Inhalt - CeVis

1
Inhalt
1 Abbildungen in der Ebene..................................................... 2
1.1 Verschiebung.................................................................. 3
1.2 Spiegelung...................................................................... 3
1.2.1 Achsenspiegelung .................................................... 3
1.3 Drehung.......................................................................... 4
1.3.1 Die Drehung ............................................................. 4
1.4 Zentrische Streckung...................................................... 5
2 Funktionen ............................................................................ 7
2.1 Der Begriff der Funktion ................................................. 8
2.1.1 Zuordnungen ............................................................ 8
2.1.2 Funktionen................................................................ 9
2.1.3 Darstellung von Funktionen.................................... 10
2.1.4 Beispiele................................................................. 11
2.2 Wichtige Funktionenklassen......................................... 14
2.2.1 Lineare Funktionen................................................. 14
2.2.2 Quadratische Funktionen ....................................... 17
2.2.3 Ganzrationale Funktionen ...................................... 19
2.2.4 Gebrochenrationale Funktionen ............................. 21
2.2.5 Trigonometrische Funktionen................................. 22
2.2.6 Exponentialfunktionen ............................................ 24
2.2.7 Weitere Funktionen ................................................ 25
2.3 Zusammenfassung und Ausblick.................................. 26
3 Abbildungen von Funktionsgraphen ................................... 27
3.1 Allgemeines Schema.................................................... 27
3.2 Verschiebungen............................................................ 28
3.2.1 Die Verschiebung von Funktionsgraphen .............. 28
3.2.2 Periodische Funktionen.......................................... 30
3.3 Achsenspiegelungen .................................................... 31
3.3.1 Achsenspiegelung an der Abszisse ....................... 31
3.3.2 Achsenspiegelung an der Ordinate ........................ 31
3.3.3 Spiegelungen
an
der
Diagonalen
y=x;
Umkehrfunktionen ............................................................. 33
3.4 Achsenstreckungen ...................................................... 36
3.5 Zentrische Streckungen................................................ 38
3.6 Drehungen.................................................................... 39
2
1 Abbildungen in der Ebene
Wir behandeln in diesem Kapitel Abbildungen von Objekten in der
Ebene. Der Begriff „Transformation“ steht als Synonym für die im
Folgenden behandelten Abbildungen, nämlich
•
•
•
•
Verschiebungen,
Spiegelung,
Drehung,
Zentrische Streckung.
Eine affine Abbildung ist eine Abbildung der Ebene auf sich, die
jedem Punkt P umkehrbar eindeutig einen Bildpunkt P` zuordnet und
die geradengetreu, parallelengetreu und teilverhältnistreu ist.
Bei den affinen Abbildungen unterscheidet man zwischen
Kongruenzabbildungen (z.B. Verschiebung, Spiegelung, Drehung),
Ähnlichkeitsabbildungen (z.B. zentrische Streckung und Stauchung)
und flächenmaßtreuen Abbildungen (z.B. Scherung).
Eine Ähnlichkeitsabbildung ist eine Abbildung der Ebene auf sich,
die jedem Punkt P umkehrbar eindeutig einen Bildpunkt P` zuordnet
und die geradengetreu, parallelengetreu, teilverhältnistreu und
winkelmaßtreu ist.
Eine Kongruenzabbildung ist eine Abbildung der Ebene auf sich, die
jedem Punkt P umkehrbar eindeutig einen Bildpunkt P` zuordnet und
die geradengetreu, parallelengetreu, teilverhältnistreu, winkelmaßtreu
und längenmaßtreu ist.
Abb. 1.1: Überschrift einfügen
Für
den
schulischen
Unterricht
sind
vor
allem
Kongruenzabbildungen und die Ähnlichkeitsabbildungen
Bedeutung.
die
von
3
1.1 Verschiebung
Definition 1.1:
!
Die Verschiebung (Translation) Va! um einen Vektor a ist eine
Abbildung der Ebene auf sich, die jedem Punkt P einen Bildpunkt P´
!
so zuordnet, dass PP´ = a gilt.
Abb. 1.2: Überschrift einfügen
&1#
Bei der Verschiebung um den Vektor $$ !! wird jeder Punkt in x1 % 3"
Richtung um eine Einheit nach rechts und in x2 -Richtung um drei
Einheiten nach oben verschoben. Es gilt also:
x1 ' = x1 + 1 = 1! x1 + 0 ! x2 + 1
x2 ' = x2 + 3 = 0 ! x1 + 1! x2 + 3
oder in Matrix-Vektor-Schreibweise
! x1 ' $ ! 1 0 $ ! x1 $ ! 1$
#" x '&% = #" 0 1 &% #" x &% + #" 3&% .
2
2
1.2 Spiegelung
Man unterscheidet dabei die Spiegelung an einem Punkt und an einer
oder mehreren Geraden.
1.2.1 Achsenspiegelung
Die Achsenspiegelung an einer Geraden (Achse) a ist eine Abbildung
in der Ebene auf sich, die jedem Punkt P einen Bildpunkt P´ so
zuordnet, dass
(1) P´ auf dem Lot zur Achse a durch P liegt,
(2) der Lotfußpunkt F die Strecke PP´ halbiert.
4
Abb. 1.3: Überschrift einfügen
Die Spiegelung an einer Geraden, die durch den Ursprung 0 verläuft
und mit der x1 - Achse den Winkel ! einschließt, ist gegeben durch
!
!
x ' = A ! x , wobei die Abbildungsmatrix
# cos 2!
A= %
$ sin 2!
sin 2! &
" cos 2! ('
ist.
Abb. 1.4: Die Punktspiegelung ist eine Spiegelung an zwei sich
schneidenden und senkrecht zueinander stehenden Achsen. Siehe
auch Punkt 1.3.2.
1.3 Drehung
1.3.1
Die Drehung
Die Drehung um einen Punkt F und einen Winkel ! ist eine Abbildung
in der Ebene auf sich, die jedem Punkt P einen Bildpunkt P´ so
zuordnet, dass
(1) P´ auf dem Kreis um F durch P liegt,
(2) die Strecken FP und FP´ den Winkel ! einschließen.
5
Abb. 1.5: Überschrift einfügen
Die Drehung um den Ursprung 0 um den Winkel ! einschließt, ist
!
!
gegeben durch x ' = A ! x , wobei die Abbildungsmatrix
# cos !
A=%
$ sin !
" sin ! &
cos ! ('
ist.
Abb. 1.6: Die Spiegelung an zwei sich schneidenden
Spiegelachsen, die einen Winkel ! einschließen, ist eine
Drehung um den Schnittpunkt beider Geraden mit dem
Drehwinkel 2! . Die Punktspiegelung ist eine Drehung um den
Schnittpunkt zweier senkrecht zueinander stehenden Achsen mit
dem Drehwinkel 180°.
1.4 Zentrische Streckung
Die zentrische Streckung mit dem Zentrum F und dem Streckfaktor k
(k ! 0) ist eine Abbildung in der Ebene auf sich, die jedem Punkt P
einen Bildpunkt P´ so zuordnet, dass
(1) P´ auf der Geraden durch F und P liegt,
(2) FP´ = k " FP
Die Längenmaße ändern sich im Verhältnis 1 : k die Flächenmaße im
Verhältnis 1 : k 2 .
6
Abb. 1.7: Überschrift einfügen
Die zentrische Streckung mit dem Ursprung als Streckzentrum und den
Streckfaktoren a in x-Richtung und b in y-Richtung, a,b !! {0} , ist
!
!
gegeben durch x ' = A ! x ,wobei die Abbildungsmatrix
! a 0$
A=#
" 0 b &%
ist.