Vorlesungsfolien GdE1 - Fakultät für Elektrotechnik und

Vorlesungsfolien
Grundlagen
der
Elektrotechnik I
Lehrstuhl für Allgemeine
Elektrotechnik und Plasmatechnik
Prof. Dr. P. Awakowicz
Ruhr Universität Bochum
WS 2008/09
Die Vorlesung wird in Anlehnung an das Buch von
Prof. Dr. Reinhold Pregla / Univ. Hagen gehalten:
Reinhold Pregla, Grundlagen der Elektrotechnik,
Hüthig Verlag Heidelberg (49 €)
alternativ zu empfehlen:
Manfred Albach, Grundlagen der Elektrotechnik 1,
Pearson Studium (29,95 €)
Inhalt der Vorlesung Elektrotechnik I im WS 2008
(siehe auch R. Pregla, „Grundlagen der Elektrotechnik“)
0 Zur Beschreibung physikalischer Vorgänge
1 Das statische elektrische Feld
1.1 Die elektrische Ladung und ihre Wirkungen
1.2 Feldstärke und Coulombsches Gesetz
1.3 Feldlinien
1.4 Bewegung einer Ladung im elektrischen Feld
1.5 Ungeladene Leiter im statischen elektrischen Feld
1.6 Elektrische Verschiebungsdichte (Flussdichte)
1.7 Kapazität
1.8 Energie und Kräfte im elektrostatischen Feld
1.9 Materie im elektrischen Feld
2 Der elektrische Strom
2.1 Elektrische Stromstärke
2.2 Ohmsches Gesetz
2.3 Strömungsfelder
2.5 Temperaturabhängigkeit des Widerstandes
2.6 Energieumsetzung im elektrischen Stromkreis
2.7 Strömung im Vakuum: Raumladungsgesetz
2.8 - 2.10 Halbleiter, Dioden, Transistoren
⇒ Vorlesung „Bauelemente“
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3
Fortsetzung Inhalt:
3 Gleichstromschaltungen
3.1 Strom und Spannung im einfachen Stromkreis
3.2 Zweipole
3.3 Die Kirchhoff'schen Regeln
3.4 Serien- und Parallelschaltung von Widerständen
3.5 - 3.9 ⇒ Vorlesung Prof. Dr. Martin
4 Lineare Netze ⇒ Vorlesung Prof. Dr. Martin
„Grundlagen der Informationstechnik“
5. Das magnetische Feld
5.1 Wirkung und Darstellung des magnetischen Feldes r
5.2 Kraft auf eine bewegte Ladung - magn. Flussdichte B
5.3 Kraft auf einen stromdurchflossenen Draht
5.4 Drehmoment auf eine stromdurchflossene Leiterschleife
5.5 Die Erregung des magnetischen Feldes
5.6 Kraft zwischen zwei stromdurchflossenen Leitern
5.7 ⇒ Vorlesung „Elektrische und magnetische Felder“
5.8 Die magnetischen Eigenschaften der Materie
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4
Vorbemerkungen + Einführung
Technik: Anwendung der Naturgesetze aus den
verschiedenen Gebieten der Physik auf „Dinge“, die von
Menschen verwendet werden können, die sie unterstützen und
den Lebensstandard verbessern. Ein sorgfältiger und
nachhaltiger Umgang mit Technik ist sinnvoll und geboten.
Ohne Technik ist das moderne Leben nicht denkbar. Technik
ist der entscheidende „Rohstoff“ und zugleich wichtigster
„Exportartikel“ Deutschlands.
Elektrotechnik: Anwendung der Teilgebiete „Elektrizität und
Magnetismus“. Beide Gebiete hängen eng zusammen, auch
wenn diese nacheinander gelehrt werden. Diese künstliche,
aus didaktischen Gründen sinnvolle Trennung existiert in der
Natur nicht.
In dieser Vorlesung werden behandelt:
Grundlegende physikalische Phänomene, auf denen die
„Elektrotechnik und Informationstechnik“ aufbaut.
Ihre Beschreibung mit Hilfe der Mathematik ist notwendig.
Grundkenntnisse in Differential- und Integralrechnung sind
ebenso unabdingbar wie Funktionen mehrerer Veränderlicher
und die Vektorrechnung.
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5
0 Beschreibung physikalischer Vorgänge
0.1 Physikalische Größen
Aufgabe der Physik: Auffinden von Gesetzmäßigkeiten,
die sich mit Formeln beschreiben lassen.
Beispiel: Freier Fall
t = 0, v(0) = 0
Fallweg (s) = 1/2 x Erdbeschleunigung (g) x Quadrat der Fallzeit (t)
Formel:
s=
1 2
gt
2
Die Begriffe Weg, Zeit und Beschleunigung bezeichnet man als
physikalische Größen. Die obige Gleichung als Größengleichung.
Beispiele f. andere physikalische Größen:
Mechanik: Geschwindigkeit, Kraft, Masse, Arbeit
Elektrizitätslehre: Ladung, Spannung, Feldstärke, Strom
Wärmelehre: Temperatur, Druck, Wärmemenge, Entropie
Die verschiedenen Größen werden mit Zeichen in kursiver
Schreibweise dargestellt. Wichtig ist, für gleiche Größen immer
gleiche Zeichen zu verwenden; leider klappt das oft nicht.
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6
Einteilung der Größen: Basisgrößen + abgeleitete Größen
Vereinbarung: Basisgrößen der Mechanik
Länge, Zeit und Masse
„Grundgesetz der Mechanik“:
Abgeleitete Größe: Kraft = Masse x Beschleunigung
(Sir Isaac Newton, 1643 - 1727, engl. Mathematiker, Physiker
und Astronom)
In Formelzeichen:
F = m⋅ a
Andere abgeleitete Größen sind durch Definition festgelegt:
z.B. die Geschwindigkeit:
∆s ds
v = lim
=
∆t →0 ∆t
dt
Die Richtung der Geschwindigkeit bleibt zunächst unberücksichtigt.
Analog: Definition der Beschleunigung
∆v dv
=
∆t →0 ∆t
dt
a = lim
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7
Fazit: Basisgrößen sind voneinander unabhängig.
Alle anderen Größen müssen durch Basisgrößen
ausgedrückt werden können
0.2 Einheiten und Einheitensysteme
Zum Messen einer physikalische Größe notwendig:
Festlegen einer Einheit
Messen heißt: Vergleichen mit Bezugseinheit
Also:
Physikalische Größe = Zahlenwert x Einheit
Ist eine Einheit „unpraktisch“, können Teile oder Vielfache
mit dem Faktor „Zehn“ abgekürzt beschrieben werden durch:
101
102
103
106
109
1012
1015
1018
→
→
→
→
→
→
→
→
da (Deka)
h (Hekto)
k (Kilo)
M (Mega)
G (Giga)
T (Tera)
P (Peta)
E (Exa)
10-1 →
10-2 →
10-3 →
10-6 →
10-9 →
10-12 →
10-15 →
10-18 →
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d (Dezi)
c (Zenti)
m (Milli)
µ (Mikro)
n (Nano)
p (Piko)
f (Femto)
a (Atto)
8
Früher hatten viele Länder ihr eigenes Einheitensystem:
z.B. Längenangabe in Meilen, Fuß, Zoll, Meter, Seemeilen,
Landmeilen, ....
Heute ist ein internationales Einheitensystem gebräuchlich:
SI-Einheiten (Standard International)
Definition: 1 Meter ist die Länge, die Licht im Vakuum
während der Dauer von 1/299.792.458 Sekunden durchläuft.
Definition: 1 Sekunde ist das 9.192.631.770-fache der
Periodendauer der Strahlung, die vom Übergang zwischen den
zwei Hyperfeinstrukturniveaus des Grundzustands des 133Cs
Atoms herrührt.
Definition: 1 Kilogramm ist definiert durch Internationalen
Kilogramm-Prototyp aus Platin-Iridium, der im internat. Büro f.
Maße und Gewichte in Severes bei Paris aufbewahrt wird.
Definition: 1 Ampere ist die Stärke eines stationären Stromes, der
durch 2 unendlich lange, unendlich dünne parallele Leiter fließt,
die im Vakuum in einem Abstand von 1 Meter die Kraft von 2·10-7
Newton aufeinander ausüben.
= MKSA-System, ein Teilsystem des SI-Systems
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9
Das SI-System enthält drei weitere Basisgrößen:
Die thermodynamische Temperatur T in Kelvin, die Lichtstärke
in Candela und die Stoffmenge in Mol:
Basisgröße
Länge
Masse
Zeit
el. Stromstärke
absol. Temperatur
Lichtstärke1)
Stoffmenge2)
Zeichen
l
m
t
I
T
Iv
n
Basiseinheit
Meter
Kilogramm
Sekunde
Ampere
Kelvin
Candela
Mol
Abkürzung
m
kg
s
A
K
cd
mol
Für Definition von 1 Ampere wurde das Newton verwendet.
Abgeleitete Einheit:
[ F ] = [m][a] =
kg m
=N
2
s
„[]“ bedeutet „Einheit von“
1)
1 Candela ist die Lichtstärke einer Strahlungsquelle, die bei
555 nm 1/683 Watt/sr abstrahlt.
2) 1 mol ist die Stoffmenge eines Systems, das aus ebensoviel
Teilchen besteht, wie in 12 g von 12C enthalten sind , d.h. ≈
6.022 ·1023 Teilchen.
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10
Einige wichtige physikalische Größen:
Kraft
Energie
Leistung
Druck
Ladung
Spannung
Widerstand
Kapazität
Induktivität
magnet. Fluß
mag. Flußdichte
F
W
P
p
Q
U
R
C
L
Φ
B
Newton (N)
Joule (J)
Watt (W)
Pascal (Pa)
Coulomb (C)
Volt (V)
Ohm (Ω)
Farad (F)
Henry (H)
Weber (Wb)
Tesla (T)
1N =
1J =
1W =
1Pa =
1C =
1V =
1Ω =
1F =
1H =
1Wb =
1T =
kg m/s2
1 Nm = kg m2/s2
1 Nm/s = kg m2/s3
1 N/m2
1As
1 W/A
1 V/A
1A s/V = 1 C/V
1 V s/A
1Vs
1 V s/m2 = 1 Wb/m2
Bemerkungen:
• Druck: 1 hPa = 1 mBar, 105 Pa = 1 Bar
• Kraft: 1 kp = 9.81 N (Kraft auf 1 kg im Erdschwerefeld,
alte Bezeichnung)
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0.3 Dimension, Zahlenwertgleichung
Dimension: Qualitative Darstellung dieser Größenart aus
den Basisgrößen
Basisgrößen und Basisdimensionen:
Länge
Zeit
Masse
Stromstärke
dim[s] = L
dim[t] = T
dim[m] = M
dim[I] = I
Beispiel: Dimension f. Geschwindigkeit
dim[v] =
dim[ s ]
= LT −1
dim[t ]
Dimensionslose Größen: wenn Exponent „0“ ist; z.B. Winkel
dim[α ] =
α=
dim[ Kreisbogenlänge]
=1
dim[ Radiuslänge]
b Kreisbogenlänge
=
r
Radiuslänge
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12
Dimensionsgleiche, physikalisch völlig unterschiedliche Größen;
z.B. Energie und Drehmoment:
dim[W ] = dim[T ] = ML2T−2
[T ] = mN
[W ] = Nm
Hilfsmittel Dimensionsprüfung:
Beispiel: Masse eines zylindrischen Körpers der Dichte ρ
m = π r2 l ρ
Dimensionsprobe:
dim[m] = dim[π r 2 l ρ ]
M
M=L L 3 =M
L
2
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13
Zahlenwertgleichung oder zugeschnittene Formel:
z.B. Geschwindigkeit
v=
s
t
mit 1 km = 1000 m, 1 h = 3600 s:
1 s / km m
v=
3,6 t/h s
Also z.B. 100 km/h:
v=
100 m
m
= 27,8
3,6 s
s
Beispiel: Elektron (e = 1.6 ·10-19 As, m = 9,1 ·10-31 kg ) wird im el.
Feld beschleunigt und durchläuft die Spannung U = 100 V. Wie
groß ist seine Geschwindigkeit?
Energiesatz:
1 2
mv = eU
2
2eU
⇒v=
m
km
km
v = 594 U / V
= 5940
s
s
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1 Das statische elektrische Feld
1.1 Die elektrische Ladung und ihre Wirkung
1.1.1 Zum Aufbau der Materie
Vor 2500 Jahren: Leukipp und Demokrit „atomos“
(das Unteilbare)
Zu Beginn des 19. Jahrhunderts: 90 verschiedene Grundbausteine (Atome)
Heute: Atome sind nicht unteilbar ⇒ Atomkern und Hülle
Kern: Protonen, Neutronen; Protonen positive Ladung
Hülle: Elektronen negative Ladung
Erkenntnisse (Bild 1.1a, b):
• Elektronen halten sich innerhalb bestimmter „Bahnen“ auf
• Mehrere dieser Bahnen bilden eine „Schale“, die nur eine
bestimmte maximale Zahl von Elektronen aufnehmen kann
• Die Zahl der Protonen im Kern ist gleich der Zahl der
Elektronen in der Hülle (nach außen neutral)
• Zwischen Elektronen und Protonen besteht elektrische
Wechselwirkung
• Zwischen Protonen und Neutronen bestehen die Kernkräfte,
die hier nicht näher behandelt werden; sie bilden die Masse
des Atoms (z.B. H, D, T)
• Wird ein Elektron der Hülle entzogen, ist das Atom
(eigentlich Ion) positiv geladen
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15
Bild 1.1a Zum Aufbau der Materie
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16
Bild 1.1b Zum Aufbau der Materie
Vorlesungsfolien GdE I
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1.1.2 Grundversuche zur Wirkung der elektrischen Ladung
Weitere Erkenntnisse:
• Elektronen sind relativ schwach gebunden, können daher
isoliert werden, d.h. abgetrennt werden
• Verschiedene Stoffe besitzen unterschiedliche Elektronenaffinität; d.h. bei Berührung entzieht derjenige mit der
größeren Elektronenaffinität dem anderen so lange Elektronen, bis ein energetischer Gleichgewichtszustand herrscht
• Nach Trennung beider Stoffe hat der mit der größeren El.affinität Elektronenüberschuß, der andere Elektronenmangel
• Wir bezeichnen diesen Zustand beider Stoffe mit
elektrisch geladen
Vereinbarung
Der Elektronenüberschuß wird mit minus, der Elektronenmangel mit plus bezeichnet
Versuch
Reibt man einen Glasstab oder Hartgummistab mit einem
Wolllappen oder Fell, so werden danach Papierschnitzel,
Federn, Haare etc. angezogen. Beobachtung der alten Griechen
mit Bernstein (Elektron).
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18
Erklärung
Der die geladenen Stäbe umgebende Raum ist durch
Anwesenheit der Ladungen in einen bestimmten Zustand
versetzt worden. Er hat die physikalische Eigenschaft, auf
Körper Kräfte auszuüben.
Einen Raum mit besonderen Eigenschaften bezeichnet man in
der Physik als Feld.
Fazit: Elektrisch geladene Körper sind von
elektrischen Feldern umgeben.
Versuch 1
An einem dünnen Faden wird ein metallisiertes Kügelchen
aufgehängt. Ein (positiv) geladener Glasstab (s.o.) wird in die
Nähe gebracht. 1. Beobachtung: Die Kugel wird angezogen.
Gleiches passiert mit einem (negativ) geladenen Hartgummistab
(Bild 1.2).
Bild 1.2
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19
Versuch 2
Wir berühren das Kügelchen mit einem der geladenen Stäbe.
2. Beobachtung: Von dem Stab, von dem es berührt wurde,
wird es anschließend abgestoßen, vom jeweils anderen Stab
wird es angezogen (Bild 1.3).
Bild 1.3
Erklärung
Die erste Beobachtung kann erst später im Abschnitt „Influenz“
erklärt werden.
Zweite Beobachtung: Bei Berührung fließt Ladung vom Stab
auf die Kugel. Beide tragen anschließend die gleiche Ladung
und stoßen sich ab. Der jeweils andere Stab (entgegengesetzt
geladen) zieht die Kugel an.
Fazit: Ladungen unterschiedlichen
Vorzeichens ziehen sich an, bei
gleichem Vorzeichen stoßen sie sich ab.
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20
1.1.3 Ladungserhaltung, Leiter und Nichtleiter
Weitere derartige Versuche zeigen, dass die Ladungen (auf
Stab und Lappen) entgegengesetzt sind.
Wir stellen fest, dass mit der einen Ladungsart auch
gleichzeitig die andere erzeugt wird.
Versuch 3
Wir reiben einen Stab und umhüllen diesen anschließend mit
dem Lappen. Beides zusammen wird in die Nähe des Kügelchens gebracht: Keine Wirkung! Trennen wir beide Teile:
Anziehung!
Fazit: Die Summe der erzeugten
positiven und negativen elektrischen
Ladungen ist stets gleich Null.
Versuch 4
Berührt man das geladene Kügelchen (Bild 1.3) mit dem
Finger, stellt man fest, dass es danach völlig unelektrisch ist.
Berührt man dagegen den Stab, so wird dieser nur an der
Berührstelle unelektrisch.
Vorlesungsfolien GdE I
21
Erklärung
Durch Berührung mit dem Finger wird elektrische Ladung
abgeführt. Beim metallischen Kügelchen bewegen sich
offensichtlich alle Ladungen zur Berührstelle und fließen dort
ab. Beim Glas- oder Gummistab dagegen kann nur die
Ladung an der Berührstelle abfließen.
⇒ Einteilung in Leiter und Nichtleiter der elektrischen
Ladung.
Elektrische Leiter: Metalle, Schmelzen, Lösungen,…
Isolatoren: Glas, Gummi, Vakuum, Kunststoffe, Holz,…
Versuch 5
Versuch 1 wird wiederholt, allerdings im Vakuum, d.h. in
einem evakuierten Glasgefäß (Bild 1.4). Bringt man einen
geladenen Stab in die Nähe des Gefäßes, ist die Kraftwirkung ohne merkliche Unterschiede sichtbar. Ersetzt man
jedoch das Glasgefäß durch ein Metallgehäuse, ist die
Kraftwirkung nicht beobachtbar.
Bild 1.4
Vorlesungsfolien GdE I
22
Erklärung
Das Feld durchdringt die Glaswand und ist auch im Vakuum
vorhanden. Damit können zwischen Stab und Kugel auch
andere Isolatoren gebracht werden, ohne die Kraftwirkung zu
verhindern. Ersetzt man das Glasvakuumgefäß jedoch durch
ein Metallgefäß, wird das Feld offensichtlich abgeschirmt.
Fazit: In Isolatoren kann ein elektrisches
Feld existieren, durch Leiter wird ein
elektrostatisches Feld abgeschirmt.
1.2 Feldstärke und Coulombsches Gesetz
Die Kraftwirkung des el. Feldes soll nun mathematisch erfaßt
werden. Dazu wird
r in jedem Raumpunkt dem Feld ein Vektor
zugewiesen: E „elektrische Feldstärke“.
→
→
Bild 1.5
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23
Definition: Elektrische Feldstärke
r r r
r
F ∝ E, F = QE
(1.1)
r
E1
r
E3
r
E2
Bild 1.6
r
E4
Feststellungen:
1. Kraft wirkt in Richtung der Verbindungslinie
2. Um das gesamtes Feld zu erfassen: Probekörper an
jeden Ort bringen
Bild 1.7
Vorlesungsfolien GdE I
24
Versuch
Das Q in Gl. (1.1) ist zunächst nur eine Proportionalitätskonstante. Zur Deutung wird folgender Versuch gemacht:
B: Feld erzeugende Ladung, A: Probeladung, die an einem
Faden hängt ⇒ Faden wird um α ausgelenkt
Bild 1.8
Weiterer Versuch
Kügelchen A wird mit gleichem ungeladenen Kügelchen A`
berührt: Ausschlag s halbiert sich bei gleich großem Abstand r
Fazit: Kraft auf A hängt nicht nur vom Feld ab (hat sich nicht
geändert!), sondern auch vom Ladungszustand.
Vorlesungsfolien GdE I
25
Erklärung
Durch Berührung von A mit A` ist am Ladungszustand von A
eine Änderung aufgetreten.
Ersetzt man nun A durch A`, ändert sich s nicht.
Beide Kugeln haben folglich die gleiche Ladung.
Dadurch ging die Kraft auf die Hälfte zurück.
Q bezeichnet also die Ladungsmenge.
Maßeinheit von Q ist Coulomb [C]
Coulomb ist eine abgeleitete Einheit, es gilt 1C = 1 As
Elementarladung
e = 1,602⋅10−19 C
Oder:
(1.2)
1C = 6,24 ⋅1018 e
Bemerkungen
• e hat krummen Wert, da A die Basiseinheit ist (MKSA)
• Das Elektron hat negative Ladung, daher ergibt sich die
Kraftrichtung entgegen der Feldstärkerichtung
Vorlesungsfolien GdE I
26
Versuch
Wird die Ladung von Kugel B verändert, stellt man fest, dass
die Kraft auch proportional zur Ladung von B ist.
Wird der Abstand r verdoppelt, sinkt die Kraft auf ein Viertel.
Coulombsches Gesetz (1785)
r
QQ
F = k A2 B
r
(1.3)
Coulomb, Charles Augustin de, 1736-1806, franz. Physiker
Bemerkungen:
• k: Proportionalitätskonstante
• analog zu Gravitationsgesetz
• Coulombsches Gesetz gilt auch im atomaren Bereich
Umschreiben von (1.3)
QB
F = QA ⋅ k 2
r
(1.4)
Vergleich mit (1.1)
EB = k
QB
r2
(1.5)
Damit gilt allgemein für die Feldstärke einer
Punktladung Q im Abstand r:
E =k
Q
r2
Vorlesungsfolien GdE I
(1.6)
27
Überlagerung von Feldern
• Mehrere Punktladungen: jede für sich erzeugt elektrisches
Feld
r
• Teilfelder überlagern sich linear zu Gesamtfeld, da E ∝ Q
Feldstärke in P für drei Ladungen Q1, Q2 und Q3 mit
den Abständen ripvon Qi (i = 1,2,3) zu P:
Bild 1.9
Damit wird
r
Q
Ei = k i2
rip
Vorlesungsfolien GdE I
für i= 1,2,3
(1.7)
28
Allgemein gilt also bei n Punktladungen:
r
r r
r
E = E1 + E2 + K + En
r
= ∑ Ei
n
(1.8)
i =1
wobei die Addition vektoriell durchgeführt werden muß.
1.3 Feldlinien, Feldlinienbilder
In den Bildern 1.6 und 1.7 sind in einigen Punkten des Raumes
um die Ladungen Feldstärkevektoren eingetragen: für alle
Punkte ist das nicht möglich ⇒ besser Feldlinien!
Bild 1.10a
Man wandert z.B. von + nach - und ändert die Richtung stets
gemäß der Richtung der Feldstärke , d.h. man bildet eine
Linie aus allen Pfeil-Fußpunkten.
Vorlesungsfolien GdE I
29
Geht man in verschiedene Richtungen von + nach -, erhält
man ein Feldlinienbild:
Bild 1.10b
Die Tangente an eine Feldlinie zeigt die Richtung der Feldstärke
Graphische Näherung
„Feldliniendichte“= Maß
f. Betrag der Feldstärke
Bild 1.11
Vorlesungsfolien GdE I
30
Veranschaulichung von Feldern:
Metallfolie auf einer Glasplatte + kleine Körnchen von Gipspulver
a) ungleichnamige
Punktladungen
b) gleichnamige
Punktladungen
c) Parallele Platten
(teilweise homogen)
Bild 1.12 a-c
Vorlesungsfolien GdE I
31
d) Radialfeld in
koaxialer Anordnung
e) Metallischer Rahmen
zwischen zwei
Platten
f) Punktladung vor
Platte
Bild 1.12 d-f
Vorlesungsfolien GdE I
32
Erkenntnisse
1. Feldlinien haben im el.statischen Fall stets einen Anfangsund einen Endpunkt.
2. Quellen und Senken der elektrischen Feldlinien sind die
positiven bzw. negativen Ladungen.
3. In Bild 1.11 liegen die Senken im Unendlichen .
4. Überschneidungen von Feldlinien treten nicht auf, d.h. die
Feldstärke hat stets eine eindeutige Richtung.
5. Bereiche eines Feldes, in dem Feldlinien geradlinig und
parallel verlaufen, werden homogen genannt ( Bild 1.12c).
6. Andernfalls ist das Feld inhomogen. Dies ist meist der Fall.
7. Das Radialfeld ist ein spezielles inhomogenes Feld
(Bild 1.12d). Hier laufen die Linien strahlenförmig von
einem gemeinsamen Mittelpunkt ausgehend.
8. Innerhalb einer metallischen Abschirmung existiert kein
Feld (Bild 1.12d, e) ⇒ Abschirmung von Feldern durch
Leiter
9. Elektrische Feldlinien münden auf metallischen
Oberflächen stets senkrecht (Bild 1.12a - f).
Andernfalls würde eine Tangentialkraft die frei
beweglichen Ladungen sofort ausrichten.
10. Ladungen auf einem Leiter befinden sich auf dessen
Oberfläche: Ändert man z.B. in Bild 1.12 e den inneren
Rohrdurchmesser oder ersetzt das Rohr durch einen
massiven Stab, ändert sich nichts. Da sich gleichartige
Ladungsträger abstoßen, wollen diese „möglichst weit“
voneinander weg.
Vorlesungsfolien GdE I
33
1.4 Bewegung einer Ladung im elektrischen FeldArbeit, Potential, Spannung
Die Versuche zeigten, dass im elektrischen Feld auf eine Ladung
Kraft ausgeübt wird:
• Verschiebt man eine positive Ladung in Gegenrichtung zum
Feld, muss entlang eines Weges Kraft aufgebracht werden, d.h.
es wird Arbeit verrichtet, die von außen kommt.
• Erfolgt die Bewegung in Feldstärkerichtung, dann verrichtet
das Feld Arbeit.
Vereinbarung
Arbeit wird als positiv bezeichnet, wenn diese vom Feld
verrichtet wird (d.h. Kraft zeigt in Wegrichtung).
Die Arbeit ist eine skalare, d.h. ungerichtete Größe. Analog
zur Mechanik, ist sie definiert als Produkt aus der längs des
Weges wirkenden Kraft (oder Kraftanteil) und dem
zurückgelegten Weg. Einfachster Fall: Q wird um ∆s im Feld
verschoben.
r
∆W = F ∆s .
Vorlesungsfolien GdE I
(1.9)
34
Im allgemeinen sind Bewegungsrichtung der Ladung und
Richtung der Kraft unterschiedlich:
b)
a)
Bild 1.13
In Bild 1.13b wirkt längs des Weges von P1 nach P2 nur noch
Fcosα, damit gilt:
r r
∆W = F ∆s cos(α )
(1.10)
Einfachere Schreibweise:
Wegstück ∆s als Vektor darstellen und
r
skalar mit Vektor F multiplizieren.
r r
r r
∆W = F ⋅ ∆s = QE ⋅ ∆s
(1.11)
⇒ Skalarprodukt zweier Vektoren: Produkt der Beträge mal
Kosinus des eingeschlossenen Winkels
Bisher:
kleiner geradliniger Weg, daher änderte sich die Kraft längs
des Weges nicht.
Vorlesungsfolien GdE I
35
Jetzt soll „längerer“ Weg im Feld einer geladenen Kugel
(Bild 1.14) gewählt werden, dann ändert sich die Feldstärke
längs des Weges sehr stark:
Bild 1.14
Zur Berechnung der Gesamtarbeit zwischen P1 und P
r 2 wird der
Weg in n kleine Geradenstücke mit den Vektoren ∆si zerlegt.
Die Feldstärke ändert sich längs des Abschnitts nicht, daher gilt
für die Summe der Teilarbeiten:
r r
W = ∑ ∆Wi = Q ∑ Ei ⋅ ∆si
n
n
i =1
(1.12)
i =1
Je feiner die Unterteilung gewählt wird (d.h. je größer n), desto
genauer das Ergebnis. Läßt man n nach unendlich gehen, wird
das Ergebnis exakt:
P2
r r
r r
W = lim Q ∑ Ei ⋅ ∆si = Q ∫ E ⋅ ds
n
n →∞
i =1
(1.13)
P1
Vorlesungsfolien GdE I
36
r
r
wobei aus ∆s das infinitesimal kleine Wegelement ds
geworden ist.
Die Integration ist längs des Weges von P1 nach P2 auszuführen.
Man bezeichnet das Integral daher als Linienintegral der
Feldstärke über den Weg.
Frage:
Hängt hier die Arbeit vom Verlauf des Weges zwischen P1 und
P2 ab?
Beispiel:
Bild 1.15
Antwort:
Zunächst ist klar W1,2 = - W2,1 längs des Weges C1, da für die
r
umgekehrte Richtung nur das Wegelement ds1, 2 die Richtung
bzw. das Vorzeichen ändert.
Wenn man nun von P1 nach P2 über C1 und dann nach P1
über C2 läuft, muss die Gesamtarbeit Null werden, da P1 der
Ausgangspunkt ist und sich das Feld nicht geändert hat.
Damit ist klar: Die Arbeit ist unabhängig vom Weg!
Vorlesungsfolien GdE I
37
Allgemein formuliert:
P2
P2
r r
r r
Q ∫ E ⋅ ds = Q ∫ E ⋅ ds
P1
P1
C1
C2
(1.14)
oder:
r r
∫ E ⋅ ds = 0
(1.15)
„Das Linienintegral der elektrischen Feldstärke im elektrostatischen Feld längs eines geschlossenen Weges ist Null.“
Bemerkungen:
Der Kreis im Integral bezeichnet einen geschlossenen Weg .
Ein solches Feld nennt man wirbelfrei.
Dies bedeutet weiterhin, dass die Feldlinien in sich nicht
geschlossen sind.
Fazit: Elektrostatische Felder haben keine
in sich geschlossenen Feldlinien. Sie sind
wirbelfrei.
Vorlesungsfolien GdE I
38
Mit Gl. (1.14) soll nun zur Auswertung von Gl. (1.13) ein
möglichst einfacher Integrationsweg gewählt werden:
Bild 1.16
Die Gesamtarbeit für das Bewegen einer Ladung
Q von P1
r
nach P2 in einem zunächst beliebigen Feld E:
W = W1 + W2 + W3
Für Teilabschnitt 1 gilt:
r r
r r
x2
W1 = Q ∫ E ⋅ ds = Q ∫ E ⋅ ex dx = Q ∫ Ex dx = Q∫ Ex(x,y1,z1 )dx ,
(1)
r
(1)
x1
(1)
r
r
wobei ds = dx ex gesetzt wurde,r mit ex als Einheitsvektor
r
in Richtung
x-Koordinate
und
E ⋅ ex als Projektion des
r
Vektors E auf die x-Richtung.
Vorlesungsfolien GdE I
39
Analog geht man für die Abschnitte 2 und
r 3 vor. Mit den
Projektionen Ex , Ey , Ez des Vektors E auf die jeweilige
Koordinatenachse erhält man f. d.. Gesamtarbeit:
x2
y2
z2
x1
y1
z1
W = Q∫ Ex (x, y1, z1)dx + Q ∫ Ey (x2 , y, z1)dy + Q∫ Ez (x2 , y2 , z)dz
(1.16)
Beispiel:
Zur Anwendung der Gl. (1.16) betrachten wir die Arbeit im
Feld einer Punktladung Q1 , die im Ursprung des Koordinatensystems von Bild 1.16 liegt.
r
Q1
Der Betrag des Feldes von Q1 lautet:
E =k 2
r
und verläuft
r in radiale Richtung. Die Projektionen Ex , Ey , Ez des
Vektors E auf die jeweiligen Teilstrecken sind dann:
r x
r y
r z
Ex = E , E y = E , Ez = E
r
r
r
Die Arbeit für die erste Teilstrecke lautet:
x2
x2
x2
r x
x
W1 = Q ∫ E x ( x, y1 , z1 )dx = Q ∫ E dx = kQQ1 ∫ 3 dx
r
r
x1
x1
x1
Vorlesungsfolien GdE I
40
Mit r =
x 2 + y 2 + z 2 gilt:
x2
x
dx .
2
2
2 32
( x + y1 + z1 )
x1
W1 = kQQ1 ∫
Ergebnis f. Integration (s. Mathevorlesung bzw. Integraltafel):
x2


−1
W1 = kQQ1  2
2
2 12
 ( x + y1 + z1 )  x1


−1
1
= kQQ1  2
+ 2
2
2 12
2
2 1/ 2 
( x1 + y1 + z1 ) 
 ( x2 + y1 + z1 )
Analog erhält man für die beiden anderen Teilstrecken:


−1
1
W2 = kQQ1  2
+ 2
2
2 12
2
2 1/ 2 
( x2 + y1 + z1 ) 
 ( x2 + y2 + z1 )


−1
1
W3 = kQQ1  2
+ 2
2
2 12
2
2 1/ 2 
( x2 + y2 + z1 ) 
 ( x2 + y2 + z2 )
Vorlesungsfolien GdE I
41
Damit wird die Gesamtarbeit:
1 1
W = W1 + W2 + W3 = kQQ1 ( − )
r1 r2
Fazit: Wie auch immer der Integrationsweg gewählt wird, das Ergebnis ist nur
vom Anfangs- und Endpunkt abhängig.
Aus diesem Grund ist es sinnvoll, jedem Punkt im Feld einen
charakteristischen Funktionswert zuzuordnen: Potential Φ( P)
Definition: Potential Φ
P2
r r
∫ E ⋅ ds = −(Φ(P2 ) − Φ(P1))
(1.17)
P1
Bemerkungen:
• Minuszeichen: Wenn Feld- und Wegrichtung übereinstimmen,
ist das Integral positiv (siehe Vereinbarung V3, S1). Dann aber
ist das Potential des Endpunktes P2 geringer als das des
Anfangpunktes P1!
Vorlesungsfolien GdE I
42
Bermerkungen (Fortsetzung):
• Zu Φ(P) kann eine beliebige Konstante addiert oder subtrahiert
werden: das Ergebnis des Linienintegrals ändert sich dadurch
nicht.
• Im allgemeinen wählt man das Potential der Erde oder des
unendlich fernen Raumes zu Null.
• Ist das Potential in jedem Raumpunkt bekannt, dann ist auch
das Feld eindeutig festgelegt.
r
• Anstelle des Vektors E kann auch die skalare Größe Φ
verwendet werden.
Sind die Punkte P1 und P2 sehr nahe zusammen (infinitesimal),
dann wird aus Gl. (1.17):
r r
E ⋅ ds = −dΦ
oder
(a)
(1.18)
r
dΦ
E =− r
ds
(b)
Gl. (1.18) ist zunächst formal, später folgt genaue Formulierung.
Für die Potentialdifferenz in (1.17) schreibt man abgekürzt:
P2
r r
Φ( P1 ) − Φ(P2 ) = U12 = ∫ E ⋅ ds
(1.19)
P1
Vorlesungsfolien GdE I
43
U12 bezeichnet die elektrische Spannung zwischen P1 und P2 .
Diese ist also als Linienintegral der elektrischen Feldstärke
definiert.
Fazit: Arbeit und Spannung
Die Arbeit, die das Feld bei Verschiebung einer Ladung Q
von P1 nach P2 verrichtet, ist gleich dem Produkt aus
Ladung und elektrischer Spannung zwischen P1 und P2 .
Bemerkungen:
• Das Potential ist demnach ein Maß für die Energie, die eine
positive Probeladung aufnimmt, wenn sie im Feld vom
Potential Null auf ein höheres Potential verschoben wird.
• Diese Energie bezeichnet man als potentielle Energie.
Fazit: Potentielle Energie
Die potentielle Energie einer Ladung im Feld ist (bezogen
auf den Nullpunkt) gleich dem Produkt aus Potential und
Ladung.
oder:
Wpot = Q(Φ − Φ0 ) = QU
Vorlesungsfolien GdE I
44
Bemerkungen:
• Elektrische Spannung und Potential sind sehr nützlich, da sie
direkt angeben, welche Arbeit das Feld pro Ladungseinheit
verrichten kann.
• Die Einheit der Spannung ist das Volt (Volta, Graf
Alessandro, 1745 - 1825, italienischer Physiker).
• Die Einheit „Volt“ ist so festgelegt, dass gilt:
kg m 2
1 VC = 1 VAs = 1 Nm = 1 2
s
also gilt:
kg m2
1 V =1
A s3
(1.20)
(1.21)
• Die Einheit für Arbeit ist Joule J, und es ist 1 J = 1 VAs = 1
Nm.
• In der Elektrotechnik kommt selten die Masse direkt vor, daher
ist es üblich, die Einheiten Meter, Sekunde, Ampere und Volt
zu benutzen.
• Die Dimension der Feldstärke ist nach Gln. (1.17) und (1.18)
gleich der Dimension der Spannung dividiert durch die
Dimension der Länge.
• Damit lautet die Einheit der Feldstärke: [E] = V/m, die keine
eigene Bezeichnung hat.
Vorlesungsfolien GdE I
45
Felddarstellung mit Potentialen:
Man bezeichnet eine Fläche, auf der das Potential konstant ist,
als Äquipotentialfläche. Gl. (1.18a) zeigt, wie diese Flächen
bestimmt werden können:
Bild 1.17
Äquipotentialfläche:
r r
E ⋅ ds = −dΦ = 0
mit
folgt daraus:
r
E ≠0
r r
E⊥ds
da
r r r r
E ⋅ ds = E ds cos(90°) = 0
Vorlesungsfolien GdE I
46
Bemerkungen:
• Im Bild 1.17 sind Teile von vier Äquipotentialflächen dargestellt. Ändert sich das Potential von Fläche zu Fläche um
denselben Wert, kann man aus dem Abstand auf die relative
Größe der Feldstärke schließen.
• Die Feldstärke ist dort größer, wo der Abstand kleiner ist.
Fazit: Leiteroberflächen
Da auf Leiteroberflächen die Feldlinien senkrecht
münden, sind diese immer Äquipotentialflächen.
Beispiele: 1. Feld einer Punktladung mit Äquipotentialflächen
Bild 1.18a
Vorlesungsfolien GdE I
47
2. Feld einer Parallelplattenanordnung mit Äquipotentialflächen
3. Berechnung des Potentials einer Punktladung
Benutzt wird Gl. (1.19). P2 liegt im Unendlichen, damit ist
Φ(P2) = 0. Integriert man von der Kugelfläche im Abstand
r´= r bis r´= ∞, dann ist
r r r r r r
r
E ⋅ ds = E ⋅ dr´= E dr´ = E dr´ ,
r
r
r
r
denn E und ds haben die gleiche Richtung. Ebenso ist ds = dr.´
Mit Gl. (1.19) gilt:
∞
r r ∞ r
∫ E ⋅ ds = ∫ E dr´= Φ(r) −Φ(∞) = Φ(r)
r
r
Vorlesungsfolien GdE I
48
Für E Gl. (1.6) eingesetzt liefert:
∞
∞
Q
kQ
 1
Φ (r ) = ∫ k 2 dr´= k Q −  =
r´
r
 r´  r
r
(1.23)
damit wird
Q
Φ(r ) = k
r
(1.24)
.
Der Potentialverlauf der Punktladung ist in Bild 1.19 dargestellt.
Bild 1.19
Vorlesungsfolien GdE I
49
Bemerkungen:
• Ersetzt man eine Kugelfläche in Bild 1.18a durch eine
metallische Hohlkugel und bringt die Ladung Q auf die
Oberfläche dieser Kugel, dann verteilen sich diese an der
Oberfläche.
• Damit ändert sich am Feld außerhalb der Kugel nichts.
• Das Innere der Kugel ist feldfrei. Damit kann die Hohlkugel
auch ausgefüllt werden.
• Wenn man die Ladung gleichmäßig verteilt, kann die Kugel
aus beliebigem Material sein.
• Hat die Kugel den Radius a, dann gelten für r ≥ a die Gln.
(1.6) und (1.24)
• ΦK in Bild 1.19 ist das konstante Potential der Kugel.
• Anstelle von Gl. (1.24) kann auch geschrieben werden:
Φ ( r ) = ΦK
a
r
Vorlesungsfolien GdE I
50
1.5 Ungeladene Leiter im statischen elektrischen Feld
1.5.1 Influenz
Versuch
Bringt man in das Feld einer positiv geladenen Kugel einen
Metallstab (Bild 1.20),
Bild 1.20
dann zeigt sich, dass der zunächst ungeladene Stab geladen ist:
Auf der Kugel zugewandten Seite negativ, auf der
abgewandten positiv .
⇒ Diese Ladung wird als Influenzladung bezeichnet.
(Das Vorhandensein der influenzierten Ladung kann mit einer
kleinen metallischen Probekugel überprüft werden: siehe V2).
Erklärung:
Die im Leiter frei beweglichen Elektronen werden durch die
positiv geladene Kugel angezogen, am anderen Ende bleibt
positive Ladung zurück.
Vorlesungsfolien GdE I
51
Influenzkraft
Die Influenz erklärt, warum die ungeladene metallisierte
Kugel in Bild 1.2 von beiden geladenen Stäben angezogen
wird: Die anziehende Kraft auf die influenzierte Gegenladung ist größer als die abstoßende Kraft am gegenüberliegenden Ende, weil sich die Gegenladung im Bereich
höherer Feldstärke befindet.
Versuch
Nun soll die Größe der influenzierten Ladung bestimmt werden,
indem die beiden gegennamig geladenen Teile (z.B. des Stabes)
noch im Feld getrennt werden. Dazu nimmt man besser zwei
gleiche Metallscheiben mit isolierten Griffen (Bild 1.21):
Bild 1.21a
Ist die Doppelscheibe oder das Doppelplättchen genügend dünn,
dann wird das homogene Feld nicht gestört, solange die Scheiben
zusammen sind und senkrecht zum Feld liegen.
Vorlesungsfolien GdE I
52
Anschließend werden die Scheiben im Feld getrennt:
Bild 1.21b
und aus dem Feld herausgebracht:
Bild 1.21c
Zum Schluss wird die Ladung auf einem der Plättchen gemessen.
Verändert man nun in diesem Versuch einmal die Scheibenfläche A, zum zweiten die Feldstärke E, dann stellt man fest:
Qi ∝ E , sowie Qi ∝ A
Vorlesungsfolien GdE I
53
Zusammengefasst ergibt dies:
r
Qi = ε 0 A E
(1.25)
Die Proportionalitätskonstante ε0 für den leeren Raum (Index 0)
hat den Wert:
ε 0 = 8,854⋅10−12
As
Vm
(1.26)
Dieser Wert der Permittivität (Dielektrizitätskonstante, Influenzkonstante, u.a.) gilt auch für den luftgefüllten Raum.
Aufgrund der Versuchsanordnung gilt Gl. (1.25) zunächst nur im
homogenen Feld. Für den Fall eines inhomogenen Feldes
machen wir A genügend klein:
r
∆Qi = ε 0 E ∆A
(1.27)
Werden beide Seiten durch ∆A dividiert und der Grenzwert
∆A→0 gebildet:
r
ρ Fi = ε 0 E
(1.28)
mit ρFi der Flächendichte der influenzierten (oder verschobenen)
Ladung.
Vorlesungsfolien GdE I
54
1.5.2 Der Faradaysche Becherversuch
Versuch
Ein ungeladener Metallkasten (Bild 1.22), der auf einem isolierenden Fuß aufgestellt ist, besitzt auf seiner Oberseite eine kleine
Öffnung:
Bild 1.22
Durch die Öffnung wird eine kleine positiv geladene Metallkugel
in das Innere des Kastens gebracht, ohne die Wand zu berühren
(Bild 1.22 a,b).
Beobachtung:
Es wird auf der Innenseite des Kastens eine negative und außen
eine positive Ladung influenziert (verschoben) (Bild 1.22b).
Vorlesungsfolien GdE I
55
Nun wird das elektrische Feld außerhalb des Kastens (z.B. mit
einer Probeladung wie in Bild 1.8) gemessen.
Beobachtung: Das Feld außerhalb des Kastens ist unabhängig
vom Ort der Kugel innerhalb des Kastens.
Jetzt soll die Kugel den Boden des Kastens berühren (1.22c).
Beobachtung: Außerhalb des Kastens ändert sich nichts. Die
Kraftwirkung bzw. das Feld bleibt gleich.
Jetzt wird die Kugel herausgezogen (d): Das Feld ändert sich
wieder nicht, allerdings ist die Kugel nicht mehr geladen.
Erklärung:
Beim Berühren gleichen sich die Ladungen der Kugel und des
Kasteninneren aus. Die Ladung auf dem Kastenäußeren bleibt
erhalten. D.h. sie kann sich nicht mehr ausgleichen, da die
Ladung innen verschwunden ist.
Fazit:
Die Größe der influenzierten Ladungen auf der Innenund Außenseite des Kastens ist betragsmäßig jeweils
gleich der Größe der Ladung der Kugel.
Vorlesungsfolien GdE I
56
Das Ergebnis des Versuchs kann auch so gedeutet werden:
Die Kugel gibt bei Berührung im Kasten ihre ganze (hier:
positive) Ladung ab. Die Ladung wandert (wg. gegenseitiger
Abstoßung) nach außen auf die Oberfläche des Kastens. Der
Innenraum eines leitenden Hohlkörpers ist feldfrei.
Modellvorstellung: „Positive Ladungsträger“
Anschließend wird der Versuch wiederholt (Bild 1.22e), indem
in den bereits geladenen Kasten eine erneut auf den gleichen
Wert geladene Kugel eingeführt wird. Diese soll wieder den
Boden (innen) berühren.
Ihre gesamte Ladung fließt auf den Kasten ab.
Die entladene Kugel kann wieder herausgenommen werden.
Bei jedem erneuten Einführen steigt die Ladung des Kastens an.
Dieses Prinzip führte
zur Konstruktion des
Hochspannungsgenerators nach van de
Graf (van de Graf,
Robert, Jemison. 19011967, amerikanischer
Physiker)
Bild 1.23
Vorlesungsfolien GdE I
57
1.6 Die elektrische Verschiebungsdichte
1.6.1 Fluss eines Vektorfeldes
Zunächst soll für drei verschiedene Flächen A1, A2, A3 der Fluss
des Feldes zweier Punktladungen (Bild 1.24) betrachtet werden:
Bild 1.24
Die Flächen können offen oder geschlossen sein.
Der Fluss kann anschaulich durch die Zahl der Feldlinien,
die durch die Fläche treten, angegeben werden.
Vorlesungsfolien GdE I
58
Vereinbarung
Bei einer geschlossenen Fläche wird der Fluss positiv
gezählt, wenn die Feldlinien aus der Fläche heraustreten.
Beispiele:
Der Fluss durch A2 ist demnach positiv zu zählen.
Würde A2 um die negative Ladung gelegt, hätte der Fluss einen
negativen Wert.
Durch A3 treten genau gleich viele Linien ein und aus. Der
Fluss durch diese Fläche ist somit Null.
Für offene Flächen muss ein Richtungspfeil Zψ vorgegeben
werden, in dessen Richtung der Fluss positiv gezählt wird:
Bild 1.25
Vorlesungsfolien GdE I
59
r
Zur Berechnung des Flusses ψ in einem homogenen Feld B ist
der Fluss durch die Fläche A gegeben durch (Bild 1.25):
r
ψ = B A´ ,
(1.29)
denn die Zahl der Feldlinien durch eine senkrechte Fläche ist
bestimmt durch die Feldliniendichte x Fläche,
da die Feldliniendichte ein Maß für den Betrag des Feldvektors,
hier B, ist.
Außerdem ist die Zahl der Feldlinien durch A´ gleich der Zahl
der Feldlinien durch die Fläche A.
r
′
Mit A = A cos(α ) und Einführung eines Flächenvektors A gilt:
r r
ψ = B⋅ A
(1.30)
r
Der Betrag von A ist gleich der Fläche A, die Richtung entspricht der Flächennormalen.
Ist das Feld inhomogen, wie z.B. in Bild 1.24, dann zerlegt man
die Gesamtfläche
in kleine Teilflächen ∆Ai mit den Flächenr
vektoren ∆Ai (i=1,2, ..., n).
Im Bereich einer solchen Teilfläche sei das Feld homogen.
Vorlesungsfolien GdE I
60
Durch Aufsummieren aller Teilflüsse erhält man:
n
r
r
ψ = ∑ Bi ⋅ ∆Ai
(1.31)
i =1
Nun wird wieder der Grenzwert für n gegen unendlich gebildet
und man erhält:
r r
ψ = ∫∫ B ⋅ dA
(1.32)
( A)
r
Die Richtung von dA ist nach Vereinbarung bei geschlossenen
Flächen stets die nach außen zeigende Normalenrichtung.
r
Bei offenen Flächen steht dA auf der Seite, aus der Zψ herauszeigt (vgl. ∆Ai auf A3 in Bild 1.24).
Vorlesungsfolien GdE I
61
1.6.2 Der Fluss (Erregung) des elektrischen Feldes
Durch alle bisherigen Versuche ist klar, dass zwischen dem
Zustand des Raumes (= Feld) und den Ladungen ein
ursächlicher Zusammenhang besteht.
Doch die zunächst vermutete Fernwirkung (Coulombsches
Gesetz) ist tatsächlich eine Nahwirkung von Raumpunkt zu
Raumpunkt nach Faraday:
Fazit:
Nicht die Ladungen, sondern der Raum ist der Träger der
elektrischen Kräfte. Diese pflanzen sich, beginnend bei
den Ladungen, von Punkt zu Punkt im Raum fort.
(Faraday, Michael, 1791 - 1867, engl. Physiker und Chemiker)
Aus dieser Nahwirkungstheorie ergeben sich einige Fragen:
• wie lange dauert es, bis die Kraftwirkung von einer Ladung bis
zu einem bestimmten Punkt im Raum gelangt?
• welche Bedeutung hat die sich in diesem Raum befindende
Materie?
Für die Beantwortung dieser Fragen ist es noch zu früh,
aber
eine weitere Beschreibung für das elektrische Feld macht die
Antwort vorläufig noch nicht erforderlich: die el. Erregung oder
elektrische Flussdichte oder elektrische Verschiebungsdichte .
Vorlesungsfolien GdE I
62
Dazu betrachten wir nochmal Bild 1.21 a:
Quellen
Senken
Quellen
Senken
Damit folgt, dass das Feld unterhalb der Doppelscheibe, das
ursprünglich von der oberen Platte ausging, nun in der gleichen
Form von der Unterseite der unteren Scheibe ausgeht.
Gl. (1.27) beschrieb die Größe einer derartigen kleinen Quelle
(im inhomogenen Feld):
r r
∫∫ ρFidA = Qi = ∫∫ε 0 E ⋅ dA ,
( A)
(1.27*)
( A)
wobei beide Seiten über die gesamte Fläche, auf der die
Ladungen sitzen, integriert werden.
Vorlesungsfolien GdE I
63
Vergleicht man Gl. (1.27) nun mit Gl. (1.32):
r r
ψ = ∫∫ B ⋅ dA ,
( A)
dann erkennt man, dass eine neue Größe
r
r
D = ε0 E
(1.33)
r
als Fluss des Vektors E gedeutet werden kann. Diesen neuen
Vektor nennt man relektrische Verschiebung(sdichte) oder elektrische Erregung D , die rin jedem Punkt des Raumes als Ursache
des elektrischen Feldes E angesehen werden kann.
Der Betrag der elektrischen Verschiebung ist gleich der
Flächenladungsdichte der influenzierten Ladung der
Doppelscheibe:
r
ρ Fi = D
Aus dem Faradayschen Becherversuch wissen wir, dass die influenzierte Gesamtladung auf der Außenseite einer geschlossenen
Fläche gleich der eingeschlossenen Ladung Q ist (siehe Gl. (1.27)).
Vorlesungsfolien GdE I
64
r
Für den Gesamtfluss ψ D des Vektors D durch eine
geschlossene Fläche gilt dann:
r r
(1.34)
ψ D = ∫∫ D ⋅ dA = Q ,
r
wenn das Flächenelement dA beliebig zum Feld liegt. Gl. (1.34)
ist die mathematische Formulierung des Satzes von Gauß.
Gaußscher Satz:
Durch eine beliebige geschlossene Fläche ist der
Gesamtfluss der elektrischen Verschiebung (Erregung)
gleich dem Wert der Ladung innerhalb der Fläche.
(Gauß, Carl Friedrich, 1777-1855, deutscher Mathematiker,
Astronom und Physiker)
Feldquellen:
a) Einzelladungen
Bild 1.26a
Vorlesungsfolien GdE I
65
b) Raumladung
Bild 1.26b
Für den Fall a) gilt:
n
Q = ∑ Qi
(1.35)
i =1
Für Fall b) gilt
Q = ∑ ρi ∆Vi = ∫∫∫ρ dV = ∫∫∫ρ dz dy dx
V
(1.36)
xyz
Ladungen außerhalb der Fläche A dürfen nicht berücksichtigt
werden.
Vorlesungsfolien GdE I
66
Beispiel:
Bestimmung der Konstanten k im Coulombschen Gesetz.
Dazu soll Gl. (1.34) auf das Feld einer Punktladung oder einer
geladenen Kugel mit der Ladung Q angewandt werden:
Bild 1.27
Als geschlossene Fläche A um diesen Körper wählen wir wegen
der Kugelsymmetrie eine konzentrische Kugelschale.
r r r
Auf so einer Schale haben die Vektoren E , D , dA die gleiche
Richtung. Mit dem Satz von Gauß gilt:
r r
r r
Q = ∫∫ D ⋅ dA = ε 0 ∫∫ E ⋅ dA = ε 0 ∫∫ E dA.
Weiterhin ist der Betrag des el. Feldes überall auf der Kugelschale konstant, d.h. E ist keine Funktion von Θ und Φ (d.h. den
beiden Winkel der Kugelkoordinaten).
Vorlesungsfolien GdE I
67
Daher: E kann vor das Integral gezogen werden! Damit gilt:
Q = ε 0 E ∫∫ dA = ε 0 E 4π r
oder
r
1 Q
E=
4πε0 r 2
2
(1.37)
Durch Vergleich mit Gl. (1.6) erhält man:
k=
1
4πε 0
Weitere Rechenbeispiele dazu werden in den Übungen gebracht!
Vorlesungsfolien GdE I
68
1.7 Die Kapazität
1.7.1 Begriff und Berechnungsgleichung
Bei vielen Anordnungen, in denen ein elektrisches Feld vorhanden ist, interessieren oftmals nur Größen, die das Gesamtfeld von
außen her charakterisieren: z.B. die elektrische Spannung und die
elektrische Ladung.
Beides sind integrale Größen, d.h. sie werden durch Aufsummieren des Feldverhaltens längs einer Linie bzw. auf einer
Geschlossenen Fläche ermittelt.
Welcher Zusammenhang besteht zwischen U und Q am Beispiel
zweier paralleler Platten (Bild 1.33)?
Bild 1.33
Annahmen: die Ladungen seien entgegensetzt gleich groß, das
Feld zwischen den Platten sei homogen, Streufelder außerhalb
werden vernachlässigt (Annahmen treffen zu, wenn d <<l).
Vorlesungsfolien GdE I
69
Die Spannung zwischen den Platten beträgt dann
d
r r
U = ∫ E ⋅ ds = E ∫ ds = E d
Linie
0
und der Gaußsche Satz f. d. positiv geladene Platte ergibt:
r r
Q = ∫∫ D ⋅ dA ⇒ Q = D A = ε0 E A .
Die Größe E eliminiert ergibt:
Q=
ε0 A
d
U .
(1.39)
Der Proportionalitätsfaktor zwischen Q und U wird mit C
bezeichnet und Kapazität genannt.
Definition der Kapazität: Q = C U
(1.40)
Bemerkungen:
• Die Kapazität ist nur von der Geometrie und von der Materie
im Feldraum abhängig.
• Erhöht man die Spannung, erhöht sich auch die Ladung.
• Bei vorgegebener Spannung wird die Ladung umso größer, je
größer die Kapazität (= Speichervermögen) ist.
Vorlesungsfolien GdE I
70
Kapazität einer allgemeinen Anordnung aus 2 leitenden Körpern
im freien Raum:
Bild 1.34
Die beiden Körper haben die entgegengesetzt gleich große
Ladung Q. Dann beginnen und enden alle Feldlinien auf dem
entsprechenden Körper.
Die Kapazität erhält man nun aus Gl. (1.40) durch Einsetzen der
Gln. (1.34) und (1.19):
C=
Q
=
U
r r
∫∫ D ⋅ dA
A
b
r r
∫ E ⋅ ds
(1.41)
a
Dies ist die allgemeine Bestimmungsgleichung der Kapazität.
Vorlesungsfolien GdE I
71
Bemerkungen:
• Legt man die geschlossenen Fläche A um den Körper mit der
positiven Ladung (Bild 1.34), dann ist das Linienintegral vom
positiven zum negativen Körper zu berechnen (von a nach b),
damit sich für C stets ein positiver Wert ergibt.
• Die Dimension der Kapazität ist gegeben durch:
dim[Q] I2 T4
dim[C] =
=
dim[U ] ML2
• Die (abgeleitete) Einheit ergibt sich zu:
[C ] =
[Q] A s
=
[U ] V
• Da die Größe Kapazität sehr oft gebraucht wird, besitzt sie eine
eigene Einheit: das Farad (nach Faraday).
• 1 F wird für gewöhnlich nicht erreicht. Beispiel: d = 1 mm,
A = 10 cm2
−3 2
A
A
s
10
m
C = ε 0 = 8,85⋅10−12
⋅ −3 = 8,85pF
d
V m 10 m
Liegt zwischen den Platten eine Spannung von 100 V an, dann
trägt jede Platte eine Ladung von:
Q = CU = 8,85 pF ⋅ 100 V = 8,85 ⋅10 −10 As
Vorlesungsfolien GdE I
72
1.7.2 Kondensatoren und Beispiele für Kapazitätsberechnungen
siehe Übungen!
1.7.3 Zusammenschalten von Kondensatoren
Parallelschaltung
Kondensatoren werden unabhängig von ihrer tatsächlichen Bauform symbolisch als Parallelplatten gezeichnet.
Bei der Parallelschaltung (Bild 1.43) werden die Platten mit
gleichnamigen Ladungen verbunden. Weiterhin liegt an allen
Kondensatoren C1 ... Cn stets die gleiche Spannung U an.
Bild 1.43
Damit ist die Ladung der oberen Platte des i-ten Kondensator gegeben durch Qi = U Ci . Damit wird die Gesamtladung
aller zusammengeschalteten Platten einer Seite:
n
n
i =1
i =1
Qges = ∑ Qi = U ∑ Ci = U C ges
Vorlesungsfolien GdE I
73
Daraus ergibt sich für die Gesamtkapazität der Parallelschaltung:
n
C ges = ∑ Ci
(1.46)
i =1
In Worten: Bei der Parallelschaltung addieren sich die
Kapazitäten der einzelnen Kondensatoren zur Gesamtkapazität.
Reihenschaltung
Sind die Kondensatoren vor dem Zusammenschalten ungeladen,
muss nach dem Zusammenschalten und nach Aufbringen einer
Ladung über die gemeinsame Zuleitung jede der Platten den
gleichen Ladungsbetrag aufweisen.
Bild 1.44
Die jeweils miteinander verbundenen Platten tragen entgegengesetzt gerichtete Ladungen. Die Feldstärke ist hier von links
nach rechts gerichtet, d.h. die Spannungspfeile zeigen auch von
links nach rechts. Die Gesamtspannung ist die Summe der
Einzelspannungen :
Q
Ui =
Ci
Vorlesungsfolien GdE I
74
Damit ergibt sich für die Reihenschaltung:
n
n
1
1
U = ∑U i = Q∑
=Q
.
C ges
i =1
i =1 Ci
So wird die Gesamtkapazität für die Reihenschaltung
n
1
1
=∑
C ges i =1 Ci
(1.47)
In Worten: Bei der Reihenschaltung von Kondensatoren addieren
sich die Kehrwerte der Kapazitäten der einzelnen Kondensatoren
zum Kehrwert der Gesamtkapazität.
Bemerkungen:
• Voraussetzung für die Gln. (1.46) und (1.47) ist, dass sich die
Feldformen der Kondensatoren durch das Zusammenschalten
nicht ändern.
• Eine Änderung kann erfolgen, wenn sich die Streufelder
gegenseitig beeinflussen.
Beispiel:
Bild 1.45
Vorlesungsfolien GdE I
75
1.8 Energie und Kräfte im elektrostatischen Feld
1.8.1 Energie und Energiedichte
Vorüberlegungen:
In der zweiten Vorlesung wurden durch Reiben Ladungen getrennt. Da die entgegengesetzten Ladungen sich anziehen, muß
mechanische Arbeit zum Trennen der Ladungen aufgebracht
werden.
Nach dem Prinzip der Energieerhaltung entspricht diese mechanische Energie der elektrischen Feldenergie (die im elektrischen
Feld gespeichert ist).
Energie im Feld von Punktladungen
Die Arbeit, die verrichtet werden muss, um eine Ladung Q2 aus
dem Unendlichen auf den Abstand r12 an eine Ladung Q1 heranzubringen entspricht der im Feld aufgenommenen Energie WE:
r12
r12
r r
r r
WE = −W = Q2 ∫ E ⋅ ds = −Q2 ∫ E ⋅ dr ′
∞
∞
= +Q2 [Φ1 ( r12 ) − Φ1 (∞)] ,
also
WE =
Q1 Q2
.
4πε 0 r12
(1.48)
Man beachte, dass gemäß Vereinbarung die vom Feld verrichtete
Arbeit positiv gewertet wird.
Vorlesungsfolien GdE I
76
Wird nun eine weitere Ladung Q3 aus dem Unendlichen in das
Feld von Q1 und Q2 herangeholt, muss Arbeit gegen
die Gesamtkraft aufgebracht werden. Diese erhält man durch
lineare Überlagerung der Einzelkräfte. Die Gesamtarbeit ergibt
sich durch Addition der Teilarbeiten, wenn jeweils nur Q1 oder
Q2 vorhanden wäre.
z.B. 4 Ladungen Q1, Q2, Q3, Q4:
1  Q1Q2 Q1Q3 Q1Q4 Q2Q3 Q2Q4 Q3Q4 

 ,
WE =
+
+
+
+
+
4πε0  r12
r13
r14
r23
r24
r34 
damit gilt für n Ladungen mit den Abständen rik zwischen Qi und
Qk:
n −1
Qi Qk 1 1 n n Qi Qk
WE =
=
. (1.49)
∑
∑
∑∑
4πε 0 i =1 k =i +1 rik
2 4πε 0 i =1 k =1 rik
1
n
k ≠i
Der zweite Teil von Gl. (1.49) beruht darauf, dass z.B.
Q1Q2 Q2Q1
=
r12
r21
Vorlesungsfolien GdE I
gilt.
77
Fazit:
Die elektrostatische Gesamtenergie aus n Ladungen ist
gleich der Summe der Energie aller Ladungspaare.
Damit spielt es auch keine Rolle, in welcher Reihenfolge die Ladungen herangeholt werden.
Energie eines Kugelkondensators
Zunächst soll die Energie des Feldes ohne die äußere Kugel berechnet werden. Dazu wird das Potential der inneren Kugel
(Radius r1, Ladung q) benötigt:
Φ (q ) =
q
4π ε 0 r1
Durch Vergrößerung der Ladung q um eine kleine Ladung dq,
die aus dem Unendlichen herbeigeschafft wird, wird die
Energie des Feldes um dWE erhöht:
dWE = Φ (q )dq =
q
4π ε 0 r1
dq
Die Gesamtenergie erhält man durch Aufsummieren aller dWE
W ´E
WE = ∫ dWE =
0
1
4π ε 0r1
Q
∫ q dq =
0
1
8π ε 0r1
Vorlesungsfolien GdE I
Q2
(1.50)
78
Die Energie des Kugelkondensators mit der äußeren Hohlkugel
(Radius r2) könnte nun berechnet werden durch Transport von
Gegenladungen (-dq) aus dem Unendlichen an den Ort der
Innenseite der äußeren Kugel.
Durch Überlegen und Anwendung von Gl. (1.50) geht es leichter.
Zunächst wird die große, ungeladene Kugel (r2) eingesetzt (Bild
1.47a):
Bild 1.47a
Diese bildet Influenzladungen und das Feld im Außenraum
bleibt unverändert. Das Feld im Außenraum r > r2 wird durch
Ladungen der Gesamtgröße Q auf der Außenfläche
der äußeren Hohlkugel mit der Energie (Gl. (1.50)) erzeugt:
WE =
Q2
8π ε 0 r2
Vorlesungsfolien GdE I
79
Beim Kugelkondensator ist jedoch das Feld im Außenraum
Null. Daher muss die Energie des im Außenraum durch Influenz
erzeugten Feldes abgezogen werden:
WE Kugel
Q2  1 1 
 − 
=
8πε 0  r1 r2 
(1.51)
Damit erhält man die Anordnung in Bild 1.47b,
Bild 1.47b
wobei man sich vorstellen kann, dass die Ladungen der Außenseite durch einen Draht zum Potential Null („Masse“) geleitet
werden. Mit der Spannung im Kugelkondensator (s. Übung)
U=
Q 1 1
 − 
4π ε 0  r1 r2 
Vorlesungsfolien GdE I
(1.42*)
80
wird damit
WEK
2
Q
1
1
Q
= U = CU 2 =
.
2
2
2 C
(1.51a)
Energiespeicherung im beliebigen Kondensator
Es soll nun gezeigt werden, dass Gl. (1.51a) für beliebige
Kondensatoranordnungen gilt. Dazu wird nochmals Bild 1.34
verwendet:
-q
+q
Die Ladungen der Leiter seien q bzw. -q. Dann herrscht die Spannung U = q C . Dem einen Leiter wird dann die Ladung dq entzogen und zum anderen transportiert. Der dazu erforderliche
Energieaufwand beträgt:
dWE = U ( q )dq =
1
q dq
C
Vorlesungsfolien GdE I
81
Der gesamte Energie- oder Arbeitsaufwand bis zum Aufladen
auf die Ladung Q beträgt:
WE
Q
1
1 2
WE = ∫ dW ´E = ∫ q dq =
Q
C0
2C
0
Gespeicherte Energie im Kondensator
1
1 Q2 1
2
WE = CU =
= QU
2
2 C 2
(1.52)
Bestimmung der Energiedichte
Felder sind im allgemeinen inhomogen. Damit ist auch die Feldenergie inhomogen verteilt. Die Energiekonzentration kann durch
die Energiedichte beschrieben werden. Zur Bestimmung sollen
zwei dünne Metallscheiben senkrecht zu den Feldlinien
Bild 1.48
eingebracht werden.
Vorlesungsfolien GdE I
82
Diese bilden einen kleinen Plattenkondensator mit dem Volumen
∆V = ∆A ∆l . Sind die Abmessungen klein genug, ist in ihm das
Feld homogen. Der Energieinhalt ist mit den Gln. (1.52), (1.34)
und (1.19) gegeben:
1 r r r r 1 rr
∆WE = D ⋅ ∆A E ⋅ ∆l = D E ∆V
2
2
Die Energiedichte (Energie pro Volumen) ergibt sich zu:
∆WE 1 r r 1
= D E = ε0E 2
wE =
∆V
2
2
(1.53)
1.8.2 Bestimmung von Kräften aus der Energie
Zur Anwendung der elektrostatischen Energie soll die Kraft auf
die Platten eines Plattenkondensators berechnet werden, der die
Kapazität C besitze und mit Q aufgeladen sei. Da die Platten
entgegengesetzt aufgeladen sind, ziehen sie sich mit der Kraft F
an.
Prinzip der virtuellen Verscheibung: Plattenabstand wird um dz
vergrößert,
∆W = F ∆z
wobei von außen die Arbeit ∆W verrichtet werden muss.
Vorlesungsfolien GdE I
83
Die Feldenergie vor der kleinen Verrückung lautete (Gl. (1.52)):
Q2
WE =
2C
Da die Ladung auf den Platten gleich bleibt, die Kapazität sich
jedoch ein wenig ändert, gilt für die Zunahme der Feldenergie:
1
1
∆WE = Q 2 ∆( )
2
C
Gemäß dem Energiesatz (aufgebrachte Arbeit = Erhöhung der
Feldenergie) mit ∆WE = ∆W gilt:
r 1 2 ∆(1 C )
F = Q
2
∆z
(*)
Aus Gl. (1.39) folgt
1
d
 1  ∆z
=
⇒ ∆  =
C ε0 A
 C  ε0 A
Setzt man dies in (*) ein, folgt für die Kraft auf die Kondensatorplatten:
r 1 Q2
F =
2 ε0 A
(1.54)
1.8.3 Elektrostatische Spannungsmesser: nächste Vorlesung V7
1.8.4 Der elektrische Dipol: nächste Vorlesung V7
Vorlesungsfolien GdE I
84
1.9 Materie im elektrischen Feld
1.9.1 Die Feldstärke im isolierenden Stoff
Feld und Materie beeinflussen sich gegenseitig. Im Fall von leitenden Körpern wurde die Influenz bereits besprochen. Zur Betrachtung von isolierenden Stoffen im Feld diene ein Plattenkondensator mit Spannungsmesser (Bild 1.52):
Bild 1.52 a)
b)
c)
Versuch
Zunächst (a) sei der Raum zwischen den Platten leer bzw. luftgefüllt. Die Spannung habe den Wert Ua. Nun wird eine
Isolatorplatte (Glas, Kunststoff) in das Feld geschoben (b), ohne
eine der Kondensatorplatten zu berühren. Die Spannung sinkt
auf den Wert Ub. Zieht man die Isolatorplatte wieder heraus,
Vorlesungsfolien GdE I
85
stellt sich der alte Zustand (Spannung Ua) wieder ein.
Zum Vergleich wird nun eine Platte gleicher Stärke aus
leitendem Material eingebracht (c). Es stellt sich eine Spannung
Uc ein, die noch kleiner ist als Ub.
Ua > Ub > Uc
Damit gilt:
In allen drei Fällen ist ein Zu- oder Abfluss von Ladungen nicht
erfolgt, d.h. die Ladung oder Ladungsdichte auf den Platten
bleibt erhalten und ist somit gleich.
Abgesehen von Randeffekten ist die elektrische Feldstärke in den
materiefreien Räumen entsprechend E = ρF ε 0 in allen Fällen
gleich groß.
Für (a) und (c) kann man die Spannung sofort angeben werden,
da im Leiter kein Feld herrscht:
U a = E0 d
U c = E0 ( d − a )
Im Fall (b) muss gegenüber (c) noch durch den Isolator ein
Beitrag hinzukommen, da Ub > Uc ist:
U b = E0 (d − a ) + Ei a
Aufgrund der festgestellten Reihenfolge gilt:
E0d > E0 (d − a) + Ei a > E0 (d − a)
Vorlesungsfolien GdE I
86
Daraus folgt unmittelbar (linke Seite):
E0a > Ei a ⇒ E0 > Ei
und (rechte Seite)
Ei > 0
Fazit
Bei gegebener Ladung ist die Feldstärke im materieerfüllten Raum stets kleiner als im Vakuum.
Da die Isolatoren im Gegensatz zu elektrischen Leitern von einem
elektrischen Feld durchsetzt werden können, bezeichnet man diese als Dielektrika .
Im Fall der Leiter ist bekannt, dass so viele Ladungen influenziert
werden, dass das Feld im Leiter zu Null wird.
Im Fall des Dielektrikums müssen auch Oberflächenladungen angenommen werden. Deren Dichte muss jedoch kleiner sein, da ja
noch ein Feld Ei erhalten bleibt. Dieses Feld Ei ist kleiner als das
Feld außerhalb (s. Fazit).
Die im Dielektrikum erzeugten Ladungen heißen Polarisationsladungen mit der Dichte ρFpol:
Bild 1.53
Vorlesungsfolien GdE I
87
Der Gaußsche Satz wird nun angewandt auf den grauen Bereich
in Bild 1.53 und man erhält für das Feld im Dielektrikum:
r
r
Di = ε 0 Ei = ρF − ρF Pol
(1.58)
Analog zu der bekannten Beziehung (V5) ρF = D setzt man:
r
ρF Pol = P
Macht man den Übergang zu den entsprechenden Vektoren, erhält man für Gl. (1.58):
r r r
D = Di + P
(1.59)
Bemerkungen:
• Aus Gl. (1.59) geht hervor, dass sich der elektrische Gesamtfluss, der von den Kondensatorplatten ausgeht, imrInneren des
Dielektrikumsr aufteilt in eine innere Flussdichte Di und die
Polarisation rP .
• Der Vektor P hat die Richtung von den negativen zu den
positiven Polarisationsladungen.
• Gl (1.59) ist von allgemeiner
Gültigkeit.
r
• Die Polarisation P ist im einfachsten Fall proportional dem
im Inneren des Dielektrikums herrschenden elektrischen Feld:
r
P = χ ε 0 Ei = χ Di
(1.60)
Vorlesungsfolien GdE I
88
Die Konstante χ heißt elektrische Suszeptibilität und beschreibt
die Eigenschaften der Materie des Dielektrikums.
Makroskopisch ist es oftmals einfacher, das Verhalten des
Dielektrikums
und des materiefreien Raumes im Feld durch den
r
Fluss D zu beschreiben. Die Verringerung der Feldstärke
r im r
Isolator wird dadurch berücksichtigt, dass anstelle von D = ε 0 E
geschrieben wird nach Maxwell:
r
r
r
D = ε E = ε 0 ε r E.
(1.61)
(Maxwell, James Clerk, 1831 - 1879, britischer Physiker)
Mit dieser Gesamtflussdichte sind dielektrische Ladungen
verknüpft, die vorwiegend auf Oberflächen von Leitern frei
beweglich zu finden sind. Polarisationsladungen tauchen in
dieser Darstellung nicht auf, was ein großer Vorteil ist. Der
Zusammenhang lautet:
r r r r
r r
r
D = Di + P = Di + χ Di = Di (1 + χ ) = ε r Di
Damit wird:
ε r = 1+ χ
(1.62)
Man bezeichnet ε als Permittivität oder Dielektrizität und εr als
relative Permittivität.
Vorlesungsfolien GdE I
89
Einige relative Permittivitäten sind Tab. 1.1 angegeben.
Stoff
εr
Stoff
εr
Luft
Petroleum
Polyäthylen
Polystyrol
Gummi
Bernstein
1,00059
2,0
2,3
2,6
2,5 ... 3,5
2,8
Quarz
Glas
Keramik
Diamant
Nitrobenzol
dest. Wasser
3,8 ... 5
5 ... 7
9,5 ... 100
16,5
36,0
81,0
Bemerkungen:
Wird ein Kondensator mit Dielektrikum gefüllt, erhöht sich seine
Kapazität um den Faktor
εr rgegenüber Luft; denn bei konstant
r
gehaltenem Fluss D = ε 0ε r E verringert sich die Feldstärke um
denselben Faktor.
Will man also kleine Kondensatoren mit großer Kapazität bauen,
benötigt man ein Dielektrikum mit großer relativer DK. Gleichzeitig ist auch eine hohe Durchschlagfestigkeit nötig, um die
„Plattenabstände“ klein zu halten.
Es gibt Stoffe, bei denen ε r von der Richtung des Feldes abhängt.
In diesen Fällen sind die Gln (1.60) bis (1.62) nicht anwendbar.
Vorlesungsfolien GdE I
90
1.8.3 Elektrostatische Spannungsmesser
Anwendung: Kraftwirkung zwischen geladenen Leitern
Die Kraftwirkung auf geladene Leiter (siehe 1.8.2) kann zum
Bau von elektrostatischen Spannungsmessern („Elektrometer“)
verwendet werden (Bild 1.49).
A: Anschlüsse
I: Isolator
G: Goldplättchen
P: Platinschleife
D: Drahtbügel
Bild 1.49
a)
b)
Prinzip: Die Anschlussklemmen werden mit der zu messenden
Spannung verbunden. Zur Messung z.B. der Spannung eines
Kondensators wird A1 mit dem oberen und A2 mit dem unteren
Kondensatoranschluss verbunden.
Blättchenelektrometer (Bild 1.49a): Vom Kondensator fließt Ladung auf das Elektrometer. Beide Plättchen G erhalten die gleiche Ladungssorte und stoßen sich ab. Je größer die Ladungsmenge, desto stärker die Kraft auf die Blättchen.
Vorlesungsfolien GdE I
91
Gleichgewicht stellt sich durch die Schwerkraft ein. Ähnlich arbeitet das Zeigerelektrometer (siehe Buch v. R. Pregla).
Zweifadenelektrometer: Eine elastisch gespannte Leiterschleife
P wird über A1 und A2 aufgeladen. Die Drahtbügel D sind dieser
gegenüber negativ aufgeladen. Zwischen P und D ergibt sich eine
Anziehungskraft und die Leiterschleife wird breiter.
Spannungsmessung: Am jeweiligen Elektrometer und dem zu
messenden Objekt (Kondensator) liegt die gleiche Spannung an
(Parallelschaltung). Die Auslenkung ist proportional zur Spannung.
Problem: Ein Elektrometer hat eine kleine Kapazität. Diese
ändert sich mit zunehmendem Ausschlag. Ist die Eigenkapazität
nicht sehr viel kleiner als die zu messende, wird das Ergebnis verfälscht. Sind beide Kapazitäten bekannt, kann man die
Verfälschung herausrechnen (= Fehlerkorrektur).
1.8.4 Der elektrische Dipol
Ein elektrischer Dipol besteht aus zwei Punktladungen +Q und
-Q im festen Abstand d (Bild 1.50a).
Bild 1.50a
Vorlesungsfolien GdE I
92
Bestimmung des Dipolpotentials
Man kann sich vorstellen, dass die Ladungen durch einen festen
isolierenden Stab miteinander verbunden sind. Das zugehörige
Feldbild ähnelt Bild 1.12a:
Bild 1.12a*
Das Potential im Aufpunkt P könnte durch lineare Überlagerung
der Potentiale zweier Punktladungen sofort bestimmt werden:
ΦD ( P ) =
Q 1 1
 −  .
4πε 0  r1 r2 
(*)
Aber es geht auch anders. Mit Gl. (1.49) für drei Ladungen +Q,
-Q und Q1 in P gilt f. d. Feldenergie:
ΦD Q1 = WE =
Q1 Q
Q (−Q)
+ 1
4π ε 0 r1 4π ε 0 r2
Zur Erinnerung: Q1 wird erst in Feld von Q gebracht, dann in
das von -Q.
Vorlesungsfolien GdE I
93
Division durch Q1 und Zusammenfassen ergibt das bekannte
Ergebnis (*):
Q 1 1
 − 
ΦD ( P ) =
4π ε 0  r1 r2 
(1.55)
Annahme: P weit entfernt (r >> d, „Fernfeldnäherung“)
Nun soll P weit entfernt sein vom Dipol, d.h. der Abstand d << r.
Gleichzeitig heißt das auch, dass r1 und r2 nahezu parallel
verlaufen (Bild 1.50b):
Bild 1.50b
Jetzt kann für r1 und r2 unter Berücksichtigung des Winkels ϑ
geschrieben werden:
r1 ≈ r −
d
cosϑ
2
r2 ≈ r +
d
cosϑ ,
2
wobei r den Abstand der Mitte des Dipols zu P bezeichnet.
Vorlesungsfolien GdE I
94
Den Klammerausdruck in Gl. (1.55) mit diesen Näherungen
ersetzt, ergibt:
1 1 r2 − r1
d cos ϑ
− =
≈
d
d
r1 r2
r1 r2
(r − cos ϑ ) (r + cos ϑ )
2
2
d cos ϑ
d cos ϑ
=
≈
2
2
r
d


r 2 −  cos ϑ 
2

Im Nenner vor der zweiten Näherung kann der rechte Teil vernachlässigt werden, da cosϑ ≤ 1 und r >> d ist.
Für das Dipolpotential gilt mit diesen Näherungen:
ΦD ( r , ϑ ) ≈
Qd cosϑ
4πε 0 r 2
Achtung: das Dipolpotential ist proportional r -2, da im Zähler die
Dimension einer Länge (d) steht!
r
Gibt man nun den Ort von P durch einen
r Vektor r an, und der
finiert ein Dipolmoment durch p = Qd, dann gilt:
r r
r r
p
r cos ϑ Q d cos ϑ
p⋅r
ΦD =
=
=
3
3
4πε 0 r
4πε 0 r
4πε 0 r 2
(1.56)
r
Wichtig: p zeigt von -Q zu +Q.
Vorlesungsfolien GdE I
95
Dipol im elektrischen Feld:
r
r
Nun befinde sich ein Dipol (Dipolmoment p = Q d ) im homogenen elektrischen Feld (Bild 1.50c):
Bild 1.50c
r
Dieses wirkt mit zwei entgegengesetzt gleichgroßen Kräften F
auf den Dipol. Der Abstand der Kräfte ist d sinα . Diese
Kräfte werden als „Kräftepaar“ bezeichnet, die einem Drehmoment entsprechen. Damit wird der Dipol um eine Achse gedreht, die senkrecht auf der Ebene des Kräftepaars steht.
Das Drehmoment ist also ein Vektor, mit dem Betrag
„Kraft x Hebelarm“, dessen Richtung senkrecht zu beiden
Vektoren ist. Sein Richtungssinn lässt sich mit der Schraubenregel (s.u.) bestimmen.
Vorlesungsfolien GdE I
96
r
Veranschaulichung
eines Drehmoments Td durch das Kräfter
paar F im Abstand d:
Bild 1.51
Aus Bild 1.50c geht hervor:
r
r
r
r r
Td = F d sinα = Q E d sinα = p E sinα
Dies wird verkürzt und aussagekräftiger folgendermaßen geschrieben:
r
r r
Td = p × E
(1.57)
Dieses Vektorprodukt zweier Vektoren ergibt wieder einen
Vektor, dessen Betrag dann maximal ist, wenn der Winkel zwischen beiden Vektoren 90° ist, und Null wird, wenn die Vektoren
parallel sind (d.h. Sinus). Dessen
r Richtung wird gebildet,
indem der erste Vektor (hier p ) mit den Fingern der rechten
Hand rauf kürzestem Weg in den zweiten Vektor gedreht wird
(hier E ). Dann zeigt der Daumen in Richtung des Produktvektors
(= Schraubenregel).
Vorlesungsfolien GdE I
97
1.9.2 Grenzfläche zwischen zwei Dielektrika
In Kapitel 1.9.1 wurde gezeigt, dass die elektrische Feldstärke
am Übergang von Luft zum Isolator sprunghaft kleiner wird
von E0 auf E0 / ε r .
Zur Erinnerung sei nochmals Bild 1.53 gezeigt:
Bild 1.53*
Da der Einfall des Feldes auf die Grenzfläche senkrecht ist,
bleibt in diesem Beispiel die Richtung erhalten.
Im Bild 1.54 ist der allgemeine Fall gezeigt, in dem die Feldlinien nicht unter 90° auf die Grenzfläche auftreffen,
Bild 1.54a
Vorlesungsfolien GdE I
98
sondern zur Flächennormalen einen Winkel α1 aufweisen.
Unter der Annahme, dass im Medium 2 Betrag und Richtung der
el. Feldstärke anders sind als in Medium 1 (Bild 1.54a), müssen
an der Grenzfläche von 1 auf 2 folgende allgemeingültige Bedingungen für elektrostatische Felder erfüllt sein:
1. Wirbelfreiheit
2. Gaußscher Satz.
Zur Formulierung der Wirbelfreiheit muss ein Linienintegral
längs eines geschlossenen Weges gebildet werden. Dazu wird
das in Bild 1.54b eingezeichnete Rechteck gewählt,
Bild 1.54b
das die Grenzfläche mit einbezieht, eine zur Fläche parallele
Ausdehnung d hat und dessen Schmalseiten h infinitesimal klein
sind.
Vorlesungsfolien GdE I
99
Unter diesen Annahmen gilt für das Linienintegral:
r r
∫ E ⋅ ds = Et1 d − Et 2 d = 0
Rechteck
Die Rechteckseite d ist genügend klein zu wählen, dass innerhalb
von d die Feldstärke konstant ist. Weiterhin sind die
Tangentialkomponenten von E1 und E2 parallel zu den Seiten d
des Rechtecks. Damit ergibt sich aus obigem Linienintegral:
(1.63)
Et1 = Et 2
die Stetigkeit der Tangentialkomponenten des elektrischen Feldes
an Grenzflächen.
Zur Auswertung des Gaußschen Satzes soll nun eine „Schuhcremedose“ eingezeichnet werden, die wiederum die Grenzfläche
mit einbezieht. Als Schnitt durch die Dose kann wieder
Bild 1.54b betrachtet werden.
Die Größe der Deckel- und Bodenflächen
r
r seien durch A gegeben.
Einen Beitrag zur Flussdichte D = ε E liefern wegen der
infinitesimal kleinen Höhe der Seitenfläche nur die Integrale über
Deckel und Boden:
r r
∫∫ D ⋅ dA = −Dn1 A + Dn2 A = 0
,
(1.64)
Schuhcremedose
wenn an der Grenzfläche keine freie Ladungen vorhanden sind.
Vorlesungsfolien GdE I
100
Daraus folgt:
Dn1 = Dn 2
die Stetigkeit der Normalkomponenten der elektrischen Flussdichte an Grenzflächen mit:
Dn1 = ε r1 ε 0 En1 , Dn 2 = ε r 2 ε 0 En 2 .
Fazit:
An einer Grenzfläche zwischen Dielektrika verhalten sich
die Tangentialkomponente der elektrischen Feldstärke und
die Normalkomponente der el. Flussdichte stetig.
Die Winkel der ein- und austretenden Feldstärkevektoren an der
Grenzfläche sind gegeben durch (Bild 1.54a):
tan α1 =
und damit
Et1
Et1
=
En1 Dn1 / (ε 0 ε r1 )
Et 2
Et 2
tanα2 =
=
En2 Dn2 (ε 0 ε r 2 )
(1.65)
tan α1 Et1 Dn 2 ε 0ε r1 ε r1
=
=
tan α 2 Et 2 Dn1 ε 0ε r 2 ε r 2
Vorlesungsfolien GdE I
101
1.9.3 Betrachtung der Polarisation im atomaren Bereich
Die Polarisation aus 1.9.1 (V6) soll jetzt auch für den atomaren
Bereich betrachtet werden. Grundsätzlich gibt es zwei Möglichkeiten: die Orientierungs- und die Verzerrungspolarisation.
1. Orientierungspolarisation
Die Moleküle etlicher Dielektrika haben ein permanentes Dipolmoment, wobei die Dipole im Medium frei drehbar sind. Ein
Beispiel ist das Wassermolekül (Bild 1.55a),
Bild 1.55a
in dem das Sauerstoffatom eine mittlere negative und die beiden
Wasserstoffatome eine mittlere positive Ladung tragen.
Die Schwerpunkte beider Ladungsverteilungen sind räumlich
r
voneinander getrennt, so dass ein Dipolmoment p wirksam ist.
In einer großen Menge solcher Moleküle sind normalerweise
die einzelnen Dipole ungeordnet, d.h. nach außen ist die
Gesamtwirkung gleich Null.
Vorlesungsfolien GdE I
102
Dieser Zusammenhang ist in Bild 1.55b dargestellt:
1.55b
1.55c
Legt man nun von außen ein Feld an (1.55c), richten sich diese
kleinen Dipole je nach Stärke des Feldes mehr oder weniger im
Feld aus. Die völlige Ausrichtung wird durch die Wärmebewegung verhindert.
2. Verzerrungspolarisation
Die zweite Möglichkeit der Polarisation besteht darin, dass die
Atome/Moleküle selbst im Feld verzerrt werden. Das kommt daher, dass Kern und Hülle in verschiedene Richtungen gezogen
werden, weil sie unterschiedlich geladen sind .
Auch hier resultiert eine räumliche Trennung von positiver und
r
negativer Ladung. Es entsteht ebenfalls ein Dipolmoment p .
Orientierungs- und Verzerrungspolarisation kommen in der
Natur gemeinsam vor.
Vorlesungsfolien GdE I
103
Die Verzerrungspolarisation ist schematisch in Bild 1.56 gezeigt:
Bild 1.56
Für die äußere Wirkung ist es belanglos, welche Art der Polarisation vorherrscht.
Angenommen es existieren N Dipolerpro Volumeneinheit mit
r
dem effektiven Dipolmoment p = Qh in Feldstärkerichtung,
dann ist das Dipolmoment pro Volumen:
r
r
r
P = N p = N Qh ,
(1.66)
r
wobei P der bereits bekannte Polarisationsvektor ist.
Vorlesungsfolien GdE I
104
Auf ein großes Volumen mit rechteckigem Querschnitt übertragen heißt das, dass da, wo das elektrische Feld eintritt, und da,
wo es austritt, eine Oberflächenladung vorherrscht. Innerhalb des
Volumens gleichen sich die Ladungen makroskopisch gesehen
aus.
Bild 1.57
Wie in Bild 1.57 gezeigt, ist die Schichtdicke der Oberflächenladung durch die Größe h beschrieben (Bild 1.56):
ρ FPol = N h Q
(1.67)
r
Dies entspricht dem Betrag des Vektors P in Gl (1.66). Im inhomogenen Feld können auch im Inneren von Dielektrika Polarisationsladungen auftreten und eine Raumladung bilden.
Vorlesungsfolien GdE I
105
1.9.4 Energie und Kräfte in Feldern mit Dielektrika
Vorausgesetzt ε r ist eine Konstante, dann kann für die Energiedichte aus Gl. (1.53) auch geschrieben werden:
r2
1 r r 1
w = D ⋅ E = ε0εr E
2
2
(1.68)
Für Gl. (1.54) kann dies im Falle fester Dielektrika so nicht gemacht werden, da die Kraft der Leiter auf das Dielektrikum zu
mechanischen Spannungen führt, wobei mechanische Energie
und gelegentlich auch die elektrischen Eigenschaften geändert
werden (siehe Piezoeffekt).
In Bild 1.58 ist ein Dielektrikum im inhomogenen Feld gezeigt.
Durch das el. Feld werden Polarisationsladungen erzeugt (und
zwar umso mehr, je größer das Feld ist):
Bild 1.58
Auf den dielektrischen Körper wirkt daher eine Kraft, die ihn in
Richtung zunehmender Feldstärke hinbewegen will. Die Inhomogenität des Feldes ist auch hier wesentlich für die Kraftwirkung.
Vorlesungsfolien GdE I
106
2. Der elektrische Strom
2.1 Der einfache Stromkreis: Die elektrische Stromstärke
Bisher waren Ladungen immer als in Ruhe befindlich betrachtet
worden. Jetzt sollen sich diese bewegen.
Bewegung von Ladung findet z.B. statt, wenn das elektrische
Feld eines Kondensators abgebaut wird. Dazu muss ein Ladungsausgleich stattfinden. Konkret heißt das, dass die überschüssigen Elektronen der negativ geladenen Platte
zur positiv geladenen fließen müssen. In Bild 2.1 ist gezeigt, wie
durch äußere Beschaltung der Ladungsaustausch möglich ist:
Bild 2.1
Gleichzeitig wird der Zerfall des Feldes durch einen Spannungsmesser angezeigt. Besteht der Verbindungsleiter aus Kupfer,
oder einem anderen guten Leiter, erfolgt der Ausgleich fast
augenblicklich. Verwendet man jedoch einen schlechten Leiter,
dauert es deutlich länger.
Vorlesungsfolien GdE I
107
Verwendet man unterschiedliche Leiter zum Ladungsausgleich,
stellt man fest, dass es unterschiedlich lange dauert, bis die
gespeicherte Ladung von einer Platte zur anderen gelangt.
Oder anders gesprochen: der elektrische Strom ist bei jeweils
gleicher Spannung abhängig vom jeweiligen Leiter.
Definition: Elektrische Stromstärke
Die elektrische Stromstärke I ist der Quotient aus der Ladung ∆Q,
und der Zeit ∆t, während der die Ladung durch einen gegebenen
Querschnitt fließt.
Also:
∆Q
I=
∆t
(2.1)
Die Einheit ist gemäß dem MKSA-System Ampere (A). Im
allgemeinen ist die Stromstärke zeitlich variabel. Um den Augenblickswert zu erhalten, muss ∆t infinitesimal klein werden:
Definition:
∆Q dQ
I = lim
=
∆t → 0 ∆t
dt
(2.2)
Auch im Beispiel der Kondensatorentladung ist der Strom
zeitabhängig, d.h. nicht konstant, er nimmt hierbei ab.
Vorlesungsfolien GdE I
108
Einen zeitlich konstanten Strom erhält man, wenn die Spannung
an den Anschlussklemmen konstant bleibt. D.h. es muss
eine Quelle für Ladungsträger geben, welche die durch den
Strom abgeflossenen Ladungen ersetzt. Die Spannung kann als
treibende Kraft der Ladungsträgerbewegung angesehen werden.
Man bezeichnet diese daher als Quellenspannung.
Eine derartige Quellenspannung könnte z.B. durch Influenz
erzeugt werden (van de Graaf Generator ). Allerdings sind mit
diesem keine hohen Ströme zu erzielen.
Besser eignen sich zu diesem Zweck chemische Vorgänge, wie
sie in Akkumulatoren verfügbar sind.
Wie auch immer die Anordnung beschaffen ist, in jedem Fall
muss Energie aufgewendet werden. Entscheidend ist,
dass zwischen zwei Klemmen die Spannung U vorherrscht. Anstelle einer realen Anordnung wird das allgemeine Schaltsymbol
für die ideale (Gleich-) Spannungsquelle (Bild 2.2) verwendet:
Bild 2.2
Vorlesungsfolien GdE I
109
Der Pfeil in Bild 2.2 zeigt in Richtung vom höheren zum niedrigeren Potential, er ist somit ein Zählpfeil, kein Vektor.
Feldtheoretisch gesehen zeigt er in Richtung des Integrationsweges des Linienintegrals (der Feldstärke über dem Weg).
Verbindet man jetzt die Pole der Spannungsquelle, fließt vom
„+“ Pol zum „-“ Pol ein Strom (technische Stromrichtung). Es
besteht ein geschlossener Stromkreis. An jeder Stelle fließt ein
Strom konstanter Stärke.
Es existiert keine Ladungsspeicherung. D.h. die Ladungsmenge,
die auf einer Seite zufließt, fließt auf der anderen Seite
wieder ab.
2.2 Stromstärke und Stromdichte
Der Strom ist eine integrale (makroskopische) Größe. Die zugehörige lokale
(mikroskopische) Größe ist die elektrische Stromr
dichte J, die als Vektor definiert ist. Die Richtung entspricht der
der positiven Ladungsträger.
Zur Beschreibung soll eine positive Raumladung betrachtet werr
den mit der Dichte ρ und der Geschwindigkeit v (Bild 2.3).
In dem infinitesimal kleinen Volumen befindet sich die
Ladungsmenge dQ .
r
dQ = ρ ds dA cos α .
Vorlesungsfolien GdE I
110
Bild 2.3
In der Zeit dt bewege sich die Ladung um ds = v dt . Dabei hat
die Ladung dQ die Fläche dA passiert. Damit ergibt sich für den
Strom dI durch die Fläche:
dI =
dQ
ds
= ρ dA cosα = ρ v dA cosα
dt
dt
Die Stromdichte erhält man durch Division obiger Gleichung
durch die Fläche, die senkrecht zur Strömungsrichtung
durchflossen wird:
dA⊥ = dA cosα .
Für den Stromdichtevektor erhält man somit:
r
r
J = ρv
Vorlesungsfolien GdE I
(2.3)
111
Den gleichen Betrag der Stromdichte erhält man also entweder
durch eine hohe Ladungsträgerdichte mit kleiner Geschwindigkeit, oder umgekehrt aus einer geringen Dichte mit hoher
Geschwindigkeit.
Gl (2.3) wurde für positive Ladungsträger abgeleitet. Mikroskopisch betrachtet sind jedoch Elektronen die Träger des Stroms,
die sich in negative Feldrichtung bewegen. Das jedoch entspricht
in den meisten Fällen der Bewegung positiver Teilchen mit der
Feldrichtung.
r
Definiert man für die Fläche dA den Flächenvektor dA , dann
kann man
r r
v dA cos α = v ⋅ dA
als Skalarprodukt schreiben. So erhält man:
r r r r
dI = ρ v ⋅ dA = J ⋅ dA
(2.4)
Den Gesamtstrom I durch die gesamte Fläche A erhält man durch
Aufsummieren aller dI durch alle dA:
r r
I = ∫∫ J ⋅ dA
(2.5)
A
Der Strom ist eine skalare Größe. Er hat dann ein positives Vorzeichen, wenn der Stromdichtevektor die Fläche in Richtung des
Flächenvektors durchtritt.
Vorlesungsfolien GdE I
112
2.3 Strömung im Metall: Ohmsches Gesetz
Modellvorstellung
Metalle bestehen aus Elementen oder Mischungen von Elementen, die in kristalliner Form vorliegen. In diesen Kristallverbänden sind die äußeren Elektronen, die eigentlich gebunden sind,
quasi frei beweglich. Gleichzeitig führen die Rumpfatome im
Gitter aufgrund ihrer thermischen Energie Schwingungen aus.
Wird ein Elektron aus dem Atomverbund abgegeben, bleibt ein
positiv geladenes Ion übrig. Im Mittel ist die Zahl der positiven und negativen Ladungsträger gleich groß. Man bezeichnet
diesen Zustand als quasineutral.
Wird im Leiter ein elektrisches Feld erzeugt (z.B. durch
Anschließen einer Spannungsquelle), werden die Elektronen gegen
die Feldrichtung beschleunigt. Da sie nach einer kurzen
Wegstrecke (= mittlere freie Weglänge) durch Stöße mit den
Gitteratomen abgebremst werden, erreichen sie eine endliche
Geschwindigkeit. Diese wird mittlere Driftgeschwindigkeit
genannt und ist der el. Feldstärke proportional:
r
r
v = −µe E
(2.6)
mit µe der Beweglichkeit der Elektronen. Setzt man (2.6) in (2.3)
ein:
r
r
r
r
J = ρ v = −ρµe E = −(−ne)µe E
(2.7)
mit n der Zahl der Leitungselektronen pro Volumen und -e der
Ladung eines Elektrons,
Vorlesungsfolien GdE I
113
dann kann man für die Stromdichte auch schreiben:
r
r
J =σ E
(2.8)
Dies ist das Ohmsche Gesetz in differentieller Form. Die Proportionalität wird durch die spezifische elektrische Leitfähigkeit
σ hergestellt, die die Materialeigenschaften kennzeichnet. Anstatt σ wird gelegentlich auch κ geschrieben (z.B. Pregla).
In Tabelle 2.1 sind für einige Metalle und Metalllegierungen die
spezifische elektrische Leitfähigkeit σ und der spezifische elektrische Widerstand ρR bei 20°C angegeben:
Leiter
σ in S m/mm2 ρR in Ω mm2/m
α20 in 10-3 K-1
Silber
Kupfer
Gold
Aluminium
Wolfram
Messing
Eisen
Platin
Neusilber
Konstantan
Kohle
62,5
56
44
35
18
14 ... 11
10 ... 7
9 ... 7
3,33
2,0
0,02 ... 0,01
3,8
3,93
4,0
3,77
4,1
1,5
4,5 ... 6
2 ... 3
0,35
-0,0035
-0,2 ... -0,8
0,016
0,01786
0,023
0,02857
0,055
0,7 ... 0,09
0,1 ... 0,15
0,11 ... 0,14
0,30
0,50
50 ... 100
Tabelle 2.1
Vorlesungsfolien GdE I
114
Bestimmung des elektrischen Widerstandes
Es soll nun (ähnlich der Kapazität) eine Größe gesucht werden,
die die Gesamtwirkung eines elektrischen Leiters beschreibt.
Dazu wird ein zylindrischer Metallkörper betrachtet:
Bild 2.4
Dieser habe die Länge l und den konstanten Querschnitt A. Seine
Enden seien mit den Polen einer Spannungsquelle verbunden.
Aufgrund der gleichmäßigen Struktur stellt sich ein homogenes
elektrisches Feld ein (bis auf die Enden). Ist die Länge sehr viel
größer als die Querabmessungen, dann ist die Feldverzerrung an
den Enden vernachlässigbar und die Spannung hat den Wert:
r
U= El
Bei homogener el. Feldstärke ist auch die Stromdichte überall
gleich und der Strom durch die Querschnittsfläche A ist
gegeben durch:
r
r
I = J A =σ E A
Vorlesungsfolien GdE I
115
Ineinander eingesetzt (E eliminiert) ergibt sich:
U=
mit
R=
I
l = RI
σA
l
σA
= ρR
l
A
(2.9)
(2.10)
Aus Gl. (2.9) geht hervor, dass der Strom im Leiter und die
Spannung an seinen Enden linear miteinander verknüpft sind.
Dies ist das Ohmsche Gesetz (Ohm, Georg Simon,
1789 - 1854, deutscher Physiker).
Die Konstante R heißt elektrischer Widerstand. Gl (2.9) kann
auch geschrieben werden zu:
I=
1
U = GU
R
(2.11)
mit dem elektrischen Leitwert G. Die Einheit für den Widerstand
lautet Ohm (Ω) und für den Leitwert Siemens (S). Es gilt
1
1 Ω = 1V/A =
S
Beide Größen charakterisieren das elektrische Gesamtverhalten
eines Leiters. Der Widerstand R bleibt konstant, solange die physikalische Beschaffenheit des Leiters nicht geändert wird.
Vorlesungsfolien GdE I
116
Zum Praxisbezug des elektrischen Widerstandes:
Leiter mit einem bestimmten Widerstand werden selbst auch
Widerstand genannt. Diese werden in der Elektrotechnik als Bauelemente eingesetzt. Je nach Anwendung werden sie in verschiedenen Größen und Formen gebaut. Häufig bestehen sie aus aufgewickeltem Draht oder aus einer Kohleschicht.
1+2: Hochlastwiderstände
3:
Metallbandwiderstand
4 - 7: Schichtwiderstände
8:
SMD (Surface Mounted Device) Widerstand
9 - 12: Trimmer
13: Potentiometer
Vorlesungsfolien GdE I
117
Der Widerstand eines beliebig geformten Leiters, für den
Gl. (2.8) gilt, berechnet sich zu:
b
r r
E ⋅ ds
∫
U
1
R= = a r r =
I ∫∫ J ⋅ dA σ
A
b
r r
∫a E ⋅ ds
r r
∫∫ E ⋅ dA
(2.12)
A
Die Integrationsgrenzen a und b bezeichnen die Anschlusspunkte
und A die Querschnittsfläche, durch die der Strom fließt. Die
Zählrichtung für den Strom muss mit der Integrationsrichtung für
die Spannung übereinstimmen. Die Zählrichtung muss
also die Richtung von a nachrb haben. Damit ist auch die Richtung des Flächenelements dA festgelegt.
Vorlesungsfolien GdE I
118
3. Gleichstromschaltungen
3.1 Strom und Spannung im einfachen Stromkreis
Bisher wurde ein einfacher Stromkreis aus Spannungsquelle und
Verbraucher (Widerstand) besprochen. Jetzt soll für den Widerstand als allgemeines Schaltsymbol das Rechteck eingeführt
werden (Bild 3.1). Zahlenangaben am Schaltsymbol geben den
Widerstand in Ω an:
R=30 Ω
R=2.7MΩ
2.7 M
30
Ein einfacher Stromkreis mit den zugehörigen Verbindungsleitungen ist in Bild 3.1 gezeigt.
Bild 3.1
Vorlesungsfolien GdE I
119
Zum Leitungswiderstand:
Angenommen, die Verbindungsdrähte von den Anschlussklemmen des Generators zum Verbraucher haben eine unendlich
hohe Leitfähigkeit, dann ist die Spannung U am Verbraucher
gleich der Spannung UG der Quelle.
In der Praxis haben Verbindungsdrähte einen endlichen Widerstand, daher ist die Spannung am Verbraucher kleiner als die an
der Quelle.
Wenn der Querschnitt der Verbindungsdrähte im Vergleich zur
Länge sehr klein ist, kann eine homogene Stromverteilung
angenommen werden.
Ersatzwiderstand der Verbindungsleitung:
In Bild 3.2 ist gezeigt, wie man sich die Leitungswiderstände in
den Widerständen RL1 und RL2 konzentriert vorstellen kann. Die
eingezeichneten Leitungen sind nun widerstandslos. In Zukunft
sollen Verbindungsdrähte stets widerstandslos / ideal sein.
Bild 3.2
Vorlesungsfolien GdE I
120
Potenzialverlauf:
Jetzt soll der Potenzialverlauf der Schaltung in Bild 3.2
angegeben werden. Beginnend am Punkt 1 wird die Schaltung im
Uhrzeigersinn durchlaufen. Als Verbraucher wurde ein Ohmscher Widerstand Rv gewählt. Das Potenzial am Punkt 1 sei Φ1,
das beliebig gewählt werden kann. Ist Punkt 1 mit Masse (Erde)
verbunden, gilt nach Vereinbarung Φ1 = 0. Der Potenzialverlauf
ist in Bild 3.3 gezeigt:
Bild 3.3
Im Generator (Quelle) wird das Potenzial um UG angehoben, so
dass sich die vorgegebene Quellenspannung einstellt.
Vorlesungsfolien GdE I
121
In den Widerständen nach Punkt 2 fällt das Potenzial linear, da
die Bewegung jetzt in Richtung der Feldstärke verläuft (in der
Quelle war die Bewegung gegen die Feldrichtung). Entlang der
idealen Verbindungsleiter bleibt das Potenzial konstant. Nach
einem vollständigen Umlauf muss das Ausgangspotential
wieder erreicht werden.
Daher gilt für den vollständigen Umlauf:
0 = −U G + U L1 + U + U L2
(3.1)
Nach dem Ohmschen Gesetz gilt:
UL1 = I RL1 ,
U = I RV ,
UL2 = I RL2
(3.2)
In Gl. (3.1) eingesetzt ergibt:
UG
U G = I ( RL1 + RV + RL2 ) ⇒ I =
RL1 + RV + RL2
(3.3)
Als Spannung am Verbraucher erhält man:
U = I RV =
RV UG
RL1 + RV + RL2
Vorlesungsfolien GdE I
(3.4)
122
3.2 Zweipole
Zählpfeile:
Die Schaltung in Bild 3.2 beinhaltet einzelne Elemente, die alle
zwei Pole besitzen. Diese werden allgemein als „Zweipole“
bezeichnet. Das elektrische Verhalten eines Zweipols ist durch
dessen „Strom-Spannungs-Charakteristik“ gekennzeichnet:
I = f(U)
Dabei werden die Strom- und Spannungszählpfeile gemäß Bild
3.4 zugeordnet. Diese Zuordnung wird „Verbraucherzählpfeilsystem“ genannt:
Bild 3.4
Im Verbraucherzählpfeilsystem ist die aufgenommene Leistung
P=U I positiv.
Vorlesungsfolien GdE I
123
Ebenso ist es auch möglich, die Zählpfeile von U und I entgegengesetzt einzuzeichnen. In diesem Fall ist die abgegebene
Leistung positiv. Dies bezeichnet man als
„Generatorzählpfeilsystem“.
Ersatzzweipol:
Auch eine Schaltung von mehreren Elementen kann zu einem
Zweipol zusammengefasst werden, wenn nur das Verhalten an
diesen beiden Polen interessant ist (Bild 3.4a) oder wenn die
Schaltung nur an diesen zugänglich ist. In Bild 3.4c ist eine
ideale Diode gezeigt. Diese kann durch Zuschalten eines
Widerstandes in eine realere Diode umgewandelt werden. Auch
dann würde man von einem Zweipol sprechen.
Lineare, passive Zweipole:
Zweipole, die der Beziehung I = G U genügen, wobei G positiv
und unabhängig von U ist, werden als linear und passiv
bezeichnet. Passiv bedeutet, dass im Zweipol keine Quelle
enthalten ist. Von den bisher besprochenen Elementen sind nur
Widerstände und Kombinationen von diesen als linear und passiv
zu bezeichnen.
Realer Generator:
Im Abschnitt 3.1 war der Generator zunächst als ideal angesehen
worden, d.h. die Generatorspannung UG war unabhängig von der
Belastung (vom Strom I).
Vorlesungsfolien GdE I
124
Misst man jedoch im Betrieb einer realen Quelle die Spannung
während ein Strom I fließt, dann stellt man fest, dass sich in
Abhängigkeit von diesem Belastungsstrom I die Spannung UG
gemäß Bild 3.5 ändert.
Dieser lineare Abfall ist durch einen sog. Innenwiderstand innerhalb der realen Quelle erklärbar.
Bild 3.5
Die Ersatzschaltung für eine reale Quelle wird im folgenden
Kapitel erläutert, wenn die allgemeinen Gesetze der Zusammenschaltung von Zweipolen besprochen werden.
Vorlesungsfolien GdE I
125
3.3 Zusammenschaltung von Zweipolen die Kirchhoffschen Regeln
In der Realität der Schaltungstechnik ist es notwendig, einzelne
Zweipole zu verzweigten Netzwerken zusammenzuschalten.
In Bild 3.6 ist so ein Netzwerk gezeigt, das aus mehreren
Zweigen besteht. Die Punkte, an denen mindestens zwei Zweige
zusammenstoßen, werden Knoten genannt.
Bild 3.6
Zur Beschreibung der Ströme und Spannungen in den Zweigen,
gibt es Gesetze, die für die Knoten und Maschen im Netzwerk
aufgestellt werden.
Als Masche soll ein beliebiger, geschlossener Weg im Netzwerk
bezeichnet werden.
Vorlesungsfolien GdE I
126
Betrachtet man zunächst einen Knoten (Bild 3.7 a), und geht man
davon aus, dass keine Ladungsspeicherung im Knoten stattfindet,
dann erhält man die Kirchhoffsche Knotenregel.
Bild 3.7a
Diese besagt, dass alle auf den Knoten zufließenden und vom
Knoten abfließenden Ströme sich zu Null addieren:
m
∑I
n
=0
(3.5)
n =1
Üblicherweise werden die zufließenden Ströme positiv, die
abfließenden negativ gezählt.
Vorlesungsfolien GdE I
127
Für Bild 3.7 a gilt daher:
m
∑I
n
= I1 + I 2 − I 3 + I 4 + I 5 = 0
n =1
Die Kirchhoffsche Knotenregel kann auch allgemeiner gefasst
werden. Dazu betrachtet man Bild 3.7 b, in dem eine beliebige
geschlossene Fläche in ein Netzwerk gelegt wird.
Bild 3.7b
Auch hier gilt mit gleicher Vorzeichenkonvention:
I1 + I 2 + I3 + I 4 − I5 + I 6 = 0
Vorlesungsfolien GdE I
128
Für das zweite Gesetz wird eine beliebige Masche in Bild 3.8
betrachtet. Beim Durchlaufen einer Masche erhält man an jedem
Zweipol eine Spannung. Ein geschlossener Umlauf ergibt in
Summe die Spannung Null, da man wieder zum Ausgangspunkt
mit gleichem Potenzial zurückkommt.
Bild 3.8
Diese Gesetzmäßigkeit wird Kirchhoffsche Maschenregel
genannt:
∑U
n
=0
(3.6)
n
Vorlesungsfolien GdE I
129
Im Fall von Bild 3.8 erhält man, wenn man sich die Umlaufrichtung wie eingezeichnet vorgibt:
U1 + U5 + U4 −U3 + U2 = 0
Beide Regeln sind für die Schaltungstheorie von zentraler Bedeutung. Allerdings können diese auch z.B. auf ein verzweigtes
Rohrsystem mit inkompressiblen Flüssigkeiten angewandt
werden. In diesem Fall entspricht der Flüssigkeitsstrom dem
elektrischen Strom, der Druckabfall in den Rohren dem elektrischen Spannungsabfall im Widerstand. Die Spannungsquelle
wird durch eine Pumpe ersetzt.
Nun soll die Maschenregel auf das Ersatzschaltbild einer realen
Spannungsquelle in Bild 3.9 angewandt werden.
Bild 3.9
Vorlesungsfolien GdE I
130
Ein Maschenumlauf im Uhrzeigersinn ergibt:
−UG0 + URi + UG = 0,
URi = I Ri
Damit erhält man die Spannung einer realen Quelle (Generator):
UG = UG0 −U Ri = UG0 − I Ri ,
(3.7)
wobei gemäß Bild 3.5 gilt:
Ri =
∆U
∆I
Bild 3.5
Vorlesungsfolien GdE I
131
3.4 Serien- und Parallelschaltung von Widerständen
Zur Veranschaulichung der Kirchoffschen Gesetze soll die
Serienschaltung von Widerständen (Bild 3.10a) betrachtet
werden.
Bild 3.10a
Das entscheidende Merkmal dieser Schaltung liegt darin, dass
alle Widerstände vom gleichen Strom I durchflossen werden.
Für die einzelnen Widerstände k gilt:
Uk = I Rk
Mit Gl. (3.6) wird daraus:
n
n
U = ∑ U k = I ∑ Rk = I Rges
k =1
(3.8)
k =1
Vorlesungsfolien GdE I
132
Damit:
n
Rges = ∑ Rk
(3.9)
k =1
Fazit:
Bei der Reihenschaltung addieren sich die Widerstände zum
Gesamtwiderstand.
In Bild 3.10b ist eine Parallelschaltung von Widerständen
gezeigt. Diese hat als wesentliches Merkmal, dass an allen
Widerständen die gleiche Spannung U abfällt.
Bild 3.10b
Die Elementengleichung lautet:
Ik =
U
Rk
Vorlesungsfolien GdE I
133
Damit erhält man mit Gl. (3.5):
n
n
U
1
U
I =∑
=U∑
=
Rges
k =1 Rk
k =1 Rk
(3.10)
Das ergibt für den Gesamtwiderstand der Parallelschaltung:
n
1
1
=∑
Rges k =1 Rk
(3.11)
Fazit: Bei der Parallelschaltung addieren sich die Kehrwerte
der Widerstände (=Leitwerte) zum Kehrwert des Gesamtwiderstands (=Gesamtleitwert).
In einem komplizierteren Widerstandsnetzwerk (Bild 3.11) fasst
man schrittweise mehrere Elemente zusammen zu einem resultierenden Zweipol, der bezüglich bestimmter Klemmen das
gleiche Verhalten zeigt:
Bild 3.11
Vorlesungsfolien GdE I
134
Mit Bild 3.11 erhält man, wenn zunächst die Reihenschaltung
von R1 und R2 zu einem Widerstand zusammengefasst wird:
R′′ = R1 + R2
Jetzt ist R´´ parallel zu R3 und R4:
1
1
1
1
=
+ +
,
R′ R′′ R3 R4
damit erhält man:
R′ =
1
R′′ R3 R4
=
1
1
1
R3 R4 + R′′ R4 + R′′ R3
+ +
R′′ R3 R4
Der Gesamtwiderstand R ergibt sich aus der Parallelschaltung
von R6 mit der Reihenschaltung aus R5 und R´:
1
1
1
=
+
R R6 R5 + R′
und zuletzt:
R6 ( R5 + R′)
R=
R6 + R5 + R′
Vorlesungsfolien GdE I
135
2.4 Strömungsfelder
r
Strömung
r in Leitern ist charakterisiert durch die Vektoren E
und J . Das durch sie repräsentierte Feld nennt man Strömungsfeld. Analog zur Bestimmung der elektrischen Feldlinien erhält
r
man die Strömungsfeldlinien, wenn man längs des Vektors J
von Punkt zu Punkt voranschreitet.
In Bild 2.7 sind der innere und äußere metallische Zylinder mit
einer Spannungsquelle verbunden. Zwischen diesen befinde sich
ein Material mit der Leitfähigkeit σ , die wesentlich geringer
ist als die der Zylinder:
Bild 2.7
Das Feldbild entspricht dem des elektrostatischen Zylinderkondensators (Bild 1.12d):
Vorlesungsfolien GdE I
136
Bild 1.12d*
Aufgrund dieser Analogie sollen die Gleichungen des elektrostatischen Feldes und des Strömungsfeldes verglichen werden:
Elektrostatisches Feld
r
r
D =ε E
Strömungsfeld
r r
ψ D = ∫∫ D ⋅ dA = Q
r r
U = ∫ E ⋅ ds
r
r
J =σ E
r r
I = ∫∫ J ⋅ dA
r r
U = ∫ E ⋅ ds
Q = CU
I = GU
Tabelle 2.2
Man sieht: die Analogie in den Feldlinienbildern drückt sich
auch in den Gleichungen aus.
Vorlesungsfolien GdE I
137
Die Ringe in Bild 2.7 sind sehr gut leitend, daher sind diese
Äquipotenzialflächen. Daher stehen die Feldlinien und die
Strömungslinien auf diesen senkrecht. Aus diesem Grund verlaufen diese radial wie die Feldlinien im Zylinderkondensator
und genügen den gleichen Gesetzen.
Ist für eine Anordnung die Kapazität bekannt, kann der Widerstand berechnet werden, wenn das Dielektrikum durch die
Leitfähigkeit σ ersetzt wird. Mit den Gleichungen aus Tabelle
2.2 folgt:
r r
r r
E ⋅ ds
U ∫ E ⋅ ds
∫
R= = r r =
r r
I ∫∫ J ⋅ dA σ ∫∫ E ⋅ dA
r r
r r
D ⋅ dA ε ∫∫ E ⋅ dA
∫∫
C= r r =
r r
∫ E ⋅ ds ∫ E ⋅ ds
RC =
ε
σ
(2.13)
Beispiel: Widerstand der Anordnung in Bild 2.7
Mit Gl. (1.45) für den Zylinderkondensator gilt:
C=
2π ε 0ε r l
ln (r2 / r1 )
Vorlesungsfolien GdE I
138
sowie Gl. (2.13):
ε 1
R=
σC
folgt:
R=
ε ln(r2 / r1 ) ln(r2 / r1 )
=
σ 2π ε l
2π σ l
2.5 Temperaturabhängigkeit des Widerstandes
Mit variabler Temperatur ändert sich im allgemeinen auch der
Widerstand. Im Bild 2.8 ist der spezifische Widerstand von
Kupfer gezeigt, der aufgrund der zunehmenden thermischen
Schwingungen der Gitteratome, an denen die Elektronen
gestreut werden, zunimmt:
Bild 2.8
Vorlesungsfolien GdE I
139
Man erkennt, dass ρ R in einem weiten Temperaturbereich linear
mit der Temperatur zunimmt. In der Umgebung von T0 = 293K
kann man daher mit folgender Näherung arbeiten:
ρR (T ) = ρR0 (1 + α (T − T0 ))
(2.14)
Hier ist T0 = 293 K (20°C) und ρ R0 der spezifische Widerstand bei T0. Da α die Steigung der Linearisierungsgeraden
beschreibt und diese immer nur in der Nähe eines bestimmten
Temperaturpunktes (z.B. 20°C) gilt, ist in Tabelle 2.1 α 20
eingetragen.
Positives α bedeutet eine Zunahme des Widerstandes mit der
Temperatur, negatives α eine Abnahme.
Zur Temperaturkompensation werden Metalle mit
verschiedenen α gemischt.
Das Ergebnis einer derartigen Kompensation ist Konstantan mit
einer Mischung aus 54% Kupfer, 45% Nickel und 1% Mangan.
Vorlesungsfolien GdE I
140
Sollte die Temperaturabhängigkeit nicht so linear sein wie in
Bild 2.8 im Falle des Kupfers, muss eine quadratische Näherung
verwendet werden:
ρR (T ) = ρR0 (1 + α (T − T0 ) + β (T − T0 )2 )
(2.15)
Eine gut bekannte Temperaturabhängigkeit des Widerstandes
kann daher auch für Temperaturmessungen verwendet werden.
Für T → 0 geht der Widerstand von Kupfer nicht ganz auf Null.
Im Gegensatz zu diesen Normalleitern geht der Widerstand
von Supraleitern gegen Null für T → 0.
2.6 Energieumsetzung im elektrischen Stromkreis
Zur Berechnung der Arbeit, die die Quelle verrichtet, wenn sie
Strom durch den Verbraucher VB mit konstanter Stärke
treibt, wird der geschlossenen Stromkreis in Bild 2.9a betrachtet:
Bild 2.9a
Vorlesungsfolien GdE I
141
Die treibende Kraft ist die Quellenspannung U, wobei das mit U
verbundene elektrische Feld die Ladungsträger bewegt, die
den Strom bilden. Zur Berechnung der lokalen Größen soll ein
Schnitt durch den Verbraucher VB in Bild 2.9b betrachtet
werden:
Bild 2.9b
Zunächst wird aus der Querschnittsfläche A nur ein Flächenelement
r dA betrachtet, durch das in der Zeit dt aufgrund des Feldes E die Ladung dQ fließt. In der Zeit dt wird die Wegstrecke
r
ds zurückgelegt. Dabei muss die Quelle die Arbeit dw verrichten:
r r
dw = dQ E ⋅ ds
(*)
Die Ladungsträger sind gleichmäßig über das ganze Volumen
des Verbrauchers verteilt, daher gilt mit der Raumladungsdichte ρ :
r r
dQ = ρ dV = ρ dA ⋅ ds
Vorlesungsfolien GdE I
142
Mit Gl. (2.4) gilt:
r
r r
r r
ds r
J ⋅ dA = ρ v ⋅ dA = ρ ⋅ dA
dt
(2.4)*
Damit kann Gl. (*) geschrieben werden:
r r r r r r
dw = J ⋅ dA dt E ⋅ ds = J ⋅ E dV dt
(**)
Das ist die in einem kleinen Volumenelement dV in dt verrichtete
Arbeit dw.
Als nächstes soll die innerhalb dt im gesamten Volumen des
Verbrauchers verrichtete Arbeit dW berechnet werden. Dazu werden alle kleinen Volumen an der Querschnittfläche A zusammengefasst,rwobei zunächst eine Scheibe konstanter Spannung
r
dU = E ⋅ ds gebildet wird, die zwischen zwei Äquipotentialflächen liegt.
Damit wird in Gl. (**) zunächst die Stromdichte über den
gesamten Querschnitt integriert, wobei die Arbeit, die dieser
Strom verrichtet, nur für die Scheibe der Dicke ds betrachtet
wird. Damit kann dU vor das Integral über die Fläche A
gezogen werden.
Vorlesungsfolien GdE I
143
Zuletzt muss über alle dU integriert werden, die im
Verbraucher vorhanden sind (also von Anschlussklemme 1 zu
Anschlussklemme 2):
2
dW = dt ∫ dU
1
r r
∫∫ J ⋅ dA
A: Äqui −
pot . fläche
Die Auswertung ergibt:
dW = U I dt
die Arbeit, die innerhalb der Zeit dt verrichtet wird. Berechnet
man die Arbeit dW pro Zeiteinheit dt, erhält man die Leistung,
die immer ein Momentanwert ist:
dW
P=
=U I
dt
(2.16)
Die abgeleitete Einheit für die Leistung ist:
[P] = [U ][I ] = VA = W
Mit der Einheit VA=W benannt nach Watt, James, 1736 - 1816,
engl. Ingenieur.
Vorlesungsfolien GdE I
144
Die Einheit W kann auch in Basiseinheiten geschrieben werden:
1W = 1VA = 1J/s = 1kg m2 / s3
In der Elektrotechnik ist es üblich, die elektrische Arbeit
t2
W = ∫ Pdt
t1
in der Einheit Ws (Wattsekunde) oder kWh (Kilowattstunde) anzugeben (1 kWh = 3.6 ·106 Ws).
Noch mal zurück zu Gl. (**):
r r
dw
= J ⋅E
dV dt
Das ist die Arbeit, die pro Zeit- und Volumeneinheit verrichtet
wird und damit ist dies eine Leistungsdichte.
Wo bleibt die in VB umgesetzte Energie (=Arbeit)?
Ist VB in Bild 2.9a ein Elektromotor, dann wird die Arbeit im
Wesentlichen in mechanische Energie umgewandelt (=Energietechnik). Ist VB ein Akku, entspricht die Arbeit der im
Akku gespeicherten chemischen Energie, ist VB ein Widerstand,
dann wird die Arbeit in Wärmeenergie umgesetzt.
Vorlesungsfolien GdE I
145
5 Das magnetische Feld
5.1 Wirkung und Darstellung des magnetischen Feldes
5.1.1 Grunderscheinungen
Entdeckung des Magnetismus
„Die alten Griechen“ stellten bereits fest, dass einige Eisenerze
(Pyrrhotin = Magnetkies) Eisenteile anziehen (Thales von Milet).
Der Begriff „magnetisch“ wird von der Stadt Magnesia in
Kleinasien abgeleitet, da in deren Nähe Erze mit starkem
Magnetismus gefunden wurden (lithos Magnetes: „Stein aus
Magnesia“).
Ebenfalls seit langer Zeit ist der Erdmagnetismus bekannt bzw.
dessen Wirkung auf eine magnetische Nadel (Kompassnadel).
Weitere Feststellungen
Wird ein eisenhaltiger Körper in die Nähe eines Magneten
gebracht, wird er selbst magnetisch. Weiches Eisen verliert diese
Fähigkeit jedoch schnell wieder. Wird ein magnetisierter Stab
drehbar aufgehängt, wirkt er wie eine Kompassnadel:
Das Ende, das zum geografischen Nordpol zeigt, nennt man
Nordpol des Magneten, das andere Südpol. Die Kraftwirkung
von Magneten ist hauptsächlich auf dessen Pole beschränkt.
Nähert man zwei Magnete einander an, stellt man fest, dass
- gleichnamige Pole sich abstoßen
- ungleichnamige Pole sich anziehen.
Vorlesungsfolien GdE I
146
Daraus folgt, dass die Erde am (geografischen) Nordpol einen
magnetischen Südpol besitzt!
Experimente zeigen, dass die magnetische Kraftwirkung auf dem
Zustand des Raumes basiert, der als magnetisches Feld
bezeichnet wird.
Magnetische Erscheinung auch durch Strom:
Der dänische Physiker Oerstedt entdeckte im Jahr 1820, dass ein
stromdurchflossener Draht eine Magnetnadel beeinflusst. Ein
stromdurchflossener, zu einer Spule gewickelter Draht verhält
sich wie ein Permanentmagnet.
5.1.2 Feldvektor und Feldbilder
Wie beim elektrischen Feld kann das magnetische Feld durch die
in jedem Raumpunkt wirkende Kraft nach Größe und Richtung
festgelegt werden. Daher ist auch das magnetische Feld ein
Vektorfeld.
Der zugehörige Vektor wird magnetische Flussdichte
r
(magnetische Induktion) genannt und hat das Formelzeichen B .
Zur Veranschaulichung des Vektorfeldes können (wie im
elektrischen Fall) kleine längliche Körper verwendet werden, die
allerdings hier z.B. aus Eisen sein müssen (Eisenfeilspäne). In
Analogie zum elektrischen Dipol (Kap. 1.8.4) kann jeder
einzelne Span als magnetischer Dipol aufgefasst werden.
r
Sein Dipolmoment m zeigt in Richtung seiner Längsachse.
Vorlesungsfolien GdE I
147
r
Das Vektorfeld der magnetischen Flussdichte B übt auf einen
r
derartigen magnetischen Dipol m ein Drehmoment aus:
r r r
T = m× B
r
r
in der Weise, dass m sich in Richtung von B einstellt (vgl.
hierzu Bild 1.50c „elektrischer Dipol“). Tritt der Leiter senkrecht
durch die Bildebene, erhält man folgende Bilder (5.1a, b):
Bild 5.1a
Bild 5.1b
Rechte-Hand-Regel
Umfasst man mit der rechten Hand den Stromleiter so, dass der
Daumen in Stromrichtung zeigt, dann hat das Feld die Richtung
der anderen Finger.
In Bild 5.1a handelt es sich um einen stromdurchflossenen
Leiter, dessen Stromrichtung jedoch nicht erkennbar ist. In Bild
5.1b sind es zwei entgegengesetzt stromdurchflossene Leiter.
Wie beim elektrischen Feld soll auch hier die Feldliniendichte
ein Maß für die Stärke des Feldes sein.
Vorlesungsfolien GdE I
148
Ebenso wie im elektrischen Fall ist das Feld überall im Raum
existent. Wird ein stromdurchflossener Leiter zu einer Spule
gewickelt, ergeben sich folgende Feldbilder:
Bild 5.1c
Bild 5.1d
Bild 5.1c zeigt eine lose gewickelte Spule, Bild 5.1d eine dicht
gewickelte. In beiden Fällen sind die gegenüberliegenden Reihen
des Spulendrahtes entgegengesetzt vom Strom durchflossen.
Daher tritt zwischen ihnen eine Feldverstärkung auf. Im Falle der
dichtgewickelten Spule ist das Feld innerhalb der Wicklung
nahezu homogen (5.1d).
Vereinbarung
Beim Permanentmagneten oder auch bei einer Spule
kennzeichnet der Austritt der Feldlinien den Nordpol, der Eintritt
den Südpol.
Vorlesungsfolien GdE I
149
Das Feldbild eines Permanentmagneten (Bild 5.1e) ähnelt stark
dem einer Spule. Die Übereinstimmung ist umso besser, je
dichter die Spule gewickelt ist und je länger sie im Vergleich zu
ihrem Durchmesser ist:
Bild 5.1e
Zur Bestimmung der Feldrichtung in allen Bildern 5.1a-e muss
die Stromrichtung oder die Polbezeichnung angegeben werden:
Bild 5.2b
Bild 5.2a
Vorlesungsfolien GdE I
150
Bild 5.2b kann auch als einwindige Spule interpretiert werden.
Durch Hintereinanderschalten vieler „einwindiger Spulen“ erhält
man das Feldbild einer Zylinderspule (Bild 5.2c, d):
Bild 5.2d
Bild 5.2c
5.1.3 Vergleich zwischen elektrischem und magnetischem
Feld
Aus den Darstellungen in den Bildern 5.1 und 5.2 wird deutlich,
dass es zwischen statischen elektrischen und magnetischen
Feldern einen entscheidenden Unterschied gibt:
Das statische elektrische Feld hat stets einen Anfangs- und einen
Endpunkt, nämlich die elektrischen Ladungen.
Die Linien der magnetischen Induktion sind stets in sich
geschlossen.
Vorlesungsfolien GdE I
151
Diesen zunächst empirischen Sachverhalt kann man noch anders
ausdrücken:
r
Bestimmt man den Fluss des Vektors B durch eine beliebige,
geschlossene Fläche, erhält man stets den Wert Null, da die Zahl
der Feldlinien, die in die Fläche eintreten, gleich derjenigen ist,
die an anderer Stelle austreten.
D. h. es gibt keine Analogie zu den elektrischen Ladungen. Also
gilt der Erfahrungssatz:
Das magnetische Feld ist quellenfrei; es gibt keine magnetischen
Ladungen oder Monopole.
Dies gilt auch für Permanentmagneten, da die in Bild 5.1e
außerhalb befindlichen Linien sich in ihm schließen:
Bild 5.1e*
Bricht man den Magneten durch, erhält man zwei neue Magneten
mit je einem Nord- und Südpol. D.h. Nord- und Südpol lassen
sich nicht voneinander trennen, sie treten stets zusammen auf.
Nur wenn man einen Pol isolieren könnte, ergäbe der Gaußsche
Satz einen von Null verschiedenen Wert.
Vorlesungsfolien GdE I
152
5.2 Kraft auf eine bewegte rLadung - Definition der
magnetischen Flussdichte B
r
Der magnetische Feldvektor B soll ebenso wie im Falle des
elektrischen Feldes über die Kraftwirkung auf geeignete
Probeteilchen definiert werden. Geeignete Probeteilchen sind
kleine, leichte Teilchen mit der positiven Ladung Q0, mit denen
verschiedene Versuche gemacht werden:
1. Experiment
Ein masseloses Probeteilchen wird auf der Achse einer
Zylinderspule eingeschossen (Bild 5.2d).
Bild 5.2d*
Beobachtung: Die Flugbahn des Probeteilchens ändert sich nicht,
Geschwindigkeit und Richtung bleiben erhalten.
r
Fazit: in Richtung oder in Gegenrichtung des Vektors B ist auf
Q0 keine Kraft wirksam.
Vorlesungsfolien GdE I
153
2. Experiment
Das Probeteilchen wird senkrecht zu einem homogenen Feld
eingeschossen. Zu diesem Zweck wird eine Ringspule
verwendet, die im Außenraum kein Feld erzeugt (Bild 5.3).
Bild 5.3
Der Spulendurchmesser soll groß gegen den Windungsdurchmesser sein. Der Spalt, durch den das Teilchen eingeschossen
wird, soll möglichst klein sein.
Beobachtung: das Teilchen beschreibt eine kreisförmige
Bahnkurve, die senkrecht zur Bildebene, also in der Spaltebene,
liegt. Der Betrag der Geschwindigkeit bleibt konstant.
Fazit: auf die positive Probeladung Q0 wirkt eine Kraft (also ein
Vektor), die senkrecht zum magnetischen Feldvektor und
senkrecht zum Geschwindigkeitsvektor liegt.
Vorlesungsfolien GdE I
154
Die Kreisbahn des Probeteilchens im homogenen Feld wird nun
von unten betrachtet (Bild 5.4):
Bild 5.4
Die magnetische Flussdichte tritt somit aus der Bildebene heraus,
der Geschwindigkeitsvektor liegt in der Bildebene. Damit ergibt
sich für die Kraft auf das Probeteilchen:
r
r
d r
d
dr 
 dω
F = m a = m v = m (ω r) = m  r
+ω 
dt
dt
dt 
 dt
dr
v
v2
= mω = m v = m
dt
r
r
(5.1)
Damit kann bei bekannter Masse und Geschwindigkeit durch
Messen von r die Größe der Kraft bestimmt werden. Die Größe
der Kraft sei nun ein Maß für B in jedem Punkt des Feldes:
r
r
F ∝ B
Vorlesungsfolien GdE I
155
Durch weitere Experimente in einem bestimmten Feld stellt man
fest, dass die Kraft
• proportional zur Ladung Q0 ist
• proportional zum Betrag der Geschwindigkeit v ist r
r
• proportional zu sin(α), dem Winkel zwischen v und B, ist.
Damit gilt als Fazit aus allen Experimenten:
r
r r
F = k Q0 v B sinα
Durch diese Gleichung rwird B definiert, daher kann k=1 gesetzt
r
werden. Da rnur die zu B senkrechte Komponente von v einen
Beitrag zu F liefert, ergibt sich folgende
r
Definition für B :
r
r r
F = Q0 (v × B)
(5.2)
Aus Gl. (5.2) geht auch hervor, dass negative Ladungen eine
Kraft in entgegengesetzter Richtung hervorrufen. In Bild 5.4
würde dies zu einer Ablenkung nach links führen.
Für die Einheit von B ergibt sich aus Gl. (5.2)
[B ] = [F ] = Nm = N = VAs / m = Vs2 = T
[Q][v] As
Am
Am
m
s
(5.3)
Tesla, Nicola, 1856-1942, kroatisch-amerikanischer Physiker
Vorlesungsfolien GdE I
156
Früher war anstelle von Tesla (T) auch Gauß (G) üblich. Dies ist
in vielen Büchern noch zu finden:
1G = 10−4 T
In der Größenordnung 1G liegt das Erdmagnetfeld, das bis zu
einer Entfernung von 3 Erdradien einem Dipolfeld ähnelt.
Technische Geräte haben bis zu mehreren T (z.B.
Kernspintomografen haben bis zu 7 T).
Da die magnetische Kraft stets senkrecht zur Bewegungsrichtung
steht, verrichtet das Feld keine Arbeit am Ladungsträger, da sich
der Betrag der Geschwindigkeit nicht ändert:
r r r r
dW = F ⋅ ds = F ⋅ vdt = 0
Bewegt sich ein Ladungsteilchen durch ein Gebiet, in dem sowohl ein elektrisches als auch ein magnetisches Feld vorhanden
ist, erhält man die resultierende Kraft durch Überlagerung beider
Feldkräfte:
r
r r r
F = Q0 E + v × B
(
)
(5.4)
Gl. (5.4) wird Lorentz-Beziehung genannt. Der erste Term wird
als Coulombkraft, der zweite als Lorentzkraft bezeichnet.
Lorentz, Hendrik Antoon, 1853-1928, niederländischer Physiker
Vorlesungsfolien GdE I
157
5.3 Die magnetische Kraft auf einen stromdurchflossenen
Draht
Da der elektrische Strom aus Ladungsträgern besteht (Elektronen), kann mit Gl. (5.2) auch die Kraft auf einen stromführenden
Draht bestimmt werden.
r
Die Elektronen mit der Driftgeschwindigkeit vd bewegen sich in
einem Leiterstück der Länge dl (Bild 5.5):
Bild 5.5
Auf jedes Elektron wird gemäß Gl (5.2) eine Kraft ausgeübt:
r
r r
Fq = −e vd × B
(
)
(5.5)
Sind n Elektronen pro Volumeneinheit vorhanden
(Ladungsträgerdichte) und ist das Feld im Bereich des Drahtstückchens dl homogen, wirkt auf das Leiterstück die Kraft:
r
r
r r
dF = n A dl Fq = −ne (vd × B ) A dl
Vorlesungsfolien GdE I
158
mit den Zusammenfassungen
r r
− n e vd = J
und
A dl = dV
gilt:
r
r r
dF = J × B dV
(
)
(5.6)
r r
Die Kraft
r auf einen Draht pro Volumeneinheit ist also J × B ,
wobei J die Stromdichte ist. Nach Gl. (5.6) hängt die Kraft nicht
mehr von der einzelnen
Ladungsträgerbewegung ab, wobei die
r
Richtung von J der des positiven Stromes entspricht.
r
Definiert man nun einen Vektor dl in Richtung der Stromdichte,
dann gilt:
r
r
r r
JdV = J Adl = I dl
und damit wird die Kraft auf das Drahtstück dl
r r
r
dF = I (dl × B )
(5.7)
mit dem Gesamtstrom I durch den Draht. Die Kraft pro Längeneinheit kann direkt aus Gl. (5.7) berechnet werden:
r
r
r r
r
 dl r 
dF
= I  × B  ⇒ F = I (l × B)
dl
 dl

Vorlesungsfolien GdE I
159
Um die Gesamtkraft, die auf einen starren Körper oder beliebig
geformten Draht wirkt, zu berechnen, muss Gl. (5.6) oder (5.7)
integriert werden (entlang aller stromführenden Elemente des
Körpers oder des Drahtes).
Beispiel
Durch den in Bild 5.6 gegebenen Draht
fließe der Strom I. Er
r
befinde sich im homogenen Feld B , das aus der Zeichenebene
herauszeige:
Bild 5.6
Auf beiden Abschnitten 1 und 2 wirkt die Kraft pro Drahtlänge:
r
dF
dl
=IB
bzw.
r
dF = I B dl
Die Richtung des Kraftbelags ist in Bild 5.6 dargestellt und
ergibt sich mit der „Rechte-Hand-Regel“. Ein Abschnitt hat
jeweils an allen Stellen die gleiche Richtung, da das Feld
homogen und ein Abschnitt gerade ist.
Vorlesungsfolien GdE I
160
Die Kraft auf einen Abschnitt lautet:
r
F1, 2 = ∫ I B dl = I B L
1, 2
Zur Berechnung der Gesamtkraft auf den geknickten Draht wird
die Vektordarstellung in Komponenten gewählt:


F  
r  1x  
F1 =  F1 y  = 
F  
 1z 


damit wird
1

I BL
2

1
I B L 
2

0


 1

−
I
B
L


2

F  
r  2x   1
F2 =  F2 y  = 
I B L 
F   2

 2z 
0




 0 
r r r 

F = F1 + F2 =  2 I B L 
 0 


und der Betrag der resultierenden Kraft ergibt sich damit zu
r r r
F = F1 + F2 = F1y + F2 y = 2 IBL .
Würde der Draht in Bild 5.6 nur aus einem geraden Abschnitt
bestehen, der Anfangs- und Endpunkt direkt verbindet, wäre die
resultierende Kraft (bei gleichem Strom) die gleiche!
Vorlesungsfolien GdE I
161
5.4 Drehmoment auf eine stromdurchflossene
Leiterschleife im Magnetfeld - der magnetische Dipol
Wegen der großen technischen und physikalischen Bedeutung
sollen nun die Kräfte auf eine stromdurchflossene Leiterschleife
im Magnetfeld berechnet werden. Dazu wird Gl. (5.7) auf eine
(der Einfachheit halber) rechteckige Leiterschleife angewendet.
a)
b)
Bild 5.7
Der Strom I laufe in Bild 5.7a gegen den Uhrzeigersinn. Der
r
Normalenvektor n auf der Fläche der Schleife bildet mit dem
r
Strom eine Rechtsschraube. Weiterhin schließt n mit der zAchse den Winkel ϑ ein (Bild 5.7b).
In z-Richtung zeige ein
r
homogenes magnetisches Feld B . Die Stromzufuhr zur Schleife
erfolge so, dass keine resultierende Kraft auf diese entsteht.
Vorlesungsfolien GdE I
162
Mit dem aus Gl. (5.7) abgeleiteten Zusammenhang
r r
r
F = I (l × B)
r
r
ergibt sich direkt, dass die Kräfte F1 und F3 entgegengesetzt
gleich groß sind und auf der gleichen Wirkungslinie liegen.
Damit heben sich diese auf.
r
r
Aus Bild 5.7b geht hervor, dass auch F2 und F4 entgegengesetzt
gleich groß sind. Allerdings sind deren Wirkungslinien nicht
gleich, daher bilden diese ein Kräftepaar.
Das daraus resultierende Drehmoment versucht die Schleife um
die x-Achse zu drehen. Jedoch wirken nur die Komponenten, die
senkrecht auf der Schleife stehen, daher gilt:
r
r
T = F2 a sin ϑ = F4 a sin ϑ
(5.8)
Ebenso kann man mit dem Abstand der beiden Wirkungslinien
argumentieren, der vom Drehwinkelϑ abhängt mit a sinϑ .
Der Betrag der Kraft ist
r
r
F2 = I b B ,
woraus sich für das Drehmoment ergibt:
T = b I B a sinϑ
(5.9)
Wie man leicht nachprüfen kann, stimmt
r r die Richtung des
Drehmoments überein mit der von n × B.
Vorlesungsfolien GdE I
163
r
Mit n = 1 gilt:
r r
n × B = B sinϑ
Damit wird das Drehmoment:
r
r r
r r
T = ab I (n × B) = A I (n × B) ,
(5.10)
da für die Fläche der Schleife A = ab gilt.
Erhöht man nun die Zahl der Windungen der Schleife von 1 auf
N, so wirkt auf jede Windung obiges Drehmoment, das dadurch
den N-fachen Wert annimmt.
Definiert man ein magnetisches Dipolmoment:
r
r
m = N AI n
(5.11)
mit der Zahl der Windungen N und der Fläche A, die vom Strom
I eingeschlossen wird. Dann ergibt sich:
r
r r
Tmag = m × B
(5.12)
Gl. (5.12) gilt für alle flachen Spulen mit beliebiger Form der
Querschnittsfläche A.
Diese Gl. entspricht der für das Drehmoment, das ein elektrischer
Dipol im elektrischen Feld erfährt:
r r r
Tel = p × E
Vorlesungsfolien GdE I
(1.57)*
164
Die Stromschleife soll daher als magnetischer Dipol aufgefasst
werden, dessen Verhalten im magnetischen Feld durch das
r
magnetische Moment m beschrieben wird.
Zu beachten ist, dass bei Verwendung von Gl. (5.12) das
magnetische Feld im Bereich des Dipols konstant ist.
Da sich der magnetische Dipol nach dem magnetischen Feld
ausrichten will, kann sein Verhalten mit dem einer Magnetnadel
oder von Eisenfeilspänen verglichen werden.
Somit ist, wie beim Permanentmagneten,r die eine Seite der Nordund die andere der Südpol. Der Vektor m zeigt damit innerhalb
des magnetischen Dipols vom Süd- zum Nordpol. Außerhalb
verlaufen die Feldlinien natürlich vom Nord- zum Südpol.
Es ist zu vermuten, dass auch ein Permanentmagnet auf
elektrische Kreisströme bzw. bewegte Ladungen zurückzuführen
ist.
Die potentielle Energie des magnetischen Dipols
Je nachdem, wie der magnetische (elektrische) Dipol zum
magnetischen (elektrischen) Feld liegt, speichert er mehr oder
weniger potentielle Energie W.
Vorlesungsfolien GdE I
165
Für ϑ = 90° soll willkürlich W = 0 gesetzt werden.
Nun soll wieder das Prinzip der virtuellen Verschiebung
verwendet werden:
Die differentielle Arbeit dW wird verrichtet, wenn auf die
Leiterschleife (oder den Dipol) das Moment T wirkt und
die Schleife dadurch um den Winkel dϑ so gedreht wird,
dass ϑ größer wird:
r
r
a
a
dW = dϑ F2,ϑ + dϑ F4,ϑ ,
2
2
r
r
wobei F2 ,ϑ und F4 ,ϑ senkrecht auf der Schleife stehen und in ϑ Richtung weisen. Damit wird:
a r
a r
dW = F2 sin ϑ dϑ + F4 sin ϑ dϑ
2
2
r
= a F2 sin ϑ dϑ
(5.13)
mit Gl. (5.8) folgt daraus:
dW = T dϑ .
(5.14)
Vorlesungsfolien GdE I
166
Die Gesamtarbeit erhält man durch Integration:
ϑ2
W = ∫ T (ϑ )dϑ
(5.15)
ϑ1
Wird bei der Drehung des Dipols von außen Arbeit aufgewendet,
dann speichert dieser die Arbeit in Form potentieller Energie.
Daher gilt mit Gl. (5.12):
ϑ2
ϑ2
π /2
π /2
r r
Wm = ∫ T (ϑ) dϑ = ∫ m B sinϑ dϑ = − m B cosϑ2
Somit kann das Ergebnis in Vektorschreibweise dargestellt
werden:
r r
Wm = − m ⋅ B
(5.16)
Ganz analog gilt für den elektrischen Dipol:
v r
W = −p⋅ E
Vorlesungsfolien GdE I
(5.17)
167
5.5 Die Erregung des magnetischen Feldes
Bisher wurde das durch die magnetische Flussdichte beschriebene Magnetfeld über seine Kraftwirkung auf ein bewegtes
elektrisches Teilchen und auf einen stromdurchflossenen Draht
bzw. eine stromdurchflossene Leiterschleife beschrieben.
Unklar ist bisher, wie das magnetische Feld entsteht, bzw. wie
es erregt wird.
Es ist bekannt, dass elektrische Ströme magnetische Felder
erzeugen. Aber es ist noch nicht geklärt, wie deren quantitativer
Zusammenhang lautet.
Daher sind folgende Fragen zu beantworten:
1. Wie lautet der Zusammenhang zwischen
dem elektrischen
r
Strom I (bzw. der Stromdichte J ) und der durch
r ihn (bzw.
sie) verursachten magnetischen Flussdichte B an jedem Ort?
2. Wird die mag. Flussdichte durch Nahwirkung oder durch
Fernwirkung erzeugt?
Vorlesungsfolien GdE I
168
5.5.1 Das magnetische Feld eines geraden Stromfadens
Der Zusammenhang zwischen einem sehr dünnen, geraden Leiter
(Stromfaden) und der mag. Flussdichte ist in Bild 5.8 gezeigt:
Bild 5.8
Durch die vorausgegangenen Experimente ist bekannt, dass
1. die Feldlinien der Flussdichte konzentrisch um den
Stromfaden verlaufen, und
2. die Zuordnung von Strom- und Feldrichtung über eine
Rechtsschraube definiert ist.
Damit muss also noch geklärt werden, wie der Betrag der
Flussdichte vom Abstand r und vom Strom I abhängt.
Vorlesungsfolien GdE I
169
Dazu folgendes Experiment:
Wie bereits besprochen, kann die mag. Flussdichte über das
Drehmoment auf einen mag. Dipol (z.B. eine Kompassnadel)
bestimmt werden:
r r r
T = m B sinϑ
Daher wird eine Kompassnadel ins Feld gebracht und um den
Winkel ϑ aus der Gleichgewichtslage gedreht. Das dazu nötige
Drehmoment wird gemessen: einmal als Funktion des Abstandes
r und zum anderen als Funktion des Stromes I.
Beobachtungen:
1. In Gleichgewichtslage ist die Längsachse der Kompassnadel
stets senkrecht zum Radius.
2. Daraus folgt unmittelbar, dass die Feldlinien um den
Stromfaden konzentrische Kreise sind.
r
3. Entlang eines Kreises ist der Betrag von B konstant.
4. Auf zwei verschiedenen
r
r Kreisen verhalten sich die Beträge der
Flussdichten B1 und B2 umgekehrt proportional wie die zugehörigen Radien.
5. Ändert sich der Strom I, verändert sich der Betrag der
Flussdichte dazu proportional.
Vorlesungsfolien GdE I
170
Daraus ergibt sich folgende Gleichung:
B=k
I
r
(5.18)
mit der Proportionalitätskonstanten k:
k=
µ0
2π
wobei
µ0 = 4π10−7
Vs
,
Am
(5.19)
die Permeabilitätskonstante des Vakuums bezeichnet. Damit
wird Gl. (5.18):
B = µ0
I
2π r
(5.20)
5.5.2 Die magnetische Erregung (Feldstärke)
Zur Unterscheidung, ob die Kraftwirkung auf die Kompassnadel
gemäß einer Nahwirkungstheorie (= der Raum bzw. das Feld ist
Träger der Kraftwirkung) oder Fernwirkungstheorie erfolgt (=
überall im Raum werden unabhängig vom Abstand gleichzeitig
Kräfte ausgeübt), kann man sich ein großes Gebiet mit
synchronisierten Atomuhren vorstellen, in dem auf einen
Stromfaden unendlich schnell ein Strom geschaltet wird. Der
Beginn der Reaktion von in diesem Gebiet verteilten
Kompassnadeln wird gemessen, die Reaktionszeit der
unterschiedlich weit entfernten Nadeln wird verglichen.
Beobachtung: die Reaktionszeit hängt vom Abstand zum Strom
ab.
Vorlesungsfolien GdE I
171
Fazit:
Der Raum ist der Träger magnetischer Kräfte. Diese pflanzen
sich, beim Strom beginnend, in den Raum hinein fort.
Vermutung:
Die elektromagnetischen Felder (Licht) haben eine Ausbreitungsgeschwindigkeit (Lichtgeschwindigkeit), die mit den
Feldkonstanten ε 0 und µ0 zusammenhängt. ⇒ kommt später!
Aus Gl. (5.2) geht hervor, dass die mag. Flussdichte unmittelbar
für die Kraftwirkung verantwortlich ist. Die Flussdichte wird
jedoch nur indirekt über die Feldkonstante µ 0 vom Strom I
verursacht (G. (5.20)). Daraus folgt die Frage:
Wie lautet der direkte, materialunabhängige Zusammenhang
zwischen verursachendem Strom und erregtem Feld?
⇒ Definition des Vektors
r
H:
r
r
B = µ0 H
(5.21)
die magnetische
Erregung (magnetische Feldstärke).
Früher
r
r
wurde H analog zur elektrischen Feldstärke E gesehen, die ja
unmittelbar die Kraft auf elektrische Ladungen beschreibt. Dass
dies nicht richtig ist, kann z.B. Gl. (5.2) entnommen werden.
r
r
Da jedoch Ursache ( H) und Wirkung ( B ) stets gleichzeitig
existieren, hat das für die praktische Anwendung keine
Bedeutung.
Vorlesungsfolien GdE I
172
Aus G. (5.20) und der Definition Gl. (5.21) folgt:
H=
I
2πr
(5.22)
mit den Einheiten:
[H ] = [I ] = A
[r ] m
Bemerkungen:
• Die mag. Erregung hängt linear vom Strom ab und umgekehrt
proportional vom Abstand.
r
r
• Die Feldlinien von H sind ebenso wie die von B konzentrische
Kreise (k.K.) um den Stromfaden.
• Dabei ist 2π r genau der Umfang eines solchen Kreises und
damit hat die mag. Erregung genau den Wert des Belages, d.h.
des gleichmäßig auf die Feldlinie verteilten Stromes.
• Ermittelt man also das Linienintegral der mag. Erregung
entlang einer geschlossenen Feldlinie (=Kreis), erhält man den
Wert des eingeschlossenen Stromes:
r r
∫ H ⋅ dsk =
k .K .
r r
r 2π
I
∫k .K .H dsk = H r ∫0 dϕ = 2π 2π = I
Vorlesungsfolien GdE I
173
Damit lässt sich verallgemeinern:
r r
∫ H ⋅ ds = I
(5.23)
Dieser Zusammenhang ist in Bild 5.9a dargestellt.
Bild 5.9a
5.9b
Das Linienintegral der magnetischen Erregung ist bei einer
einmaligen Umkreisung gleich der Stromstärke im Draht.
Um diese Behauptung (also die Umkreisung auf beliebigen
Wegen) zu beweisen, wird Bild 5.9b herangezogen. Dazu wird
r r
r
das Wegelement ds in die drei orthogonalen Vektoren dsr , dsϕ
r
r
und ds z zerlegt, wobei ds z parallel zum Draht gerichtet ist:
r
r
r
r
ds = dsr + dsϕ + ds z
Vorlesungsfolien GdE I
174
Damit wird:
r r r r
r r
r r
H ⋅ ds = H ⋅ dsr + H ⋅ dsϕ + H ⋅ ds z
*)
Auf der rechten Seite sind der erste und der letzte Term jeweils
Null, da in beiden Fällen die Vektoren senkrecht aufeinander
stehen. Da gilt:
r
dsϕ = r dϕ
wird aus *):
r r
r r
r r 2π I
∫ H ⋅ ds = ∫ H ⋅ dsϕ = ∫ H dsϕ = ∫0 2π r r dϕ = I
Daraus folgt:
**)
r r
∫ H ⋅ ds = I
Was gilt nun für den Fall, bei dem der geschlossene Weg den
Strom nicht umschließt? Dazu wird Bild 5.10 betrachtet:
Bild 5.10
Vorlesungsfolien GdE I
175
Der Integrationsweg wird in Pfeilrichtung durchlaufen. Vom
Strom I gehen zwei radiale Strahlen
r
raus, die über den Winkel dϕ
die beiden Wegabschnitte ds1 und ds2 festlegen. Analog zu **)
gilt:
r
r
I
H 2 ⋅ ds 2 =
dϕ
2π
r r
I
dϕ ,
H1 ⋅ ds1 = −
2π
d.h. die Summe dieser beiden Teilbeiträge ist Null. Da der
gesamte Weg in solche paarweisen Teilbeiträge zerlegt werden
kann, wird das gesamte Linienintegral zu Null. Die Tatsache,
r
r
dass in diesem Beispiel ds2 weiter von I entfernt ist als ds1, wird
r
r
dadurch ausgeglichen, dass ds2entsprechend länger ist als ds1.
Mehrere gerade Leiter
Wie in Bild 11 gezeigt, sollen mehrere gerade Leiter von unterschiedlichen Strömen durchflossen werden:
Bild 5.11
Vorlesungsfolien GdE I
176
Jeder dieser Leiter erzeugt ein seinem Strom direkt
proportionales mag. Feld. Diese Felder überlagern sich linear
zum Gesamtfeld:
r r r
r
H = H1 + H 2 + H3 .
Das Linienintegral entlang der geschlossenen Kurve C (Bild
5.11) ergibt dann durch Überlagerung aller Feldbeiträge der
einzelnen Ströme die Gesamterregung:
r r
r r
r r
r r
∫ H ⋅ ds = ∫ H1 ⋅ ds + ∫ H2 ⋅ ds + ∫ H3 ⋅ ds = I1 + I2 + I3 ,
C
C
C
C
die durch die Summe aller von C umschlossenen Ströme gebildet
wird. Analog dazu kann auch die von C berandete Fläche A
betrachtet werden:
Alle Ströme, die durch die Fläche A hindurchtreten, bilden
die Gesamterregung des magnetischen Feldes.
Vorlesungsfolien GdE I
177
5.5.3 Die magnetische Spannung
Aus der Elektrostatik ist bekannt:
P2
r r
∆Φ12 = Φ( P1 ) − Φ(P2 ) = U12 = ∫ E ⋅ ds ,
(1.19)*
P1
dass die elektrische Spannung aus der Potentialdifferenz und
damit letztlich aus dem Linienintegral über die elektrische
Feldstärke berechnet wird.
Analog dazu soll nun der Begriff der magnetischen Spannung
definiert werden als Linienintegral der magnetischen Erregung
zwischen zwei Punkten:
P2
r r
Vm = ∫ H ⋅ ds
(5.24)
P1
Dieser Begriff findet später Anwendung, wenn sog. magnetische
Kreise (in Analogie zum elektrischen Stromkreis) besprochen
werden. In diesen ist die mag. Spannung die „treibende Kraft“.
Einheit der magnetischen Spannung:
A
[Vm ] = [H ][ds ] = m = A
m
Vorlesungsfolien GdE I
178
Für einen geschlossenen Weg C wird das Linienintegral
r r
Vm = ∫ H ⋅ ds
o
C
als magnetische Randspannung bezeichnet. Die magnetische
Randspannung ist im allgemeinen nicht Null.
5.5.4 Das Durchflutungsgesetz
Im Abschnitt 5.5.2 waren die Stromleiter stets gerade. In Bild
5.12 ist eine kreisförmig gebogene Leiterschleife gezeigt.
Bild 5.12
Vorlesungsfolien GdE I
179
Für diese gilt ebenfalls die zu I proportionale Abhängigkeit:
r r
∫ H ⋅ ds = I
C
Mit diesem und dem aus Bild 5.11 gewonnenen Ergebnis soll
nun ein allgemeiner Zusammenhang zwischen der
r
mag. Erregung H und den „Quellen“ I gefunden werden,
die von einer geschlossenen Kurve C umschlossen werden
bzw.
die durch die Fläche A treten, die von C umschlossen wird.
Dazu dient Bild 5.13, wobei Θ die mit der Randkurve C
verkettete Durchflutung bezeichnet:
Bild 5.13
Vorlesungsfolien GdE I
180
Damit kann das sog. Durchflutungsgesetz formuliert werden:
„Die magnetische Randspannung auf einer beliebigen geschlossenen Randkurve C ist gleich der mit C verketteten
Durchflutung.“
Mathematisch heißt das:
r r
Vm = ∫ H ⋅ ds = Θ
o
(5.25)
C
Beachte:
Umlaufrichtung von C und Durchflutung Θ müssen eine
Rechtsschraube bilden.
Wird, wie in Bild 5.13 die Durchflutung durch Teilströme (i=1,
2, 3) gebildet, dann gilt:
n
Θ = ∑ I i = I1 − I 2 + I 3 + 0
(5.26)
i =1
Der Strom muss nicht in einzelnen Stromfäden lokalisiert sein,
er kann sich auch über die Fläche A verteilen. Dann gilt:
r r
Θ = ∫∫ J ⋅ dA
(5.27)
A
r
Der Flächenvektor dA zeigt in Richtung der Durchflutung Θ,
wobei Gl. (5.27) direkt mit Gl. (2.5) verknüpft ist.
Vorlesungsfolien GdE I
181
Damit lautet die allgemeine Form des Durchflutungsgesetzes:
r r
r r
∫ H ⋅ ds = ∫∫ J ⋅ dA
C
(5.28)
A
Hier ist die geschlossene Kurve C der Rand der Fläche A, die von
der Durchflutung Θ durchsetzt wird.
Beachte: Gl. (5.28) gilt nur für zeitlich konstante Ströme und
Felder. Später wird dieses noch um einen Term erweitert.
5.5.5 Beispiele zum Durchflutungsgesetz
1. Beispiel: Das magnet. Feld im Inneren einer Zylinderspule
In Bild 5.14 ist eine sehr (unendlich) lange Zylinderspule
(Solenoid) gegeben.
Bild 5.14
Vorlesungsfolien GdE I
182
Diese Spule habe k Windungen pro Längeneinheit, die ohne
Zwischenraum aneinander liegen. Der Strom im Draht habe die
Stärke I. Das Verhältnis von Länge zu Durchmesser ist sehr
groß.
Aus diesen Annahmen folgt:
• das Feld im Außenraum ist gleich Null
• das Feld im Inneren ist homogen
Nun wird das Durchflutungsgesetz auf die rechteckförmige
Randkurve C angewendet, wobei das Linienintegral längs C in
der vorgegebenen Richtung gebildet wird:
r r b r r c r r d r r a r r
∫ H ⋅ ds = ∫ H ⋅ ds + ∫ H ⋅ ds + ∫ H ⋅ ds + ∫ H ⋅ ds
C
a
b
c
(*)
d
In (*) sind rechts die Integrale von b nach c und von d nach a
Null, da die Vektoren im Skalarprodukt senkrecht stehen.
Das Integral von c nach d ist Null, da im Außenraum kein Feld
vorhanden ist. Damit bleibt für die linke Seite von Gl. (5.28):
r r b r r r
∫ H ⋅ ds = ∫ H ⋅ ds = H
∫ ds = H l
C
a
a
b
Vorlesungsfolien GdE I
183
Die rechte Seite des Durchflutungsgesetzes Gl. (5.28), also die
Durchflutung der Kurve C, ergibt:
r r
Θ = ∫∫ J ⋅ dA = K I
A
mit insgesamt K Windungen innerhalb von C. Damit ergibt sich:
H l = KI
oder mit der längenbezogenen Windungszahl k=K/l:
H=
KI
= kI
l
(5.29)
Die Einheit für KI wird mit Amperewindungen bezeichnet. D.h.
wenn z.B. durch die Spule 1 A fließt und innerhalb von C
6 Windungen liegen (K=6), dann ist KI =6 Amperewindungen.
Durch Multiplikation mit
Flussdichte:
µ0 ergibt sich die magnetische
B = µ0 k I
Vorlesungsfolien GdE I
184
2. Beispiel: Das magnetische Feld eines zylindrischen Drahtes
mit endlicher Dicke
Gegeben sei ein Draht mit kreisförmigem Querschnitt (Radius a),
der vom Gesamtstrom I durchflossen wird. Dieser ist gleichmäßig über den Querschnitt verteilt (Bild 5.15). Der Draht sei
unendlich lang und gerade.
Gesucht sind mag. Erregung und Flussdichte innerhalb und
außerhalb des Drahtes.
Aus diesen Vorgaben folgt:
• die Feldlinien der mag. Erregung und Flussdichte sind aus
Symmetriegründen konzentrische Kreise,
• auf einem beliebigen Kreis mit Radius r sind B und H
konstant.
Bild 5.15
Vorlesungsfolien GdE I
185
Zunächst sollen die Felder im Inneren berechnet werden:
Dazu wird das Durchflutungsgesetz auf die Fläche Ar mit dem
Radius r angewendet.
Die linke Seite von Gl. (5.28) ergibt:
r r
∫ H ⋅ ds = 2π r H
C
und die rechte Seite:
r r
I
r2
∫∫A J ⋅ dA = ∫∫A JdA = ∫∫A π a 2 dA = I a 2
r
r
r
Damit erhält man für die Felder im Inneren:
H=
r
I;
2
2π a
B = µ0
r
I
2
2π a
r≤a
(5.30)
Für die Felder im Außenraum ergibt sich direkt mit Gl. (5.22)
und (5.20):
H=
I
2π r
;
B = µ0
I
2π r
Vorlesungsfolien GdE I
r≥a
186
Bei r=a müssen beide Lösungen stetig ineinander übergehen.
Damit ergibt sich die in Bild 5.16 dargestellte Abhängigkeit der
mag. Erregung vom Radius (der auf den Drahtradius bezogen
wird):
Bild 5.16
Dieses Ergebnis gilt streng genommen nur für den unendlich
langen, geraden Leiter mit endlicher Dicke.
Näherungsweise ist dies auch im Inneren und in der Nähe des
Drahtes gültig, wenn der Krümmungsradius sehr viel größer ist
als der Drahtradius.
Vorlesungsfolien GdE I
187
5.6 Kraft zwischen zwei stromdurchflossenen Leitern
In Bild 5.17 sind zwei parallele, stromdurchflossene Leiter (I1, I2)
gegeben. Ist die Stromrichtung entgegengesetzt, stoßen sich die
Leiter ab:
Bild 5.17
Ist die Stromrichtung gleich, ziehen sich die Leiter an.
Da die Felder des jeweils anderen Leiters überall auf dem
betrachteten Leiter senkrecht stehen, erhält man für die Kräfte
auf die Leiterstücke 1 und 2 der Länge l:
F1 = I1 l B2
mit
folgt
I1
B1 = µ0
2π a
F2 = I 2 l B1
I2
B2 = µ0
2π a
I1 I 2
F1 = F2 = µ 0l
2π a
Vorlesungsfolien GdE I
(5.31)
188
Betrachtet man die Einheiten von Gl. (5.31), dann erkennt man,
dass sich damit das „Ampere“ festlegen lässt:
„Das Ampere ist die Stärke eines zeitlich konstanten Stroms, der
auf zwei parallele, unendlich lange, im Abstand von 1 Meter
befindliche Leiter mit sehr kleinem Querschnitt die Kraft von
2⋅10-7 N pro 1 Meter Leitungslänge hervorruft *).“
F
N
= 2 ⋅10 −7 ,
l
m
Damit:
I1 = I 2 = I = 1A
a = 1m
Mit dieser Festlegung vom 2.7.1969 ist dann auch µ 0 festgelegt:
µ0 =
F 2π a
−7 2π Nm
−7 Vs
=
2
⋅
10
=
4
π
⋅
10
l I2
1 A2 m
Am
Im Voraus:
Zusammenhang zwischen den Feldkonstanten und der
Ausbreitungsgeschwindigkeit des Lichts:
c=
1
µ0 ε 0
(5.32)
*) Der Betrag der Kraft wurde so gewählt, dass die Definition für „Ampere“ mit der
alten Definition übereinstimmt.
Vorlesungsfolien GdE I
189
Da für c = 2,9979 · 108 m/s gilt, ist die Dielektrizitätskonstante
ebenfalls festgelegt:
ε 0 = 8,8543 ⋅10
−12
As
Vm
5.7 Zur Bestimmung magnetische Felder
wird wegen fehlender mathematischer Grundlagen zu einem
späteren Zeitpunkt nachgeholt!
Vorlesungsfolien GdE I
190
5.8 Die magnetischen Eigenschaften der Materie
Bereits in den letzten Kapiteln wurde angedeutet, dass der
Magnetismus vermutlich auf Kreisströme, hervorgerufen durch
die gebundenen Elektronen, zurückzuführen ist. Normalerweise
sind die den Kreisströmen zugeordneten Dipolmomente
gleichmäßig in alle Raumrichtungen verteilt. Eine magnetische
Wirkung ist erst dann zu beobachten, wenn die einzelnen
Dipolmomente teilweise eine Vorzugsrichtung erhalten.
Die Aufgabe lautet nun: Wie kann das (mikroskopische) Verhalten der Materie mit der (makroskopischen) Beschreibung des
Feldes verknüpft werden?
5.8.1 Der Magnetisierungsvektor
Betrachtet wird ein Abschnitt dl aus einem Eisenstab, in dem alle
Dipolmomente gleichgerichtet sein mögen (Bild 5.19a).
„Schicht 1“
„Schicht 2“
Bild 5.19 a
Vorlesungsfolien GdE I
191
Pro Volumeneinheit seien Nm solcher Dipole enthalten.
Daraus ergibt sich die Definition der Magnetisierung:
r
Der Vektor der Magnetisierung M setzte sich aus allen im
Volumen enthaltenen magnetischen Dipolen zusammen.
r
r
M = Nm m
(5.37)
Diese Gleichung gilt nur, wenn alle Dipolmomente gleiche
Orientierung haben. Andernfalls muss eine Vektoraddition
erfolgen.
M ist also das gesamte magnetische Dipolmoment pro Volumen.
Nun betrachten wir die zugehörigen Ringströme IM mit der
Fläche AM im Querschnitt A des Stabes, die die einzelnen Dipole
und deren Überlagerung hervorrufen (Bild 5.19 b):
Bild 5.19 b
Vorlesungsfolien GdE I
192
Im Inneren des Querschnitts A kompensieren sich die
Ringströme gegenseitig, lediglich am Umfang überlagern sich
alle kleinen Kreiströme zum Umfangsstrom IM, der überall „in
einer Schicht“ (siehe Bild 5.19 a) am Außenmantel um den Stab
die gleiche Richtung hat und in sich geschlossen ist.
Daher verhält sich ein homogen magnetisierter Stab wie eine
stromdurchflossene Spule.
Wie verhält sich nun die Magnetisierung M zu den Umfangströmen IM?
Wenn N0 die Zahl der Stromschleifen am Umfang bzw. die Zahl
der „Schichten“ ist (in Bild 5.19 a: N0=2), dann lässt sich die
Gesamtzahl Z der Dipole im Volumen des Stabstückes Adl
bestimmen zu:
Z = N0
A
,
Am
wobei A/AM die Zahl der Dipole innerhalb einer „Schicht“ ist und
AM die Fläche eines Kreisstroms. Andererseits kann Z auch
bestimmt werden zu:
Z = NM dV = NM A dl
Vorlesungsfolien GdE I
193
Wird Z eliminiert und auf beiden Seiten mit IM multipliziert:
r
N 0 I M = N M AM I M dl = N M m dl
ergibt sich mit Gl. (5.37):
r
N 0 I M = M dl
(5.38)
Dieses Ergebnis kann direkt mit dem des Solenoid aus Abschnitt
5.5.5.1 verglichen werden:
N0= 6 „Schichten“
Bild 5.14*
Danach entspricht N0IM der Durchflutung innerhalb der Kurve C
und Mdl der magnetischen Randspannung, wobei nur die Strecke
zwischen a und b einen Beitrag liefert (Bild 5.19 a).
Vorlesungsfolien GdE I
194
r
Damit kann die Magnetisierung M innerhalb des Stabes, d.h. im
Material, als magnetische Erregung im Stoff aufgefasst werden.
r
Das entspricht der magnetischen Erregung H außerhalb des
Stoffes.
Damit setzt sich das magnetische Feld in einem Punkt
zusammen:
r
r r
B = µ0 (H + M )
(5.39)
aus der magnetische Erregung H, die mit allen externen,
makroskopischen Strömen verknüpft ist und der Magnetisierung
M, die allein vom Material aufgebracht wird und die aus den
scheinbaren, inneren, mikroskopischen Strömen IM hervorgeht.
Permeabilität, Suszeptibilität
Üblicherweise wird anstelle von Gl. (5.39) eine zur Gl . (1.61)
r
r
D = ε 0ε r E
(1.61)*
analoge Schreibweise verwendet:
r
r
B = µ0 µr H
Vorlesungsfolien GdE I
(5.40)
195
Die Magnetisierung kann ausgedrückt werden durch:
r
r
r
M = (µr −1)H = χH ,
(5.41)
wobei mit Gl. (5.40) gilt:
r
r r
r r
r
r
B = µ0 (M + H ) = µ0 ( χ H + H ) = µ0 (χ + 1) H = µ0 µr H
Die Größe
µ r wird relative Permeabilität genannt und
χ = µr −1 Suszeptibilität des Stoffes.
5.8.2 Drehimpuls und magnetisches Moment
Die Ursache für die Dipolmomente liegt an zwei Bewegungen:
1. dem Spin der Elektronen, d.h. der Drehung um die eigene
Achse und
2. der Bewegung der Elektronen um den Atomkern.
Diese Bewegungen sind in beiden Fällen einem winzigen
Kreisstrom äquivalent.
Zunächst soll die Bahnbewegung des Elektrons um den Kern
betrachtet werden. Dabei soll dies mit den Mitteln der
klassischen Mechanik geschehen. Tatsächlich muss zur
Bestimmung von Spin- und Bahndrehimpuls die
Quantenmechanik verwendet werden. Daher dienen die
folgenden Berechnungen im Wesentlichen der
Veranschaulichung.
Vorlesungsfolien GdE I
196
Ein Elektron mit der Masse m0 bewegt sich im Abstand r und mit
der Winkelgeschwindigkeit ω um einen festen Mittelpunkt
(Atomkern) (Bild 5.20).
r r
LB , ω
•
r
v
r
r
•
m0,e
r
mB
Bild 5.20
Die Bahngeschwindigkeit ist gegeben durch:
v r r
v = ω×r
Der Drehimpuls der Punktmasse (Elektron) wird definiert zu:
r r
r
LB = r × (m0v )
r
(5.42)
r
und entspricht dem Impuls p = m v für geradlinige Bewegungen.
Vorlesungsfolien GdE I
197
Ändert sich der Drehimpuls in der Zeit, so wirkt ein Drehmoment:
r d r
T = LB
dt
,
(5.43)
wenn der Mittelpunkt der Kreisbewegung ortsfest ist. Mit dem
Zusammenhang zwischen Bahn- und Winkelgeschwindigkeit:
v = rω
wird der Betrag LB:
LB = m0 rv = m0 r 2ω
(5.44)
Der Term m0r2 wird Trägheitsmoment genannt.
Zur Bestimmung des magnetischen Dipolmoments muss nun der
Strom des Elektrons aufgrund seiner Bahnbewegung bestimmt
werden:
I=
dQ
dt
Da die Umlaufzeit des Elektrons 2πr / v beträgt, wird der Strom:
I=
e
2π r
v
Vorlesungsfolien GdE I
198
Das Dipolmoment wird gemäß Gl. (5.11):
ev
ev r
2
mB = I A =
πr =
2π r
2
(5.45)
Ebenso wie der Bahndrehimpuls steht auch das Dipolmoment
senkrecht auf der Bahnebene. Allerdings zeigt dies in die
entgegen gesetzte Richtung, da das Elektron eine negative
Ladung hat.
Setzt man Dipolmoment und Bahndrehimpuls ins Verhältnis,
erhält man:
mB evr 1
e
=
=
LB
2 m0 r v 2m0
Damit ergibt sich für das Bahndipolmoment:
e r
r
mB = −
LB
2m0
(5.46)
der auch mit der Quantenmechanik erhältliche Zusammenhang.
Vorlesungsfolien GdE I
199
Jetzt soll die Spinbewegung betrachtet werden. Dazu wird das
Elektron als kleine Kugel angenommen, in der Ladung und
Masse homogen verteilt sind, d.h. ρ m = m0 V bezeichnet die
Massendichte und ρ el = − e V die Raumladungsdichte.
Das Elektron rotiere mit der Winkelgeschwindigkeit ω um seine
Achse. Ein Volumenelement dV hat die Masse:
dm0 = ρ m dV
*)
dQ = − ρ el dV
**)
und die Ladung:
Damit ergibt sich für den Bahndrehimpuls von *) analog zu
Gl. (5.44):
dLS = r v dm0
Für das magnetische Dipolmoment gilt in Analogie zu Gl. (5.45):
vr
dmS = dQ
2
Das Verhältnis beider ergibt:
dmS
ρ dV
v r dQ
−e
=
= el
=
dLS 2r v dm0 2 ρ m dV 2m0
Vorlesungsfolien GdE I
(5.46)
200
Damit erhält man das gleiche Ergebnis wie im Falle der
Bahnbewegung, da der Vorfaktor − e 2m0 konstant bzgl. der
Integration ist:
e r
r
mS = −
LS
2m0
(falsch!!!)
Dieses Ergebnis entspricht nicht der Quantenmechanik. Diese
ergibt ein um den Faktor 2 größeres Verhältnis:
e r
r
mS = − LS
m0
(5.47)
Eine Überlagerung von Bahn- und Spinmoment, bzw. Bahn- und
Spindrehimpuls ergibt:
e r
r
mges = − g
Lges
2m0
(5.48)
Der Faktor g ist der sog. Landé-g-Faktor, der die Kopplung
zwischen Spin und Bahnmoment kennzeichnet und der je nach
Atom zwischen 1 und 2 liegt (1: reines Bahnmoment, 2: reines
Spinmoment).
Vorlesungsfolien GdE I
201
5.8.3 Diamagnetismus
Im Jahr 1836 entdeckte M. Faraday folgenden Effekt: Bringt
man eine Wismutprobe in die Nähe eines starken Magnetpols,
wird diese abgestoßen, gleiches gilt für Kupfer, Silber und Glas.
Der Diamagnetismus kommt in allen Substanzen vor. Allerdings
ist der Effekt sehr viel schwächer als der Para- oder der Ferromagnetismus.
Zur Erklärung des diamagnetischen Effekts betrachtet man
zunächst einen Stoff mit vielen Atomen. Diese sind beliebig in
alle Richtungen angeordnet, daher kompensieren sich alle
magnetischen Momente. Da sich im Prinzip genau zwei Atome
gegenseitig kompensieren, sollen diese in Bild 5.21 betrachtet
werden:
Bild 5.21
Vorlesungsfolien GdE I
202
Im linken Bild 5.21 läuft das Elektron links herum, im rechten
Bild rechts um den Atomkern. Da die elektrische Kraft zwischen
Kern und Elektron gleich der Zentrifugalkraft ist, gilt:
2
v0
FE = m0
= m0ω02 r
r
(5.49)
wobei die Bahngeschwindigkeit v0 (bzw. die Winkelgeschwindigkeit ω0) diejenige ohne Magnetfeld ist.
Werden die beiden Atome nun einem Magnetfeld ausgesetzt,
wirkt auf das umlaufende Elektron eine zusätzliche Kraft:
r
r r
FB = −e (v × B);
r
FB = ev B = eωr B
(5.2)*
die im linken Fall in Richtung der elektrischen Kraft wirkt, im
rechten Fall dieser entgegengesetzt ist. Die unterschiedlichen
Beträge der Kräfte haben unterschiedliche Winkelgeschwindigkeiten zur Folge:
r
r
links : FE + FB = m0 rω02 + erω1 B = m0 rω12 *)
r
r
rechts : FE + FB = m0 rω02 − erω2 B = m0 rω22 **)
Vorlesungsfolien GdE I
203
Zunächst soll die rechte Seite von *) berechnet werden mit
ω1= ω0+∆ω :
m0rω12 = m0r(ω0 + ∆ω ) = m0r (ω02 + 2ω0∆ω + ∆ω 2 ) ≈
2
m0r (ω02 + 2ω0∆ω )
Diese Näherung gilt, da ∆ω << ω1, ω2,. Jetzt wird die Näherung
in *) eingesetzt:
m0 rω02 + erω1 B ≈ m0 rω02 + m0 r 2ω0 ∆ω
damit wird:
∆ω ≈
eω1 B
eB
≈
2m0ω0 2m0
***)
Analog gilt für die rechte Seite von **) mit ω2= ω0 - ∆ω :
2
m0 rω22 = m0 r (ω0 − ∆ω ) ≈ m0 r (ω02 − 2ω0 ∆ω )
und in **) eingesetzt:
m0 rω02 − eω2 rB ≈ m0 rω02 − m0 r 2ω0 ∆ω
damit wird:
∆ω ≈
eω2 B
eB
≈
2m0ω0 2m0
Vorlesungsfolien GdE I
204
Die magnetischen Momente sind durch Gl. (5.45) gegeben:
evr eωr 2
mB = AI =
=
2
2
Sie sind proportional ω. Das magnetische Moment des linken
Elektrons zeigt in die Blattebene hinein, das rechte heraus.
Ohne Magnetfeld haben beide Elektronen gleiches
Dipolmoment, mit Magnetfeld wird das des linken erhöht und
des rechten vermindert um den Betrag:
e∆ω r 2
∆mB =
2
Damit wird die Gesamtänderung der Dipolmomente beider
Elektronen mit ***):
(5.50)
e
e2r 2
mD = ∆mB − (− ∆mB ) = er ∆ω = er
B=
B
2m0
2m0
r
r
Der Vektor mD ist zum Vektor B entgegengesetzt gerichtet.
r Die
Magnetisierung, hervorgerufen durch alle Dipolmomente mD in
2
2
einem Stoff, wirkt somit als (sehr schwache) Gegenerregung mit:
µ < µ 0 , bzw. µ r < 1
Z.B. Wismut: µr ≈ 1 - 1,6·10-4 ≈1
Vorlesungsfolien GdE I
205
5.8.4 Paramagnetismus
Zur Erinnerung:
Diamagnetische Stoffe weisen ohne ein äußeres magnetisches
Feld kein magnetisches Moment auf.
Dazu im Gegensatz:
Die Atome paramagnetischer Stoffe haben ein magnetisches
r
Moment m .
Wären alle atomaren magnetischen Momente innerhalb eines
Stoffes gleichgerichtet, ergäbe sich die Magnetisierung von:
r
r
M max = N m
bei N Atomen pro Volumeneinheit.
Aber: Oberhalb des absoluten Nullpunktes vollziehen alle Atome
eine thermische Bewegung. Daher sind die einzelnen Dipolmomente nicht gleichgerichtet.
Da die thermische Energie der einzelnen Atome sehr viel größer
ist als deren potenzielle magnetische (durch die Lage der
Momente zueinander, vgl. Kap. 5.4), ist die Gesamtwirkung
gering.
Pierre Curie (1859 - 1906, französischer Physiker) fand 1895
folgenden experimentellen Zusammenhang:
r
M =C
r
B
µ 0T
≤ M max
Vorlesungsfolien GdE I
(5.51)
206
Dabei ist C die Curie-Konstante. Da gilt:
sowie
ist
r
r
M = χH
(5.41)*
r
r
B = µ0 H
(5.21)*
χ=
C
T
Sind die Felder sehr groß oder die Temperaturen sehr klein, ist
Gl. (5.51) nicht gültig. Für ein typisches Feld von 1 T und
Temperaturen größer 250 K befindet man sich im linearen Teil
der Kurve 5.22, die die Abhängigkeit der Magnetisierung
(bezogen auf die Temperatur) vom magnetischen Feld zeigt. Hier
ist Gl. (5.51) gültig.
Bild 5.22
Vorlesungsfolien GdE I
207
Vergleicht man die paramagnetische Suszeptibilität χ p mit der
diamagnetischen χ d , dann stellt man fest, dass die paramagnetische um ca. 2 Größenordnungen größer ist.
Paramagnetische Stoffe sind: Aluminium (Al), Silizium (Si),
Platin (Pt) und weitere.
Da Diamagnetismus in allen Stoffen vorkommt, sind diamagnetische Stoffe solche, die nicht paramagnetisch und nicht
ferromagnetisch sind.
5.8.5 Ferromagnetismus
Wie die paramagnetischen Stoffe besitzen auch die ferromagnetischen ein permanentes magnetisches Moment.
Dieses kommt vom Spin (Eigenrotation) der gebundenen
Elektronen (ergibt sich aus der Quantentheorie der Atome). Die
kleinen Dipole wechselwirken miteinander und erzeugen spontan
eine Gesamtausrichtung (die quantenmechanisch berechenbar ist)
des magnetischen Moments.
Wichtig: Ferromagnetismus ist nicht nur eine Eigenschaft
einzelner Atome, sondern auch die zwischen benachbarten
Atomen. D.h. innerhalb eines Bereichs werden die Momente
„synchronisiert“.
Vorlesungsfolien GdE I
208
Diese Bereiche (Bild 5.23) werden „Weißsche Bezirke“ genannt.
Deren Orientierung der Magnetisierung ist ohne äußeres Feld
völlig regellos.
Bild 5.23
Wird eine stoffspezifische Temperatur, die Curie-Temperatur,
überschritten, dann hört die spontane Magnetisierung innerhalb
der Bezirke plötzlich auf. Der Stoff wird paramagnetisch. Für
Eisen beträgt die Curie-Temperatur 1033 K.
Die Magnetisierungskurve
Im folgenden soll ein äußeres Feld an das ferromagnetische
Material gelegt werden. Gleichzeitig wird die makroskopische
Wirkung dieses Materials beobachtet, indem eine sog.
Magnetisierungskurve aufgenommen wird. Eine
Magnetisierungskurve ist die Abhängigkeit der Flussdichte von
der (von außen eingeprägten) magnetischen Erregung.
Vorlesungsfolien GdE I
209
Die äußere Erregung wird mit einer Ringspule erzeugt, die im
Inneren einen Eisenring hat:
Bild 5.3*
Ist der Ringdurchmesser groß gegen den Windungsdurchmesser,
ergibt sich ein relativ homogenes Magnetfeld im Inneren (vgl.
Kap. 5.2). Die Erregung ist bei n Windungen:
H ≅ nI
Die magnetische Flussdichte B (alle Größen hier skalar) kann
durch Messung der induzierten Spannung ermittelt werden (erst
in Kap. 6).
Vorlesungsfolien GdE I
210
Bild 5.24 zeigt typische Magnetisierungskurven eines
ferromagnetischen Stoffes:
Bild 5.24
Erläuterung:
1. Start bei I = 0; Strom wird langsam erhöht, B wächst entlang
der Kurve 1, der sog. Neukurve. B ist in Tesla angegeben, H
wird mit µ multipliziert, um die Verhältnisse der Zahlen0
werte auf x- und y-Achse zu verdeutlichen. Damit ist µ 0 H
in µTesla angetragen!
Daraus geht hervor, dass χ bzw. µ r sehr viel größer als 1 sind.
Vorlesungsfolien GdE I
211
2. Bei größer werdenden Werten von H wird die Kurve flacher,
man spricht von Sättigung des Eisens.
3. Für sehr große Werte von H wird die Steigung zu 1, d.h.
∆B
=1
µ0 H
und mit
r
r r
B = µ0 (H + M )
(5.39)*
folgt, dass in diesem Bereich M = konstant ist.
(Geradengleichung). Weiterhin wird deutlich, dass mit
r
r
B = µ0 µr H
(5.40)*
die relative Permeabilität stark von H abhängt.
4. Lässt man den Strom I bzw. die Erregung H langsam wieder
abnehmen, dann nimmt B nicht längs der Neukurve 1 ab,
sondern entlang der Kurve 2. Damit sind die B-Werte stets
größer als die der Kurve 1. Bei H = 0 bleibt eine magnetische
Flussdichte Br, die sog. Remanenzflussdichte, erhalten. Dies
ist der permanente Magnetismus.
Vorlesungsfolien GdE I
212
5. Um B auf Null zu bringen, muss die Erregung negativ werden.
Die dazu erforderliche Erregung heißt Koerzitivfeldstärke Hc.
6. Mit wachsender negativer Erregung wird das Eisen in
negativer Richtung gesättigt. Wird die Stromrichtung wieder
geändert, d.h. die Erregung in entgegengesetzter Richtung
aufgeprägt, durchläuft man die Kurve 3. Die y-Achse wird bei
-Br und die x-Achse bei +Hc durchlaufen.
7. Die Kurven 2 und 3 zusammen nennt man Hystereseschleife.
Die Form der Hystereseschleife hängt von der Eisensorte ab
und davon, wie weit die Neukurve 1 durchlaufen wurde.
Bricht man die Neukurve an einer Stelle geringerer Erregung
ab (siehe gestrichelte Linie), dann wird die Hystereseschleife
kleiner. D.h. bei gegebener Erregung H hängt die Flussdichte
B von der Vorgeschichte ab!
8. Schlanke bzw. schmale Hystereseschleifen ordnet man
magnetisch weichem Material zu, breite magnetisch hartem.
Im ersten Fall ist die Ummagnetisierung leicht, d.h. Hc ist
gering, im zweiten Fall ist Hc groß.
Vorlesungsfolien GdE I
213
Phänomenologische Beschreibung der Neukurve 1:
Die Magnetisierungrichtung der einzelnen Weißschen Bezirke ist
parallel oder unter einem bestimmten Winkel zu den Kristallachsen angeordnet (Bild 5.25 a). Bestimmte Richtungen sind
energetisch bevorzugt, diese werden als leicht bezeichnet, die
anderen als schwer.
Ist das an dem polykristallinen Eisen angelegte Feld schwach,
erfolgt ein Wachstum der Bezirke (Bild 5.25 b), deren Richtung
mit der der Erregung zumindest teilweise, d.h. in einer
Komponente, übereinstimmt. Insbesondere leichte Bezirke
wachsen stärker:
a) ohne Feld
b) Wandverschiebung
c) Drehung
Bild 5.25
Diesen Vorgang nennt man Wandverschiebung (5.25 b).
Vorlesungsfolien GdE I
214
Die Wandverschiebung entspricht dem schwachen Anstieg der
Neukurve 1 im Anfangsbereich.
Für kleine Felder ist dieser Vorgang reversibel, d.h. wird H in
Bild 5.25 b ausgeschaltet, stellt sich der Zustand 5.25 a wieder
ein. Damit ist die Flussdichte B wieder Null.
Wird H vergrößert, verschiebt sich die Wand weiter. Damit
wächst die Wahrscheinlichkeit, dass die Wand an eine
Verunreinigungsstelle (andere Stoffe, Korngrenze, ...) gelangt, an
der die Verschiebung zunächst stoppt. Erst bei weiterer
Felderhöhung „springt“ die Wand. Damit wird die
Magnetisierung unstetig. Dieses Verhalten beschreibt den
mittleren Teil der Neukurve, der bei Vergrößerung
treppenförmig verläuft. Dieser Bereich ist nicht mehr reversibel.
Der letzte Abschnitt der Magnetisierung entspricht der Drehung
der Dipolmomente aus den „leichten“ Richtungen in die
Richtung des äußeren Feldes (Bild 5.25 c). Dazu ist ein starkes
Feld nötig. Der Anstieg der Kurve 1 ist daher viel flacher.
Die einzelnen Abschnitte der Magnetisierungskurve lassen sich
nicht scharf abgrenzen, der Übergang ist fließend. Polykristallines Eisen besteht aus vielen Kristallen, die wiederum jeweils
mehrere Weißsche Bezirke beinhalten. Die Größe und
Ausbildung der Kristalle hängen auch von der Vorbehandlung
des Materials ab. Damit hängen auch die Neukurve und die
Hystereseschleife von der Vorbehandlung ab.
Vorlesungsfolien GdE I
215
Durch die Vorbehandlung wird auch die Ausrichtung der
Kristalle beeinflusst, die wiederum zur Anisotropie des
magnetischen Verhaltens führt. Deswegen sind die
Magnetisierungskurven (Bild 5.24) auch noch abhängig von der
Richtung der Erregung.
Aufgrund dieser komplexen Zusammenhänge gibt es bisher
keine physikalisch begründete geschlossene Beschreibung der
gesamten Kurve!!
Daher ist es üblich, mit der gemessenen Kurve der benutzten
Eisensorte zu arbeiten. Die gemessenen Verläufe können auch
mit geeigneten Funktionen approximiert werden (z.B. mit
Parabelabschnitten). Bei weichmagnetischem Eisen für
elektrische Maschinen kann man mit einer mittleren Linie
(Neukurve) arbeiten, insbesondere wenn, wie in der
Wechselstromtechnik, die Hysterese periodisch durchlaufen
wird.
Bei schneller Änderung des Bezirkes und der Magnetisierung
entstehen Energieverluste. Z.B. erzeugt das plötzliche
„Springen“ der Wand eine Schallwelle, die Energie
abtransportiert. Später wird gezeigt, dass die Fläche innerhalb
der Hystereseschleife ein Maß für die
Ummagnetisierungsverluste bei einmaligem Durchlauf darstellt.
Vorlesungsfolien GdE I
216
5.8.6 Bedingungen an Grenzflächen
Im elektrischen Feld wurde festgestellt, dass an der Grenzfläche
zweier Dielektrika gilt (Kap. 1.9.2):
1.
2.
Et1 = Et 2
(1.63)*
Dn1 = Dn 2
(1.64)*
Analog dazu werden jetzt in Bild 5.26 die Feldlinien der
magnetischen Flussdichte an der Grenzfläche zweier Materialien
mit unterschiedlicher Permeabilität betrachtet.
Bild 5.26 a
Vorlesungsfolien GdE I
5.26 b
217
Zunächst wird das Durchflutungsgesetz auf den Rand des
Rechtecks in Bild 5.26 b angewendet. Die Schmalseiten des
Rechtecks seien infinitesimal klein. Daher liefern sie keinen
Beitrag zur magnetischen Randspannung. Da durch das Rechteck
kein Strom fließt, gilt:
r r
∫ H ⋅ ds =H t1d − H t 2 d = 0
Hier ist d klein genug, um mit konstanter Erregung auf den
Längsseiten rechnen zu können. Daraus folgt mit
H t1 = H t 2
(5.52)
die Stetigkeit der Tangentialkomponenten der magnetischen
Erregung an der Grenzfläche.
Nimmt man nun das Rechteck in Bild 5.26b als Schnittfläche
durch einen zylindrischen Körper („Schuhcremedose“) und
wendet die Quellenfreiheit des mag. Flusses darauf an:
r r
∫∫ B ⋅ dA = 0 = − Bn1 A + Bn 2 A ,
dann gilt damit:
Bn1 = Bn 2
(5.53)
die Stetigkeit der Normalkomponenten der mag. Flussdichte an
der Grenzfläche.
Vorlesungsfolien GdE I
218
Mit den Winkeln der Feldlinien zur Normalen der Grenzfläche
gilt:
tan α1, 2 =
Bt1, 2
Bn1, 2
= µ 0 µ r1, 2
H t1, 2
Bn1, 2
Das Verhältnis der beiden Tangens ergibt:
tan α1 µ r1 H t1 Bn 2 µ r1
=
=
tan α 2 µ r 2 H t 2 Bn1 µ r 2
(5.54)
das Brechungsgesetz der Feldlinien der magnetischen
Flussdichte an einer Grenzfläche. Solange B und H
gleichgerichtet sind in beiden Medien, gilt dies auch für die
magnetische Erregung.
Grenzschicht Luft - Eisen
µ r1 = 1
µ r 2 >> 1
Luft
Eisen
Vorlesungsfolien GdE I
Bild 5.26 c
219
Damit wird das Brechungsgesetz:
tan α1
<< 1
tan α 2
bzw.
tanα2 >> tanα1
Gilt
0 ≤ α2 <
π
2
, dann wird
α1 ≈ 0 , d.h. beim Übergang aus
einem hochpermeablen Material in Luft treten die Feldlinien der
magnetischen Flussdichte nahezu senkrecht aus.
Gilt aber
α2 =
π
2
, dann ist auch α1 =
π
2
. In diesem Fall ist
Bt1 = B1 und Bt2 = B2. In diesem Fall gilt weiterhin:
Bt1 B1 µ1Ht1 µ1
= =
= <<1
Bt 2 B2 µ2 Ht 2 µ2
und damit wird:
B1 << B2
D.h. das Feld in Luft ist sehr klein. Fast das gesamte Feld wird
im Eisen geführt!
Vorlesungsfolien GdE I
220