Aufbau eines 3D-optischen Gitters für quantenentartete Fermi

Aufbau eines
3D-optischen Gitters
für quantenentartete
Fermi-Bose-Mischungen
aus 40K und 87Rb
Oliver Wille
Diplomarbeit
Institut für Laserphysik
Universität Hamburg
Hamburg, August 2005
Referent:
Koreferent:
Prof. Dr. K. Sengstock
Prof. Dr. W. Neuhauser
Zusammenfassung
Die vorliegende Diplomarbeit wurde am Institut für Laser-Physik der Universität
Hamburg durchgeführt. Das dortige 40 K / 87 Rb-Experiment befasst sich mit ultrakalten Fermi-Bose-Mischungen im quantenentarteten Regime. Ein Kernthema
dieses Projektes ist die Untersuchung solcher Mischungen in optischen Gittern,
die ein ideales festkörperphysikalisches Modellsystem mit einstellbaren Wechselwirkungsparametern darstellen.
Im Rahmen dieser Arbeit wurde das Konzept für dieses optische Gitter als zentraler Bestandteil des Experimentes entwickelt und die notwendigen Komponenten
wurden aufgebaut und charakterisiert. In einem solchen optischen Gitter werden
Atome aufgrund der Dipolkraft in den Intensitätsmaxima von drei überlagerten,
rotverstimmten und schwach fokussierten Stehwellen gespeichert.
Der vorgestellte Aufbau basiert auf einem kommerziellen Festkörperlaser. Zur
Erfüllung der hohen Anforderungen an die Lichtquelle wurden sowohl eine Frequenzals auch eine Intensitätsstabilisierung für den Laser realisiert und ihre Eignung
für den Einsatz zur Erzeugung des ensprechenden Stehwellenmusters hoher Güte
demonstriert. Desweiteren wurde ein optischer Aufbau entwickelt, der die Erzeugung der verschiedensten Gitter- und Dipolfallengeometrien ermöglicht. Das
dazu entwickelte Kollimationsschema vermeidet beugungsbedingte Interferenzen
bis auf Entfernungen von mehreren Metern und trägt dazu bei, daß die erzielten
Foki mit den berechneten Werten hervorragend übereinstimmen.
Als erste Anwendung des realisierten Aufbaus wurde eine stark elongierte Dipolfalle demonstriert, in die die quantenentartete Mischung umgeladen wurde. Es
werden Simulationen für Fallenparameter vorgestellt und gemessene Heizraten
sowie Umladestrategien diskutiert. Desweiteren konnten in dieser Dipolfalle beliebige Spinzustände der 87 Rb Grundzustandsmannigfaltigkeit über Landau-ZenerManipulation auf Mikrowellen- und RF-Übergängen präpariert werden. Mit dem
beschriebenen Aufbau eröffnen sich dem Experiment faszinierende Perspektiven
als Festkörpermodellsystem.
iv
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
1
2 Grundlagen: Optische Speicherung von kalten Atomen
7
2.1
Wechselwirkungen zwischen Licht und
elektrisch neutralen Atomen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.1.1
Die optische Dipolkraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.2
Propagation Gaußscher Strahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2.3
Eigenschaften optischer Dipolfallen . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
2.4
Eigenschaften optischer Gitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
2.5
Licht-induzierte Heizmechanismen in
optischen Fallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
2.5.1
Photonen-Streuung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
2.5.2
Intensitätsschwankungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
2.5.3
Frequenzschwankungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
3 Experimenteller Aufbau
40
87
3.1
Das
Rb-Experiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
3.2
Der optische Aufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
3.2.1
Präparation der Gitterzweige . . . . . . . . . . . . . . . .
31
3.2.2
Aufbau der Gitteroptik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
3.2.3
Kollimation der Gitterstrahlen . . . . . . . . . . . . . . . .
35
3.2.4
Realisation und Vermessung der Strahlfoki . . . . . . . . .
39
3.3
K/
27
Elektronische Regelungen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
3.3.1
Frequenzstabilisierung nach Pound, Drever, Hall . . . . . .
49
3.3.2
Intensitätsstabilisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
v
vi
INHALTSVERZEICHNIS
4 Demonstration einer Dipolfalle
und erste Experimente
4.1 Justage und Charakterisierung der Dipolfalle .
4.1.1 Justage und zusätzliche Detektion . . .
4.1.2 Charakterisierung . . . . . . . . . . . .
4.1.2.1 Umlade-Effizienz . . . . . . .
4.1.2.2 Fallenfrequenzmessungen . . .
4.1.2.3 Kondensate in der Dipolfalle .
4.1.2.4 Lebensdauermessung . . . . .
4.2 Experimente in der Dipolfalle . . . . . . . . .
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62
62
64
64
67
68
69
73
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5 Ausblick
79
A Simulation und Diskussion von Parametern optischer Dipolfallen
und Gitter
A.1 Photonenstreurate Γsc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.2 Parameter optischer Dipolfallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.3 Parameter optischer Gitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
81
83
86
B Simulation der Zwei-Linsen-Kollimation und Fokussierung
91
C Schaltplan Intensitätsregelung
97
Literaturverzeichnis
102
Danksagung
111
Abbildungsverzeichnis
2.1
Schematische Darstellung eines Gaußschen Strahls . . . . . . . . .
13
2.2
Erzeugung eines optischen Gitters . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
2.3
Verschiedene Gittergeometrien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
3.1
Skizze der Vakuumapparatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
3.2
Skizze der 3DMOT-Optik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
6 87
3.3
BEC mit 4 · 10
3.4
Fermi-Gas mit 3 · 106
3.5
Präparation der Gitterzweige
Rb-Atomen
40
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
K-Atomen bei 0, 3 · TF
30
. . . . . . . . . .
30
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
3.6
Aufbau der Gitteroptik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
3.7
2f-2f Gitterkonfiguration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
3.8
Numerische Apertur der Faser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
3.9
Alternatives Kollimationsschema
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
3.10 Kontrolle der Kollimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
3.11 Aufbau zur Vermessung der Strahlfoki . . . . . . . . . . . . . . .
40
3.12 Aufgenommene Flanken der Schnitte durch den Strahl . . . . . .
43
3.13 Vermessene Strahltaille mit w0 = 33, 9µm . . . . . . . . . . . . . .
44
3.14 Vermessene Strahltaille mit w0 = 93, 4µm . . . . . . . . . . . . . .
45
3.15 Vermessene Strahltaille mit w0 = 96, 5µm . . . . . . . . . . . . . .
45
3.16 Aufbau zur simultanen Vermessung beider Strahlfoki eines retroreflektierten Strahls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
3.17 Vermessung des hinlaufenden Strahls und des mit einem Hohlspiegel erzeugten Rückreflexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
3.18 Vermessung des hinlaufenden Strahls und des mit einer Linse und
einem Spiegel erzeugten Rückreflexes . . . . . . . . . . . . . . . .
48
vii
viii
ABBILDUNGSVERZEICHNIS
3.19 Aufbau der Pound, Drever, Hall- Stabilisierung . . . . . . . . . . 50
3.20 Cavity-Fehlersignal der Pound, Drever, Hall Stabilisierung für ∆νcav <
ωV CO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.21 Schema zum Mischen der RF-Signale . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.22 Veränderter Aufbau der Pound, Drever, Hall- Stabilisierung . . . 54
3.23 Cavity-Fehlersignal der Pound, Drever, Hall Stabilisierung für ∆νcav >
ωV CO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.24 Fourierspektrum des Photodiodensignals vor und hinter der Faser
56
3.25 Prinzipskizze der Intensitätsregelung . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.26 Stellglied im gepulsten Betrieb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.27 Bode-Plots des P-Teils des Reglers . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.28 Fourierspektren des Photodiodensignals mit und ohne Intensitätsregelung 60
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
4.10
4.11
Aufbau zur Einstrahlung einer Dipolfalle . . . . . . . . . . . . . . 62
Dipolfallenbild mit nicht umgeladenen Atomen . . . . . . . . . . . 64
Expansionsserie aus der Dipolfalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Umlade-Effizienz in die Dipolfalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Radiale Fallenfallenfrequenz der Dipolfalle . . . . . . . . . . . . . 67
Phasenfluktuationen bei einem umgeladenen Kondensat . . . . . . 69
Lebensdauermessung des Ensembles in der Dipolfalle . . . . . . . 70
Temperatur des Ensembles in der Dipolfalle . . . . . . . . . . . . 73
Die ’dressed states’ von 87 Rb mit F=2 . . . . . . . . . . . . . . . 75
Absorptionsbilder der unterschiedlichen mF -Unterzustände von F=2 76
Vermiedene Kreuzung zwischen den Zuständen |F = 2, mF = +2i
und |F = 1, mF = +1i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.12 Absorptionsbilder der Zustände |F = 2, mF = +2i und |F = 1, mF = +1i 77
A.1 Photonen-Streurate Γsc für 87 Rb und 40 K eines Strahl mit minimalem Radius w0 = 34µm in Abhängigkeit von der Leistung . . . .
A.2 Photonen-Streurate Γsc für 87 Rb und 40 K eines Strahl mit minimalem Radius w0 = 95µm in Abhängigkeit von der Leistung . . . .
A.3 Radiale Fallenfrequenz einer Dipolfalle mit w0 =33,9µm . . . . . .
A.4 Axiale Fallenfrequenz einer Dipolfalle mit w0 =33,9µm . . . . . . .
A.5 Fallenfrequenzen der gekreuzten Dipolfalle bei Pz =50mW . . . . .
A.6 Fallenfrequenzen der gekreuzten Dipolfalle bei Pz =5mW . . . . .
82
82
84
84
86
87
ABBILDUNGSVERZEICHNIS
A.7 Fallenfrequenz des optischen Gitters auf der z-Achse mit w0
33, 9µm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.8 Fallenfrequenzen des optischen Gitters auf den Achsen mit w0
95µm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.9 Tiefe des optischen Gitters auf der Achse mit w0 = 33, 9µm . .
A.10 Tiefe des optischen Gitters auf der Achse mit w0 ≈ 95µm . . .
ix
=
. .
≈
. .
. .
. .
B.1 Kollimation und Fokussierung des Gaußschen Strahls . . . . . . .
88
89
89
90
91
x
ABBILDUNGSVERZEICHNIS
Kapitel 1
Einleitung
Sämtliche in der Natur vorkommenden Teilchen lassen sich aufgrund ihres Eigendrehimpulses in zwei Gruppen einteilen: Bosonen haben einen ganzzahligen Spin,
während Fermionen einen halbzahligen Spin haben. Dieser Unterschied hat die
Konsequenz, daß im Bereich der Quantenstatistik, der die Verteilung von diesen
ununterscheidbaren Teilchen auf unterschiedliche Energieniveaus betrachtet, beide Teilchensorten durch unterschiedliche Verteilungsfunktionen beschrieben werden. Die Bosonen gehorchen der Bose-Einstein-Statistik, zu ihnen gehören z.B.
die Photonen, für die S.N. Bose [1] die Verteilungsfunktion 1924 zur Erklärung
der Schwarzkörperstrahlung ableitete und die A. Einstein [2, 3] auf massebehaftete Teilchen ausdehnte. Von den Bosonen können sich beliebig viele in einem
Quantenzustand befinden. Die Fermionen hingegen werden von der Fermi-DiracStatistik beschrieben, sie müssen dem Pauli-Prinzip [4] gehorchen, nach dem keine
zwei ununterscheidbaren Teilchen, die diesem Prinzip unterliegen, sich im gleichen
Quantenzustand befinden können.
Die Unterscheidung in die beiden Teilchenfamilien beschränkt sich nicht nur auf
Elementarteilchen, sondern läßt sich auf alle aus solchen Teilchen zusammengesetzten Systeme wie Atome und Moleküle ausdehnen. So sind Atome, die aus
einer geraden Anzahl von Fermionen zusammengesetzt sind, Bosonen, während,
wenn sie aus einer ungeraden Anzahl von Fermionen bestehen, sie selbst ein Fermion sind. Dadurch können Atome des gleichen Elements, die chemisch identische
Eigenschaften haben, sich in Bezug auf die Quantenstatistik vollkommen unterschiedlich verhalten, wenn sie Kerne unterschiedlicher Isotope haben.
1
2
Kapitel 1 Einleitung
Schon Einstein bemerkte 1925, daß bei niedrigen Temperaturen und hohen Dichten in einem System aus (den heute sog.) Bosonen die angeregten Zustände nicht
mehr alle Teilchen aufnehmen können und diese sich deshalb im Grundzustand
versammeln. Diese Bosonen lassen sich dann durch eine gemeinsame Wellenfunktion beschreiben. Dieses Phänomen der Bose-Einstein-Kondensation war eine wesentliche Motivation für die Entwicklung spezieller Kühlungsverfahren für atomare Gase.
Mit Hilfe der Laserkühlungsverfahren war es ab Ende der 80er Jahre möglich,
verdünnte Alkali-Gase in den µK-Bereich zu kühlen. Für diese Leistung wurde 1997 der Nobelpreis an S. Chu [5], C. Cohen-Tannoudji [6] und W. Phillips
[7] verliehen. Die Bose-Einstein-Kondensation konnte schließlich 1995, 70 Jahre nach Einsteins Arbeit, mit Hilfe der Laser-Kühlung und anschließender Verdampfungskühlung, die ursprünglich für spin-polarisierten Wasserstoff entwickelt
wurde [8], an den Elementen Rubidium [9], Lithium [10] und Natrium [11] demonstriert werden. 2001 wurde dafür der Nobelpreis an E. Cornell, C. Wieman
[12] und W. Ketterle [13] verliehen, die mit ihrer Entdeckung einen regelrechten
Boom auf dem Feld der kalten Quantengase ausgelöst haben. So konnten bereits
viele Eigenschaften von Bose-Einstein-Kondensaten (BEC) genauestens erforscht
werden, wozu u.a. der Phasenübergang [14, 15], Interferenzexperimente mit Kondensaten [16, 17] und Anregungen wie Solitonen [18, 19] und Vortices [20, 21, 22]
gehören.
Fermionen vollziehen im Gegensatz zu Bosonen keinen Phasenübergang bei sehr
tiefen Temperaturen, sondern bilden unterhalb der Fermi-Temperatur TF ein
quantenentartetes Fermi-Gas, bei dem sich das Pauli-Prinzip deutlich bemerkbar
macht, da nahezu alle tiefliegenden Energieniveaus eines Systems einfach besetz
sind. Das Kühlen von Fermionen in den quantenentarteten Bereich gestaltet sich
deshalb etwas schwieriger, da eine Verdampfungskühlung auf konventionelle Art
bei ihnen nicht möglich ist, da ein fermionisches Ensemble nach der Verdampfung der heißesten Atome nicht über s-Wellen-Streuung rethermalisieren kann.
Um dennoch kalte Fermi-Gase realisieren zu können, mischt man entweder unterschiedliche Spinzustände oder verschiedene Spezies, so daß eine Rethermalisierung über Stöße nicht mehr durch das Pauli-Verbot unterdrückt wird. Auf diesem
Wege konnte das Kühlen der fermionischen Alkali-Isotope 40 K [23] und 6 Li [24]
in den quantenentarteten Bereich auf unter 20% der Fermi-Temperatur erreicht
3
werden.
Kalte Quantengase haben sich aufgrund der umfangreichen Möglichkeiten der
Beeinflußung der experimentellen Randbedingungen in den letzten Jahren zunnehmend zu einem Modellsystem für Vielteilchenphänomene entwickelt. So war
es ein wesentlich Ziel in Quantengasen den Übergang von einem BEC aus Molekülen fermionischer Atome zu einem BCS-Zustand mit Cooper-Paarbildung [25]
jeweils zweier Fermionen zu demonstrieren. Der Durchbruch gelang mit der magnetfeldabhängigen Kopplung von fermionischen Atomen zu bosonischen Molekülen mittels sog. Feshbach-Resonanzen. Die Kondensation dieser Moleküle
konnte nachgewiesen werden [26, 27]. Nach experimentellen Hinweisen auf Paarbildung von Fermionen [28], zeigte die Messung der Paarungsenergie den Übergang
von der molekularen Bindung zur Bildung von Cooper-Paaren [29]. Unlängst wurde mit der Beobachtung von Vortices in einem Fermi-Gas der Nachweis der Superfluidität erbracht [30].
Optische Gitter bieten weitere interessante Möglichkeiten die verschiedensten
Festkörper-physikalischen Phänomene zu klären. Hierbei handelt es sich um mit
gegenläufigen gekreuzten fernverstimmten Strahlen erzeugte periodische Fallenpotentiale, deren Tiefe über die Intensität der Laserstrahlen variiert werden kann.
Es liegt auf der Hand, daß man mit Ensembles, die man in solchen Potentialen
speichert, ein hochreines Modellsystem für Festkörper ohne Gitterfehler schafft.
So konnte bereits in optischen Gittern mit einem BEC der Übergang von einem Superfluid zum Mott-Isolator [31] und analog dazu mit einem Fermi-Gas
der Übergang von einem normal-leitenden Zustand zum Band-Isolator [32] demonstriert werden. Für Fermi-Bose-Mischungen wie aus 40 K- und 87 Rb-Atomen
gibt es verschiedene theoretische Vorraussagen. So besteht die Erwartung, daß
ein sehr reiches Phasendiagramm mit unterschiedlichen leitenden oder isolierenden Domänen entsteht [33, 34]. Außerdem wird ein weiterer Zugang zum BCSBEC-Übergang in optischen Gittern vorhergesagt [35, 36], mit einer aufgrund der
attraktiven Wechselwirkung zwischen Bosonen und Fermionen in dieser Mischung
durch Bosonen vermittelten Cooper-Paar-Bildung, die analog zum Paarungsmechanismus über Phononen in Festkörpern ist.
Diese Diplomarbeit wurde angefertigt am Institut für Laser-Physik der Universität Hamburg im Rahmen eines Projektes zur Untersuchung quantenentarteter Fermi-Bose-Mischungen von 40 K und 87 Rb in 3-dimensionalen optischen Git-
4
Kapitel 1 Einleitung
tern. Im Sommer 2004 wurde Bose-Einstein-Kondensation erreicht, nur wenig
später konnte zusammenfallend mit dem Beginn dieser Diplomarbeit erstmals in
Deutschland ein quantenentartetes Fermi-Gas und eine quantenentartete FermiBose-Mischung demonstriert werden. Aufgrund der an diesem Experiment erzielten bisher weltweit höchsten Teilchenzahlen in 40 K / 87 Rb Mischungen konnte
dort erstmalig der Mean-Field-Kollaps der Mischung demonstriert werden [37].
Im Rahmen dieser Arbeit wurde ein Aufbau für ein 3D-optisches Gitter für das
oben beschriebene Experiment entworfen, realisiert und charakterisiert. Die vorliegende Arbeit gibt deshalb zunächst einen kurzen Überblick über die theoretischen Grundlagen der Speicherung von Atomen in optischen Dipolpotentialen.
Dies ist sowohl die Grundlage für die Realisierung einer Vielfalt von Dipolfallengeometrien als auch für das Fangen von Atomen in periodischen Interferenzmustern. Es folgt ein allgemeiner Überblick über das Experiment, an dem der
beschriebene Aufbau zum Einsatz kommt. Daran schließt sich eine Diskussion
der Planung und Realisierung des Gitteraufbaus sowie der Integration in das
gesamte Experiment an. Der Aufbau eines tiefen optischen Gitters mit langen
Speicherzeiten und möglichst geringen Heizraten stellt in vielerlei Hinsicht hohe
Anforderungen an den experimentellen Aufbau: Bei sehr hohen optischen Leistungen im Bereich von 10 Watt und mehr zur Erreichung tiefer Fallenpotentiale muß
die spektrale Breite der verwendeten Lichtquelle im Bereich von deutlich unter
einem MHz über experimentelle Zeitskalen von bis zu 1s liegen, wobei gleichzeitig
das Intensitätsrauschen möglichst niedrig gehalten werden muß. Zur Vermeidung
parametrischer Heizprozesse wurde deshalb im Rahmen dieser Arbeit eine Intensitäts- und Frequenzstabilisierung des verwendeten Festkörperlasers entwickelt.
Der beschriebene Aufbau geht mit der zur Verfügung stehenden Ausgangsleistung des Lasers möglichst sparsam um, so daß im Experiment für Gitter und
Dipolfallen Leistungen von deutlich über 15W zur Verfügung stehen. Die durchgeführte Charakterisierung zeigt, daß der Aufbau die hohen Anforderungen für
die Realisiserung eines optischen Gitters hervorragend erfüllt. Desweiteren wurde
im Rahmen dieser Arbeit ein kompakter optischer Aufbau zur Realisierung verschiedenster Foki für Dipolfallen und optische Gitter entworfen, charakterisiert
und aufgebaut. Dies umfasst die Entwicklung eines auf einer Reduktion der numerischen Apertur der verwendeten Glasfaser basierenden Kollimationsschemas,
das selbst über Entfernungen von mehreren Metern die typischen Interferenzef-
5
fekte aufgrund der Beugung fast vollständig unterdrückt.
Im darauf folgenden Kapitel wird die aus einem Zweig des optischen Gitters
aufgebaute, stark elongierte Dipolfalle beschrieben. Als erste Anwendung der Dipolfalle wird die Spinpräparation beliebiger Zustände in der Grundzustandsmannigfaltigkeit von 87 Rb beschrieben. Abschließend werden die nächsten experimentellen Schritte auf dem Weg zur Realisierung gemischter heller Solitonen in einer
elongierten Dipolfalle sowie der Weg zum Laden der Atome in das periodische
Gitterpotential diskutiert.
6
Kapitel 1 Einleitung
Kapitel 2
Grundlagen: Optische
Speicherung von kalten Atomen
In diesem Kapitel werden die physikalischen Grundlagen der Speicherung von
elektrisch neutralen Atomen in optischen Fallen präsentiert. In solchen Fallen
werden neutrale Atome aufgrund der Dipolkraft im Intensitätsmaximum bzw.
-minimum eines fernverstimmten geeignet präparierten Gaußschen Strahls gefangen. Man unterscheidet dabei Dipolfallen, wo sich die Strahlen auf den jeweiligen
Achsen nur in einer Richtung ausbreiten und optische Gitter, bei denen mit gegenläufigen Strahlen stehende Wellen erzeugt werden, die für Atome ein periodisches Potential analog zum Festkörpergitter darstellen.
Nach dem Umladen eines Ensembles aus einer Magnetfalle in eine optische Falle,
ist das Magnetfeld natürlich wieder als experimenteller Freiheitsgrad verfügbar,
so daß erst dadurch Werkzeuge wie die in Kapitel 1 beschriebenen FeshbachResonanzen angewendet werden können. Außerdem lassen sich in optischen Fallen
alle magnetischen Unterzustände fangen, so daß auch Präparationen verschiedener Spin-Zustände möglich sind. Es wurden auch schon Bose-Einstein-Kondensate
in einer Dipolfalle erzeugt [38], allerdings sind tiefe Potentiale dort nur mit dem
Aufwand sehr großer Laserleistung erreichbar, weshalb auch in diesem Experiment die Bose-Einstein-Kondensate und Fermi-Gase in einer Magnetfalle erzeugt
werden.
Es werden nun zuerst die Mechanismen der Wechselwirkung zwischen Licht und
elektrisch neutralen Atomen vorgestellt, wobei die optische Dipolkraft, die die
7
8
Kapitel 2 Grundlagen: Optische Speicherung von kalten Atomen
Grundlage zur optischen Speicherung von kalten Atomen bildet, näher betrachtet wird. Danach wird kurz zusammengefaßt, wie Gaußsche Strahlen propagieren.
Anschließend werden die Eigenschaften von optischen Dipolfallen und optischen
Gittern diskutiert. Zuletzt werden unterschiedliche licht-induzierte Heizmechanismen in diesen Fallenstrukturen analysiert.
2.1
Wechselwirkungen zwischen Licht und
elektrisch neutralen Atomen
Elektrisch neutrale Atome wechselwirken mit Licht auf zweierlei Weise:
• Die dissipative Spontankraft entsteht durch den Impulsübertrag auf ein
Atom durch Photonenstreuung. Dieser Mechanismus wird bei der LaserKühlung und in magneto-optischen Fallen ausgenutzt, indem Atome, die
sich auf einen rot-verschobenen Laserstrahl zubewegen, durch Absorption
von Photonen nur Rückstoßimpulse entgegen ihrer Bewegungsrichtung aufnehmen, während sich die Rückstoßimpulse der anschließenden spontanen
Re-Emissionen über viele Absorptions-Emissions-Zyklen wegmitteln, so daß
die Atome entgegen der Ausbreitungsrichtung des Laserstrahls gebremst
werden. Eine ausführliche Darstellung hierzu findet sich in [39].
• Die konservative Dipolkraft entsteht durch die Wechselwirkung des Lichtfeldes mit dem licht-induzierten Dipolmoment des Atoms. Die hervorgerufene Verschiebung der atomaren Energieniveaus durch diesen sog. ’acStark-Effekt’ ist proportional zur Intensität des Lichtfeldes und führt dazu,
daß elektrisch neutrale Atome im inhomogenen Lichtfeld eines fokussierten
Lichtstrahls gefangen werden können. Je nach Verstimmung des Lichtfeldes
gegenüber der atomaren Resonanz werden dabei die Atome in oder entgegen
der Richtung des Intensitätsgradienten beschleunigt. Dieser Mechanismus
wird zur Speicherung von kalten Atomen in optischen Dipolfallen und optischen Gittern ausgenutzt.
2.1 Wechselwirkungen zwischen Licht und
elektrisch neutralen Atomen
2.1.1
9
Die optische Dipolkraft
Im semi-klassischen Ansatz des Oszillator-Modells [40] kann man sich die in guter
Näherung konservative Dipolkraft in einem Zwei-Niveau-Atom mit Energieunter~ des nicht-resonanten
schied ~ω0 so vorstellen, daß das äußere elektrische Feld E
Laser-Lichtes mit Frequenz ω im Atom ein Dipolmoment p~ induziert. Im Falle einer negativen Verstimmung ∆ = ω − ω0 < 0 schwingen äußeres Feld und Dipol in
Phase- die Atome werden in Richtung des Intensitätsmaximums beschleunigt. Im
umgekehrten Fall einer positiven Verstimmung mit ∆ > 0 schwingt das induzierte Dipolmoment der Atome gegenphasig zum Lichtfeld, so daß diese in Richtung
des Intensitätsminimums beschleunigt werden.
Es gilt allgemein [40]:
p = α(ω)E .
(2.1)
Dabei sind p und E die komplexen Amplituden von Dipolmoment und elektrischem Feld, α ist die komplexe Polarisierbarkeit des Atoms. Für das Wechselwirkungspotential UDip zwischen dem induzierten Dipolmoment p~ und der elektri~ des Lichtfeldes − das Dipolpotential − ergibt sich mit der
schen Feldstärke E
Intensität des Laser-Lichtfeldes I(~r):
UDip (~r) = −
1
~ = − 1 Re(α)I(~r) .
h~pEi
2
20 c
(2.2)
Der oszillierende Dipol nimmt dabei die Strahlungsleistung
~ = ω Im(α) I(~r)
Pabs (~r) = hp~˙Ei
0 c
(2.3)
auf. Diese wird als spontane Dipolstrahlung re-emittiert. Die Photonen-Streurate
ΓSc gibt dabei an, wie oft solche Zyklen aus Absorption und spontaner Reemission
stattfinden:
Pabs
1
ΓSc (~r) =
=
Im(α)I(~r) .
(2.4)
~ω
~0 c
Klassisch ist die Polarisierbarkeit eines oszillierenden Dipols mit Resonanzfrequenz ω0 und Dämpfung Γ durch das Lorentzmodell gemäß
α(ω) = 6π0 c3
Γ/ω02
ω02 − ω 2 − i(ω 3 /ω02 )Γ
(2.5)
gegeben. Im Übergang zum semi-klassischen Ansatz des mit dem klassischen
Lichtfeld wechselwirkenden Zwei-Niveau-Atoms gilt (2.5) im Falle geringer Sättigung
10
Kapitel 2 Grundlagen: Optische Speicherung von kalten Atomen
weiterhin. Die Dämpfung muß dann allerdings durch die natürliche Linienbreite
ersetzt werden, die durch das Dipol-Matrix-Element zwischen Grundzustand |gi
und angeregtem Zustand |ei gegeben ist:
Γ=
ω03
| he|µ|gi |2 .
3π0 ~c3
(2.6)
Für Dipolpotential und Photonen-Streurate ergibt sich dann weiter:
Γ
Γ
3πc2
+
I(~r) ,
UDip (~r) = − 3
2ω0
ω0 − ω ω0 + ω
3 2
ω
Γ
Γ
3πc2
+
I(~r) ,
ΓSc (~r) =
2~ω03 ω0
ω0 − ω ω0 + ω
(2.7)
(2.8)
und falls |∆| ω0 (rotating-wave approximation),
3πc2 Γ
I(~r) ,
2ω03 ∆
2
3πc2
Γ
I(~r) .
ΓSc (~r) ≈
3
2~ω0 ∆
UDip (~r) ≈
(2.9)
(2.10)
Die Photonen-Streuung ΓSc stellt einen Heizmechanismus dar, der möglichst minimiert werden sollte (vgl. Abschn. (2.5). Da das Potential UDip in (2.9) nur linear
Γ
vom Term ∆
abhängt, die elastische Streurate aber quadratisch, kann durch eine
gleichzeitige Erhöhung von Verstimmung und Laser-Intensität die Streurate bei
gleichbleibendem Fallenpotential verringert werden.
In einem realen Atom gibt es i.a. aber mehrere relevante Übergänge, wie im Falle
der Alkaliatome die D-Linien, über die dann summiert werden muß. Im für diese Arbeit relevanten Fall linear polarisierten Lichtes mit einer Verstimmung, die
groß ist gegenüber der Hyperfeinstrukturaufspaltung, ergibt sich für das Dipolpotential (Indizes beziehen sich auf die jeweilige D-Linie):
πc2 Γ 1
1
1
2
1
1
UDip (~r) = −
+
+ 3
+
I(~r)
2
ω13 ω1 − ω ω1 + ω
ω2 ω2 − ω ω2 + ω
(2.11)
2
und mit der Abkürzung Uω = − πc2 Γ
h
1
ω13
1
ω1 −ω
+
UDip (~r) = Uω I(~r) .
1
ω1 +ω
+
2
ω23
1
ω2 −ω
+
1
ω2 +ω
i
(2.12)
2.2 Propagation Gaußscher Strahlen
11
Eine quantenmechanisch exakte Beschreibung des Dipolpotentials liefert das ’dressedatom’-Bild [41], wo das Atom zusammen mit dem quantisierten Lichtfeld betrachtet wird. Es ergibt sich in zweiter Ordnung Störungsrechnung für ein Zwei-NiveauAtom gegenüber den ungestörten Zuständen eine Energieverschiebung von
∆Eg/e
3πc2 Γ
I .
=± 3
2ω0 ∆
(2.13)
Bei rot-verstimmtem Licht wird deshalb der Grundzustand |gi energetisch abgesenkt und der angeregte Zustand |ei angehoben. Diese Energieverschiebung ist
der sog. ’ac-Stark shift’. Da sich im auch schon zuvor angenommenen Falle geringer Sättigung die Atome zumeist im Grundzustand befinden, ergibt sich somit
genau der auch schon mit dem Oszillator-Modell abgeleitete Ausdruck (2.9) für
das Dipolpotential.
2.2
Propagation Gaußscher Strahlen
In diesem Abschnitt sollen die wichtigsten Gleichungen der Gaußschen Strahlenoptik, die eine Beschreibung eines fokussierten Laserstrahls ermöglichen, abgeleitet werden. Das Intensitätsprofil, welches zur vollständigen Beschreibung des
Dipolpotentials (2.11) benötigt wird, aber auch Größe und Position des Fokus,
in dem die Atome in optischen Dipolfallen und Gittern gefangen werden, lassen
sich damit berechnen. Eine ausführliche Darstellung dieses Themas findet sich in
[42].
Die Propagation von Laserstrahlen läßt sich allgemein durch sphärische Wellen
der Form
~ r, t) = E(~
~ r)e−iωt
E(~
(2.14)
mit
~ r) = E(~
~ r)e−i~k·~r
E(~
(2.15)
beschreiben. Dabei ist (2.14) eine spezielle Lösung der Wellengleichung
2~
~ r, t) − 1 ∂ E(~r, t) = 0
~ 2 E(~
∇
c2 ∂t2
(2.16)
und (2.15) eine spezielle Lösung der Helmholtz-Gleichung
~ 2 E(~
~ r) + ~k 2 E(~
~ r) = 0 .
∇
(2.17)
12
Kapitel 2 Grundlagen: Optische Speicherung von kalten Atomen
Nimmt man o.E.d.A. an, daß sich der Laserstrahl in z-Richtung ausbreitet, dann
ergibt sich für die beiden dazu senkrechten Polarisationsrichtungen jeweils:
Ei (x, y, z) = Ei (x, y, z)e−ikz .
(2.18)
Diese müssen auch weiterhin Lösungen der Helmholtz-Gleichung sein, die sich in
2
paraxialer Näherung (| ∂∂zE2i | ≈ 0) zu
∂ 2 Ei ∂ 2 Ei
∂Ei
=0
+
− 2ik
2
2
∂x
∂y
∂z
(2.19)
vereinfacht. Als Lösung ergibt sich die Gaußsche T EM00 -Mode, mit der auch im
Rahmen dieser Diplomarbeit gearbeitet wurde (Zylindersymmetrie: ρ2 = x2 +y 2 ):
Ei (x, y, z) =
z
1+
q0
−1
kρ2
· exp −i kz +
2q(z)
.
(2.20)
Für das gesuchte Intensitätsprofil des Gaußschen Strahls gilt allgemein:
1
~ r)|2 ,
I(~r) = 0 c|E(~
2
(2.21)
so daß sich mit (2.20) weiter ergibt
I(~r) = I0
2
w02 w−2ρ
2 (z)
e
.
w2 (z)
(2.22)
Ist in der Praxis ein Laserstrahl mit einer Leistung P gegeben, dann läßt sich
seine Intensitätsverteilung gemäß
−2ρ2
2P
w
e 2 (z)
I(ρ, z) =
πw2 (z)
(2.23)
berechnen. Mit dieser Gleichung ist nun auch eine Berechnung des Dipolpotentials
gemäß (2.11) bzw. (2.12) möglich.
In (2.20) und (2.23) wurden bereits zwei wichtige Beschreibungsgrößen Gaußscher
Strahlen benutzt: q(z) und w(z). q(z) ist der komplexe Strahlparameter, anhand
dessen sich die Propagation eines Gaußschen Strahls vollständig beschreiben läßt:
1
1
iλ
=
−
.
q(z)
R(z) πw2
(2.24)
2.2 Propagation Gaußscher Strahlen
13
Abbildung 2.1: Schematische Darstellung eines Gaußschen Strahls mit dem Radius w0 der Strahltaille und Rayleighlänge zR
w(z) ist der Strahlradius in der x-y-Ebene entlang der Ausbreitungsrichtung z,
bei dem die Intensität auf e12 abgefallen ist, und R(z) ist der Krümmungsradius
des Gaußschen Strahls:
s
2
λz
w(z) = w0 1 +
(2.25)
πw02
"
2 2 #
πw0
R(z) = z 1 +
.
(2.26)
λz
w0 ist der minimale Radius des Strahls, der Radius der Strahltaille. Sei diese am
Ort z0 gegeben, dann gilt:
1
= 0
R(z0 )
1
1
λ
=
= −i 2 .
q(z0 )
q0
πw0
(2.27)
(2.28)
Entlang der Rayleighlänge zR wächst dabei der Strahlradius w(z) um einen Faktor
√
2 an:
πw02
zR =
.
(2.29)
λ
Abbildung 2.2 zeigt eine schematische Darstellung eines propagierenden Gaußschen Strahls in der Nähe der Strahltaille mit den charakteristischen Größen des
14
Kapitel 2 Grundlagen: Optische Speicherung von kalten Atomen
minimalen Strahlradius w0 und der Rayleighlänge zR .
Allgemein verändert sich der komplexe Strahlparameter bei einer Ausbreitung
auf einer Strecke z von z1 bis zum Ort z2 = z1 + z:
q(z2 ) = q(z1 ) + z .
(2.30)
q(z) = q0 + z .
(2.31)
Deshalb gilt speziell:
Der aus der geometrischen Optik bekannte ABCD-Formalismus läßt sich übernehmen.
An einem optischen Element mit bekannter ABCD-Matrix transformiert sich der
Strahlparameter gemäß:
Aq1 + B
.
(2.32)
q2 =
Cq1 + D
Dabei gilt z.B. im Spezialfalle einer dünnen Linse:
!
!
1 0
A B
=
.
(2.33)
− f1 1
C D
Es ergibt sich dann eine stark an die Abbildungsgleichung der geometrischen
Optik erinnernde Gleichung, mit deren Hilfe sich die Abbildung eines Gaußschen
Strahls an einer dünnen Linse berechnen läßt:
1
1
1
=
−
.
q2
q1 f
2.3
(2.34)
Eigenschaften optischer Dipolfallen
Mit den in den vorigen Abschnitten abgeleiteten Gleichungen (2.11) bzw. (2.12)
und (2.23) läßt sich das Dipolpotential geschlossen darstellen. Das Intensitätsprofil
(2.23) genügt dabei einer Gaußverteilung, die sich in der Nähe des Fokus für z ≈ 0
und ρ ≈ 0 durch einen harmonischen Verlauf der Form
"
2 2 #
ρ
z
2P
(2.35)
1−2
−
I(ρ, z) =
2
πw0
w0
zR
approximieren läßt, wobei zR wieder die durch (2.29) gegebene Rayleighlänge ist.
Im Falle blau-verstimmten Laserlichtes werden die Atome dabei zum Intensitätsminimum
hin beschleunigt. In dieser Arbeit wurde eine Dipolfalle auf der Grundlage eines
2.3 Eigenschaften optischer Dipolfallen
15
gegenüber der atomaren Resonanz weit rot-verstimmten Lasers aufgebaut, weshalb dieser Fall hier näher betrachtet werden soll. Die Atome werden hier in Richtung des Intensitätsmaximums beschleunigt. Der Fokus eines solchen Laserstrahls
stellt also ein harmonisches Potential für Atome dar. Mit den Fallenfrequenzen,
die sich aus (2.11) und (2.35) ergeben, läßt sich die Bewegung der Atome in diesem Potential beschreiben. Es sind wichtige Parameter der Dipolfalle, denn sie
sind ein Maß für den Einschluß in der jeweiligen Richtung. An ihrem Quotienten,
dem Aspektverhältnis der Falle, kann man die Symmetrie der Dipolfalle erkennen.
ωρ ist die radiale Fallenfrequenz und ωz die axiale Fallenfrequenz:
s
s
4
2
U
und ωz = − 2 U0 ,
(2.36)
ωρ = −
2 0
mw0
mzR
2P
wobei U0 = Uω πw
2 die Potentialtiefe im Fallenzentrum bei ρ = 0 und z = 0 und
0
m die Masse der in der Dipolfalle gespeicherten Atome ist. Das Aspektverhältnis
ist dann:
ωρ √ zR √ πw0
= 2
= 2
.
(2.37)
ωz
w0
λ
In der Praxis sind die Laserwellenlängen zumeist deutlich kleiner als die Foki der
Dipolfallen, so daß der radiale Einschluß auch deutlich größer ist als der axiale,
also ωωρz 1.
Als Tiefe der Dipolfalle gibt man die maximale Potentialtiefe im Zentrum der
Falle als Temperatur an, also:
TP ot =
U0
kB
.
(2.38)
Wie gezeigt, wird die Geometrie der Dipolfalle durch das Aspektverhältnis und
damit letzlich vom minimalen Strahlradius bestimmt. Will man aber variabler
in der Fallengeometrie sein und z.B. statt einer Zylindersymmetrie einen kugelsymmetrischen Einfangbereich haben, muß man von einem einzelnen Strahl zu
einer gekreuzten Dipolfalle übergehen. Hier werden die Atome im Fokus mehrerer
Gaußscher Strahlen, die unter einem Winkel zueinander eingestrahlt werden, gefangen. Der experimentelle Aufbau, der im Rahmen dieser Arbeit realisiert wurde,
sieht vor, daß drei senkrecht aufeinander stehende Strahlen gekreuzt eingestrahlt
werden. Dabei soll in jedem Strahl eine lineare Polarisation vorliegen, die senkrecht zur Polarisation auf den anderen Achsen stehen soll. Dieser Fall soll hier
16
Kapitel 2 Grundlagen: Optische Speicherung von kalten Atomen
näher betrachtet werden. Die drei Strahlen sollen entlang der Koordinatenachsen
propagieren mit im allgemeinen unterschiedlicher Leistung Pi und unterschiedli~
cher Fokusgröße w0,i und ihre E-Felder
der allgemeinen Lösung (2.20) genügen.
~
Es ergibt sich dann für die Überlagerung der drei E-Felder
:
~ ges (x, y, z) = Ex (x, y, z) · ~e1 + Ey (x, y, z) · ~e2 + Ez (x, y, z) · ~e3
E
(2.39)
mit ~e1 , ~e2 , ~e3 den jeweiligen Einheitsvektoren der linearen Polarisation auf den
einzelnen Achsen. Bilden diese ein Orthonormalsystem, dann gilt für ihre Skalarprodukte ~e1 · ~e2 = ~e2 · ~e3 = ~e3 · ~e1 = 0, so daß in der Intensitätsverteilung nach
(2.21) die Interferenz-Terme verschwinden und das resultierende Intensitätsprofil
einfach eine Addition der Einzelintensitäten nach (2.23) ist:
Iges (~r) =
2 +z 2 )
2 +z 2 )
2 +y 2 )
2Py −2(x
2Pz −2(x
2Px −2(y
w2 (x)
w2 (y)
w2 (z)
e
+
e
+
e
.
πw2 (x)
πw2 (y)
πw2 (z)
(2.40)
In der harmonischen Näherung ergibt sich dann gemäß (2.35) für die Fallenfrequenzen auf den einzelnen Achsen:
s
8Uω
−
πm
Py
Pz
Px
+ 4 +
4
2
w0,y w0,z 2w0,x
x2R
s
8Uω
−
πm
Pz
Py
Px
+ 4 +
4
2
w0,x w0,z 2w0,y
yR2
8Uω
−
πm
Py
Pz
Px
+ 4 +
4
2
w0,x w0,y 2w0,z
zR2
ωx =
ωy =
s
ωz =
(2.41)
.
Zur Beeinflußung der Fallensymmetrie steht hier also zusätzlich zur Fokusgröße
noch die Leistung auf den einzelnen Achsen zur Verfügung, so daß auch bei unterschiedlich gewählten Foki über die einzelnen Leistungen jede Geometrie realisierbar ist. Die Terme mit den Rayleighlängen spielen dabei nur eine Rolle, wenn auf
den beiden jeweils anderen Achsen eine sehr geringe Leistung eingestrahlt wird,
so daß sich für Px = Py = 0 genau die Lösungen der 1D-Dipolfalle (2.36) ergeben.
In Anhang A.2 werden die wichtigsten Parameter optischer Dipolfallen auf der Basis des in dieser Arbeit verwendeten Lasersystems diskutiert und Abschätzungen
dieser Parameter für den experimentellen Ablauf geliefert.
2.4 Eigenschaften optischer Gitter
2.4
17
Eigenschaften optischer Gitter
Um Atome in einem periodischen Potential ähnlich dem in Festkörpern speichern
zu können, nutzt man aus, daß sich im Falle gegenläufiger Strahlen eine stehende Welle ausbildet- ein sog. optisches Gitter (Übersichten zum Thema optische
Gitter siehe [43, 44]). Man erreicht dies z.B. dadurch, daß man einen fokussierten Laserstrahl in sich zurückreflektiert (Abb. 2.2). In einem blau-verstimmten
Gitter werden die Atome dabei in den Intensitätsminima der Stehwelle gefangen,
im rot-verstimmten Gitter dagegen werden die Atome in den Maxima gefangen.
Wie schon bei den Dipolfallen wird letzterer Fall hier näher behandelt.
Betrachtet man das elektrische Feld eines sich in z-Richtung ausbreitenden retroreflektierten linear polarisierten Laserstrahls nur entlang dieser Propagationsrichtung unter Vernachlässigung der Gaußschen Intensitätsverteilung senkrecht
zu ihr, so gilt:
~ z (z, t) = Ez ei(kz z−ωz t) · ~ei + Ez e−i(kz z+ωz t) · ~ei
E
= Ez ei(kz z−ωz t) + e−i(kz z+ωz t) · ~ei .
(2.42)
wobei ~ei der Einheitsvektor der linearen Polarisation ist. Mit (2.21) folgt weiter:
~ z (z, t)|2 = E
~ ∗ (z, t) · E
~ z (z, t) = 4 E 2 cos2 (kz z) .
I(z, t) ∼ |E
z
z
(2.43)
Diese stehende Welle ist mit dem Gaußschen Intensitätsprofil (2.23) überlagert,
so daß sich endgültig für ein optisches Gitterpotential in einer Dimension- ein
1D-optisches Gitter- mit (2.11) bzw. (2.12) ergibt:
−2(x2 +y 2 )
2P
2
U1D (~r, t) = Uω I(~r, t) = 4Uω 2
cos (kz z) e w2 (z)
.
πw (z)
(2.44)
Es entstehen in der stehenden Welle also einzelne Gitterplätze mit Abstand
in denen der axiale Einschluß sehr groß wird. Die axiale Fallenfrequenz in den
Gitterplätzen im Fokus des Gaußschen Strahls ergibt sich dann nach Entwicklung
des cos2 -Terms:
s
16Uω P kz2
ωz = −
.
(2.45)
πm w02
λ
,
2
Der radiale Einschluß in den Gitterplätzen ist weiterhin durch (2.36) gegeben, so
daß sich in einem 1D-optischen Gitter eine quasi 2D-Geometrie bildet, bei der die
18
Kapitel 2 Grundlagen: Optische Speicherung von kalten Atomen
Abbildung 2.2: Schematische Darstellung der Erzeugung eines optischen Gitters
durch einen retro-reflektierten Gaußschen Strahl
Abbildung 2.3: Schematische Darstellung der verschiedenen Gittergeometrien: a)
eine stehende Welle bildet ein 1D-Gitter, b) zwei gekreuzte orthogonale stehende
Wellen bilden ein 2D-Gitter und c) drei gekreuzte orthogonale stehende Wellen
bilden ein 3D-Gitter.
2.4 Eigenschaften optischer Gitter
19
Atome in den Gitterplätzen eine große Bewegungsfreiheit in der radialen Ebene
haben bei starkem Einschluß in axialer Richtung (Abb. 2.3a). Strahlt man zwei
gekreuzte orthogonale stehende Wellen ein, bilden diese ein 2D-optisches Gitter
mit sehr starkem Einschluß in der Einstrahl-Ebene, so daß hier Röhren entstehen, entlang denen sich Atome, die an den Gitterplätzen gefangen sind, in einer
quasi-1D-Geometrie bewegen können (Abb. 2.3b).
Ein 3D-optisches Gitter wird durch drei orthogonale stehende Wellen gebildet.
Geht man wieder von einem elektrischen Feld der Form (2.42) im Zentrum der
Gaußschen Strahlen aus und setzt weiterhin eine lineare Polarisation mit Einheitsvektoren ~e1 , ~e2 , ~e3 in den einzelnen Zweigen voraus, so ergibt sich:
~ r, t) = Ex
E(~
Ey
Ez
ei(kx x−ωx t) + e−i(kx x+ωx t) · ~e1 +
ei(ky y−ωy t) + e−i(ky y+ωy t) · ~e2 +
ei(kz z−ωz t) + e−i(kz z+ωz t) · ~e3 .
(2.46)
Mit (2.21) gilt auch hier weiter:
~ r, t)|2
I(~r, t) ∼ |E(~
= 4 Ex2 cos2 (kx x) + Ey2 cos2 (ky y) + Ez2 cos2 (kz z)
+ 8(Ex Ey (~e1 · ~e2 )cos(kx x)cos(ky y)cos((ωx − ωy )t)
(2.47)
+ Ey Ez (~e2 · ~e3 )cos(ky y)cos(kz z)cos((ωy − ωz )t)
+ Ez Ex (~e3 · ~e1 )cos(kz z)cos(kx x)cos((ωz − ωx )t)) .
Die Intensitätsverteilung im 3D-Gitter besteht also im allgemeinen nicht nur aus
drei gekreuzten stehenden Wellen der Form (2.44), sondern es treten auch Interferenzterme zwischen den einzelnen Gitterachsen auf, die zu laufenden Wellen mit
den Differenzfrequenzen der einzelnen Zweige führen. Man löst dieses Problem in
der Praxis dadurch, daß man die linearen Polarisationen auf den Achsen jeweils
senkrecht zueinander einstellt, so daß die Skalarprodukte der Einheitsvektoren
in (2.47) verschwinden. Sollten die Polarisationen dann noch immer nicht perfekt orthogonal sein, werden die Frequenzen auf den einzelnen Gitterachsen so
eingestellt, daß die Differenzfrequenzen groß sind gegen die Fallenfrequenzen an
den Gitterplätzen, so daß sich die Interferenzen auf den typischen Zeitskalen auf
denen Atombewegungen im Gitter erfolgen, herausmitteln.
20
Kapitel 2 Grundlagen: Optische Speicherung von kalten Atomen
Als effektives Gitter-Potential ergibt sich dann mit (2.11) bzw. (2.12) eine Überlagerung
dreier orthogonaler 1D-Gitter vom Typ (2.44):
−2(y 2 +z 2 )
8Uω Px
2
w2 (x)
cos
(k
x)
e
x
πw2 (x)
−2(x2 +z 2 )
8Uω Py
2
w2 (y)
+
cos
(k
y)
e
y
πw2 (y)
−2(x2 +y 2 )
8Uω Pz
2
w2 (z)
+
cos
(k
z)
e
.
z
πw2 (z)
U3D (~r, t) =
(2.48)
Im Zentrum der drei gekreuzten retro-reflektierten Gaußschen Strahlen läßt sich
dieses Potential durch eine Summe aus den drei Gitterzweigen und einem schwächeren
externen harmonischen Potential, was sich durch das Gaußsche Intensitätsprofil
ergibt, approximieren:
8Uω Px
Py
Pz
2
2
2
U3D (~r, t) =
cos (kx x) + 2 cos (ky y) + 2 cos (kz z)
2
π
w0,x
w0,y
w0,z
m
+
((2ωx )2 x2 + (2ωy )2 y 2 + (2ωz )2 z 2 ) .
(2.49)
2
Falls ein kugelsymmetrisches Gitter mit
man setzen
Px
2
w0,x
=
Py
2
w0,y
=
Pz
2
w0,z
=
P
w02
vorliegt, kann
m
U3D (~r, t) = U0,lat cos2 (kx x) + cos2 (ky y) + cos2 (kz z) + ((2ωx )2 x2 +(2ωy )2 y 2 +(2ωz )2 z 2 ) ,
2
(2.50)
8Uω P
mit der Gittertiefe U0,lat = π w2 .
0
ωx , ωy , und ωz in (2.49) sind die Fallenfrequenzen der gekreuzten 3D-Dipolfalle
aus (2.41). Das externe harmonische Potential hat also genau doppelt so hohe
Einschlüsse, die aber deutlich geringer sind als die starken Einschlüsse an den
Gitterplätzen. Deren Fallenfrequenzen im Fokus der Strahlen ergeben sich analog
zu (2.45):
s
16Uω Px kx2
ωlat,x (0) =
−
2
πm w0,x
s
16Uω Py ky2
ωlat,y (0) =
−
(2.51)
2
πm w0,y
s
16Uω Pz kz2
ωlat,z (0) =
−
.
2
πm w0,z
2.5 Licht-induzierte Heizmechanismen in
optischen Fallen
21
Aufgrund des Gaußschen Intensitätsprofils nehmen die Fallenfrequenzen an den
Gitterplätzen (2.51) vom Zentrum zum Rand hin ab:
2 +z 2
2
w0,x
−y
ωlat,x (y, z) = ωlat,x (0) · e
2 +z 2
2
w0,y
−x
ωlat,y (x, z) = ωlat,y (0) · e
2 +y 2
2
w0,z
−x
ωlat,z (x, y) = ωlat,z (0) · e
y2 + z2
≈ ωlat,x (0) 1 −
2
w0,x
x2 + z 2
≈ ωlat,y (0) 1 −
2
w0,y
x2 + y 2
.
≈ ωlat,z (0) 1 −
2
w0,z
(2.52)
Als Tiefe eines optischen Gitters für Atome einer Spezies gibt man den Betrag
des Gitterpotentials (2.48) im Zentrum der gekreuzten Strahlen in Einheiten der
2 2
Rückstoßenergie Erec = ~2mk an, die bei der Absorption eines Photons des Gitterlasers auf ein solches Atom übertragen würde:
16m|Uω | Px
Py
Pz
|U3D (0)| =
+ 2 + 2
Erec
2
π~2 k 2
w0,x
w0,y w0,z
16m|Uω |
3 U0,lat Erec .
(2.53)
=
π~2 k 2
Die wichtigsten Parameter optischer Gitter auf der Basis des in dieser Arbeit verwendeten Lasersystems werden in Anhang A.3 diskutiert und nützliche Abschätzungen
für den experimentellen Ablauf geliefert.
2.5
Licht-induzierte Heizmechanismen in
optischen Fallen
Da beim in dieser Diplomarbeit realisierten Aufbau besonderer Wert auf die Vermeidung von licht-induzierten Heizmechanismen gelegt wurde, sollen diese hier
vom theoretischen Standpunkt aus näher beleuchtet werden.
• Die schon in (2.10) abgeleitete Größe der Photonen-Streurate kann zu Heizprozessen und Teilchenverlust in optischen Fallen führen [40].
• Da das optische Dipolpotential proportional zur Intensität des erzeugenden
Lichtfeldes ist, beeinflußen Intensitätsschwankungen des Lasers die Tiefe
des Potentials und führen zu einem parametrischen Heizprozeß. [45].
22
Kapitel 2 Grundlagen: Optische Speicherung von kalten Atomen
• Frequenzschwankungen des Lasers führen v.a. in optischen Gittern zu einem
sich zeitlich ändernden räumlichen Versatz des Potentialminimums, also
einem Schütteln an der optischen Falle, was ein darin gefangenes AtomEnsemble ebenfalls aufheizt. [45].
2.5.1
Photonen-Streuung
Im weit rot-verstimmten Fall kann die Streuung von Photonen an kalten Atomen
in einer optischen Falle als elastisch bzw. quasi-elastisch betrachtet werden. Die
thermische Energie von insgesamt zwei Rückstoßenergien Erec pro Streuprozeß
wird auf das beteiligte Atom durch Absorption eines Photons in Propagationsrichtung des Lichtfeldes und durch die zufällige Re-Emission in den Raumwinkel
übertragen [46]. Ignoriert man die Anisotropie dieses Heizprozesses und führt
die globale dreidimensionale Heizrate Pheat = Ė als Änderung der thermischen
Energie des Ensembles ein [40], so ergibt sich mit der Streurate ΓSc aus (2.10):
Pheat = 2Erec ΓSc .
(2.54)
Der Einfluß der Streuprozesse auf die Lebensdauer der Ensembles in optischen
Fallen läßt sich abschätzen, wenn man annimmt, daß ein jeder Streuprozeß zum
Verlust des Atoms führt, an dem ein Photon gestreut wurde. Wie aber schon
in Abschnitt (2.1.1) gesagt, läßt sich der Einfluß dieses Heizprozesses dadurch
verringern, daß die Verstimmung und die Laserleistung im Strahl erhöht werden,
Γ
I(~r) (siehe (2.9)) gleich bleibt bei sinkender
so daß die Potentialtiefe UDip ∼ ∆
Γ 2
Photonen-Streurate ΓSc ∼ ∆ I(~r) (siehe (2.10)).
2.5.2
Intensitätsschwankungen
Wie in den Abschnitten 2.3 und 2.4 gezeigt wurde, läßt sich das Potential in
optischen Dipolfallen und Gittern durch einen harmonischen Oszillator approximieren. Der Hamiltonoperator sieht für ein solches Problem wie folgt aus:
Ĥ =
1
p̂2
2 2
+ mωtr
x ,
2m 2
(2.55)
wobei ωtr die Fallenfrequenz dieses 1D-harmonischen Oszillators ist. Die Fallenfrequenzen sowohl in Dipolfallen als auch in Gittern sind allesamt proportional
2.5 Licht-induzierte Heizmechanismen in
optischen Fallen
23
zur Intensität des erzeugenden Lichtfeldes (vgl. (2.36), (2.41), (2.45) und (2.51)),
0
der mittleren Laserintensität
so daß man eine relative Schwankung (t) = I(t)−I
I0
I0 einführen kann. Der modifizierte Hamiltonian sieht dann wie folgt aus [45]:
2
ˆ = p̂ + 1 mω 2 [1 + (t)]x2 = Ĥ + Ĥ 0 (t)
H̃
tr
2m 2
1
2 2
mit Störoperator Ĥ 0 (t) =
(t)mωtr
x .
2
(2.56)
Das Problem läßt sich dann in erster Ordnung zeitabhängiger Störungsrechnung
behandeln. Aufgrund der Symmetrie des Störoperators, die der des ungestörten
Hamiltonians gleicht, sind Übergänge zwischen benachbarten Oszillator-Niveaus
nicht möglich. Stattdessen gibt es Übergänge zwischen Niveaus n → m mit m =
n ± 2, mit Energiedifferenz ∆E = 2~ω. Für die mittlere Heizrate hĖi folgt dann:
hĖi =
π 2
ω S (2ωtr ) hEi .
2 tr
(2.57)
Dabei ist S (ω) die spektrale Leistungsdichte der relativen Intensitätsschwankungen,
die gemäß
2
S (ω) =
π
Z∞
dτ cos(ωτ ) h(t)(t + τ )i und h2 (t)i =
0
Z∞
dω S (ω)
(2.58)
0
definiert ist, wobei h(t)(t + τ )i =
1
T
RT
dt (t)(t + τ ) die Korrelationsfunktion
0
der relativen Intensitätsschwankungen ist.
An (2.57) kann man erkennen, daß die Intensitätsschwankungen mit der doppelten
Fallenfrequenz zu einem parametrischen Aufheizen des Ensembles führen. Dieser
Heizprozeß verläuft exponentiell wegen hĖi ∼ hEi mit der konstanten Rate
Γ =
π 2
ω S (2ωtr ) ,
2 tr
(2.59)
deren Kehrwert TI = Γ1 angibt, nach welcher Zeit die mittlere Energie auf das
e-fache angestiegen ist.
Der Mechanismus kann auch dazu benutzt werden, daß man durch selektive parametrische Anregung die Fallenfrequenzen bestimmt oder das gefangene Ensemble
sogar kühlt [47][48]. Dabei wird ausgenutzt, daß das optische Dipolpotential nur
in der Nähe des Minimums harmonisch ist, während die energetischen Abstände
24
Kapitel 2 Grundlagen: Optische Speicherung von kalten Atomen
der höheren Niveaus geringer sind, so daß man durch Intensitätsmodulationen mit
ωmod < 2ωtr selektiv nur hochenergetische Atome anregen und somit aus der Falle entfernen kann, so daß ein bosonisches Ensemble evaporativ gekühlt wird. Die
Fallenfrequenzen lassen sich so auch bestimmen, indem man die Modulationsfrequenz schrittweise erhöht. In [48] konnte gezeigt werden, daß im Falle von einem
BEC in einer Dipolfalle der Kondensatanteil des Ensembles bei einer Modulation
mit der doppelten radialen Fallenfrequenz oder knapp oberhalb dramatisch sinkt,
während er sonst höher ist als ohne die Modulation.
2.5.3
Frequenzschwankungen
Ein anderer parametrischer Heizprozeß, der v.a. in optischen Gittern eine Rolle
spielen kann, entsteht durch eine räumliche Bewegung der Falle, wie sie durch
Frequenzschwankungen oder Instabilitäten des Laserstrahls hevorgerufen werden.
Hat der verwendete Laser eine Frequenzbreite ΓLaser , so entspricht diese einer
λ2
, die auf einer Fokussierlänge l zu einem
Wellenlängenschwankung ∆λ = ΓLaser
c
räumlichen Versatz
lλ
d = ΓLaser
(2.60)
c
führt. Ein solcher Versatz läßt sich im Hamiltonian (2.55) des Abschnitts 2.5.2 als
Störung δ(t) der räumlichen Variable behandeln [45], so daß man ansetzen kann:
p̂2
1
ˆ
2
H̃ =
+ mωtr
[x − δ(t)]2 .
2m 2
(2.61)
Analog zum vorigen Abschnitt ergibt sich dann für die mittlere Heizrate mit
zeitabhängiger Störungsrechnung erster Ordnung:
hĖi =
π
4
mωtr
Sδ (ωtr ) .
2
(2.62)
Dabei ist Sδ (ωtr ) diesmal die spektrale Leistungsdichte der PositionsschwankunR∞
gen mit hδ 2 (t)i = dω Sδ (ω) der mittleren quadratischen Positionsschwankung
0
des Fallenzentrums. An (2.62) kann man erkennen, daß die Heizrate diesmal von
den Positionsschwankungen bzw. Laser-Frequenzschwankungen bei der einfachen
Fallenfrequenz abhängt, wobei die Heizrate zeitlich konstant ist, so daß die mittlere Energie linear anwächst. Eine Zeit Tx , nach der sich die mittlere Energie
verdoppelt hat analog zu TI aus Abschnitt 2.5.2, kann man deshalb nur über die
2.5 Licht-induzierte Heizmechanismen in
optischen Fallen
25
2
hx2 i zum Zeitpunkt t = 0 definieren, wobei hx2 i
mittlere Energie hE(0)i = mωtr
die mittlere quadratische Position eines Atoms hx2 i zum Zeitpunkt t = 0 ist:
hĖi
1
π 2 Sδ (ωtr )
=
= ωtr
.
hE(0)i
Tx
2
hx2 i
(2.63)
26
Kapitel 2 Grundlagen: Optische Speicherung von kalten Atomen
Kapitel 3
Experimenteller Aufbau
Der in dieser Diplomarbeit beschriebene 3D-optische Gitter-Aufbau für FermiBose-Mischungen wurde am 40 K / 87 Rb-Experiment des Hamburger Instituts für
Laser-Physik realisiert. In diesem Kapitel wird kurz der experimentelle Aufbau
beschrieben, mit dem die Atome in den quantenentarteten Bereich gekühlt werden
(für eine detaillierte Beschreibung des Aufbaus siehe [49, 50, 51, 52]) Anschließend wird ausführlich der Aufbau des optischen Gitters beschrieben. Dabei wird
zuerst auf die Präparation der drei Gitterzweige eingegangen, anschließend wird
erläutert, wie das optische Gitter in das vorhandene Experiment implementiert
wird, wobei besonders auf die Kollimation und Fokussierung der Gitterstrahlen
eingegangen wird. Desweiteren wurden in dieser Diplomarbeit zur Vermeidung
der in (2.5) beschriebenen parametrischen Heizprozesse eine Frequenzregelung
nach Pound, Drever, Hall [53] und eine Intensitätsregelung realisiert, deren Aufbau und Charakterisierung zuletzt beschrieben werden.
3.1
Das
40
K/
87
Rb-Experiment
Ziel dieses Experimentes ist es, Untersuchungen an in den quantenentarteten
Bereich gekühlten Ensembles von fermionischen 40 K-Atomen und bosonischen
87
Rb-Atomen durchzuführen. Der Aufbau (Schematische Skizze siehe Abb. 3.1)
basiert auf einem 2D-/3D-MOT (Magneto-optische Falle, näheres hierzu in [51])Kombination. Die Lasersysteme zur Erzeugung des benötigten Laserlichtes befinden sich auf einem optischen Tisch, so daß das MOT-Licht mit Glasfasern zum
27
28
Kapitel 3 Experimenteller Aufbau
Abbildung 3.1: Mit dem Autodesk Inventor erstellte Seitenansicht der Vakuumapparatur
Abbildung 3.2: Mit dem Autodesk-Inventor erstellte Skizze der Rückansicht der
3D-MOT-Optik, die auf einer Platte montiert ist. Zu erkennen sind die drei senkrechten Achsen, auf denen die Atome gefangen werden: Eine Achse verläuft senkrecht zur Skizzenebene d.h. parallel zum Erdboden (3), die beiden anderen verlaufen in der Skizzenebene um 45° gegenüber dem Erdboden geneigt (1/2).
3.1 Das
40
K/
87
Rb-Experiment
29
eigentlichen Experiment gelangt, wo es auf die verschiedenen Achsen verteilt wird.
Anschließend wird das Kühllicht für die beiden Atomspezies überlagert und in
entgegenlaufende Strahlen aufgeteilt. Der größte Teil dieser Optik ist auf einer
neben der Glaszelle stehenden Platte angebracht. Aufteilung und Überlagerung
erfolgen auf der von der Glaszelle abgewandten Seite der Platte, um den optischen Zugang zum eigentlichen Experiment freizuhalten. Die fertig überlagerten
Strahlen werden auf die andere Seite der Platte und auf die Atomwolke geschickt
(Skizze siehe Abb. 3.2). Auf derselben Platte findet auch die Kollimation und
Fokussierung der Gitterstrahlen und ihre Überlagerung mit den MOT-Strahlen
statt.
Die Atome werden in der 2D-MOT-Glaszelle bei 10−9 mbar Druck aus Dispensern freigesetzt und in einer 2D-MOT transversal kollimiert, um anschließend
mit einem Pushing-Beam über eine differentielle Pumpstufe in die 3D-MOTGlaszelle transferiert zu werden. Hier herrscht ein Druck von 10−11 mbar. In der
3D-MOT werden etwa 1 · 1010 87 Rb-Atome und je nachdem, ob eine Rb-MOT
anwesend ist oder nicht, 5 · 107 bis 2 · 108 40 K-Atome gefangen. Danach werden
die in der magneto-optischen Fallenkombination vorgekühlten Atome in eine Magnetfalle (näheres zu Magnetfallen und zur evaporativen Kühlung siehe [52]) vom
Ioffe-Pritchard-Typ umgeladen. Die bosonischen 87 Rb-Atome werden dann mittels RF-Evaporation weiter gekühlt, indem selektiv die energiereichsten Atome
”verdampft”werden, so daß das restliche Ensemble nach Rethermalisierung kälter
ist als zuvor. Nach abgeschlossener Evaporation wird ein reines BEC mit 4 · 106
Atomen erzielt. Die Rethermalisierung erfolgt dabei über Stöße, wobei bei geringen kinetischen Energien der Stoßpartner, wie sie hier gegeben sind, der Prozeß
der s-Wellenstreuung dominant ist. Bei den fermionischen 40 K-Atomen muß jedoch die Gesamtwellenfunktion antisymmetrisch unter Teilchenaustausch sein. Da
aber eine symmetrische Spin-Wellenfunktion vorliegt, muß die Ortswellenfunktion eines Fermionenpaares antisymmetrisch sein, d.h. der relative Bahndrehimpuls
muß ungerade sein. Zwischen den 40 K-Atomen sind also Stöße stark unterdrückt,
so daß diese nicht rethermalisieren können. Die Fermionen werden stattdessen im
Kältebad der bosonischen Rubidium-Atome sympathetisch gekühlt, da zwischen
unterscheidbaren Stoßpartnern s-Wellen-Streuung erlaubt ist. Dabei wird, wenn
das gesamte bosonische ”Kühlmittel”verbraucht wird, ein reines Fermi-Gas von
3 · 106 40 K-Atomen bei 0, 3 · TF erreicht.
30
Kapitel 3 Experimenteller Aufbau
Abbildung 3.3: BEC mit 4·106
Atomen
87
Rb-
Abbildung 3.4: Fermi-Gas mit 3 ·
106 40 K-Atomen bei 0, 3 · TF
Die Detektion der atomaren Ensembles erfolgt nach dem Abschalten der Magnetfalle und einer Fallzeit (TOF- time of flight). Die expandierende Atomwolke
wird mit resonantem Licht angeblitzt. Das Licht wird von den Atomen absorbiert
und in den Raumwinkel gestreut, so daß der Schattenwurf der Wolke auf einer
CCD-Kamera abgebildet werden kann. Insgesamt werden drei Bilder aufgenommen: Eines mit Atomen, eines ohne Atome aber mit Lichtblitz und ein Dunkelbild. Das Dunkelbild wird von den anderen beiden abgezogen und das Bild ohne
die Atome durch jenes mit Atomen geteilt und anschließend logarithmiert. Die
so gewonnenen Absorptionsbilder entsprechen dann zweidimensionalen Expansionsprofilen, an die je nach Teilchensorte die verschiedenen Dichteverteilungen
angepaßt werden können zur Festellung von Temperatur und Teilchenzahl der
Ensembles. Die typische Darstellungweise ist in Falschfarben, wobei rot für eine
sehr hohe und blau für eine sehr niedrige Dichte steht. Mehr zu diesem Verfahren
findet sich bei [54], die experimentelle Realisation wird in [50] beschrieben.
3.2
Der optische Aufbau
Dem im Rahmen dieser Diplomarbeit realisierten optischen Aufbau liegt das in
Abschnitt 2.4 beschriebene Konzept eines retro-reflektierten 3D-optischen Gitters zugrunde. Kernstück des Aufbaus ist ein ELS-Versa Disk-Lasersystem- ein
3.2 Der optische Aufbau
31
Yb:YAG-Festkörper-Laser, der mit 20W single-frequency spezifiziert ist. Dieser
wird von einem 140W Diodenstack gepumpt, über dessen Versorgungsstrom die
Ausgangsleistung des Lasers in einem Bereich von etwa 2W bis 20W grob eingestellt werden kann. Die Laser-Wellenlänge liegt bei 1030nm, wobei der Laser mit
einer Breite von 5MHz auf einer Zeitskala von 50ms spezifiziert ist. Der in den
Abschnitten 2.3 und 2.4 ausführlich diskutierte Fall einer fern rot-verstimmten
optischen Falle für 87 Rb- und 40 K-Atome ist also gegeben, liegen doch die AlkaliD-Linien bei 795nm und 780nm im Falle von Rubidium bzw. bei 770nm und
767nm bei Kalium.
Zur Integration des optischen Gitters in den vorhandenen experimentellen Aufbau werden die Gitterachsen mit den Strahlen der 3D-MOT überlagert, das Gitter befindet sich also am Ort der 3D-MOT und des Magnetfeld-Minimums. Das
Laser-Licht für das optische Gitter gelangt wie das MOT-Licht mit Glas-Fasern
zum eigentlichen Experiment. Der optische Aufbau gliedert sich deshalb in zwei
Abschnitte:
• Zur Präparation der Gitterstrahlen wird das Laser-Licht auf drei Zweige
plus einen vierten Spektrokopie-Zweig (siehe Abschnitt 3.3.1) aufgeteilt.
Nach der jeweiligen einfachen Passage durch einen akusto-optischen Modulator (AOM) wird dann die erste gegenüber der Laserwellenlänge frequenzverschobene Beugungsordnung in eine Glasfaser eingekoppelt.
• Im eigentlichen Aufbau der Gitteroptik wird das Licht aus den Glasfasern
ausgekoppelt und mit einem im Rahmen dieser Diplomarbeit entwickelten
Kollimationsschema kollimiert und anschließend so fokussiert, daß der Fokus am Ort der Atome in der Magnetfalle liegt. Danach wird der Strahl
so in sich zurückreflektiert, daß sich die stehende Welle des optischen Gitters ausbildet und auch der Fokus des Rückreflexes sich am Ort der Atome
befindet.
3.2.1
Präparation der Gitterzweige
In der in Abb. 3.5 dargestellten Präparation der Gitterzweige wird das LaserLicht des ELS-Versa Disk-Lasers mit polarisierenden Strahlteilerwürfeln auf drei
unterschiedliche Zweige verteilt. Mit λ/2-Wellenplatten kann dabei grob die Ver-
32
Kapitel 3 Experimenteller Aufbau
Abbildung 3.5: Schematische Darstellung der Präparation der Gitterzweige
teilung der vorhandenen Laser-Leistung auf die einzelnen Zweige eingestellt werden. Danach passiert das Licht jeweils einen AOM. In diesem befindet sich ein
Kristall, in dem mit einem Piezo-Aktuator, der mit dem RF-Signal eines Oszillators (VCO) versorgt wird, eine laufende akustische Welle erzeugt wird (zur
genauen Funktionsweise siehe [55]). Mit einer plan-konvexen Linse wird das Licht
derart auf den AOM fokussiert, daß der Fokus innerhalb des Kristalls am Ort
der akustischen Welle liegt. Dadurch wird das Licht in verschiedene Ordnungen gebeugt. Ein nicht abgelenkter Strahl, die nullte Ordnung, erfährt keinerlei
Frequenzverschiebung. Die erste bzw. minus erste Ordnung treten unter kleinen
Winkeln aus und erfahren eine Frequenzverschiebung gegenüber dem einfallenden
Licht, die der Frequenz der akustischen Welle entspricht. Es treten auch höhere
Ordnungen auf, für unseren Aufbau ist jedoch nur die erste Ordnung von Interesse. In der Praxis erreicht man eine maximale Beugungseffizienz von etwa 80%
in diese erste Ordnung. Dies hängt von verschiedenen Faktoren ab, von denen
die wichtigsten die saubere Justage, eine der Apertur des AOMs angepaßte Fokusgröße und die Intensität des RF-Signals, mit dem der AOM versorgt wird,
sind. Der AOM in den einzelnen Zweigen soll dabei mehreren Zwecken dienen:
Einerseits sollen durch unterschiedlich gewählte Frequenzen, die sich um 10MHz
bzw. 20MHz unterscheiden, Interferenzen zwischen den unterschiedlichen Gitterachsen vermieden werden (vgl. Argumentation in Abschn. 2.4 im Anschluß an
Gleichung (2.47)), andererseits ist der AOM das Stellglied für die elektronischen
3.2 Der optische Aufbau
33
Abbildung 3.6: Schematische Darstellung des Aufbaus der Gitteroptik
Regelungen (siehe Abschn. 3.3), da über Frequenz und Intensität des RF-Signals
Frequenz und Intensität des Lichtes in den einzelnen Gitterzweigen beeinflußt
werden können. Die Frequenzen, mit denen die AOMs versorgt werden, sind deshalb nicht fest, sondern werden nachgeregelt. Zu diesem Zweck wurde ein Schema
entwickelt, was in Abschn. 3.3.1 ausführlich beschrieben wird.
Nach der Kollimation mit einer weiteren plan-konvexen Linse, wird das Licht in
eine Glasfaser eingekoppelt und gelangt so zum Experiment. An diesem Ende der
Faser befindet sich ein um 8° angeschrägter FC/APC-Stecker zur Vermeidung
von Rückreflexen, die den Laser stören.
In der Abb. 3.5 ist außerdem noch ein vierter Zweig mit einem weiteren AOM
zu erkennen. Dies ist der optische Aufbau der Frequenzstabilisierung nach Pound,
Drever, Hall, der in Abschn. 3.3.1 näher beschrieben wird. In diesem SpektroskopieZweig wird nur mit dem relativ geringen Teil der Laserleistung gearbeitet, der
durch einen Spiegel transmittiert.
3.2.2
Aufbau der Gitteroptik
In Abb. 3.6 ist der Aufbau der Gitteroptik auf der Achse, die parallel zum Erdboden verläuft, schematisch dargestellt. Das Licht wird zuerst aus der Faser
ausgekoppelt, wobei sich auch hier ein schräger FC/APC-Stecker befindet, um
Rückreflexe, die die stehende Welle des optischen Gitters stören, zu vermeiden.
Danach ist die Kollimation mit zwei Linsen zu erkennen, auf die in Abschn. 3.2.3
noch näher eingegangen wird. Eine dritte Linse mit einer Brennweite von 40cm
34
Kapitel 3 Experimenteller Aufbau
Abbildung 3.7: Schematische Darstellung der 2f-2f Gitterkonfiguration
fokussiert dann den Strahl, so daß sich der Fokus in der Glaszelle am Ort der Atome befindet. Diese drei Linsen befinden sich zusammen mit dem Auskoppler in
einem Tubus, der auf einer x-y-z- Verschiebetisch-Kombination montiert ist, womit die Position des Fokus justiert werden kann. Die Montage der Linsen in einem
Tubus wurde dabei einer freien Montage vorgezogen, weil so die optische Achse
eindeutig definiert ist. Nach der Passage durch den Tubus wird der fokussierte Gitterstrahl mit dem Strahl der 3D-MOT mit Hilfe eines Kantenspiegels, der
hochreflektierend bei 1030nm und antireflexbeschichtet für 780nm ist, überlagert.
Die Größe des Fokus hängt von der Wahl der Brennweiten der beiden Kollimationslinsen ab. Die Realisation und Vermessung verschiedener Strahl-Foki wird
in 3.2.4 ausführlich beschrieben werden. Nach dem Fokus weitet sich der Strahl
dann auf und verläßt die Glaszelle wieder. Nach einem weiteren Kantenspiegel
und einer weiteren Strecke von 40cm passiert der Strahl zwei plan-konvexe Linsen mit einer Brennweite von jeweils 40cm, die direkt hintereinander montiert
werden und so eine effektive Brennweite von 20cm haben. Diese Anordnung fokussiert das Licht auf einer Distanz von 40cm, wo sich der Rückreflex-Spiegel des
Gitters befindet und den Strahl in sich zurückreflektiert. Der geringe Anteil der
durch den Spiegel transmittierenden Intensität fällt auf die sich dort befindende
Photodiode der Intensitätsregelung. Nach der erneuten Passage der beiden Linsen
befindet sich dann auch der Rückreflex genau an der Position der Atome, so daß
sich die stehende Welle des optischen Gitters ausbildet (vgl. Abschn. 2.4). Diese Anordnung von Fokussierlinsen und Rückreflex ist die 2f-2f-Konfiguration, sie
hat sich in der Praxis als am wenigsten anfällig gegen mechanische Schwingungen
erwiesen. Zwei Linsen zur Fokussierung auf den Rückreflexspiegel werden dabei
deshalb verwandt, da plan-konvexe Linsen zur Vermeidung von Abbildungsfehlern
stets so angeordnet werden sollen, daß die plane Seite zum Fokus hingewendet ist.
Befindet sich aber auf beiden Seiten ein Fokus, dann ist die korrekte Anordnung
im Falle einer Linse unklar. Dies wird so vermieden (siehe Abb. 3.7). Der Klapp-
3.2 Der optische Aufbau
35
Abbildung 3.8: Vermessung der numerischen Apertur der Faser
spiegel, der ebenfalls in der Abb. 3.6 zu sehen ist, reflektiert, wenn er in die grau
eingezeichnete Position gefahren wird, den Strahl auf eine CCD-Kamera. Hier
wurde eine 1:1 Abbildung des Fokus realisiert, mit deren Hilfe die Fokus-Position
justiert werden kann, so daß sich dieser auch am Ort der Atome befindet. In der
schwarz eingezeichneten Position behindert der Klappspiegel den Gitterbetrieb
hingegen nicht.
3.2.3
Kollimation der Gitterstrahlen
Kollimiert man den aus der Faser ausgekoppelten Gitterstrahl mit einer Linse der Brennweite f und des Durchmessers d, indem man diese im Abstand f
vom Faserende montiert, so hängt der Radius wKoll des kollimierten Strahls vom
Kerndurchmesser wKern und der numerischen Apertur N A, dem halben Austrittswinkel, der Faser und der Brennweite fKoll der verwendeten Linse ab. Die
numerische Apertur der verwendeten Faser ist mit 0,14 vom Hersteller angegeben,
der Kerndurchmesser beträgt 6, 2µm. Da es aber verschiedene Definitionen der
numerischen Apertur gibt, wurde diese mit der im Abschn. 3.2.4 beschriebenen
Methode vermessen. Dafür wurde der Strahlradius des unkollimierten Strahls in
verschiedenen Abständen vom Faserende bestimmt, siehe Abb. 3.8. Die nume-
36
Kapitel 3 Experimenteller Aufbau
Brennweite [mm]
10
20
30
40
80
6,3
Linsendurchmesser [mm]
6
10
12,5
16,2
18
3
6,3
4,5
Linsentyp
Achromat
Achromat
Achromat
Achromat
Achromat
Asphäre,
gefaßt
Asphäre,
gefaßt
Tabelle 3.1: Kombinationen von Brennweite und Durchmesser für die verschiedenen Kollimationslinsen
rische Apertur ist die Steigung dieser Geraden und ergibt gemäß der Definition
der geometrischen Optik zu NA=0,103±0,0015. Paßt man Gleichung (2.25) an die
Punkte an, so ergibt sich für den Kernradius ein Wert von w0 = (6, 25 ± 0, 09)µm.
Im Grenzfall der geometrischen Optik, der hier bei einer Rayleighlänge (vgl. Abπw2
schn. 2.2) von zR = Kern
≈ 30µm gegeben ist, ergibt sich dann für den Strahlλ
radius des kollimierten Strahls:
wKoll ≈ N A · fKoll
(3.1)
Da dieser Strahl anschließend fokussiert werden soll und da die Größe des Fokus
vom Strahlradius des kollimierten Strahls abhängt, muß man zur Realisation verschiedener Fokusgrößen auch unterschiedliche Kollimationslinsen nehmen. Dafür
stehen verschiedene Kombinationen von Brennweite und Linsendurchmesser zur
Verfügung (siehe Tabelle 3.1). Zur Kontrolle der Strahlqualität des kollimierten
Strahls wurde dieser mit einer CCD-Kamera (Beamview, Firma Coherent), über
eine Distanz von mehreren Metern aufgenommen, denn in der 2f-2f-Konfiguration
legt der Gitter-Strahl von der Kollimation bis zum Fokus des Rückreflexes etwa
2m zurück. Es hat sich gezeigt, daß bei der Kollimation mit einer Linse beim kollimierten Strahl ab einer Distanz von 0,5m Interferenz-Ringe entstehen, die mit
zunehmender Distanz ins Zentrum des Strahls wandern. Diese Abbildungsfehler
entstehen dadurch, daß der Gaußsche Strahl am Rand der Kollimationslinse abge-
3.2 Der optische Aufbau
37
Abbildung 3.9: Alternatives Kollimationsschema mit zwei Linsen, die dritte Linse
fokussiert dann den Strahl
schnitten wird, da das Intensitätsprofil in Gleichung (2.23) selbst beim Strahlradius w(z) erst auf e12 abgefallen ist. Allgemein gilt die Abschätzung, daß bei einem
Verhältnis des Durchmessers der Linse zum Strahlradius auf der Linse von wd = π
Abbildungsfehler von 17% entstehen, beträgt das Verhältnis hingegen wd = 4, 67,
entstehen nur 1% Abbildungsfehler. Bei der Kollimation erfüllen von den Linsen
in Tabelle 3.1 nur die beiden kleinsten Achromate mit 5,83 bzw. 4,85 das zweite
Verhältnis mit der von der Faser vorgegebenen NA. Bei diesen Linsen hat sich
aber gezeigt, daß sie in der Adapter-Fassung für den Tubus sehr schlecht exakt zu
befestigen sind und dadurch gegenüber der optischen Achse verkippt sind, so daß
wiederum Interferenz-Ringe bei der Kollimation entstehen. Die entsprechenden
Interferenzringe führen zu einer zusätzlichen einhüllenden Modulation des Gitterpotentials, die soweit wie möglich vermieden werden sollten, damit zusätzlich zum
periodischen Gitterpotential nur das unvermeidbare einhüllende (näherungsweise
harmonische Potential der Gaußschen Strahltaille verbleibt.
Die beschriebenen Probleme bestehen bei den beiden gefaßten Asphären nicht,
da sie als Kollimationslinse den Strahl nicht beschneiden und durch die Fassung
auch nicht verkippt werden können. Da der Strahl sich aber wegen der geringen
Brennweite bis zur Linse erst wenig aufweitet, könnte man diesen kollimierten
Strahl nicht direkt fokussieren, sondern müßte ihn hinterher erst in einem Teleskop wieder aufweiten, wodurch wieder Abbildungsfehler entstehen könnten.
Deshalb wurde ein alternatives Kollimationsschema mit zwei Linsen entwickelt
(siehe Abbildung 3.9), bei dem sichergestellt ist, daß geringe Abbildungsfehler
entstehen und trotzdem die gewünschten Foki erreicht werden: Die erste Lin-
38
Kapitel 3 Experimenteller Aufbau
Abbildung 3.10: Kontrolle der Kollimation mit zwei Linsen f1 = 30mm und
f2 = 80mm über eine Strecke von a)50cm bis g)265cm
se wird im Abstand ihrer halben Brennweite vom Faserende montiert. Dadurch
wird die numerische Apertur der Faser halbiert und der Strahl weitet sich auf,
als propagierte er mit dieser NA ausgehend von einem virtuellen Faserende im
Brennpunkt der ersten Linse ungehindert bis zur zweiten Linse. Diese zweite
Kollimationslinse wird dann im Abstand ihrer Brennweite von diesem virtuellen
Faserende montiert und kollimiert den Strahl. Die durch dieses Kollimationsschema reduzierte N A ermöglicht mit allen Linsenkombinationen eine Kollimation,
ohne daß der Gaußsche Strahl noch merklich abgeschnitten wird. Die oben geschilderten Probleme der exakten Befestigung der beiden kleinsten Achromaten
machen aber deren Verwendung unmöglich. Die beiden gefaßten Aspähren eignen
sich hingegen sehr gut als erste Kollimationslinse.
In der Praxis wird bei der Kollimation so verfahren, daß die erste Linse in ihrer
halben Brennweite vom Faserende entfernt fest montiert wird. Die zweite Linse
wird dann innerhalb des Tubus in einer verstellbaren ’Fokussiereinheit’ befestigt,
so daß deren Position um bis zu 5mm variiert werden kann, und der Abstand der
beiden Linsen d2 solange verändert, bis der Strahl kollimiert ist. Dies wird entweder mit einer Detektorkarte oder besser mit dem Beamview-Analyzer kontrolliert.
In Abb. 3.10 ist für eine Linsenkombination f1 = 30mm und f2 = 80mm erkennbar,
daß sich der Strahl auf einer Strecke von 265cm kaum aufweitet und keine sichtbaren Abbildungsfehler aufgrund der Kollimation zeigt. Die erkennbaren Streifen
entstehen aufgrund von Interferenzen auf dem CCD-Chip. Die angegebenen Formeln in geometrischer Näherung ermöglichen eine gute Abschätzung der richtigen
Positionen der Linsen und der daraus sich ergebenden Fokusgröße. Will man aber
genauere Berechnungen anstellen, so muß man mit den Formeln der Gaußschen
3.2 Der optische Aufbau
39
Strahlenoptik rechnen (vgl. Abschn. 2.2). Da sich der komplexe Strahlparameter
q(z) an jeder Linse gemäß Gleichung (2.34) transformiert, ist eine Auswertung
der Kollimation und Fokussierung aber analytisch nur aufwändig zu erreichen.
Deshalb wurde dies mit Mathematica numerisch simuliert (siehe Anhang B). So
kann sehr einfach ausgewertet werden, welcher Fokus mit welcher Linsenkombination erreicht werden kann oder wie die zweite Linse relativ zur ersten zwecks
Kollimation positioniert werden muß und wie sich Fokusgröße und -position dabei ändern, wenn man diese erste Linse nicht genau in ihrer halben Brennweite
vom Faserende montiert. Einige wichtige Ergebnisse für den Aufbau der Dipolfalle waren z.B., daß man mit der Kombination f1 = 30mm und f2 = 80mm in der
oben beschriebenen Anordnung einen minimalen Strahlradius von 31µm erreichen
kann, wobei die Werte von d1 = 15mm und d2 = 50mm bestätigt werden. Rückt
man dann die erste Linse z.B. 1mm näher an das Faserende, so muß man zur
Kollimation die zweite Linse 3,75mm weiter von der ersten entfernen. Der Radius
der Strahltaille wird dabei etwa 2µm kleiner. Entfernt man hingegen die erste
Linse um einen mm weiter vom Faserende, so muß die zweite Linse 4,3mm näher
an die erste rücken und der minimale Strahlradius wächst um 3, 2µm. Solange
der Strahl vorher kollimiert ist, beträgt die Fokussierlänge dabei immer 400mm.
Außerdem ist es möglich zu simulieren, wie sich Fokusposition und -größe ändern,
wenn man eine der beiden Linsen gegenüber der Kollimationsposition verrückt.
Der Verlauf beider Größen in Abhängigkeit vom Versatz ist über einen weiten
Bereich nahezu linear. Wenn man eine der beiden Linsen um 100µm aus ihrer
Kollimationsposition verrückt, ändert sich die Position des Fokus um etwa 3mm,
während seine Größe sich um 0, 2µm ändert.
3.2.4
Realisation und Vermessung der Strahlfoki
Zur Realisation eines bestimmten Strahlradius w(z) (siehe (2.25))wurde der Strahl
zuerst mit dem in 3.2.3 beschriebenen Schema kollimiert und dann fokussiert. Da
aber die Position der ersten Linse nicht genau eingestellt werden konnte, ist selbst
bei perfekter Positionierung der zweiten Linse nicht gewährleistet, daß der Fokus
die gewünschte Größe hat. Ist dann die zweite Linse auch noch gegenüber der optimalen Kollimationsposition versetzt, ergeben sich daraus weitere Änderungen von
Fokusposition und -größe. Deshalb wurden beide Größen mit der ’Rasiermesser’-
40
Kapitel 3 Experimenteller Aufbau
Abbildung 3.11: Schematische Darstellung des Aufbaus zur Vermessung der
Strahlfoki
Methode (schematische Darstellung siehe Abbildung 3.11) vermessen:
Mit einem Chopper, dessen Rotationsachse parallel zur Ausbreitungsrichtung des
fokussierten Strahls verlief, wurde die Ausbreitung des fokussierten Strahls periodisch unterbrochen und die Intensität dieses Strahls mit einer Photodiode gemessen. Dieses Signal wurde dann mit einem Digital-Oszilloskop aufgenommen
und anschließend auf den Computer übertragen. Auf der Photodiode wird dabei eine Integration des Gaußschen Intensitätsprofils (2.23) gemessen, so daß die
Flanken, wo die Intensität auf der Photodiode vom Maximalwert auf Null sinkt
und umgekehrt, wo also das Chopperblatt gerade beginnt den Strahl zu beschneiden bzw. beginnt den Strahl wieder frei propagieren zu lassen, eine Bestimmung
des Strahlradius am Ort des Choppers ermöglichen. Für das integrierte Intensitätsprofil des entlang der x-Achse bis x1 teilweise bedeckten Strahls im Abstand
z von der Fokussierlinse gilt:
!!
√
Z∞ Z∞
P
2x1
Iges (x1 , z) =
I(x, y, z)dxdy =
1 − erf
.
(3.2)
2
w(z)
−∞ x1
’erf ’ ist dabei die Gaußsche Fehlerfunktion, die gemäß
2
erf (x) = √
π
Zx
−t2
e
0
∞
2 X (−1)n x2n+1
dt = √
π n=0 n! · (2n + 1)
(3.3)
definiert ist. Mithilfe der Reihenentwicklung können Computeralgebrasysteme wie
Mathematica diese Funktion auswerten.
An(3.2) läßt sich ablesen, daß auf den Flanken des Photodioden-Signals bei einem Anwachsen (oder im umgekehrten Fall einem Absinken) der integrierten
3.2 Der optische Aufbau
41
√
Intensität von Iges (w(z), z) = P2 (1 − erf ( 2)) = 0.023 · P auf Iges (−w(z), z) =
√
P
(1 + erf ( 2)) = 0.977 · P das Chopperblatt den doppelten Gaußschen Strahlra2
dius durchläuft. Eines der ’Messer’ des Chopperblattes hat dabei die Geschwindigkeit
v = 2πrν ,
(3.4)
wobei ν die Rotationsfrequenz des Choppers und r der Abstand des Laserstrahls
von der Rotationsachse des Choppers ist. Wenn man also den Zeitraum t(z) bestimmt, den das Chopperblatt benötigt, um den Strahlradius w(z) zu durchlaufen,
dann gilt:
w(z) = v · t(z) .
(3.5)
Ein Anpassen einer Gaußschen Fehlerfunktion der Form (3.2) an das Photodiodensignal im Bereich der Flanke
√ liefert falsche Ergebnisse, da Fitalgorithmen
2x1
anpassen, so daß das Ergebnis die Zeit der
dabei nur die Funktion erf w(z)
Flanke des Intensitätsanstiegs von 4, 6% auf 95, 4% ist. Da in diesen Bereichen
die Kurve schon sehr flach verläuft, wird der minimale Strahlradius in der Praxis
etwa 12% bis 14% unterschätzt. Zur Bestimmung der Zeit t(z) an die Meßwerte
wurde deshalb die Fitfunktion
−1
t−t0
I(t) = −I0 · 1 + e a
+b
(3.6)
gewählt. Eine Funktion dieser Form wird in der Kernphysik als sog. WoodsSaxon-Potential dazu benutzt, die Dichteverteilung der Nukleonen im Atomkern
zu beschreiben [56]. Die einzelnen Fitparameter haben hier unterschiedliche Bedeutungen: t0 ist der Zeitpunkt der Mitte der Flanke, I0 die mittlere maximale
Intensität des Signals, durch b soll eine Abweichung der mittleren minimalen Intensität von Null, wie sie z.B. durch Hintergrundlicht oder eine Offsetspannung
der Photodiode hervorgerufen wird, ausgeglichen werden. a ist ein Maß für die
Breite der Flanke, womit sich der Zeitraum t0 = 7, 52 · a innerhalb dessen die
Intensität von 2, 3% auf 97, 7% der maximalen Intensität anwächst, ergibt. Also
ist t(z) = 3, 76 · a der gesuchte Wert für die Zeit, die das Chopperblatt benötigt,
um den Gaußschen Strahlradius zu durchlaufen, weshalb a der entscheidende Fitparameter zur Bestimmung des Strahlradius ist.
Zur Vermessung des Fokus einer gegebenen Linsenkonfiguration innerhalb eines
42
Kapitel 3 Experimenteller Aufbau
Tubus wurde so verfahren, daß mit dem in Abb. 3.11 dargestellten Aufbau der
Strahlradius über eine Strecke von mehreren cm schrittweise vermessen wurde,
indem der Chopper, der auf einem Verschiebetisch montiert war, bewegt und so
der Abstand z des Chopperblattes von der Fokussierlinse verändert wurde. An
die in regelmäßigen Abständen z mit dem Digital-Oszilloskop aufgenommenen
und auf den Computer übertragenen Flanken wurde die Fitfunktion angepaßt
und so der Strahlradius w(z) bestimmt. Dann wurde w(z) gegen z aufgetragen
und an diese Meßwerte die Gleichung (2.25) angepaßt und so der Strahlradius w0
der Strahltaille bestimmt.
Von den Größen, die bei der Bestimmung des Strahlradius eingehen, weist die
Bestimmung des Abstandes r des Strahls von der Rotationsachse des Choppers
eine Unsicherheit von etwa 1mm auf typischerweise 40mm auf. Dieses ist ein
systematischer Fehler, der sich auf alle bestimmten Radien einer Serie gleichermaßen auswirkt. Die Rotationsfrequenz des Choppers zeigte bei einer mittleren
Frequenz von etwa 7,4Hz eine statistische Standardabweichung der Einzelmessung
von 0.05Hz. Die zu verwendende Flankenzeit wurde mit dem Programm Gnuplot
durch das Anpassen der Fitfunktion mit typischerweise 2 · 10−5 s bestimmt bei
einem Fehler von 1, 5 · 10−7 s. Dadurch ergibt sich dann für den fortgepflanzten
Fehler eines ermittelten Radius von 38µm ein Wert von 1µm, was einem relativen
Fehler von 2,5% entspricht. Wurden aber verschiedene Flanken bei unverändertem
Abstand z und dementsprechend konstantem Strahlradius aufgenommen, ergaben sich relative Standardabweichungen der Einzelmessung in der Größenordnung
von 7-10%. Diese Schwankungen sind nicht durch die zuvor geschilderten Quellen
zu erklären. Ursache dafür sind vielmehr die Intensitätsschwankungen des Lasers,
die, wenn sie gerade während der Aufnahme einer Flanke auftreten, eine zu große
oder zu kleine Flankenzeit und dementsprechend einen zu großen oder zu kleinen
Strahlradius vortäuschen.
Für die drei Gitterachsen wurde jeweils ein Tubus vorbereitet, wobei die minimalen Strahlradien für die lange Achse bei 30-35µm und für die gekreuzten
Achsen bei 90-100µm liegen sollten. Die 30µm wurden ausgewählt, um eine stark
elongierte Dipolfalle mit einem sehr großen Aspektverhältnis im Hinblick auf
die Erzeugung heller Solitonen [57] in der in eine solche Dipolfalle umgeladenen
Fermi-Bose-Mischung erzeugen zu können. Die beiden anderen Achsen machen es
möglich, über die Gleichungen (2.41) in einer gekreuzten Dipolfalle unterschied-
3.2 Der optische Aufbau
43
Abbildung 3.12: Aufsteigende Flanken der Schnitte des Choppers durch den
Strahl mit einem Radius der Strahltaille von 33,9µm
liche Fallengeometrien zu erzielen, da dort neben den Strahlradien auch noch die
Leistung im Strahl eine Auswirkung die Fallengeometrie hat. Auf die unterschiedliche Dimensionierung wird in Abschn. 5 noch näher eingegangen.
Ein Radius der Strahltaille von 31µm läßt mit der Linsen-Kombination f1 = 30mm
und f2 = 80mm erzielen, wie schon im Abschnitt 3.2.3 erläutert wurde. Nach erfolgter Kollimation (vgl. Abb. 3.10) und Fokussierung wurde die Position des
Choppers in der Gegend des Fokus schrittweise verändert und so auf einer Strecke
von 24mm insgesamt 13 aufsteigende Flanken der Schnitte des Chopperblattes
durch den Strahl aufgenommen. Abb. 3.12 zeigt diese Flanken, an die dann die
Fitfunktion (3.6) angepaßt wurde. Abb. 3.13 zeigt die sich ergebenden Radien w(z) gegen den Abstand z von der Fokussierlinse aufgetragen. Daran angepaßt wurde Gleichung (2.25). Aus dem Fit hat sich ein Radius der Strahltaille
von w0 = (33, 9 ± 2, 6)µm ergeben. Diese befindet sich in einem Abstand z von
(377, 7 ± 0, 1)mm von der Fokussierlinse.
Die größeren Strahlradien von etwa 90µm wurden mit einer Linsenkombination von f1 = 4, 5mm und f2 = 40mm erreicht. Mit dieser Linsenkombination läßt
sich mit Hilfe der Simulation für eine Montage der ersten Linse im Abstand der
halben Brennweite ein minimaler Strahlradius von 63µm erreichen. Der Abstand
mußte also um knapp einen mm vergrößert werden. Bei diesem geringen Abstand
jedoch ist die Simulation nur eine Näherung, da die Linse im Vergleich zu ihrer
Brennweite sicherlich nicht mehr als dünn bezeichnet werden kann. Außerdem ist
im Tubus der Abstand nur sehr schlecht genau einstellbar, so daß die Realisation
dieser größeren Foki so geschah, daß die erste Linse von einer gegebenen Positi-
44
Kapitel 3 Experimenteller Aufbau
Abbildung 3.13: Radien des fokussierten Strahls, der mit der Linsenkombination
f1 = 30mm f2 = 80mm kollimiert wurde, in Abhängigkeit des Abstandes z von
der Fokussierlinse. Daran angepaßt wurde Gleichung (2.25). Der Radius beträgt
w0 = 33, 9µm.
on leicht verrückt wurde und nach anschließender Kollimation durch die zweite
Linse mit Hilfe des Beamview-Analyzers der eingestellte minimale Strahlradius
bestimmt wurde. Nach einigen dieser Justage-Meßzyklen wurden Werte erzielt,
die im gewünschten Bereich lagen. Die Strahlradien w(z) in Abhängigkeit vom
Abstand z von der Fokussierlinse mit der jeweils angepaßten Funktion vom Typ
(2.25) sind in den Abb. 3.14 und 3.15 zu sehen. Im ersten Fall hat sich ein Wert
für den minimalen Radius von w0 = (93, 4 ± 0, 4)µm bei einem Abstand z von
(389, 8 ± 0, 2)mm ergeben. Im zweiten Fall lieferte der Fit für den Strahlradius im Fokus einen Wert von w0 = (96, 5 ± 0, 7)µm, wobei sich der Fokus bei
z = (413, 9 ± 0, 3)mm befindet.
Es läßt sich mit der oben geschilderten Methode sogar simultan sowohl der hinlaufende als auch der rücklaufende Strahlradius eines retro-reflektierten Strahls
vermessen. Dies ist deshalb nötig gewesen, weil geklärt werden mußte, ob der
Rückreflex auch mit einem gekrümmten Spiegel erzeugt werden kann und ob
dann Größe und Position der Strahltaillen beider Richtungen identisch sind. Dazu mußte nur der in Abb. 3.11 dargestellte Aufbau etwas modifiziert werden. Abb.
3.16 zeigt die verwendeten Aufbauten. Bei beiden passiert das Licht nach der Aus-
3.2 Der optische Aufbau
45
Abbildung 3.14: Radien des fokussierten Strahls, der mit der Linsenkombination
f1 = 4, 5mm f2 = 40mm kollimiert wurde, in Abhängigkeit vom Abstand z von
der Fokussierlinse. Daran angepaßt wurde Gleichung (2.25). Der minimale Radius
beträgt w0 = 93, 4µm.
Abbildung 3.15: Radien des fokussierten Strahls, der mit der Linsenkombination
f1 = 4, 5mm f2 = 40mm kollimiert wurde, in Abhängigkeit vom Abstand z von
der Fokussierlinse. Daran angepaßt wurde Gleichung (2.25). Der minimale Radius
beträgt w0 = 96, 5µm.
46
Kapitel 3 Experimenteller Aufbau
Abbildung 3.16: Schematische Darstellung des Aufbaus zur simultanen Vermessung beider Strahlfoki eines retro- reflektierten Strahls. In a) wird der Rückreflex
mit einem Hohlspiegel, in b) mit einer Linse in geometrischer Näherung, die zuerst kollimiert und nach dem Rückreflex-Spiegel auch wieder fokussiert, erzeugt.
kopplung aus der Faser, der 2-Linsen-Kollimation mit f1 = 20mm und f2 = 40mm
und der Fokussierung mit einer Linse der Brennweite f3 = 400mm zuerst einen
polarisierenden Strahlteilerwürfel. Mit einer Polarisationswippe, in die die Faser
eingespannt ist, wird dabei die Polarisation so eingestellt, daß nahezu das gesamte
Licht ungehindert durch den Würfel transmittiert. Nach einer λ/4-Wellenplatte,
passiert das Licht dann erstmalig das rotierende Chopperblatt, das sich im Fokus
des hinlaufenden Strahls befindet, der zuerst mit der zuvor geschilderten Methode aufgesucht und vermessen wurde. Anschließend weitet sich der Strahl wieder
auf. Danach steht der Rückreflex an. Dieser wird in diesem modifizierten Aufbau
auf zwei verschiedene Arten erzeugt: a) zeigt, wie der Rückreflex mit einem Hohlspiegel mit r=-39,8cm erzeugt wird. Zur Vermessung wurde die Strecke z2 vom
3.2 Der optische Aufbau
47
Chopper bis zum Rückreflexspiegel schrittweise verändert und simultan sowohl
der hin- als auch der rücklaufende Strahlradius vermessen. b) stellt schematisch
die Erzeugung des Rückreflexes mit einer Linse in geometrischer Näherung dar.
Dabei kollimiert eine Linse mit Brennweite f = 400mm zuerst den Strahl und
fokussiert ihn anschließend nach dem Rückreflex-Spiegel auch wieder. Für diese
Messung wurde dieser gegenüber der in Abb. 3.7 dargestellten 2f-2f-Konfiguration
vereinfachte Aufbau gewählt, da es hier nur darum ging Position und Größe des
rücklaufenden Strahls zu vermessen. Die 2f-2f-Konfiguration bietet nur für den
Gitterbetrieb Vorteile in der Stabilität und hätte für diese Messung eines größeren
und unnötigen Aufwandes bedurft. So mußte nur die Position z2 der Linse vor
dem Rückreflex-Spiegel schrittweise verändert werden, so daß auch hier wieder
hin- und rücklaufender Strahl simultan vermessen werden konnten. Danach passiert der Strahl wieder den Chopper und ein zweites Mal die λ/4-Platte, so daß
die Polarisation diesmal so eingestellt ist, daß der Strahl vom Strahlteilerwürfel
abgelenkt wird und dann auf eine schnelle Photodiode fokussiert wird. Wird der
Strahl genau in sich zurückreflektiert, dann wird auf beiden Flanken nicht eindeutig einer der Strahlen vermessen. Deshalb wird in der Praxis der rücklaufende
Strahl leicht gegen den hinlaufenden Strahl versetzt. Dann wird mit der abfallenden Flanke der Strahl vermessen, den der Chopper zuerst beschneidet und mit
der ansteigenden Flanke der Strahl vermessen, den der Chopper als letztes wieder
’freigibt’. Dies liegt daran, daß das Signal auf der Photodiode sich immer dann
ändert, sobald auch nur einer der beiden Strahlen beschnitten wird.
In Abb. 3.17 wird der mit dem Meßaufbau a) bestimmte Radius des rücklaufenden
Strahls in Abhängigkeit vom Abstand z2 des Hohlspiegels vom Chopper dargestellt. Ein Anpassen der modifizierten Gleichung (2.25) ergibt einen Radius
der Strahltaille von (89, 9 ± 0, 5)µm, wobei sich der Hohlspiegel im Abstand
z2 = (39, 866±0, 008)cm vom Chopper befindet. Der simultan vermessene Strahlradius des hinlaufenden Strahls beträgt (81, 0 ± 0, 4)µm. Es ist also zu erkennen,
daß sich der Fokus des rücklaufenden Strahls zwar an der Position des hinlaufenden Fokus befindet, aber sein Radius ist in jedem Falle größer ist als der des
hinlaufenden Strahls.
In Abb. 3.18 wird der mit dem Meßaufbau b) bestimmte Radius des rücklaufenden
Strahls in Abhängigkeit vom Abstand z2 der Linse vom Chopper dargestellt.
Ein Anpassen einer Gleichung ist hier leider nicht möglich, da der Strahl zwei-
48
Kapitel 3 Experimenteller Aufbau
Abbildung 3.17: Messung des Radius des mit einem Hohlspiegel erzeugten
rücklaufenden Strahls in Abhängigkeit vom Abstand z2 . In grau sind die Ergebnisse der simultanen Messung des Radius des hinlaufenden Strahls mit der
sich ergebenden Standardabweichung dargestellt.
Abbildung 3.18: Messung des Radius des mit einer Linse und einem Spiegel erzeugten rücklaufenden Strahls in Abhängigkeit vom Abstand z2 . In grau sind die
Ergebnisse der simultanen Messung des Radius des hinlaufenden Strahls mit der
sich ergebenden Standardabweichung dargestellt.
3.3 Elektronische Regelungen
49
mal eine Linse passiert. Der simultan vermessene Strahlradius des hinlaufenden
Strahls beträgt jedoch (80, 9 ± 1, 5)µm, während die Standardabweichung der
Einzelmessung 6µm beträgt. Die beiden Punkte unterhalb des Bereiches einer
Standardabweichung des hinlaufenden Strahls liegen bei w = 73, 9µm bzw. w =
76, 3µm. Die größere Standardabweichung beim hinlaufenden Strahl gegenüber
der Messung mit dem Hohlspiegel läßt erkennen, daß die Intensitätsschwankungen
des Lasers während dieser Messung deutlich größer waren, so daß der Radius
des rücklaufenden Strahls möglicherweise nicht kleiner als der des hinlaufenden
Strahls war.
Aus diesen beiden Messungen läßt sich auf alle Fälle erkennen, daß der Hohlspiegel zur Erzeugung des Rückreflexes ungeeignet ist, da der Fokus des rücklaufenden
Strahls hier deutlich größer ist, was zu unerwünschten Fehlern im erzeugten Gitter führen würde. Mit der anderen Methode mit Linse und Spiegel kann man
hingegen Fokusgrößen erreichen, die denen des hinlaufenden Strahls entsprechen,
weshalb diese Variante in der stabileren 2f-2f-Konfiguration für das Gitter vorgesehen ist. Dabei wäre es natürlich im Gitterbetrieb auch unerwünscht, wenn der
Rückreflex kleiner wäre als der hinlaufende.
3.3
3.3.1
Elektronische Regelungen
Frequenzstabilisierung nach Pound, Drever, Hall
Wie in Abschn. 2.5.3 erläutert wurde, führen die Frequenzschwankungen mit
der einfachen Fallenfrequenz zu einem parametrischen Heizprozeß in optischen
Fallen für kalte Atome. Dies liegt daran, daß Schwankungen der Laserfrequenz
zu räumlichen Bewegungen der Intensitätsminima führen- die Falle als ganzes
wird ’geschüttelt’. Der ELS-Versa Disk-Laser, der das Herzstück des in dieser
Arbeit realisierten Aufbaus darstellt, ist mit einer Breite von ΓLaser = 5MHz
über 5ms spezifiziert. Diese Breite entspricht gemäß Gleichung (2.60) auf einer
Fokussierlänge von 40cm einem räumlichen Versatz von d ≈ 7nm. Einen solchen
Versatz werden Atome, die sich in einer Dipolfalle mit einer Rayleighlänge von
3,5mm befinden, nicht spüren. Im Gitterbetrieb aber, wo sich die einzelnen Potentialminima im Abstand von λ/2 = 515nm befinden, stellen diese Bewegungen
der gesamten Falle einen unerwünschten Heizmechanismus dar. Zu deren Vermei-
50
Kapitel 3 Experimenteller Aufbau
Abbildung 3.19: Schematische Darstellung des realisierten Aufbaus der Pound,
Drever, Hall Frequenzstabilisierung des Lasers auf eine Cavity
dung wurde eine elektronische Frequenzstabilisierung aufgebaut.
Da es auf den exakten Wert der Wellenlänge nicht ankommt, eignet sich zur Frequenzstabilisierung auf experimentellen Zeitskalen im Bereich bis zu einer Sekunde die Stabilisierungsmethode nach Pound,Drever, Hall [53] auf einen optischen
Referenzresonator hervorragend. Die verwendete Cavity wurde von der Firma
TOPTICA hergestellt und besteht aus zwei Hohlspiegeln mit Krümmungsradius
L=7,5cm, die in konfokaler Anordnung angebracht sind. Ein freier Spektralbec
reich ist dementsprechend ∆νF SR = 4L
= 1GHz, wobei der Abstand der Spiegel L
mit deren Krümmungsradius entspricht. Die Cavity besitzt eine Finesse F ' 500
und somit eine Linienbreite von ∆νcav / 2MHz (näheres zu Cavities siehe [58]).
Abb. 3.19 zeigt eine schematische Darstellung des realisierten Aufbaus:
Das Licht des Lasers gelangt zu einem AOM, der als Stellglied der Regelung fungiert. Der ersten frequenzverschobenen Ordnung werden dann bei der Passage
durch einen EOM Seitenbanden im Abstand von ±ωV CO = ±10MHz von der
eigentlichen Laser-Frequenz aufgeprägt. An der folgenden λ/2-Wellenplatte wird
die Polarisation so eingestellt, daß nahezu das gesamte Licht durch den anschließenden Strahlteilerwürfel transmittiert. Nach der ersten Passage einer λ/4-Platte
trifft das Licht dann die Cavity. Das von ihr reflektierte Licht wird nach erneutem
Passieren der λ/4-Platte vom Würfel reflektiert und trifft dann auf eine schnelle
Photodiode. Dieses Signal wird mit dem RF-Signal des 10MHz-Oszillators, der
auch den EOM versorgt, elektronisch gemischt, so daß ein dispersives Signal mit
Nulldurchgang, das Cavity-Fehlersignal, entsteht, auf das eine elektronische Stabilisation regeln kann.
Außerhalb des Regelbetriebs wird die Resonatorlänge der Cavity mit ihrem Pie-
3.3 Elektronische Regelungen
51
Abbildung 3.20: Oszilloskop-Screenshot des Cavity-Fehlersignals der Pound, Drever, Hall Stabilisierung für ∆νcav < ωV CO mit der zentralen Flanke, auf deren
Nulldurchgang elektronisch geregelt wird.
zo periodisch verändert, so daß ihre Resonanzfrequenz über die Laserfrequenz
hinweggefahren wird, wodurch sich das typische Pound, Drever, Hall-CavityFehlersignal (siehe Abb. 3.20) mit einer steilen zentralen Flanke mit Nulldurchgang zeigt. Das von der Cavity reflektierte Licht besteht aus dem direkt reflektierten Licht und einem Teil, der aus der Cavity wieder austritt. Ist das ankommende Licht zum austretenden in Resonanz, so löschen sich diese beiden Anteile
aus, so daß nur die Seitenbanden, die mit ±ω = ±10 MHz weit außerhalb der
Cavity-Resonanzbreite von 2MHz liegen, reflektiert werden. Das reflektierte Signal ist dann proportional zu sin(ωt), so daß nach dem elektronischen Mischen
das typische Fehlersignal entsteht [59]. Eine elektronische Regelung stabilisiert
das Fehlersignal auf die Mitte des Nulldurchgangs.
Der ELS-Laser wurde ursprünglich mit keinem von außen zugänglichen frequenzselektiven Element geliefert und es war auch nicht bekannt, auf welcher Zeitskala
sich diese Frequenz-Schwankungen abspielen. Da eine absolute Stabilisierung seiner Frequenz deshalb nicht möglich war, wurde ein zweistufiger Regler entwickelt.
Dieser besteht aus einem nur integrierenden Teil, der die Cavity über ein Piezo
auf die langsamen Frequenzdrifts des Lasers reagieren läßt, und einem schnellen
52
Kapitel 3 Experimenteller Aufbau
Abbildung 3.21: Entwickeltes Schema zum Mischen der RF-Signale zur Versorgung der AOMs
Teil, der mit einem PID-Regler über die Versorgungsspannung eines Oszillators
(VCO) die Frequenz des RF-Signals, welches den AOM versorgt, verändert. Absolut stabilisiert ist der Laser also nur auf einer schnellen Zeitskala über den
AOM im Spektroskopie-Zweig. Um diese Korrekturen auch auf die anderen Zweige zu übertragen, wurde ein Schema zur Erzeugung der Betriebsfrequenzen der
vier akusto-optischen Modulatoren entwickelt (siehe Abb. 3.21). Dieses Schema
erlaubt es, in den drei Gitterzweigen die exakt gleiche Frequenzkorrektur wirken
zu lassen wie im Spektroskopie-Zweig, allerdings auf unterschiedlichen Grundbetriebsfrequenzen der jeweiligen AOMs: Die RF-Signale für die einzelnen Zweige
entstehen durch das Mischen des Signals eines VCO, dessen Frequenz geregelt
wird, mit den Signalen von vier Oszillatoren konstanter Frequenz. Dadurch, daß
die schnelle Frequenzregelung über den VCO erfolgt, mit dessen Signal nach der
Mischung alle AOMs versorgt werden, überträgt sich die Frequenzkorrektur der
Regelung auf das Licht in allen Zweigen.
Die Frequenzbreite des Laserlichtes nach der Stabilisierung ergibt sich durch eine
Auswertung des Cavity-Fehlersignals im Regelbetrieb. Dazu ist eine Eichung des
∂Uerr
Fehlersignals im Scanbetrieb erforderlich. Mit der Steigung ∂U
der zentralen
P iezo
3.3 Elektronische Regelungen
53
Flanke (vgl. Abb. 3.20), auf die geregelt wird, und der Änderung der Resonanzfrequenz der Cavity in Abhängigkeit von der Piezo-Spannung ∂U∂ν
= 50 MHz
ergibt
V
P iezo
sich dann aus der maximalen Amplitude des Fehlersignals Uerr,pp im Regelbetrieb
die Restbreite des Lasers:
−1
∂ν
∂Uerr
·
(3.7)
ΓRegelung = Uerr,pp ·
∂UP iezo
∂UP iezo
Die Amplitude des Fehlersignals betrug Uerr,pp =130mV, so daß sich mit der
∂Uerr
ebenfallls bestimmten Steigung ∂U
= (376 ± 68) eine restliche Breite von
P iezo
ΓRegelung = (20 ± 4)kHz ergibt. Um zu einer Abschätzung der Restbreite des Lasers zu kommen, wurden auch die maximalen Amplituden der Korrektursignale
der Regelung in einem Zeitraum von 50ms, die auf das Piezo der Cavity und den
VCO gegeben wurden, bestimmt: UP iezo,pp =200mV und UV CO,pp = 70mV. Dies
entspricht einer Frequenzkorrektur über die Cavity von ∆νP iezo = 10MHz und mit
= 5, 3 MHz
einer Frequenzkorder Spannungscharakteristik des VCO von ∂U∂ν
V
V CO
rektur über den AOM von ∆νV CO = 370kHz. Eine Deaktivierung der Korrektur
über den AOM hat dann gezeigt, daß sich an den Amplituden des Fehlersignals
Uerr,pp und der Korrektur über den Piezo UP iezo,pp keine sichtbaren Änderungen
ergeben. Hieran läßt sich erkennen, daß praktisch die gesamte Korrektur über das
Piezo der Cavity erfolgt, so daß die absolute Restbreite des Lasers sich nicht verbessert hat. Die Frequenzkorrektur über das Piezo der Cavity erlaubte aber auf
diesem Weg eine Bestimmung der Breite des freilaufenden Lasers ΓLaser =10MHz
in 50ms, was das Doppelte der Spezifikation ist. Dabei spielen sich die Korrekturen in einem Frequenzbereich bis 1,5kHz ab.
Es wurden weiterhin Versuche unternommen, die Bandbreite der Korrektur über
das Piezo durch einen Tiefpass zu begrenzen, was aber wegen der entstehenden Phasenverschiebung zwischen dem Fehlersignal und dem Triggersignal der
Regelung zu einer Verschiebung des Lockpunktes geführt hat und eine korrekte
Einstellung der Regelung unmöglich machte.
Da der Laser nach einer technischen Überholung mit einem Piezo zur Veränderung
der Resonatorlänge ausgestattet wurde, ist mittlerweile eine direkte Regelung der
Laser-Frequenz möglich. Das veränderte Schema ist in Abb. 3.22 zu sehen. Statt
die Cavity auf die langsamen Frequenzdrifts reagieren zu lassen, wird jetzt die
Laserfrequenz direkt geregelt. Eine Einstellung der Regelparameter erwies sich
aber auch hier als schwierig, da die Frequenzbreite der Cavity von 2MHz klei-
54
Kapitel 3 Experimenteller Aufbau
Abbildung 3.22: Schematische Darstellung des veränderten Aufbaus der Pound,
Drever, Hall Frequenzstabilisierung des Lasers auf eine Cavity.
ner ist als die kurzfristigen Schwankungen des Lasers und das Piezo im Laser zu
langsam war, um diese Schwankungen auszugleichen. Deshalb wurde die verwendete Cavity durch eine andere ersetzt, deren Spiegel hochreflektierend bei 780nm
sind, so daß sich aufgrund der höheren Resonatorverluste eine deutlich kleinere
Finesse bei 1030nm ergibt. Die Frequenzbreite konnte mit ∆νcav = 100MHz bestimmt werden, so daß sich mit dem freien Spektralbereich von 1GHz eine Finesse
F = 10 ergibt. Dadurch liegen auch bei einer erhöhten Oszillator-Frequenz von
ωV CO = 17MHz die Seitenbanden innerhalb der Cavity-Resonanz, so daß sich
jetzt, wenn die Cavity zum ankommenden Laserlicht in Resonanz ist, das ankommende und das aus der Cavity austretende Licht sowohl auf der Trägerfrequenz
als auch in den Seitenbanden auslöscht. Die Intensität des reflektierten Lichtes ist
dann proportional zu cos(ωt) [59], so daß sich nach dem elektronischen Mischen
ein verändertes Fehlersignal zeigt (siehe Abb. 3.23). Ein vernünftiger Lock hat
sich aber auf diesem Wege bislang auch nicht errreichen lassen, da sich gezeigt
hat, daß der Piezo im Laser eine deutliche Resonanz bei 2,8kHz zeigt. Mögliche
Erklärung hierfür ist die deutlich größere Kapazität gegenüber dem Piezos der
Cavity, der ansonsten eine vollkommen identische Spannungs-Charakteristik hat.
Auch die Low-Finesse-Cavity läßt sich analog zum ersten Aufbau auf den Laser
locken, wobei sich durch eine Auswertung des Fehlersignals im Lock eine residuale
Breite von 0,8MHz ergibt. Es ist deshalb zu erwarten, daß das Piezo im Laser,
wenn hinter dem Regler ein Tiefpass installiert wird, der ein Regeln bis 1,5kHz
noch erlaubt, aber die Resonanz abschneidet, auch ein Locken auf die Cavity
3.3 Elektronische Regelungen
55
Abbildung 3.23: Oszilloskop-Screenshot des Cavity-Fehlersignals der Pound, Drever, Hall Stabilisierung für ∆νcav > ωV CO mit der zentralen Flanke, auf deren
Nulldurchgang elektronisch geregelt wird.
ermöglichen sollte.
Die Steigung der zentralen Flanke des Fehlersignals im Scanbetrieb 3.23 ist genau
1 und damit mehr als zwei Größenordnungen kleiner als in dem Regime weit außerhalb der Cavity-Resonanz liegender Seitenbanden in Abb. 3.20. Eine Cavity,
deren Frequenzbreite so schmal ist, daß die Seitenbanden außerhalb der Resonanz liegen, und dennoch breit genug ist, daß die 10MHz innerhalb der Resonanz
innerhalb der Resonanz liegen, wäre deshalb wünschenswert. Mit dem momentan verwendeten Oszillator ergäbe dies einen optimalen Finessebereich von 70 bis
100. Mit geringem Aufwand wären auch Seitenbanden im Abstand von 30MHz
realisierbar, was den möglichen Bereich für die Finesse bis auf unter 40 ausdehnen
würde.
3.3.2
Intensitätsstabilisierung
Wie in Abschn. 2.5.2 gezeigt wurde, führt Intensitätsrauschen des Lasers mit der
doppelten Fallenfrequenz zu parametrischem Heizen in mit diesem Licht erzeugten optischen Fallen. Deshalb wurde im Rahmen dieser Diplomarbeit eine elek-
56
Kapitel 3 Experimenteller Aufbau
tronische Intensitätsregelung aufgebaut. Als Stellglied fungiert dabei der jeweilige AOM in den einzelnen Gitterzweigen (siehe Abschn. 3.2.1), wobei ausgenutzt
wird, daß der Anteil der Laserintensität, der in die erste frequenzverschobene Ordnung gebeugt wird, proportional zur Intensität des RF-Signals ist, mit dem der
AOM versorgt wird. Die Intensitätsregelung muß dabei in jedem Zweig separat
erfolgen und kann nicht etwa nur über den AOM im Spektroskopie-Zweig und das
RF-Mischschema in die anderen Zweige übertragen werden, da ein Großteil des
Intensitätsrauschens im Bereich unter 200Hz erst in den Fasern, mit denen das
Licht zum eigentlichen Experiment transferiert wird, oder an den Fasereinkopplungen entsteht. In Abb. 3.24 ist das Fourierspektrum des Intensitätsrauschens
Abbildung 3.24: Fourierspektrum des Photodiodensignals vor und hinter der Faser
im Bereich zwischen 0Hz und 200Hz aufgenommen mit einem Advantest ServoAnalyzer.
unter 200Hz auf einer Photodiode, die zuerst vor und dann hinter der Faser in
einem der Zweige platziert wurde, im Vergleich zu sehen: Das Rauschniveau hinter der Faser ist im niederfrequenten Bereich sogar bis zu 30dB höher als vor der
Faser. Die Peaks bei 50Hz und höheren harmonischen Oberschwingungen koppeln
über das Strom-Netz ins Supply-Gerät des Lasers ein. Das Maximum bei 40Hz
3.3 Elektronische Regelungen
57
Abbildung 3.25: Schematische Darstellung der prinzipiellen Funktionsweise der
aufgebauten Intensitätsstabilisierung
scheint ein intrisischer Peak des Lasers zu sein.
In Abb. 3.25 ist die prinzipielle Funktionsweise der aufgebauten Intensitätsregelung
zu erkennen:
Die Intensität des Lichtes im jeweiligen Zweig hinter der Faser auf einer schnellen
Photodiode wird an einem Differenz-Verstärker mit einem Referenz-Signal, das
von der Experiment-Steuerung vorgegeben wird, verglichen. Ein PID-Regler kompensiert dann auftretende Differenzen und regelt dementsprechend das KontrollSignal eines variablen RF-Abschwächers, mit dem die Intensität des RF-Signals,
das den AOM versorgt, eingestellt wird. Der Plan und die genaue Funktionsweise
der aufgebauten Schaltung sind in Anhang C beschrieben.
Aufgrund der großen Leistung des Lasers sind durchaus Fallenfrequenzen im Gitter mit bis zu 50kHz möglich, so daß die Regelung, um das parametrische Heizen bei der doppelten Fallenfrequenz von 100kHz zu unterdrücken, eine 10fach
höhere Bandbreite haben sollte, also mindestens 1MHz. Um dies zu erreichen,
waren verschiedene Schritte nötig. Zuerst einmal müssen die Bandbreiten der
in der Schaltung verwendeten Operationsverstärker (OP) ausreichend groß dimensioniert sein. Da das Produkt aus Verstärkung und Bandbreite in erster
Näherung konstant ist, werden außerdem alle OPs in einfacher Verstärkung betrieben. Weiterhin muß dann das komplette Stellglied bestehend aus Photodiode,
RF-Abschwächer, Verstärkern und AOM aber ohne den eigentlichen Regler ein
Schalten in einer Zeit von 1µs oder darunter überhaupt ermöglichen. Verschiede-
58
Kapitel 3 Experimenteller Aufbau
Abbildung 3.26: Antwort des Stellgliedes auf ein Rechteck-Signal: Das
Photodioden-Signal ’1’ reagiert mit einer Verzögerung von 500ns gegenüber dem
Trigger-Signal ’2’ des Funktionsgenerators.
ne Abschwächer wurden auf ihre Eignung zur schnellen Aplitudenmodulation hin
untersucht. Dafür wurde der Kontrolleingang des jeweils verwendeten variablen
RF-Abschwächers mit einem Rechteck-Signal eines Funktionsgenerators gepulst,
so daß abwechselnd 0% und 100% des am Abschwächer anliegenden RF-Signals
den AOM erreicht haben. Die Intensität des Lichtes auf der Photodiode hinter
der Faser wurde dann zusammen mit dem Rechteck-Signal auf einem DigitalOszilloskop angezeigt. Die Zeit, in der das Stellglied von 0% auf 100% der maximalen Intensität auf der Photodiode durchschaltet, sollte also unter 1µs liegen.
Es wurden verschiedene RF-Abschwächer getestet- die besten Ergebnisse erzielte der Mischer ZAD-3 von Minicircuits, der als ein variabler Abschwächer derart
betrieben werden kann, daß die Intensität des am Radio-Frequency-Anschluß herauskommenden Signals über ein am Zwischenfrequenz-Anschluß des Mischer anzulegendes Kontroll-Signal zwischen 0 und 400mV eingestellt werden kann, wobei
das abzuschwächende Signal am Local-Oscillator-Eingang anliegt. Hiermit waren
Schaltzeiten von 500ns möglich, nachdem die Justage des AOMs optimiert wurde.
Abb. 3.26 zeigt die um 500ns gegenüber dem Trigger-Signal des Funktionsgenerators verzögerte Reaktion des Photodiodensignals auf ein Rechteck-Signal.
Eine Vermessung des Frequenzgangs des P-Teils des Reglers in Abhängigkeit von
3.3 Elektronische Regelungen
59
Abbildung 3.27: Bode-Plots des P-Teils des Reglers bei verschiedenen Leistungsverstärkungen des a)Proportionalreglers und des b)Ausgangsverstärkers, aufgenommen mit dem FSP Spectrum-Analyzer von Rohde und Schwarz
der Verstärkung von Proportionalregler und Ausgangsverstärker der Regelschaltung in Abb. 3.27 zeigt, daß die 3dB-Bandbreite immer oberhalb von 1,8MHz
liegt, die Schaltung erfüllt also elektronisch die an sie gestellten Anforderungen.
Als Test der gesamten Regelschleife wurde nachgewiesen, daß das Rauschniveau
des Photodioden-Signals hinter der Faser im Regelbetrieb niedriger ist als im ungeregelten Fall. Dazu wurde das Fourierspektrum dieses Signals in verschiedenen
Frequenzbereichen (siehe Abb. 3.28) bis 100kHz aufgenommen. Man erkennt also,
daß die Regelung effektiv bis in hohe Frequenzbereiche funktioniert. So werden
intrinsische Peaks des Lasers bei 35kHz, 53kHz und 81kHz mit etwa 10dB unterdrückt, jene zwischen 4kHz und 5kHz mit etwa 15dB und der sehr Breite Peak
bei 15kHz sogar mit mehr als 25dB. Bei -105dB ist dann das Noiselevel des verwendeten Advantest Servo-Analyzers erreicht, im Bereich zwischen 50kHz und
100kHz ist aber an der Unterdrückung der Peaks zu erkennen, daß die Regelung
noch funktioniert, so daß auch bei Frequenzen oberhalb von 100kHz davon ausgegangen werden kann, daß die Regelung das Rauschen noch effektiv unterdrückt.
60
Kapitel 3 Experimenteller Aufbau
Abbildung 3.28: Fourierspektren des Photodiodensignals mit und ohne Intensitätsregelung in verschiedenen Frequenzbereichen, aufgenommen mit dem Advantest Servo- Analyzer: a) bis 200Hz, b) bis 2kHz, c) bis 10kHz, d) bis 50kHz
und e) bis 100kHz.
Kapitel 4
Demonstration einer Dipolfalle
und erste Experimente
Als erste der in Kapitel 2 beschriebenen optischen Fallen wurde eine einfache Dipolfalle auf der langen parallel zum Erdboden verlaufenden Achse in das Experiment eingestrahlt. Zur Kollimation und Fokussierung wurde der präparierte Tubus mit der Linsenkombination f1 = 30mm, f2 = 80mm und f3 = 400mm verwendet, dessen minimaler Strahlradius und Fokusposition mit w0 = (33, 9 ± 2, 6)µm
und z = (377, 7 ± 0, 1)mm bestimmt wurden (vgl. Abschn. 3.2.4). Das Aspektverhältnis dieser Dipolfalle beträgt gemäß Gleichung (2.37) ωωρz = (146 ± 11).
Im Rahmen dieser Arbeit konnten Mischungen von Fermionen und Bosonen in
der Dipolfalle gespeichert und präpariert werden. Die Charakterisierung der Falle wurde allerdings mit Rubidium alleine durchgeführt. Die Charakterisierungsschritte wären mit dem Kalium ansonsten völlig analog.
In diesem Kapitel werden zuerst die Justage der Dipolfalle und die Experimente
zu ihrer Charakterisierung vorgestellt. Anschließend wird als eine erste Anwendung die Möglichkeit der Spin-Präparation durch sog. Landau-Zener-Sweeps vorgestellt, wo bei einem äußeren magnetischen Offset-Feld Populationstransfers mittels RF-Strahlung zwischen magnetischen Unterzuständen mF eines F-Zustandes
bzw. mittels Mikrowellen-Strahlung zwischen unterschiedlichen F-Zuständen vorgenommen wurden.
61
Kapitel 4 Demonstration einer Dipolfalle
und erste Experimente
62
Abbildung 4.1: Schematische Darstellung des Aufbaus zur Einstrahlung einer
Dipolfalle
4.1
Justage und Charakterisierung der Dipolfalle
4.1.1
Justage und zusätzliche Detektion
Zur Einstrahlung der Dipolfalle mußte der vorgesehene Aufbau für das Gitter
aus Abb. 3.6 nur leicht modifiziert werden, da einfach der Rückreflex weggelassen
wurde. Abb. 4.1 zeigt schematisch den Aufbau zur Einstrahlung der Dipolfalle.
Aufgrund des kleinen Fallenvolumens ist eine genaue Überlagerung der Dipolfalle mit der Magnetfalle wesentlich. Dies kann nur mit Hilfe einer zusätzlichen
Detektion der Atome entlang der Dipolfallenachse erfolgen, die eine gleichzeitige
Abbildung des Fokus des Dipolfallenstrahls und des Potentialminimums der Magnetfalle ermöglicht. Eine solche Detektion wurde in das Experiment integriert.
Die 1:1 Abbildung wird durch zwei Linsen mit f=250mm realisiert, die in einer
gemeinsamen Halterung auf einen xyz-Verschiebetisch montiert werden und zusammen mit einer CCD-Kamera, die sich ebenfalls auf einem xyz-Verschiebetisch
befindet, auf einer Metallschiene befestigt.
Mit einem Klappspiegel, der erst in den Strahlengang der 3D-MOT-Laser gefahren werden kann, wenn die Atome bereits in die Magnetfalle umgeladen wurden
und die MOT-Strahlen nicht mehr in Betrieb sind, wird das Licht in Richtung
der Kamera umgelenkt. Als Detektionslaser fungiert der Umpump-Strahl der 3D-
4.1 Justage und Charakterisierung der Dipolfalle
63
MOT, mit dem ein resonanter Lichtblitz auf die Atome in der Magnetfalle gegeben
wird. Die Atome erscheinen bei optimaler Justage dann als ein kleiner dunkler
Fleck mit etwa sechs Pixeln Durchmesser auf dem Bild der CCD-Kamera. Nach
der Detektion und vor dem nächsten Experiment-Durchlauf wird der Klappspiegel wieder aus dem Strahlengang gefahren.
Zur exakten Positionierung wird zuerst die Schiene so gut montiert, daß mit den
Verschiebetischen die exakte Justage möglich ist. Danach wird mit den Verschiebetischen, auf denen die Linsen montiert sind, zuerst die Größe der Wolke der
Atome in der Magnetfalle so klein wie möglich gemacht und anschließend diese
Größe dann mit den Verschiebetischen, auf denen die Kamera montiert ist, minimiert.
Zur Vorjustage des Dipolfallenstrahls wird der Detektions-Strahl mit seinem Teleskop klein gezogen und möglichst exakt parallel zum Erdboden justiert. Dabei
müssen aber immer noch die Atome in der Magnetfalle abgebildet werden können.
Anschließend wird der Dipolfallenstrahl mit diesem Strahl überlagert. Nach dieser Vorarbeit kann der Dipolfallenstrahl mit sehr geringer Leistung (∼ 100µW)
schon gleichzeitig mit den Atomen in der Magnetfalle auf der CCD-Kamera abgebildet werden. Anschließend wird der Tubus, der ebenfalls auf einer VerschietischKombination befestigt ist, auch derart positioniert, daß Position und Größe des
Fokus so nahe der optimalen Position sind, daß die Feinjustage mit den Verschiebetischen möglich ist. Dafür wird zuerst die Größe des abgebildeten Spots des
Dipolfallenstrahls minimiert und anschließend die beiden Flecke von etwa sechs
Pixeln Größe auf der Kamera aufeinander geschoben.
Anschließend ist das Umladen von Atomen in die Dipolfalle möglich. Dafür werden die Atome zuerst im konventionellen Ablauf evaporativ gekühlt. Nach erreichter Evaporations-Endfrequenz wird dann die Dipolfalle innerhalb von 5ms
bis zur gewünschten Leistung hochgefahren und nach einer gemeinsamen Haltezeit in beiden Fallen von weiteren 5ms die Magnetfalle abrupt ausgeschaltet, so
daß die umgeladenen Atome nur noch von der Dipolfalle gehalten werden. Nach
der Haltezeit in der Dipolfalle erfolgt nach einer TOF die konventionelle Aufnahme eines Absorptionsbildes (vgl. Abschn. 3.1). Abb. 4.2 zeigt eines der ersten
Bilder von Atomen in der Dipolfalle kurz nach dem Abschalten der Magnetfalle.
Um den hellen Streifen der Atome in der Dipolfalle herum ist eine große Wolke
mit nicht umgeladenen Atomen aus der Magnetfalle zu sehen. Abb. 4.3 zeigt eine
Kapitel 4 Demonstration einer Dipolfalle
und erste Experimente
64
Abbildung 4.2: Atome in der Dipolfalle kurz nach dem Abschalten der Magnetfalle, in der großen Wolke befinden sind nicht umgeladene Atome.
Serie von Expansionsbildern nach verschiedenen Fallzeiten aus der Dipolfalle.
4.1.2
Charakterisierung
Zur Charakterisierung der Dipolfalle wurde verschiedene Schritte unternommen.
4.1.2.1
Umlade-Effizienz
Als erstes wurde die Umlade-Effizienz von Atomen aus der Magnetfalle in Abhängigkeit
von der Evaporations-Endfrequenz und damit letzlich in Abhängigkeit von der
Temperatur des Ensembles bestimmt. Der Fallenboden befand sich bei diesen
Experimenten bei etwa 490kHz. Bei dieser Messung wurde bis zur gewünschten
Endfrequenz evaporiert und wie oben beschrieben umgeladen. Danach wurden die
Atome für 10ms in der Dipolfalle gehalten und dann fallengelassen. Nach weiteren
15ms TOF wurden dann die Atome abgebildet, so daß auf dem Absorptionsbild
sowohl die umgeladenen Atome aus der Dipolfalle als auch die nicht umgelade-
4.1 Justage und Charakterisierung der Dipolfalle
65
Abbildung 4.3: Expansionsserie aus der Dipolfalle mit TOF von 0 bis 28ms. Aufgenommen bei einer Evaporations-Endfrequenz von 500kHz, resonant detektiert.
66
Kapitel 4 Demonstration einer Dipolfalle
und erste Experimente
Abbildung 4.4: Umlade-Effizienz in die Dipolfalle in die Dipolfalle in Abhängigkeit
von der Evaporations- Endfrequenz.
nen Atome aus der Magnetfalle nach einer TOF von 25ms zu sehen sind. Die
Umlade-Effizienz ist dann der Anteil der umgeladenen Atome an der Gesamtteilchenzahl in der Magnetfalle nach abgeschlossener Evaporation. Die Bestimmung
der Teilchenzahlen erfolgte durch Integration der an die beiden Wolken angepaßten Dichteverteilungen, wobei die nicht umgeladenen Atome thermisch waren,
während an die Expansionsprofile der aus der Dipolfalle fallengelassenen Atome
ab einer Endfrequenz von 520kHz Bose-Einstein-Verteilungen angepaßt werden
mußten. Ab 510kHz war keine Teilchenzahlbestimmung der nicht umgeladenen
Atome mehr möglich, da die Wolke nicht mehr vom Rauschen des CCD-Chips
zu unterscheiden war. Abb. 4.4 zeigt die gemessene Umlade-Effizienz, wobei die
angepaßte Exponentialfunktion keinerlei Relevanz für die Auswertung besitzt.
Man erkennt auf alle Fälle, daß man im quantenentarteten Bereich, wo man ohne das Umladen in die Dipolfalle Bose-Einstein-Kondensate erhält, nahezu alle
Atome in die Dipolfalle umladen kann und der Anteil der umgeladenen Atome
knapp oberhalb des Fallenbodens gegen 1 konvergiert. Die Fehler der UmladeEffizienzen liegen unterhalb von 0.01, so daß die Fehlerbalken kleiner wären als
die eigentlichen Punkte.
4.1 Justage und Charakterisierung der Dipolfalle
67
Abbildung 4.5: Radiale Fallenfallenfrequenz der Dipolfalle bei einer Leistung im
Dipolfallenstrahl von 65mW. Die radiale Fallenfrequenz beträgt ωρ = 2π·(169, 3±
1, 4)Hz
4.1.2.2
Fallenfrequenzmessungen
Ein nächster Schritt zur Charakterisierung ist die Bestimmung der Fallenfrequenzen. Dazu müssen Schwingungen des Ensembles in der Dipolfalle angeregt werden.
Zur Bestimmung der radialen Fallenfrequenz der Dipolfalle bei einer Leistung des
Dipolfallenstrahls von 50mW wurde bis 500kHz evaporiert und dann wie zuvor
umgeladen. Nach einer Haltezeit von 10ms in der Dipolfalle, wurde diese innerhalb
von 250µs heruntergerampt, um sie dann instantan wieder auf den alten Wert zu
fahren. Dabei wurde eine radiale Schwingung angeregt. Die zweite Haltezeit nach
dem erneuten Anschalten der Dipolfalle wurde dann schrittweise bis 20ms erhöht.
Nach dem Ausschalten und einer TOF von 20ms wurde das übliche Absorptionsbild aufgenommen. Das vertikale Maximum der Verteilung variiert je nach Länge
der zweiten Haltezeit. Abb. 4.5 zeigt die vertikalen Maxima aufgetragen gegen die
Haltezeit nach der Anregung der Schwingung. Angepaßt an diese Meßwerte wurde eine Funktion des Typs f (t) = a · sin(ωρ · t + b) + c, wobei die freien Parameter
a,b und c keinerlei weitere Relevanz für die Auswertung besitzen. Der Fit hat für
die radiale Fallenfrequenz einen Wert von ωρ = 2π · (169, 3 ± 1, 4)Hz ergeben. Da
für die Bestimmung der Strahlleistung mit dem Powermeter ein Detektor-Kopf
verwendet wurde, der für die Messung von hohen Leistungen bis 2,5W ausgelegt
68
Kapitel 4 Demonstration einer Dipolfalle
und erste Experimente
ist, ist für die Bestimmung der Strahlleistung ein Fehler von 20% realistisch, so
daß sich mit den Werten der vermessenen Strahltaille gemäß Gleichung (2.36)
eine axiale Fallenfrequenz von ωρ = 2π · (196 ± 43)Hz (vgl. auch Anhang A.2)
ergibt. Diese Messung ist also konsistent mit dem zuvor bestimmten minimalen
Strahlradius.
Die Bestimmung der axialen Fallenfrequenz hat sich als vorerst unmöglich erwiesen, da sich bei einem Aspektverhältnis von 146 nur ein Wert von etwas mehr
als ωz = 2π·1Hz ergäbe. Die Schwingungen, die beim Umladen angeregt wurden,
waren zu groß und zu unsystematisch. Auch der Versuch, durch das Anlegen eines Magnetfeldgradienten von 50G/cm systematische Schwingungen anzuregen,
änderte daran nichts. Die horizontalen Maxima zeigten keinerlei systematische
Oszillationen und erlaubten deshalb kein Anfitten eines Sinus, so daß die Bestimmung der axialen Fallenfrequenz und somit auch des Aspektverhältnisses leider
nicht möglich war.
Eine Bestimmung der axialen Fallenfrequenz ist solange nicht möglich, wie diese
starken axialen Schwingungen beim Umladen in die Dipolfalle auftreten. Sobald
aber eine gekreuzte Dipolfalle zur Verfügung steht, wird ein an die Fallenfrequenzen der Magnetfalle angepaßtes Umladen möglich sein (vgl. Kapitel 5 und Anhang
A.2), so daß dann adiabatisch zu dieser elongierten Geometrie übergegangen werden kann und über einen Magnetfeldgradienten systematisch angeregte Schwingungen vermessen werden können.
4.1.2.3
Kondensate in der Dipolfalle
Beim Versuch, Kondensate in die Dipolfalle umzuladen bzw. in die Dipolfalle
hinein zu kondensieren, gab es Probleme, denn es zeigten sich starke Phasenfluktuationen (vgl. Abb. 4.6). Ein adiabatisches Umladen in die Dipolfalle ist
auch nicht möglich, da dies auf einer Zeitskala von mehreren Sekunden ablaufen
müßte, wegen der Bedingung TU mlade 1/νz . Eine mögliche Erklärung ist, daß
die Fallenfrequenzen und das Aspektverhältnis der Dipolfalle denen der Magnetfalle zuwenig angepaßt waren. Wie schon erwähnt, wird mit Hilfe einer gekreuzten
Dipolfalle das Umladen in eine den Fallenfrequenzen der Magnetfalle angepaßte
Dipolfalle möglich, so daß dann diese adiabtisch in eine elongierte Falle umgewandelt werden könnte (vgl. Kapitel 5 und Anhang A.2).
4.1 Justage und Charakterisierung der Dipolfalle
69
Abbildung 4.6: Beim Umladen von Bose-Einstein-Kondensaten oder beim Versuch, in die Dipolfalle hinein zu kondensieren, traten starke Phasenfluktuationen
auf. Das vorliegende Bild entstand bei einer Verstimmung des Detektionsstrahls
von 10MHz nach dem Evaporieren bis 520kHz und dem Umladen.
4.1.2.4
Lebensdauermessung
Beim nächsten Charakterisierungsschritt, einer Lebensdauermessung mit und ohne Intensitätsregelung im Vergleich, wurde bis 700kHz herunter evaporiert, so
daß nur thermische Ensembles umgeladen wurden. Dabei zeigten sich allerdings
z.T. auch Anzeichen von Kondensation in die Dipolfalle, die bekannten Phasenfluktuationen traten auf. Die Ansteuerung der Intensitätsregelung über das
Referenz-Signal war problemlos möglich (siehe Abschn. 3.3.2. Bei der Messung
ohne Regelung wurde die RF-Intensität, mit der der AOM im verwendeten Zweig
versorgt wurde, über einen RF-Abschwächer direkt von der Experimentsteuerung eingestellt, so daß die Intensität auf der Photodiode der deaktivierten Intensitätsregelung identisch mit dem Wert im Regelbetrieb war. Bei einer Leistung von 190mW im Strahl wurde die Haltezeit in der Dipolfalle von 10ms bis
1,91s schrittweise erhöht. Abb. 4.7 zeigt die Zerfallskurven mit und ohne Intensitätsregelung.
Neben den in Abschn. 2.5 beschriebenen licht-induzierten Heizmechanismen gibt
es verschiedene Stoßprozesse, die die Lebensdauer des Ensembles in der Dipolfalle
limitieren (eine ausführliche Beschreibung findet sich in [60]):
70
Kapitel 4 Demonstration einer Dipolfalle
und erste Experimente
Abbildung 4.7: Lebensdauermessung des Ensembles in der Dipolfalle mit und
ohne Intensitätsregelung. An die Zerfallskurven wurden im Bereich nach 0,3s
Exponentialfunktionen angepaßt, um die Lebensdauer nach dem schnellen DreiKörper-Zerfall zu bestimmen.
4.1 Justage und Charakterisierung der Dipolfalle
71
• Bei Drei-Körper-Stößen bilden jeweils zwei Atome ein Molekül, während
der dritte Stoßpartner die Einhaltung von Energie- und Impulserhaltung
garantiert. Dieser Verlustprozeß skaliert mit dem Quadrat der mittleren
Dichte hn2 (t)i.
• Beim inelatischen Zwei-Körper-Stoß ändert sich der Spin der beteiligten
Atome. Der Prozeß skaliert mit der mittleren Dichte hn(t)i.
• Stöße mit Atomen des Hintergrundgases skalieren mit dessen Dichte .
Unter der Annahme, daß alle diese Stöße zum Verlust der beteiligten Atome
führen, kann man die Teilchenzahl N(t) durch folgende Differentialgleichung beschreiben [48]:
∂
N (t) = −N (t) · (γ + Ghn(t)i + Lhn2 (t)i)
∂t
(4.1)
Dabei ist γ die Verlustrate durch Ein-Körper-Prozesse, G ist ein Maß für die ZweiKörper-Stöße und L ist der Drei-Körper-Verlust-Koeffizient. Unter der Annahme
eines reinen Ein- und Drei-Körper-Verlustes läßt sich der schnelle Drei-KörperVerlust abschätzen, wenn man eine thermische Wolke an der Schwelle zur Kondensation mit Ttherm = TC annimmt. Dies ist gerechtfertigt wegen der Anzeichen
der Kondensation (s.o.). In einer harmonischen Falle gilt [54]:
kB TC =
~ω
1/3
(g(1))
N 1/3 .
Setzt man weiter die deBroglie-Wellenlänge
s
2π~2
ΛdB ≈
mkB T
(4.2)
(4.3)
an [60], dann ergibt sich als Abschätzung für die zentrale kritische Dichte einer
thermischen Wolke an der Schwelle zur Kondensation:
3/2
p
g(1)
mω
= g(1)N
(4.4)
nc (0) =
Λc,dB
2π~
Bei einer mittleren Fallenfrequenz von ω = 516s−1 , wie sie sich bei einer Leistung
von 190mW ergibt (vgl. Anhang A.2) und den maximalen Teilchenzahlen, gilt
72
Kapitel 4 Demonstration einer Dipolfalle
und erste Experimente
dann für diese Dichte nc (0) ≈ 1·10−20 m−1 , so daß sich für das Produkt von n2c mit
dem bekannten Drei-Körper-Verlust-Koeffizient L einer thermischen Wolke [61]
eine maximale Abschätzung für die Heizrate aufgrund des Drei-Körper-Verlustes
von Γ3K =1s−1 ergibt. Der wirkliche Koeffizient wird noch deutlich darunter liegen, so daß sich der schnelle Zerfall mit einer geschätzten Halbwertzeit von 0,3s
kaum mit Drei-Körper-Verlusten erklären läßt.
Es wurden außerdem die Temperaturen des Ensembles bestimmt, deren Werte
aber keinesfalls absolut betrachtet werden dürfen, da der Fit mit einer BoseEinstein-Funktion hier Diskrepanzen zwischen der Temperaturbestimmung an
der thermischen Wolke und am teilweise vorhandenen kleinen Kondensat von bis
zu einer Größenordnung geliefert hat. Solcherlei Diskrepanzen sind aber in besonders flachen bzw. stark elongierten Dipolfallen üblich [62]. Die Entwicklung der
Temperatur der thermischen Wolke in Abhängigkeit von der Haltezeit zeigt, daß
sowohl mit als auch ohne Intensitätsregelung einhergehend mit dem Teilchenverlust das Ensemble in der Dipolfalle kälter wird. Die heißesten Atome verdampfen
also aus der Dipolfalle, das verbleibende Ensemble wird kälter. Der Grund für die
großen Teilchenverluste kurz nach dem Umladen sollten auch hier die wegen des
großen Aspektverhältnisses angeregten axialen Schwingungen beim Umladen aus
der Magnetfalle sein, die auf der Dipolfallenachse wegen des dortigen geringen
Einschlusses zu einem ’Auslaufen’ der Dipolfalle führen. Dieser Verlustmechanismus ist bis etwa 0,3s dominierend.
Für die vorgenommene Messung ist jedoch besonders die Lebensdauer interessant,
die sich im Bereich des konstanten Zerfalls ab etwa 0,3s ergibt, da so erkennbar
ist, ob die Heizraten mit und ohne Intensitätsregelung unterschiedlich sind. Ein
Anpassen einer Exponentialfunktion der Form N (t) = N0 · e−δt im Bereich nach
0,3s hat für die Lebensdauer τ = δ −1 die Werte τreg = (1, 74 ± 0, 22)s mit Regelung und τunreg = (1, 73 ± 0, 16)s ergeben. Die Lebensdauer ist also in beiden
Fällen gleich.
Bezieht man die unterschiedlichen Teilchenzahlen bei den beiden Meßreihen mit
ein, so zeigt die Temperaturmessung nur einen Zusammenhang mit den Teilchenzahlen, so daß hier keinerlei Unterschiede zwischen den Messungen mit und ohne
Intensitätsregelung zu erkennen sind. Bei diesen Fallenfrequenzen scheinen also Heizprozesse durch Intensitätsschwankungen keine Rolle zu spielen. Da aber
bei der Aufnahme beider Kurven alle experimentellen Parameter bis auf die An-
4.2 Experimente in der Dipolfalle
73
Abbildung 4.8: Temperatur des thermischen Ensembles in der Dipolfalle mit und
ohne Intensitätsregelung in Abhängigkeit von der Haltezeit.
steuerung des RF-Abschwächers identisch waren, also sowohl die Endfrequenz der
Evaporation als auch die Detektionsverstimmung von 10MHz, zeigt sich, daß mit
Intensitätsregelung im Schnitt etwa 65% mehr Atome umgeladen werden. Eine
mögliche Erklärung dafür ist, daß die Regelung als Steuergerät den Abschwächer
schneller und genauer auf den gewünschten Wert bringt, denn erfolgt das Schalten
zu langsam und zu unpräzise, werden einerseits zusätzliche radiale Schwingungen
angeregt und andererseits fallen einfach schon einige Atome aus der Magnetfalle
aus dem Einfangbereich der Dipolfalle, die dann nicht mehr umgeladen werden
können. Die Verwendung der Regelung im Gegensatz zur direkten Ansteuerung
des Abschwächers garantiert also, daß auch die gewünschten experimentellen Bedingungen herrschen.
4.2
Experimente in der Dipolfalle
Wie in Abschn. 2 erläutert, bietet eine optische Falle gegenüber der Magnetfalle die Vorteile, daß nicht nur die magnetisch fangbaren Unterzustände gespei-
74
Kapitel 4 Demonstration einer Dipolfalle
und erste Experimente
chert werden können und das Magnetfeld als experimenteller Freiheitsgrad wieder
verfügbar ist. Die Spinpräparationen als eine erste Anwendung der Dipolfalle machen von diesen Vorteilen Gebrauch:
Für künftige Experimente im Gitter ist es nötig, beliebige Zustände und Mischungen solcher erzeugen zu können, um diese dann umzuladen. Die Zustandspräparationen erfolgen mit der Technik der adiabatischen Passage, wo mit Hilfe von Radiofrequenz- und Mikrowellenfeldern sowohl Populationstransfers zwischen unterschiedlichen mF -Unterzuständen als auch zwischen verschiedenen FMannigfaltigkeiten vorgenommen wurden. Die genaue experimentelle Realisation
wird in [63] beschrieben. Spinpräparationen dieser Art wurden erstmalig in der
Gruppe von Wolfgang Ketterle demonstriert [64], ein allgemeiner Artikel zum
Thema adiabtische Passage findet sich bei [65], während ein Populationstransfer
zwischen verschiedenen F-Zuständen mittels Mikrowellenstrahlung erstmalig am
JILA demonstriert wurde [66].
Mittels eines äußeren Magnetfeldes wurde die energetische Entartung der unterschiedlichen magnetischen Unterzustände einer F-Mannigfaltigkeit durch den
linearen und den quadratischen Zeeman-Effekt aufgehoben. Unter dem Einfluß
eines äußeren RF-Feldes werden dann die verschiedenen magnetischen Unterzustände aneinander gekoppelt, so daß die Eigenzustände des neuen Hamiltonians, die ’dressed states’ [67], Überlagerungen der einzelnen mF -Komponenten
sind. Abb. 4.9 zeigt die ’dressed states’ von 87 Rb-Atomen im Hyperfeinzustand
F=2 unter dem Einfluß eines Magnetfeldes in Abhängigkeit vom einem äußeren
Radiofrequenzfeld. Die vermiedenen Kreuzungen stellen die Resonanzen zwischen
den ungestörten Niveaus dar und ermöglichen es, durch eine Frequenzrampe von
niedrigen zu hohen Frequenzen hin ein Ensemble im Unterzustand mF = +2,
wie es nach dem Umladen in die Dipolfalle vorliegt, adiabatisch an den vermiedenen Kreuzungen entlang in jeden der anderen Unterzustände zu überführen,
je nachdem bei welcher Frequenz die Rampe gestoppt wird. Eine vollständige
Überführung erfolgt dabei nur, wenn die Frequenzänderung langsam gegenüber
dem Quadrat der Rabi-Frequenz erfolgt, denn je schneller die Frequenzänderung
vorgenommen wird, desto mehr Atome verbleiben durch einen sog. Landau-ZenerÜbergang an einer vermiedenen Kreuzung im jeweiligen magnetischen Unterzustand. Eine solche Überlagerung zweier Zustände kann durch eine Rampe über
die vermiedene Kreuzung in umgekehrter Richtung nicht wieder in einen einzi-
4.2 Experimente in der Dipolfalle
75
Abbildung 4.9: Die ’dressed states’ von 87Rb -Atomen mit F=2 bei einem Magnetfeld von 20G in Abhängigkeit von einem Radiofrequenzfeld [63]. Rot eingezeichnet
sind die sog. vermiedenen Kreuzungen. Mit einem RF-Feld ansteigender Frequenz
ist es möglich, das Ensemble über die vermiedenen Kreuzungen hinweg adiabatisch vom Unterzustand mF =+2 in alle anderen Unterzustände zu überführen. In
grün sind die jeweiligen Unterzustände außerhalb der vermiedenen Kreuzungen
eingezeichnet. Die nicht-vermiedenen Kreuzungen sind Mehr-Photonenübergänge
und führen zu keiner Änderung der Besetzung der Unterzustände.
gen mF -Zustand überführt werden, da die Adiabazitätsbedingung dann für beide
Unterzustände gilt, so daß sich die Amplituden einfach umkehren.
Im Experiment wurden innerhalb von 10ms Frequenzrampen vom Startwert von
13,75MHz bis zu unterschiedlichen Endfrequenzen bei einem Magnetfeld von 20G
gefahren. Je nach Endfrequenz wurde dann ein anderer mF -Unterzustand erreicht
(siehe Tab. 4.1).
Das Anlegen eines Magnetfeldgradienten von 30G/cm für 12,5ms in der TOFPhase führt dann zu einer Stern-Gerlach-Separation der unterschiedlichen Unterzustände. Abb. 4.10 zeigt Absorptionsbilder der mit der adiabatischen Passage in die einzelnen Unterzustände von F=2 überführten Ensembles, wobei auch
Landau-Zener-Übergänge stattgefunden haben, da ganz schwach auch immer andere Unterzustände zu erkennen sind.
Analog dazu kann man mit einer absteigenden Frequenzrampe eines Mikrowellenfeldes adiabatische Populationstransfers zwischen unterschiedlichen F-Mannigfaltigkeiten
vornehmen. Im Experiment wurde bei einem Magnetfeld von 20G innerhalb von
76
Kapitel 4 Demonstration einer Dipolfalle
und erste Experimente
Abbildung 4.10: Absorptionsbilder der durch adiabatische Passage in die unterschiedlichen mF -Unterzustände des Hyperfeinzustandes F=2 überführten Ensembles. Ganz schwach zu erkennen ist, daß auch Landau-Zener-Übergänge stattgefunden haben.
Abbildung
4.11:
Kopplung
der
Zustände
|F = 2, mF = +2i
und
|F = 1, mF = +1i in Abhängigkeit von einem Mikrowellenfeld bei einem
Magnetfeld von 20G [63]. Durch eine absteigende Frequenzrampe über die
vermiedene Kreuzung (rot) ist ein adiabatischer Populationstransfer zwischen
den beiden F-Mannigfaltigkeiten möglich.
4.2 Experimente in der Dipolfalle
Endfrequenz der Rampe [MHz]
13,75 (Startwert)
13,825
13,885
13,94
14,1
77
erreichter mF -Unterzustand
+2
+1
0
-1
-2
Tabelle 4.1: Erreichter mF -Unterzustand F=2 Mannigfaltigkeit in Abhängigkeit
von der Endfrequenz der Frequenzrampe
Abbildung 4.12: Absorptionsbilder eines Ensembles im |F = 2, mF = +2i Zustand und des durch adiabatische Passage nahezu komplett in den Zustand
|F = 1, mF = +1i transferierten Ensembles.
10ms eine Mikrowellen-Rampe von +100kHz bis -100kHz über die Resonanz bei
6,84236GHz gefahren. Dadurch wurde ein nahezu kompletter Populationstransfer
vom Zustand |F = 2, mF = +2i in den Zustand |F = 1, mF = +1i erreicht. Abb.
4.12 zeigt die Absorptionsbilder der beiden Zustände.
78
Kapitel 4 Demonstration einer Dipolfalle
und erste Experimente
Kapitel 5
Ausblick
Im Rahmen der vorliegenden Arbeit wurde ein Konzept für ein dreidimensionales optisches Gitter für quantenentartete Fermi-Bose-Mischungen entwickelt.
Die notwendigen Komponenten dieses Gitters wurden aufgebaut und charakterisiert. Der beschriebene Aufbau erfüllt die hohen Anforderungen bezüglich zur
Verfügung stehender Lichtleistung, spektraler Breite der Lichtquelle und Intensitätsrauschen. Der Aufbau ermöglicht die Realisierung der verschiedensten Dipolfallengeometrien von isotrop bis stark elongiert; diese Fallen können kontinuierlich in ein- bis dreidimensionale Gitter transfomiert werden. Als erste Anwendung konnte das Umladen von Atomen in eine stark elongierte Dipolfalle und die
Präparation beliebiger Spinzustände innerhalb der Grundzustandsmannigfaltigkeit von 87 Rb demonstriert werden.
Der nächste experimentelle Schritt besteht nun darin, auch auf den anderen Achsen Licht einzustrahlen und somit ein modenangepasstes Umladen der
Mischung aus der Magnetfalle in die Dipolfalle zu ermöglichen. In dieser gekreuzten Dipolfalle kann dann durch Einstellen der Intensitäten das Aspektverhältnis
kontinuierlich vergrößert werden bis in das quasi-eindimensionale Regime (siehe
Abschätzungen im Anhang A.2). Dort erwartet man aufgrund der relativ starken
attraktiven heteronuklearen Wechselwirkung die Propagation heller Solitonen in
der Mischung [57], obwohl die Wechselwirkung im Bose-Einstein-Kondensat repulsiv ist, was in einer konventionellen Fallengeometrie innerhalb eines reinen BECs
nur dunkle solitonische Lösungen [18] der Gross-Pitaevskii-Gleichung zulässt.
79
80
Kapitel 5 Ausblick
Durch Freigabe der Gitterrückreflexe lassen sich dann verschiedene Gittergeometrien realisieren. Durch das Hinzufügen elektrooptischer Modulatoren in den
Rückreflexzweigen lässt sich auch ein stufenweiser Übergang von einer Dipolfalle
in der entsprechenden Richtung zum optischen Gitter erzeugen. Damit werden die
verschiedensten Umladestrategieen ins Gitter möglich, in denen die Atome zuerst
in eine an die Fallenfrequenzen der Magnetfalle angepasste Dipolfalle umgeladen werden können. Diese wird dann adiabatisch in eine kugelsymmetrische Falle
umgewandelt. Nach einer Präparation der gewünschten Mischung, d. h. sowohl
der gewünschten F - als auch mF - Unterzustände über Landau-Zener-Übergänge
mit RF-bzw. Mikrowellenstrahlung kann dann das kontinuierliche Umladen ins
optische Gitter erfolgen.
Damit eröffnet sich die Perspektive, das in Kapitel 1 beschriebene FestkörperModellsystem zu realisieren und bei kontinuierlich veränderbarer Gittertiefe und
Wechselwirkung zu untersuchen.
Anhang A
Simulation und Diskussion von
Parametern optischer Dipolfallen
und Gitter
In diesem Teil des Anhangs werden Simulationsrechnungen wichtiger Parameter
für 87 Rb- und 40 K-Atome in optischen Dipolfallen und optischen Gittern, die mit
dem Licht des ELS-Versa Disk-Lasers (λLaser = 1030nm)erzeugt werden, auf der
Basis der in Kapitel 2 abgeleiteten Gleichungen präsentiert und diese diskutiert.
Dabei werden die Werte der minimalen Strahlradien, die mit den vorbereiteten
Tubi (vgl. Abschn. 3.2.4) realisiert werden können, verwendet, so daß diese Rechnungen gute Abschätzungen dieser Parameter im späteren experimentellen Ablauf
darstellen.
A.1
Photonenstreurate Γsc
Wie in Abschnitt 2.5.1 erläutert wurde, stellt die Photonen-Streuung einen Heizmechanismus in optischen Fallen dar. Geht man davon aus, daß jeder Streuprozeß
an einem im Fokus eines Laser-Strahls gespeicherten Atom zu dessen Verlust aus
der Falle führt, dann läßt sich eine Differentialgleichung der Form dN
= Γsc dt
N
aufstellen, so daß die reziproke Photonen-Streurate die Lebensdauer eines Ensembles in der Falle darstellt, vorausgesetzt dies ist der einzige Verlustprozeß.
Um die Photonen-Streurate berechnen zu können, muß man analog zum Dipol81
Anhang A Simulation und Diskussion von Parametern optischer Dipolfallen
82
und Gitter
potential (2.11) über die Alkali-D-Linien summieren. Dabei muß bedacht werden,
daß man über das Intensitätsprofil in (2.10) integrieren muß. Genau betrachtet
muß dabei der Integralausdruck in (3.2) entlang beider Koordinaten von −w0 bis
+w0 ausgewertet werden, so daß sich für die integrierte Intensität innerhalb des
p
Gaußschen Durchmessers ein Wert von Iges = erf 2 ( ) · P = 0, 911 · P ergibt.
Damit läßt sich die Photonen-Streurate Γsc für 87 Rb- und 40 K-Atome abhängig
von der Leistung des Laserstrahls P und der Größe des Gaußschen Strahlradius
w0 berechnen. λ =1030nm.
Abb. A.1 zeigt, daß sich in einer Dipolfalle mit einem minimalen Strahlradius
Abbildung A.1: Photonen-Streurate
Γsc für 87 Rb und 40 K eines Strahl mit
minimalem Radius w0 = 34µm in
Abhängigkeit von der Leistung
Abbildung A.2: Photonen-Streurate
Γsc für 87 Rb und 40 K eines Strahl mit
minimalem Radius w0 = 95µm in
Abhängigkeit von der Leistung
von 34µm bis zu einer Leistung von 300mW Streuraten von maximal 0,11 s−1
im Falle von Rubidium ergeben, so daß sich eine Lebensdauer von mehr als 9s
ergäbe, wenn die Verluste aus der Falle nur durch Photonen-Streuung hervorgerufen würden. In einfachen Dipolfallen spielt also die Photonen-Streuung nur eine
untergeordnete Rolle, da die in Abschn. 4.1.2.4 bestimmte Lebensdauer mit 1,76s
deutlich geringer ist. Anders ist der Fall bei der gekreuzten 3D-Dipolfalle, wo die
Streuraten der drei Strahlen addiert werden müssen, so daß sich eine Lebensdauer im Bereich zwischen zwei und drei Sekunden ergäbe. Ein 3D-optisches Gitter
wird sogar von sechs gegenläufigen gekreuzten Strahlen erzeugt, so daß wieder
A.2 Parameter optischer Dipolfallen
83
über die einzelnen Streuraten summiert werden muß: Es verbleiben bei 300mW
Strahlleistung auf allen Achsen im Falle von Rubidium nur noch 1,3s Lebensdauer. Mit zunehmender Anzahl der Strahlen, mit denen eine optische Falle erzeugt
wird, wachsen also bei gleichbleibender Leistung die Verluste durch PhotonenStreuung an. Andererseits ist der Einschluß an den einzelnen Gitterplätzen im
Gitter viel größer, so daß dort mit wesentlich geringeren Leistungen bei gleichem
Einschluß gearbeitet werden kann.
A.2
Parameter optischer Dipolfallen
Wie schon in Abschnitt 2.3 geschildert wurde, sind die wesentlichen Größen zur
Beschreibung des Einschlußes in einer Dipolfalle die Fallenfrequenzen. In diesem
Experiment wird mit zwei unterschiedlichen Alkali-Atomen, 40 K und 87 Rb, die
sich in ihren Massen und ihren Resonanzfrequenzen unterscheiden, gearbeitet. In
allen im folgenden präsentierten Rechnungen zu Fallenparametern taucht der von
diesen Größen abhängige Quotient Umω = Ured (vgl. (2.12))auf. Dieser reduzierte
Potentialparameter beträgt mit den eingesetzten Massen der jeweiligen Isotope:
Ured,Rb = −1, 58 · 10−11
m2 s
kg
und
Ured,K = −2, 97 · 10− 11
m2 s
.
kg
(A.1)
D.h. für alle Fallenfrequenzen in Dipolfallen für die beiden unterschiedlichen Spezies gilt:
s
Ured,K
ωK
=
= 1, 37 .
(A.2)
ωRb
Ured,Rb
Die Fallenfrequenzen und dementsprechend die Einschlüße in optischen Fallen der
Wellenlänge λLaser =1,03µm sind für 40 K-Atome also um den Faktor 1,37 größer
als für 87 Rb-Atome.
In einer einfachen 1D-Dipolfalle, wie sie im Rahmen dieser Diplomarbeit demonstriert wurde, werden die Fallenfrequenzen durch die Gleichungungen (2.36) beschrieben. Die Abbildungen A.3 und A.4 zeigen die Fallenfrequenzen der eingestrahlten Dipolfalle (vgl. Kap. 4) abhängig von der Leistung des Dipolfallenstrahls.
In einer gekreuzten Dipolfalle sind die Fallenfrequenzen sowohl von den minimalen Radien der gekreuzten Strahlen als auch von den verschiedenen Strahlleistungen (vgl. (2.41)) abhängig. Dadurch sind verschiedene Geometrien von einer
Anhang A Simulation und Diskussion von Parametern optischer Dipolfallen
84
und Gitter
Abbildung A.3: Radiale Fallenfrequenz einer Dipolfalle mit w0 =33,9µm in
Abhängigkeit von der Leistung des Dipolfallenstrahls
Abbildung A.4: Axiale Fallenfrequenz einer Dipolfalle mit w0 =33,9µm in
Abhängigkeit von der Leistung des Dipolfallenstrahls
A.2 Parameter optischer Dipolfallen
85
elongierten bis zu zur kugelsymmetrischen Dipolfalle realisierbar. Im folgenden sei
z die Achse parallel zum Erdboden, auf der die elongierte Dipolfalle eingestrahlt
wurde, mit w0,z =33,9µm. Auf den beiden gekreuzten Achsen (vgl. Abb. 3.2) sollen
dementsprechend Dipolfallenstrahlen mit w0,x =93,4µm und w0,y =96,5µm eingestrahlt werden. Die elongierte Dipolfalle ergibt sich natürlich mit Px = Py = 0W .
Für eine kugelsymmetrische Falle muß in (2.41) natürlich
Py
Pz
Px
= 4 = 4
4
w0,x
w0,y
w0,z
(A.3)
gelten. D.h. wegen der Skalierung mit der vierten Potenz Pz des minimalen Strahlradius, ergibt sich bei gegebener Leistung auf der z-Achse Pz :
Px = 57, 6 · Pz
und
Py = 65, 7 · Pz .
(A.4)
Für eine Leistung Pz = 5mW bedeutet das z.B. Px = 288mW und Py = 328, 5mW,
so daß sich eine jeweilige Fallenfrequenz von ωx,Rb = ωy,Rb = ωz,Rb = 2π·87,8Hz
bzw. ωx,K = ωy,K = ωz,K = 2π·120,4Hz ergibt.
Im experimentellen Ablauf wird i.a. mit Fallenfrequenzen von ωρ,Rb = 2π·257Hz
und ωz,Rb = 2π·11,3Hz bzw. ωρ,K = 2π· 378Hzundωy,K = ωz,K = 2 · π16,6Hz
in der Magnetfalle gearbeitet. Eine vollkommen an die Fallenfrequenzen der Magnetfalle angepaßte Dipolfalle kann es dabei nicht geben, da in der Magnetfalle
im Gegensatz zu (A.2) gilt:
r
r
ωK
mRb
87
=
=
= 1, 475 .
(A.5)
ωRb
mK
40
Die Fallenfrequenzen der Magnetfalle für 87 Rb ergeben sich in der Dipolfalle bei
Leistungen von Px ≈ Py ≈5mW und Pz ≈86mW, wobei die für 40 K dann um den
Faktor 1,47
= 1, 076 zu klein sind. Umgekehrt ergeben sich durch ein für 40 K ange1,37
paßtes Umladen mit Leistungen von Px ≈ Py ≈5,7mW und Pz ≈99mW für 87 Rb
um den Faktor 1,076 zu große Fallenfrequenzen.
Der
Umrechnungsfaktor für die
2
jeweiligen nötigen Leistungen beträgt dabei 1,47
= 1, 157. Will man die Mi1,37
schung möglichst optimal umladen, dann sollten die Leistungen zwischen diesen
beiden Werten angesiedelt werden, die optimale Einstellung muß aber empirisch
gefunden werden. Für die Leistungen muß beachtet werden, daß PPxz ≈ PPyz ≈17,4
gilt, damit das Aspektverhältnis der Magnetfalle erreicht wird.
Anhang A Simulation und Diskussion von Parametern optischer Dipolfallen
86
und Gitter
Abbildung A.5: Fallenfrequenzen der gekreuzten Dipolfalle in Abhängigkeit von
der Einstrahlleistung Px bzw. Py auf den beiden Achsen mit w0 ≈ 95µm bei fester
Einstrahlleistung Pz =50mW auf der Achse mit w0 = 33, 9µm.
Die Abb. A.5 und A.6 zeigen die Fallenfrequenzen der gekreuzten Dipolfalle in
Abhängigkeit von der Einstrahlleistung auf den Achsen x und y. Es wurde dabei vereinfachend w0,x = w0,y = 95µm gesetzt. Dabei wird davon ausgegangen,
daß die Leistung auf beiden Achsen jeweils gleich ist, so daß die jederzeit eine
axiale Geometrie herrscht. Es ist erkennbar, daß bei einer zu hohen Leistung auf
der z-Achse der Einschluß dort niemals die Stärke der anderen beiden Achsen
erreicht, da dort für eine Kugelsymmetrie der Falle etwa sechzig mal die Leistung
der z-Achse eingestrahlt werden müßte, also bei Pz =50mW wären das 3W!. Bei
Pz =5mW hingegen erreicht der Einschluß auf der z-Achse bei Px = Py = 300mW.
A.3
Parameter optischer Gitter
Optische Gitter mit 1D- oder 2D-Geometrie unterscheiden sich von auf den Gitterachsen in Bezug auf die Tiefe oder die Fallenfrequenzen nicht vonm 3D-Gitter.
Wesentlicher Unterschied ist dort nur, daß auf den Achsen, auf denen kein Gitter eingestrahlt wird, der Einschluß dort nur wegen des Gaußschen harmonischen Intensitätsprofils gegeben ist und deshalb deutlich schwächer ist als auf
den Gitterachsen. Hier sei deshalb wegen der Übertragbarkeit der meisten Ergeb-
A.3 Parameter optischer Gitter
87
Abbildung A.6: Fallenfrequenzen der gekreuzten Dipolfalle in Abhängigkeit von
der Einstrahlleistung Px bzw. Py auf den beiden Achsen mit w0 ≈ 95µm bei fester
Einstrahlleistung Pz =5mW auf der Achse mit w0 = 33, 9µm.
nisse nur der 3D-Fall betrachtet. In einem 3D-optischen Gitter will man zumeist
eine kugelsymmetrische Geometrie erreichen, auch wenn sicherlich irgendwann
auch die Möglichkeit genutzt wird, anderen Kristallstrukturen mit Vorzugsrichtungen nachzubilden. Die Bedingung für Kugelsymmetrie lautet dort wegen der
Abhängigkeit der Fallenfrequenzen ωi von der Größe wP2i (vgl.(2.51)):
0,i
Py
Pz
Px
= 2 = 2
2
w0,x
w0,y
w0,z
.
(A.6)
Für die Leistungen Px und Py muß deshalb bei gegebener Leistung Pz auf der
Basis der vorbereiteten Tubi gelten (die Achsenbenennung sei wie im Abschn.
A.2):
Px = 7, 6 · Pz und Py = 8, 1 · Pz .
(A.7)
D.h., wird zum Umladen ins Gitter eine Strategie gewählt, bei der zuerst die
Geometrie einer Dipolfalle an die der Magnetfalle angepaßt wird, um dann die
gekreuzte Falle in Richtung einer Kugelsymmetrie umzuwandeln, dann müssen
zeitgleich mit dem Entblocken der Rückreflexe durch einen elektro-optischen Modulator auch die Leistungen auf den gekreuzten Achsen x und y reduziert werden.
Außerdem sind die Einschlüsse in optischen Gittern deutlich größer als in Dipolfallen, so daß sowieso weniger Strahlleistung auf den einzelnen Achsen benötigt
wird. Beim Umladen müssen also beiderlei Bedingungen (A.4) und (A.7) bedacht
Anhang A Simulation und Diskussion von Parametern optischer Dipolfallen
88
und Gitter
Abbildung A.7: Fallenfrequenz des optischen Gitters auf der z-Achse mit w0,z =
33, 9µm im Fokus der Strahlen.
werden.
Die Fallenfrequenzen an den einzelnen Gitterplätzen ergeben sich mit (2.51). Die
Abbildungen A.7 und A.8 zeigen die Fallenfrequenzen auf den einzelnen Achsen in
Abhängigkeit von der jeweiligen eingestrahlten Leistung. Der Vergleich mit den
Fallenfrequenzen einer Dipolfalle (vgl. z.B. A.3) zeigt, daß die Einschlüsse bei
gleicher eingestrahlter Leistung zwei Größenordnungen größer sind, so daß die
Annahme aus Abschn. A.1, daß in Gittern deutlich geringere Leistungen nötig
sind und deshalb die Photonen-Streurate eine nicht so große Rolle spielt.
Der schwache harmonische Einschluß gleicht dem in der gekreuzten Dipolfalle,
wie in Abschn. 2.4 bereits erwähnt wurde, bis auf die Tatsache, daß die Fallenfrequenzen genau doppelt so groß sind. Deshalb sei für Abschätzungen und Werte
unter Beachtung des Faktors zwei auf den Anhang A.2 verwiesen.
Gittertiefen werden zumeist in Einheiten der Rückstoßenergie, die bei der Absorption eines Photons aus den Gitterstrahlen aufgenommen wird, angegeben
(vgl. (2.53)). Es wird erkennbar, daß aufgrund der größeren Masse von 87 Rb im
Gegensatz zu 40 K die relative Gittertiefe für Rubidium größer ist.
Da sich im 3D-Gitter drei Strahlen überlagern, addieren sich gemäß (2.48) die
Intensitäten, so daß im Fallenzentrum bei Kugelsymmetrie die eigentliche Gittertiefe dreimal so groß ist. Es wird i.a. aber dennoch diese eigentliche 1D-Tiefe als
der eigentliche Parameter U0,lat angegeben (vgl. (2.53)).
A.3 Parameter optischer Gitter
89
Abbildung A.8: Fallenfrequenzen des optischen Gitters auf den Achsen x und y
mit w0,z ≈ 95µm im Fokus der Strahlen.
Abbildung A.9: Tiefe des optischen Gitters auf der z-Achse mit w0,z = 33, 9µm
in Einheiten der Photonen-Rückstoßenergie.
Anhang A Simulation und Diskussion von Parametern optischer Dipolfallen
90
und Gitter
Abbildung A.10: Tiefe des optischen Gitters auf der z-Achse mit w0,z ≈ 95µm in
Einheiten der Photonen-Rückstoßenergie.
Anhang B
Simulation der
Zwei-Linsen-Kollimation und
Fokussierung
Mit Mathematica wurde die in Abschn. 3.2.3 beschriebene Kollimation und die
anschließende Fokussierung gemäß der Formeln der Gaußschen Strahlenoptik (siehe Abschn. 2.2) simuliert. Hierzu wurden vier komplexe Strahlparameter der Form
2.24 definiert, die die Transformation der Strahlen an den Linsen und bei der Abbildung beschreiben. Eine schematische Darstellung der Definitionen ist in Abb.
B.1 zu erkennen. q1 beschreibt die Aufweitung des aus der Faser ausgekoppelten Strahls entlang der Strecke d1 bis zur ersten Linse. Hier transformiert sich
der Strahlparameter zu q2 gemäß Gleichung (2.34). Entlang d2 weitet sich der
vorkollimierte Strahl weiter auf, ehe er an der zweiten Linse kollimiert wird. Die
Bedingung für die Kollimation ist, daß sich der kollimierte Strahl nicht mehr aufweitet. Dies wird mit q3 beschrieben. Die dritte Linse fokussiert den Strahl, q3
Abbildung B.1: Schematische Darstellung der Kollimation und der Fokussierung
des Gaußschen Strahls
91
92
Anhang B Simulation der Zwei-Linsen-Kollimation und Fokussierung
transformiert sich hier zu q4 . An der Position der Strahltaille befindet sich der
Fokus, hier ist der Strahlradius minimal.
Will man für unterschiedliche Linsenkombinationen die Position und Größe des
Fokus berechnen lassen, so muß man nur die Werte der Brennweiten bei den
Konstanten ändern und festlegen in welchem Abstand sich die erste Linse vom
Faserende befinden soll, die restlichen Linsenpositionen sowie Fokusgröße und
-position ergeben sich dann aus der Kollimationsbedingung. Hier wurden am
Beispiel der Linsenkombination f1 = 30mm und f2 = 80mm zur Kollimation und
f3 = 400mm zur Fokussierung unterschiedliche Berechnungen angestellt:
Befindet sich die erste Linse in ihrer halben Brennweite vom Faserende, also
d1 = 15mm, dann ergibt sich für d2 ≈ 50mm und für den Radius der Strahltaille
w0 ≈ 31µm. Die erste Graphik zeigt, wie sich der Abstand zwischen den beiden
Kollimationslinsen ändern muß, wenn man die erste Linse näher am oder weiter
entfernt vom Faserende montiert, damit der Strahl weiterhin kollimiert ist. Die
Simulation zeigt, daß man d2 vergrößern muß, wenn die erste Linse näher ans Faserende rückt und umgekehrt, daß man die Linsen näher aneinander rücken muß,
wenn man d1 vergrößert. Die zweite Graphik zeigt, wie sich dabei die Fokusgröße
ändert. Dabei ist der Fokus je größer, je größer auch d1 ist und umgekehrt. Beide
Graphiken zeigen dabei keinen linearen Verlauf. Vielmehr muß man, wenn man
die erste Linse um 1mm näher an das Faserende rückt, die zweite Linse zur Kollimation etwa 3,75mm weiter von der ersten entfernen, wobei der Fokus dabei
1, 94µm kleiner wird. Entfernt man dagegen die erste Linse um einen mm mehr
vom Faserende, so muß die zweite Linse 4,3mm näher an die erste Linse rücken
und der Fokus wächst um 2, 3µm.
Die beiden nächsten Graphiken zeigen, wie sich Fokusposition und -größe bei
d1 = 15mm ändern, wenn die zweite Linse gegenüber der Kollimationsposition
versetzt ist. Der Verlauf ist nahezu linear. Der exakt gleiche Verlauf für Fokusposition und -größe zeigt sich, wenn man die zweite Linse an der Kollimationsposition von d2 = 50mm festhält und die
ihrer Kolli erste Linse gegenüber
∂d4 ∂d4 = ∂d1 ≈ −30 und
mationspostion versetzt. Es ergibt sich: ∂d2 d1 =15mm
d2 =50mm
∂w0 1
0
= ∂w
≈ − 500
. Wenn man also eine der beiden Linsen um
∂d2 ∂d1 d1 =15mm
d2 =50mm
100µm aus ihrer Kollimationsposition verrückt, ändert sich die Position des Fokus
um etwa 3mm, während seine Größe sich um 0, 2µm ändert.
93
94
Anhang B Simulation der Zwei-Linsen-Kollimation und Fokussierung
95
96
Anhang B Simulation der Zwei-Linsen-Kollimation und Fokussierung
Anhang C
Schaltplan Intensitätsregelung
Im Rahmen der vorliegenden Diplomarbeit wurde eine Intensitätsregelung aufgebaut. Die prinzipielle Funktionsweise der Regelung wurde bereits in Abschn.
3.3.2 beschrieben. Der folgende Schaltplan eines PID-Reglers- des Kernstücks der
Regelung- wurde mit dem Programm Eagle erstellt. Die Schaltung wurde aufgebaut, um eine Intensitätsregelung mit Regelbandbreiten oberhalb von 1MHz
zu ermöglichen. Die verwendeten Operationsverstärker OP27, TL084 und TL082
haben bei einfacher Verstärkung Bandbreiten von 8MHz bzw. 4MHz. Außerdem
sollte die Schaltung weiterhin alle Einstellungs- und Kontrollmöglichkeiten bieten, die der auf Lochraster aufgebaute Prototyp hatte.
Das erste Blatt zeigt die Eingänge des Photodioden-Signals und des von der
Experiment-Steuerung vorgegebenen Referenz-Signals. Ürsprünglich war es geplant, durch einen Eingangsverstärker das Photodioden-Signal vor dem Vergleich
mit dem Referenz-Signal auf ein definiertes Niveau einzustellen. Darum schließt
sich an ’Phd In’ ein Op an, der jetzt aber nur in einfacher Verstärkung betrieben
wird. Die beiden Signale werden dann an einem Differenzverstärker verglichen,
wobei das Photodioden-Signal auf den invertierenden Eingang gegeben wird und
das Referenz-Signal auf den nicht-invertierenden Eingang.
Weiterhin befindet sich auf diesem Blatt der Kontrolleingang, auf den ein TTLSignal gegeben werden soll, damit ein DG202-Schalter gleichzeitig Eingangsund Ausgangsverstärker (Blatt 2) auf Ground legt und den Kondensator des
Integrators (Blatt 2) kurzschließt. Mit dem Kippschalter S2 kann das Schalten des DG202 auch manuell erfolgen. In diesem Falle wird außerdem noch der
97
98
Anhang C Schaltplan Intensitätsregelung
Ausgang ’Atten Out’ auf einen mit einem Trimm-Potentiometer einzustellenden
Bruchteil der Ausgangs-Spannung eines REF01, einer sehr präzisen 10V-ReferenzSpannunsquelle, gelegt (Blatt 3). Hierdurch ist es möglich, den Regelbetrieb manuell auszuschalten und z.B. zu Justagezwecken ein ungeregeltes Ausgangs-Signal
auf den RF-Abschwächer zu geben.
Mit Ausgangs-Puffern versehen, um die eigentliche Regel-Schaltung nicht zu beeinflußen, befinden sich auf dem ersten Blatt noch zwei Ausgänge: An ’Ent Out’
liegt das Photodiodensignal an und ’Diff Out’ ist der Ausgang des DifferenzSignals der beiden Eingänge. Mit diesen beiden Ausgängen können die jeweiligen
Signale im Regelbetrieb betrachtet werden und dementsprechend die Regelparameter optimiert werden.
Ein weiterer Kippschalter (S1) ermöglicht es, statt eines äußeren Referenz-Signals
ein internes Referenz-Signal an den Differenz-Verstärker anzulegen. Dieses interne
Referenz-Signal ist ebenfalls ein mit einem Potentiometer einzustellender Bruchteil der Ausgangs-Spannung des REF01 (Blatt3).
Auf dem zweiten Blatt befinden sich die eigentlichen Regler- Proportionalregler, Integrator und Differenzierer- die Unterschiede des Differenzsignals von Null
kompensieren sollen. Mit Potentiometern können die Regelparameter eingestellt
werden. Nach der Addition dieser Signale, kann die Regelung über einen Ausgangsverstärker und ein weiteres Potentiometer noch feiner eingestellt werden.
Auf dem zweiten Blatt sind die beiden weiteren schon erwähnten Verbindungen
des DG202 zu sehen, die ein Kurzschließen des Integrators und das gleichzeitige
Ausschalten des Ausgangsverstärkers ermöglichen.
Auf Blatt Nr. 3 sind die ±15V-Versorgungspannungen der Ops zu sehen, die über
eine externe ±18V-Versorgung und 7815 bzw. 7915 Spannungsregler erfolgt. Außerdem ist auf dem dritten Blatt der schon erwähnte REF01 zu sehen, der für ein
internes Referenzsignal oder für ein ungeregeltes Ausgangssignal als Spannungsreferenz dient.
99
100
Anhang C Schaltplan Intensitätsregelung
101
102
Anhang C Schaltplan Intensitätsregelung
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Gruyter, 1997.
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LITERATURVERZEICHNIS
Danksagung
Das vergangene Jahr war für mich eine sehr intensive Zeit, in der ich sehr viele
Eindrücke gesammelt habe und eine ganze Menge gelernt habe. Da es eine Zeit vor
Beginn dieser Arbeit gab, in der ich nicht mehr daran glaubte, daß ich überhaupt
noch diplomieren werde, gibt es auch viele Menschen, die einen gebührenden Anteil daran haben und denen ich aufrichtigen Dank schulde.
Besonderer Dank gebührt Prof. Dr. Klaus Sengstock dafür, daß er mich in seiner
Forschungsgruppe aufgenommen hat, was bei der langen Auszeit, die ich von der
Physik genommen hatte, ganz bestimmt nicht selbstverständlich gewesen ist, und
mir die Chance gegeben hat, auf diesem faszinierenden Gebiet der Physik meine
Diplomarbeit anfertigen zu können. Durch seinen unermüdlichen Enthusiasmus
für die Physik der kalten Quantengase und seine kritische Begleitung wurde die
Arbeit wesentlich vorangetrieben.
Dr. Kai Bongs danke ich herzlich für viele gute Anregungen (nervöse Rennpferde!) im Laufe der Zeit und besonders für seine Unterstützung in der allerletzten
Phase der Fertigstellung dieser Arbeit.
Ein riesiger Dank, für den mir die passenden Worte fehlen, gebührt ’meinen’
beiden Doktoranden Silke und Christian Ospelkaus. Als geduldige und begabte
Lehrer haben sie mich in die Laborarbeit eingeführt und mir die Gelegenheit geboten, wirklich tief in die praktische Arbeit einzusteigen. Im Laufe der Zeit sind
sie mir zwei liebe Freunde geworden, mit denen ich in ungezählten Stunden über
Gott und die Welt gesprochen habe.
Ebenfalls großer Dank gilt meinem ganz speziellen Freund Stefan ’Fohrätz’ Vorrath. Mit ihm zusammen habe ich ein dynamisches Duo gebildet, was kaum miteinander aber ebensowenig ohne einander ging. U.a. einen Lauf durch das winterliche Berlin mit ihm werde ich sicher nie vergessen.
Meinen Büro-/ und Projekt-Kameraden von der Fermionic-Family Marlon Nakat,
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Danksagung
Philipp ’Hasi’ Ernst und Manuel ’Saft’ Succo, danke ich dafür, daß trotz allen
Ernstes(!) bei der Arbeit immer eine gelöste Stimmung herrschte, die ein gutes
Arbeitsklima erst ermöglicht, denn nur wer Spaß hat, kann sich auch wirklich
einbringen.
Ein ebensolcher Dank gebührt den anderen Mitgliedern unserer Forschungsgruppe und zwar dem BEC-Team mit Jochen Kronjäger, Christoph Becker, Thomas
Garl und Martin Brinkmann, dem Betz-in-Spatze-Duo Annika Vogel und Malte
Smithers Schmidt(grumpf − Insiderwitz!) and last but not least Peter (Pedah!)
Moraczewski.
Victoria Romano gebührt mein Dank dafür, daß sie mir den ganzen bürokratischen
Kleinkram erfolgreich vom Hals gehalten hat und natürlich, weil sie einfach der
gute Geist dieser Gruppe ist und in zahlreichen eigenen Projekten wie ’Schöner
Wohnen’ oder ’Spannende Forschung’ sehr zum guten Klima beiträgt.
Stellvertretend für das gesamte technische Personal des Instituts möchte ich mich
bei Stephan Garbers und Reinhard Mielck dafür bedanken, daß sie immer zur
Stelle waren, wenn ich mal ’gaaanz’ schnell ein Werkstück oder ein Kabel o.ä.
brauchte.
Prof. Dr. W. Neuhauser danke ich für die freundliche Übernahme des Zweitgutachtens.
Nicht zuletzt möchte ich mich bei meinen Eltern, meiner Schwester und ihrem
Freund Basti bedanken, die an mich auch in den Zeiten geglaubt haben, in denen
ich es selbst nicht mehr so recht tat und mich immer unterstützt haben. Meiner
Oma Wilma, die leider vor der Fertigstellung dieser Arbeit verstorben ist, habe
ich auch viel zu verdanken. Es tut mir leid, daß sie dies nun nicht mehr miterleben
durfte.
Erklärung
Hiermit versichere ich, die vorliegende Arbeit selbständig und nur unter Zuhilfenahme der angegebenen Quellen und Hilfsmittel angefertigt zu haben.
Ich bin mit einer späteren Ausleihe meiner Diplomarbeit einverstanden.
Oliver Wille, 10.08.2005