4 Wellenüberlagerung und Interferenz

4 Wellenüberlagerung und Interferenz
4.1 Stehende elektromagnetische Wellen
4.1.1 Reflektion an einem Spiegel
Experiment: Stehende Mikrowelle.
Betrachte eine in x-Richtung linear polarisierte ebene Welle E (r, t) = E0i êx eı(kz z−ω0 t) ,
die bei z = 0 senkrecht auf einen ebenen, perfekten Leiter fällt.
Erinnerung an Physik II: Die Tangentialkomponente des elektrischen Feldes verschwindet
an der Oberfläche eines perfekten Leiters.
Um diese Randbedingung auf dem perfekten Leiter zu allen Zeiten zu erfüllen, muss die
Welle am Spiegel reflektiert werden:
E (r, t) = E0i êx eı(kz z−ω0 t) + E0r êx eı(−kz z−ω0 t) .
(4.1.1)
Mit E(z = 0, t) = 0 folgt:
E0i = −E0r .
(4.1.2)
Damit:
h
i
E (r, t) = ℜ E0i êx eı(kz z−ω0 t) − E0i êx eı(−kz z−ω0 t) = 2E0i êx sin (kz z) sin (ω0 t) . (4.1.3)
Die Reflexion einer ebenen Welle an einem Spiegel führt also zur Ausbildung einer stehenden Welle.
Mit ∂Ex /∂z = −∂By /∂t ergibt sich für die magnetische Flußdichte:
B (r, t) = 2B0i êy cos (kz z) cos (ω0 t) .
(4.1.4)
Hierbei ist B0i = E0i kz /ω0 .
4-1
4 Wellenüberlagerung und Interferenz
E0i
x
z
y
B0i
Abbildung 4.1: Stehende Welle vor einem ebenen perfekten Leiter.
Das elektrische Feld und die magnetische Flußdichte einer stehenden Welle sind sowohl
räumlich als auch zeitlich jeweils um eine viertel Periode außer Phase.
Poynting-Vektor der stehenden Welle:
S (r, t) = E (r, t) ×
B (r, t)
kz 2
=4
E sin (kz z) cos (kz z) sin (ω0 t) cos (ω0 t) êz . (4.1.5)
µ0
µ0 ω0 0i
Zeitlicher Mittelwert des Poynting-Vektors1 :
< S (r, t) >= 0.
(4.1.6)
Mit einer stehenden Welle ist im zeitlichen Mittel kein Energietransport verknüpft.
4.1.2 Optischer Resonator
Experiment: Stehende Welle mit Gummiband.
1
Additionstheorem: sin (ω0 t) cos (ω0 t) =
4-2
1
2
sin (2ω0 t)
4.2 Schwebungen
Betrachte zwei parallel zueinander ausgerichtete ebene Spiegel (Fabry-Perot Resonator)
mit Abstand L. Der Zwischenraum sei mit einem Medium mit dem Brechungsindex n
gefüllt.
E(z,t)
L
Abbildung 4.2: Stehende Welle in einem Resonator.
Die Reflektion an den Spiegeln führt zur Ausbildung von stehendenn Wellen. Da das
elektrische Feld an beiden Spiegeln einen Knoten aufweisen muss, passen nur stehende
Wellen in den Resonator, die die folgende Bedingung erfüllen:
L=m
λ0
2n
mit m = 1, 2, 3, . . .
(4.1.7)
Für die Frequenzen νm dieser Moden gilt:
νm = m
c
.
2L
(4.1.8)
Experiment: Resonator eines HeNe-Lasers.
4.2 Schwebungen
Experiment: Schwebung mit zwei Stimmgabeln.
Betrachte jetzt die Überlagerung von zwei in x-Richtung linear polarisierten ebenen Wellen
mit Frequenzen ω1 und ω2 . Die gemeinsame Ausbreitungsrichtung sei êz :
E(z, t) = Ex [cos (k1 z − ω1 t) + cos (k2 z − ω2 t)] .
(4.2.1)
4-3
4 Wellenüberlagerung und Interferenz
Mit der Hilfe der Beziehung cos(a) + cos(b) = 2 cos
!
a+b
2
cos
a−b
2
ergibt sich
!
(k1 + k2 )z − (ω1 + ω2 )t
(k1 − k2 )z − (ω1 − ω2 )t
E(z, t) = 2Ex cos
cos
. (4.2.2)
2
2
Wir definieren nun die folgenden Größen:
• Mittlere Frequenz
ω̄ =
ω1 + ω2
.
2
(4.2.3)
• Mittlere Wellenzahl
k̄ =
k1 + k2
.
2
(4.2.4)
• Modulationsfrequenz
ωm =
ω1 + ω2
.
2
(4.2.5)
• Modulationswellenzahl
km =
k1 − k2
.
2
(4.2.6)
Mit den neuen Definitionen erhalten wir:
E(z, t) = 2Ex cos (km z − ωm t) cos k̄z − ω̄t .
(4.2.7)
Wir können die Überlagerung der beiden Wellen als eine ebene Welle mit mittlerer Frequenz ω̄ und mittlerer Wellenzahl k̄ auffassen, deren Amplitude sich zeitlich und räumlich
mit der Modulationsfrequenz ωm und der Modulationswellenzahl km ändert.
4.3 Optische Impulse
Idee: Durch die Überlagerung mehrerer ebener Wellen mit unterschiedlichen Frequenzen
können wir einen optischen Impuls formen.
4-4
4.3 Optische Impulse
2
2p/wm
2p/w
1.5
1
E(0,t)
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−2
−15
−10
−5
0
5
10
15
t
Abbildung 4.3: Überlagerung zweier harmonischer Wellen mit unterschiedlichen Frequenzen.
Beschreibung des Impulses als Wellenpaket:
∞
1 Z
E (0, ω) e−ıωt dω.
E (0, t) =
2π
(4.3.1)
−∞
E (0, ω) gibt die Amplitude und Phase der spektralen Komponente des Wellenpakets mit
der Frequenz ω an.
Gesucht wird ein optischer Impuls mit zeitlich langsam veränderlicher Enveloppe A (0, t)
und Trägerfrequenz ω0 :
E (0, t) = A (0, t) e−ıω0 t .
(4.3.2)
E (0, ω) und A (0, t) sind per Fouriertransformation miteinander verknüpft:
E (0, ω) =
Z∞
A (0, t) eı(ω−ω0 )t dt.
(4.3.3)
−∞
Beispiel: Gaußscher Impuls mit Pulslänge τp und Trägerfrequenz ω0 .
• Zeitdomäne
4-5
4 Wellenüberlagerung und Interferenz
Elektrisches Feld:
2 ln(2)t2
E(0, t) = A0 exp −
τp2
!
exp (−ıω0 t)
(4.3.4)
Intensität:
4 ln(2)t2
I(0, t) ∝ |A0 |2 exp −
τp2
!
(4.3.5)
Damit: I(0, ±τp /2) = I(0, 0)/2.
• Frequenzdomäne
Elektrisches Feld:
E(0, ω) =
s
!
(ω − ω0 )2 τp2
π
τp A0 exp −
.
2 ln(2)
8 ln(2)
(4.3.6)
Spektrum:
(ω − ω0 )2 τp2
S(0, ω) ∝ |A0 | exp −
4 ln(2)
2
!
Damit S(0, ω0 ± ∆ω/2) = S(0, ω0)/2 mit ∆ω =
(4.3.7)
4 ln(2)
.
τp
• Zeit-Bandbreite-Produkt für Gaußsche Impulse
τp ∆ω = 4 ln(2).
(4.3.8)
Kurze Pulslängen sind mit einem breiten Spektrum verknüpft.
Betrachte jetzt Propagation in einem Medium. Für jede spektrale Komponente des Impulses gilt nach einer Propagationsstrecke z:
E (z, ω) = E (0, ω) eık(ω)z
mit k(ω) = n(ω) ω/c0.
(4.3.9)
Damit:
1
E (z, t) =
2π
4-6
Z∞
−∞
E (0, ω) h (ω, z) e−ıωt dω
(4.3.10)
4.3 Optische Impulse
1
1
0.8
|E(f)|
E(t)
2
0.5
0
-0.5
-1
-100
0.6
0.4
0.2
-50
0
t(fs)
50
0
100
1
400
420
340
360 380
f(THz)
400
420
0.8
2
|E(f)|
E(t)
360 380
f(THz)
1
0.5
0
-0.5
-1
-100
340
0.6
0.4
0.2
-50
0
t(fs)
50
0
100
Abbildung 4.4: Erste Zeile: Gaußscher Impuls mit τp = 10 fs. Zweite Zeile: Gaußscher Impuls
mit τp = 100 fs. Die Trägerfrequenz beträgt jeweils ω0 = 2π × 375 THz. Die
zugehörigen Spektren sind in der rechten Spalte abgebildet.
mit der Transferfunktion h (ω, z) = eık(ω)z .
Taylorentwicklung von k(ω) um ω0 :
dk
k(ω) = k(ω0 ) +
dω
!
1
(ω − ω0 ) +
2
ω0
d2 k
dω 2
!
ω0
(ω − ω0 )2 + · · ·
(4.3.11)
Abkürzungen:
dk
dω
β0 = k(ω0 ), β =
′
!
,β =
′′
ω0
d2 k
dω 2
!
.
(4.3.12)
ω0
Einsetzen in Transferfunktion liefert:
′
h (ω, z) = eıβ0 z eıβ (ω−ω0 )z eıβ
′′ (ω−ω
2
0) z
(4.3.13)
4-7
4 Wellenüberlagerung und Interferenz
Betrachte separat den Einfluss der einzelnen Terme der Transferfunktion:
• h (ω, z) = eıβ0 z → konstante Phasenänderung.
Der Brechungsindex bei der Trägerfrequenz n(ω0 ) folgt aus
n(ω0 ) =
β0 c0
.
ω0
(4.3.14)
′
• h (ω, z) = eıβ (ω−ω0 )z → konstante Phasenänderung und einer Verzögerung des Impulses.
1
E (z, t) =
2π
Z∞
(4.3.15)
−∞
−ıβ ′ ω0 z
=
′
E (0, ω) eıβ (ω−ω0 )z e−ıωt dω
e
2π
−ıβ ′ ω0 z
= e
Z∞
′
E (0, ω) e−ıω(t−β z) dω
(4.3.16)
−∞
E (0, t − τg ) .
(4.3.17)
Hierbei ist die Gruppenverzögerung durch τg = β ′z definiert.
Die Enveloppe bewegt sich ohne Formänderung mit einer konstanten Gruppengeschwindigkeit vg :
!
1
d
ng (ω)
1
n(ω) + ω n(ω) =
= β′ =
.
vg
c0
dω
c0
(4.3.18)
Die letzte Gleichung definiert den Gruppenindex ng .
• h (ω, z) = eıβ
′′ (ω−ω
2
0) z
→ Formänderung der Enveloppe.
Betrachte Unterschied in der Gruppenverzögerung für zwei Frequenzen ω1 und ω0
∆τg = (β ′ (ω1 ) − β ′ (ω0 )) z
!
dβ ′
′
′
≈ β (ω0 ) +
(ω1 − ω0 ) − β (ω0 ) z
dω
= zβ ′′ (ω1 − ω0 ) .
(4.3.19)
(4.3.20)
(4.3.21)
Für β ′′ 6= 0 werden die einzelnen spektralen Komponenten des Impulses unterschiedlich verzögert ⇒ Gruppengeschwindigkeitsdisperion (GVD: group velocity dispersion).
Definiere Dispersionskoeffizient:
D(λ) = −
4-8
2πc0 ′′
β .
λ2
(4.3.22)
4.3 Optische Impulse
Damit:
∆τg = −zD(λ)∆λ
mit
∆λ = −
∆ωλ2
2πc0
(4.3.23)
Anschauliche Bedeutung: Ein Impuls mit einer spektralen Bandbreite ∆λ wird nach
der Propagationsstrecke z in einen Medium mit Dispersionskoeffizient D(λ) um ∆τg
gedehnt.
Beispiel: Propagation Gaußscher Impulse in BK7-Glas.
• Trägerfrequenz: ω0 = 2π × 375 THz.
⇒ Zentralwellenlänge: λ0 = 800 nm.
• Propagationslänge: z = 1 mm.
• Brechungsindex: n(800 nm) = 1.51.
• Gruppenindex: ng (800 nm) = 1.527.
⇒ Gruppenverzögerung τp = 5090 fs.
• Dispersionskoeffizient: D(800 nm) = −128 ps/km × nm
• Impulslänge: τp = 10 fs.
⇒ Breite des Spektrums: ∆λ = 94 nm.
⇒ ∆τg ≈ 12 fs.
• Impulslänge: τp = 100 fs.
⇒ Breite des Spektrums: ∆λ = 9.4 nm.
⇒ ∆τg ≈ 1.2 fs.
Der 10-fs-Impuls ist nach 1 mm BK7 Glas bereits deutlich verformt! Beim 100-fs-Impuls
ergibt sich dagegen nur eine geringe zeitliche Verbreiterung.
4-9
4 Wellenüberlagerung und Interferenz
Dispersionskoeffizient (ps/km*nm)
1.55
Bechungsindex
Gruppenindex
1.54
n
1.53
1.52
1.51
1.5
1.49
600
800
1000
λ (nm)
1200
1400
1600
1
100
0
−100
−200
−300
−400
600
800
1000
λ (nm)
1600
Nach 1 mm BK7
0.5
E(t)
0.5
E(t)
1400
1
Vor der Probe
0
−0.5
−1
−30
1200
0
−0.5
−20
−10
0
t(fs)
10
20
30
−1
5060
5070
5080
5090
t(fs)
5100
5110
5120
Abbildung 4.5: (a) Brechungs- und Gruppenindex von BK7-Glas. (b) Dispersionskoeffizient von
BK7-Glas. (c) Gaußscher Impuls mit Impulslänge τp = 10 fs und Trägerfrequenz
ω0 = 2π × 375 THz. (d) Der gleiche Impuls nach der Propagation durch 1 mm
BK7 Glas.
4.4 Überlagerung zweier monochromatischer Wellen
gleicher Frequenz
Experiment: Fresnelscher Doppelspiegel mit Laser.
Wir betrachten jetzt zwei linear polarisierte Wellen E1 (r, t) und E2 (r, t) mit
E1 (r, t) = E1 (r) ê1 e−ıωt
E2 (r, t) = E2 (r) ê2 e−ıωt .
(4.4.1)
(4.4.2)
Die zugehörigen zeitlichen Mittelwerte der Intensitäten2 sind:
I1 (r) = |E1 (r)|2
I2 (r) = |E2 (r)|2 .
2
Wir vernachlässigen hier und im Folgenden die Konstanten
4-10
(4.4.3)
(4.4.4)
4.4 Überlagerung zweier monochromatischer Wellen gleicher Frequenz
Werden die beiden Wellen in einem Raumgebiet überlagert, so ist nach dem Superpositionsprinzip das resultierende elektrische Feld durch die Summe der beiden Felder gegeben:
E (r, t) = [E1 (r, t) ê1 + E2 (r, t) ê2 ] e−ıωt .
(4.4.5)
Der zeitliche Mittelwert der Intensität der resultierenden Welle ergibt sich nach Abschnitt
2.3.2 zu:
I(r) = < ℜ [E (r, t)] · ℜ [E (r, t)] >
= < ℜ [E1 (r, t)] · ℜ [E1 (r, t)] > + < ℜ [E2 (r, t)] · ℜ [E2 (r, t)] >
+2 < ℜ [E1 (r, t)] · ℜ [E2 (r, t)] >
q
= I1 (r) + I2 (r) + 2 I1 (r) I2 (r) cos (∆φ(r)) (ê1 · ê2 ) .
(4.4.6)
(4.4.7)
(4.4.8)
Hierbei ist ∆φ(r) = φ1 (r)−φ2 (r) die Phasenverschiebung der Welle 1 gegenüber der Welle
2 am Ort r.
Die Intensität der resultierenden Welle ist also nicht einfach die Summe der Intensitäten
der beiden Wellen sondern wird durch den sogenannten Interferenzterm (dritter Term in
Gleichung (4.4.8)) modifiziert. Abhängig von der relativen Phase kann die Gesamtintensität deshalb bei konstruktiver Interferenz größer oder bei destruktiver Interferenz kleiner
als sie Summe der Einzelintensitäten sein. Der Interferenzterm verschwindet, falls die
beiden Wellen orthogonal polarisiert sind, d.h., (ê1 · ê2 ) = 0.
Δk=k1-k2
E0
E0
k2
k1
2J
z
y
x
Abbildung 4.6: Überlagerung von zwei linear polarisierten ebenen Wellen.
Wir betrachten als instruktives Beispiel die Überlagerung zweier linear polarisierter ebener
Wellen gleicher Amplitude und identischer Polarisationsrichtung (ê1 = ê2 ):
E (r, t) = E0 eı(k1 ·r−ωt) + E0 eı(k2 ·r−ωt)
(4.4.9)
4-11
4 Wellenüberlagerung und Interferenz
Für die Intensität finden wir mit Gleichung (4.4.8):
I(r) = 2I0 [1 + cos (∆k · r)]
(4.4.10)
∆k = (k1 − k2 ) .
(4.4.11)
mit
Intensität (x)
4I0
0
a
x
Abbildung 4.7: Räumliche Modulation der Intensität bei der Überlagerung zweier ebener Wellen.
Abbildung 4.6 entnehmen wir, dass
|∆k| =
4π sin(θ)
.
λ
(4.4.12)
In Richtung von ∆k ist die Intensität periodisch moduliert. Es bilden sich Streifen niedriger und hoher Intensität aus, sogenannte Interferenzstreifen. Für den räumlichen Abstand
a zweier Interferenzmaxima gilt:
a=
λ
.
2 sin(θ)
(4.4.13)
Anwendungsbeispiel: Die Interferenzlithographie erlaubt die Herstellung von großflächigen
periodischen Photolackstrukturen. Hierzu wird ein Laserstrahl in mehrere Teilstrahlen
aufgeteilt. Die Überlagerung der Teilstrahlen führt zu einem Interferenzmuster, mit dem
ein Photolack belichtet wird. Eine 1D-periodische Struktur entsteht durch die Interferenz
von zwei Strahlen. Die Überlagerung von drei und vier Strahlen kann zur Herstellung von
periodischen 2D- und 3D-Strukturen genutzt werden.
4-12
4.5 Kohärenz
Abbildung 4.8: Elektronenmikoskopische Aufnahmen einer periodischen 2D-Photolackstruktur,
die mit einer Überlagerung von drei ebenen Wellen belichtet wurde. Quelle: Diplomarbeit Nils Feth.
4.5 Kohärenz
Experiment: Überlagerung von zwei unabhängigen Lichtfeldern.
• Kohärente Wellenüberlagerung: Die Phasenverschiebung ∆φ zwischen den Wellen
ist an einem gegebenen Ort r zeitlich konstant.
q
I(r) = I1 (r) + I2 (r) + 2 I1 (r) I2(r) cos (∆φ(r)) (ê1 · ê2 ) .
(4.5.1)
• Inkohärente Wellenüberlagerung: ∆φ ändert sich willkürlich und nimmt im Beobachtungszeitraum alle Werte zwischen 0 und 2π mit gleicher Wahrscheinlichkeit an.
Die zeitliche Mittlung führt zum Verschwinden des Interferenzterms.
I(r) = I1 (r) + I2 (r).
(4.5.2)
Gründe:
– Die Teilwellen weisen unterschiedliche Frequenzen auf.
– Die Frequenzen der Wellen ändern sich mit der Zeit.
– Die Lichtquellen senden endliche Wellenzüge mit statistisch verteilten Phasen
aus.
– Das Medium zwischen Quelle und Beobachtungsort besitzt einen zeitlich fluktuierenden Brechungsindex.
4-13
4 Wellenüberlagerung und Interferenz
– Mechanische Vibrationen führen zu einer zeitlichen Änderung der optischen
Wege.
Kohärente Teilwellen können erzeugt werden, indem wir die ausgehende Welle einer (idealerweise punktförmigen) primären Lichtquelle in mehrere Teilwellen aufspalten. Entsprechende optische Aufbauten werden als Interferometer bezeichnet.
• Amplitudenaufspaltung: Michelson-Interferometer. Mach-Zehnder-Interferometer.
• Wellenfrontaufspaltung: Youngscher Doppelspalt, Fresnelscher Spiegel.
4.5.1 Zeitliche Kohärenz und das Michelson Interferometer
Im Michelson-Interferometer wird eine einfallende Welle mit einem Strahlteiler in zwei
Teilwellen aufgespaltet. Nach der Weglänge L (Teilwelle 1) beziehungsweise L + ∆L (Teilwelle 2) werden die beiden Teilwellen an Spiegeln jeweils in sich zurückreflektiert. Der
Strahlteiler überlagert die zurücklaufenden Wellen wieder und die Intensität der Gesamtwelle wird am Ausgang des Interferometers gemessen.
L
L+ΔL
Abbildung 4.9: Michelsoninterferometer.
Die Weglängendifferenz 2∆L entspricht einer Verzögerung τ = 2∆L/c zwischen den beiden Teilwellen. Für die Gesamtwelle gilt somit:
E(r, t) = E0 (r, t) + E0 (r, t + τ ).
4-14
(4.5.3)
4.5 Kohärenz
Die Intensität der Gesamtwelle als Funktion der Verzögerung τ wird Interferogramm genannt. Am Ausgang des Interferometers finden wir:
I(τ ) = < |E(t)|2 >=< |E0 (t) + E0 (t + τ )|2 >
= < [E0 (t) + E0 (t + τ )] [E0∗ (t) + E0∗ (t + τ )] >
= < |E0 (t)|2 > + < |E0 (t + τ )|2 >
+ < E0 (t)E0∗ (t + τ ) > + < E0∗ (t)E0 (t + τ ) >
= 2I0 + G∗ (τ ) + G(τ ).
(4.5.4)
Hierbei haben wir in der letzten Zeile die zeitliche Korrelationsfunktion
G(τ ) =< E0∗ (t)E0 (t + τ ) >
(4.5.5)
eingeführt. Anschaulich beschreibt G(τ ) das zeitliche „Gedächtnis“ der Welle.
Wir definieren nun den komplexen zeitlichen Kohärenzgrad
G(τ )
< E0∗ (t)E0 (t + τ ) >
g(τ ) =
=
.
G(0)
I0
(4.5.6)
Zusammenfassen der letzten Zeilen liefert schließlich für das Interferogramm:
I(τ ) = 2I0 [1 + ℜ [g(τ )]] = 2I0 [1 + |g(τ )| cos(ϕ(τ ))] .
(4.5.7)
Für den komplexen zeitlichen Kohärenzgrad gilt:
0 ≤ |g(τ )| ≤ 1.
(4.5.8)
Hierbei entspricht die kohärente Wellenüberlagerung dem Fall |g(τ )| = 1 während für
inkohärente Wellenüberlagerung |g(τ )| = 0 gilt.
Interferogramm einer monochromatischen Welle
Experiment: Michelson-Interferometer.
Wir betrachten jetzt den Fall einer monochromatischen Welle
E0 (t) = A e−ıω0 t .
(4.5.9)
Der zugehörige komplexe zeitliche Kohärenzgrad lautet
g(τ ) = e−ıωτ .
(4.5.10)
Wir erhalten damit für das zugehörige Interferogramm:
I(τ ) = 2I0 [1 + cos(ωτ )] .
(4.5.11)
4-15
4 Wellenüberlagerung und Interferenz
1
Intensität
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-4
-3
-2
-1
0
1
2ΔL (λ)
2
3
4
Abbildung 4.10: Intensität am Ausgang eines Michelsoninterferometer für kohärente Wellenüberlagerung .
Interferogramm einer Welle mit mehreren Frequenzkomponenten
Wir wollen nun den Fall einer Lichtquelle untersuchen, deren Spektrum S(ω) = |E(ω)|2
in einem Bereich ∆ω um die Zentralfrequenz ω0 zentriert ist. Das emittierte Licht kann
als Superposition von vielen monochromatischen Wellen mit Frequenzen aus diesem Frequenzintervall aufgefasst werden.
Die Teilwellen überlagern sich inkohärent (Beweis: Übung), so dass wir die Interferogramme der einzelnen spektralen Komponenten zunächst separat betrachtet können:
Iω (τ ) = 2S(ω) [1 + cos(ωτ )] .
(4.5.12)
Das Gesamtinterferogram ergibt sich dann aus der Überlagerung der Interferogramme der
einzelnen spektralen Komponenten:
I(τ ) =
Z
Iω (τ )dω =
Z
2S(ω) [1 + cos(ωτ )] dω.
(4.5.13)
Wir betrachten jetzt als instruktives Beispiel den Fall eines „Kastenspektrums“ mit spektraler Breite ∆ω und Zentralfrequenz ω0 . Für τ = 0 überlagern sich alle Interferogramme
in Phase. Endliche Verzögerungen führen dagegen zu Phasenunterschieden zwischen den
einzelnen Teilwellen.
4-16
4.5 Kohärenz
w0-0.5Dw
Iw(τ)
Frequenz
w0+0.5Dw
−1.5
−1
−0.5
0
τ/τ
0.5
1
1.5
c
1
0.8
I(τ)/I0
0.6
0.4
0.2
0
−5
0
τ/τ
5
c
Abbildung 4.11: Oben: Interferogramme Iω (τ ) der einzelnen spektralen Komponeneten eines
„Kastenspektrums“. Unten: Zugehöriges Gesamtinterferogramm.
Nach der Kohärenzzeit
τc =
2π
∆ω
(4.5.14)
erreicht der Phasenunterschied zwischen den beiden extremen Frequenzkomponenten
ω0 − ∆ω/2 und ω0 + ∆ω/2 einen Wert von 2π. Die Überlagerung der einzelnen Interferogramme führt für Verzögerungen τ > τc zur Unterdrückung des Interferenzsignals.
Die Kohärenzzeit gibt damit anschaulich an, wie lange sich die Welle an die Phase an
einem vorgegebenen Ort zu einem früheren Zeitpunkt „erinnert“.
4-17
4 Wellenüberlagerung und Interferenz
Äquivalent zur Kohärenzzeit können wir auch eine longitudinale Kohärenzlänge lc angeben:
lc = cτc .
(4.5.15)
Die longitudinale Kohärenzlänge lc gibt anschaulich die Länge des Wellenzuges in Aubreitungsrichtung an, für den die Phase einen definierten Wert annimmt.
Eine von der speziellen Form des Spektrums unabhängige Definition der Kohärenzzeit
lautet:
τc =
Z
∞
|g(τ )|2dτ.
−∞
(4.5.16)
Die obige Betrachtung legt nahe, dass die zeitliche Korrelationsfunktion G(τ ) und das
Spektrum S(ω) miteinander in Beziehung stehen. Eine genaue Analyse zeigt (WienerKhinchin-Theorem):
S(ω) =
Z
∞
G(τ ) exp(ıωτ )dτ.
(4.5.17)
−∞
Somit gilt:
τc ∆ω = const.
(4.5.18)
Die Kohärenzzeit τc wird also wird durch die Breite des Spektrums ∆ω und dessen Form
bestimmt. Ein breites Spektrum bedingt eine kurze Kohärenzzeit. Diese Aussage gilt unabhängig von der Art der Lichtquelle (Laser oder Glühlampe).
4.5.2 Räumliche Kohärenz und der Youngsche Doppelspaltversuch
Experiment: Wellenwanne mit Doppelspalt.
Im Folgenden analysieren wir den in Abbildung 4.12 dargestellten Doppelspaltversuch.
Beleuchtung mit punktförmiger Lichtquelle
Das Licht einer weit entfernten monochromatischen Lichtquelle fällt auf einen Spalt S0 in
einem lichtundurchlässigen Schirm. S0 dient seinerseits als punktförmige Lichtquelle, die
zwei dünne Spalte S1 und S2 in einem zweiten lichtundurchlässigen Schirm beleuchtet. Das
durch S1 und S2 transmittierte Licht wird auf einem weit entfernten Schirm beobachtet.
4-18
4.5 Kohärenz
S0
P
l1
S1
y
d
l2
S2
q
D
Abbildung 4.12: Youngscher Doppelspaltversuch.
Wir nehmen zunächst an, dass die Abstände S0 S1 und S0 S2 gleich groß sind. Die elektrischen Felder in den beiden Spalten schwingen damit in Phase.
Für d ≪ D können wir die Weglängendifferenz ∆l = l1 − l2 zwischen den beiden Spalten
und dem Beobachtungspunkt bestimmen, in dem wir das Lot von S1 auf S2 P fällen. Wir
erhalten dann:
∆l = d sin(θ) ≈ dθ.
(4.5.19)
l1
S1
d
q
S2
l2
Dl
Abbildung 4.13: Weglängendifferenz beim Youngschen Doppelspaltversuch für einen weit entfernten Beobachtungsschirm.
Den Winkel θ entnehmen wir Abbildung 4.12:
θ≈
y
.
D
(4.5.20)
Insgesamt gilt damit für die Weglängendifferenz:
∆l =
dy
.
D
(4.5.21)
4-19
4 Wellenüberlagerung und Interferenz
Die Intensität in einem Punkt P auf dem Beobachtungsschirm ergibt sich aus der kohärenten Überlagerung der von den beiden Spalten emittierten Wellen:
2
I = 2I0 [1 + cos(k∆l)] = 4I0 cos
k∆l
2
!
!
πdy
.
λD
2
= 4I0 cos
(4.5.22)
4
3.5
3
I(y)
2.5
2
1.5
1
0.5
0
−4
−2
0
2
4
y(D λ /d)
Abbildung 4.14: Intensität auf dem Beobachtungsschirm.
Die beiden Wellen interferieren konstruktiv, wenn die Weglängendifferenz ein vielfaches
der Wellenlänge ist:
∆l = mλ.
(4.5.23)
Die zugehörige Position ym des m-ten Interferenz-Maximums auf dem Beobachtungsschirm ist
ym =
Dmλ
.
d
(4.5.24)
Der Abstand zwischen zwei Interferenzmaxima ergibt sich zu
ym+1 − ym =
Dλ
.
d
Beleuchtung mit ausgedehnter Lichtquelle
Experiment: Youngscher Doppelspaltversuch.
4-20
(4.5.25)
4.5 Kohärenz
Experiment: Fresnelscher Doppelspiegel.
Wir untersuchen nun den Fall, dass die beiden Spalte S1 und S2 von einer ausgedehnten
thermischen Lichtquelle der Breite b beleuchtet werden. Die Lichtemission von verschiedenen Punkten der Lichtquelle geschieht voneinander unabhängig mit statistisch verteilten
Phasen, so dass sich die zugehörigen Wellen inkohärent überlagern.
S1
r1
f
b
Q1
O
Q2
f
d
r2
Dr
S2
R
Abbildung 4.15: Beleuchtung mit einer ausgedehneten Lichtquelle.
Die Abstände von der Mitte der Lichtquelle O zu den beiden Spalten S1 und S2 seien
gleich groß (OS1 = OS2 ). Monochromatisches Licht, das von O emittiert wird, erzeugt
damit auf dem Beobachtungsschirm ein Interferenzmuster der Form 4.5.22.
Als nächstes betrachten wir den Randpunkt Q1 der Lichtquelle. Die Entfernungen von Q1
zu den beiden Spalten S1 und S2 sind verschieden groß. Für die Weglängendifferenz gilt:
∆r = r1 − r2 = Q1 S1 − Q1 S2 = Q1 S1 − Q2 S1 .
(4.5.26)
Wir nehmen im Folgenden an, dass R ≫ b, d. In diesem Fall gilt:
∆r ≈ b sin(φ).
(4.5.27)
Abbildung 4.15 entnehmen wir
tan(φ) =
d
.
2R
(4.5.28)
Mit φ ≈ sin(φ) ≈ tan(φ) gilt:
∆r =
bd
.
2R
(4.5.29)
4-21
4 Wellenüberlagerung und Interferenz
Aufgrund der Weglängendifferenz ∆r weisen die von Q1 ausgehenden Wellen in S1 und
S2 eine Phasendifferenz k∆r auf. Damit erhalten wir für den Punkt P auf dem Beobachtungsschirm:
I = 2I0 [1 + cos(k∆r + k∆l)] = 4I0 cos
2
k∆r + k∆l
2
!
= 4I0 cos
2
!
πbd
πdy
+
.
2λR
λD
(4.5.30)
Das Interferenzmuster besitzt die selbe Periode wie bei der Beleuchtung mit einer punktförmigen Lichtquelle. Allerdings sind die Positionen der Maxima im Vergleich zum vorherigen Fall um die Strecke
∆y = −
bD
2R
(4.5.31)
auf dem Schirm verschoben.
Die Gesamtintensität im Punkt P ergibt sich durch die inkohärente Überlagerung der
Interferenzmuster aller Punkte der Lichtquelle. Für ∆y = (ym+1 − ym )/2 wird das Interferenzsignals auf dem Beobachtungsschirm unterdrückt.
Zur Beobachtung von Interferenzeffekten muß der Abstand der Spalte S1 und S2 bei
Beleuchtung mit einer ausgedehnten Lichtquelle kleiner als die transversale Kohärenzlänge
lt sein. Mit Hilfe von Gleichung (4.5.31) finden wir:
lt =
λR
λ
= .
b
Φ
(4.5.32)
Hierbei ist Φ der Winkel, unter dem die Lichtquelle von den Spalten aus gesehen wird.
4.6 Vielstrahlinterferenz
4.6.1 Fabry-Perot-Etalon
Experiment: Pohlsche Glimmerplatte.
Wir betrachten eine dielektrische Platte der Dicke d und Brechzahl ns , die nach beiden
Seiten von Luft umgeben ist.
Eine einfallende Welle wird zwischen den beiden Grenzflächen vielfach hin- und her reflektiert. Um den Transmissions- und Reflexionsgrad der Platte zu bestimmen, müssen
wir die einzelnen Partialwellen phasenrichtig aufsummieren.
4-22
4.6 Vielstrahlinterferenz
+
ns
E0tt‘r‘7 ei4f
+
+
E0tt‘r‘5 ei3f
+
Er
i3f
4
i2f
+
E0tt‘r‘ e
E0tt‘r‘3 ei2f
2
+
E0tt‘r‘ e
+
6
E0tt‘r‘ e
E0tt‘r‘ e
if
E0tt‘
E0r
if
Et
+
+
Jt
E0
d
Abbildung 4.16: Interferenz der verschiedenen Partialwellen führt zur Ausbildung der resultierenden reflektierten und transmittierten Welle.
Die resultierende transmittierte Welle ergibt sich aus der Superposition der transmittierten Partialwellen:
Et = E0 tt′ 1 + r ′2 eiδ + r ′2 eiδ
Hierbei ist:
|
2
{z
+ r ′2 eiδ
GeometrischeReihe
3
+ · · · = E0 tt′
}
1
1 − r ′2 eiδ
(4.6.1)
• t: Amplituden-Transmissionskoeffizient der Grenzfläche Luft/Dielektrikum.
• t′ : Amplituden-Transmissionskoeffizient der Grenzfläche Dielektrikum/Luft.
• r: Amplituden-Reflektionskoeffizient der Grenzfläche Luft/Dielektrikum.
• r ′ : Amplituden-Reflektionskoeffizient der Grenzfläche Dielektrikum/Luft.
• δ = 2k0 ns cos(θt )d: Phasenunterschied zweier aufeinander folgender Partialwellen
aufgrund von Propagation (Beweis: Übung).
Im Folgenden gehen wir von einem verlustfreien Medium aus. Aus den Fresnel-Formeln
folgt für diesen Fall:
r ′ = −r
und r 2 + tt′ = 1
(4.6.2)
4-23
4 Wellenüberlagerung und Interferenz
Der Transmissionsgrad der Platte ist damit3 :
|Et |2
1
T =
=
2
|E0 |
1 + F sin2 (δ/2)
(4.6.3)
mit dem Finesse-Koeffizient
2r
F =
1 − r2
2
(4.6.4)
.
Da wir ein verlustfreies Medium betrachten gilt
T + R = 1.
(4.6.5)
Somit folgt:
R=
F sin2 (δ/2)
.
1 + F sin2 (δ/2)
(4.6.6)
1
1
F=0.1
F=1
F=10
F=100
0.8
F=0.1
F=1
F=10
F=100
0.8
0.6
T
R
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0
0
0.5
1
1.5 2
δ (2π)
2.5
3
3.5
0
0
0.5
1
1.5 2
δ (2π)
2.5
3
3.5
Abbildung 4.17: Transmissionsgrad (links) und Reflexionsgrad (rechts) einer dielektrischen
Schicht für verschiedene Finesse-Koeffizienten F .
Transmissions-Maxima (alle transmittierten Partialwellen sind in Phase!) treten auf für
δ = 2k0 ns cos(θt )d = 2mπ, m ∈ N.
3
(4.6.7)
Beachte: Die Welle bewegt sich vor und hinter der Platte im selben Medium, so dass die zugehörigen
Wellenvektoren parallel sind.
4-24
4.6 Vielstrahlinterferenz
Der freie Spektralbereich ist der Frequenzabstand zweier aufeinanderfolgender Transmissionsmaxima:
c0
∆νFSR = νm+1 − νm =
.
(4.6.8)
2ns cos(θt )d
Für F ≫ 1 gilt für die spektrale Halbwertsbreite eines Peaks
∆νFWHM = √
c0
.
F πns cos(θt )d
(4.6.9)
Experiment: Fabry-Perot-Interferometer.
4.6.2 T-Matrix und S-Matrix
Experiment: Antireflexschicht.
Als nächstes betrachten wir eine Abfolge von mehreren planaren dielektrischen Schichten.
(a)
(b)
1
U1(-)
U2(-)
U1(+)
U2(+)
2
Abbildung 4.18: Analyse eines dielektrischen Schichtsystems durch (a) „Summation von Hand“
und (b) Zusammenfassen der vorwärts und rückwärts propagierenden Partialwellen.
Problem: „Summation von Hand“ wird bei mehreren dielektrischen Schichten schnell unübersichtlich!
Lösung: Fasse jeweils in einer Ebene alle vorwärts und rückwärts propagierenden Partialwellen zusammen.
(+)
=
(−)
=
Ui
Ui
X
X
alle in der Ebene i vorwärts propagierenden Partialwellen
(4.6.10)
alle in der Ebene i rückwärts propagierenden Partialwellen
(4.6.11)
4-25
4 Wellenüberlagerung und Interferenz
Die Felder in den Ebenen 1 und 2 sind über eine Transfer-Matrix (T-Matrix) M miteinander verknüpft:
(+)
U2
(−)
U2
!
=
"
|
A B
C D
#
{z
}
M
(+)
U1
(−)
U1
M1
!
(4.6.12)
M2
M3
...
MN
M
Abbildung 4.19: Die T-Matrix eines zusammengesetzten Systems ist das Produkt der einzelnen
T-Matrizen.
Die T-Matrix eines zusammengesetzten Systems ist das Produkt der einzelnen TMatrizen:
M = MN · · · M2 M1
(4.6.13)
Gleiches Problem aber andere Sichtweise: Die auslaufenden Felder sind über eine StreuMatrix (S-Matrix) S mit den einlaufenden Feldern verknüpft:
(+)
U2
(−)
U1
!
=
"
t12 r22
r11 t21
#
|
{z
}
S
(+)
U1
(−)
U2
!
(4.6.14)
Hierbei haben die Koeffizienten die folgende physikalische Bedeutung:
• t12 : Amplituden-Transmissionskoeffizient für Propagation in Vorwärtsrichtung.
• t21 : Amplituden-Transmissionskoeffizient für Propagation in Rückwärtsrichtung.
• r11 : Amplituden-Reflektionskoeffizient für Lichteinfall von links (Vorwärtsrichtung).
• r22 : Amplituden-Reflektionskoeffizient für Lichteinfall von rechts (Rückwärtswärtsrichtung).
Achtung: Die S-Matrix eines zusammengesetzten Systems ist nicht das Produkt der einzelnen S-Matrizen.
4-26
4.6 Vielstrahlinterferenz
(a)
(b)
(+)
U1(+)
(-)
2
(-)
1
U2
U1(+)
U2
S
M
U
(-)
1
U
1
(+)
U
U2(-)
2
1
2
Abbildung 4.20: Vergleich von T-Matrix (a) und S-Matrix (b). Die Matrizen verknüpfen jeweils
die „orangenen“ Felder mit den zugehörigen „blauen“ Feldern.
Die Koeffizienten der T-Matrix und S-Matrix sind über die folgenden Beziehungen miteinander verknüpft (Beweis: Übung):
S=
"
M=
#
t12 r22
r11 t21
"
A B
C D
#
1
=
D
"
AD − BC B
−C
1
#
1
=
t21
"
t12 t21 − r11 r22 r22
−r11
1
(4.6.15)
#
(4.6.16)
Propagation in einem homogenen Medium
d
U2(+)
U1(+)
n
U1
(-)
U2
1
(-)
2
Abbildung 4.21: Propagation in einem homogenen Medium.
Zusätzlicher Phasenfaktor aufgrund der Propagation:
(+)
U2
(+)
(−)
= eıϕ U1 , U1
(−)
= eıϕ U2
(4.6.17)
mit
ϕ = nk0 d
(4.6.18)
4-27
4 Wellenüberlagerung und Interferenz
Damit:
S=
"
#
eıϕ 0
0 eıϕ
,M =
"
eıϕ
0
−ıϕ
0 e
#
(4.6.19)
Grenzfläche zwischen zwei dielektrischen Medien (senkrechter Einfall)
n1
n2
U1
(+)
U2
(+)
(-)
U2
(-)
U1
Abbildung 4.22: Grenzfläche zwischen zwei Medien.
Transmissions- und Reflexionskoeffizienten folgen aus Fresnel-Formeln:
S=
"
t12 r22
r11 t21
1
M=
2n2
"
#
1
=
n1 + n2
"
n2 + n1 n2 − n1
n2 − n1 n2 + n1
2n1
n2 − n1
n1 − n2
2n2
#
(4.6.20)
#
(4.6.21)
Dielektrische Schicht (senkrechter Einfall)
Dielektrische Schicht der Dicke d mit Brechungsindex nAR zwischen zwei Medien mit
Brechungsindizes n1 bzw. n2 .
1
M=
4n2 nAR
"
n2 + nAR n2 − nAR
n2 − nAR n2 + nAR
#"
eiϕAR
0
−iϕAR
0
e
#"
#
nAR + n1 nAR − n1
nAR − n1 nAR + n1
(4.6.22)
mit
ϕAR = nAR k0 d.
4-28
(4.6.23)
4.6 Vielstrahlinterferenz
n1
nAR
U1
n2
(+)
U2
(+)
(-)
U2
(-)
U1
d
Abbildung 4.23: Antireflexschicht.
Für n2AR = n1 n2 und d =
λ0
4nAR
wirkt die Schicht als Antireflexschicht (Beweis: Übung).
Beispiel:
Antireflexbeschichtung für SF10-Glas im sichtbaren Spektralbereich (λ = 500nm).
SF-10 Glas: n1 = 1.75
Luft n2 = 1
⇒ nAR = 1.32 (Kyrolith: n = 1.35)
d = 85 nm
4-29