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1 .2 Rechenoperationen zweiter Stufe
Die Multiplikation
Vorüberlegungen:
1.) Bei einer Massenhochzeit in Südkorea heiraten 500 Paare
gleichzeitig. Wie viel Menschen sind das?
2+2+2+2+….. = 2 mal 500 = 500 x 2 = 1 000
2.) Auf einer Palette stehen sieben Kisten, in denen sich jeweils immer
25 Gegenstände befinden. Wie viele sind das insgesamt?
25+25+25+25+25+25+25 = 25 mal 7 = 175
Oder: Eine Stunde hat 60 Minuten und jede Minute hat 60 Sekunden
(eine Art 60er-System). Wie viele Sekunden hat eine Stunde?
60+60+60+60+60+60+… … sechzigmal = 60 x 60 = 3 600
Die wiederholte Addition mit demselben Summanden wird als eine
Multiplikation abgekürzt! Für je zwei natürliche Zahlen a und b erhält man
3 x 7 = 21
axb = c
↑
PRODUKT
der Wert des Produkts c ist dabei wieder eine natürlich Zahl,
wie es das Abgeschlossenheitsgesetz verlangt!
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Und genauso wie bei der Rechenoperation 1. Stufe liefert die
Umkehroperation wieder neue Zahlen,
nämlich die Brüche ( = rationale Zahlen Q):
3 x ?
=
21
erfordert die Teilung durch 3
Aber was ergibt 2 : 3 =
Da ZWANZIG geteilt DURCH 3 immer 6 Rest 2 ergibt 0,6666666666… man sagt Periode 6
Das Operationszeichen für das Malnehmen (früher manchmal ein x) ist ein
Punkt, den man sogar weglassen kann, da die Mathematiker alles so kurz
wie möglich haben wollen und weglassen, was man nur weg lassen kann.
Auch die Einheit lässt man weg.
Beispielsweise ist 1 mal a dasselbe wie a, und umgekehrt ist a = 1a
(Manche Schüler wissen nicht einmal, dass
der Koeffizient von x³ die Einheit 1 ist)
Beachte auch: Punktrechnung immer vor Strichrechnung
geht und über allem die Klammer steht!
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Auch die Multiplikation ist „schön“, also auch eine symmetrische
Operation, bei der die Faktoren vertauschbar sind: Man hätte also die
Palette auch mit 25 Kisten a sieben Gegenstände beladen können:
7 x 25 = 25 x 7
= 175.
ab = ba
Die Faktoren (Multiplikand und Multiplikator) sind vertauschbar!
Der Mathematiker sagt, die Multiplikation sei abelsch (Kommutativgesetz)
Die Null macht eine Extrawurst:
Die Zahl Null wurde übrigens auch lange Zeit nicht als Zahl gesehen bzw.
es gab kein Symbol für diese später zur wichtigen Ziffer werdende Null:
Sie ist aber ganz entscheidend für die Stellenwertsysteme!
Die Inder waren die ersten, die das „Nichts“ bzw. Nichtvorhandensein symbolisierten.
Ihr indisches Zahlensystem übernahmen zunächst die Araber, bevor es zu uns kam und
daher als arabisches gilt.
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Satz vom Nullprodukt:
Ein Produkt wird nur dann Null, wenn ein Faktor Null ist5
Die Menge der rationalen Zahlen (Brüche) ohne die Null bildet eine
(multiplikative) Gruppe. Die Struktur ist also genau dieselbe kommutative und
zyklische, wie bei der Addition. Die additive und die multiplikative Gruppe
zusammen mit den Verteilungsgesetzen4, bilden einen sog. (Struktur-)
Körper.
4
Zwei Distributivgesetze: a x (b+c) = ac + bc und (b+c) x a = ba + ca
5
Man spricht von der Nullteilerfreiheit!
Bei endlichen Gruppen muss das nicht der Fall sein:
a (Rest 2 bei Teilung durch 4) mal b (Rest 2 bei Teilung durch 4) = 0 modulo vier,
also ab = 0 obwohl weder a noch b Null sind
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Natürlich möchte man, dass die Gesetze auch immer für alle Zahlen gelten,
also auch für die erweiterten – in diesem Falle negativen:
Wie kann man nun negative Zahlen multiplizieren?
Wenn ich fünf verschiedenen Leuten jeweils 10 € schulde, dann habe ich
insgesamt (-10€) mal 5 = -50€ also 50 € Schulden. Wegen der
Vertauschbarkeit muss dann auch 5 mal (-10) = -50 sein, und es bleibt
nur noch die Frage, was Minus mal Minus ist?
Diese Frage ist schnell beantwortet, wenn man weiß, was (-1) mal (-1)
ist.
Von 1 x 1 = 1 – also der Einheit - kann es sich nicht allzu sehr
unterscheiden, denn bei der Division mit negativen Zahlen ist
der Betrag des Ergebnisses dasselbe, wie wenn man nur die
entsprechenden positiven Werte verwendet; also kommt in unserem Fall
wertmäßig 1 heraus . Nur das Vorzeichen ist noch fraglich: Plus oder Minus?
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Nun ist 0 = 1-1= { (+1) + (-1) }
und weil ja jedes Produkt mit dem Faktor 0 wieder Null ist
(
nur die Multiplikation mit Null macht alles platt),
folgt aus
7
(1-1)*(1-f) = 0 für beliebiges f
mit Hilfe des Distributivgesetz (Verteilungsgesetz)
a(b+c)= ab+bc
0 = 1*1 +(-1) * 1 +1(-f) + (-1)x(-f) = -f + (-1)(-f),
dass (-1)(-f) –f = 0 wird, oder weil nur +f – f =0 ist
(-1) x (-f) = +f
also dasselbe wie +1 mal +f ist.
Der Mathematiker sagt, dass außer der Einheit (= neutrales Element der
Gruppe) auch die negative Einheit -1 zu sich selbst invers ist, d.h.
sich bezüglich der Multiplikation mit sich selbst neutralisiert.
Dies bringt eine gewisse Zweideutigkeit mit ins Spiel, was z.B. zu zwei
verschiedenen Lösungen bei quadratischen Gleichungen führen wird. So hat die
Gleichung x+1 = 2 nur eine Lösung x = 1, während die
quadrierte Gleichung
(x+1)² = 2²
noch zusätzlich die Lösung x = -3 hat!
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Eigentlich müsste man bei positiven Zahlen das Vorzeichen + davor
machen! Wie immer aber in der Mathematik, lässt man weg, was man
irgend weglassen kann! Oder die positiven sollte man (wie Guthaben)
schwarz und die negativen wie Schulden rot kennzeichnen. Rot mal rot
ergibt dann schwarz!
Mit Minuszahlen zu multiplizieren ergibt dasselbe wie mit positiven, nur
dass das Vorzeichen bei nicht gleichartigen Vorzeichen eben negativ wird.
Gleiche Vorzeichen positiv, verschiedene Vorzeichen negativ.
Merke:
Minus mal minus ist plus9!
Diese Erkenntnis ist allerdings folgenschwer. Denn nun sucht der
Mathematiker eine Lösung für das unlösbare Problem, welche Zahl mit
sich selbst multipliziert negativ wird bzw. -1 ergibt!
Geht nicht, gibt´s nicht für den Mathematiker: Er definiert diese Zahl als
imaginäre Einheit i und führt zweidimensionale Zahlen ein. Diese
algebraisch-erweiterte komplexe Zahlenmenge C geben jeder Gleichung
n-ten Grades genau n Lösungen. Sie haben einen Real- und einen
Imaginäranteil, die in zwei senkrecht aufeinander stehende Zahlengerden,
der sog. Gaußschen Zahlenebene geometrisch realisiert werden. Die
Multiplikation mit i wird dabei zu einer Drehung um 90Grad. Jedes Produkt
zweier komplexer Zahlen ist eine Drehstreckung, bei der statt zu
multiplizieren die Winkelargumente nur addiert werden müssen
(--Moivre´sche Formel).
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Kommen wir nun aber zu der Frage nach der multiplikativen
Umkehroperation. Fragen wie etwa für welche Zahl x gilt: 25-mal x=175
Die Umkehroperation heißt Division
25x = 175
x = 175 : 25
Allgemein
a:b =c
Wert des Quotienten
↑
QUOTIENT
Wie ein Minuend minus einem Subtrahenden eine Differenz ist, so ist eine
Division ein Dividenda, der durch einen Divisor b geteilt wird
oder, was das gleiche ist: Zähler Bruchstrich Nenner:
a:b = a/b
Vertauscht man Zähler und Nenner, dann erhält man die Kehrzahl
oder den Kehrwert, auch reziproker Wert genannt.
In
der
Physik
beispielsweise
ist
der
Kehrwert
des
Gesamtwiderstandes einer Parallelschaltung gleich der Summe
der Kehrwerte der beiden Teilwiderstände R1 und R2:
1/Rgesamt = 1/R1 + 1/R2.
Oder bei der Berechnung der Brennweite f einer Linse gilt 1/f = 1/g+1/b
Natürlich ist nicht zu erwarten, dass die
Division auch so „schön“ symmetrisch ist wie die Multiplikation.
Auch die Division ist wie eine Differenz nicht vertauschbar:
a:b ≠ b:a
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Untersucht man nun diese „von Gott gegebenen“ Zahlen
(alles andere sei Pfusch, sprich Menschenwerk)
etwas
genauer,
so
stellt
man
fest,
dass
es
multiplikativ
zusammengesetzte und unzerlegbare Zahlen gibti. Letztere sind die
Zahlen ohne echte Teiler. Diese unteilbaren Primzahlen sind sozusagen
die Atome, aus denen sich alle anderen durch Produkte bilden lassen.
Diese speziellen Nicht-Einmaleins-Zahlen beginnen mit:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53,
59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109,
113 …
Dass es deren unendlich viele gibt, bewies schon der vor
2300 Jahren geborene Euklid. Der Beweis ist ganz einfach,
wenn man zeigt, dass das um 1 erhöhte Produkt aller
Primzahlen (sollten es endlich viele sein) eine noch größere
Primzahl ist. Auch Primzahlpaarzwillinge1 – zwei aufeinander
folgende ungerade Zahlen, die beide prim sind, wie 101 und
103 oder 107 und 109, - soll es auch unendlich viele geben,
was aber sehr viel schwerer zu beweisen ist2.
Über Primzwillinge sei Prof. Christian Spannagel von der PH Heidelberg empfohlen:
http://wikis.zum.de/zum/PH_Heidelberg
1
http://www.spiegel.de/wissenschaft/mensch/mathematik-chinese-gelingt-beweisueber-primzahlzwillinge-a-901000.html
2
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Primzahl-Drillinge der Form p, p+2, p+4 gibt es allerdings nur
einen, nämlich 3, 5 und 73.
Ist der Anstand aber zwei und dann vier, das sind Zwillinge in
deren Abstand von vier eine weitere Primzahl folgt, so dass ein
Prim-Drilling die Form p, p+2, p+6 hat,
wie z.B.
5,
7,
11
11, 13, 17
17, 19, 23
oder auch
101, 103, 107
1997, 1999, 2003
so bleibt die Frage offen, ob es auch unendlich viele PrimDrillinge gibt4.
Die Endziffern sind dabei immer entweder
Eins, Drei, und Sieben
oder
Sieben, Neun und Drei
(außer am Anfang, wo 5 noch Primzahl ist, sind alle mit 5
endenden Zahlen ja durch 5 teilbar).
3
4
http://www.mathepedia.de/Primzahldrillinge.aspx
Für
weitere
Überlegungen
dazu
empfehle
ich
https://www.mathematik.de/ger/presse/ausdenmitteilungen/artikel/mdmv-18-4-222-1.pdf
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Primzahl-Drillinge bis 10 000
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Primzahl-Drillinge bis 10 000
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Ob es unendlich viele Prim-Drillinge gibt ist ebenso unklar, wie
die Frage, ob jede größere gerade Zahl sich als Summe zweier
Primzahlen schreiben lässt (Goldbachsche Vermutung).
Beispiele für sogar multiple solche Zerlegungen
14 = 7 + 7
und
24 = 19 + 5
14= 11 + 3
und
24 = 17 + 7
50 = 47 +3
50 = 43 + 7
50 = 41 +19
50 = 37 + 13
50 = 31 + 29
Wie man sieht, könnte jedes Kind schon bezüglich Primzahlen
ohne
sonstigen
einfache
Fragen5
mathematischen
stellen,
die
Kenntnisse
aber
keiner
bereits
–
auch
viele
kein
Mathematiker - beantworten kann, wie etwa ob jede genügend
große ungerade Zahl die Summe dreier Primzahlen ist.
5
https://de.wikipedia.org/wiki/Primzahltupel#Primzahldrilling
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Wichtig ist nun die eindeutige Zerlegbarkeit in Produkte von
Primzahlen, was für den größten gemeinsamen Teiler ( ggT )
und das kleinste gemeinsame Vielfache ( kgV ) gebraucht wird.
Das (jedoch im Zeitalter des Taschenrechners weitgehend
entbehrliche)
Bruchrechnen
ist
heutzutage
eine
oft
sehr
ungeliebte Angelegenheit und da in jeder Schule schon bis zur
Vergasung gepaukt worden, wie die Prozentrechnung und der
Dreisatz, weshalb ich sie auf andere (Schul-)Bücher oder
kostenlose Videos im Internet verweise, die es inzwischen über
alle Themen gibt. Stattdessen will ich noch ein Beispiel des
Rechnens mit Restklassen anführen, und zwar bezüglich der
Teilbarkeit durch die Sieben (also modulo 7). Es geht um die
Frage, ob Sie ein Sonntagskind sind?
Oder wie man die Wochentage eines gegebenen Datums
berechnen kann! Dank der Tabelle von Rüdiger Gamm geht das
sehr einfach
Berechne den Wochentag, an welchem Du geboren bist?
Dank der folgenden Tabelle von Rüdiger Gamm geht das sehr
einfach
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Schaue in der Zeile des Jahres unter dem entsprechenden Monat nach und
addiere diese Zahl zum Tagesdatum: Teile dann durch 7 und der Rest ist
1=So,
2=Mo, 3=Di, 4=Mi, 5=Do. 6=Fr und kein Rest 0=Samstag
Beispiel: Welcher Tag war der Nine-Eleven 2001, an dem die beiden
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Türme des WTC im Staub versanken, erinnern Sie sich noch an diesen
Tag, und was sie gerade gemacht haben, als Sie´s erfuhren?
Der 11te September berechnet sich also über die der in der Tabelle in
Pfeilrichtung bei 2001 unter Sep gefundenen umrahmte 6 zu
6 + 11 =17 und 17:7 =2 Rest 3, also 3 mod7 und das war ein Dienstag
Beispiel 2: JFK wurde am 22. 11. 1963 erschossen
 In der Tabelle unter 1963 Nov ist 5 zu finden 5+22=6 mod7 = Freitag
Beispiel 3: Der 9. März 1952 war ein 6+9 = 1 mod7 = Sonntag
Restklasse + 1x7
+ 2x7
+ 3x7
+ 4x7
+ 5x7
Sonntag
1
8
15
22
29
36
Montag
2
9
16
23
30
37
Dienstag
3
10
17
24
31
38
Mittwoch
4
11
18
25
32
39
Donnerstag 5
12
19
26
33
40
Freitag
6
13
20
27
34
41
Samstag
0
7
14
21
28
35
Restklassentabelle für die Teilbarkeit durch Sieben
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Als es noch keine Taschenrechner gab, war eine Prüfung der Frage, ob
man sich beim Malnehmen verrechnet hat, ganz praktisch. Diese
Prüfung funktioniert ganz einfach über die Quersummenbildung.
Betrachten als Vorüberlegung dazu zunächst den Neuner
9, 18, 27, 36, 45, 54, 63,72, 81, 90,
99, 108, 117, 126, 135, …
die Quersumme ist immer 9 bzw. eine durch 9 teilbare Zahl!
So ist bei 99 zwar 9+9=18, aber die Quersumme der Quersumme ist
1+8=9 eben wieder 9 (oder zumindest eine 9er-Zahl etc.)
Wir können im Folgenden die Ziffer 9 oder zB. auch zwei Ziffern wie 2 und
7 = 9 getrost als Null und nichtig auffassen: 9=0!
(Bei einer Quersumme kann es ja niemals 9 geben,
und +1 gibt eben 10 =1 quersummentechnisch)
Weil eine Zahl nur dann durch 9 teilbar ist, genau dann wenn auch ihre
Quersumme es ist, deren Quersumme wieder eine 9er-Zahl sein muss,
folgt:
Das Produkt der Quersummen ist gleich der Quersumme des Produktes
(oder deren wiederholte Quersummen, bis man zu einer Ziffer kommt),
ergibt sich eine recht einfacher und schneller Test mittels einer Prüfziffer,
die mit 8/9 = 88,8 Periode 8 Prozent Wahrscheinlichkeit richtig ist.
1. Beispiel:
12 x 34 = 408
Quersumme des Multiplikanden
1+2=3
Quersumme des Multiplikators
3+4=7
Produkt der Quersummen
Quersumme des Produkts
3 x 7 = 21 mit Quersumme
2+1 = 3
4+0+8=12 mit Quersumme 1+2= 3
also wohl richtig gerechnet!
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2. Beispiel:
503 x 415 = 208 745
Quersumme des Multiplikanden
5+3= 8
Quersumme des Multiplikators
4+1+5 = 1 (4+5=9=0)
Produkt der Quersummen
8x1=8
mit Prüfziffer = 8
Quersumme des Produkts
208 745
2+8 +7 (4+5=9=0) = 17 mit der Quersumme 1+7 = 8
also 88,9%ig richtig gerechnet!
3. Beispiel:
23456192
x 604 =
14 167 539 968
Quersumme des Multiplikanden 2+3+4+5 +6 +1 +9 +2+4= 32
Quersumme des Multiplikators
6+4= 10
3+2=5
1+0
=1
Produkt der Quersummen
1x5=5
mit Quersumme
=5
Quersumme des Produkts
4+6 + 7+3 +9+1+9+1+5+6+8
59
mit Quersumme
5+0 = 5
oder da 9=0 ist 141675368 = 1167368 = 68 mit 6+8=14 also 1+4 = 5
somit wahrscheinlich richtig gerechnet!
Diese Prüfzifferprobe nennt man auch die 9er-Probe. Macht man
zusätzlich die 11er-Probe (siehe weiter unten), dann hat man mit einer
Wahrscheinlichkeit von (9x11=) 99 : 1 richtig gerechnet!
Diese Proben kann man auch im Zweiersystem machen, wobei die
Chancen einen Fehler zu entdecken aber nur noch Fifty-Fifty sind.
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Natürlich kann man dies Quersummen oder 9erProbe
(und/oder die 11er-Probe oder Querdifferenzen-Methode)
auch zur Probe für die Addition langer Reihen verwenden,
wobei die Quersummen der einzelnen Posten natürlich
zusammengezählt werden müssen
(etwa beim Einkaufszettel für €-Beträge – die Kommata
einfach ignorieren -
siehe Beispiel darunter)
Zur Überprüfung beim Subtrahieren
bei Negativzahlen einfach 9 addieren
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Bei der 11er-Probe muss man aber stets von rechts nach links mit
der alternierenden Summe beginnen!
Eventuell könnte man sogar Divisionsaufgaben überprüfen!
Hier wurde von 8 elf subtrahiert.
Aber Vorsicht bei der Division:
Bei 50031 : 17 = 2943 ist der Dividend 1-3+0-0+5=3 der Divisor 7-1 = 6
Und aber 3:6 =0,5 ist unvereinbar mit der Querdifferenz von 2943
3-4+9-2 = 6
Dagegen funktioniert die 9er-Probe problemlos
0:8=0 und 2+4+3=9=0
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A N H A N G:
Wie fit bist Du in Mathe?
Zwei Verständnisfragen
Kann denn Drei dasselbe wie Zwei sein?
Es sei a = 3b. Wir addieren auf beiden Seiten 2a und erhalten
3a = 2a + 3b
Nun subtrahieren wir auf beiden Seiten 9b und erhalten
3a - 9b = 2a – 6b
3 (a – 3b) = 2 (a - 3b)
3=2
Nach Division durch (a - 3b)
Was ist daran falsch?
10 Ct = 10€
10 Cent = 0,1 €
= 1/10 €
= ½€ mal 1/5 €
= 50 Cent mal 20 Cent
= 1000 Cent
= 10€
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LITERATUR:
Wenn jemand ein guter und schneller Rechner werden will,
folgende Empfehlungen:
Arthur Benjamin, Michael Shermer : Mathemagie, Heyne 2007
Bücher des 8-fachen Weltmeisters Dr. Dr. Mittrinig oder des SUPERHIRNGewinners Rüdiger Gamm.
Wer sich die Mnemotechnik aneignen will:
Von der Jugendweltmeisterin Christiane Stenger, Heyne 2006
Warum fällt das Schaf vom Baum?
Beispiele für Videos
Fit im Kopf mit Rechenweltmeister Dr. Dr. Mittring – YouTube
Überkreuz multiplizieren
https://www.youtube.com/watch?v=_d7W8wqtfFI
Vierfacher Weltrekord im Kopfrechnen
https://www.youtube.com/watch?v=vK5uFP28TWY
Focus - Der Herr der Zahlen: Rüdiger Gamm
https://www.youtube.com/watch?v=9dVtKwLuN9E
i
Dies ist eine übliche Vorgehensweise in der Mathematik und Physik, dass man in irreduzible Elemente zerlegt,
etwa in der Gruppentheorie.
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