Lemma. Sei n ≥ 1 eine natürliche Zahl. Dann gilt 12 + 22 + + (n

Lemma. Sei n ≥ 1 eine natürliche Zahl. Dann gilt
12 + 22 + ... + (n − 1)2 + n2 =
n3
n2
n
+
+ .
3
2
6
Definition. Sei f : X → Y eine Funktion.
• Die Funktion f heisst injektiv, eine Injektion oder eine eindeutige Abbildung, falls für alle x1 , x2 ∈ X gilt, dass
f (x1 ) = f (x2 ) =⇒ x1 = x2 .
• Die Funktion f ist surjektiv, eine Surjektion oder eine Funktion von X auf Y , falls f (X) = Y .
• Die Funktion f heisst bijektiv, eine Bijektion oder eine eineindeutige Abbildung, falls f surjektiv und injektiv
ist.
Lemma. Seien f : X → Y und g : Y → Z Funktionen.
a) Falls f und g injektiv sind, dann ist auch g ◦ f injektiv.
b) Falls f und g surjektiv sind, dann ist auch g ◦ f surjektiv.
c) Falls f und g bijektiv sind, dann ist auch g ◦ f bijektiv und es gilt (g ◦ f )−1 = f −1 ◦ g −1 .
Definition. Für eine Funktion f : X → Y und eine Teilmenge B ⊂ Y definieren wir das Urbild f −1 (B) von B unter f als
f −1 (B) = {x ∈ X | f (x) ∈ B}.
Definition. Eine Relation ∼ auf X ist eine Äquivalenzrelation, falls folgende drei Eigenschaften erfüllt sind:
• Reflexivität: ∀x ∈ X : x ∼ x.
• Symmetrie: ∀x, y ∈ X : x ∼ y =⇒ y ∼ x.
• Transitivität: ∀x, y, z ∈ X : ((x ∼ y) ∧ (y ∼ z)) =⇒ x ∼ z.
Definition. Sei ∼ eine Äquivalenzrelation auf einer Menge X. Dann wird für x ∈ X die Menge
[x]∼ = {y ∈ X | y ∼ x}
die Äquivalenzklasse von x genannt. Weiters ist
X ∼ = {[x]∼ | x ∈ X}
der Quotient von X modulo ∼. Ein Element x ∈ X wird auch Repräsentant seiner Äquivalenzklasse [x]∼ genannt.
Definition.
Sei X eine Menge und P eine Familie von nicht-leeren, paarweise disjunkten Teilmengen von X, so dass
F
X = P ∈P P . Dann wird P eine Partition von X genannt.
Proposition. Sei X eine Menge. Dann entsprechen Äquivalenzrelationen auf X und Partitionen von X einander im
folgenden Sinne: Für eine gegebene Äquivalenzrelation ∼ auf X ist die Menge
P∼ = {[x]∼ | x ∈ X}
eine Partition von X. Umgekehrt definiert für eine Partition P von X
x ∼P y ⇐⇒ ∃P ∈ P : x ∈ P ∧ y ∈ P
für x, y ∈ X eine Äquivalenzrelation auf X. Des Weiteren sind die Konstruktion der Partition aus der Äquivalenzrelation
und die Konstruktion der Äquivalenzrelation aus der Partition zueinander inverse Konstruktion: Für jede Partition P von
X gilt P∼P = P und für jede Äquivalenzrelation ∼ auf X gilt ∼P∼ =∼.
Definition. Eine Menge X heisst überabzählbar, falls N schmächtiger ist als X, aber N nicht gleichmächtig zu X ist. Wir
haben bewiesen, dass P(N) überabzählbar ist. Die Kardinalität von P(N) wird auch mit c bezeichnet und das Kontinuum
genannt.
Lemma.
(i) Für
(ii) Für
(iii) Für
Die komplexe Konjugation erfüllt folgende Eigenschaften:
alle z ∈ C ist z z̄ ∈ R und z z̄ ≥ 0. Des Weiteren gilt für alle z ∈ C, dass z z̄ = 0 genau dann, wenn z = 0.
alle z, w ∈ C gilt z + w = z + w.
alle z, w ∈ C gilt z · w = z · w.
Definition. Eine Teilmenge U ⊂ R heisst offen, wenn für jedes x ∈ U ein ε > 0 existiert mit
{y ∈ R | |y − x| < ε} = (x − ε, x + ε) ⊂ U.
Eine Teilmenge A ⊂ R heisst abgeschlossen, wenn ihr Komplement R \ A offen ist.
Definition. Eine Teilmenge U ⊂ C heisst offen, wenn zu jedem Punkt in U ein offener Ball um diesen Punkt existiert, der
in U enthalten ist. Formaler: Für alle z ∈ U existiert ein Radius r > 0, so dass Br (z) ⊂ U . Eine Teilmenge A ⊂ C heisst
abgeschlossen, falls ihr Komplement C \ A offen ist.
Satz. Sei X ⊂ R eine von oben beschränkte, nicht-leere Teilmenge. Dann gibt es eine kleinste obere Schranke von X,
die auch das Supremum sup(X) von X genannt wird. Formal gelten also für s0 = sup(X) folgende Eigenschaften:
(a) (s0 ist eine obere Schranke) ∀x ∈ X : x ≤ s0
(b) (s0 ist kleiner gleich jeder oberen Schranke) ∀s ∈ R : ((∀x ∈ X : x ≤ s) =⇒ s0 ≤ s)
Äquivalenterweise kann s0 = sup(X) auch durch (a) und die folgende Bedingung definiert werden:
(b’) (Kleinere Zahlen sind keine oberen Schranken) ∀ε > 0 ∃x ∈ X : x > s0 − ε.
Satz. Es gelten folgende Aussagen:
(i) Jede nicht-leere, von oben beschränkte Teilmenge von Z hat ein Maximum.
(ii) Für jedes x ∈ R existiert genau ein n ∈ Z mit n ≤ x < n + 1.
(iii) Für jedes ε > 0 existiert ein n ∈ N mit n1 < ε.
Satz. Sei für jedes n ∈ N ein nicht-leeres, abgeschlossenes, beschränktes Intervall In = [an , bn ] gegeben, so dass für alle
natürlichen Zahlen m ≤ n die Inklusion Im ⊃ In oder äquivalenterweise die Ungleichungen am ≤ an ≤ bn ≤ bm gelten.
Dann ist der Durchschnitt
∞
\
In = sup{an | n ∈ N}, inf{bn | n ∈ N}
n=1
nicht-leer.
Definition. Die Cantor-Menge ist der Schnitt C =
durch
C1 = [0, 1],
T∞
n=1
Cn , wobei die Mengen Cn für n ∈ N rekursiv definiert sind
Cn+1 =
1
Cn ∪
3
1
2
Cn +
3
3
.
Lemma. Für alle reellen Zahlen a ≥ −1 und n ∈ N0 gilt (1 + a)n ≥ 1 + na.
Proposition. Sei n ∈ N0 und q ∈ C. Dann gilt
n
X
(
qk =
n+1
falls q = 1
falls q =
6 1
q n+1 −1
q−1
k=0
Proposition. Für alle n, k ∈ N0 mit 0 ≤ k ≤ n − 1 gilt n0 = nn = 1 und
n
n
n+1
(1)
+
=
.
k
k+1
k+1
Insbesondere ist nk ∈ N für alle n, k ∈ N0 mit 0 ≤ k ≤ n.
Satz. Für w, z ∈ C und n ∈ N0 gilt
n
(w + z) =
n X
n
k=0
k
wn−k z k .
Proposition. Für jedes d ∈ N0 gibt es Konstanten c0 , ..., cd ∈ Q, so dass
n
X
1
nd+1 + cd nd + ... + c1 n + c0
kd =
d+1
k=1
für alle n ∈ N.
Proposition. Für jedes d ∈ N0 ist pd (x) ein
Polynom mit rationalen Koeffizienten vom Grad d; für alle k ∈ N0 mit k < d
gilt pd (k) = 0. Des Weiteren gilt pd (n) = nd für alle n ∈ N0 mit n ≥ d und wir haben die Summenformel
n
X
pd (k) = pd+1 (n + 1)
k=0
für alle n ∈ N.
Definition. Sei f : D → R eine Funktion. Wir sagen, dass f stetig bei einem Punkt x0 ∈ D ist, falls es für alle ε > 0
ein δ > 0 gibt, so dass für alle x ∈ D die Implikation
|x − x0 | < δ =⇒ |f (x) − f (x0 )| < ε
gilt. Die Funktion f ist stetig, falls sie bei jedem Punkt in D stetig ist. Formal gilt also
f ist stetig ⇐⇒ ∀x0 ∈ D : ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ D : |x − x0 | < δ =⇒ |f (x) − f (x0 )| < ε.
Satz. Sei I ⊂ R ein Intervall, f : I → R eine stetige Funktion und a, b ∈ I. Für jedes c ∈ R zwischen f (a) und f (b) gibt es
ein x ∈ R zwischen a und b, so dass f (x) = c gilt.
Satz. Sei I ein Intervall und f : I → R eine stetige, streng monotone Funktion. Dann ist f (I) ⊂ R wieder ein Intervall und
die Abbildung f : I → f (I) hat eine stetige, streng monotone inverse Abbildung f −1 : f (I) → I.
Definition. Für eine beschränkte Funktion f ∈ F ([a, b]) wird I(f ) = sup U(f ) das untere Integral von f und I(f ) =
inf O(f ) das obere Integral von f genannt. Die Funktion f heisst Riemann-integrierbar, oder kurz R-integrierbar,
falls I(f ) = I(f ). In diesem Fall wird dieser gemeinsame Wert das Riemann-Integral
ˆ b
f dx = I(f ) = I(f )
a
genannt. Des Weiteren definieren wir
R([a, b]) = {f ∈ F ([a, b]) | f ist Riemann-integrierbar}.
Proposition. Sei f ∈ F ([a, b]) beschränkt. Folgende Bedingungen sind äquivalent:
(i) f ist Riemann-integrierbar.
(ii) Es existiert höchstens eine (oder auch genau eine) reelle Zahl I, die die Ungleichungen
ˆ b
ˆ b
u dx ≤ I ≤
o dx
a
a
für alle u, o ∈ T F ([a, b]) mit u ≤ f ≤ o erfüllt.
´b
(iii) Für alle ε > 0 existieren u, o ∈ T F ([a, b]) mit u ≤ f ≤ o, so dass a (o − u) dx < ε.
Satz. Für zwei Funktionen f1 , f2 ∈ R([a, b]) gelten folgende Monotonie-Eigenschaften des Riemann-Integrals:
´b
(i) Falls f1 ≥ 0 ist, so gilt a f (x) dx ≥ 0.
´b
´b
(ii) Falls f1 ≤ f2 ist, so gilt a f1 (x) dx ≤ a f2 (x) dx.
(iii) Die Funktion |f1 | ist Riemann-integrierbar und es gilt die Dreiecksungleichung
ˆ b
ˆ b
|f1 (x)| dx
f1 (x) dx ≤
a
a
Proposition. Sei D ⊂ C eine Teilmenge, f : D → C eine Funktion und z0 ∈ D. Die Funktion f ist genau dann stetig bei
z0 , wenn für jede Folge (an )n in D mit limn→∞ an = z0 auch limn→∞ f (an ) = f (z0 ) gilt.
Definition. Für eine beschränkte reelle Folge (an )n ist der Limes superior definiert durch
lim an = lim sup an = lim sup ak = inf sup ak .
n→∞
n→∞ k≥n
n→∞
n≥1 k≥n
Definition. Eine reellwertige Funktion f auf D ⊂ R heisst gleichmässig stetig, falls es für alle ε > 0 ein δ > 0 gibt, so
dass für alle x, y ∈ D gilt
|x − y| < δ =⇒ |f (x) − f (y)| < ε.
Definition. Für eine gegebene Menge X ist eine nicht-leere Familie F von Teilmengen von X ein Filter auf X, falls folgende
drei Eigenschaften erfüllt sind:
• Die leere Menge ist kein Element von F.
• Für U1 , U2 ∈ F gilt auch U1 ∩ U2 ∈ F.
• Falls U ∈ F und V ⊂ X eine Teilmenge, die U enthält, dann ist auch V ∈ F.
Die in F enthaltenen Mengen werden auch Filtermengen genannt.
Definition. Seien nun D ⊂ R eine beliebige Teilmenge, f : D → R eine Funktion, F ein Filter auf D und A ∈ R gegeben.
Dann sagen wir, dass f entlang F gegen A konvergiert und schreiben limF f (x) = A, falls
∀V ∈ UA ∃F ∈ F ∀x ∈ F : f (x) ∈ V.
P∞
Proposition. Eine
Reihe k=1 ak mit nicht-negativen, monoton abnehmenden Gliedern a1 ≥ a2 ≥ . . . ≥ 0 ist genau dann
P∞
konvergent, wenn k=1 2k a2k konvergent ist.
Proposition. Gegeben sei eine monoton
P∞ fallende Folge (an )n positiver Zahlen, die gegen Null konvergiert. Dann konvergiert
die zugehörige alternierende Reihe k=1 (−1)k+1 ak und es gilt, dass
`
∞
X
X
k+1
k+1
(2)
(−1)
ak −
(−1)
ak ≤ a`+1 .
k=1
k=1
für alle ` ∈ N. Weiters ist
2n
X
(−1)
k+1
k=1
ak ≤
∞
X
(−1)
k+1
ak ≤
k=1
2n−1
X
(−1)k+1 ak
k=1
für alle n ∈ N.
Definition. Sei (fn )n eine komplexwertige Funktionenfolge auf einer Menge X und f eine weitere komplexwertige Funktion
auf X. Dann strebt fn gleichmässig gegen f für n → ∞, falls es zu jedem ε > 0 ein N ∈ N gibt, so dass für alle n ≥ N
und alle x ∈ X die Abschätzung
|fn (x) − f (x)| < ε
gilt. In Prädikatenlogik ist gleichmässige Konvergenz durch
∀ε > 0 ∃N ∈ N ∀n ∈ N : n ≥ N =⇒ (∀x ∈ X : |fn (x) − f (x)| < ε)
gegeben.
P∞
P∞
Proposition. Seien n=0 an z n und n=0 bn z n zwei Potenzreihen mit Konvergenzradius Ra respektive Rb . Dann gilt für
alle z ∈ C mit |z| < min {Ra , Rb }
∞
∞
∞
X
X
X
an z n +
bn z n =
(an + bn )z n
n=0
X
∞
n=0
an z n
n=0
X
∞
n=0
bn z n
=
n=0
∞ X
n
X
n=0
an−k bk z n .
k=0
Insbesondere ist der Konvergenzradius der Potenzreihen auf der rechten Seite mindestens min {Ra , Rb }.
Satz. Es gibt genau eine Zahl π ∈ (0, 4) mit sin(π) = 0. Für diese Zahl gilt weiters
e2πi = cos(2π) + i sin(2π) = 1,
eπi = cos(π) = −1,
1
π
π
e 2 πi = cos
+ i sin
= i,
2
2
3
3π 3π e 2 πi = cos
+ i sin
= −i,
2
2
1
1
π
π
i
+ i sin
=√ +√ .
e 4 πi = cos
4
4
2
2
Definition. Sei D ⊂ R eine Teilmenge, f : D → R eine Funktion und a ∈ D ein Häufungspunkt von D. Wir sagen, dass f
bei a differenzierbar ist, falls der Grenzwert
f (a + h) − f (a)
f (x) − f (a)
(3)
= lim
f 0 (a) = lim
x→a
h→0
x−a
h
0
existiert. In diesem Fall nennen wir f (a) die Ableitung von f bei a. Falls f bei jedem Häufungspunkt von D in D
differenzierbar ist, dann sagen wir auch, dass f (auf D) differenzierbar ist und nennen die Funktion a 7→ f 0 (a) definiert
auf den Häufungspunkten von D in D die Ableitung von f .Falls a ∈ D ein rechtseitiger Häufungspunkt von D ist, dann
ist f bei a rechtsseitig differenzierbar, falls die rechtsseitige Ableitung
f (x) − f (a)
f (a + h) − f (a)
f+ (a) = lim
= lim
x&a
h&0
x−a
h
existiert. Linksseitige Differenzierbarkeit und die linksseitige Ableitung werden analog definiert.
Satz. Seien D, E ⊂ R Teilmengen und sei f : D → E eine stetige, bijektive Abbildung, deren inverse Abbildung f −1 : E → D
ebenfalls stetig ist. Falls f in dem Häufungspunkt x0 ∈ D differenzierbar ist und f 0 (x0 ) 6= 0 gilt, dann ist f −1 in y0 = f (x0 )
differenzierbar und es gilt
1
(f −1 )0 (y0 ) = 0
f (x0 )
Definition. Sei D ⊂ R eine Teilmenge und x0 ∈ D. Wir sagen, dass eine Funktion f : D → R in x0 ein lokales Maximum
hat, falls es eine Umgebung U von x0 in D gibt, auf der f durch f (x0 ) beschränkt ist. Genauer formuliert, heisst dies,
dass es ein δ > 0 gibt, so dass für alle x ∈ D ∩ (x0 − δ, x0 + δ) gilt f (x) ≤ f (x0 ). Falls sogar f (x) < f (x0 ) für alle
x ∈ D ∩ (x0 − δ, x0 + δ) \ {x0 } gilt, dann hat f in x0 ein isoliertes lokales Maximum. Der Wert f (x0 ) wird auch
ein lokaler Maximalwert von f genannt. Ein lokales Minimum, ein isoliertes lokales Minimum und ein lokaler
Minimalwert von f sind analog definiert.Des Weiteren nennen wir x0 ein lokales Extremum von f und f (x0 ) einen
lokalen Extremwert von f , falls f ein lokales Minimum oder ein lokales Maximum in x0 hat.
Korollar. Sei D ⊂ R eine Teilmenge, so dass jeder Punkt in D ein Häufungspunkt von D ist. Seien f, g : D → R n-mal
differenzierbar. Dann sind f + g und f · g n-mal differenzierbar und es gilt f (n) + g (n) = (f + g)(n) sowie
n X
n (k) (n−k)
(n)
(f g) =
f g
.
k
k=0
Insbesondere ist jedes skalare Vielfache von f n-mal differenzierbar und (αf )(n) = αf (n) für alle α ∈ R.
Satz. Sei [a, b] ein kompaktes Intervall und f : [a, b] → R eine stetige Funktion, die auf dem offenen Intervall (a, b)
differenzierbar ist. Dann gibt es ein ξ ∈ (a, b) mit
f (b) − f (a) = f 0 (ξ)(b − a).
Definition. Sei I ⊂ R ein Intervall und f : I → R eine Funktion. Dann heisst f konvex, falls
f ((1 − t)x1 + tx2 ) ≤ (1 − t)f (x1 ) + tf (x2 )
für alle x1 , x2 ∈ I und für alle t ∈ [0, 1]. Wir sagen, dass f streng konvex ist, falls eine strikte Ungleichung gilt, wenn
immer x1 6= x2 und t ∈ (0, 1) (das heisst, wenn x1 < (1 − t)x1 + tx2 < x2 ). Eine Funktion g : I → R heisst (streng) konkav,
wenn f = −g (streng) konvex ist.
Satz. Seien a < b in R̄ und seien f, g : (a, b) → R differenzierbar mit g(x) 6= 0 und g 0 (x) 6= 0 für alle x ∈ (a, b), sowie
f 0 (x)
= A ∈ R̄.
x&a g 0 (x)
Wir nehmen zusätzlich eine der beiden folgenden Bedingungen an
• (“ 00 ”) limx&a f (x) = limx&a g(x) = 0
∞
• (“ ∞
”) limx&a g(x) = +∞ (oder limx&a g(x) = −∞.
lim
Dann gilt auch limx&a
f (x)
g(x)
= A. Analoge Aussagen gelten für die Bewegungen x % b oder x → x0 ∈ (a, b).