineare
Abbildung.
0 u1 1
B
B
i ∈ {1, ..., n} seien f (ei ) = ui := B
B
i
ui2
.
.
.
uim
C
C
C
die Bilder der
C
A
Standard-Basisvektoren. Dann
0 für jeden Vektor
1
0
B
B
v=B
B
v1
v2
.
.
.
vn
1
C
C
C
∈ Kn gilt:
C
A
In Worten:
B
B
B
f (v ) = B
B
u11
u12
.
.
.
1
um
u21
u22
.
.
.
2
um
...
...
...
Für jedes
un1
un2
.
.
.
unm
0
C
B
C
B
C
B
C
B
C
A
v1
v2
.
.
.
vn
1
C
C
C
.
C
A
Matrix einer linearen Abbildung
Die Vektoren aus der Standard-Basis
in Kn werden wir mit
0 1
B
B
B
B
e1 , ..., en bezeichnen: ei = B
B
B
B
0
.
.
.
1
.
.
.
0
C
C
C
C
C
←
C
C
C
A
i-ter Platz
Satz 32 f : Kn → Km sei eine lineare
Abbildung.
0 u1 1
B
B
i ∈ {1, ..., n} seien f (ei ) = ui := B
B
i
ui2
.
.
.
uim
C
C
C
die Bilder der
C
A
Standard-Basisvektoren. Dann
0 für jeden Vektor
1
0
B
B
v=B
B
v1
v2
.
.
.
vn
1
C
C
C
∈ Kn gilt:
C
A
B
B
B
f (v ) = B
B
u11
u12
.
.
.
1
um
u21
u22
.
.
.
2
um
...
...
...
Für jedes
un1
un2
.
.
.
unm
0
C
B
C
B
C
B
C
B
C
A
v1
v2
.
.
.
vn
1
C
C
C
.
C
A
In Worten: jede lineare Abbildung von Kn nach Km
Matrix einer linearen Abbildung
Die Vektoren aus der Standard-Basis
in Kn werden wir mit
0 1
B
B
B
B
e1 , ..., en bezeichnen: ei = B
B
B
B
0
.
.
.
1
.
.
.
0
C
C
C
C
C
←
C
C
C
A
i-ter Platz
Satz 32 f : Kn → Km sei eine lineare
Abbildung.
0 u1 1
B
B
i ∈ {1, ..., n} seien f (ei ) = ui := B
B
i
ui2
.
.
.
uim
C
C
C
die Bilder der
C
A
Standard-Basisvektoren. Dann
0 für jeden Vektor
1
0
B
B
v=B
B
v1
v2
.
.
.
vn
1
C
C
C
∈ Kn gilt:
C
A
B
B
B
f (v ) = B
B
u11
u12
.
.
.
1
um
u21
u22
.
.
.
2
um
...
...
...
Für jedes
un1
un2
.
.
.
unm
0
C
B
C
B
C
B
C
B
C
A
v1
v2
.
.
.
vn
1
C
C
C
.
C
A
In Worten: jede lineare Abbildung von Kn nach Km ist die
Multiplikation mit der Matrix,
Matrix einer linearen Abbildung
Die Vektoren aus der Standard-Basis
in Kn werden wir mit
0 1
B
B
B
B
e1 , ..., en bezeichnen: ei = B
B
B
B
0
.
.
.
1
.
.
.
0
C
C
C
C
C
←
C
C
C
A
i-ter Platz
Satz 32 f : Kn → Km sei eine lineare
Abbildung.
0 u1 1
B
B
i ∈ {1, ..., n} seien f (ei ) = ui := B
B
i
ui2
.
.
.
uim
C
C
C
die Bilder der
C
A
Standard-Basisvektoren. Dann
0 für jeden Vektor
1
0
B
B
v=B
B
v1
v2
.
.
.
vn
1
C
C
C
∈ Kn gilt:
C
A
B
B
B
f (v ) = B
B
u11
u12
.
.
.
1
um
u21
u22
.
.
.
2
um
...
...
...
Für jedes
un1
un2
.
.
.
unm
0
C
B
C
B
C
B
C
B
C
A
v1
v2
.
.
.
vn
1
C
C
C
.
C
A
In Worten: jede lineare Abbildung von Kn nach Km ist die
Multiplikation mit der Matrix, deren i-te Spalte das Bild von ei
ist.
Satz 32 In Worten: jede lineare Abbildung von Kn nach Km ist die
Multiplikation mit der Matrix, deren i-te Spalte das Bild von ei ist.
Satz 32 In Worten: jede lineare Abbildung von Kn nach Km ist die
Multiplikation mit der Matrix, deren i-te Spalte das Bild von ei ist.
Beweis:
Satz 32 In Worten: jede lineare Abbildung von Kn nach Km ist die
Multiplikation mit der Matrix, deren i-te Spalte das Bild von ei ist.
Beweis:
Satz 32 In Worten: jede lineare Abbildung von Kn nach Km ist die
Multiplikation mit der Matrix, deren i-te Spalte das Bild von ei ist.
Beweis:
Satz 32 In Worten: jede lineare Abbildung von Kn nach Km ist die
Multiplikation mit der Matrix, deren i-te Spalte das Bild von ei ist.
Beweis:
Satz 30: Es gibt genau eine lin. Abbildung
f mit f (ei ) = ui
Satz 32 In Worten: jede lineare Abbildung von Kn nach Km ist die
Multiplikation mit der Matrix, deren i-te Spalte das Bild von ei ist.
Beweis:
Satz 30: Es gibt genau eine lin. Abbildung
f mit f (ei ) = ui
Satz 32 In Worten: jede lineare Abbildung von Kn nach Km ist die
Multiplikation mit der Matrix, deren i-te Spalte das Bild von ei ist.
Beweis:
Satz 30: Es gibt genau eine lin. Abbildung
f mit f (ei ) = ui
Satz 32 In Worten: jede lineare Abbildung von Kn nach Km ist die
Multiplikation mit der Matrix, deren i-te Spalte das Bild von ei ist.
Beweis:
Satz 30: Es gibt genau eine lin. Abbildung
f mit f (ei ) = ui
Satz 32 In Worten: jede lineare Abbildung von Kn nach Km ist die
Multiplikation mit der Matrix, deren i-te Spalte das Bild von ei ist.
Beweis:
Satz 30: Es gibt genau eine lin. Abbildung
f mit f (ei ) = ui
Satz 32 In Worten: jede lineare Abbildung von Kn nach Km ist die
Multiplikation mit der Matrix, deren i-te Spalte das Bild von ei ist.
Beweis:
Satz 30: Es gibt genau eine lin. Abbildung
f mit f (ei ) = ui
Satz 32 In Worten: jede lineare Abbildung von Kn nach Km ist die
Multiplikation mit der Matrix, deren i-te Spalte das Bild von ei ist.
Beweis:
Satz 30: Es gibt genau eine lin. Abbildung
f mit f (ei ) = ui
Wicht. Frage.:
Satz 32 In Worten: jede lineare Abbildung von Kn nach Km ist die
Multiplikation mit der Matrix, deren i-te Spalte das Bild von ei ist.
Beweis:
Satz 30: Es gibt genau eine lin. Abbildung
f mit f (ei ) = ui
Wicht. Frage.: Aei ist die i−te Spalte von A.
Satz 32 In Worten: jede lineare Abbildung von Kn nach Km ist die
Multiplikation mit der Matrix, deren i-te Spalte das Bild von ei ist.
Beweis:
Satz 30: Es gibt genau eine lin. Abbildung
f mit f (ei ) = ui
Wicht. Frage.: Aei ist die i−te Spalte von A.
Satz 32 In Worten: jede lineare Abbildung von Kn nach Km ist die
Multiplikation mit der Matrix, deren i-te Spalte das Bild von ei ist.
Beweis:
Satz 30: Es gibt genau eine lin. Abbildung
f mit f (ei ) = ui
Wicht. Frage.: Aei ist die i−te Spalte von A.
Satz 32 In Worten: jede lineare Abbildung von Kn nach Km ist die
Multiplikation mit der Matrix, deren i-te Spalte das Bild von ei ist.
Beweis:
Satz 30: Es gibt genau eine lin. Abbildung
f mit f (ei ) = ui
Wicht. Frage.: Aei ist die i−te Spalte von A.
Satz 32 In Worten: jede lineare Abbildung von Kn nach Km ist die
Multiplikation mit der Matrix, deren i-te Spalte das Bild von ei ist.
Beweis:
Satz 30: Es gibt genau eine lin. Abbildung
f mit f (ei ) = ui
Wicht. Frage.: Aei ist die i−te Spalte von A.
Satz 32 In Worten: jede lineare Abbildung von Kn nach Km ist die
Multiplikation mit der Matrix, deren i-te Spalte das Bild von ei ist.
Beweis:
Satz 30: Es gibt genau eine lin. Abbildung
f mit f (ei ) = ui
Wicht. Frage.: Aei ist die i−te Spalte von A.
Satz 32 In Worten: jede lineare Abbildung von Kn nach Km ist die
Multiplikation mit der Matrix, deren i-te Spalte das Bild von ei ist.
Beweis:
Satz 30: Es gibt genau eine lin. Abbildung
f mit f (ei ) = ui
Wicht. Frage.: Aei ist die i−te Spalte von A.
Lemma 23: Multiplikation von Matrizen
und Vektoren ist eine lineare Abbildung
Satz 32 In Worten: jede lineare Abbildung von Kn nach Km ist die
Multiplikation mit der Matrix, deren i-te Spalte das Bild von ei ist.
Beweis:
Satz 30: Es gibt genau eine lin. Abbildung
f mit f (ei ) = ui
Wicht. Frage.: Aei ist die i−te Spalte von A.
Lemma 23: Multiplikation von Matrizen
und Vektoren ist eine lineare Abbildung
Satz 32 In Worten: jede lineare Abbildung von Kn nach Km ist die
Multiplikation mit der Matrix, deren i-te Spalte das Bild von ei ist.
Beweis:
Satz 30: Es gibt genau eine lin. Abbildung
f mit f (ei ) = ui
Wicht. Frage.: Aei ist die i−te Spalte von A.
Lemma 23: Multiplikation von Matrizen
und Vektoren ist eine lineare Abbildung
Satz 32 In Worten: jede lineare Abbildung von Kn nach Km ist die
Multiplikation mit der Matrix, deren i-te Spalte das Bild von ei ist.
Beweis:
Satz 30: Es gibt genau eine lin. Abbildung
f mit f (ei ) = ui
Wicht. Frage.: Aei ist die i−te Spalte von A.
Lemma 23: Multiplikation von Matrizen
und Vektoren ist eine lineare Abbildung
Satz 32 In Worten: jede lineare Abbildung von Kn nach Km ist die
Multiplikation mit der Matrix, deren i-te Spalte das Bild von ei ist.
Beweis:
Satz 30: Es gibt genau eine lin. Abbildung
f mit f (ei ) = ui
Wicht. Frage.: Aei ist die i−te Spalte von A.
Lemma 23: Multiplikation von Matrizen
und Vektoren ist eine lineare Abbildung
Satz 32 In Worten: jede lineare Abbildung von Kn nach Km ist die
Multiplikation mit der Matrix, deren i-te Spalte das Bild von ei ist.
Beweis:
Satz 30: Es gibt genau eine lin. Abbildung
f mit f (ei ) = ui
Wicht. Frage.: Aei ist die i−te Spalte von A.
Lemma 23: Multiplikation von Matrizen
und Vektoren ist eine lineare Abbildung
Satz 32 In Worten: jede lineare Abbildung von Kn nach Km ist die
Multiplikation mit der Matrix, deren i-te Spalte das Bild von ei ist.
Beweis:
Satz 30: Es gibt genau eine lin. Abbildung
f mit f (ei ) = ui
Wicht. Frage.: Aei ist die i−te Spalte von A.
Lemma 23: Multiplikation von Matrizen
und Vektoren ist eine lineare Abbildung
Satz 32 In Worten: jede lineare Abbildung von Kn nach Km ist die
Multiplikation mit der Matrix, deren i-te Spalte das Bild von ei ist.
Beweis:
Satz 30: Es gibt genau eine lin. Abbildung
f mit f (ei ) = ui
Wicht. Frage.: Aei ist die i−te Spalte von A. =⇒ Satz 32
Lemma 23: Multiplikation von Matrizen
und Vektoren ist eine lineare Abbildung
Satz 32 In Worten: jede lineare Abbildung von Kn nach Km ist die
Multiplikation mit der Matrix, deren i-te Spalte das Bild von ei ist.
Beweis:
Satz 30: Es gibt genau eine lin. Abbildung
f mit f (ei ) = ui
Wicht. Frage.: Aei ist die i−te Spalte von A. =⇒ Satz 32
Lemma 23: Multiplikation von Matrizen
und Vektoren ist eine lineare Abbildung
Aufgabe: Finde die Matrix der linearen Abbildung (von R2 nach R2 ),
Satz 32 In Worten: jede lineare Abbildung von Kn nach Km ist die
Multiplikation mit der Matrix, deren i-te Spalte das Bild von ei ist.
Beweis:
Satz 30: Es gibt genau eine lin. Abbildung
f mit f (ei ) = ui
Wicht. Frage.: Aei ist die i−te Spalte von A. =⇒ Satz 32
Lemma 23: Multiplikation von Matrizen
und Vektoren ist eine lineare Abbildung
Aufgabe: Finde die Matrix der linearen Abbildung (von R2 nach R2 ), die
die Vektoren e1 , e2 jeweils in Vektoren
Satz 32 In Worten: jede lineare Abbildung von Kn nach Km ist die
Multiplikation mit der Matrix, deren i-te Spalte das Bild von ei ist.
Beweis:
Satz 30: Es gibt genau eine lin. Abbildung
f mit f (ei ) = ui
Wicht. Frage.: Aei ist die i−te Spalte von A. =⇒ Satz 32
Lemma 23: Multiplikation von Matrizen
und Vektoren ist eine lineare Abbildung
2
2
Aufgabe: Finde die Matrix der linearenAbbildung
(von
R nach R ), die
1
2
,
die Vektoren e1 , e2 jeweils in Vektoren
3
4
Satz 32 In Worten: jede lineare Abbildung von Kn nach Km ist die
Multiplikation mit der Matrix, deren i-te Spalte das Bild von ei ist.
Beweis:
Satz 30: Es gibt genau eine lin. Abbildung
f mit f (ei ) = ui
Wicht. Frage.: Aei ist die i−te Spalte von A. =⇒ Satz 32
Lemma 23: Multiplikation von Matrizen
und Vektoren ist eine lineare Abbildung
2
2
Aufgabe: Finde die Matrix der linearenAbbildung
(von
R nach R ), die
1
2
überführt.
,
die Vektoren e1 , e2 jeweils in Vektoren
3
4
Antwort:
Satz 32 In Worten: jede lineare Abbildung von Kn nach Km ist die
Multiplikation mit der Matrix, deren i-te Spalte das Bild von ei ist.
Beweis:
Satz 30: Es gibt genau eine lin. Abbildung
f mit f (ei ) = ui
Wicht. Frage.: Aei ist die i−te Spalte von A. =⇒ Satz 32
Lemma 23: Multiplikation von Matrizen
und Vektoren ist eine lineare Abbildung
2
2
Aufgabe: Finde die Matrix der linearenAbbildung
(von
R nach R ), die
1
2
überführt.
,
die Vektoren e1 , e2 jeweils in Vektoren
3
4
1 2
Antwort:
3 4
Finde die Matrix der linearen Abbildung
Finde die Matrix der linearen Abbildung (von R3 nach R2 ),
Finde die Matrix der linearen Abbildung (von R3 nach R2 ), die die
Vektoren e1 , e2 , e3 jeweils in Vektoren
Finde die Matrix der linearen Abbildung(vonR3 nach R2 ), die die
1
Vektoren e1 , e2 , e3 jeweils in Vektoren
,
3
Finde die Matrix der linearen Abbildung(vonR3nach R2 ), die die
1
2
Vektoren e1 , e2 , e3 jeweils in Vektoren
,
,
3
4
Finde die Matrix der linearen Abbildung(vonR3nach R2), diedie
1
2
5
Vektoren e1 , e2 , e3 jeweils in Vektoren
,
,
3
4
6
überführt.
Antwort:
Finde die Matrix der linearen Abbildung(vonR3nach R2), diedie
1
2
5
Vektoren e1 , e2 , e3 jeweils in Vektoren
,
,
3
4
6
überführt. 1 2 5
Antwort:
3 4 6
Finde die Matrix der linearen Abbildung(vonR3nach R2), diedie
1
2
5
Vektoren e1 , e2 , e3 jeweils in Vektoren
,
,
3
4
6
überführt. 1 2 5
Antwort:
3 4 6
Finde die Matrix der linearen Abbildung f (von R2 nach R2 ),
Finde die Matrix der linearen Abbildung(vonR3nach R2), diedie
1
2
5
Vektoren e1 , e2 , e3 jeweils in Vektoren
,
,
3
4
6
überführt. 1 2 5
Antwort:
3 4 6
Finde die Matrix der linearen Abbildung f (von R2 nach R2 ), die Vektoren
Finde die Matrix der linearen Abbildung(vonR3nach R2), diedie
1
2
5
Vektoren e1 , e2 , e3 jeweils in Vektoren
,
,
3
4
6
überführt. 1 2 5
Antwort:
3 4 6
Finde
die
Matrix
der linearen Abbildung f (von R2 nach R2 ), die Vektoren
1
,
1
Finde die Matrix der linearen Abbildung(vonR3nach R2), diedie
1
2
5
Vektoren e1 , e2 , e3 jeweils in Vektoren
,
,
3
4
6
überführt. 1 2 5
Antwort:
3 4 6
2
2
Finde
die
Matrix
der linearen Abbildung f (von R nach R ), die Vektoren
1
1
jeweils in Vektoren
,
−1
1
Finde die Matrix der linearen Abbildung(vonR3nach R2), diedie
1
2
5
Vektoren e1 , e2 , e3 jeweils in Vektoren
,
,
3
4
6
überführt. 1 2 5
Antwort:
3 4 6
2
2
Finde
die
Matrix
R nach R ), die Vektoren
der linearen Abbildung
f (von
0
1
1
,
jeweils in Vektoren
,
−2
−1
1
Finde die Matrix der linearen Abbildung(vonR3nach R2), diedie
1
2
5
Vektoren e1 , e2 , e3 jeweils in Vektoren
,
,
3
4
6
überführt. 1 2 5
Antwort:
3 4 6
2
2
Finde
die
Matrix
R ), die Vektoren
R nach
der linearen Abbildung
f (von
2
0
1
1
,
jeweils in Vektoren
,
4
−2
−1
1
Finde die Matrix der linearen Abbildung(vonR3nach R2), diedie
1
2
5
Vektoren e1 , e2 , e3 jeweils in Vektoren
,
,
3
4
6
überführt. 1 2 5
Antwort:
3 4 6
2
2
Finde
die
Matrix
R ), die Vektoren
R nach
der linearen Abbildung
f (von
2
0
1
1
überführt.
,
jeweils in Vektoren
,
4
−2
−1
1
Finde die Matrix der linearen Abbildung(vonR3nach R2), diedie
1
2
5
Vektoren e1 , e2 , e3 jeweils in Vektoren
,
,
3
4
6
überführt. 1 2 5
Antwort:
3 4 6
2
2
Finde
die
Matrix
R ), die Vektoren
R nach
der linearen Abbildung
f (von
2
0
1
1
überführt.
,
jeweils in Vektoren
,
4
−2
−1
1
1
=
f
0
Finde die Matrix der linearen Abbildung(vonR3nach R2), diedie
1
2
5
Vektoren e1 , e2 , e3 jeweils in Vektoren
,
,
3
4
6
überführt. 1 2 5
Antwort:
3 4 6
2
2
Finde
die
Matrix
R ), die Vektoren
R nach
der linearen Abbildung
f (von
2
0
1
1
überführt.
,
jeweils in Vektoren
,
4
−2
−1
1
1
1
1
1
1
=f
f
+
0
1
−1
2
2
Finde die Matrix der linearen Abbildung(vonR3nach R2), diedie
1
2
5
Vektoren e1 , e2 , e3 jeweils in Vektoren
,
,
3
4
6
überführt. 1 2 5
Antwort:
3 4 6
2
2
Finde
die
Matrix
R ), die Vektoren
R nach
der linearen Abbildung
f (von
2
0
1
1
überführt.
,
jeweils in Vektoren
,
4
−2
−1
1
1
1
1
1
1
=f
f
+
=
0
1
−1
2
2
Finde die Matrix der linearen Abbildung(vonR3nach R2), diedie
1
2
5
Vektoren e1 , e2 , e3 jeweils in Vektoren
,
,
3
4
6
überführt. 1 2 5
Antwort:
3 4 6
2
2
Finde
die
Matrix
R ), die Vektoren
R nach
der linearen Abbildung
f (von
2
0
1
1
überführt.
,
jeweils in Vektoren
,
4
−2
−1
1
1
1
1
1
1
=f
f
+
=
0
1
−1
2
2
Linearität
=
Finde die Matrix der linearen Abbildung(vonR3nach R2), diedie
1
2
5
Vektoren e1 , e2 , e3 jeweils in Vektoren
,
,
3
4
6
überführt. 1 2 5
Antwort:
3 4 6
2
2
Finde
die
Matrix
R ), die Vektoren
R nach
der linearen Abbildung
f (von
2
0
1
1
überführt.
,
jeweils in Vektoren
,
4
−2
−1
1
1
1
1
1
1
=f
f
+
=
0
1
−1
2
2
Linearität
=
1
f
2
1
1
1
+ f
2
1
−1
=
Finde die Matrix der linearen Abbildung(vonR3nach R2), diedie
1
2
5
Vektoren e1 , e2 , e3 jeweils in Vektoren
,
,
3
4
6
überführt. 1 2 5
Antwort:
3 4 6
2
2
Finde
die
Matrix
R ), die Vektoren
R nach
der linearen Abbildung
f (von
2
0
1
1
überführt.
,
jeweils in Vektoren
,
4
−2
−1
1
1
1
1
1
1
=f
f
+
=
0
1
−1
2
2
Linearität
=
Ähnlich,
1
f
2
1
1
1
+ f
2
1
−1
=
1
1
Finde die Matrix der linearen Abbildung(vonR3nach R2), diedie
1
2
5
Vektoren e1 , e2 , e3 jeweils in Vektoren
,
,
3
4
6
überführt. 1 2 5
Antwort:
3 4 6
2
2
Finde
die
Matrix
R ), die Vektoren
R nach
der linearen Abbildung
f (von
2
0
1
1
überführt.
,
jeweils in Vektoren
,
4
−2
−1
1
1
1
1
1
1
=f
f
+
=
0
1
−1
2
2
1
f
2
Linearität
=
Ähnlich, f
0
1
1
1
1
+ f
2
1
−1
=
1
1
Finde die Matrix der linearen Abbildung(vonR3nach R2), diedie
1
2
5
Vektoren e1 , e2 , e3 jeweils in Vektoren
,
,
3
4
6
überführt. 1 2 5
Antwort:
3 4 6
2
2
Finde
die
Matrix
R ), die Vektoren
R nach
der linearen Abbildung
f (von
2
0
1
1
überführt.
,
jeweils in Vektoren
,
4
−2
−1
1
1
1
1
1
1
=f
f
+
=
0
1
−1
2
2
1
f
2
Linearität
=
Ähnlich, f
0
1
1
1
1
1
+ f
=
1
−1
1
2
1
1
= f 12
− 21
1
−1
Finde die Matrix der linearen Abbildung(vonR3nach R2), diedie
1
2
5
Vektoren e1 , e2 , e3 jeweils in Vektoren
,
,
3
4
6
überführt. 1 2 5
Antwort:
3 4 6
2
2
Finde
die
Matrix
R ), die Vektoren
R nach
der linearen Abbildung
f (von
2
0
1
1
überführt.
,
jeweils in Vektoren
,
4
−2
−1
1
1
1
1
1
1
=f
f
+
=
0
1
−1
2
2
1
f
2
Linearität
=
Ähnlich, f
0
1
1
1
1
1
+ f
=
1
−1
1
2
1
1
−1
.
= f 12
− 21
=
1
−1
−3
Finde die Matrix der linearen Abbildung(vonR3nach R2), diedie
1
2
5
Vektoren e1 , e2 , e3 jeweils in Vektoren
,
,
3
4
6
überführt. 1 2 5
Antwort:
3 4 6
2
2
Finde
die
Matrix
R ), die Vektoren
R nach
der linearen Abbildung
f (von
2
0
1
1
überführt.
,
jeweils in Vektoren
,
4
−2
−1
1
1
1
1
1
1
=f
f
+
=
0
1
−1
2
2
1
f
2
Linearität
=
Ähnlich, f
Antwort:
0
1
1
1
1
1
+ f
=
1
−1
1
2
1
1
−1
.
= f 12
− 21
=
1
−1
−3
Finde die Matrix der linearen Abbildung(vonR3nach R2), diedie
1
2
5
Vektoren e1 , e2 , e3 jeweils in Vektoren
,
,
3
4
6
überführt. 1 2 5
Antwort:
3 4 6
2
2
Finde
die
Matrix
R ), die Vektoren
R nach
der linearen Abbildung
f (von
2
0
1
1
überführt.
,
jeweils in Vektoren
,
4
−2
−1
1
1
1
1
1
1
=f
f
+
=
0
1
−1
2
2
1
f
2
Linearität
=
Ähnlich, f
1
Antwort:
1
0
1
−1
−3
1
1
1
1
+ f
=
1
−1
1
2
1
1
−1
.
= f 12
− 21
=
1
−1
−3
Finde die Matrix der Abbildung Id : Kn → Kn , Id(v ) = v
Finde die Matrix der Abbildung Id : Kn → Kn , Id(v ) = v (in
Standard-Basis).
Finde die Matrix der Abbildung Id : Kn → Kn , Id(v ) = v (in
Standard-Basis).
1 0 ... 0
0 1 ... 0
.. .. . . ..
. .
. .
0 0
...
1
Finde die Matrix der Abbildung Id : Kn → Kn , Id(v ) = v (in
Standard-Basis).
1 0 ... 0
0 1 ... 0
.. .. . . ..
. .
. .
0 0
...
1
Finde die Matrix der Streckung : Kn → Kn , v 7→ αv (in
Standard-Basis).
Finde die Matrix der Abbildung Id : Kn → Kn , Id(v ) = v (in
Standard-Basis).
1 0 ... 0
0 1 ... 0
.. .. . . ..
. .
. .
0 0
...
1
Finde die Matrix der Streckung : Kn → Kn , v 7→ αv (in
Standard-Basis).
α 0 ... 0
0 α ... 0
.. .. . .
..
. .
. .
0
0
...
α
Finde die Matrix der Abbildung Id : Kn → Kn , Id(v ) = v (in
Standard-Basis).
1 0 ... 0
0 1 ... 0
.. .. . . ..
. .
. .
0 0
...
1
Finde die Matrix der Streckung : Kn → Kn , v 7→ αv (in
Standard-Basis).
α 0 ... 0
0 α ... 0
.. .. . .
..
. .
. .
0
0
...
α
Wiederholung: Lemma 21 Seien f :→ U, g : U → W lineare
Abbildungen.
Wiederholung: Lemma 21 Seien f :→ U, g : U → W lineare
Abbildungen. Dann ist g ◦ f : V → W auch eine lineare Abbildung.
8
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
:
Wiederholung: Lemma 21 Seien f :→ U, g : U → W lineare
Abbildungen. Dann ist g ◦ f : V → W auch eine lineare Abbildung.
8
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
:
Wiederholung: Lemma 21 Seien f :→ U, g : U → W lineare
Abbildungen. Dann ist g ◦ f : V → W auch eine lineare Abbildung.
8
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
:
Lemma 21: Verkettung von
linearen Abbildungen ist linear
Wiederholung: Lemma 21 Seien f :→ U, g : U → W lineare
Abbildungen. Dann ist g ◦ f : V → W auch eine lineare Abbildung.
8
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
:
Lemma 21: Verkettung von
linearen Abbildungen ist linear
Wiederholung: Lemma 21 Seien f :→ U, g : U → W lineare
Abbildungen. Dann ist g ◦ f : V → W auch eine lineare Abbildung.
8
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
:
Lemma 21: Verkettung von
linearen Abbildungen ist linear
Wiederholung: Lemma 21 Seien f :→ U, g : U → W lineare
Abbildungen. Dann ist g ◦ f : V → W auch eine lineare Abbildung.
8
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
:
Lemma 21: Verkettung von
linearen Abbildungen ist linear
Wiederholung: Lemma 21 Seien f :→ U, g : U → W lineare
Abbildungen. Dann ist g ◦ f : V → W auch eine lineare Abbildung.
8
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
:
Lemma 21: Verkettung von
linearen Abbildungen ist linear
Wiederholung: Lemma 21 Seien f :→ U, g : U → W lineare
Abbildungen. Dann ist g ◦ f : V → W auch eine lineare Abbildung.
8
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
:
Lemma 21: Verkettung von
linearen Abbildungen ist linear
Satz 32: Jede lineare Abbildung:
f : K n → Km
ist die Multiplikation
mit einer (m × n) Matrix.
Wiederholung: Lemma 21 Seien f :→ U, g : U → W lineare
Abbildungen. Dann ist g ◦ f : V → W auch eine lineare Abbildung.
8
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
:
Lemma 21: Verkettung von
linearen Abbildungen ist linear
Satz 32: Jede lineare Abbildung:
f : K n → Km
ist die Multiplikation
mit einer (m × n) Matrix.
Wiederholung: Lemma 21 Seien f :→ U, g : U → W lineare
Abbildungen. Dann ist g ◦ f : V → W auch eine lineare Abbildung.
8
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
:
Lemma 21: Verkettung von
linearen Abbildungen ist linear
Satz 32: Jede lineare Abbildung:
f : K n → Km
ist die Multiplikation
mit einer (m × n) Matrix.
Wiederholung: Lemma 21 Seien f :→ U, g : U → W lineare
Abbildungen. Dann ist g ◦ f : V → W auch eine lineare Abbildung.
8
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
:
Lemma 21: Verkettung von
linearen Abbildungen ist linear
Satz 32: Jede lineare Abbildung:
f : K n → Km
ist die Multiplikation
mit einer (m × n) Matrix.
=⇒
Wiederholung: Lemma 21 Seien f :→ U, g : U → W lineare
Abbildungen. Dann ist g ◦ f : V → W auch eine lineare Abbildung.
8
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
:
Lemma 21: Verkettung von
linearen Abbildungen ist linear
Satz 32: Jede lineare Abbildung:
f : K n → Km
ist die Multiplikation
mit einer (m × n) Matrix.
=⇒
Die Verkettung fB ◦ fA
von lin. Abbildungen
fB : K → Kk und fA : Kn → Km
ist auch die Multiplikation
mit einer (k × n)-Matrix
m
Wiederholung: Lemma 21 Seien f :→ U, g : U → W lineare
Abbildungen. Dann ist g ◦ f : V → W auch eine lineare Abbildung.
8
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
:
Lemma 21: Verkettung von
linearen Abbildungen ist linear
Satz 32: Jede lineare Abbildung:
f : K n → Km
ist die Multiplikation
mit einer (m × n) Matrix.
Def. 30
=⇒
Die Verkettung fB ◦ fA
von lin. Abbildungen
fB : K → Kk und fA : Kn → Km
ist auch die Multiplikation
mit einer (k × n)-Matrix
m
Wiederholung: Lemma 21 Seien f :→ U, g : U → W lineare
Abbildungen. Dann ist g ◦ f : V → W auch eine lineare Abbildung.
8
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
:
Lemma 21: Verkettung von
linearen Abbildungen ist linear
Satz 32: Jede lineare Abbildung:
f : K n → Km
ist die Multiplikation
mit einer (m × n) Matrix.
Def. 30
=⇒
Die Verkettung fB ◦ fA
von lin. Abbildungen
fB : K → Kk und fA : Kn → Km
ist auch die Multiplikation
mit einer (k × n)-Matrix
m
Seien fB : Km → Kk und fA : Kn → Km
Wiederholung: Lemma 21 Seien f :→ U, g : U → W lineare
Abbildungen. Dann ist g ◦ f : V → W auch eine lineare Abbildung.
8
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
:
Lemma 21: Verkettung von
linearen Abbildungen ist linear
Satz 32: Jede lineare Abbildung:
f : K n → Km
ist die Multiplikation
mit einer (m × n) Matrix.
Def. 30
mit
=⇒
Die Verkettung fB ◦ fA
von lin. Abbildungen
fB : K → Kk und fA : Kn → Km
ist auch die Multiplikation
mit einer (k × n)-Matrix
m
Seien fB : Km → Kk und fA : Kn → Km die Multiplikationen
Wiederholung: Lemma 21 Seien f :→ U, g : U → W lineare
Abbildungen. Dann ist g ◦ f : V → W auch eine lineare Abbildung.
8
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
:
Lemma 21: Verkettung von
linearen Abbildungen ist linear
Satz 32: Jede lineare Abbildung:
f : K n → Km
ist die Multiplikation
mit einer (m × n) Matrix.
=⇒
Die Verkettung fB ◦ fA
von lin. Abbildungen
fB : K → Kk und fA : Kn → Km
ist auch die Multiplikation
mit einer (k × n)-Matrix
m
Def. 30 Seien fB : Km → Kk und fA : Kn → Km die Multiplikationen
mit der (m × n)-Matrix A bzw.
Wiederholung: Lemma 21 Seien f :→ U, g : U → W lineare
Abbildungen. Dann ist g ◦ f : V → W auch eine lineare Abbildung.
8
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
:
Lemma 21: Verkettung von
linearen Abbildungen ist linear
Satz 32: Jede lineare Abbildung:
f : K n → Km
ist die Multiplikation
mit einer (m × n) Matrix.
=⇒
Die Verkettung fB ◦ fA
von lin. Abbildungen
fB : K → Kk und fA : Kn → Km
ist auch die Multiplikation
mit einer (k × n)-Matrix
m
Def. 30 Seien fB : Km → Kk und fA : Kn → Km die Multiplikationen
mit der (m × n)-Matrix A bzw. (k × m)-Matrix B:
Wiederholung: Lemma 21 Seien f :→ U, g : U → W lineare
Abbildungen. Dann ist g ◦ f : V → W auch eine lineare Abbildung.
8
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
:
Lemma 21: Verkettung von
linearen Abbildungen ist linear
Satz 32: Jede lineare Abbildung:
f : K n → Km
ist die Multiplikation
mit einer (m × n) Matrix.
=⇒
Die Verkettung fB ◦ fA
von lin. Abbildungen
fB : K → Kk und fA : Kn → Km
ist auch die Multiplikation
mit einer (k × n)-Matrix
m
Def. 30 Seien fB : Km → Kk und fA : Kn → Km die Multiplikationen
mit der (m × n)-Matrix A bzw. (k × m)-Matrix B:
fB (v ) = Bv , fA (u) = Au.
Wiederholung: Lemma 21 Seien f :→ U, g : U → W lineare
Abbildungen. Dann ist g ◦ f : V → W auch eine lineare Abbildung.
8
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
:
Lemma 21: Verkettung von
linearen Abbildungen ist linear
Satz 32: Jede lineare Abbildung:
f : K n → Km
ist die Multiplikation
mit einer (m × n) Matrix.
=⇒
Die Verkettung fB ◦ fA
von lin. Abbildungen
fB : K → Kk und fA : Kn → Km
ist auch die Multiplikation
mit einer (k × n)-Matrix
m
Def. 30 Seien fB : Km → Kk und fA : Kn → Km die Multiplikationen
mit der (m × n)-Matrix A bzw. (k × m)-Matrix B:
fB (v ) = Bv , fA (u) = Au.
Dann heißt die Matrix von fB ◦ fA das Produkt von Matrizen
Wiederholung: Lemma 21 Seien f :→ U, g : U → W lineare
Abbildungen. Dann ist g ◦ f : V → W auch eine lineare Abbildung.
8
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
:
Lemma 21: Verkettung von
linearen Abbildungen ist linear
Satz 32: Jede lineare Abbildung:
f : K n → Km
ist die Multiplikation
mit einer (m × n) Matrix.
=⇒
Die Verkettung fB ◦ fA
von lin. Abbildungen
fB : K → Kk und fA : Kn → Km
ist auch die Multiplikation
mit einer (k × n)-Matrix
m
Def. 30 Seien fB : Km → Kk und fA : Kn → Km die Multiplikationen
mit der (m × n)-Matrix A bzw. (k × m)-Matrix B:
fB (v ) = Bv , fA (u) = Au.
Dann heißt die Matrix von fB ◦ fA das Produkt von Matrizen und wird BA
bezeichnet.
Wiederholung: Lemma 21 Seien f :→ U, g : U → W lineare
Abbildungen. Dann ist g ◦ f : V → W auch eine lineare Abbildung.
8
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
:
Lemma 21: Verkettung von
linearen Abbildungen ist linear
Satz 32: Jede lineare Abbildung:
f : K n → Km
ist die Multiplikation
mit einer (m × n) Matrix.
=⇒
Die Verkettung fB ◦ fA
von lin. Abbildungen
fB : K → Kk und fA : Kn → Km
ist auch die Multiplikation
mit einer (k × n)-Matrix
m
Def. 30 Seien fB : Km → Kk und fA : Kn → Km die Multiplikationen
mit der (m × n)-Matrix A bzw. (k × m)-Matrix B:
fB (v ) = Bv , fA (u) = Au.
Dann heißt die Matrix von fB ◦ fA das Produkt von Matrizen und wird BA
bezeichnet. Das ist eine (k × n) Matrix.
Wiederholung: Lemma 21 Seien f :→ U, g : U → W lineare
Abbildungen. Dann ist g ◦ f : V → W auch eine lineare Abbildung.
8
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
:
Lemma 21: Verkettung von
linearen Abbildungen ist linear
Satz 32: Jede lineare Abbildung:
f : K n → Km
ist die Multiplikation
mit einer (m × n) Matrix.
=⇒
Die Verkettung fB ◦ fA
von lin. Abbildungen
fB : K → Kk und fA : Kn → Km
ist auch die Multiplikation
mit einer (k × n)-Matrix
m
Def. 30 Seien fB : Km → Kk und fA : Kn → Km die Multiplikationen
mit der (m × n)-Matrix A bzw. (k × m)-Matrix B:
fB (v ) = Bv , fA (u) = Au.
Dann heißt die Matrix von fB ◦ fA das Produkt von Matrizen und wird BA
bezeichnet. Das ist eine (k × n) Matrix.
Frage: Wie kann man sie ausrechnen?
Satz 33 (Rechenregel für das Produkt von Matrizen Seien
fA : Kk → Km , fB : Km → Kn Multiplikationen mit Matrizen
a11 a12 ... a1m
b11 b12 ... b1n
a21 a22 ... a2m
b21 b22 ... b2n
A := ..
.. , B := ..
..
.
.
.
.
ak1 ak2 ... akm
bm1 bm2 ... bmn
.
Dann ist die Matrix der fA ◦ fB gleich
0
B
B
B
B
a11
a21
.
.
.
ak1
a12
a22
...
...
ak2
...
a1m
a2m
.
.
.
akm
10
B
C
B
C
B
C
C
AB
b11
b21
.
.
.
bm1
b12
b22
...
...
bm2
...
b1n
b2n
.
.
.
bmn
1 0 Pm a b
1i i1
Pi=1
m
C
B
i=1 a2i bi1
C
B
C
B
:=
.
C
A B
P ..
m
a b
i=1 ki i1
...
...
...
Pm a b 1
1i in
Pi=1
m
i=1 a2i bin C
C
C
.
C
.
.
Pm a b A
i=1 ki in
Satz 33 (Rechenregel für das Produkt von Matrizen Seien
fA : Kk → Km , fB : Km → Kn Multiplikationen mit Matrizen
a11 a12 ... a1m
b11 b12 ... b1n
a21 a22 ... a2m
b21 b22 ... b2n
A := ..
.. , B := ..
..
.
.
.
.
ak1 ak2 ... akm
bm1 bm2 ... bmn
.
Dann ist die Matrix der fA ◦ fB gleich
0
B
B
B
B
a11
a21
.
.
.
ak1
a12
a22
...
...
ak2
...
a1m
a2m
.
.
.
akm
10
B
C
B
C
B
C
C
AB
b11
b21
.
.
.
bm1
b12
b22
...
...
bm2
...
b1n
b2n
.
.
.
bmn
1 0 Pm a b
1i i1
Pi=1
m
C
B
i=1 a2i bi1
C
B
C
B
:=
.
C
A B
P ..
m
a b
i=1 ki i1
...
...
...
Pm a b 1
1i in
Pi=1
m
i=1 a2i bin C
C
C
.
C
.
.
Pm a b A
i=1 ki in
Mnemonische Regel: Auf dem (j, r )-ten Platz des Produkts
steht das Skalarprodukt der j-ten Zeile der Matrix A mit der r -ten
Spalte der Matrix B:
Mnemonische Regel: Auf dem (j, r )-ten Platz des Produkts AB steht
das Skalarprodukt der j-ten Zeile der Matrix A mit der r -ten Spalte der
Matrix B.
Mnemonische Regel: Auf dem (j, r )-ten Platz des Produkts AB steht
das Skalarprodukt der j-ten Zeile der Matrix A mit der r -ten Spalte der
Matrix B.
1 2
3 2
3
1
5 7
6 6 =
7 5
Mnemonische Regel: Auf dem (j, r )-ten Platz des Produkts AB steht
das Skalarprodukt der j-ten Zeile der Matrix A mit der r -ten Spalte der
Matrix B.
1 2
3 2
3
1
5 7
6 6 =
7 5
Mnemonische Regel: Auf dem (j, r )-ten Platz des Produkts AB steht
das Skalarprodukt der j-ten Zeile der Matrix A mit der r -ten Spalte der
Matrix B.
1 2
3 2
3
1
5 7
6 6 =
7 5
Mnemonische Regel: Auf dem (j, r )-ten Platz des Produkts AB steht
das Skalarprodukt der j-ten Zeile der Matrix A mit der r -ten Spalte der
Matrix B.
1 2
3 2
3
1
5 7
1·5+2·6+3·7
6 6 =
7 5
Mnemonische Regel: Auf dem (j, r )-ten Platz des Produkts AB steht
das Skalarprodukt der j-ten Zeile der Matrix A mit der r -ten Spalte der
Matrix B.
1 2
3 2
3
1
5 7
1·5+2·6+3·7
6 6 =
7 5
Mnemonische Regel: Auf dem (j, r )-ten Platz des Produkts AB steht
das Skalarprodukt der j-ten Zeile der Matrix A mit der r -ten Spalte der
Matrix B.
1 2
3 2
3
1
5 7
1·5+2·6+3·7
6 6 =
7 5
Mnemonische Regel: Auf dem (j, r )-ten Platz des Produkts AB steht
das Skalarprodukt der j-ten Zeile der Matrix A mit der r -ten Spalte der
Matrix B.
1 2
3 2
3
1
5 7
1·5+2·6+3·7
6 6 =
7 5
Mnemonische Regel: Auf dem (j, r )-ten Platz des Produkts AB steht
das Skalarprodukt der j-ten Zeile der Matrix A mit der r -ten Spalte der
Matrix B.
1 2
3 2
3
1
5 7
1·5+2·6+3·7
6 6 =
7 5
1·7+2·6+3·5
Mnemonische Regel: Auf dem (j, r )-ten Platz des Produkts AB steht
das Skalarprodukt der j-ten Zeile der Matrix A mit der r -ten Spalte der
Matrix B.
1 2
3 2
3
1
5 7
1·5+2·6+3·7
6 6 =
7 5
1·7+2·6+3·5
Mnemonische Regel: Auf dem (j, r )-ten Platz des Produkts AB steht
das Skalarprodukt der j-ten Zeile der Matrix A mit der r -ten Spalte der
Matrix B.
1 2
3 2
3
1
5 7
1·5+2·6+3·7
6 6 =
7 5
1·7+2·6+3·5
Mnemonische Regel: Auf dem (j, r )-ten Platz des Produkts AB steht
das Skalarprodukt der j-ten Zeile der Matrix A mit der r -ten Spalte der
Matrix B.
1 2
3 2
3
1
5 7
1·5+2·6+3·7
6 6 =
7 5
1·7+2·6+3·5
Mnemonische Regel: Auf dem (j, r )-ten Platz des Produkts AB steht
das Skalarprodukt der j-ten Zeile der Matrix A mit der r -ten Spalte der
Matrix B.
1 2
3 2
3
1
5 7
1·5+2·6+3·7
6 6 =
3·5+2·6+1·7
7 5
1·7+2·6+3·5
Mnemonische Regel: Auf dem (j, r )-ten Platz des Produkts AB steht
das Skalarprodukt der j-ten Zeile der Matrix A mit der r -ten Spalte der
Matrix B.
1 2
3 2
3
1
5 7
1·5+2·6+3·7
6 6 =
3·5+2·6+1·7
7 5
1·7+2·6+3·5
Mnemonische Regel: Auf dem (j, r )-ten Platz des Produkts AB steht
das Skalarprodukt der j-ten Zeile der Matrix A mit der r -ten Spalte der
Matrix B.
1 2
3 2
3
1
5 7
1·5+2·6+3·7
6 6 =
3·5+2·6+1·7
7 5
1·7+2·6+3·5
Mnemonische Regel: Auf dem (j, r )-ten Platz des Produkts AB steht
das Skalarprodukt der j-ten Zeile der Matrix A mit der r -ten Spalte der
Matrix B.
1 2
3 2
3
1
5 7
1·5+2·6+3·7
6 6 =
3·5+2·6+1·7
7 5
1·7+2·6+3·5
Mnemonische Regel: Auf dem (j, r )-ten Platz des Produkts AB steht
das Skalarprodukt der j-ten Zeile der Matrix A mit der r -ten Spalte der
Matrix B.
1 2
3 2
3
1
5 7
1·5+2·6+3·7
6 6 =
3·5+2·6+1·7
7 5
1·7+2·6+3·5
3·7+2·6+1·5
Mnemonische Regel: Auf dem (j, r )-ten Platz des Produkts AB steht
das Skalarprodukt der j-ten Zeile der Matrix A mit der r -ten Spalte der
Matrix B.
1 2
3 2
3
1
5 7
1·5+2·6+3·7 1·7+2·6+3·5
6 6 =
3·5+2·6+1·7 3·7+2·6+1·5
7 5
=
38
34
34
38
.
Mnemonische Regel: Auf dem (j, r )-ten Platz des Produkts AB steht
das Skalarprodukt der j-ten Zeile der Matrix A mit der r -ten Spalte der
Matrix B.
1 2
3 2
3
1
5 7
1·5+2·6+3·7 1·7+2·6+3·5
6 6 =
3·5+2·6+1·7 3·7+2·6+1·5
7 5
=
38
34
34
38
.
Mnemonische Regel: Auf dem (j, r )-ten Platz des Produkts AB steht
das Skalarprodukt der j-ten Zeile der Matrix A mit der r -ten Spalte der
Matrix B.
1 2
3 2
3
1
5 7
1·5+2·6+3·7 1·7+2·6+3·5
6 6 =
3·5+2·6+1·7 3·7+2·6+1·5
7 5
=
Beweis des Satzes 33:
38
34
34
38
.
Mnemonische Regel: Auf dem (j, r )-ten Platz des Produkts AB steht
das Skalarprodukt der j-ten Zeile der Matrix A mit der r -ten Spalte der
Matrix B.
1 2
3 2
3
1
5 7
1·5+2·6+3·7 1·7+2·6+3·5
6 6 =
3·5+2·6+1·7 3·7+2·6+1·5
7 5
=
Beweis des Satzes 33:
8
>
>
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
>
>
:
38
34
34
38
.
Mnemonische Regel: Auf dem (j, r )-ten Platz des Produkts AB steht
das Skalarprodukt der j-ten Zeile der Matrix A mit der r -ten Spalte der
Matrix B.
1 2
3 2
3
1
5 7
1·5+2·6+3·7 1·7+2·6+3·5
6 6 =
3·5+2·6+1·7 3·7+2·6+1·5
7 5
=
Beweis des Satzes 33:
8 Satz 32:
>
>
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
>
>
:
38
34
34
38
.
Mnemonische Regel: Auf dem (j, r )-ten Platz des Produkts AB steht
das Skalarprodukt der j-ten Zeile der Matrix A mit der r -ten Spalte der
Matrix B.
1 2
3 2
3
1
5 7
1·5+2·6+3·7 1·7+2·6+3·5
6 6 =
3·5+2·6+1·7 3·7+2·6+1·5
7 5
=
Beweis des Satzes 33:
8 Satz 32:
>
>
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
>
>
:
38
34
34
38
.
Mnemonische Regel: Auf dem (j, r )-ten Platz des Produkts AB steht
das Skalarprodukt der j-ten Zeile der Matrix A mit der r -ten Spalte der
Matrix B.
1 2
3 2
3
1
5 7
1·5+2·6+3·7 1·7+2·6+3·5
6 6 =
3·5+2·6+1·7 3·7+2·6+1·5
7 5
=
Beweis des Satzes 33:
8 Satz 32: r -te Spalte der Matrix AB
>
ist das Bild fA ◦ fB (er )
>
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
>
>
:
38
34
34
38
.
Mnemonische Regel: Auf dem (j, r )-ten Platz des Produkts AB steht
das Skalarprodukt der j-ten Zeile der Matrix A mit der r -ten Spalte der
Matrix B.
1 2
3 2
3
1
5 7
1·5+2·6+3·7 1·7+2·6+3·5
6 6 =
3·5+2·6+1·7 3·7+2·6+1·5
7 5
=
Beweis des Satzes 33:
8 Satz 32: r -te Spalte der Matrix AB
>
ist das Bild fA ◦ fB (er )
>
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
>
>
:
38
34
34
38
.
Mnemonische Regel: Auf dem (j, r )-ten Platz des Produkts AB steht
das Skalarprodukt der j-ten Zeile der Matrix A mit der r -ten Spalte der
Matrix B.
1 2
3 2
3
1
5 7
1·5+2·6+3·7 1·7+2·6+3·5
6 6 =
3·5+2·6+1·7 3·7+2·6+1·5
7 5
=
Beweis des Satzes 33:
8 Satz 32: r -te Spalte der Matrix AB
>
ist das Bild fA ◦ fB (er )
>
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
>
>
:
38
34
34
38
.
Mnemonische Regel: Auf dem (j, r )-ten Platz des Produkts AB steht
das Skalarprodukt der j-ten Zeile der Matrix A mit der r -ten Spalte der
Matrix B.
1 2
3 2
3
1
5 7
1·5+2·6+3·7 1·7+2·6+3·5
6 6 =
3·5+2·6+1·7 3·7+2·6+1·5
7 5
=
Beweis des Satzes 33:
8 Satz 32: r -te Spalte der Matrix AB
>
ist das Bild fA ◦ fB (er )
>
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
>
>
:
38
34
34
38
.
Mnemonische Regel: Auf dem (j, r )-ten Platz des Produkts AB steht
das Skalarprodukt der j-ten Zeile der Matrix A mit der r -ten Spalte der
Matrix B.
1 2
3 2
3
1
5 7
1·5+2·6+3·7 1·7+2·6+3·5
6 6 =
3·5+2·6+1·7 3·7+2·6+1·5
7 5
=
Beweis des Satzes 33:
8 Satz 32: r -te Spalte der Matrix AB
>
ist das Bild fA ◦ fB (er )
>
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
>
>
:
38
34
34
38
.
Mnemonische Regel: Auf dem (j, r )-ten Platz des Produkts AB steht
das Skalarprodukt der j-ten Zeile der Matrix A mit der r -ten Spalte der
Matrix B.
1 2
3 2
3
1
5 7
1·5+2·6+3·7 1·7+2·6+3·5
6 6 =
3·5+2·6+1·7 3·7+2·6+1·5
7 5
=
Beweis des Satzes 33:
8 Satz 32: r -te Spalte der Matrix AB
>
ist das Bild fA ◦ fB (er )
>
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
>
>
:
38
34
34
38
.
Mnemonische Regel: Auf dem (j, r )-ten Platz des Produkts AB steht
das Skalarprodukt der j-ten Zeile der Matrix A mit der r -ten Spalte der
Matrix B.
1 2
3 2
3
1
5 7
1·5+2·6+3·7 1·7+2·6+3·5
6 6 =
3·5+2·6+1·7 3·7+2·6+1·5
7 5
=
Beweis des Satzes 33:
8 Satz 32: r -te Spalte der Matrix AB
>
ist das Bild fA ◦ fB (er )
>
>
>
>
Satz
32:
>
>
<
>
>
>
>
>
>
>
:
38
34
34
38
.
Mnemonische Regel: Auf dem (j, r )-ten Platz des Produkts AB steht
das Skalarprodukt der j-ten Zeile der Matrix A mit der r -ten Spalte der
Matrix B.
1 2
3 2
3
1
5 7
1·5+2·6+3·7 1·7+2·6+3·5
6 6 =
3·5+2·6+1·7 3·7+2·6+1·5
7 5
=
Beweis des Satzes 33:
8 Satz 32: r -te Spalte der Matrix AB
>
ist das Bild fA ◦ fB (er )
>
>
>
>
Satz
32: r -te Spalte der Matrix B
>
>
<
>
>
>
>
>
>
>
:
38
34
34
38
.
Mnemonische Regel: Auf dem (j, r )-ten Platz des Produkts AB steht
das Skalarprodukt der j-ten Zeile der Matrix A mit der r -ten Spalte der
Matrix B.
1 2
3 2
3
1
5 7
1·5+2·6+3·7 1·7+2·6+3·5
6 6 =
3·5+2·6+1·7 3·7+2·6+1·5
7 5
=
Beweis des Satzes 33:
8 Satz 32: r -te Spalte der Matrix AB
>
ist das Bild fA ◦ fB (er )
>
>
>
>
Satz
32: r -te Spalte der Matrix B
>
>
<
>
>
>
>
>
>
>
:
38
34
34
38
.
Mnemonische Regel: Auf dem (j, r )-ten Platz des Produkts AB steht
das Skalarprodukt der j-ten Zeile der Matrix A mit der r -ten Spalte der
Matrix B.
1 2
3 2
3
1
5 7
1·5+2·6+3·7 1·7+2·6+3·5
6 6 =
3·5+2·6+1·7 3·7+2·6+1·5
7 5
=
Beweis des Satzes 33:
8 Satz 32: r -te Spalte der Matrix AB
>
ist das Bild fA ◦ fB (er )
>
>
>
>
Satz
32: r -te Spalte der Matrix B
>
>
<
>
>
>
>
>
>
>
:
38
34
34
38
.
Mnemonische Regel: Auf dem (j, r )-ten Platz des Produkts AB steht
das Skalarprodukt der j-ten Zeile der Matrix A mit der r -ten Spalte der
Matrix B.
1 2
3 2
3
1
5 7
1·5+2·6+3·7 1·7+2·6+3·5
6 6 =
3·5+2·6+1·7 3·7+2·6+1·5
7 5
=
Beweis des Satzes 33:
8 Satz 32: r -te Spalte der Matrix AB
>
ist das Bild fA ◦ fB (er )
>
>
>
>
Satz
32: r -te Spalte der Matrix B
>
>
<
>
>
>
>
>
>
>
:
38
34
34
38
.
Mnemonische Regel: Auf dem (j, r )-ten Platz des Produkts AB steht
das Skalarprodukt der j-ten Zeile der Matrix A mit der r -ten Spalte der
Matrix B.
1 2
3 2
3
1
5 7
1·5+2·6+3·7 1·7+2·6+3·5
6 6 =
3·5+2·6+1·7 3·7+2·6+1·5
7 5
=
Beweis des Satzes 33:
8 Satz 32: r -te Spalte der Matrix AB
>
ist das Bild fA ◦ fB (er )
>
>
>
>
Satz
32: r -te Spalte der Matrix B
>
>
<
>
>
>
>
>
>
>
:
38
34
34
38
.
Mnemonische Regel: Auf dem (j, r )-ten Platz des Produkts AB steht
das Skalarprodukt der j-ten Zeile der Matrix A mit der r -ten Spalte der
Matrix B.
1 2
3 2
3
1
5 7
1·5+2·6+3·7 1·7+2·6+3·5
6 6 =
3·5+2·6+1·7 3·7+2·6+1·5
7 5
=
Beweis des Satzes 33:
8 Satz 32: r -te Spalte der Matrix AB
>
ist das Bild fA ◦ fB (er )
>
>
>
>
Satz
32: r -te Spalte der Matrix B
>
>
< ist das Bild fB (er )
>
>
>
>
>
>
>
:
38
34
34
38
.
Mnemonische Regel: Auf dem (j, r )-ten Platz des Produkts AB steht
das Skalarprodukt der j-ten Zeile der Matrix A mit der r -ten Spalte der
Matrix B.
1 2
3 2
3
1
5 7
1·5+2·6+3·7 1·7+2·6+3·5
6 6 =
3·5+2·6+1·7 3·7+2·6+1·5
7 5
=
Beweis des Satzes 33:
8 Satz 32: r -te Spalte der Matrix AB
>
ist das Bild fA ◦ fB (er )
>
>
>
>
Satz
32: r -te Spalte der Matrix B
>
>
< ist das Bild fB (er )
>
Rechenregel für Matr. mal Vektoren:
>
>
>
>
>
>
:
38
34
34
38
.
Mnemonische Regel: Auf dem (j, r )-ten Platz des Produkts AB steht
das Skalarprodukt der j-ten Zeile der Matrix A mit der r -ten Spalte der
Matrix B.
1 2
3 2
3
1
5 7
1·5+2·6+3·7 1·7+2·6+3·5
6 6 =
3·5+2·6+1·7 3·7+2·6+1·5
7 5
=
Beweis des Satzes 33:
8 Satz 32: r -te Spalte der Matrix AB
>
ist das Bild fA ◦ fB (er )
>
>
>
>
Satz
32: r -te Spalte der Matrix B
>
>
< ist das Bild fB (er )
>
Rechenregel für Matr. mal Vektoren:
>
>
>
>
>
>
:
38
34
34
38
.
Mnemonische Regel: Auf dem (j, r )-ten Platz des Produkts AB steht
das Skalarprodukt der j-ten Zeile der Matrix A mit der r -ten Spalte der
Matrix B.
1 2
3 2
3
1
5 7
1·5+2·6+3·7 1·7+2·6+3·5
6 6 =
3·5+2·6+1·7 3·7+2·6+1·5
7 5
=
Beweis des Satzes 33:
8 Satz 32: r -te Spalte der Matrix AB
>
ist das Bild fA ◦ fB (er )
>
>
>
>
Satz
32: r -te Spalte der Matrix B
>
>
< ist das Bild fB (er )
>
Rechenregel für Matr. mal Vektoren:
>
>
auf der j-Zeile des Bildes fA (fB (er )))
>
>
>
>
:
38
34
34
38
.
Mnemonische Regel: Auf dem (j, r )-ten Platz des Produkts AB steht
das Skalarprodukt der j-ten Zeile der Matrix A mit der r -ten Spalte der
Matrix B.
1 2
3 2
3
1
5 7
1·5+2·6+3·7 1·7+2·6+3·5
6 6 =
3·5+2·6+1·7 3·7+2·6+1·5
7 5
=
Beweis des Satzes 33:
8 Satz 32: r -te Spalte der Matrix AB
>
ist das Bild fA ◦ fB (er )
>
>
>
>
Satz
32: r -te Spalte der Matrix B
>
>
< ist das Bild fB (er )
>
Rechenregel für Matr. mal Vektoren:
>
>
auf der j-Zeile des Bildes fA (fB (er )))
>
>
>
>
:
38
34
34
38
.
Mnemonische Regel: Auf dem (j, r )-ten Platz des Produkts AB steht
das Skalarprodukt der j-ten Zeile der Matrix A mit der r -ten Spalte der
Matrix B.
1 2
3 2
3
1
5 7
1·5+2·6+3·7 1·7+2·6+3·5
6 6 =
3·5+2·6+1·7 3·7+2·6+1·5
7 5
=
Beweis des Satzes 33:
8 Satz 32: r -te Spalte der Matrix AB
>
ist das Bild fA ◦ fB (er )
>
>
>
>
Satz
32: r -te Spalte der Matrix B
>
>
< ist das Bild fB (er )
>
Rechenregel für Matr. mal Vektoren:
>
>
auf der j-Zeile des Bildes fA (fB (er )))
>
>
>
>
:
38
34
34
38
.
Mnemonische Regel: Auf dem (j, r )-ten Platz des Produkts AB steht
das Skalarprodukt der j-ten Zeile der Matrix A mit der r -ten Spalte der
Matrix B.
1 2
3 2
3
1
5 7
1·5+2·6+3·7 1·7+2·6+3·5
6 6 =
3·5+2·6+1·7 3·7+2·6+1·5
7 5
=
Beweis des Satzes 33:
8 Satz 32: r -te Spalte der Matrix AB
>
ist das Bild fA ◦ fB (er )
>
>
>
>
Satz
32: r -te Spalte der Matrix B
>
>
< ist das Bild fB (er )
>
Rechenregel für Matr. mal Vektoren:
>
>
auf der j-Zeile des Bildes fA (fB (er )))
>
>
Steht das Skalarprodukt
>
>
:
38
34
34
38
.
Mnemonische Regel: Auf dem (j, r )-ten Platz des Produkts AB steht
das Skalarprodukt der j-ten Zeile der Matrix A mit der r -ten Spalte der
Matrix B.
1 2
3 2
3
1
5 7
1·5+2·6+3·7 1·7+2·6+3·5
6 6 =
3·5+2·6+1·7 3·7+2·6+1·5
7 5
=
Beweis des Satzes 33:
8 Satz 32: r -te Spalte der Matrix AB
>
ist das Bild fA ◦ fB (er )
>
>
>
>
Satz
32: r -te Spalte der Matrix B
>
>
< ist das Bild fB (er )
>
Rechenregel für Matr. mal Vektoren:
>
>
auf der j-Zeile des Bildes fA (fB (er )))
>
>
Steht das Skalarprodukt
>
>
:
38
34
34
38
.
Mnemonische Regel: Auf dem (j, r )-ten Platz des Produkts AB steht
das Skalarprodukt der j-ten Zeile der Matrix A mit der r -ten Spalte der
Matrix B.
1 2
3 2
3
1
5 7
1·5+2·6+3·7 1·7+2·6+3·5
6 6 =
3·5+2·6+1·7 3·7+2·6+1·5
7 5
=
Beweis des Satzes 33:
8 Satz 32: r -te Spalte der Matrix AB
>
ist das Bild fA ◦ fB (er )
>
>
>
>
Satz
32: r -te Spalte der Matrix B
>
>
< ist das Bild fB (er )
>
Rechenregel für Matr. mal Vektoren:
>
>
auf der j-Zeile des Bildes fA (fB (er )))
>
>
Steht das Skalarprodukt
>
>
: der j-ten Zeile der Matrix A
38
34
34
38
.
Mnemonische Regel: Auf dem (j, r )-ten Platz des Produkts AB steht
das Skalarprodukt der j-ten Zeile der Matrix A mit der r -ten Spalte der
Matrix B.
1 2
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1
5 7
1·5+2·6+3·7 1·7+2·6+3·5
6 6 =
3·5+2·6+1·7 3·7+2·6+1·5
7 5
=
Beweis des Satzes 33:
8 Satz 32: r -te Spalte der Matrix AB
>
ist das Bild fA ◦ fB (er )
>
>
>
>
Satz
32: r -te Spalte der Matrix B
>
>
< ist das Bild fB (er )
>
Rechenregel für Matr. mal Vektoren:
>
>
auf der j-Zeile des Bildes fA (fB (er )))
>
>
Steht das Skalarprodukt
>
>
: der j-ten Zeile der Matrix A
38
34
34
38
.
Mnemonische Regel: Auf dem (j, r )-ten Platz des Produkts AB steht
das Skalarprodukt der j-ten Zeile der Matrix A mit der r -ten Spalte der
Matrix B.
1 2
3 2
3
1
5 7
1·5+2·6+3·7 1·7+2·6+3·5
6 6 =
3·5+2·6+1·7 3·7+2·6+1·5
7 5
=
Beweis des Satzes 33:
8 Satz 32: r -te Spalte der Matrix AB
>
ist das Bild fA ◦ fB (er )
>
>
>
>
Satz
32: r -te Spalte der Matrix B
>
>
< ist das Bild fB (er )
>
Rechenregel für Matr. mal Vektoren:
>
>
auf der j-Zeile des Bildes fA (fB (er )))
>
>
Steht das Skalarprodukt
>
>
: der j-ten Zeile der Matrix A
38
34
34
38
.
Mnemonische Regel: Auf dem (j, r )-ten Platz des Produkts AB steht
das Skalarprodukt der j-ten Zeile der Matrix A mit der r -ten Spalte der
Matrix B.
1 2
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3
1
5 7
1·5+2·6+3·7 1·7+2·6+3·5
6 6 =
3·5+2·6+1·7 3·7+2·6+1·5
7 5
=
Beweis des Satzes 33:
8 Satz 32: r -te Spalte der Matrix AB
>
ist das Bild fA ◦ fB (er )
>
>
>
>
Satz
32: r -te Spalte der Matrix B
>
>
< ist das Bild fB (er )
>
Rechenregel für Matr. mal Vektoren:
>
>
auf der j-Zeile des Bildes fA (fB (er )))
>
>
Steht das Skalarprodukt
>
>
: der j-ten Zeile der Matrix A
38
34
34
38
.
Mnemonische Regel: Auf dem (j, r )-ten Platz des Produkts AB steht
das Skalarprodukt der j-ten Zeile der Matrix A mit der r -ten Spalte der
Matrix B.
1 2
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1
5 7
1·5+2·6+3·7 1·7+2·6+3·5
6 6 =
3·5+2·6+1·7 3·7+2·6+1·5
7 5
=
Beweis des Satzes 33:
8 Satz 32: r -te Spalte der Matrix AB
>
ist das Bild fA ◦ fB (er )
>
>
>
>
Satz
32: r -te Spalte der Matrix B
>
>
< ist das Bild fB (er )
>
Rechenregel für Matr. mal Vektoren:
>
>
auf der j-Zeile des Bildes fA (fB (er )))
>
>
Steht das Skalarprodukt
>
>
: der j-ten Zeile der Matrix A
mit dem Vektor fB (er )
38
34
=⇒
34
38
.
Mnemonische Regel: Auf dem (j, r )-ten Platz des Produkts AB steht
das Skalarprodukt der j-ten Zeile der Matrix A mit der r -ten Spalte der
Matrix B.
1 2
3 2
3
1
5 7
1·5+2·6+3·7 1·7+2·6+3·5
6 6 =
3·5+2·6+1·7 3·7+2·6+1·5
7 5
=
Beweis des Satzes 33:
8 Satz 32: r -te Spalte der Matrix AB
>
ist das Bild fA ◦ fB (er )
>
>
>
>
Satz
32: r -te Spalte der Matrix B
>
>
< ist das Bild fB (er )
>
Rechenregel für Matr. mal Vektoren:
>
>
auf der j-Zeile des Bildes fA (fB (er )))
>
>
Steht das Skalarprodukt
>
>
: der j-ten Zeile der Matrix A
mit dem Vektor fB (er )
38
34
=⇒
34
38
.
Mnemonische Regel: Auf dem (j, r )-ten Platz des Produkts AB steht
das Skalarprodukt der j-ten Zeile der Matrix A mit der r -ten Spalte der
Matrix B.
1 2
3 2
3
1
5 7
1·5+2·6+3·7 1·7+2·6+3·5
6 6 =
3·5+2·6+1·7 3·7+2·6+1·5
7 5
=
Beweis des Satzes 33:
8 Satz 32: r -te Spalte der Matrix AB
>
ist das Bild fA ◦ fB (er )
>
>
>
>
Satz
32: r -te Spalte der Matrix B
>
>
< ist das Bild fB (er )
>
Rechenregel für Matr. mal Vektoren:
>
>
auf der j-Zeile des Bildes fA (fB (er )))
>
>
Steht das Skalarprodukt
>
>
: der j-ten Zeile der Matrix A
mit dem Vektor fB (er )
38
34
=⇒
34
38
.
Mnemonische Regel: Auf dem (j, r )-ten Platz des Produkts AB steht
das Skalarprodukt der j-ten Zeile der Matrix A mit der r -ten Spalte der
Matrix B.
1 2
3 2
3
1
5 7
1·5+2·6+3·7 1·7+2·6+3·5
6 6 =
3·5+2·6+1·7 3·7+2·6+1·5
7 5
=
Beweis des Satzes 33:
8 Satz 32: r -te Spalte der Matrix AB
>
ist das Bild fA ◦ fB (er )
>
>
>
>
Satz
32: r -te Spalte der Matrix B
>
>
< ist das Bild fB (er )
>
Rechenregel für Matr. mal Vektoren:
>
>
auf der j-Zeile des Bildes fA (fB (er )))
>
>
Steht das Skalarprodukt
>
>
: der j-ten Zeile der Matrix A
mit dem Vektor fB (er )
38
34
=⇒
34
38
.
Mnemonische Regel: Auf dem (j, r )-ten Platz des Produkts AB steht
das Skalarprodukt der j-ten Zeile der Matrix A mit der r -ten Spalte der
Matrix B.
1 2
3 2
3
1
5 7
1·5+2·6+3·7 1·7+2·6+3·5
6 6 =
3·5+2·6+1·7 3·7+2·6+1·5
7 5
=
Beweis des Satzes 33:
8 Satz 32: r -te Spalte der Matrix AB
>
ist das Bild fA ◦ fB (er )
>
>
>
>
Satz
32: r -te Spalte der Matrix B
>
>
< ist das Bild fB (er )
>
Rechenregel für Matr. mal Vektoren:
>
>
auf der j-Zeile des Bildes fA (fB (er )))
>
>
Steht das Skalarprodukt
>
>
: der j-ten Zeile der Matrix A
mit dem Vektor fB (er )
38
34
34
38
.
Auf dem (j, r )-ten Platz
=⇒
Mnemonische Regel: Auf dem (j, r )-ten Platz des Produkts AB steht
das Skalarprodukt der j-ten Zeile der Matrix A mit der r -ten Spalte der
Matrix B.
1 2
3 2
3
1
5 7
1·5+2·6+3·7 1·7+2·6+3·5
6 6 =
3·5+2·6+1·7 3·7+2·6+1·5
7 5
=
Beweis des Satzes 33:
8 Satz 32: r -te Spalte der Matrix AB
>
ist das Bild fA ◦ fB (er )
>
>
>
>
Satz
32: r -te Spalte der Matrix B
>
>
< ist das Bild fB (er )
>
Rechenregel für Matr. mal Vektoren:
>
>
auf der j-Zeile des Bildes fA (fB (er )))
>
>
Steht das Skalarprodukt
>
>
: der j-ten Zeile der Matrix A
mit dem Vektor fB (er )
38
34
34
38
.
Auf dem (j, r )-ten Platz
=⇒
Mnemonische Regel: Auf dem (j, r )-ten Platz des Produkts AB steht
das Skalarprodukt der j-ten Zeile der Matrix A mit der r -ten Spalte der
Matrix B.
1 2
3 2
3
1
5 7
1·5+2·6+3·7 1·7+2·6+3·5
6 6 =
3·5+2·6+1·7 3·7+2·6+1·5
7 5
=
Beweis des Satzes 33:
8 Satz 32: r -te Spalte der Matrix AB
>
ist das Bild fA ◦ fB (er )
>
>
>
>
Satz
32: r -te Spalte der Matrix B
>
>
< ist das Bild fB (er )
>
Rechenregel für Matr. mal Vektoren:
>
>
auf der j-Zeile des Bildes fA (fB (er )))
>
>
Steht das Skalarprodukt
>
>
: der j-ten Zeile der Matrix A
mit dem Vektor fB (er )
38
34
34
38
.
Auf dem (j, r )-ten Platz
=⇒
Mnemonische Regel: Auf dem (j, r )-ten Platz des Produkts AB steht
das Skalarprodukt der j-ten Zeile der Matrix A mit der r -ten Spalte der
Matrix B.
1 2
3 2
3
1
5 7
1·5+2·6+3·7 1·7+2·6+3·5
6 6 =
3·5+2·6+1·7 3·7+2·6+1·5
7 5
=
Beweis des Satzes 33:
8 Satz 32: r -te Spalte der Matrix AB
>
ist das Bild fA ◦ fB (er )
>
>
>
>
Satz
32: r -te Spalte der Matrix B
>
>
< ist das Bild fB (er )
>
Rechenregel für Matr. mal Vektoren:
>
>
auf der j-Zeile des Bildes fA (fB (er )))
>
>
Steht das Skalarprodukt
>
>
: der j-ten Zeile der Matrix A
mit dem Vektor fB (er )
38
34
34
38
.
Auf dem (j, r )-ten Platz
=⇒
Mnemonische Regel: Auf dem (j, r )-ten Platz des Produkts AB steht
das Skalarprodukt der j-ten Zeile der Matrix A mit der r -ten Spalte der
Matrix B.
1 2
3 2
3
1
5 7
1·5+2·6+3·7 1·7+2·6+3·5
6 6 =
3·5+2·6+1·7 3·7+2·6+1·5
7 5
=
Beweis des Satzes 33:
8 Satz 32: r -te Spalte der Matrix AB
>
ist das Bild fA ◦ fB (er )
>
>
>
>
Satz
32: r -te Spalte der Matrix B
>
>
< ist das Bild fB (er )
>
Rechenregel für Matr. mal Vektoren:
>
>
auf der j-Zeile des Bildes fA (fB (er )))
>
>
Steht das Skalarprodukt
>
>
: der j-ten Zeile der Matrix A
mit dem Vektor fB (er )
38
34
=⇒
34
38
.
Auf dem (j, r )-ten Platz
des Produkts AB
Mnemonische Regel: Auf dem (j, r )-ten Platz des Produkts AB steht
das Skalarprodukt der j-ten Zeile der Matrix A mit der r -ten Spalte der
Matrix B.
1 2
3 2
3
1
5 7
1·5+2·6+3·7 1·7+2·6+3·5
6 6 =
3·5+2·6+1·7 3·7+2·6+1·5
7 5
=
Beweis des Satzes 33:
8 Satz 32: r -te Spalte der Matrix AB
>
ist das Bild fA ◦ fB (er )
>
>
>
>
Satz
32: r -te Spalte der Matrix B
>
>
< ist das Bild fB (er )
>
Rechenregel für Matr. mal Vektoren:
>
>
auf der j-Zeile des Bildes fA (fB (er )))
>
>
Steht das Skalarprodukt
>
>
: der j-ten Zeile der Matrix A
mit dem Vektor fB (er )
38
34
=⇒
34
38
.
Auf dem (j, r )-ten Platz
des Produkts AB
Mnemonische Regel: Auf dem (j, r )-ten Platz des Produkts AB steht
das Skalarprodukt der j-ten Zeile der Matrix A mit der r -ten Spalte der
Matrix B.
1 2
3 2
3
1
5 7
1·5+2·6+3·7 1·7+2·6+3·5
6 6 =
3·5+2·6+1·7 3·7+2·6+1·5
7 5
=
Beweis des Satzes 33:
8 Satz 32: r -te Spalte der Matrix AB
>
ist das Bild fA ◦ fB (er )
>
>
>
>
Satz
32: r -te Spalte der Matrix B
>
>
< ist das Bild fB (er )
>
Rechenregel für Matr. mal Vektoren:
>
>
auf der j-Zeile des Bildes fA (fB (er )))
>
>
Steht das Skalarprodukt
>
>
: der j-ten Zeile der Matrix A
mit dem Vektor fB (er )
38
34
=⇒
34
38
.
Auf dem (j, r )-ten Platz
des Produkts AB
Mnemonische Regel: Auf dem (j, r )-ten Platz des Produkts AB steht
das Skalarprodukt der j-ten Zeile der Matrix A mit der r -ten Spalte der
Matrix B.
1 2
3 2
3
1
5 7
1·5+2·6+3·7 1·7+2·6+3·5
6 6 =
3·5+2·6+1·7 3·7+2·6+1·5
7 5
=
Beweis des Satzes 33:
8 Satz 32: r -te Spalte der Matrix AB
>
ist das Bild fA ◦ fB (er )
>
>
>
>
Satz
32: r -te Spalte der Matrix B
>
>
< ist das Bild fB (er )
>
Rechenregel für Matr. mal Vektoren:
>
>
auf der j-Zeile des Bildes fA (fB (er )))
>
>
Steht das Skalarprodukt
>
>
: der j-ten Zeile der Matrix A
mit dem Vektor fB (er )
38
34
=⇒
34
38
.
Auf dem (j, r )-ten Platz
des Produkts AB
Mnemonische Regel: Auf dem (j, r )-ten Platz des Produkts AB steht
das Skalarprodukt der j-ten Zeile der Matrix A mit der r -ten Spalte der
Matrix B.
1 2
3 2
3
1
5 7
1·5+2·6+3·7 1·7+2·6+3·5
6 6 =
3·5+2·6+1·7 3·7+2·6+1·5
7 5
=
Beweis des Satzes 33:
8 Satz 32: r -te Spalte der Matrix AB
>
ist das Bild fA ◦ fB (er )
>
>
>
>
Satz
32: r -te Spalte der Matrix B
>
>
< ist das Bild fB (er )
>
Rechenregel für Matr. mal Vektoren:
>
>
auf der j-Zeile des Bildes fA (fB (er )))
>
>
Steht das Skalarprodukt
>
>
: der j-ten Zeile der Matrix A
mit dem Vektor fB (er )
38
34
=⇒
34
38
.
Auf dem (j, r )-ten Platz
des Produkts AB
Mnemonische Regel: Auf dem (j, r )-ten Platz des Produkts AB steht
das Skalarprodukt der j-ten Zeile der Matrix A mit der r -ten Spalte der
Matrix B.
1 2
3 2
3
1
5 7
1·5+2·6+3·7 1·7+2·6+3·5
6 6 =
3·5+2·6+1·7 3·7+2·6+1·5
7 5
=
Beweis des Satzes 33:
8 Satz 32: r -te Spalte der Matrix AB
>
ist das Bild fA ◦ fB (er )
>
>
>
>
Satz
32: r -te Spalte der Matrix B
>
>
< ist das Bild fB (er )
>
Rechenregel für Matr. mal Vektoren:
>
>
auf der j-Zeile des Bildes fA (fB (er )))
>
>
Steht das Skalarprodukt
>
>
: der j-ten Zeile der Matrix A
mit dem Vektor fB (er )
38
34
=⇒
34
38
.
Auf dem (j, r )-ten Platz
des Produkts AB
steht das Skalarprodukt
Mnemonische Regel: Auf dem (j, r )-ten Platz des Produkts AB steht
das Skalarprodukt der j-ten Zeile der Matrix A mit der r -ten Spalte der
Matrix B.
1 2
3 2
3
1
5 7
1·5+2·6+3·7 1·7+2·6+3·5
6 6 =
3·5+2·6+1·7 3·7+2·6+1·5
7 5
=
Beweis des Satzes 33:
8 Satz 32: r -te Spalte der Matrix AB
>
ist das Bild fA ◦ fB (er )
>
>
>
>
Satz
32: r -te Spalte der Matrix B
>
>
< ist das Bild fB (er )
>
Rechenregel für Matr. mal Vektoren:
>
>
auf der j-Zeile des Bildes fA (fB (er )))
>
>
Steht das Skalarprodukt
>
>
: der j-ten Zeile der Matrix A
mit dem Vektor fB (er )
38
34
=⇒
34
38
.
Auf dem (j, r )-ten Platz
des Produkts AB
steht das Skalarprodukt
der j-ten Zeile der Matrix A
mit der r -ten Spalte der Matrix B
Mnemonische Regel: Auf dem (j, r )-ten Platz des Produkts AB steht
das Skalarprodukt der j-ten Zeile der Matrix A mit der r -ten Spalte der
Matrix B.
1 2
3 2
3
1
5 7
1·5+2·6+3·7 1·7+2·6+3·5
6 6 =
3·5+2·6+1·7 3·7+2·6+1·5
7 5
=
Beweis des Satzes 33:
8 Satz 32: r -te Spalte der Matrix AB
>
ist das Bild fA ◦ fB (er )
>
>
>
>
Satz
32: r -te Spalte der Matrix B
>
>
< ist das Bild fB (er )
>
Rechenregel für Matr. mal Vektoren:
>
>
auf der j-Zeile des Bildes fA (fB (er )))
>
>
Steht das Skalarprodukt
>
>
: der j-ten Zeile der Matrix A
mit dem Vektor fB (er )
38
34
=⇒
34
38
.
Auf dem (j, r )-ten Platz
des Produkts AB
steht das Skalarprodukt
der j-ten Zeile der Matrix A
mit der r -ten Spalte der Matrix B
Mnemonische Regel: Auf dem (j, r )-ten Platz des Produkts AB steht
das Skalarprodukt der j-ten Zeile der Matrix A mit der r -ten Spalte der
Matrix B.
1 2
3 2
3
1
5 7
1·5+2·6+3·7 1·7+2·6+3·5
6 6 =
3·5+2·6+1·7 3·7+2·6+1·5
7 5
=
Beweis des Satzes 33:
8 Satz 32: r -te Spalte der Matrix AB
>
ist das Bild fA ◦ fB (er )
>
>
>
>
Satz
32: r -te Spalte der Matrix B
>
>
< ist das Bild fB (er )
>
Rechenregel für Matr. mal Vektoren:
>
>
auf der j-Zeile des Bildes fA (fB (er )))
>
>
Steht das Skalarprodukt
>
>
: der j-ten Zeile der Matrix A
mit dem Vektor fB (er )
38
34
=⇒
34
38
.
Auf dem (j, r )-ten Platz
des Produkts AB
steht das Skalarprodukt
der j-ten Zeile der Matrix A
mit der r -ten Spalte der Matrix B
Mnemonische Regel: Auf dem (j, r )-ten Platz des Produkts AB steht
das Skalarprodukt der j-ten Zeile der Matrix A mit der r -ten Spalte der
Matrix B.
1 2
3 2
3
1
5 7
1·5+2·6+3·7 1·7+2·6+3·5
6 6 =
3·5+2·6+1·7 3·7+2·6+1·5
7 5
=
Beweis des Satzes 33:
8 Satz 32: r -te Spalte der Matrix AB
>
ist das Bild fA ◦ fB (er )
>
>
>
>
Satz
32: r -te Spalte der Matrix B
>
>
< ist das Bild fB (er )
>
Rechenregel für Matr. mal Vektoren:
>
>
auf der j-Zeile des Bildes fA (fB (er )))
>
>
Steht das Skalarprodukt
>
>
: der j-ten Zeile der Matrix A
mit dem Vektor fB (er )
38
34
=⇒
34
38
.
Auf dem (j, r )-ten Platz
des Produkts AB
steht das Skalarprodukt
der j-ten Zeile der Matrix A
mit der r -ten Spalte der Matrix B
Mnemonische Regel: Auf dem (j, r )-ten Platz des Produkts AB steht
das Skalarprodukt der j-ten Zeile der Matrix A mit der r -ten Spalte der
Matrix B.
1 2
3 2
3
1
5 7
1·5+2·6+3·7 1·7+2·6+3·5
6 6 =
3·5+2·6+1·7 3·7+2·6+1·5
7 5
=
Beweis des Satzes 33:
8 Satz 32: r -te Spalte der Matrix AB
>
ist das Bild fA ◦ fB (er )
>
>
>
>
Satz
32: r -te Spalte der Matrix B
>
>
< ist das Bild fB (er )
>
Rechenregel für Matr. mal Vektoren:
>
>
auf der j-Zeile des Bildes fA (fB (er )))
>
>
Steht das Skalarprodukt
>
>
: der j-ten Zeile der Matrix A
mit dem Vektor fB (er )
38
34
=⇒
34
38
.
Auf dem (j, r )-ten Platz
des Produkts AB
steht das Skalarprodukt
der j-ten Zeile der Matrix A
mit der r -ten Spalte der Matrix B
Mnemonische Regel: Auf dem (j, r )-ten Platz des Produkts AB steht
das Skalarprodukt der j-ten Zeile der Matrix A mit der r -ten Spalte der
Matrix B.
1 2
3 2
3
1
5 7
1·5+2·6+3·7 1·7+2·6+3·5
6 6 =
3·5+2·6+1·7 3·7+2·6+1·5
7 5
=
Beweis des Satzes 33:
8 Satz 32: r -te Spalte der Matrix AB
>
ist das Bild fA ◦ fB (er )
>
>
>
>
Satz
32: r -te Spalte der Matrix B
>
>
< ist das Bild fB (er )
>
Rechenregel für Matr. mal Vektoren:
>
>
auf der j-Zeile des Bildes fA (fB (er )))
>
>
Steht das Skalarprodukt
>
>
: der j-ten Zeile der Matrix A
mit dem Vektor fB (er )
38
34
=⇒
34
38
.
Auf dem (j, r )-ten Platz
des Produkts AB
steht das Skalarprodukt
der j-ten Zeile der Matrix A
mit der r -ten Spalte der Matrix B
Folgerung Multiplikation von Matrizen ist assoziativ:
(AB)C = A(BC )
Folgerung Multiplikation von Matrizen ist assoziativ:
(AB)C = A(BC ) (falls definiert).
Folgerung Multiplikation von Matrizen ist assoziativ:
(AB)C = A(BC ) (falls definiert).
Beweis: Nach Lemma 1 ist Verkettung von Abbildungen assoziativ.
Summe von Matrizen
Summe von Matrizen
Sei A, B (m × n) Matrizen über K.
Summe von Matrizen
Sei A, B (m × n) Matrizen über K. Wir betrachten die Abbildung
f : Kn → Km ,
Summe von Matrizen
Sei A, B (m × n) Matrizen über K. Wir betrachten die Abbildung
f : Kn → Km , f (v ) := Av + Bv .
Summe von Matrizen
Sei A, B (m × n) Matrizen über K. Wir betrachten die Abbildung
f : Kn → Km , f (v ) := Av + Bv . Die Abbildung ist linear.
Summe von Matrizen
Sei A, B (m × n) Matrizen über K. Wir betrachten die Abbildung
f : Kn → Km , f (v ) := Av + Bv . Die Abbildung ist linear.
Definition 31
Summe von Matrizen
Sei A, B (m × n) Matrizen über K. Wir betrachten die Abbildung
f : Kn → Km , f (v ) := Av + Bv . Die Abbildung ist linear.
Definition 31 Die Matrix dieser Abbildung f heißt die Summe von
Matrizen
Summe von Matrizen
Sei A, B (m × n) Matrizen über K. Wir betrachten die Abbildung
f : Kn → Km , f (v ) := Av + Bv . Die Abbildung ist linear.
Definition 31 Die Matrix dieser Abbildung f heißt die Summe von
Matrizen und wird A + B bezeichnen.
Summe von Matrizen
Sei A, B (m × n) Matrizen über K. Wir betrachten die Abbildung
f : Kn → Km , f (v ) := Av + Bv . Die Abbildung ist linear.
Definition 31 Die Matrix dieser Abbildung f heißt die Summe von
Matrizen und wird A + B bezeichnen.
Rechenregel: 1
0
a11
...
a1n
B
C
.
.
B
C
.
..
A+
.
am1
...
amn
Summe von Matrizen
Sei A, B (m × n) Matrizen über K. Wir betrachten die Abbildung
f : Kn → Km , f (v ) := Av + Bv . Die Abbildung ist linear.
Definition 31 Die Matrix dieser Abbildung f heißt die Summe von
Matrizen und wird A + B bezeichnen.
Rechenregel: 1 0
0
1
a11
...
a1n
b11
...
b1n
B
C
B
C
.
.
.
.
B
C
C
.
.
..
A+ B
..
A=
.
.
am1
...
amn
bm1
...
bmn
Summe von Matrizen
Sei A, B (m × n) Matrizen über K. Wir betrachten die Abbildung
f : Kn → Km , f (v ) := Av + Bv . Die Abbildung ist linear.
Definition 31 Die Matrix dieser Abbildung f heißt die Summe von
Matrizen und wird A + B bezeichnen.
Rechenregel: 1 0
0
1 0 a11 + b11 ... a1n + b1n 1
a11
...
a1n
b11
...
b1n
B
C
B
C
B
C
.
.
.
.
.
.
B
C
C
C
.
.
.
.
..
A+ B
..
A= B
A
.
.
.
.
am1
...
amn
bm1
...
bmn
am1 + bm1
...
amn + bmn
Summe von Matrizen
Sei A, B (m × n) Matrizen über K. Wir betrachten die Abbildung
f : Kn → Km , f (v ) := Av + Bv . Die Abbildung ist linear.
Definition 31 Die Matrix dieser Abbildung f heißt die Summe von
Matrizen und wird A + B bezeichnen.
Rechenregel: 1 0
0
1 0 a11 + b11 ... a1n + b1n 1
a11
...
a1n
b11
...
b1n
B
C
B
C
B
C
.
.
.
.
.
.
B
C
C
C
.
.
.
.
..
A+ B
..
A= B
A
.
.
.
.
am1
...
amn
bm1
Tatsächlich,
i-te Spalte von A + B
...
bmn
am1 + bm1
...
amn + bmn
Summe von Matrizen
Sei A, B (m × n) Matrizen über K. Wir betrachten die Abbildung
f : Kn → Km , f (v ) := Av + Bv . Die Abbildung ist linear.
Definition 31 Die Matrix dieser Abbildung f heißt die Summe von
Matrizen und wird A + B bezeichnen.
Rechenregel: 1 0
0
1 0 a11 + b11 ... a1n + b1n 1
a11
...
a1n
b11
...
b1n
B
C
B
C
B
C
.
.
.
.
.
.
B
C
C
C
.
.
.
.
..
A+ B
..
A= B
A
.
.
.
.
am1
...
amn
bm1
Tatsächlich,
i-te Spalte von A + B
...
bmn
Wicht. Frage
=
am1 + bm1
(A + B)(ei )
...
amn + bmn
Summe von Matrizen
Sei A, B (m × n) Matrizen über K. Wir betrachten die Abbildung
f : Kn → Km , f (v ) := Av + Bv . Die Abbildung ist linear.
Definition 31 Die Matrix dieser Abbildung f heißt die Summe von
Matrizen und wird A + B bezeichnen.
Rechenregel: 1 0
0
1 0 a11 + b11 ... a1n + b1n 1
a11
...
a1n
b11
...
b1n
B
C
B
C
B
C
.
.
.
.
.
.
B
C
C
C
.
.
.
.
..
A+ B
..
A= B
A
.
.
.
.
am1
...
amn
bm1
Tatsächlich,
i-te Spalte von A + B
Def. 31
=
...
bmn
Wicht. Frage
=
am1 + bm1
(A + B)(ei )
...
amn + bmn
Summe von Matrizen
Sei A, B (m × n) Matrizen über K. Wir betrachten die Abbildung
f : Kn → Km , f (v ) := Av + Bv . Die Abbildung ist linear.
Definition 31 Die Matrix dieser Abbildung f heißt die Summe von
Matrizen und wird A + B bezeichnen.
Rechenregel: 1 0
0
1 0 a11 + b11 ... a1n + b1n 1
a11
...
a1n
b11
...
b1n
B
C
B
C
B
C
.
.
.
.
.
.
B
C
C
C
.
.
.
.
..
A+ B
..
A= B
A
.
.
.
.
am1
...
amn
bm1
Tatsächlich,
i-te Spalte von A + B
Def. 31
=
Aei + Bei
...
bmn
Wicht. Frage
=
am1 + bm1
(A + B)(ei )
...
amn + bmn
Summe von Matrizen
Sei A, B (m × n) Matrizen über K. Wir betrachten die Abbildung
f : Kn → Km , f (v ) := Av + Bv . Die Abbildung ist linear.
Definition 31 Die Matrix dieser Abbildung f heißt die Summe von
Matrizen und wird A + B bezeichnen.
Rechenregel: 1 0
0
1 0 a11 + b11 ... a1n + b1n 1
a11
...
a1n
b11
...
b1n
B
C
B
C
B
C
.
.
.
.
.
.
B
C
C
C
.
.
.
.
..
A+ B
..
A= B
A
.
.
.
.
am1
...
amn
bm1
Tatsächlich,
i-te Spalte von A + B
Def. 31
=
Aei + Bei
...
bmn
Wicht. Frage
=
Wicht. Frage
=
am1 + bm1
(A + B)(ei )
...
amn + bmn
Summe von Matrizen
Sei A, B (m × n) Matrizen über K. Wir betrachten die Abbildung
f : Kn → Km , f (v ) := Av + Bv . Die Abbildung ist linear.
Definition 31 Die Matrix dieser Abbildung f heißt die Summe von
Matrizen und wird A + B bezeichnen.
Rechenregel: 1 0
0
1 0 a11 + b11 ... a1n + b1n 1
a11
...
a1n
b11
...
b1n
B
C
B
C
B
C
.
.
.
.
.
.
B
C
C
C
.
.
.
.
..
A+ B
..
A= B
A
.
.
.
.
am1
...
amn
bm1
Tatsächlich,
i-te Spalte von A + B
Def. 31
=
Aei + Bei
bmn
...
Wicht. Frage
=
Wicht. Frage
=
am1 + bm1
(A + B)(ei )
i-te Spalte von A +
...
amn + bmn
Summe von Matrizen
Sei A, B (m × n) Matrizen über K. Wir betrachten die Abbildung
f : Kn → Km , f (v ) := Av + Bv . Die Abbildung ist linear.
Definition 31 Die Matrix dieser Abbildung f heißt die Summe von
Matrizen und wird A + B bezeichnen.
Rechenregel: 1 0
0
1 0 a11 + b11 ... a1n + b1n 1
a11
...
a1n
b11
...
b1n
B
C
B
C
B
C
.
.
.
.
.
.
B
C
C
C
.
.
.
.
..
A+ B
..
A= B
A
.
.
.
.
am1
...
amn
bm1
Tatsächlich,
i-te Spalte von A + B
Def. 31
=
Aei + Bei
bmn
...
Wicht. Frage
=
Wicht. Frage
=
am1 + bm1
...
amn + bmn
(A + B)(ei )
i-te Spalte von A + i-te Spalte von B
Summe von Matrizen
Sei A, B (m × n) Matrizen über K. Wir betrachten die Abbildung
f : Kn → Km , f (v ) := Av + Bv . Die Abbildung ist linear.
Definition 31 Die Matrix dieser Abbildung f heißt die Summe von
Matrizen und wird A + B bezeichnen.
Rechenregel: 1 0
0
1 0 a11 + b11 ... a1n + b1n 1
a11
...
a1n
b11
...
b1n
B
C
B
C
B
C
.
.
.
.
.
.
B
C
C
C
.
.
.
.
..
A+ B
..
A= B
A
.
.
.
.
am1
...
amn
bm1
Tatsächlich,
i-te Spalte von A + B
Def. 31
=
Aei + Bei
bmn
...
Wicht. Frage
=
Wicht. Frage
=
am1 + bm1
...
amn + bmn
(A + B)(ei )
i-te Spalte von A + i-te Spalte von B
Multiplikation von Matrizen mit der Zahlen
Multiplikation von Matrizen mit der Zahlen
Sei A eine (m × n) Matrix über K,
Multiplikation von Matrizen mit der Zahlen
Sei A eine (m × n) Matrix über K, λ ∈ K.
Multiplikation von Matrizen mit der Zahlen
Sei A eine (m × n) Matrix über K, λ ∈ K. Wir betrachten die
Abbildung f : Kn → Km ,
Multiplikation von Matrizen mit der Zahlen
Sei A eine (m × n) Matrix über K, λ ∈ K. Wir betrachten die
Abbildung f : Kn → Km , f (v ) := λ(Av ). Die Abbildung ist linear.
Multiplikation von Matrizen mit der Zahlen
Sei A eine (m × n) Matrix über K, λ ∈ K. Wir betrachten die
Abbildung f : Kn → Km , f (v ) := λ(Av ). Die Abbildung ist linear.
Definition 32
Multiplikation von Matrizen mit der Zahlen
Sei A eine (m × n) Matrix über K, λ ∈ K. Wir betrachten die
Abbildung f : Kn → Km , f (v ) := λ(Av ). Die Abbildung ist linear.
Definition 32 Die Matrix dieser Abbildung f heißt das λ-facher
von A und wird mit λA bezeichnen.
Multiplikation von Matrizen mit der Zahlen
Sei A eine (m × n) Matrix über K, λ ∈ K. Wir betrachten die
Abbildung f : Kn → Km , f (v ) := λ(Av ). Die Abbildung ist linear.
Definition 32 Die Matrix dieser Abbildung f heißt das λ-facher
von A und wird mit λA bezeichnen.
0
B
Rechenregel: λ B
a11
.
.
.
am1
...
...
a1n
.
.
.
amn
1 0
C
B
C
A=B
λa11
.
.
.
λam1
...
...
λa1n
.
.
.
λamn
1
C
C
A
Multiplikation von Matrizen mit der Zahlen
Sei A eine (m × n) Matrix über K, λ ∈ K. Wir betrachten die
Abbildung f : Kn → Km , f (v ) := λ(Av ). Die Abbildung ist linear.
Definition 32 Die Matrix dieser Abbildung f heißt das λ-facher
von A und wird mit λA bezeichnen.
0
B
Rechenregel: λ B
Tatsächlich,
a11
.
.
.
am1
...
...
a1n
.
.
.
amn
1 0
C
B
C
A=B
λa11
.
.
.
λam1
...
...
λa1n
.
.
.
λamn
1
C
C
A
Multiplikation von Matrizen mit der Zahlen
Sei A eine (m × n) Matrix über K, λ ∈ K. Wir betrachten die
Abbildung f : Kn → Km , f (v ) := λ(Av ). Die Abbildung ist linear.
Definition 32 Die Matrix dieser Abbildung f heißt das λ-facher
von A und wird mit λA bezeichnen.
0
B
Rechenregel: λ B
a11
.
.
.
am1
...
...
a1n
.
.
.
amn
1 0
C
B
C
A=B
Tatsächlich,
Wicht. Frage
i-te Spalte von λA
=
λa11
.
.
.
λam1
...
...
λa1n
.
.
.
λamn
1
C
C
A
Multiplikation von Matrizen mit der Zahlen
Sei A eine (m × n) Matrix über K, λ ∈ K. Wir betrachten die
Abbildung f : Kn → Km , f (v ) := λ(Av ). Die Abbildung ist linear.
Definition 32 Die Matrix dieser Abbildung f heißt das λ-facher
von A und wird mit λA bezeichnen.
0
B
Rechenregel: λ B
a11
.
.
.
am1
...
...
a1n
.
.
.
amn
1 0
C
B
C
A=B
λa11
.
.
.
λam1
Tatsächlich,
Wicht. Frage
i-te Spalte von λA
=
λ(A(ei ))
Def. 32
=
...
...
λa1n
.
.
.
λamn
1
C
C
A
Multiplikation von Matrizen mit der Zahlen
Sei A eine (m × n) Matrix über K, λ ∈ K. Wir betrachten die
Abbildung f : Kn → Km , f (v ) := λ(Av ). Die Abbildung ist linear.
Definition 32 Die Matrix dieser Abbildung f heißt das λ-facher
von A und wird mit λA bezeichnen.
0
B
Rechenregel: λ B
a11
.
.
.
am1
...
...
a1n
.
.
.
amn
1 0
C
B
C
A=B
λa11
.
.
.
λam1
Tatsächlich,
Wicht. Frage
i-te Spalte von λA
=
λ(A(ei ))
Def. 32
=
λAei
Wicht. Frage
=
...
...
λa1n
.
.
.
λamn
1
C
C
A
Multiplikation von Matrizen mit der Zahlen
Sei A eine (m × n) Matrix über K, λ ∈ K. Wir betrachten die
Abbildung f : Kn → Km , f (v ) := λ(Av ). Die Abbildung ist linear.
Definition 32 Die Matrix dieser Abbildung f heißt das λ-facher
von A und wird mit λA bezeichnen.
0
B
Rechenregel: λ B
a11
.
.
.
am1
...
...
a1n
.
.
.
amn
1 0
C
B
C
A=B
λa11
.
.
.
λam1
...
...
λa1n
.
.
.
λamn
1
C
C
A
Tatsächlich,
Wicht. Frage
i-te Spalte von λA
=
λ(A(ei ))
Def. 32
=
λAei
Wicht. Frage
=
λ-Vielfacher der i-ten Spalte von A.
Multiplikation von Matrizen mit der Zahlen
Sei A eine (m × n) Matrix über K, λ ∈ K. Wir betrachten die
Abbildung f : Kn → Km , f (v ) := λ(Av ). Die Abbildung ist linear.
Definition 32 Die Matrix dieser Abbildung f heißt das λ-facher
von A und wird mit λA bezeichnen.
0
B
Rechenregel: λ B
a11
.
.
.
am1
...
...
a1n
.
.
.
amn
1 0
C
B
C
A=B
λa11
.
.
.
λam1
...
...
λa1n
.
.
.
λamn
1
C
C
A
Tatsächlich,
Wicht. Frage
i-te Spalte von λA
=
λ(A(ei ))
Wicht. Frage
Def. 32
= λAei
=
λ-Vielfacher der i-ten Spalte von A.
Bemerkung Die Multiplikation mit λ liefert dasselbe Ergebnis wie
die
0 Multiplikation
1 von links mit der (m × m) Matrix
B
B
B
B
λ
0
.
.
.
0
0
λ
.
.
.
0
...
...
..
.
...
0
0
.
.
.
λ
C
C
C
C
A
Vektorraum von Matrizen
Vektorraum von Matrizen
Bezeichnung
Vektorraum von Matrizen
Bezeichnung Die Menge der (m × n) Matrizen (über K) werden wir mit
Mat(m, n, K) bezeichnen.
Vektorraum von Matrizen
Bezeichnung Die Menge der (m × n) Matrizen (über K) werden wir mit
Mat(m, n, K) bezeichnen.
Aussage Mat(m, n, K)
Vektorraum von Matrizen
Bezeichnung Die Menge der (m × n) Matrizen (über K) werden wir mit
Mat(m, n, K) bezeichnen.
Aussage Mat(m, n, K)mit eben definierter Addition und Multiplikation
mit Skalaren
Vektorraum von Matrizen
Bezeichnung Die Menge der (m × n) Matrizen (über K) werden wir mit
Mat(m, n, K) bezeichnen.
Aussage Mat(m, n, K)mit eben definierter Addition und Multiplikation
mit Skalaren ist ein K-Vektorraum der Dimension m × n.
Vektorraum von Matrizen
Bezeichnung Die Menge der (m × n) Matrizen (über K) werden wir mit
Mat(m, n, K) bezeichnen.
Aussage Mat(m, n, K)mit eben definierter Addition und Multiplikation
mit Skalaren ist ein K-Vektorraum der
m × n.1
0 Dimension
a11
a12
...
a1n
B
C
.
.
.
C
Tatsächlich, wir können eine Matrix B
.
.
..
A
.
.
am1
am2
...
amn
Vektorraum von Matrizen
Bezeichnung Die Menge der (m × n) Matrizen (über K) werden wir mit
Mat(m, n, K) bezeichnen.
Aussage Mat(m, n, K)mit eben definierter Addition und Multiplikation
mit Skalaren ist ein K-Vektorraum der
m × n.1
0 Dimension
a11
a12
...
a1n
B
C
.
.
.
C
Tatsächlich, wir können eine Matrix B
.
.
..
A mit dem
.
.
am1
folgenden Element aus Knm identifizieren:
am2
...
amn
Vektorraum von Matrizen
Bezeichnung Die Menge der (m × n) Matrizen (über K) werden wir mit
Mat(m, n, K) bezeichnen.
Aussage Mat(m, n, K)mit eben definierter Addition und Multiplikation
mit Skalaren ist ein K-Vektorraum der
m × n.1
0 Dimension
a11
a12
...
a1n
B
C
.
.
.
C
Tatsächlich, wir können eine Matrix B
.
.
..
A mit dem
.
.
am1
folgenden Element aus Knm identifizieren:
0 a11
B
.
B
.
B
.
B
B
a
m1
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
am2
...
amn
Vektorraum von Matrizen
Bezeichnung Die Menge der (m × n) Matrizen (über K) werden wir mit
Mat(m, n, K) bezeichnen.
Aussage Mat(m, n, K)mit eben definierter Addition und Multiplikation
mit Skalaren ist ein K-Vektorraum der
m × n.1
0 Dimension
a11
a12
...
a1n
B
C
.
.
.
C
Tatsächlich, wir können eine Matrix B
.
.
..
A mit dem
.
.
am1
folgenden Element aus Knm identifizieren:
0 a11
B
.
B
.
B
.
B
B
a
m1
B a
B
12
B
B
.
B
.
B
.
B
B
am2
B
B
B
.
B
.
B
.
B
B
B
B
B
B
B
am2
...
amn
Vektorraum von Matrizen
Bezeichnung Die Menge der (m × n) Matrizen (über K) werden wir mit
Mat(m, n, K) bezeichnen.
Aussage Mat(m, n, K)mit eben definierter Addition und Multiplikation
mit Skalaren ist ein K-Vektorraum der
m × n.1
0 Dimension
a11
a12
...
a1n
B
C
.
.
.
C
Tatsächlich, wir können eine Matrix B
.
.
..
A mit dem
.
.
am1
am2
...
amn
folgenden Element aus Knm identifizieren:
0 a11 1
B
C
.
und dann sind die Operationen in Mat(m, n)
B
C
.
B
C
.
B
C
B
C
a
m1
B a C
C
B
12 C
B
B
C
.
B
C
.
B
C
.
B
C
B
C
am2 C
B
B
C
B
C
.
B
C
.
B
C
.
B
C
B
C
B
C
B
C
a
1n C
B
B
C
.
B
.
. C
A
amn
Vektorraum von Matrizen
Bezeichnung Die Menge der (m × n) Matrizen (über K) werden wir mit
Mat(m, n, K) bezeichnen.
Aussage Mat(m, n, K)mit eben definierter Addition und Multiplikation
mit Skalaren ist ein K-Vektorraum der
m × n.1
0 Dimension
a11
a12
...
a1n
B
C
.
.
.
C
Tatsächlich, wir können eine Matrix B
.
.
..
A mit dem
.
.
am1
am2
...
amn
folgenden Element aus Knm identifizieren:
0 a11 1
B
C
.
und dann sind die Operationen in Mat(m, n) dieselB
C
.
B
C
.
B
C
ben
wie in Knm
B
C
a
m1
B a C
C
B
12 C
B
B
C
.
B
C
.
B
C
.
B
C
B
C
am2 C
B
B
C
B
C
.
B
C
.
B
C
.
B
C
B
C
B
C
B
C
a
1n C
B
B
C
.
B
.
. C
A
amn
Vektorraum von Matrizen
Bezeichnung Die Menge der (m × n) Matrizen (über K) werden wir mit
Mat(m, n, K) bezeichnen.
Aussage Mat(m, n, K)mit eben definierter Addition und Multiplikation
mit Skalaren ist ein K-Vektorraum der
m × n.1
0 Dimension
a11
a12
...
a1n
B
C
.
.
.
C
Tatsächlich, wir können eine Matrix B
.
.
..
A mit dem
.
.
am1
am2
...
amn
folgenden Element aus Knm identifizieren:
0 a11 1
B
C
.
und dann sind die Operationen in Mat(m, n) dieselB
C
.
B
C
.
B
C
ben
wie in Knm
B
C
a
m1
B a C
C
B
12 C
B
B
C
Standard-Basis
.
B
C
.
B
C
.
B
C
B
C
am2 C
B
B
C
B
C
.
B
C
.
B
C
.
B
C
B
C
B
C
B
C
a
1n C
B
B
C
.
B
.
. C
A
amn
Vektorraum von Matrizen
Bezeichnung Die Menge der (m × n) Matrizen (über K) werden wir mit
Mat(m, n, K) bezeichnen.
Aussage Mat(m, n, K)mit eben definierter Addition und Multiplikation
mit Skalaren ist ein K-Vektorraum der
m × n.1
0 Dimension
a11
a12
...
a1n
B
C
.
.
.
C
Tatsächlich, wir können eine Matrix B
.
.
..
A mit dem
.
.
am1
am2
...
amn
folgenden Element aus Knm identifizieren:
0 a11 1
B
C
.
und dann sind die Operationen in Mat(m, n) dieselB
C
.
B
C
.
B
C
ben
wie in Knm
B
C
a
m1
B a C
C
B
12 C
B
B
C
Standard-Basis in Mat(m, n): Die Matrizen Bij , de.
B
C
.
B
C
.
B
C
ren (i, j)-Element gleich 1 ist,
B
C
am2 C
B
B
C
B
C
.
B
C
.
B
C
.
B
C
B
C
B
C
B
C
a
1n C
B
B
C
.
B
.
. C
A
amn
Vektorraum von Matrizen
Bezeichnung Die Menge der (m × n) Matrizen (über K) werden wir mit
Mat(m, n, K) bezeichnen.
Aussage Mat(m, n, K)mit eben definierter Addition und Multiplikation
mit Skalaren ist ein K-Vektorraum der
m × n.1
0 Dimension
a11
a12
...
a1n
B
C
.
.
.
C
Tatsächlich, wir können eine Matrix B
.
.
..
A mit dem
.
.
am1
am2
...
amn
folgenden Element aus Knm identifizieren:
0 a11 1
B
C
.
und dann sind die Operationen in Mat(m, n) dieselB
C
.
B
C
.
B
C
ben
wie in Knm
B
C
a
m1
B a C
C
B
12 C
B
B
C
Standard-Basis in Mat(m, n): Die Matrizen Bij , de.
B
C
.
B
C
.
B
C
ren (i, j)-Element gleich 1 ist, und die anderen sind
B
C
am2 C
B
B
C
B
C
gleich
0.
.
B
C
.
B
C
.
B
C
B
C
B
C
B
a1n C
B
C
B
C
.
B
.. C
A
amn
Vektorraum von Matrizen
Bezeichnung Die Menge der (m × n) Matrizen (über K) werden wir mit
Mat(m, n, K) bezeichnen.
Aussage Mat(m, n, K)mit eben definierter Addition und Multiplikation
mit Skalaren ist ein K-Vektorraum der
m × n.1
0 Dimension
a11
a12
...
a1n
B
C
.
.
.
C
Tatsächlich, wir können eine Matrix B
.
.
..
A mit dem
.
.
am1
am2
...
amn
folgenden Element aus Knm identifizieren:
0 a11 1
B
C
.
und dann sind die Operationen in Mat(m, n) dieselB
C
.
B
C
.
B
C
ben
wie in Knm
B
C
a
m1
B a C
C
B
12 C
B
B
C
Standard-Basis in Mat(m, n): Die Matrizen Bij , de.
B
C
.
B
C
.
B
C
ren (i, j)-Element gleich 1 ist, und die anderen sind
B
C
am2 C
B
B
C
B
C
gleich
.
B
C
0.
.
B
C
.
B
C
Bsp: 00 10 00
B
C
B
C
B
a1n C
B
C
B
C
B
... C
A
amn
Vektorraum von Matrizen
Bezeichnung Die Menge der (m × n) Matrizen (über K) werden wir mit
Mat(m, n, K) bezeichnen.
Aussage Mat(m, n, K)mit eben definierter Addition und Multiplikation
mit Skalaren ist ein K-Vektorraum der
m × n.1
0 Dimension
a11
a12
...
a1n
B
C
.
.
.
C
Tatsächlich, wir können eine Matrix B
.
.
..
A mit dem
.
.
am1
am2
...
amn
folgenden Element aus Knm identifizieren:
0 a11 1
B
C
.
und dann sind die Operationen in Mat(m, n) dieselB
C
.
B
C
.
B
C
ben
wie in Knm
B
C
a
m1
B a C
C
B
12 C
B
B
C
Standard-Basis in Mat(m, n): Die Matrizen Bij , de.
B
C
.
B
C
.
B
C
ren (i, j)-Element gleich 1 ist, und die anderen sind
B
C
am2 C
B
B
C
B
C
gleich
.
B
C
0.
.
B
C
.
B
C
Bsp: 00 10 00 = B12
B
C
B
C
B
a1n C
B
C
B
C
B
... C
A
amn
Vektorraum von Matrizen
Bezeichnung Die Menge der (m × n) Matrizen (über K) werden wir mit
Mat(m, n, K) bezeichnen.
Aussage Mat(m, n, K)mit eben definierter Addition und Multiplikation
mit Skalaren ist ein K-Vektorraum der
m × n.1
0 Dimension
a11
a12
...
a1n
B
C
.
.
.
C
Tatsächlich, wir können eine Matrix B
.
.
..
A mit dem
.
.
am1
am2
...
amn
folgenden Element aus Knm identifizieren:
0 a11 1
B
C
.
und dann sind die Operationen in Mat(m, n) dieselB
C
.
B
C
.
B
C
ben
wie in Knm
B
C
a
m1
B a C
C
B
12 C
B
B
C
Standard-Basis in Mat(m, n): Die Matrizen Bij , de.
B
C
.
B
C
.
B
C
ren (i, j)-Element gleich 1 ist, und die anderen sind
B
C
am2 C
B
B
C
B
C
gleich
.
B
C
0.
.
B
C
.
B
C
Bsp: 00 10 00 = B12 ∈ Mat(2, 3),
B
C
B
C
B
a1n C
B
C
B
C
B
... C
A
amn
Vektorraum von Matrizen
Bezeichnung Die Menge der (m × n) Matrizen (über K) werden wir mit
Mat(m, n, K) bezeichnen.
Aussage Mat(m, n, K)mit eben definierter Addition und Multiplikation
mit Skalaren ist ein K-Vektorraum der
m × n.1
0 Dimension
a11
a12
...
a1n
B
C
.
.
.
C
Tatsächlich, wir können eine Matrix B
.
.
..
A mit dem
.
.
am1
am2
...
amn
folgenden Element aus Knm identifizieren:
0 a11 1
B
C
.
und dann sind die Operationen in Mat(m, n) dieselB
C
.
B
C
.
B
C
ben
wie in Knm
B
C
a
m1
B a C
C
B
12 C
B
B
C
Standard-Basis in Mat(m, n): Die Matrizen Bij , de.
B
C
.
B
C
.
B
C
ren (i, j)-Element gleich 1 ist, und die anderen sind
B
C
am2 C
B
B
C
B
C
gleich
.
B
C
0.
.
B
C
.
B
C
Bsp: 00 10 00 = B12 ∈ Mat(2, 3),
B
C
B
C
0
1
B
a1n C
0
0
B
C
B
C
0 0 A
B
... C
A
1
0
amn
Vektorraum von Matrizen
Bezeichnung Die Menge der (m × n) Matrizen (über K) werden wir mit
Mat(m, n, K) bezeichnen.
Aussage Mat(m, n, K)mit eben definierter Addition und Multiplikation
mit Skalaren ist ein K-Vektorraum der
m × n.1
0 Dimension
a11
a12
...
a1n
B
C
.
.
.
C
Tatsächlich, wir können eine Matrix B
.
.
..
A mit dem
.
.
am1
am2
...
amn
folgenden Element aus Knm identifizieren:
0 a11 1
B
C
.
und dann sind die Operationen in Mat(m, n) dieselB
C
.
B
C
.
B
C
ben
wie in Knm
B
C
a
m1
B a C
C
B
12 C
B
B
C
Standard-Basis in Mat(m, n): Die Matrizen Bij , de.
B
C
.
B
C
.
B
C
ren (i, j)-Element gleich 1 ist, und die anderen sind
B
C
am2 C
B
B
C
B
C
gleich
.
B
C
0.
.
B
C
.
B
C
Bsp: 00 10 00 = B12 ∈ Mat(2, 3),
B
C
B
C
0
1
B
a1n C
0
0
B
C
B
C
0 0 A = B31
B
... C
A
1
0
amn
Vektorraum von Matrizen
Bezeichnung Die Menge der (m × n) Matrizen (über K) werden wir mit
Mat(m, n, K) bezeichnen.
Aussage Mat(m, n, K)mit eben definierter Addition und Multiplikation
mit Skalaren ist ein K-Vektorraum der
m × n.1
0 Dimension
a11
a12
...
a1n
B
C
.
.
.
C
Tatsächlich, wir können eine Matrix B
.
.
..
A mit dem
.
.
am1
am2
...
amn
folgenden Element aus Knm identifizieren:
0 a11 1
B
C
.
und dann sind die Operationen in Mat(m, n) dieselB
C
.
B
C
.
B
C
ben
wie in Knm
B
C
a
m1
B a C
C
B
12 C
B
B
C
Standard-Basis in Mat(m, n): Die Matrizen Bij , de.
B
C
.
B
C
.
B
C
ren (i, j)-Element gleich 1 ist, und die anderen sind
B
C
am2 C
B
B
C
B
C
gleich
.
B
C
0.
.
B
C
.
B
C
Bsp: 00 10 00 = B12 ∈ Mat(2, 3),
B
C
B
C
0
1
B
a1n C
0
0
B
C
B
C
0 0 A = B31 ∈ Mat(3, 2).
B
... C
A
1
0
amn
Quadratische Matrizen
Quadratische Matrizen
(n × n)-Matrizen heißen quadratische.
Quadratische Matrizen
(n × n)-Matrizen heißen quadratische. Die entsprechende lineare
Abbildungen sind laut Definition 29
Quadratische Matrizen
(n × n)-Matrizen heißen quadratische. Die entsprechende lineare
Abbildungen sind laut Definition 29 Endomorphismen der Kn .
Quadratische Matrizen
(n × n)-Matrizen heißen quadratische. Die entsprechende lineare
Abbildungen sind laut Definition 29 Endomorphismen der Kn .
Das Produkt von (n × n)- Matrizen
Quadratische Matrizen
(n × n)-Matrizen heißen quadratische. Die entsprechende lineare
Abbildungen sind laut Definition 29 Endomorphismen der Kn .
Das Produkt von (n × n)- Matrizen ist auch eine (n × n)- Matrix.
Quadratische Matrizen
(n × n)-Matrizen heißen quadratische. Die entsprechende lineare
Abbildungen sind laut Definition 29 Endomorphismen der Kn .
Das Produkt von (n × n)- Matrizen ist auch eine (n × n)- Matrix.
Definition 33 Eine (n × n) Matrix B heißt
Quadratische Matrizen
(n × n)-Matrizen heißen quadratische. Die entsprechende lineare
Abbildungen sind laut Definition 29 Endomorphismen der Kn .
Das Produkt von (n × n)- Matrizen ist auch eine (n × n)- Matrix.
Definition 33 Eine (n × n) Matrix B heißt die inverse Matrix zur
(n × n)-Matrix A,
Quadratische Matrizen
(n × n)-Matrizen heißen quadratische. Die entsprechende lineare
Abbildungen sind laut Definition 29 Endomorphismen der Kn .
Das Produkt von (n × n)- Matrizen ist auch eine (n × n)- Matrix.
Definition 33 Eine (n × n) Matrix B heißt die inverse Matrix zur
(n × n)-Matrix A, falls BA = Id :=
Quadratische Matrizen
(n × n)-Matrizen heißen quadratische. Die entsprechende lineare
Abbildungen sind laut Definition 29 Endomorphismen der Kn .
Das Produkt von (n × n)- Matrizen ist auch eine (n × n)- Matrix.
Definition 33 Eine (n × n) Matrix B
0 heißt die inverse
1 Matrix zur
B
B
(n × n)-Matrix A, falls BA = Id := B
B
1
0
.
.
.
0
0
1
.
.
.
0
...
...
..
.
...
0
0
.
.
.
1
C
C
C
.
C
A
Quadratische Matrizen
(n × n)-Matrizen heißen quadratische. Die entsprechende lineare
Abbildungen sind laut Definition 29 Endomorphismen der Kn .
Das Produkt von (n × n)- Matrizen ist auch eine (n × n)- Matrix.
Definition 33 Eine (n × n) Matrix B
0 heißt die inverse
1 Matrix zur
B
B
(n × n)-Matrix A, falls BA = Id := B
B
Frage
1
0
.
.
.
0
0
1
.
.
.
0
...
...
..
.
...
0
0
.
.
.
1
C
C
C
.
C
A
Quadratische Matrizen
(n × n)-Matrizen heißen quadratische. Die entsprechende lineare
Abbildungen sind laut Definition 29 Endomorphismen der Kn .
Das Produkt von (n × n)- Matrizen ist auch eine (n × n)- Matrix.
Definition 33 Eine (n × n) Matrix B
0 heißt die inverse
1 Matrix zur
B
B
(n × n)-Matrix A, falls BA = Id := B
B
1
0
.
.
.
0
0
1
.
.
.
0
Frage Hat jede (n × n) Matrix eine inverse?
...
...
..
.
...
0
0
.
.
.
1
C
C
C
.
C
A
Quadratische Matrizen
(n × n)-Matrizen heißen quadratische. Die entsprechende lineare
Abbildungen sind laut Definition 29 Endomorphismen der Kn .
Das Produkt von (n × n)- Matrizen ist auch eine (n × n)- Matrix.
Definition 33 Eine (n × n) Matrix B
0 heißt die inverse
1 Matrix zur
B
B
(n × n)-Matrix A, falls BA = Id := B
B
1
0
.
.
.
0
0
1
.
.
.
0
Frage Hat jede (n × n) Matrix eine inverse?
Nein!
...
...
..
.
...
0
0
.
.
.
1
C
C
C
.
C
A
Quadratische Matrizen
(n × n)-Matrizen heißen quadratische. Die entsprechende lineare
Abbildungen sind laut Definition 29 Endomorphismen der Kn .
Das Produkt von (n × n)- Matrizen ist auch eine (n × n)- Matrix.
Definition 33 Eine (n × n) Matrix B
0 heißt die inverse
1 Matrix zur
B
B
(n × n)-Matrix A, falls BA = Id := B
B
1
0
.
.
.
0
0
1
.
.
.
0
Frage Hat jede (n × n) Matrix eine inverse?
Nein! Die 0-Matrix
...
...
..
.
...
0
0
.
.
.
1
C
C
C
.
C
A
Quadratische Matrizen
(n × n)-Matrizen heißen quadratische. Die entsprechende lineare
Abbildungen sind laut Definition 29 Endomorphismen der Kn .
Das Produkt von (n × n)- Matrizen ist auch eine (n × n)- Matrix.
Definition 33 Eine (n × n) Matrix B
0 heißt die inverse
1 Matrix zur
B
B
(n × n)-Matrix A, falls BA = Id := B
B
1
0
.
.
.
0
0
1
.
.
.
0
Frage Hat jede (n ×0n) Matrix eine1inverse?
0
0
...
0
B
0
0
...
0 C
B
C
B
Nein! Die 0-Matrix B .. .. . . .. C
C
. .
.
. A
0
0
...
0
...
...
..
.
...
0
0
.
.
.
1
C
C
C
.
C
A
Quadratische Matrizen
(n × n)-Matrizen heißen quadratische. Die entsprechende lineare
Abbildungen sind laut Definition 29 Endomorphismen der Kn .
Das Produkt von (n × n)- Matrizen ist auch eine (n × n)- Matrix.
Definition 33 Eine (n × n) Matrix B
0 heißt die inverse
1 Matrix zur
B
B
(n × n)-Matrix A, falls BA = Id := B
B
1
0
.
.
.
0
0
1
.
.
.
0
...
...
..
.
...
0
0
.
.
.
1
C
C
C
.
C
A
Frage Hat jede (n ×0n) Matrix eine1inverse?
0
0
...
0
B
0
0
...
0 C
B
C
B
Nein! Die 0-Matrix B .. .. . . .. C
C hat keine inverse Matrix.
. .
.
. A
0
0
...
0
Quadratische Matrizen
(n × n)-Matrizen heißen quadratische. Die entsprechende lineare
Abbildungen sind laut Definition 29 Endomorphismen der Kn .
Das Produkt von (n × n)- Matrizen ist auch eine (n × n)- Matrix.
Definition 33 Eine (n × n) Matrix B
0 heißt die inverse
1 Matrix zur
B
B
(n × n)-Matrix A, falls BA = Id := B
B
1
0
.
.
.
0
0
1
.
.
.
0
...
...
..
.
...
0
0
.
.
.
1
C
C
C
.
C
A
Frage Hat jede (n ×0n) Matrix eine1inverse?
0
0
...
0
B
0
0
...
0 C
B
C
B
Nein! Die 0-Matrix B .. .. . . .. C
C hat keine inverse Matrix.
. .
.
. A
0
Satz 34
0
...
0
Quadratische Matrizen
(n × n)-Matrizen heißen quadratische. Die entsprechende lineare
Abbildungen sind laut Definition 29 Endomorphismen der Kn .
Das Produkt von (n × n)- Matrizen ist auch eine (n × n)- Matrix.
Definition 33 Eine (n × n) Matrix B
0 heißt die inverse
1 Matrix zur
B
B
(n × n)-Matrix A, falls BA = Id := B
B
1
0
.
.
.
0
0
1
.
.
.
0
...
...
..
.
...
0
0
.
.
.
1
C
C
C
.
C
A
Frage Hat jede (n ×0n) Matrix eine1inverse?
0
0
...
0
B
0
0
...
0 C
B
C
B
Nein! Die 0-Matrix B .. .. . . .. C
C hat keine inverse Matrix.
. .
.
. A
0
0
...
0
Satz 34 Sei A eine (n × n) - Matrix.
Quadratische Matrizen
(n × n)-Matrizen heißen quadratische. Die entsprechende lineare
Abbildungen sind laut Definition 29 Endomorphismen der Kn .
Das Produkt von (n × n)- Matrizen ist auch eine (n × n)- Matrix.
Definition 33 Eine (n × n) Matrix B
0 heißt die inverse
1 Matrix zur
B
B
(n × n)-Matrix A, falls BA = Id := B
B
1
0
.
.
.
0
0
1
.
.
.
0
...
...
..
.
...
0
0
.
.
.
1
C
C
C
.
C
A
Frage Hat jede (n ×0n) Matrix eine1inverse?
0
0
...
0
B
0
0
...
0 C
B
C
B
Nein! Die 0-Matrix B .. .. . . .. C
C hat keine inverse Matrix.
. .
.
. A
0
0
...
0
Satz 34 Sei A eine (n × n) - Matrix. Dann sind die folgende Aussagen
äquivalent:
Quadratische Matrizen
(n × n)-Matrizen heißen quadratische. Die entsprechende lineare
Abbildungen sind laut Definition 29 Endomorphismen der Kn .
Das Produkt von (n × n)- Matrizen ist auch eine (n × n)- Matrix.
Definition 33 Eine (n × n) Matrix B
0 heißt die inverse
1 Matrix zur
B
B
(n × n)-Matrix A, falls BA = Id := B
B
1
0
.
.
.
0
0
1
.
.
.
0
...
...
..
.
...
0
0
.
.
.
1
C
C
C
.
C
A
Frage Hat jede (n ×0n) Matrix eine1inverse?
0
0
...
0
B
0
0
...
0 C
B
C
B
Nein! Die 0-Matrix B .. .. . . .. C
C hat keine inverse Matrix.
. .
.
. A
0
0
...
0
Satz 34 Sei A eine (n × n) - Matrix. Dann sind die folgende Aussagen
äquivalent:
(a) A hat eine inverse Matrix.
Quadratische Matrizen
(n × n)-Matrizen heißen quadratische. Die entsprechende lineare
Abbildungen sind laut Definition 29 Endomorphismen der Kn .
Das Produkt von (n × n)- Matrizen ist auch eine (n × n)- Matrix.
Definition 33 Eine (n × n) Matrix B
0 heißt die inverse
1 Matrix zur
B
B
(n × n)-Matrix A, falls BA = Id := B
B
1
0
.
.
.
0
0
1
.
.
.
0
...
...
..
.
...
0
0
.
.
.
1
C
C
C
.
C
A
Frage Hat jede (n ×0n) Matrix eine1inverse?
0
0
...
0
B
0
0
...
0 C
B
C
B
Nein! Die 0-Matrix B .. .. . . .. C
C hat keine inverse Matrix.
. .
.
. A
0
0
...
0
Satz 34 Sei A eine (n × n) - Matrix. Dann sind die folgende Aussagen
äquivalent:
(a) A hat eine inverse Matrix.
(b) Die Multiplikation mit der Matrix A ist ein Isomorphismus.
Quadratische Matrizen
(n × n)-Matrizen heißen quadratische. Die entsprechende lineare
Abbildungen sind laut Definition 29 Endomorphismen der Kn .
Das Produkt von (n × n)- Matrizen ist auch eine (n × n)- Matrix.
Definition 33 Eine (n × n) Matrix B
0 heißt die inverse
1 Matrix zur
B
B
(n × n)-Matrix A, falls BA = Id := B
B
1
0
.
.
.
0
0
1
.
.
.
0
...
...
..
.
...
0
0
.
.
.
1
C
C
C
.
C
A
Frage Hat jede (n ×0n) Matrix eine1inverse?
0
0
...
0
B
0
0
...
0 C
B
C
B
Nein! Die 0-Matrix B .. .. . . .. C
C hat keine inverse Matrix.
. .
.
. A
0
0
...
0
Satz 34 Sei A eine (n × n) - Matrix. Dann sind die folgende Aussagen
äquivalent:
(a) A hat eine inverse Matrix.
(b) Die Multiplikation mit der Matrix A ist ein Isomorphismus.
(c) Die Spalten von A sind linear unabhängig.
Quadratische Matrizen
(n × n)-Matrizen heißen quadratische. Die entsprechende lineare
Abbildungen sind laut Definition 29 Endomorphismen der Kn .
Das Produkt von (n × n)- Matrizen ist auch eine (n × n)- Matrix.
Definition 33 Eine (n × n) Matrix B
0 heißt die inverse
1 Matrix zur
B
B
(n × n)-Matrix A, falls BA = Id := B
B
1
0
.
.
.
0
0
1
.
.
.
0
...
...
..
.
...
0
0
.
.
.
1
C
C
C
.
C
A
Frage Hat jede (n ×0n) Matrix eine1inverse?
0
0
...
0
B
0
0
...
0 C
B
C
B
Nein! Die 0-Matrix B .. .. . . .. C
C hat keine inverse Matrix.
. .
.
. A
0
0
...
0
Satz 34 Sei A eine (n × n) - Matrix. Dann sind die folgende Aussagen
äquivalent:
(a) A hat eine inverse Matrix.
(b) Die Multiplikation mit der Matrix A ist ein Isomorphismus.
(c) Die Spalten von A sind linear unabhängig.
Wied. — Folgerung aus 1. Dimensionsformel Sei f : V → V
ein Endomorphismus, dim(V ) = n < ∞. Dann gilt:
f ist injektiv ⇐⇒ f ist surjektiv.
Wied. — Folgerung aus 1. Dimensionsformel Sei f : V → V
ein Endomorphismus, dim(V ) = n < ∞. Dann gilt:
f ist injektiv ⇐⇒ f ist surjektiv.
Beweis
Wied. — Folgerung aus 1. Dimensionsformel Sei f : V → V
ein Endomorphismus, dim(V ) = n < ∞. Dann gilt:
f ist injektiv ⇐⇒ f ist surjektiv.
Beweis (a) =⇒ (b).
Wied. — Folgerung aus 1. Dimensionsformel Sei f : V → V
ein Endomorphismus, dim(V ) = n < ∞. Dann gilt:
f ist injektiv ⇐⇒ f ist surjektiv.
Beweis (a) =⇒ (b).
Angennomen es gibt B mit BA = Id.
Wied. — Folgerung aus 1. Dimensionsformel Sei f : V → V
ein Endomorphismus, dim(V ) = n < ∞. Dann gilt:
f ist injektiv ⇐⇒ f ist surjektiv.
Beweis (a) =⇒ (b).
Angennomen es gibt B mit BA = Id. Z.z.: fA injektiv
Wied. — Folgerung aus 1. Dimensionsformel Sei f : V → V
ein Endomorphismus, dim(V ) = n < ∞. Dann gilt:
f ist injektiv ⇐⇒ f ist surjektiv.
Beweis (a) =⇒ (b).
Angennomen es gibt B mit BA = Id. Z.z.: fA injektiv (nach
Folgerung oben auch surjektiv, also bijektiv)
Wied. — Folgerung aus 1. Dimensionsformel Sei f : V → V
ein Endomorphismus, dim(V ) = n < ∞. Dann gilt:
f ist injektiv ⇐⇒ f ist surjektiv.
Beweis (a) =⇒ (b).
Angennomen es gibt B mit BA = Id. Z.z.: fA injektiv (nach
Folgerung oben auch surjektiv, also bijektiv)
Sei Av1 = Av2 . Z.z.: v1 = v2 .
Wied. — Folgerung aus 1. Dimensionsformel Sei f : V → V
ein Endomorphismus, dim(V ) = n < ∞. Dann gilt:
f ist injektiv ⇐⇒ f ist surjektiv.
Beweis (a) =⇒ (b).
Angennomen es gibt B mit BA = Id. Z.z.: fA injektiv (nach
Folgerung oben auch surjektiv, also bijektiv)
Sei Av1 = Av2 . Z.z.: v1 = v2 . Muptiplizeiren mit B:
Wied. — Folgerung aus 1. Dimensionsformel Sei f : V → V
ein Endomorphismus, dim(V ) = n < ∞. Dann gilt:
f ist injektiv ⇐⇒ f ist surjektiv.
Beweis (a) =⇒ (b).
Angennomen es gibt B mit BA = Id. Z.z.: fA injektiv (nach
Folgerung oben auch surjektiv, also bijektiv)
Sei Av1 = Av2 . Z.z.: v1 = v2 . Muptiplizeiren mit B:
BAv1 = BAv2 .
Wied. — Folgerung aus 1. Dimensionsformel Sei f : V → V
ein Endomorphismus, dim(V ) = n < ∞. Dann gilt:
f ist injektiv ⇐⇒ f ist surjektiv.
Beweis (a) =⇒ (b).
Angennomen es gibt B mit BA = Id. Z.z.: fA injektiv (nach
Folgerung oben auch surjektiv, also bijektiv)
Sei Av1 = Av2 . Z.z.: v1 = v2 . Muptiplizeiren mit B:
BAv1 = BAv2 . Da BA = Id und
Wied. — Folgerung aus 1. Dimensionsformel Sei f : V → V
ein Endomorphismus, dim(V ) = n < ∞. Dann gilt:
f ist injektiv ⇐⇒ f ist surjektiv.
Beweis (a) =⇒ (b).
Angennomen es gibt B mit BA = Id. Z.z.: fA injektiv (nach
Folgerung oben auch surjektiv, also bijektiv)
Sei Av1 = Av2 . Z.z.: v1 = v2 . Muptiplizeiren mit B:
BAv1 = BAv2 . Da BA = Id und Id v = v , gilt v1 = v2 .
Wied. — Folgerung aus 1. Dimensionsformel Sei f : V → V
ein Endomorphismus, dim(V ) = n < ∞. Dann gilt:
f ist injektiv ⇐⇒ f ist surjektiv.
Beweis (a) =⇒ (b).
Angennomen es gibt B mit BA = Id. Z.z.: fA injektiv (nach
Folgerung oben auch surjektiv, also bijektiv)
Sei Av1 = Av2 . Z.z.: v1 = v2 . Muptiplizeiren mit B:
BAv1 = BAv2 . Da BA = Id und Id v = v , gilt v1 = v2 . Also, fA ist
injektiv.
Beweis (b) =⇒ (c).
Beweis (b) =⇒ (c). Angenommen, fA ist ein Isomorphismus.
Beweis (b) =⇒ (c). Angenommen, fA ist ein Isomorphismus. Z.z.: Die
Spalten von A sind linear unabhängig.
Beweis (b) =⇒ (c). Angenommen, fA ist ein Isomorphismus. Z.z.: Die
Spalten von A sind linear unabhängig.
Die Vektoren u1 , ..., un seien die Spalten von A,
Beweis (b) =⇒ (c). Angenommen, fA ist ein Isomorphismus. Z.z.: Die
Spalten von A sind linear unabhängig.
Die
0 Vektoren u1 , ...,
1 un seien die Spalten von A, die Matrix sei also
B
B
B
B
u11
u12
.
.
.
u1n
u21
u22
.
.
.
u2n
...
...
...
un1
un2
.
.
.
unn
C
C
C
C
A
Beweis (b) =⇒ (c). Angenommen, fA ist ein Isomorphismus. Z.z.: Die
Spalten von A sind linear unabhängig.
Die
0 Vektoren u1 , ...,
1 un seien die Spalten von A, die Matrix sei also
B
B
B
B
u11
u12
.
.
.
u1n
u21
u22
.
.
.
u2n
...
...
...
un1
un2
.
.
.
unn
C
C
C
Dann ist die Linearkombination
C
A
λ1 u1 + λ2 u2 + ... + λn un
Beweis (b) =⇒ (c). Angenommen, fA ist ein Isomorphismus. Z.z.: Die
Spalten von A sind linear unabhängig.
Die
0 Vektoren u1 , ...,
1 un seien die Spalten von A, die Matrix sei also
B
B
B
B
u11
u12
.
.
.
u1n
u21
u22
.
.
.
u2n
...
...
un1
un2
.
.
.
unn
C
C
C
Dann ist die Linearkombination
C
A
0
B
B
λ1 u1 + λ2 u2 + ... + λn un = B
B
...
u11
u12
.
.
.
u1n
u21
u22
.
.
.
u2n
...
...
...
un1
un2
.
.
.
unn
10
C
B
CB
B
C
C
AB
λ1
λ2
.
.
.
λn
1
C
C
C
C
A
(∗)
Beweis (b) =⇒ (c). Angenommen, fA ist ein Isomorphismus. Z.z.: Die
Spalten von A sind linear unabhängig.
Die
0 Vektoren u1 , ...,
1 un seien die Spalten von A, die Matrix sei also
B
B
B
B
u11
u12
.
.
.
u1n
u21
u22
.
.
.
u2n
...
...
un1
un2
.
.
.
unn
C
C
C
Dann ist die Linearkombination
C
A
0
B
B
λ1 u1 + λ2 u2 + ... + λn un = B
B
...
Da fA ein Isomorphismus ist,
u11
u12
.
.
.
u1n
u21
u22
.
.
.
u2n
...
...
...
un1
un2
.
.
.
unn
10
C
B
CB
B
C
C
AB
λ1
λ2
.
.
.
λn
1
C
C
C
C
A
(∗)
Beweis (b) =⇒ (c). Angenommen, fA ist ein Isomorphismus. Z.z.: Die
Spalten von A sind linear unabhängig.
Die
0 Vektoren u1 , ...,
1 un seien die Spalten von A, die Matrix sei also
B
B
B
B
u11
u12
.
.
.
u1n
u21
u22
.
.
.
u2n
...
...
un1
un2
.
.
.
unn
C
C
C
Dann ist die Linearkombination
C
A
0
B
B
λ1 u1 + λ2 u2 + ... + λn un = B
B
...
u11
u12
.
.
.
u1n
u21
u22
.
.
.
u2n
...
...
...
un1
un2
.
.
.
unn
10
C
B
CB
B
C
C
AB
λ1
λ2
.
.
.
λn
1
C
C
C
C
A
Da fA 1ein0Isomorphismus
ist, ist KernfA = {~0}. Dann aus (∗) folgt
0
1
λ1
0
B
B . C
. C
B
. C
A=B
. C
A
.
λn
.
0
(∗)
Beweis (b) =⇒ (c). Angenommen, fA ist ein Isomorphismus. Z.z.: Die
Spalten von A sind linear unabhängig.
Die
0 Vektoren u1 , ...,
1 un seien die Spalten von A, die Matrix sei also
B
B
B
B
u11
u12
.
.
.
u1n
u21
u22
.
.
.
u2n
...
...
un1
un2
.
.
.
unn
C
C
C
Dann ist die Linearkombination
C
A
0
B
B
λ1 u1 + λ2 u2 + ... + λn un = B
B
...
u11
u12
.
.
.
u1n
u21
u22
.
.
.
u2n
...
...
...
un1
un2
.
.
.
unn
10
C
B
CB
B
C
C
AB
λ1
λ2
.
.
.
λn
1
C
C
C
C
A
Da fA 1ein0Isomorphismus
ist, ist KernfA = {~0}. Dann aus (∗) folgt
0
1
λ1
0
B
B . C
. C
B
. C
A=B
. C
A
.
λn
.
0
(∗)
Beweis (b) =⇒ (c). Angenommen, fA ist ein Isomorphismus. Z.z.: Die
Spalten von A sind linear unabhängig.
Die
0 Vektoren u1 , ...,
1 un seien die Spalten von A, die Matrix sei also
B
B
B
B
u11
u12
.
.
.
u1n
u21
u22
.
.
.
u2n
...
...
un1
un2
.
.
.
unn
C
C
C
Dann ist die Linearkombination
C
A
0
B
B
λ1 u1 + λ2 u2 + ... + λn un = B
B
...
u11
u12
.
.
.
u1n
u21
u22
.
.
.
u2n
...
...
...
un1
un2
.
.
.
unn
10
C
B
CB
B
C
C
AB
λ1
λ2
.
.
.
λn
1
C
C
C
C
A
Da fA 1ein0Isomorphismus
ist, ist KernfA = {~0}. Dann aus (∗) folgt
0
1
λ1
0
B
B . C
. C
B
. C
A=B
. C
A
.
λn
.
0
(c) =⇒ (a).
(∗)
Beweis (b) =⇒ (c). Angenommen, fA ist ein Isomorphismus. Z.z.: Die
Spalten von A sind linear unabhängig.
Die
0 Vektoren u1 , ...,
1 un seien die Spalten von A, die Matrix sei also
B
B
B
B
u11
u12
.
.
.
u1n
u21
u22
.
.
.
u2n
...
...
un1
un2
.
.
.
unn
C
C
C
Dann ist die Linearkombination
C
A
0
B
B
λ1 u1 + λ2 u2 + ... + λn un = B
B
...
u11
u12
.
.
.
u1n
u21
u22
.
.
.
u2n
...
...
...
un1
un2
.
.
.
unn
10
C
B
CB
B
C
C
AB
λ1
λ2
.
.
.
λn
1
C
C
C
C
A
(∗)
Da fA 1ein0Isomorphismus
ist, ist KernfA = {~0}. Dann aus (∗) folgt
0
1
λ1
0
B
B . C
. C
B
. C
A=B
. C
A
.
λn
.
0
(c) =⇒ (a). Die Spalten von A bezeichnen wir mit u1 , ..., un . Sei
{u1 , ..., un } linear unabhängig. Dann ist (u1 , ..., un ) eine Basis (Folgerung
(a) aus dem Austauschsatz). Betrachte die lineare Abbildung f , die
u1 7→ e1 , u2 7→ e2 ,..., un 7→ en
Beweis (b) =⇒ (c). Angenommen, fA ist ein Isomorphismus. Z.z.: Die
Spalten von A sind linear unabhängig.
Die
0 Vektoren u1 , ...,
1 un seien die Spalten von A, die Matrix sei also
B
B
B
B
u11
u12
.
.
.
u1n
u21
u22
.
.
.
u2n
...
...
un1
un2
.
.
.
unn
C
C
C
Dann ist die Linearkombination
C
A
0
B
B
λ1 u1 + λ2 u2 + ... + λn un = B
B
...
u11
u12
.
.
.
u1n
u21
u22
.
.
.
u2n
...
...
...
un1
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.
.
.
unn
10
C
B
CB
B
C
C
AB
λ1
λ2
.
.
.
λn
1
C
C
C
C
A
(∗)
Da fA 1ein0Isomorphismus
ist, ist KernfA = {~0}. Dann aus (∗) folgt
0
1
λ1
0
B
B . C
. C
B
. C
A=B
. C
A
.
λn
.
0
(c) =⇒ (a). Die Spalten von A bezeichnen wir mit u1 , ..., un . Sei
{u1 , ..., un } linear unabhängig. Dann ist (u1 , ..., un ) eine Basis (Folgerung
(a) aus dem Austauschsatz). Betrachte die lineare Abbildung f , die
u1 7→ e1 , u2 7→ e2 ,..., un 7→ en (Existenz: Satz 30).
Beweis (b) =⇒ (c). Angenommen, fA ist ein Isomorphismus. Z.z.: Die
Spalten von A sind linear unabhängig.
Die
0 Vektoren u1 , ...,
1 un seien die Spalten von A, die Matrix sei also
B
B
B
B
u11
u12
.
.
.
u1n
u21
u22
.
.
.
u2n
...
...
un1
un2
.
.
.
unn
C
C
C
Dann ist die Linearkombination
C
A
0
B
B
λ1 u1 + λ2 u2 + ... + λn un = B
B
...
u11
u12
.
.
.
u1n
u21
u22
.
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u2n
...
...
...
un1
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.
.
.
unn
10
C
B
CB
B
C
C
AB
λ1
λ2
.
.
.
λn
1
C
C
C
C
A
(∗)
Da fA 1ein0Isomorphismus
ist, ist KernfA = {~0}. Dann aus (∗) folgt
0
1
λ1
0
B
B . C
. C
B
. C
A=B
. C
A
.
λn
.
0
(c) =⇒ (a). Die Spalten von A bezeichnen wir mit u1 , ..., un . Sei
{u1 , ..., un } linear unabhängig. Dann ist (u1 , ..., un ) eine Basis (Folgerung
(a) aus dem Austauschsatz). Betrachte die lineare Abbildung f , die
u1 7→ e1 , u2 7→ e2 ,..., un 7→ en (Existenz: Satz 30). Wir zeigen:
f ◦ fA = Id.
Beweis (b) =⇒ (c). Angenommen, fA ist ein Isomorphismus. Z.z.: Die
Spalten von A sind linear unabhängig.
Die
0 Vektoren u1 , ...,
1 un seien die Spalten von A, die Matrix sei also
B
B
B
B
u11
u12
.
.
.
u1n
u21
u22
.
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u2n
...
...
un1
un2
.
.
.
unn
C
C
C
Dann ist die Linearkombination
C
A
0
B
B
λ1 u1 + λ2 u2 + ... + λn un = B
B
...
u11
u12
.
.
.
u1n
u21
u22
.
.
.
u2n
...
...
...
un1
un2
.
.
.
unn
10
C
B
CB
B
C
C
AB
λ1
λ2
.
.
.
λn
1
C
C
C
C
A
(∗)
Da fA 1ein0Isomorphismus
ist, ist KernfA = {~0}. Dann aus (∗) folgt
0
1
λ1
0
B
B . C
. C
B
. C
A=B
. C
A
.
λn
.
0
(c) =⇒ (a). Die Spalten von A bezeichnen wir mit u1 , ..., un . Sei
{u1 , ..., un } linear unabhängig. Dann ist (u1 , ..., un ) eine Basis (Folgerung
(a) aus dem Austauschsatz). Betrachte die lineare Abbildung f , die
u1 7→ e1 , u2 7→ e2 ,..., un 7→ en (Existenz: Satz 30). Wir zeigen:
f ◦ fA = Id. Tatsächlich,
Beweis (b) =⇒ (c). Angenommen, fA ist ein Isomorphismus. Z.z.: Die
Spalten von A sind linear unabhängig.
Die
0 Vektoren u1 , ...,
1 un seien die Spalten von A, die Matrix sei also
B
B
B
B
u11
u12
.
.
.
u1n
u21
u22
.
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...
...
un1
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.
.
.
unn
C
C
C
Dann ist die Linearkombination
C
A
0
B
B
λ1 u1 + λ2 u2 + ... + λn un = B
B
...
u11
u12
.
.
.
u1n
u21
u22
.
.
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...
...
...
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.
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unn
10
C
B
CB
B
C
C
AB
λ1
λ2
.
.
.
λn
1
C
C
C
C
A
(∗)
Da fA 1ein0Isomorphismus
ist, ist KernfA = {~0}. Dann aus (∗) folgt
0
1
λ1
0
B
B . C
. C
B
. C
A=B
. C
A
.
λn
.
0
(c) =⇒ (a). Die Spalten von A bezeichnen wir mit u1 , ..., un . Sei
{u1 , ..., un } linear unabhängig. Dann ist (u1 , ..., un ) eine Basis (Folgerung
(a) aus dem Austauschsatz). Betrachte die lineare Abbildung f , die
u1 7→ e1 , u2 7→ e2 ,..., un 7→ en (Existenz: Satz 30). Wir zeigen:
f
f
A
f ◦ fA = Id. Tatsächlich, ei 7→
ui 7→ ei .
Beweis (b) =⇒ (c). Angenommen, fA ist ein Isomorphismus. Z.z.: Die
Spalten von A sind linear unabhängig.
Die
0 Vektoren u1 , ...,
1 un seien die Spalten von A, die Matrix sei also
B
B
B
B
u11
u12
.
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u1n
u21
u22
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...
...
un1
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.
.
.
unn
C
C
C
Dann ist die Linearkombination
C
A
0
B
B
λ1 u1 + λ2 u2 + ... + λn un = B
B
...
u11
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.
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u1n
u21
u22
.
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...
...
...
un1
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.
.
unn
10
C
B
CB
B
C
C
AB
λ1
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.
.
.
λn
1
C
C
C
C
A
(∗)
Da fA 1ein0Isomorphismus
ist, ist KernfA = {~0}. Dann aus (∗) folgt
0
1
λ1
0
B
B . C
. C
B
. C
A=B
. C
A
.
λn
.
0
(c) =⇒ (a). Die Spalten von A bezeichnen wir mit u1 , ..., un . Sei
{u1 , ..., un } linear unabhängig. Dann ist (u1 , ..., un ) eine Basis (Folgerung
(a) aus dem Austauschsatz). Betrachte die lineare Abbildung f , die
u1 7→ e1 , u2 7→ e2 ,..., un 7→ en (Existenz: Satz 30). Wir zeigen:
f
f
A
f ◦ fA = Id. Tatsächlich, ei 7→
ui 7→ ei . Also, f ◦ fA (ei ) = ei
Beweis (b) =⇒ (c). Angenommen, fA ist ein Isomorphismus. Z.z.: Die
Spalten von A sind linear unabhängig.
Die
0 Vektoren u1 , ...,
1 un seien die Spalten von A, die Matrix sei also
B
B
B
B
u11
u12
.
.
.
u1n
u21
u22
.
.
.
u2n
...
...
un1
un2
.
.
.
unn
C
C
C
Dann ist die Linearkombination
C
A
0
B
B
λ1 u1 + λ2 u2 + ... + λn un = B
B
...
u11
u12
.
.
.
u1n
u21
u22
.
.
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...
...
...
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.
.
.
unn
10
C
B
CB
B
C
C
AB
λ1
λ2
.
.
.
λn
1
C
C
C
C
A
(∗)
Da fA 1ein0Isomorphismus
ist, ist KernfA = {~0}. Dann aus (∗) folgt
0
1
λ1
0
B
B . C
. C
B
. C
A=B
. C
A
.
λn
.
0
(c) =⇒ (a). Die Spalten von A bezeichnen wir mit u1 , ..., un . Sei
{u1 , ..., un } linear unabhängig. Dann ist (u1 , ..., un ) eine Basis (Folgerung
(a) aus dem Austauschsatz). Betrachte die lineare Abbildung f , die
u1 7→ e1 , u2 7→ e2 ,..., un 7→ en (Existenz: Satz 30). Wir zeigen:
f
f
A
f ◦ fA = Id. Tatsächlich, ei 7→
ui 7→ ei . Also, f ◦ fA (ei ) = ei = Id(ei ).
Beweis (b) =⇒ (c). Angenommen, fA ist ein Isomorphismus. Z.z.: Die
Spalten von A sind linear unabhängig.
Die
0 Vektoren u1 , ...,
1 un seien die Spalten von A, die Matrix sei also
B
B
B
B
u11
u12
.
.
.
u1n
u21
u22
.
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u2n
...
...
un1
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.
.
unn
C
C
C
Dann ist die Linearkombination
C
A
0
B
B
λ1 u1 + λ2 u2 + ... + λn un = B
B
...
u11
u12
.
.
.
u1n
u21
u22
.
.
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u2n
...
...
...
un1
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.
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.
unn
10
C
B
CB
B
C
C
AB
λ1
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.
.
.
λn
1
C
C
C
C
A
(∗)
Da fA 1ein0Isomorphismus
ist, ist KernfA = {~0}. Dann aus (∗) folgt
0
1
λ1
0
B
B . C
. C
B
. C
A=B
. C
A
.
λn
.
0
(c) =⇒ (a). Die Spalten von A bezeichnen wir mit u1 , ..., un . Sei
{u1 , ..., un } linear unabhängig. Dann ist (u1 , ..., un ) eine Basis (Folgerung
(a) aus dem Austauschsatz). Betrachte die lineare Abbildung f , die
u1 7→ e1 , u2 7→ e2 ,..., un 7→ en (Existenz: Satz 30). Wir zeigen:
f
f
A
f ◦ fA = Id. Tatsächlich, ei 7→
ui 7→ ei . Also, f ◦ fA (ei ) = ei = Id(ei ).
Aber es gibt genau eine Abbildung (Satz 30),
Beweis (b) =⇒ (c). Angenommen, fA ist ein Isomorphismus. Z.z.: Die
Spalten von A sind linear unabhängig.
Die
0 Vektoren u1 , ...,
1 un seien die Spalten von A, die Matrix sei also
B
B
B
B
u11
u12
.
.
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u1n
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.
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...
...
un1
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.
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.
unn
C
C
C
Dann ist die Linearkombination
C
A
0
B
B
λ1 u1 + λ2 u2 + ... + λn un = B
B
...
u11
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.
.
.
u1n
u21
u22
.
.
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...
...
...
un1
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.
unn
10
C
B
CB
B
C
C
AB
λ1
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.
.
.
λn
1
C
C
C
C
A
(∗)
Da fA 1ein0Isomorphismus
ist, ist KernfA = {~0}. Dann aus (∗) folgt
0
1
λ1
0
B
B . C
. C
B
. C
A=B
. C
A
.
λn
.
0
(c) =⇒ (a). Die Spalten von A bezeichnen wir mit u1 , ..., un . Sei
{u1 , ..., un } linear unabhängig. Dann ist (u1 , ..., un ) eine Basis (Folgerung
(a) aus dem Austauschsatz). Betrachte die lineare Abbildung f , die
u1 7→ e1 , u2 7→ e2 ,..., un 7→ en (Existenz: Satz 30). Wir zeigen:
f
f
A
f ◦ fA = Id. Tatsächlich, ei 7→
ui 7→ ei . Also, f ◦ fA (ei ) = ei = Id(ei ).
Aber es gibt genau eine Abbildung (Satz 30), die jedes ei auf ei abbildet.
Beweis (b) =⇒ (c). Angenommen, fA ist ein Isomorphismus. Z.z.: Die
Spalten von A sind linear unabhängig.
Die
0 Vektoren u1 , ...,
1 un seien die Spalten von A, die Matrix sei also
B
B
B
B
u11
u12
.
.
.
u1n
u21
u22
.
.
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u2n
...
...
un1
un2
.
.
.
unn
C
C
C
Dann ist die Linearkombination
C
A
0
B
B
λ1 u1 + λ2 u2 + ... + λn un = B
B
...
u11
u12
.
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.
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u21
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...
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10
C
B
CB
B
C
C
AB
λ1
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.
.
.
λn
1
C
C
C
C
A
(∗)
Da fA 1ein0Isomorphismus
ist, ist KernfA = {~0}. Dann aus (∗) folgt
0
1
λ1
0
B
B . C
. C
B
. C
A=B
. C
A
.
λn
.
0
(c) =⇒ (a). Die Spalten von A bezeichnen wir mit u1 , ..., un . Sei
{u1 , ..., un } linear unabhängig. Dann ist (u1 , ..., un ) eine Basis (Folgerung
(a) aus dem Austauschsatz). Betrachte die lineare Abbildung f , die
u1 7→ e1 , u2 7→ e2 ,..., un 7→ en (Existenz: Satz 30). Wir zeigen:
f
f
A
f ◦ fA = Id. Tatsächlich, ei 7→
ui 7→ ei . Also, f ◦ fA (ei ) = ei = Id(ei ).
Aber es gibt genau eine Abbildung (Satz 30), die jedes ei auf ei abbildet.
Also, f ◦ fA = Id.
Beweis (b) =⇒ (c). Angenommen, fA ist ein Isomorphismus. Z.z.: Die
Spalten von A sind linear unabhängig.
Die
0 Vektoren u1 , ...,
1 un seien die Spalten von A, die Matrix sei also
B
B
B
B
u11
u12
.
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u1n
u21
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...
...
un1
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.
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.
unn
C
C
C
Dann ist die Linearkombination
C
A
0
B
B
λ1 u1 + λ2 u2 + ... + λn un = B
B
...
u11
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...
...
...
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C
B
CB
B
C
C
AB
λ1
λ2
.
.
.
λn
1
C
C
C
C
A
(∗)
Da fA 1ein0Isomorphismus
ist, ist KernfA = {~0}. Dann aus (∗) folgt
0
1
λ1
0
B
B . C
. C
B
. C
A=B
. C
A
.
λn
.
0
(c) =⇒ (a). Die Spalten von A bezeichnen wir mit u1 , ..., un . Sei
{u1 , ..., un } linear unabhängig. Dann ist (u1 , ..., un ) eine Basis (Folgerung
(a) aus dem Austauschsatz). Betrachte die lineare Abbildung f , die
u1 7→ e1 , u2 7→ e2 ,..., un 7→ en (Existenz: Satz 30). Wir zeigen:
f
f
A
f ◦ fA = Id. Tatsächlich, ei 7→
ui 7→ ei . Also, f ◦ fA (ei ) = ei = Id(ei ).
Aber es gibt genau eine Abbildung (Satz 30), die jedes ei auf ei abbildet.
Also, f ◦ fA = Id. Sei B die Matrix von f .
Beweis (b) =⇒ (c). Angenommen, fA ist ein Isomorphismus. Z.z.: Die
Spalten von A sind linear unabhängig.
Die
0 Vektoren u1 , ...,
1 un seien die Spalten von A, die Matrix sei also
B
B
B
B
u11
u12
.
.
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u1n
u21
u22
.
.
.
u2n
...
...
un1
un2
.
.
.
unn
C
C
C
Dann ist die Linearkombination
C
A
0
B
B
λ1 u1 + λ2 u2 + ... + λn un = B
B
...
u11
u12
.
.
.
u1n
u21
u22
.
.
.
u2n
...
...
...
un1
un2
.
.
.
unn
10
C
B
CB
B
C
C
AB
λ1
λ2
.
.
.
λn
1
C
C
C
C
A
(∗)
Da fA 1ein0Isomorphismus
ist, ist KernfA = {~0}. Dann aus (∗) folgt
0
1
λ1
0
B
B . C
. C
B
. C
A=B
. C
A
.
λn
.
0
(c) =⇒ (a). Die Spalten von A bezeichnen wir mit u1 , ..., un . Sei
{u1 , ..., un } linear unabhängig. Dann ist (u1 , ..., un ) eine Basis (Folgerung
(a) aus dem Austauschsatz). Betrachte die lineare Abbildung f , die
u1 7→ e1 , u2 7→ e2 ,..., un 7→ en (Existenz: Satz 30). Wir zeigen:
f
f
A
f ◦ fA = Id. Tatsächlich, ei 7→
ui 7→ ei . Also, f ◦ fA (ei ) = ei = Id(ei ).
Aber es gibt genau eine Abbildung (Satz 30), die jedes ei auf ei abbildet.
Also, f ◦ fA = Id. Sei B die Matrix von f . Dann ist BA = Id.