Lösungen Aufgaben zum Hypothesentest.

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07.04.2017
Lösungen Aufgaben zum Hypothesentest.
E1:
Die Annahme, dass mindestens 10% der Zuschauer die Sendung sehen wollen
nennt man Nullhypothese. H0 : p  0,1
Diese Hypothese soll durch die Umfrage getestet werden.
Eine Sicherheit von 95% bedeutet in 5% aller Fälle darf es zu einer
Fehlentscheidung kommen. Auf dieser Grundlage wird für die Hypothese ein
Annahmebereich und ein Ablehnungsbereich festgelegt.
Ablehnungsbereich : P  X  k   0,05
n  200
p  0,1
  n  p  200  0,1  20
  n  p  1  p   20  0,9  18  4,243  3
[ {  5% } {  90% } {  5% } ]
Die 90%  Umgebung um den Erwartungswert hat den Radius:
90% r  1,64    1,64  4,243  6,959
  1,64    20  6,959  13,041  13
P  X  13  es ist zu testen, ob P  X  13   0,05
[ { 0...13 } {14...20...26 } { 27...200 } ]
1
P  X  13   1  P 14  X  26  
2
P 14  X  26   P 13,5  X  26,5 
r
6,5

 r  1,53    z  1,53
 4,243
P 14  X  26   0,874
r  6,5 
1
1  0,874  0,063  0, 05
2
Der Ablehnungsbereich ist zu groß, er wird um eins verringert.
1
P  X  12   1  P 13  X  27  
2
P 13  X  27   P 12,5  X  27,5 
P  X  13  
r
7,5

 r  1,77    z  1,77
 4,243
P 13  X  27   0,923
r  7,5 
1
1  0,923  0,039  0,05
2
Ablehnungsbereich : A  { 0.....12 }
P  X  12  
Annahmebereich : A  {13.....200 }
Ablehnungs- und Annahmebereich bilden die Grundlage für Entscheidungen.
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Würde bei der Umfrage herauskommen, dass nur 12 oder weniger Personen die
Sendung sehen möchten, dann fiele das in den Ablehnungsbereich. Die Hypothese
H0 wäre abzulehnen. Es würden keine neuen Serien gekauft.
Der Fehler, der bei dieser Entscheidung gemacht würde beträgt 3,9%.
Das bedeutet in 3,9% aller Fälle würde die Hypothese H0 zu unrecht abgelehnt
werden. Die Fehlerwahrscheinlichkeit (3,9%) heißt Irrtumswahrscheinlichkeit.
Statt Irrtumswahrscheinlichkeit sagt man auch Signifikanzniveau.
Käme bei der Umfrage heraus, dass 13 oder mehr Personen die Sendung sehen
möchten, dann würde die Hypothese H0 angenommen und weitere Filme der Serie
gekauft.
Da der Ablehnungsbereich der H0 Hypothese im linken Bereich der
Wahrscheinlichkeitsverteilung liegt, nennt man diesen Hypothesentest auch
linksseitigen Test.
n  200 p  0,1   20   4,243
Annahmebereich 96,1%
Fehler 1. Art
3,9%
12
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E2:
Nullhypothese : H0 : p  0,37 Signifikanzniveau :   5%
Ablehnungsbereich : P  X  k   0,05
n  200
p  0,37
  n  p  200  0,37  74
  n  p  1  p   74  0,63  46,62  6,828  3
[ {  5% } {  90% } {  5% } ]
Die 90%  Umgebung um den Erwartungswert hat den Radius:
90% r  1,64    1,64  6,828  11,198
  1, 64    74  11,198  62,8  62
P  X  62  es ist zu testen, ob P  X  62   0,05
[ { 0...62 } { 63...74...85 } { 86...200 } ]
1
P  X  62   1  P  63  X  85  
2
P  63  X  85   P  62,5  X  85,5 
r
11,5

 r  1,68    z  1,68
 6,828
P  63  X  85   0,907
r  11,5 
1
1  0,9,07  0,047  0,05
2
Ablehnungsbereich : A  { 0.....62 }
Annahmebereich : A  { 63.....200 }
P  X  62  
Der Ablehnungsbereich beinhaltet 0 bis 62 positive Elternmeinungen.
Der Annahmebereich beinhaltet 63 bis 200 positive Elternmeinungen.
Da bei der Umfrage 83 positive Elternmeinungen auftraten, wird die H0 Hypothese
beibehalten.
Wären es nur 62 oder weniger gewesen, hätte man die Hypothese abgelehnt. Die
Irrtumswahrscheinlichkeit bei dieser Entscheidung ist 4,7%.
Bei dem Test handelt es sich um einen linksseitigen Test.
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n  200 p  0,37   74   6,828
Annahmebereich 96,1%
Fehler 1. Art
3,9%
62
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74
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E3:
a) Nullhypothese : H0 : p0  0,75 Signifikanzniveau :   5%
Es handelt sich um einen zweiseitigen Hypothesentest.
Zu bestimmen ist eine 95%  Umgebung für   n  p 0  120  0,75  90
Es ist   n  p  1  p   90  0,25  22,5  4,743  3
Damit wird   1,96    90  1,96  4,743  80,7 und
  1,96    90  1,96  4,743  99,3
Annahmebereich :
A   81...90...99   symmetrisch 
Ablehnungsbereich : A   0...80 
 100...120
Überprüfung ob P  81  X  99   0,95
P  81  X  99   P  80,5  X  99,5   r  9,5 
r
9,5

 r  2,00    z  2,00
 4,743
P  81  X  99   0,954  0,95
Falls p0 = 0,75 richtig ist, aber das Stichprobenergebnis zufällig in den
Ablehnungsbereich fällt, lehnt man fälschlicherweise H0 ab. Die Wahrscheinlichkeit
für den Fehler 1. Art ist gleich der Wahrscheinlichkeit für den Ablehnungsbereich.
1 – 0,954 = 0,046 (4,6%)
n  120 p  0,75   90   4,743
Annahmebereich 95,4%
Fehler 1. Art
4,6%
80
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b) Falls H0 nicht gilt, (d.h. die Hypothese p0 = 0,75 ist falsch), aber das
Stichprobenergebnis zufällig im Annahmebereich von H0 fällt, nimmt man H0
fälschlicherweise an. Die Wahrscheinlichkeit dafür, diesen Fehler zu machen
ist der Fehler 2. Art.
  P0,7  81  X  99 
n  120
p  0,7   n  p  120  0,7  84
  n  p 1  p   84  0,3  25,2  5,02  3
[... { 69...80 } { 81...84...87 } { 88... 99 } ...]
1
P  81  X  99   P  69  X  99   P  81  X  87  
2
P  69  X  99   P  68,5  X  99,5 
r 15,5

 r  3,09    z  3,09
 5,02
P  69  X  99   1
r  15,5 
P  81  X  87   P  80,5  X  87,5 
r
3,5

 r  0,7    z  0,7
 5,02
P  81  X  87   0,516
r  3,5 
P  81  X  99  
1
1  0,516   0,758
2
Bemerkungen zum Test.
Bei diesem Test handelt es sich um einen zweiseitigen Hypothesentest.
Der Ablehnungsbereich liegt auf beiden Seiten des Annahmebereichs.
Der Fehler 2. Art kann nur dann berechnet werden, wenn die tatsächliche
Erfolgswahrscheinlichkeit ( p1 = 0,7 ) bekannt ist.
Schlussbemerkung:
Falls H0 richtig ist, liegt das Ergebnis der Umfrage zu 95,4% im Annahmebereich von
H0. Irrtumswahrscheinlichkeit 4,6%.
Falls hingehen H0 falsch und p1 = 0,7 richtig ist, fällt das Ergebnis dennoch zu 75,8%
in den Annahmebereich von H0.
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n  170 p  0,7   84   5,02
Fehler 2. Art
75,8%
Annahmebereich von H0
81
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Gegenüberstellung der Verteilungen zur Veranschaulichung der Zusammenhänge.
n  120 p  0,75   90   4,743
Annahmebereich 95,4%
Fehler 1. Art
4,6%
80
100
90
n  170 p  0,7   84   5,02
Fehler 2. Art
75,8%
Annahmebereich von H0
81
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E4:
a) Nullhypothese : H0 : p0  0,3 Signifikanzniveau :   10%
Es handelt sich um einen zweiseitigen Hypothesentest.
Zu bestimmen ist eine 90%  Umgebung für   n  p 0  170  0,3  51
Es ist   n  p  1  p   51 0,7  35,7  5,975  3
Damit wird   1,64    51  1,64  5,975  41,2 und
  1,64    51  1,64  5,975  60,8
Annahmebereich :
A   41 ... 51 ...61 
Ablehnungsbereich : A   0... 40 
symmetrisch 
 62...170 
Es ist zu überprüfen, ob mindestens 90% der Testergebnisse
im Annahmebereich liegen.
P  41  X  61  P  40,5  X  61,5 
r
10,5

 r  1,76    z  1,76  P  41  X  61  0,922  90%
 5,975
Gegenprobe : P  42  X  60   P  41,5  X  60,5 
r  10,5 
r
9,5

 r  1,59    z  1,59  P  42  X  60   0,888  90%
 5,975
Damit bleibt der Annahmebereich unverändert.
Falls p0 = 0,3 richtig ist, aber das Stichprobenergebnis zufällig in den
Ablehnungsbereich fällt, geht man fälschlicherweise davon aus, dass H 0
abgelehnt werden muss. Die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art ist gleich
der Wahrscheinlichkeit für den Ablehnungsbereich, also 1 – 0,922 = 0,078 (7,8%).
r  9,5 
n  170 p  0,3   51   5,975
Annahmebereich 92,2%
Fehler 1. Art
7,8%
40
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b) Falls H0 nicht gilt, (d.h. die Hypothese p0 = 0,3 ist falsch), aber das
Stichprobenergebnis zufällig im Annahmebereich von H0 liegt, nimmt man H0
fälschlicherweise an. Die Wahrscheinlichkeit dafür, diesen Fehler zu machen
ist der Fehler 2. Art.
  P0,2  41  X  61
n  170
p  0,2   n  p  170  0,2  34
  n  p 1  p   34  0,8  27,2  5,215  3
[... { 7...27 } { 28...34... 40 } { 41...61} ...]
1
P  41  X  61  P  7  X  61  P  28  X  40  
2
P  7  X  61  P  6,5  X  61,5 
r
27,5

 r  5,27    z  5,27
 5,215
P  7  X  61  1
r  27,5 
P  28  X  40   P  27,5  X  40,5 
r
6,5

 r  1,25    z  1,25
 5,215
P  28  X  40   0,789
r  6,5 
P  41  X  61 
1
1  0,789   0,106
2
Bemerkungen zum Test.
Bei diesem Test handelt es sich um einen zweiseitigen Hypothesentest.
Der Ablehnungsbereich liegt zu beiden Seiten des Annahmebereichs.
Der Fehler 2. Art kann nur dann berechnet werden, wenn die tatsächliche
Erfolgswahrscheinlichkeit ( p1 = 0,2 ) bekannt ist.
Schlussbemerkung:
Falls H0 richtig ist, liegt das Ergebnis des Zufallsversuchs zu 92,2% im
Annahmebereich von H0. Irrtumswahrscheinlichkeit 7,8%.
Falls hingehen H0 falsch und p1 = 0,2 richtig ist, fällt das Ergebnis dennoch zu 10,6%
in den Annahmebereich von H0.
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n  170 p  0,3   34   5,215
Fehler 2. Art
10,6%
Annahmebereich von H0
41
34
Gegenüberstellung der Verteilungen zur Veranschaulichung der Zusammenhänge.
n  170 p  0,3   51   5,975
Annahmebereich 92,2%
Fehler 1. Art
7,8%
40
51
62
n  170 p  0,3   34   5,215
Fehler 2. Art
10,6%
Annahmebereich von H0
34
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E5:
Zunächst wird angenommen, dass die Behauptung von „Billigfood“ stimmt.
Wenn man bestätigen will, dass ein Betrugsversuch vorliegt, dann muss die
Hypothese „Maximal 5% der Verpackungen haben Untergewicht“ aufgrund eines
Stichprobenergebnisses verworfen werden.
Nullhypothese : H0 : p0  0,05 Signifikanzniveau :   5%
Es handelt sich um einen rechtsseitigen Hypothesentest.
n  300   n  p0  300  0,05  15
Es ist   n  p  1  p   15  0,95  14,25  3,775  3
Damit wird   1,64    15  1,64  3,775  21,19
Annahmebereich :
A   0...15...21 
Ablehnungsbereich : A   22...300 
Zu prüfen ist der Ablehnungsbereich: P  22  X  300   0,05
 0...8 9...15...21 22...300
P  22  X  300  
1
1  P  9  X  21 
2
P  9  X  21  P  8,5  X  21,5   r  6,5 
P  9  X  21  0,915  P  22  X  300  
P  0  X  21  1  0,043  0,957
r
6,5

 r  1,72    z  1,72
 3,775
1
1  0,915   0,043
2
Da das Stichprobenergebnis mit 24 untergewichtigen Packungen im
Ablehnungsbereich von H0 liegt, wird die Hypothese H0 verworfen. Damit hat sich der
Verdacht, dass „Billigfood“ betrügt, verhärtet.
Die Irrtumswahrscheinlichkeit dabei beträgt 4,3%. Das bedeutet der Betrug kann
nicht eindeutig bewiesen werden. Denn falls H0 wirklich stimmen sollte, kann es in
4,7% aller Fälle zu einem solchen Ergebnis kommen.
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n  300 p  0,05   15   3,775
Annahmebereich 95,7%
Fehler 1. Art
4,3%
15
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22
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07.04.2017
E6:
Hatte das Engagement der Lehrkräfte Erfolg?
Aufstellen der Nullhypothese:
Die Wahrscheinlichkeit von Defiziten ist kleiner als 15%.
Diese Hypothese ist nur dann abzulehnen, wenn bei vielen Schülern Defizite
auftreten. Man sagt auch große Werte von X sprechen gegen die Hypothese.
Es handelt sich um einen rechtsseitigen Test.
Nullhypothese : H0 : p0  0,15 Signifikanzniveau :   5%
n  140   n  p0  140  0,15  21
Es ist   n  p  1  p   21 0,85  17,85  4,225  3
Damit wird   1,64    21  1,64  4,225  27,93
Annahmebereich :
A   0...21...28 
Ablehnungsbereich : A   29...140 
Kontrolle des Ablehnungsbereichs auf   5%
 0...13  14...21...28 29...140
1
1  P 14  X  28  
2
P 14  X  28   P 13,5  X  28,5 
P  29  X  140  
r
7,5

 r  1,78    z  1,78
 4,225
P 14  X  28   0,925
r  7,5 
1
1  0,925  0,038
2
Die Hypothese H0 wird angenommen, da X = 22 im Annahmebereich liegt.
Das Engagement der Lehrkräfte hatte Erfolg. Die Irrtumswahrscheinlichkeit dieser
Entscheidung liegt bei etwa 3,8%.
P  29  X  140  
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Seite 15
07.04.2017
n  140 p  0,15   21   4,225
Annahmebereich 96,2%
Fehler 1. Art
3,8%
21
29
Ablehnung der Nullhypothese aufgrund des Testergebnisses.
Wird bei einem Testergebnis von X = 22 die Nullhypothese abgelehnt, dann
verändern sich Annahme- und Ablehnungsbereich wie folgt.
Annahmebereich: { 0 ... 21 }
Ablehnungsbereich: { 22 ... 140 }
Die Irrtumswahrscheinlichkeit wird durch den Ablehnungsbereich bestimmt.
{ 0 ... 20 } { 21 } { 22 ... 140 }
1
1  P  X  21 
2
P  X  21  P  20,5  X  21,5 
P  22  X  140  
r  0,5 
r
0,5

 r  0,12  z  0,12
 4,225
P  X  21  0,096
1
1  0,096  0,452  
2
Wird die H0 aufgrund des Testergebnisses abgelehnt, so ist für diese Entscheidung
die Irrtumswahrscheinlichkeit etwa 45,2%.
P  22  X  140  
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07.04.2017
n  140 p  0,15   21   4,225
Annahmebereich 54,8%
Fehler 1. Art
45,2%
21
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22
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E7:
zu a)
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Aufstellen der Nullhypothese:
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Placebos wirken, sei höchstens 60%.
Es handelt sich um einen rechtsseitigen Test.
Der Ablehnungsbereich liegt rechts vom Erwartungswert für p = 0,6 und hat
eine Größe von höchstens 4%.
Nullhypothese : H0 : p0  0,6 Signifikanzniveau :   4%
n  100   n  p0  100  0,6  60
Es ist   n  p  1  p   60  0, 4  24  4,899  3
1  P  X  k   0,04  
Aus der Tabelle für n  100 und p  0,6 wird für k der Wert 68 abgelesen.
1  P  X  68   1  0, 96  0,04  
Damit ist der Annahmebereich für p  0,6
A   0...60...68  und der Ablehnungsbereich A   69...100 
Die Hypothese H0 wird abgelehnt, da X = 75 im Ablehnungsbereich von H0
liegt. Die Irrtumswahrscheinlichkeit dieser Entscheidung (Fehler 1. Art) liegt
bei etwa 4%.
zu b)
Falls p = 0,7 tatsächlich richtig ist, kann es dennoch vorkommen, dass das
Versuchsergebnis in den Annahmebereich von H0 fällt.
Die Wahrscheinlichkeit, mit der das geschieht, ist der Fehler 2. Art.
P0,7  A   P0,7  X  68  0,367 (Tabellenwert)
Falls für bittere Pillen p = 0,7 gilt, ist der Fehler 2. Art 36,7%.
In 36,7% aller Fälle wird die Richtigkeit von p = 0,7 nicht erkannt.
Soll der Fehler 2. Art verringert werden, dann ist der Annahmebereich von H 0
zu verringern. Das hat aber zur Folge, dass dadurch der Fehler 1. Art sich
vergrößert.
zu c)
P0,7  X  k   0,1835  k  65 denn P0,7  X  65   0,163
16,3%
Dadurch ändert sich der Annahme- und Ablehnungsbereich von H0 :
A   0...60...65 
A   66...100 
 
Fehler 1. Art: P0,6 A  1  P0,6  X  65   1  0,870  0,13
13%
Dadurch, dass der Fehler 2. Art etwa halbiert wird, vergrößert sich der Fehler
1. Art auf etwa das Dreifache.
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PX  k
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n  100 p  0,6   60   4,899
Annahmebereich 96%
Fehler 1. Art
4%
60
PX  k
68
k
n  100 p  0,7   70   4,583
Fehler 2. Art
36,7%
68 70
k
Verteilungen aus Aufgabenteil b)
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PX  k
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07.04.2017
n  100 p  0,6   60   4,899
Annahmebereich 87%
Fehler 1. Art
13%
60
PX  k
k
65
n  100 p  0,7   70   4,583
Fehler 2. Art
16,3%
65
70
k
Verteilungen aus Aufgabenteil c)
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