Einführung in die Spieltheorie und experimentelle Ökonomie Aufgabe 1 Übung Kap. 7&8 - 03.11.2010 Aufgabe 1a Aufgabe 1b • Nash-Gleichgewichte in reinen Strategien: 2 A B A 0, 0 –1, 1 B 1, -1 -2, -2 • Zur Erinnerung: Eine gemischte Strategie für einen Spieler legt fest, mit welchen Wahrscheinlichkeiten der Spieler jede seiner reinen Strategien spielt. 1 • {A, B} und {B, A}. Aufgabe 1b Aufgabe 1b Nash-GG in gemischten Strategien: Spieler 1 wählt p so, dass Spieler 2 gerade indifferent ist zwischen A und B: 2 A (q) B (1-q) A (p) 0, 0 –1, 1 B (1-p) 1, -1 -2, -2 1 0 p + ( −1)(1 − p ) = 1 p + ( −2 )(1 − p ) 0 p + ( −1)(1 − p ) = 1 p + ( −2 )(1 − p ) p −1 = 3 p − 2 2p =1 p = 0.5, 1 − p = 0.5. Aufgabe 1b Aufgabe 1c • Spieler 2 wählt q so, dass Spieler 1 gerade indifferent ist zwischen A und B: • Reaktionskurve von Spieler 2: 0q + ( −1)(1 − q ) = 1q + ( −2 )(1 − q ) q = 0.5, 1 − q = 0.5. • Nash-GG in gemischten Strategien: {(0.5, 0.5), (0.5, 0.5)} Wenn p < 0.5 ist, wird Spieler 2 Strategie A wählen, d.h. q = 1. p 1 Solange p > 0.5 ist, 0.5 wird Spieler 2 Strategie B wählen, d.h. q = 0. Aufgabe 1c q 1 0.5 Aufgabe 1d • Reaktionskurve von Spieler 1: p Nash-GGe in reinen Strategien 1 p Wenn q > 0.5 ist, wird Spieler 1 Strategie B wählen, d.h. p = 0. 1 Solange q < 0.5 ist, wird Spieler 1 Strategie A wählen, d.h. p = 1. 0.5 1 q 0.5 Nash-GG in gemischten Strategien 1 0.5 q Aufgabe 2a 2 Aufgabe 2 q 1 L 1-q R p O 1, 16 4, 6 1-p U 2, 20 3, 40 16p + 20(1 – p) = 6p + 40(1 – p) ⇒ p = 2/3, (1 – p) = 1/3 q + 4(1 – q) = 2q + 3(1 – q) ⇒ q =1/2, (1 – q) = 1/2 Nash-GG in gemischten Strategien: {(2/3, 1/3), (0.5, 0.5)} Aufgabe 2b Aufgabe 2b 2 q 1 2 1-q L q R p O 1, 16 4, 6 1-p U 2, 20 3, 40 1 L 1-q R p O 1, 16 4, 6 1-p U 2, 20 3, 40 Erwartete Auszahlung von Spieler 1: Erwartete Auszahlung von Spieler 2: 16 pq + 6 p (1 − q ) + 20 (1 − p ) q + 40 (1 − p )(1 − q ) , p = 2 3, q = 1 2. = 52 3. 1 pq + 4 p (1 − q ) + 2 (1 − p ) q + 3 (1 − p )(1 − q ) , p = 2 3, q = 1 2. = 5 2. Aufgabe 2c Aufgabe 2c 2 q 1 L 1-q R p O 1, 16 4, 6 1-p U 2, 20 3, 40 Die gemeinsamen Auszahlungen sind grösser wenn Spieler 1 U spielt. Aber seine höchst mögliche Auszahlung erhält er, wenn er O spielt. • Um eine Chance zu haben die Auszahlung 4 zu erreichen, muss Spieler 1 gelegentlich O spielen. • Wenn die Spieler sich absprechen könnten immer U und R zu spielen, hätten beide eine höhere erwartete Auszahlung als im gemischten Gleichgewicht (3 > 5/2,40 > 52/3). • Wäre z.B. möglich wenn das Spiel wiederholt gespielt wird. Aufgabe 3 - Spielbaum AIRBUS, BOEING Frieden $300m, $300m Krieg -$100m, -$100m Boeing Aufgabe 3 Eintritt AIRBUS Kein Eintritt 0, $1000m Aufgabe 3a Es existieren zwei NashGleichgewichte in reinen Strategien. {(Eintritt), (Frieden)}. {(Kein Eintritt), (Krieg)} Aufgabe 3b Boeing 1-q Frieden Krieg q Boeing p Frieden Krieg Eintritt AIRBUS 1-p Kein Eintritt Eintritt AIRBUS 300, 300 300, 300 -100, -100 0, 1000 0, 1000 -100, -100 300p + 1000(1-p) = -100p + 1000(1-p) ; p = 0 , Kein Eintritt 0, 1000 0, 1000 300q + -100(1-q) = 0q + 0(1-q) (1-p) = 1 ; q = 1/4, (1-q) = 3/4 Nash-GG in gemischten Strategien: {(0, 1), (1/4, 3/4)}