downloaden - Helmut Dunkhase

PK-MA
Illustrationen zum Fundamentalsatz der Algebra
Zunächst Allgemeines über komplexe Funktionen.
Eine komplexe Funktion f : z  w  f z  lässt sich auffassen als Abbildung einer Ebene auf eine
andere Ebene. Wir bezeichnen die Urbildebene als z-Ebene und die Bildebene als w-Ebene. Komplexe
Funktionen lassen sich als Ganzes nicht anschaulich darstellen wie die reellen, weil dazu vier
Dimensionen bräuchte.
Eine gewisse Anschauung lässt sich dennoch gewinnen, wenn man die Bilder einzelner Linienstücke
der z-Ebene studiert. Gut geeignet dafür sind Kreise, denn sie lassen sich einfach beschreiben und bei
stetiger Vergrößerung des Radius wird die ganze Ebene überstrichen.
Wir betrachten nun einige Funktionen.
1. z  z
Diese Funktionen ist nicht sonderlich interessant. Sie billdet jeden Punkt der z-Ebene auf den gleichen
Punkt der w-Ebene ab.
2.
z  z2
Wir lassen z  r  auf der z-Ebene längs des Einheitskreises, beginnend bei 1 0 , laufen und
betrachten das Bild.
Wir erinnern daran, dass Multiplikation zweier komplexer Zahlen Multiplikation ihrer Beträge
und Addition ihrer Argumente bedeutet. (Bei der Funktion z  z 2 verdoppeln sich also die
Argumente.)
Der Anfangspunkt 1 0 wird abgebildet auf 12 0  1 0 , also auf sich selbst. Weiter finden
wir:
1
1

6

2
 1

6


6
 1

3
 1
1   1 2
(vgl. Fig.1)
Fig.1
2
Wenn die Hälfte des Kreises in der z-Ebene durchlaufen ist, ist in der w-Ebene schon der ganze Kreis
durchlaufen. Weiter:
3
  1 3
2
1 2  1 4
1
Also: Wird der Kreis in der z-Ebene einmal durchlaufen, so wird er in der w-Ebene zweimal
durchlaufen.
Ist nun k ein Kreis mit einem beliebigen Radius r, so wird wegen
z 2  r 2 2
der Radius des
Bildkreises das Quadrat des Urbildradius. Für r  2 sieht das so aus:
Fig.2
3.
z  zn
Wegen z n  r n n ist das Bild der n-mal durchlaufende Kreis mit dem Radius r n .
4.
z  4z 2  z
Wir denken uns den Vektor 4z 2 am Ursprung der w-Ebene festgenagelt. An seine Spitze binden
wir den Vektor z, so dass die Spitze des zusammengesetzten Vektors 4z 2  z auf den Punkt w
deutet.
Durchläuft nun z in der z-Ebene den Einheitskreis einmal, so rotiert auch unser
"Vektormechanismus" in der w-Ebene. Während der Vektor 4z 2 aber zwei volle Umdrehungen
ausführt, vollführt der an seine Spitze gebundene Vektor z nur eine. Das Ergebnis ist in Fig.3
dargestellt. Der gestrichelte Kreis ist das Bild des Einheitskreises unter der Funktion z  4z 2
(zweimal durchlaufen). Die mit 0,1,2,...,16 bezeichneten Punkte geben die Orte von w  4 z 2  z
nach je
1
Umdrehungen des Vektors z an. Es entsteht eine in sich geschlossene Kurve, die den
16
Ursprung zweimal umschlingt.
3
Fig.3
5.
z 4  2z
Wir erwarten eine Bildkurve, die sich irgendwie viermal um den Ursprung wickelt. Das Bild des
Einheitskreises sieht aber so aus:
Die Zahlen geben die Umdrehungen der
Bildkurve an.
Analysen wir das Ergebnis:
Das
Bild
des
Ausgangspunktes
ist
3 0 . Nach der 2.
1 0  2 0 , also
Umdrehung der Bildkurve ist der Bildpunkt
bei 1  angekommen: Während z 4 schon 2
Umdrehungen hintersich hat, hat 2z erst eine
halbe Umdrehung zurückgelegt. Nach einer
halben Umdrehung steht der Zeiger von 2z
aber auf 2  . Der Bildpunkt 1  ist also
Fig.4
das Ergebnis
kartesischen
von
1 4  2 
(in
Koordinaten:
1 0   2 0   1 0 ). Der Term 2z stört also die Kreise des Terms z 4 für r  1 so sehr, dass der
Ursprung nicht 4-mal, sondern nur einmal umschlungen wird.
Schon für r  2 sieht die Bildkurve ganz anders aus (Im Inneren sieht man noch einmal zum
Vergleich das Bild des Einheitskreises):
4
Fig.5
Aufgabe: Trage die Umdrehungszahlen ein.
Wenn wir bedenken, dass der Radius von z 4 gleich 2 4  16 ist und der von 2z gleich 4, ist das
Ergebnis plausibel.
Für große r setzt sich die höchste Potenz letztlich durch: Für betragsmäßig große z gleicht die
Funktion z n  an1z n1      a0 immer mehr der Funktion z n .
***
Der Fundamentalsatz der Algebra besagt:
Jede Gleichung n-ten Grades
f z   a n z n  a n 1 z n 1      a1 z  a 0  0
mit a n , a n 1    a1 , a 0  C hat wenigstens eine Lösung.
1
Wir machen uns die Beweisidee anhand der Funktion f z   z 4  2 z  3  i plausibel. (Eine Funktion
mit a 0  0 wäre uninteressant, weil z  0 immer Lösung wäre.)
Wie das Bild für r=1 aussieht, zeigt Fig.6:
5
Fig.6
Fig.7
Das Bild besteht aus 4 Umdrehungen. Der Punkt f 0  w0  3  i wird einmal, der Ursprung keinmal
umschlungen. Nach dem vorangegangenen Beispiel 5 leuchtet ein, dass nicht nur der Punkt 3+i,
sondern auch der Ursprung 4-mal umschlungen werden kann, wenn man nur den Radius genügend
groß wählt. Für z.B. r  1.9 ergibt sich das Bild in Fig.7. (Zum Vergleich ist wieder das Bild des
Einheitskreises eingetragen.)
Unsere anschauliche Vorstellung von Stetigkeit sagt uns nun, dass bei stetiger Veränderung des
Radius von r=1.9 zu r=1 sich die Bildkurve stetig verändert von Fig.7 zu Fig.6. Wenn das so ist, muss
die Bildkurve (mindestens einmal, höchstens viermal) den Ursprung überstreichen und damit existierte
ein (höchstens 4) z 0 , für das f z 0   0 ist.
Tatsächlich passiert dies das erste Mal für r  1.56 , wie Fig.8 zeigt: