Gegeben sei die homogene Differentialgleichung für die Bewegung

Universität der Bundeswehr München
L1
1.1
Fakultät für LRT
Lösung 1. Aufgabe:
u(t)  sin 2
t  T1
t  T  T1
1(t  T1)  sin 2
1(t  T  T1)
T
T
2
T
U(s) 
1  e sT e sT1
2
 2 
s2   
 T 

1.2

  sX  x0   X  U

x
U(s) x 0
X(s) 

  U(s)  0
1
s  1 s  1 s  1
s


1.3
X  X1  X2 mit

x
X1   U(s), X 2  0
1
1
s
s


 :
2
1
, a :
T

X1' :

s2 :
a

(s  a) s2  2



A
Bs  C
 2
s  a s  2

A s2  2   s  a  Bs  C  a
AB
s1 :
s0 : 2 A
0
aB  C  0
 aC  a
Steuer- und Regelungstechnik I
6. Lösung / 1
Universität der Bundeswehr München
A   B, C  
2 B  a
Fakultät für LRT
6. Lösung / 2
a
B

a
B  a

2  a2  B  a
a
a
a 2
B 2
,
A

,
C

  a2
2  a 2
2  a 2
a
X1'  2
  a2
a
 at

e  cos t   sin t 
a  a(t T1 )
a

e

cos

(t

T
)

sin

(t

T
)
1
1

 1(t  T1)

2  a 2 
a  a(t T T1 )
a

 2
e
 cos (t  T  T1 )  sin (t  T  T1)  1(t  T  T1)
2 


 a 
X1 
x 2 (t)  x 0 eat
x(t)  X1(t)  X2 (t)
Steuer- und Regelungstechnik I
Universität der Bundeswehr München
L2
1.1
Fakultät für LRT
Lösung 1. Aufgabe:
s 2 x  sx 0  v0  2  sx  x 0   2x  2u
(s2  2s  2)x(s)  s  3  2u(s)
x(s) 
2
s  2s  2
2
u(s) 
u(s) 
A1 A 2 sT

e
s
s
x ' (s) 
2
s(s2  2s  2)

s3
s  2s  2
2
B C(s  1)  D

s (s  1)2  1
2  B(s2  2s  2)  C(s  1)s  Ds
B  1
 0


s1 : 2B  C  D  0   C  1


s0 : 2B
 2
D  1

s2 : B  C
x' (t)  1  et (cos t  sin t)
x(t)  A1 1  e  t (cos t  sin t) 1(t)


A 2 1  e(t T) cos(t  T)  sin(t  T)  1(t  T)


e t (cos t  2sin t) 1(t)
x(t)   2A1e  t sin t  1(t)


  2A 2e(t T) sin(t  T)  1(t  T)


e t (cos t  3sin t) 1(t)
Steuer- und Regelungstechnik I
6. Lösung / 3
Universität der Bundeswehr München
1.2
Fakultät für LRT
x( 2T )  A1 1  e (cos   sin ) 






 


A 2 1  e 2  cos  sin  

2
2 



e (cos   2sin )

0  A1 1  e
x(2T)  2A1e





 

 A 2 1  e 2   e 




sin   2A 2e


2

sin 2
e (cos   3sin )
0  2A 2e

 A2  
A1 

e

2
 e 

2
2
1
1  e
e


1  e
 
 e 2

 2



 

1  e 2   e  








 e2 1 
  1

2
2 







 
1 1
3e 2
2

   3e

 2(1  e  )
e 1 2 


Steuer- und Regelungstechnik I
6. Lösung / 4
Universität der Bundeswehr München
L3
1.1
Lösung 1. Aufgabe:
x1 (s)
 esT ,
u(s)
G(s) 
1.2
Fakultät für LRT
x 2 (s)
3

,
x1 (s) s  3
y(s) 1

x 2 (s) s
y(s)
esT

u(s)
 s
s 1  
 3
esT
4
12  esT
 2 2
 s
s(s  3)(s 2  16)
s 1   s  4
 3
y(s) 
y' (s) 
12
s(s  3)(s  16)
2

c1 c2 c3s  4c4


s s  3 s 2  42

c1(s  3)  c2s (s2  42 )  (c3s  4c4 )s(s  3)  12
s3 :
c1  c2  c3
0
 3c3  4c 4  0
s 2 : 3c1
s1 : 16c1  16c 2
 12c 4  0
 12
s0 : 48c1
c1 
c2 
12
(s  3)(s  16) s0
2
12
s(s  16) s3
2


1
4
4
25
1 4
9
c3  (c1  c2 )   

4 25
100
1
1  3 27 
3
c4  (3c1  3c3 )    

4
4  4 100 
25
Steuer- und Regelungstechnik I
6. Lösung / 5
Universität der Bundeswehr München
y' (t) 
Fakultät für LRT
1 4 3t
9
3
 e 
cos 4t  sin 4t
4 25
100
25
9
3
1 4

y(t)    e 3(t T) 
cos 4(t  T)  sin 4(t  T)  1(t  T)
100
25
 4 25

1.3
sX2  x 20  3X2  0, sY  y0  X2
X2 
x 20
y
1
1
X
1

, Y  X2  0  2 
s3 s3
s
s
s s
y(s) 
1
1

s(s  3) s
1
4 1
y(t)  (1  e 3t )  1   e 3t
3
3 3
Steuer- und Regelungstechnik I
6. Lösung / 6
Universität der Bundeswehr München
L4
1.1
Fakultät für LRT
6. Lösung / 7
Lösung 1. Aufgabe:
(s  2)X 2  X1  x 20
(s  2)X1  U  x10
Y  X2
X2 
x
1
X1  20
s2
s2
X1 
x
1
U  10
s2
s2
Y
U
1
(s  2)
U
x10
(s  2)
2

x 20
s2
U0 sT
e
s 1
Y(s) 
1.2
2
U0esT
(s  1)(s  2)
2

x10
x
 20
s2
(s  2)
2
Partialbruchzerlegung
1
(s  1)(s  2)2
c1 
c1
c
c
 21  22 2
(s  1) (s  2) (s  2)
1
(s  2)2 s1
c22 


 1  c21
1
 1
(s  1) s2
et  e2t  te2t
y(t)  U0 e(t T)  e2(t T)  (t  T)e2(t T)  1(t  T)  x10 t e2t  x 20 e2t


Steuer- und Regelungstechnik I
Universität der Bundeswehr München
1.3
Fakultät für LRT
!
1
0  x10 e1  x 20 e1
2
y(t)  U 0 [
] 1(t  T)   x10 (1  2t)  2x 20  e 2t
!
e1   0  2 x 20  e 1

x 20  
1
, x0  1
2
Steuer- und Regelungstechnik I
6. Lösung / 8
Universität der Bundeswehr München
L5
1.1
Lösung 1. Aufgabe:
U(t)  12  1(t  T) 1(t  2T)
U(s) 
1.2
Fakultät für LRT
12
(1  e sT )e sT
s
sX 2  x 20  3X 2  X1  X 2 
x
X1
 10
s3 s3
sX1  x10  2 X1  U
x
U
 10
s2 s2
 X1 
Y  X2
U
12
(1  e sT )e sT
s
x
X1
 20
s3 s3
x  x
1  U

 10   20

s  3 s  2 s  2  s  3
x10
x
U


 20
(s  3)(s  2) (s  3)(s  2) s  3
Y  X2 
12(1  e sT )e sT
10
5


s(s  2)(s  3)
(s  2)(s  3) s  3
12
5(s  4)

(1  e sT )e sT 
s(s  2)(s  3)
(s  2)(s  3)

y1
1.3
y2
Y  Y1  Y2 ,
Y1 
12
(1  esT )esT ,
s(s  2)(s  3)
Y2 
5(s  4)
;
(s  2)(s  3)
Steuer- und Regelungstechnik I
6. Lösung / 9
Universität der Bundeswehr München
Fakultät für LRT
Partialbruchzerlegungen:
y1' 
y2 
A
12
A
A
 0 1  2
s(s  2)(s  3)
s s2 s3
A0 
12
12
 2
(s  2)(s  3) s0 6
A1 
12
12

 6
s(s  3) s2 2 1
A2 
12
12

4
s(s  2) s3 3(1)
5(s  4)
B
B
 1  2
(s  2)(s  3) s  2 s  3
B1 
5(s  4)
5 2

 10
(s  3) s2
1
B2 
5(s  4)
5 2

 5
(s  2) s3 1
Lösung:
y1'  2  6e2t  4e3t
y1 (t)   2  6 e 2(t T)  4 e 3(t T)  1(t  T)


  2  6 e2(t 2T)  4 e3(t 2T)  1(t  2T)


y2 (t)  10e2t  5e3t
Steuer- und Regelungstechnik I
6. Lösung / 10
Universität der Bundeswehr München
L6
1.1
Fakultät für LRT
Lösung 1. Aufgabe:
sx1  x10  x1  u
sx 2  x 20  x 2  sx1  x10  cx1
sx 3  x1 esT
x1 
1
(u  x10 )
s
x2 
x x
sc
x1  20 10
s 
s 
x x
sc
esT
x1  20 10  x1
s
s
s
x x
sc 1

(u  x10 )  20 10
s s
s
1 1 sT

e (u  x10 )
s s
y  x 2  x3 
y
1.2
x x
sc
esT
(u  x10 )  20 10 
(u  x10 )
(s  )(s  )
s
s(s  )
esT
s(s  )
sc
G(s) 

(s  )(s  )
c 1 c 1

 s  s
1

1  sT
1
 
e
 s s 
 c   t c   t 
g(t)  
e

e 1(t)
 
  



1

  1  e  (t T)  1(t  T)


Steuer- und Regelungstechnik I
6. Lösung / 11
Universität der Bundeswehr München
1.3
yA 
Fakultät für LRT
6. Lösung / 12
x x
sc
e sT
x10  20 10 
x10
(s  )(s  )
s
s(s  )
y A (t) 
x10 
(c  )e t  (c  )e t 1(t)

 
(x 20  x10 )e t 1(t) 
x10 
1  e  (t T)  1(t  T)



1.4
 c

c 
h(t)  
(1  e t ) 
(1  e t ) 1(t)
(  )
 (  )




1
1

(t  T)  1  e  (t T)  1(t  T)




1.5
x10 
(c  )e 2T  (c  )e 2T   x10 e 2T



x
x
 10  10 eT  x 20 e2T  0


 (c  )e2T  (c  )e2T

1
x 20  e2T 
 e2T  (1  eT )  x10




Steuer- und Regelungstechnik I