I Grundkompetenzen im gemeinsamen Kern Zahlen und Maße

I Grundkompetenzen im gemeinsamen Kern
1. Zahlen und Maße
Inhalt
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
Formulierung des Deskriptors: Inhalt +Handlung
A
Die Zahlenbereiche der natürlichen, ganzen, rationalen und
reellen Zahlen kennen, ihre Beziehungen argumentieren und auf
der Zahlengeraden veranschaulichen
Zahlen in Fest‐ und Gleitkommadarstellung darstellen können und
damit grundlegende Rechenoperationen durchführen
Zahlen als Maßzahlen von Größen verstehen, die Maßzahlen
zwischen verschiedenen Einheiten umrechnen, Vielfache und
Teile von Einheiten mit den entsprechenden Zehnerpotenzen
darstellen
Das Überschlagsrechnen und Runden beherrschen, Ergebnisse
beim Rechnen mit Zahlen abschätzen und in sinnvoller
Genauigkeit angeben
Zahlenangaben in Prozent verstehen, anwenden und mit
Prozentsätzen rechnen
Rationale Zahlen als Brüche von ganzen Zahlen und Brüche im
Dezimalsystem darstellen
2. Algebra und Geometrie
In
hal
Formulierung des Deskriptors: Inhalt +Handlung
t
2.
Rechnen mit Termen (Klammern, Brüche)
1
Potenzgesetze mit ganzzahligen und mit rationalen Exponenten verstehen,
2.
sie begründen und durch Beispiele veranschaulichen und anwenden
2
s. Kommentar
2.
Potenz‐ und Wurzelschreibweise ineinander überführen
3
Den Begriff des Logarithmus kennen und logarithmische Rechengesetze
2.
anwenden
4
s. Kommentar
2. Lineare Gleichungen in einer Variablen aufstellen, lösen, die Lösungen
5 interpretieren und argumentieren
Formeln aus der elementaren Geometrie anwenden, interpretieren und
2.
argumentieren
6
s. Kommentar
In einer Formel nach einer der variablen Größen explizieren und
2.
die gegenseitige Abhängigkeit der Größen in einer Formel interpretieren
7
und erklären können
s. Kommentar
2. Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen problembezogen aufstellen
8 und lösen
~1~
B
C
D
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
A B C D
x
x x x
x
x
x x x x
x x x
x x x
x x
2.
9
2.
10
2.
11
2.
12
2.
13
2.
14
Die verschiedenen möglichen Lösungsfälle von linearen
Gleichungssystemen mit zwei Variablen argumentieren und grafisch
veranschaulichen
Probleme aus verschiedenen Anwendungsbereichen in lineare
Gleichungssysteme mit mehreren Variablen übersetzen, mit Hilfe von
Technologieeinsatz lösen und das Ergebnis in Bezug auf die
Problemstellung interpretieren und argumentieren
Quadratische Gleichungen in einer Variablen aufstellen, lösen und die
verschiedenen möglichen Lösungsfälle interpretieren und argumentieren
Exponentialgleichungen vom Typ a kx = b nach der Variablen x auflösen
Komplexere Exponentialgleichungen oder Gleichungen mit
trigonometrischen Funktionen mit Einsatz von Technologie auflösen
Sinus, Kosinus und Tangens eines Winkels als Seitenverhältnisse im
rechtwinkeligen Dreieck modellieren, interpretieren, argumentieren und
rechtwinkelige Dreiecke auflösen
x x
x x x x
x x x x
x
x x
x x x x
Kommentar 2.2: Die folgenden Gesetze sind gemeint:
am · an = am+n ; am · bm = (a · b)m und (am)n = amn mit m,n Є Z oder Q
Kommentar 2.4: Die folgenden Gesetze werden benötigt, hier einfachheitshalber mit
dekadischem Logarithmus angeführt:
lg(ab) = lg a +lg b, lg (a /b)=lg a – lg b, lg an = nlg a
lg a = ln a/ln 10 und ln a = lg a/ lg e
Kommentar 2.6: Es wird vorausgesetzt, dass die Formeln der elementaren Geometrie aus
der Unterstufe bekannt sind: Ähnlichkeitssätze, Pythagoreischer Lehrsatz,
Flächen und Volumsberechnungen.
Kommentar 2.7: Formeln können aus allen Gebieten vorkommen z.B. aus Technik,
Wirtschaft und Naturwissenschaft. Sie müssen nicht im Fachzusammenhang
verstanden werden, dennoch soll die Abhängigkeit der variablen Größen
voneinander interpretiert werden können und die Umformung nach einer der
variablen Größen kein Problem darstellen.
3. Funktionale Zusammenhänge
Inh
Formulierung des Deskriptors: Inhalt + Handlung
alt
Die Definition der Funktion als eindeutige Zuordnung kennen und
3.1
kommunizieren
Funktionen als Modelle zur Beschreibung der Abhängigkeit zwischen
3.2
Größen verstehen und erklären
Eine lineare Gleichung in 2 Variablen als Beschreibung einer linearen
3.3 Funktion interpretieren (Geradengleichung: y = kx+d)
s. Kommentar
Eine lineare Funktion grafisch im Koordinatensystem darstellen und die
3.4
Bedeutung der Parameter k und d verstehen und interpretieren
Lineare Funktionen aus verschiedenen Problemstellungen modellieren
3.5 und sie zur Lösung des Problems einsetzen, die Lösung interpretieren
und argumentieren
~2~
A B C D
x x
x x
x
x x x
x x x x
3.6
3.7
3.8
3.9
3.1
0
3.1
1
3.1
2
Potenzfunktionen und Polynomfunktionen (bis zum Grad 4) grafisch
darstellen und ihre Eigenschaften interpretieren
s. Kommentar
Exponentialfunktionen grafisch darstellen, als Zu- und Abnahmemodelle
interpretieren, die Begriffe "Verdopplungs- und Halbwertszeit" kennen,
berechnen und im Kontext deuten, sowie den Einfluss der Parameter von
Exponentialfunktionen verstehen, interpretieren und deuten
s. Kommentar
Lineare Funktionen und Exponentialfunktionen strukturell vergleichen, die
Angemessenheit einer Beschreibung mittels linearer Funktionen oder
mittels Exponentialfunktion bewerten
Die Nullstelle(n) von Funktionsgraphen bestimmen und als Lösung(en)
einer Gleichung interpretieren (Technologieeinsatz)
Schnittpunkte zweier Funktionsgraphen bestimmen und als
Lösungsmenge einer Gleichung oder eines Gleichungssystems mit 2
Variablen interpretieren (Technologieeinsatz)
Praxisbezogene Problemstellungen mit geeigneten Funktionstypen
beschreiben (Aufstellen einer Funktionsgleichung)
Sinus-, Kosinus- und Tangensfunktionen ausgehend vom Einheitskreis
mit Winkel im Grad- und im Bogenmaß grafisch darstellen und
argumentieren
x x x
x x x x
x x
x x x
x x x
x
x x
3.3 Kommentar: Mit Variablen und Parametern umgehen können, auch wenn sie nicht mit
den Standardsymbolen (x für unabhängige Variable, k für Anstieg, d für
Ordinatenabschnitt) bezeichnet werden!
3.6 Kommentar: Prototypische Verläufe der Graphen von Polynomfunktionen in Abhängigkeit
vom Grad (bis 4) sowie den Zusammenhang zwischen dem Grad der
Polynomfunktion und der Anzahl der Null-, Extrem- und Wendestellen
wissen 4.6
3.7 Kommentar: die prototypischen Verläufe der Graphen von f(x) = a · bx mit b Є R+ bzw.
f(x) = a · e λ·x; kennen; die Bedeutung der Parameter a und b (bzw. λ)
kennen und die Parameter in unterschiedlichen Kontexten deuten können
4. Analysis
Inhalt
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
Formulierung des Deskriptors: Inhalt +Handlung
Über einen intuitiven Grenzwertbegriff und über einen intuitiven
Stetigkeitsbegriff von Funktionen verfügen
Differenzen- und Differentialquotient als Änderungsraten verstehen
und zur Lösung von Aufgaben einsetzen, die Lösung interpretieren
und argumentieren
A
B
x
~3~
D
x
x
Den Begriff Ableitungsfunktion kennen
Elementare Grundfunktionen differenzieren und die Ableitung von
aus diesen zusammengesetzten Funktionen mit Hilfe der
Ableitungsregeln bestimmen
s. Kommentar
Eigenschaften von Funktionen wie Monotonie, lokale Extrema,
Krümmungsverhalten, Wendestellen am Graphen erkennen und
C
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
4.6
4.7
4.8
4.9
4.10
mit Hilfe der Ableitung(sfunktion) modellieren, berechnen,
interpretieren und argumentieren
Den Zusammenhang zwischen Funktion und Ableitungsfunktion
erkennen und beschreiben, in deren grafischer Darstellung
interpretieren und argumentieren
Den Begriff Stammfunktion kennen sowie den Zusammenhang
zwischen Funktion und Stammfunktion in deren grafischer
Darstellung erkennen und beschreiben
Stammfunktionen von Potenz- und Polynomfunktionen mit dem
unbestimmten Integral berechnen
Den Begriff des bestimmten Integrals auf der Grundlage eines
intuitiven Grenzwertbegriffes als Grenzwert einer Summe von
Produkten deuten und beschreiben
Das bestimmte Integral als orientierten Flächeninhalt deuten und
die Flächen berechnen
s. Kommentar
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Kommentar 4.4 Die Ableitungen von Potenz-, Polynom- und Exponentialfunktionen.
Einfache Regeln des Differenzierens kennen und anwenden können:
Summenregel: (f(x)+g(x))’ = f ’(x) + g’(x),
Faktorregel: (k · f(x))’ = k · f’(x)
Kettenregel: (f(g(x))’ = f ’(g(x)) · g’(x)
Kommentar 4.10 Mit Technologieeinsatz die Fläche unter Berücksichtigung evt. Nullstellen
von bekannten Funktionen bestimmen können, ohne Technologieeinsatz
Flächen mit dem bestimmten Integral von Potenz- und Polynomfunktionen
händisch berechnen können.
5. Stochastik
Inhalt
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
Formulierung des Deskriptors: Inhalt +Handlung
A
B
C
D
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Daten erheben, Häufigkeitsverteilungen (absolute, relative und
prozentuelle Häufigkeiten) grafisch darstellen und interpretieren
sowie die Auswahl einer bestimmten Darstellungsweise
problembezogen argumentieren
s. Kommentar
Mittelwerte und Streuungsmaße von Häufigkeitsverteilungen
berechnen, interpretieren und argumentieren
Arithmetisches Mittel und Standardabweichung, Median
s. Kommentar
Den Wahrscheinlichkeitsbegriff kennen, verwenden und deuten
Die Additions‐ und Multiplikationsregel auf einander
ausschließende bzw. unabhängige Ereignisse anwenden
Die Binomialverteilung kennen und im Kontext nutzen und
interpretieren (Erwartungswert, Varianz, Wahrscheinlichkeits- und
Verteilungsfunktion)
Die Normalverteilung im Kontext nutzen und interpretieren
~4~
5.7
Auswirkung von Erwartungswert  und Standardabweichung  auf
die Normalverteilungskurve kennen und argumentieren
x
x
Kommentar 5.1. Die wichtigsten Darstellungsweisen kennen:
Stab, Säule, Balken, Kreis, Torte, Histogramm, Boxplot. Die
Darstellungsweisen interpretieren und begründen können, für welche Art
von Problemstellungen und Untersuchungen sich eine bestimmte
Darstellungsweise besonders gut eignet. Dabei sollte auch die
Manipulierbarkeit von Daten durch spezielle Darstellungsweisen diskutiert
werden.
Kommentar 5.2 Hinweis:
Es werden die folgenden Bezeichnungen gewählt:
Für empirisch erhobene Daten xi  Mittelwert x ,
Standardabweichung
(Grundgesamtheit, statt
bei einer Vollerhebung
auch
) Standardabweichung einer
Stichprobe als Schätzung auf die Grundgesamtheit
(bzw.
für große Stichproben)
In vielen Fällen wird in Lehrbüchern nicht klar zwischen den verschiedenen
Formeln unterschieden, daher gilt für die Reifeprüfung (bis auf Weiteres)
folgende Festsetzung:
Beide Formeln für s (bzw. ) gelten als richtige Lösung, gleichgültig, ob es
sich um die Standardabweichung einer Grundgesamtheit oder um die
Standardabweichung einer Stichprobe handelt.
~5~