Potentielle Energie der Feder

Potentielle Energie der Feder
v
Frückstell
x
U pot = − ∫ Frückstell ( x′) ⋅ dx′
v
F
0
In der Feder gespeicherte
Energie; Arbeitsfähigkeit
der Feder
0
Frückstell = − k ⋅ x
X
Wie ist der Ausgangspunkt (Nullpunkt) der Integration zu wählen?
Antwort: Immer bei der Ruhelage der Feder (Position ohne Federspannung)
x
x
0
0
U pot = − ∫ Frückstell ( x ′) ⋅ d x ′ = − ∫ ( − k ⋅ x ′) ⋅ d x ′ =
k 2
x
2
Unterschied der potentiellen Energien an zwei Positionen x1 und x2:
U pot ( x 2 ) − U pot ( x1 ) =
x2
k 2
k 2
x 2 − x1 = − ∫ ( − k ⋅ x ′) ⋅ d x ′
2
2
x1
Potentielle Energie der Doppelfeder
Feder 1, k1
Feder 2, k2
Auslenkung des Körpers
0
X
X
X0
1. Potentielle Energie berechnet für effektive Feder (keff = k1 + k2) bezüglich
der Ruhelage x0:
x
U = − ∫ ( − k eff ⋅ x ′) ⋅ d x ′ =
x0
k eff
2
x −
2
k eff
2
x 02
2. Potentielle Energie als Summe der potentiellen Energien der Einzelfedern:
U
Feder
1(x) + U
Feder
k1 2
k
k
k
x − 1 x 02 ) + ( 2 x 2 − 2 x 02 ) =
2
2
2
2
k eff
k eff
2
2
x0 ) =
x −
x 02
2
2
2 (x) = (
k1 + k 2 2
k + k2
x − ( 1
2
2
Potentielle Energie der
hängenden Feder
0
Gesamte potentielle Energie
bezüglich der Ruhelage der Feder:
Uges = UGewicht + UFeder
m
X
mit:
UGewicht = - m g x
UFeder = (k/2) x2
Energie der schwingenden Feder
Gesamtenergie bezüglich der Ruhelage
der Feder (x = 0):
T(t) + Uges(t) =
0
= T(t) + UGewicht(t) + UFeder(t) =
=
(m/2) v2(t) - m g x(t) + (k/2) x2(t)
Energieerhaltung: T(t) + Uges(t) = zeitunabhängig
Feder mit
Körper
schwingt
X0
m
X(t)
Gesamtenergie bezüglich der Ruhelage
x0 des Systems Feder+Körper:
T + Uges = (m/2) v2 - m g (x-x0) +
+ (k/2) x2 - (k/2) x02 ,
aber nicht:
T + Uges = (m/2) v2 - m g (x-x0) + (k/2) (x - x0)2 !!
Geschwindigkeit eines Geschosses
Aufgabe: Bestimmung der Geschwindigkeit eines
Geschosses mit Hilfe eines Pendelkörpers
Vorgehen: Schießen in den Pendelkörper und
Verwendung der Gesetzmäßigkeiten des vollständig
inelastischen Stoßes
Herr Schaun
M
vGeschoss
∆x
Maximalauslenkung
des Pendels
... (Hoffentlich schießt er den Pendelkörper nicht
kaputt) ....
Geschwindigkeit eines Geschosses
Erster Schritt: Bestimmung de Pendellänge l
Messung der Periodendauer T des schwingenden
Pendels:
Messung ergibt T = 4 s
l
M+m
M
∆x
Maximalauslenkung
des Pendels
aus T = 2π
l
g
⇒
erhält man l = (
T 2
4s
m
) g = ( ) 2 9.81 2 ≈ 4m
2π
2π
s
vGeschoss
m
Zweiter Schritt: Messung der
Maximalauslenkung des Pendelkörpers
Messung ergibt ∆x = 10 cm
Geschwindigkeit eines Geschosses
Dritter Schritt: Verwendung der Impulserhaltung:
m vGeschoss = (M+m) vnachher
(1)
und der Energieerhaltung:
(2)
(M+m)/2 v2nachher = (M+m) g h
α
l
M+m
M
∆x
Maximalauslenkung
des Pendels
h: Steighöhe des Pendels
h = l – l cos(α) = l (1 - cos(α))
für kleines α : cos(α) ≈ 1 - α2/2 + ...
erhält man h ≈ l (1 – 1 + α2/2) = l α2/2
h
Substitution von vnachher in Gl. (1) mittels
Gl. (2) ergibt:
m ⋅ vGeschoss = ( M + m) ⋅ 2 ⋅ g ⋅ h
Mit der Beziehung zwischen h und l:
vGeschoss =
M +m
⋅ g⋅h
m
wobei α =
∆x
l