analog der 1 - Universität der Bundeswehr München

Universität der Bundeswehr München
Fakultät für LRT
4. Lösung / 1
Lösung der Aufgabe:
a)
Freischneiden der Massen:
F2  F20  f2 (s1  s2 )
d(s1  s2 )
m1
s1
F1  f1(s1  s0 )  F10
m1g
Schwerpunktsatz:
m1s1  m1g  F10  F20  f1(s1  s0 )  f 2 (s1  s2 )  d(s1  s2 )
damit s1  0 eine Ruhelage ist, muss F10  F20  m1g sein.
f f
f
f
d
d
s1   1 2 s1 
s1  2 s 2 
s 2  1 s0
m1
m1
m1
m1
m1
(1)
m2
s2
d(s2  s1 )
F2  F20  f2 (s2  s1 )
m2 g

m2s2  m2g  F20  f 2 (s2  s1)  d(s2  s1)
damit s2  0 eine Ruhelage ist, muss F20  m2g sein.
f
d
f
d
s2  2 s1 
s1  2 s 2 
s2
m2
m2
m2
m2
(1) mit (2) in Form x  A x  b u bringen.
Steuer- und Regelungstechnik I
(2)
Universität der Bundeswehr München
Fakultät für LRT
4. Lösung / 2
Man erhält Differentialgleichungen 1. Ordnung durch Setzen von
x1  s1, x 2  s1, x3  s2 , x 4  s2

x1 
x2  
x2
f1  f 2
d
f
d
f
x1 
x 2  2 x3 
x 4  1 s0
m1
m1
m1
m1
m1
x3 
x4 
mit
x4
f2
d
f
d
x1 
x 2  2 x3 
x4
m2
m2
m2
m2
xT  (s1 s2 s2 s2 ) und u  s0 wird:




x 




0
f1  f 2
m1
0
f2
m2
1
d

m1
0
f2
m1
0
d
m2
0
f
 2
m2

 0 




f1 


 x   m1  u .
1 


0 

d 
 0 




m 2 
0
d
m1
(3)
Neue Zustandsgrößen (Wege und Impulse) nach Zustandstransformation:
x1  s1, x 2  m1  s1, x3  s2 , x 4  m2s2
1

0

m1


d
 (f1  f 2 ) - m
1
x 

0
0



d
f2

m1

mit
y  s2  x3
ist
0
f2
0
-f 2

0 

d 
0
 

m2 
f
x  1 u
0
1 
 

m2 
0
d 

m2 
y  cT x  (0 0 1 0)x .
Steuer- und Regelungstechnik I
(4)
(5)
Universität der Bundeswehr München
b)
Fakultät für LRT
4. Lösung / 3
RLC-Netzwerk:
i L2
i L1 i R
1
C1
ue
Es gilt an
Induktivität
Kapazität
ua
(1)
(2)
C1 :
i1  C1
du1
dt
(3)
C2 :
i 2  C2
du 2
dt
(4)
Widerstand
R:
Knoten
1:
u1  u 2  R  iR
(5)
iL1  iL2  iR  i1
i2  iL2  iR
(6)
(7)
xT  (u1, i1, u1, i2 ) und xT  (u1, i1, u 2 , i 2 ) wird
1
i1
C1
aus (3)
u1 
aus (6)
u u
u u
u u
i1  i L1  i L2  i R  e 1  1 2  1 2
L1
L2
R
mit (3),(4)
 1
1 
1
1
1
1
i1    
i1 
u2 
i2  ue
 u1 
RC1
L2
RC2
L1
 L1 L2 
aus (4)
u2 
aus (7)
u u
u u
i1  i L2  i R  1 2  1 2
L2
R
mit (3),(4)
i2 
(8)
aus (2)
aus (5)
1
i2
C2
aus (2)

C2
di L1
dt
di
L2 : u1  u 2  L2 L2
dt
aus (1)

2
L1 : u e  u1  L1
2:
mit
R
(9)
(10)
aus (5)
1
1
1
1
u1 
i1 
u2 
i2
L2
RC1
L2
RC2
Steuer- und Regelungstechnik I
(11)
Universität der Bundeswehr München
Fakultät für LRT
1

0

C1

  1
1 
1
 
 
L L2 
RC1
Mit u  u e : x    1


0
0


1
1

L2
RC1

mit
c)
0
1
L2
0

1
L2
4. Lösung / 4



 0 
1 
 

 1 
RC2 
x   L1  U
1 
 

 0 
C2 
 0 
 

1


RC2 
0
y  u a  u 2  y  (0 0 1 0)x  cT  (0 0 1 0)
(12)
(13)
Äquivalenz:
Da die Matrizen A und A , sowie die Vektoren b und b und auch c und c jeweils gleich aufgebaut sind, sind die beiden Systeme äquivalent.
Man erkennt folgende Analogie:
Masse
m
Kapazität
C
Federkonstante
f
1/L
Dämpfungskonstante
d
reziproke Induktivität
reziproker Widerstand
= Leitwert
Weg
s
Spannung
u
Impuls ( m  s )
p
Strom
i
1/R
Gemeinsame Form des Zustandsmodells:
a12
 x1   0
  
 x 2    -a 21 -a 22
 x3   0
0
  
 x 4   a 41 a 42
0   x1   0 
 
a 23 a 24   x 2   b2 

u
0
a 34   x 3   0 
   
-a 43 -a 44   x 4   0 
0
y  x3
(1)
(2)
Steuer- und Regelungstechnik I
Universität der Bundeswehr München
Fakultät für LRT
4. Lösung / 5
Blockschaltbild für gemeinsame Form:
a 23
a24
a 42
u
b2
+
+
+
-
-

x2
a12

x1
a41
+
-
+
-

a22
a 44
a21
a 43
Steuer- und Regelungstechnik I
x4
a34

x3
y