Technische Mechanik I - Statik -

Technische Mechanik I
- Statik -
© Copyright 2007
Prof. Dr.-Ing. J. Wallaschek
Institut für Dynamik und Schwingungen - Leibniz Universität Hannover
http://www.ids.uni-hannover.de
ii
Technische Mechanik I
Impressum:
Diese Sammlung von Arbeitsblattern, Aufgabensammlungen und der Formelsammlung wird
heraugegeben von Prof. Dr.-Ing. J. Wallaschek. Sie entstand unter Verwendung von Materialien
von:
Prof. em. Dr.-Ing. D. Besdo / Institut fur Kontinuumsmechanik,
Prof. Dr.-Ing. B. Heimann / Institut fur Robotik,
PD Dr.-Ing. H.-G. Jacob / Institut fur Kontinuumsmechanik,
Prof. Dr.-Ing. K. Popp / Institut fur Dynamik und Schwingungen.
iii
Technische Mechanik I
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
Einordnung und Gliederung der Technischen Mechanik . . . . . . .
Idealisierende Annahmen und Vereinfachungen . . . . . . . . . . . .
Der Begri einer Kraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
NEWTON'sche Gesetze und das Axiom vom Kraftparallelogramm .
Dimensionen und Maeinheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2 Statik des starren Korpers
2.1 A quivalenz von Kraftegruppen am starren Korper . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Krafte mit gemeinsamem Angrispunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Ebene Kraftegruppe am starren Korper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Axiom der Linienuchtigkeit einer Kraft . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Zusammenfassen von Kraften mit unterschiedlichen Angrispunkten .
2.3.4 Gleichgewichtsbedingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.5 Zeichnerische Losungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.5.1 Korper mit drei Kraftangrispunkten . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.5.2. Korper mit vier Kraftangrispunkten . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Moment einer Kraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Moment eines Kraftepaares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Raumliche Kraftegruppe am starren Korper . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7 Zentralachse, Kraftschraube . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Statik von Systemen starrer Korper
3.1 Gleichgewichtsbedingungen, das Erstarrungsprinzip
3.2 Lager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Lagerung in der Ebene . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Allgemeiner Fall . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Dreigelenkbogen . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Sagebock . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Parallele Kraftgruppen, Schwerpunkt
4.1 Kraftemittelpunkt . . . . . . . . .
4.2 Schwerpunkt des starren Korpers
4.3 Flachenschwerpunkt . . . . . . .
4.3.1 Linienschwerpunkt . . . .
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1
1
1
2
3
4
4
4
4
5
7
7
8
9
9
9
10
11
11
13
15
15
16
17
17
20
20
21
23
23
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iv
Technische Mechanik I
5 Haftung und Reibung
5.1 Kontakt starrer Korper . . . . . .
5.1.1 Haften . . . . . . . . . . .
5.1.2 Gleiten . . . . . . . . . . .
5.1.3 Haft- und Reibkegel . . .
5.1.4 COULOMBsches "Gesetz"
5.1.5 Seilreibung und - haftung
5.1.5 .1. Reibung . . . . . . . . .
5.1.5 .2. Haftung . . . . . . . . . .
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32
Literatur
1] Gross, D. Hauger, W. Schroder, J. Wall, W.: Technische Mechanik 1: Statik,
Springer - Verlag, Berlin, 8.Auage 2002 19,95 Euro.
2] Hagedorn, L.: Technische Mechanik 1: Statik,
Verlag Harri Deutsch, 4. Auage, 2006 19,80 Euro.
3] Hibbeler, R.C.: Technische Mechanik 1: Statik,
Verlag Pearson Studium, 10. Auage, 2005 49,95 Euro.
4] Ulbrich, H. Weidemann, H.-J. Pfeifer, F.: Technische Mechanik in Formeln, Aufgaben und
Losungen, B.G.Teubner Verlag/GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden, 3.Auage, 2006.
1
Technische Mechanik I
1 Einleitung
1.1 Einordnung und Gliederung der Technischen Mechanik
Mechanik ist das Teilgebiet der Physik, das sich mit Kraften und Bewegungen befasst. Ihre
Lehren beruhen im wesentlichen auf Erfahrungen, die mit Hilfe von Modellen und Naturgesetzen
beschrieben werden. Wir gliedern die Mechanik in:
Statik: Gleichgewicht von Kraften.
Elastomechanik: Wirkung von Kraften auf deformierbare Festkorper.
Kinematik: Geometrie der Bewegung.
Kinetik / Dynamik: Zusammenhang zwischen Kraften und Bewegungen.
1.2 Idealisierende Annahmen und Vereinfachungen
Modelle sind in sich schlussige Gedankenbilder der Wirklichkeit, die durch idealisierende Annahmen und Vereinfachungen entstehen.
Beispiel:
Starrer Korper: erfahrt auch unter der Einwirkung von Kraften keine Deformation.
Massenpunkt: endliche Masse, die in einem geometrischen Punkt konzentriert ist.
Objekt(e)
Beobachtung(en)
Frage(n)
Rückübertragung
in die Wirklichkeit
Formulierung der Aufgabe
Vereinfachen durch
Fortlassen alles
Unwesentlichen
Modell
Lösen des
Problems
Interpretation
der Ergebnisse
Ergebnisse
Abstraktion / Gedankenwelt
Wirklichkeit
Elastischer Korper, Plastischer Korper, Reibungsfreie Flussigkeit, . . . .
2
Technische Mechanik I
1.3 Der Begri einer Kraft
Aus der alltaglichen Erfahrung ist uns die auf einen Korper wirkende Gewichtskraft vertraut.
Als Kraft bezeichnet man jede physikalische Groe, die sich mit einer Gewichtskraft ins Gleichgewicht setzen, bzw. mit ihr vergleichen lasst.
H
Gewichtskraft
Magnetkraft
Muskelkraft
Strömungskraft
Federkraft
Auftriebskraft
Krafte sind erkennbar an ihren Wirkungen:
z
Formanderungen,
A nderungen des Bewegungszustandes.
Sie sind gekennzeichnet durch:
Groe (Betrag),
Richtung und Richtungssinn,
Angrispunkt.
Die durch Angrispunkt und Richtung bestimmte Gerade heit Wirkungslinie.
Die Kraft kann als gebundener Vektor dargestellt
werden. Wir schreiben
die Kraft als
!
!
F und ihren Betrag als jF j oder F . In Zeichnungen stellen wir Krafte durch Pfeile dar.
In kartesischen Koordinaten gilt:
!
! ! !
F = F + F + F = F !e + F !e + F !e
x
Fx = F cos Fy = F cos Fz = F cos y
z
x x
y y
z z
Fz
ez
g
b
a
ex
Fx
x
F
ey
Fy
(Abbildung nach 1])
y
3
Technische Mechanik I
1.4 NEWTON'sche Gesetze und das Axiom vom Kraftparallelogramm
1. Tragheitsgesetz:
Jeder Korper bleibt im Zustand der Ruhe oder der gleichformigen linearen Bewegung,
sofern keine aueren Krafte auf ihn wirken.
2. Grundgesetz der Dynamik:
Die auf einen Korper wirkende Kraft ist gleich dem Produkt aus Masse und Beschleunigung des Korpers:
!
F = m !a
3. Gegenwirkungsgesetz:
!
Die von einem Korper 1 auf einen Korper 2 wirkende Kraft F 21 ist gleich gro und
!
entgegengesetzt zur Kraft F 12 , die der Korper 2 auf Korper 1 ausubt.
!
!
F
F
1
2
21
!
!
F 12 = ;F 21
m1
m2
4. Axiom vom Krafteparallelogramm
(Stevin): ! !
Zwei Krafte F 1, F 2 mit gleichem Angrispunkt konnen nach der Parallelo!
grammregel zur Resultierenden R
addiert werden.
! ! !
R = F1 + F2
Anmerkung:
R
F2
F1
Gleichgewicht
! und gleichformige lineare Bewegung sind Sonderfalle der allgemeinen Bewegung
!
mit a = 0.
Krafte, Positionen im Raum, Geschwindigkeiten und Beschleunigungen sind Groen, die mit
Hilfe der Vektorrechnung beschrieben werden.
4
Technische Mechanik I
1.5 Dimensionen und Ma
einheiten
Physikalische Groen werden quantitativ als Produkt aus Mazahl und Maeinheit ausgedruckt.
Die folgende Basiseinheiten sind international festgelegt.
Basisgroe Zeichen Basiseinheit Zeichen Denition mit Hilfe von
Lange:
`
Meter
m
Lichtgeschwindigkeit und Zeit
Zeit:
t
Sekunde
s
Periodendauer einer Strahlung
Masse:
m
Kilogramm
kg
Maverkorperung (in Paris)
Stromstarke: I
Ampere:
A
Kraftwirkung zwischen parallelen elekTemperatur:
Lichtstarke:
Stomenge:
T
Iv
n
Kelvin
Candela
Mol
K
cd
mol
trischen Leitern
Tripelpunkt des Wassers
Strahlung des schwarzen Korpers
Atomzahl(12C in 12 g)
Von diesen Basiseinheiten
konnen Einheiten fur jede physikalische Groe abgeleitet werden. Fur
!
!
die Kraft gilt F = m a . Dementsprechend ist die Einheit der Kraft das Newton 1N = 1 kg sm2 .
2 Statik des starren Korpers
2.1 A quivalenz von Kraftegruppen am starren Korper
Kraftegruppen nennen wir aquivalent, wenn sie am starren Korper die gleichen Wirkungen
hervorrufen. Ein Gleichgewichtssystem ist eine Kraftegruppe, die aquivalent zur Kraft Null
ist.
2.2 Krafte mit gemeinsamem Angrispunkt
!
! !
!
n !
R : = F1 + F2 + : : : + Fn = P Fi
F2
R
i=1
Rx = F1x + F2x + : : :
= P Fix
Ry = : : :
=
Rz = : : :
=
n
i=1
n
P
i=1
n
P
i=1
F1
Fiy
Fiz
Fn
Jede Gruppe von Kraften mit gemeinsamem
Angrispunkt kann auf eine Einzelkraft reduziert
!
werden, die gleich der Vektorsumme R (Resultierende) ist.
5
Technische Mechanik I
Gleichgewichtsbedingung:
Wenn die auf einen Korper wirkenden Krafte durch einen Punkt gehen und der Korper im
Gleichgewicht ist, ist die Resultierende gleich Null.
Anmerkung:
A hnlich wie man Krafte zusammenfassen kann, kann man sie unter Anwendung des Axioms
vom Krafteparallelogramm auch in Komponeten zerlegen.
R
R
F2
Fy
Fx
F1
2.3 Ebene Kraftegruppe am starren Korper
Bei einer ebenen Kraftegruppe liegen die Wirkungslinien aller Krafte in der gleichen Ebene.
Fn
An
Wirkungslinie der
Kraft F1
F1
A3
A1
A2
F2
F3
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Technische Mechanik I
Beispiel: Brucke uber den Stichkanal Hannover - Linden
Loslager
Festlager
F1
A
F2
BV
BH
7
Technische Mechanik I
2.3.1 Axiom der Linienuchtigkeit einer Kraft
Die von einer Kraft am starren Korper hervorgerufene Wirkung ist fur alle Kraftangrispunkte, die auf der Wirkungslinie liegen, gleich. D.h. Krafte am starren Korper
konnen entlang ihrer Wirkungslinie verschoben werden, ohne dass sich ihre Wirkung
andert.
A
A
A
A
F
F
2.3.2 Zusammenfassen von Kraften mit unterschiedlichen Angrispunkten
F1
A1
A1
F2
A
R
F2
A2
A2
F1
Verschiebe die Krafte langs der Wirkungslinie, so dass sie am Schnittpunkt der Wirkungslinien angreifen.
Fasse die beiden Krafte nach der Parallelogrammregel zur Resultierenden zusammen.
Beachte:
Der Schnittpunkt der Wirkungslinien kann auch ausserhalb des Korpers liegen.
Eine Gruppe von (beliebig vielen) Kraften kann durch sukzessives zusammenfassen von jeweils
zwei Kraften reduziert werden.
Sonderfall: Krafte mit parallelen Wirkungslinien.
R2
R1
B
R
F2
B
R1
R2
F1
a1
a2
Fuge eine Gleichgewichtsgruppe hinzu (2 gleich groe entgegengesetzt
!
! gerichtete Krafte
B , deren Wirkungslinien durch die Kraftangrispunkte von F 1 und F 2 verlaufen).
8
Technische Mechanik I
!
!
Fasse zuerst !die Kr
a
fte
in
den
Kraftangrispunkten
von
F
1 und F 2 zu (Zwischen-) Re!
sultierenden R1, R2 zusammen.
! !
!
Fasse danach die (Zwischen-) Resultierenden R1,R2 zur (Gesamt-) Resultierenden R zusammen.
!
! !
Beachte: R ist parallel zu F 1, F 2 und es gilt F1 a1 = F2 a2.
Sonderfall: Kraftepaar
Zwei gleich groe, entgegengesetzt gerichtete Krafte mit unterschiedlichen Wirkungslinien konnen
nicht durch eine einzelne Kraft ersetzt werden.
F
F
^
=
M
a
! !
!0 !0
Man kann ein Kraftepaar (F ;F ) durch ein anderes, aquivalentes ersetzen. Die Krafte (F ;F )
konnen dabei eine beliebige Richtung haben, jedoch bleiben der Drehsinn und das Produkt M
aus Kraft und Hebelarm erhalten.
M = Fa = F 0a0
F
F'
B
a'
F'
B
F
a
Fazit:
Jede Gruppe von (beliebig vielen) Kraften in der Ebene kann durch schrittweise Reduktion so
zusammengefasst werden, dass am Ende entweder
a) eine Resultierende mit eindeutig bestimmten Kraftangrispunkt, oder
b) ein Kraftepaar
verbleibt.
2.3.4 Gleichgewichtsbedingung
Eine Gruppe von Kraften an einem starren Korper ist genau dann im Gleichgewicht, wenn
sie aquivalent zur Kraft Null ist. Das bedeutet, dass eine ebene Kraftegruppe genau dann im
Gleichgewicht ist, wenn nach der Durchfuhrung der Reduktion weder eine Resultierende, noch
ein Kraftepaar ubrig bleibt.
9
Technische Mechanik I
2.3.5 Zeichnerische Losungen
2.3.5.1 Korper mit drei Kraftangrispunkten
F
F
F
C
P
C
B
C
B
B
Lageplan
Kraftplan
(b) Lage- und Kraftplan
(a) System
Drei Krafte in der Ebene sind an einem starren Korper genau dann im Gleichgewicht, wenn
sich ihre Wirkungslinien in einem Punkt schneiden und das Krafteck geschlossen ist.
2.3.5.2. Korper mit vier Kraftangrispunkten
F
F
E
P1
A
E
B
C
P2
D
E
F
B
D
D
(a) System
Lageplan
B
Kraftplan
(b) Lage- und Kraftplan
Vier Krafte in der Ebene sind an einem starren Korper genau dann im Gleichtgewicht, wenn
die bei jeweils paarweise Zusammenfassung entstehenden Zwischen-Resultierenden gleich gro
sind und ihre Wirkungslinie durch die beiden Schnittpunkte verlauft. Die Wirkungslinie der
Zwischen-Resultiereden nennt man auch CULMANN'sche Gerade.
10
Technische Mechanik I
2.4 Moment einer Kraft
a
! (P )
!
M = !r F
;;!
!r
= PA
A
A ist ein beliebiger
! Punkt auf der Wirkungslinie der Kraft F .
! (P )
M ist unabhangig von A,
! (P )
! !
jM j = j r jjF jj sin j
!
= ajF j
F
r
a
M
(P)
P
!
a nennt man den Hebelarm der Kraft F bezuglich P .
Sonderfall: Kraft und Bezugspunkt in x ; y-Ebene
ey
!
F
= Fx!e x + Fy !e y
!r = 0;!A = x !e + y !e
A x
A y
! (0)
!
M
= !r F = (xAFy ; yAFx)!e z
F
Fy
A
yA
Fx
0
b
xA
ex
P
f1
F1
A1
Das Moment der Resultierenden zweier
Krafte ist gleich der Summe der Momente
der Einzelkrafte.
A2
F2
f2
;;!
;;! ! ;;! ! ! ;;! ! PA1 F 1 + PA2 F 2 = PA F 1 + PA F 2
;;! ! ! = PA F 1 + F 2
F1 + F2
A
11
Technische Mechanik I
2.5 Moment eines Kraftepaares
!
!
F 2 = ;F 1
! (P )
;;! ! ;;! !
M = PA1 F + PA2 F 2 =
;;! ;;! !
= PA1 ; PA2 F =
;;;;;! !
= A2 A1 F 1
A1
F1
f1
h
F2
f2
A2
P
Das Moment eines Kraftepaares hangt nicht vom Bezugspunkt P ab, d.h. am starren Korper
konnen Kraftepaare beliebig verschoben werden. Das Moment eines Kraftepaares kann daher
als freier Vektor angesehen werden.
Durch Hinzufugen einer Gleichgewichtsgruppe, die aus einem Kraftepaar und einem dazu passenden gleich groen, aber entgegengesetzten Moment besteht, kann eine Kraft mit beliebigem
Kraftangrispunkt in eine gleich groe Kraft mit vorgegebenem Kraftangrispunkt und ein
dazu gehorendes Versetzungsmoment uberfuhrt werden.
P
F
P
P
M
M
(P)
(P)
F
h
h
+
A
A
F
F
! (P ) ;;! !
M = PA F
2.6 Raumliche Kraftegruppe am starren Korper
!
Jede beliebige Kraftegruppe (Ai F i i = 1 2 : : : n) am starren Korper kann auf eine Resultierende
n !
! X
R = Fi
i=1
mit Angrispunkt P und ein dazu gehorendes Kraftpaar mit Moment
n ;;!
n ! (P ) X
!
! (P ) X
M = M i = PAi F i
i=1
reduziert werden.
i=1
12
Technische Mechanik I
Beispiel: Krafte auf Quader (nach 1])
z
F4
F2
B
F5
c A
F1
x
F3
b
a
F6
y
!
! (A)
a) Reduktion auf Resultierende R und Moment M bezuglich des Punktes A
!
6 !
R = P Fi ! (A)
M =
i=1
!
!
F i = Fix!e x + Fiy !e y + Fiz !e z F i
2
6
= 664
!
r i Fi
P6 !
i=1
Fix
Fiy
Fiz
3
77
75 i = 1 : : : 6
!
Ai: Angrispunkt der Kraft F i
!r = ;;;!
!
!
!
i AA i = rix e x + riy e y + riz e z i = 1 : : : 6
2
3
r
ix
!r = 666 r 777 i = 1 : : : 6
i
4 iy 5
riz
2 3
2 3
2 3
2
3
2
3
2 3
0
0
0
F
0
F
1
3
77 ! 66 77 ! 66 77 ! 66 77 ! 66 77
! 66 77 ! 66
F 1 = 64 0 75 F 2 = 64 0 75 F 3 = 64 0 75 F 4 = 64 0 75 F 5 = 64 F5 75 F 6 = 64 F6 75
;F2
0
F4
0
0
2 3
2 3
2 3
2 3
2 3
2 3
a
a
0
0
a
a
!r = 666 0 777 !r = 666 0 777 !r = 666 b 777 !r = 666 b 777 !r = 666 b 777 !r = 666 b 777
1
4 5 2 4 5 3 4 5 4 4 5 5 4 5 6 4 5
0
c
c
0
c
2 3
2
3
2
0
0
!r F! = 666 0 777 !r F! = 666 F a 777 !r F! = 666
1
1
2
3
4 5 2
4 2 5 3
4
0
0
2
3
2
F
; F5 c
4b
6
7
6
!
!
!r F = 66 0 77 !r F = 66 0
4
4
5
4
5 5
4
0
F5a
0
3
0 7
0 775
;F3b
3
2
3
0
77 ! ! 66
7
75 r 6 F 6 = 64 0 775
F6a
0
13
Technische Mechanik I
2
F +F
! 66 1 3
R = 64 F5 + F6
;F2 + F4
2
! (A) 6
M = 664
3
77
!
75 d:h: R = (F1 + F3 )!e x + (F5 + F6 )!e y + (;F2 + F4)!e z
3
F4b ; F5c
77
F2 a
75
;F3b + F5a + F6a
! (B )
!
b) Reduktion auf Resultierende R und Moment M bezuglich des Punktes B
2
F +F
! 66 1 3
R = 64 F5 + F6
;F2 + F4
3
2
F2b + F6c
77 ! (B ) 66
75 M = 64 ;F1c ; F3c + F4a
F1 b
3
77
75
Gleichgewichtsbedingung:
Eine Kraftegruppe am starren Korper ist genau dann im Gleichgewicht, wenn ihre Resultierende
und das dazu gehorende Moment fur einen beliebigen Bezugspunkt P verschwinden:
n !
P
!
Fi = 0
i=1
n ! (P )
!
P
Mi = 0:
i=1
Im ebenen Fall ergeben sich daraus 3 skalare Gleichungen
n
P
Fix
i=1
n
P
Fiy
i=1
n
P
Miz(P )
i=1
= 0
= 0
= 0:
und im raumlichen Fall erhalt man 6 skalare Gleichungen.
2.7 Zentralachse, Kraftschraube
!
! P!
Ein beliebiges Kraftsystem Pi , F i, i = 1 2 : : : n kann immer auf
eine
Resultierende
R
= F i,
!
die im Punkt P angreift, und ein dazu gehorendes Moment M reduziert
! werden, das von der
Wahl des Punktes P abhangt. Die Wirkungslinie der Resultierenden R ist eindeutig bestimmt
und wird Zentralachse genannt.
Als Kraftschraube bezeichnet man ein durch eine Kraft und ein Moment gebildetes Paar, bei
dem die Kraft parallel zu dem Moment ist. Durch geeignete Wahl des Bezugspunktes P kann
jedes Kraftsystem auf eine Kraftschraube reduziert werden.
14
Technische Mechanik I
!
Gegeben: Resultierende R
! (0)
Moment M bezuglich Punkt 0
! ;;!
Gesucht: Lage des Punktes P : h = 0P
!
h
! (P )
M
R2
! ! (0)
= R12 R M
" ! ! (0)# !
1
= R2 R M R
! !
= RR
ez
M
(P)
ey
R
P
0
h
ex
Zentralachse
15
Technische Mechanik I
3 Statik von Systemen starrer Korper
3.1 Gleichgewichtsbedingungen, das Erstarrungsprinzip
Eine Kraftegruppe steht an einem System starrer Korper genau dann im Gleichgewicht, wenn
sich jeder einzelne Korper im Gleichgewicht bendet.
Beispiel: Die Fahrradbremse besteht aus 2 Teilen. Teil IInmit der Gabel durch einen Bolzen
n
n
n
verschraubt. Die dort wirkende Lagerkraft ist A . Teil I ist mit Teil II uber ein Drehgelenk
verbunden. Die dort zwischen I und II wirkende Lagerkraft ist B .
Gesucht sind die Krafte A und B .
Gegeben ist die Betatigungskraft F1.
n n
n n
n
a
I
B
Ax
F1
F1
Ay
b
a
y
F2
F2
x
n
Die zeichnerische Losung fur Teilsystem I ergibt:
II
F2
F2 = F1 tan F1
B = cos
F1
Ax
F1
B
Ay
B
a
n
Da F1, F2 und B auch am Teilsystem II eine Gleichgewichtsgruppe sind, verschwindet die Lagerkraft A, d.h.
Ax = 0, Ay = 0.
a
F2
16
Technische Mechanik I
Nicht immer ist es notwendig, ein System vollstandig in seine Bestandteile zu zerlegen, um die
Gleichgewichtsbedingungen zu formulieren. Nach den sogenannten Erstarrungsprinzip ist ein
System starrer Korper unter der Wirkung gegebener Krafte genau dann im Gleichgewicht, wenn
jedes Teilsystem sich im Gleichgewicht bendet. Das heisst: man kann die Gleichgewichtsbedingungen nicht nur an den einzelnen Korpern, sondern auch am Gesamtsystem oder beliebigen
Teilen davon formulieren.
Im Beispiel der Fahrradbremse gilt fur:
n
Teilsystem I
X
Fix = 0 : F2 ; Bx = 0
(1)
Fiy = 0 : F1 ; By = 0
(2)
Mi(A) = 0 : F1a ; F2b = 0
(3)
X
X
n
Teilsystem II
X
X
X
Fix = 0 :
;F2 + Ax + Bx
=0
(4)
Fiy = 0 :
;F1 + Ay + By
=0
(5)
Mi(A) = 0 :
;F1a + F2 b = 0
(6)
und man erhalt aus (3) F2 = F1 ab = F1 tan , so dass aus (1) Bx = F2 = F1 tan und aus
(2) By = F1 folgt, in U bereinstimmung mit der zeichnerischen Losung. Ax = 0 und Ay = 0
folgt dann aus (4) und (5) nach Einsetzen. Man kann dies nach dem Erstarrungsprinzip
aber auch direkt aus den Gleichgewichtsbedingungen fur das Gesamtsystem ablesen.
Gesamtsystem:
P
Fix = 0 :
P
Fiy = 0 :
P
;F2 + F2 + Ax
=0
F1 ; F1 + Ay = 0
Mi(A) = 0 : F1a ; F1a + F2b ; F2b = 0
3.2 Lager
Starre Korper werden untereinander und mit der Umgebung durch Lager verbunden, um ihre
Bewegungsmoglichkeit einzuschranken. Mit jeder Einschrankung der Beweglichkeit tritt eine
entsprechende Reaktionskraft im Lager auf.
17
Technische Mechanik I
3.2.1 Lagerung in der Ebene
Ein starrer Korper hat in der Ebene drei unabhangige Bewegungsmoglichkeiten: zwei Translationen in der Ebene und eine Drehung um eine zur Ebene senkrechte Achse.
Einwertige Lager schranken eine einzige Bewegungsmoglichkeit ein. Beispiele sind Rollenlager,
Gleitlager und Pendelstutze. Sie werden in Systemskizzen, unabhangig von ihrer konstruktiven
Ausfuhrung, durch ein Lagersymbol dargestellt. In ihnen wirkt nur eine Reaktionskraft, bzw.
ein Reaktionsmoment.
A
A
A
A
(Abbildung nach 1])
Zweiwertige Lager schranken zwei Bewegungsmoglichkeiten ein. Beispiele sind Drehgelenk und
Doppelstutze. In ihnen wirken zwei Reaktionkrafte.
Rillenkugellager
Zylinderrollenlager
AH
AV
AH
Pendelkugellager
Pendelrollenlager
Tabelle I hierzu auf Seite 18.
3.2.2 Allgemeiner Fall
Ein starrer Korper hat im dreidimensionalen Raum sechs unabhangige Bewegungsmoglichkeiten, die durch Lager eingeschrankt werden konnen. Entsprechend der Anzahl n der eingeschrankten Bewegungsmoglichkeiten treten in einem n-wertigen Lager n Reaktionskrafte, bzw.
momente auf. Tabelle II hierzu auf Seite 19.
0
1
2
0
0
0
1
1
1
0
1
2
0
1
2
~
~
~
~
feste
Einspannung
~
~
~
~ ~
~
~
~
oder
~
3
nicht sinnvoll
Reaktionen
~
Schiebehülse
Symbol
Zwischenlager
~
~
2
~
versetzt
~
~
Momentenstütze
~
(festes
Gelenklager)
~
~
~
~
Festlager
Pendelstütze
Reaktionen
~
räumlich
Seil oder Stab
(verschiebbares
Gelenklager)
Loslager
freies Ende
Symbol
~
~
Name
~
~
1
Reaktionen
S
Momente
Kräfte
Auflager
~
~
Beispiel
technischer
Ausführung
~
~
~
Anzahl
~
~
~
~
~
~
~
18
Technische Mechanik I
Auf- und Zwischenlager in der Ebene
~
~
~
~
19
Technische Mechanik I
Auf- und Zwischenlager im Raum
1
0
1
Symbol als
Zwischenlager
~
Auflager
Reaktionen
~
Fi Mi S
Symbol
als Lager
~
Anzahl
2
0
~
~
~
glatt
2
~
~
3
~
0
~
3
~
Kugel
2
3
2
2
4
2
3
5
3
2
5
3
3
6
~
~
~
~
~
~
~
~
~
~
1
~
~
Kugel
~
~
~
~
~
20
Technische Mechanik I
3.3 Beispiele
3.3.1 Dreigelenkbogen
G
I
P2
F1
P1
II
F2
B
A
nn
Dreigelenkbogen: zwei starre Korper I , II die in A und B jeweils gelenkig gelagert sind und
in G durch ein Gelenk miteinander verbunden sind.
Gy
I
II
F1,y
P1
p1y
Ax
p1x
Gx
g1y
F1,x
! ! !
Lagerkrafte A, B , G.
! !
Krafte: F 1, F 2
n
Gleichgewichtsbedingungen fur Korper I
P
Fix = 0 : Ax + F1x + Gx = 0
P
Fiy = 0 : Ay + F1y + Gy = 0
Mi(A) = 0 : F1x p1y ; F1y p1x + Gx g1y ; Gy g1x = 0
n
Gleichgewichtsbedingungen fur Korper II
P
Fix = 0 : Bx + F2x ; Gx = 0
P
Fiy = 0 : By + F2y ; Gy = 0
P
g2y
P2 p
2x F2,x
p2y
Bx
By
Gegeben: Geometrie: (a b : : : g)
P
Gy
g2x
g1x
Ay
Gesucht:
F2,y
Gx
Mi(B) = 0 : F2x p2y ; F2y p2x ; Gx g2y ; Gy g2x = 0
21
Technische Mechanik I
Lineares Gleichgewichtssystem fur die Unbekannten Ax, Ay , Bx, By , Gx , Gy :
2
66
66
66
66
66
66
66
66
64
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
3 2
1
0 7 6 Ax
7 6
0
1 777 666 Ay
7 6
g1y g1x 777 666 Bx
76
;1
0 777 666 By
7 6
0 ;1 777 666 Gx
5 4
;g2y ;g2x
Gy
0
0
0
0
1
0
3 2
77 66
77 66
77 66
77 66
77 = 66
77 66
77 66
77 66
75 66
4
3
77
77
;F1y
77
;F1xp1y + F1y p1x 7
77
77
;F2x
77
77
;F2y
77
7
;F2xp2y ; F2y p2x 5
;F1x
! !
A
R
=F
@
I
@
A
K
A
I
@
@
@ @
@
@
Vektor der eingepragten Krafte
Vektor der gesuchten Reaktionskrafte
A
Systemmatrix
A
A
A
Losbarkeitsbedingung: det(A
) 6= 0
Wenn alle Reaktionskrafte mit Hilfe der Gleichgewichtsbedingungen bestimmt werden konnen,
nennt man ein System statisch bestimmt. Notwendige Bedingung fur statisch Bestimmtheit:
Anzahl der Gleichgewichtsbedingungen mindestens gleich Anzahl der Reaktionskrafte.
3.3.2 Sagebock
G
I
G
a
N1
glatt
II
a
D
III
C
aa
glatt
Seil
`
S
S
y
a
x
~
b
H
C
~
a
N2
D
S
B
a
S
A
Freikörperbild
22
Technische Mechanik I
Gesamtsystem:
P
Mi(E) = 0 : B` sin ; A` sin = 0
!
A=B
P
Fiy = 0 :
!
A = B = G2
A+B ;G = 0
n
Korper I :
P
Fix = 0 : N1 cos ; N2 cos !
N1 = N2
P
Fiy = 0 : N1 sin + N2 sin ; G = 0
!
G
N1 = N2 = 2 sin
n
Korper II :
P
(H )
Mi = 0 : N1a ; Sb cos + B` sin = 0
P
Fix = 0 :
P
Fiy = 0 : B + D ; N1 sin = 0
;S + C ; N1 cos = 0
"
!
#
a + ` tan S = G 2b sin
2b
"
!
a + ` tan + 1
C = G 2b sin
2b
2 tan !
D=0
#
23
Technische Mechanik I
4 Parallele Kraftegruppen, Schwerpunkt
4.1 Kraftemittelpunkt
Eine Gruppe von Kraften, deren Richtung identisch ist, heisst parallele!Kraftegruppe. Mit !e als
Richtungsvektor von Betrag 1 ist eine parallele Kraftegruppe durch P1 F i = Fi !e i = 1 2 : : : n
gegeben.
Eine beliebige parallele Kraftegruppe
kann durch geeignete Wahl des Bezugspunktes S so reduziert werden, dass
eG
gilt:
!
R
=
! (S)
M =
Man bezeichnet
punkt.
P!
Fi
!
0
S als Kraftemittel-
r1
P1
F1
S
0
rn
Pn
r2
P2
F2
Fn
!
Gegeben: P1 F i = Fi !e i i = 1 2 : : : n.
;;!
! (S)
Gesucht: !s = 0S so dass M = 0
n ;;!
! (S)
;;!
X
M =
SP i Fi!e i SP i = !r i ; s i = 1 2 : : : n
i=1
n !
X
Fi r i
!s
i
=1
= X
n
Fi
i=1
!
Wenn es sich bei den Kraften F i um die Gewichtskrafte einzelner Massenpunkte in einem
gleichformigen Schwerefeld handelt, gilt
Fi = mig
!s =
n
X
i=1
miFi!r i
n
X
i=1
mi
und man nennt S den Massenmittelpunkt, da seine Lage nur von der Massengeometrie, d.h.
der Anordnung der Massen mi, abhangt.
24
Technische Mechanik I
4.2 Schwerpunkt des starren Korpers
Wir betrachten den starren Korper als
Menge der innitesimalen Volumenelemente dV .
dV
Z
Es gilt: V = dV
r
V
0
V
Die Masse eines Volumenelements ist dm = dV , mit der Dichte , die ortsabhangig sein kann.
Es gilt:
m =
!s =
Z
(!r )dV VZ
!r(!r )dV
V
m
:
Fur homogene Korper gilt: (!r ) = !s =
Z !
rdV
V
m
=
Z !
r dV
V
V
4.3 Flachenschwerpunkt
Ebene Korper, deren Dicke gegenuber ihren anderen Abmessungen vernachlassigt werden kann,
konnen als Flache modelliert werden, die durch die Massendichte (Masse pro Flacheneinheit)
beschrieben wird.
Es gilt:
A =
m =
Man nennt
!s =
Z
A
Z
A
dA
(!r )dA
dA
r
Z ! !
r( r )dA
A
0
m
den Flachenmittelpunkt oder Flachenschwerpunkt
Z !
Z !
rdA
rdA
!
!
Fur homogene Korper gilt: ( r ) = s = A m = A A
A
25
Technische Mechanik I
Beispiel: Rechtwinkliges Dreieck, = const.
A =
Z
A
dA
y=
y
2 hx 3
Zb 666 Zb 777
Zb hx
6
7
A = 6 dy7 dx = b dx
6
75
0 40
0
h
dA
h
x
b
h
2 b
= hb x2 = bh
2
0
!s =
b
2 hx
3
7
Z !
Zb 666 Zb !
77
!
rdA = 66 x e x + y e y dy77 dx
6
75
0 4 0
A
Z !
r dA
A
b
A
2
hx 3
Z !
Zb 6 hx ! y 2 ! 7
Zb " hx2 ! h2 x2 ! #
b
6
7
rdA = 64 x b e x + 2 e y 75 dx =
b e x + 2b2 e y dx
0
A
0
0
3 b
2x3 b
2
2
hx
h
!
= 3b e x + 6b2 !e y = b3h !e x + h6b !e y
0
0
!s = 2 b!e + 1 h!e
3 x 3 y
Schwerpunkt zusammengesetzter Flachen
Z !
n Z !
X
r dA =
r dA
i=1Ai
A
A2
Schwerpunkt der i-ten Teilache
!s = 1 Z !r dA
i
Ai A
i
A1
n Z !
n !
1X
!s = 1 Z !rdA = 1 X
rdA
=
A
A
A s iAi
A
i=1 Ai
i=1
x
26
Technische Mechanik I
4.3.1 Linienschwerpunkt
Bogenlange u
Massendichte (Masse pro Langeneinheit)
u=`
Z
dm = du m = (u)du
Z !
r (u)
(u)du
!s = ` Z
`
du
`
u
u=0
(u)du
Z !
1
!
Fur = const. gilt: s = ` r (u)dA
`
0
P
r(u)
27
Technische Mechanik I
5 Haftung und Reibung
5.1 Kontakt starrer Korper
Kontaktpunkt K
Tangentialebene steht senkrecht auf
Beruhrnormale
Berührnormale
K
Tangentialebene
!
Normalkraft N
!
Tangentialkraft T
T
F
N
F
N
T
5.1.1 Haften
!
!
Normalkraft N verhindert gegenseitiges Durchdringen der Korper, Tangentialkraft T! verhindert
Relativbewegung
(Gleiten) der Korper. Kontakt wirkt wie ein Lager, Normalkraft N und Haft! !
kraft T = H sind Zwangskrafte, die aus Gleichgewichtsbedingungen bestimmt werden konnen,
falls das System statisch bestimmt ist.
Die Erfahrung zeigt, dass Haften nur moglich ist, wenn
!
!
jH j 0 jN j
gilt. Man nennt 0 Haftkoezient.
5.1.2 Gleiten
Wenn die Korper aufeinander gleiten ist die Tangentialkraft nahrungsweise proportional
! zur
!
Normalkraft und der Relativbewegung im Beruhrpunkt entgegen gerichtet. Man nennt T = R
Reibkraft und setzt
!
! !v rel
R = ;jN j ! :
j v rel j
28
Technische Mechanik I
Das heit, es gilt
!
!
jRj = jN j
so dass die Reibkraft keine Zwangskraft, sondern eine eingepragte Kraft ist. Man nennt Reibkoezient. Meist gilt
0
5.1.3 Haft- und Reibkegel
!
!
jH j 0 jN j
bedeutet, dass die Kontaktkraft
! ! !
F = N + nH
im Innern eines Kegels mit O nungswinkel
tan '0 = 0
liegt
H
N
F
j
!
!
! ! ! bedeutet, dass
F = N + R auf dem Mantel eines Kegels mit dem
O nungswinkel
tan ' = liegt.
jRj = jN j
H
N
F
j0
29
Technische Mechanik I
Beispiel: Haften oder Gleiten?
reibungsfreie Rolle
m
m0 , m
g
M
1) Freikorperbild: Annahme Haften
mg
Mg
N = mg
H = Mg
H
N
Haftbedingung: H 0N
Haften fur M 0 m
Falls 0 M ist Haften nicht moglich ! Gleiten
m
!
2) Freikorperbild: Annahme Gleiten
mg
Mg
N = mg
R = N = mg
R
N
Gleichgewichtsbedingung (fur v = const.): R = Mg
Gleiten mit v = const. fur M = m
Falls 6= M
m ist Gleiten und v = const. nicht moglich.
!
30
Technische Mechanik I
5.1.4 COULOMBsches "Gesetz"
!
!
!
"Haftgesetz" jH j 0jN j , !v rel = 0
!
!
!
"Reibgesetz" jRj = jN j , Richtung R entgegengesetzt zu Gleitgeschwindigkeit !v rel
sind empirisch gefundene Zusammenhange, die die Wirklichkeit nur nahrungsweise beschreiben.
Man sollte deshalb besser vom COULOMBschen Modell sprechen.
Die Koezienten und 0 hangen bei genauer Betrachtung von der Materialpaarung, der
Oberachenrauhigkeit, dem Schmierzustand, der Flachenpressung, der Temperatur und der
Gleitgeschwindigkeit ab. Die in Tabellen manchmal angegebenen Werte fur und 0 sind
lediglich als Anhaltswerte zu verstehen.
Beispiel: Kippen und Rutschen?
b
F
G
h
m0 , m
1. Freikorperbild: Annahme Rutschen
X
F
Fix = 0 : F = R = N
(1)
Fiy = 0 : N = G
(2)
Mi(A) = 0 : Fh = Na
(3)
X
h
G
X
R
A a
N
(1) ist die Gleichgewichtsbedingung (fur Gleiten mit v = const.)
b
b.
! Gleiten mit v = const. fur F = G und a < , d.h. =
2
2h
F h = h
(3) ! Angrispunkt der resultierenden Normalkraft a = N
31
Technische Mechanik I
2. Freikorperbild: Annahme Anheben
X
F
(1)
Fiy = 0 : N = G
(2)
Mi(B) = 0 : Fh = G 2b
(3)
X
G
~h
Fix = 0 : F = H
X
H
B
~a N
Haftbedingung jH j 0jN j
Haften fur
F 0G
mit
G = F 2bh ! Haften fur F 0 2bh F
Das heit: unabhangig von der Groe der Kraft F wird der Klotz kippen, wenn h 2b ,
0
b
bzw. 0 2h .
5.1.5 Seilreibung und - haftung
Seil: ubertragt nur Zugkrafte
Dj
m0,m
y
j
Dj
2
a
~
~
S1
DR
DN
S(j+Dj)
S(j)
Dj
2
x
Dj
S2
Fix = 0 : S (') cos !2' ; S (' + !') cos !2' + !R = 0
!R = S (' + !') ; S (')] cos !2'
P
Fiy = 0 : ;S (') sin !2' ; S (' + !') sin !2' + !N = 0
!N = S (' + !') + S (')] sin !2'
P
(1)
(2)
32
Technische Mechanik I
5.1.5 .1. Reibung
Wir nehmen an, das Seil gleite nach links. Dann ist S2 > S1.
Reibung: !R = !N
Einsetzen von (1), (2) und (3) teilen durch !' ergibt
(3)
!'
S (' + !') ; S (') cos !' = S (' + !') + S (')] sin 2
!'
2
!'
Grenzubergang !' ! 0 fuhrt auf die Dierentialgleichung
d S (') = S (')
d'
S 0(') = S (')
fur die Seilkraft.
Allgemeine Losung:
S (') = Ce'
Integrationskonstante C ergibt sich aus Anfangsbedingung S (0) = S1 zu C = S1, und damit ist
S (') = S1e' :
Fur den Umschlingungswinkel ergibt sich
S2 = S () = S1e
wobei vorausgestzt wurde, dass das Seil nach links gleitet.
5.1.5 .2. Haftung
Wir nehmen an, das Seil hafte, und es sei S2 > S1
Haftung:
!R 0!N
(4)
Das System ist statisch unbestimmt. Im Fall der Grenzhaftung, bei dem Rutschen gerade
noch verhindert wird, gilt
!R = 0!N
und man erhalt, analog zum Fall der Reibung,
S (') = S1e0'
S2 = S1e0
33
Technische Mechanik I
Unter der Voraussetzung, dass S2 > S1 gilt, ist deshalb Haftung moglich fur
a
S1 < S2 S1e0
m0, m
Anmerkung: Bei der Herleitung wurde der
Fall betrachtet, in dem das Seil um einen
Kreiszylinder geschlungen ist. Die Form des
umschlungenen Querschnitts spielt jedoch
keine Rolle. Es kommt nur auf den Umschlingungswinkel an.
Beispiel:
S1
Anmerkung:
S2
S2
S1
Bei 3 Umschlingungen ist
= 3 2 = 18 9
und fur 0 = 0 3 ist die maximale Kraft
S2 fur die Rutschen gerade noch nicht eintritt
S2 = S1e567 = 286S1 :
Die Gleichungen der Seilreibung und haftung gelten auch, wenn das Seil um eine angetriebene
Rolle geschlungen ist.