Boolesche Algebra 1

Boolesche Algebra 1
Die Arbeitsweise von Digitalrechnern beruhen nicht auf dem
Prinzip des Zählens wie die zahlreichen Rechenhilfen der
Geschichte, sondern auf Prinzipien des logischen Schließens.
Deshalb spielt die Logik, insbesondere in der Formalisierung
von
Georg Boole (1815 – 1864):
An Investigation of the Laws of Though
eine besondere Rolle.
Boolesche Algebra – Algebra auf der Basis einer Zweiermenge
(Zweiwertige Logik)
Durch
C.E. Shannon 1938,
A Symbolic Analysis of Relay and Switching Circuits‘
wurde eine Begründung einer Schaltungstheorie auf der Basis
der Booleschen Algebra geliefert.
Auf Grund der pragmatischen Tatsache, dass sich in der
Schaltungstechnik Bauelemente mit zwei stabilen
Zuständen (relativ) billig herstellen lassen, die zeit- und
energieeffizient arbeiten, bildet die Boolesche Algebra eine
der wichtigsten theoretischen Grundlagen der
Computertechnik.
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Kap. Boolesche Algebra
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Boolesche Algebra 2
Axiome der Booleschen Algebra
Eine Boolesche Algebra ist eine Menge MB von mindestens 2
Elementen zusammen mit zwei Verknüpfungen + und *, die in MB
definiert sind.
Huntingtonscher Axiomensatz:
(A1) Abgeschlossenheitsaxiom
Wenn A und B Elemente der Menge MB sind, dann
sind auch A + B und A * B Elemente von MB.
(A2) Existenz neutraler Elemente 0 und 1
Die Menge enthält ein Element 0. Für jedes
Element A der Menge MB gilt A + 0 = A.
Die Menge MB enthält ein Element 1. Für jedes
Element A der Menge MB gilt A * 1 = A.
(A3) Kommutativität
Wenn A und B Elemente der Menge MB sind, dann
gilt
A + B = B + A und A * B = B * A.
(A4) Distributivität
Wenn A, B und C Elemente der Menge MB sind, dann
gilt
A + (B * C) = (A + B) * (A + C) und
A * (B + C) = (A * B) + (A * C).
(A5) Existenz des Komplements
Zu jedem Element A der Menge MB existiert ein
Element A , das Komplement zu A. Es gilt A * A = 0
und A + A = 1.
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Boolesche Algebra 3
Die Menge MB und die Verknüpfungen + und * stellen die
Grundbegriffe, die "Eigenschaften" A1 bis A5 die Axiome einer
Booleschen Algebra dar.
Bisher wurden die Grundbegriffe ohne inhaltliche Interpretation
verwendet.
Gibt man den Grundbegriffen dadurch eine konkrete Bedeutung,
dass man die Elemente der Menge MB als Aussagen binärer
Natur (true, false) und die Verknüpfungen "+" und "*" als
"Verbinder" (Junktoren)  (or) und  (and) auffasst, so gelangt
man zum Aussage- oder Prädikatenkalkül.
SHANNON (1938) hat die Boolesche Algebra für die
Beschreibung und den Entwurf von digitalen Schaltungen
erschlossen.
Damit ist sie zur Grundlage der Schaltalgebra geworden.
Die Menge MB sind nunmehr Zustände von Schaltern,
(offene und geschlossene Schalter) oder verschiedene elektrische
Potenziale oder die beiden Ausrichtungen des
Ferromagnetismus.
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Boolesche Algebra 4a
Mit Hilfe der Axiome werden einige Beziehungen abgeleitet, die für die
Umformung von booleschen Ausdrücken sehr hilfreich sind.
A + A = A und A * A = A
A
A
=
A + A = (A + A) * 1
= (A + A) * (A +
= A + (A * A )
=A+0
=A
da A * 1 = A
A ) da A + A = 1
(A4) (Distribut.)
da A * A = 0
q.e.d.
A
A*A=A*A+0
da A + 0 = A
=A*A+A* A
da A * A = 0
= A * (A + A ) = A * 1
=A
q.e.d.
A+1=1
A + 1 = (A + 1) * 1
= (A + 1) * (A +
= A + ( A * 1)
=A+ A
=1
A)
A
+1=
A
q.e.d.
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Boolesche Algebra 4b
Führen Sie den Beweis für A * 0 = 0
A*0=A*0
A*0=A*A*
A*0=A* A
A*0=0
A
Führen Sie den Beweis für
A
+1=1
+1=1
( A + 1) * 1 = 1
( A * 1) + (1 * 1) = 1
A +1=1
A
oder
+1=1
( A + 1) * 1 = 1
( A + 1) * ( A +A) =
1
A + (1 + A) = 1
A +1=1
A
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Boolesche Algebra 5
Absorptionsregel
A+A*B=A ;
A * (A + B) = A
A+A*B=A*1+A*B
= A * ( 1 + B)
=A*1
=A
da A = A * 1
B+1=1
q.e.d.
Führen Sie den Beweis für A * (A + B) = A
Reduktionsregel
A+
A
* B = A + B ;A * ( A + B) = A * B
A + ( A * B) = (A + A ) * (A + B)
= 1 * (A + B)
=A+B
q.e.d.
Führen Sie den Beweis für A * ( A + B) = A * B
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Boolesche Algebra 6
Weitere Beziehungen der Booleschen Algebra
A
* (A * B) = 0
A
;
* (A * B)= A
=A
=A
=A
=A
=A
=A
=A
=A
=A
Führen Sie den Beweis für
A
A
+ (A + B) = 1
* (A * B) + 0
* (A * B) + A * A
* (A * B + A)
* (A * ( A + B) + A * A)
* (A * A + A * B + A * A)
* (A * ( A + A) + A * B)
* (A * B + A *1)
* (A * (B + 1))
* (A * 1)
*A=0
q.e.d.
+ (A + B) = 1
1. Regel von de MORGAN
A. de Morgan 1806 – 1871 (engl. Logiker)
A *B  A B
(A * B) + ( A + B ) = 1
da A + A = 1
A * B ist das Komplement von A * B
(A * B) + ( A + B )= ( A + A) * ( A + B) + B
= 1 * ( A + B) + B = A + B + B
= A +1=1
q.e.d.
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Boolesche Algebra 7
2. Regel von de Morgan
A B  A *B
(A * B) * ( A + B ) = 0
da A * A = 0
(A * B) * ( A + B )= (A * B) * A + (A * B) * B
= ( A * A) * B + ( B * B) * A
=0+0
=0
q.e.d.
Zur Überprüfung:
A
B
A B A * B A + B A B
0
0
1
1
1
0
1
0
1
1
0
0
1
0
1
0
0
1
0
1
0
1
1
0
0
0
1
0
Regel 2 ergibt sich aus Regel 1 indem A durch A und B durch B
ersetzt wird.
A  B  A B
A  B  A  B da A  A
A  B  A B
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