6D Stoff und Formeln für 1

481382168
6D
-1-
Stoff und Formeln für 1.Mathe-SA
Fr,10.11.06
Analytische Geometrie der Ebene- Geradengleichungen
Aufgaben im Dreieck- Bestimmung von H,S,U und der Eulerschen Geraden
1
S   A  B  C 
Eulersche Gerade e inPF : X  H  t  HU
3
Verschiedene Geradenformen:
y  kx  d .......Lineare Funktion
Parameterform:PF:
1.)Vektorform:



 x

X  Pt a
X ......  P....... Aufpunkt t......Parameter a...Richtungsv ektor
 y
2.) Koordinatenform: Zeilen mit t „abschreiben“
   3    4   x  3  4t 
Bsp: PF : X   2   t   

2


3
  2     y  2  3t 
Normalvektorform einer Geraden g
   
X  n  X1  n

 x
X ...... 
 y


n...links  oder rechtsgekippter Normalvektor des RV a von g

X 1 ...Punkt, durch den g läuft
Schnitt 2er Geraden in PF:
  1
   3    4 
0
 t  
Bsp: mAB ……. PF : X 
m BC ……… PF : X     u  
2

   3
  4
  1
2
 3    4  1
    t   =    u  0 
  1
 2    3    4 
 
2
3

  4t    1 
einen der beiden Parameter ( u oder v) eliminieren und in die Geradenglg. für
2


 2  3t   4  u 
ermittelten 2.Parameter einsetzen!!!
33
1

U   1/ 
8
8

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------Schnitt 2er Geraden in NVF:
System 2er linearer Gleichungen in 2 Varaiablen
Bsp: I x  y  10
II x  4 y  4
→mittels Gaußschem Elim.verfahren: 1 Var.eliminieren, andere ausrechnen!
hier:
mAB  m BC : t eliminieren  u 
aber auch: alle anderen Lösungsverfahren anwendbar ( Einsetz-, Substitutionsmethode, Cramer, Graphisch…)
hc  ha
481382168
H  12 /  2
-1-
481382168
-2-
Schnitt einer Geraden in PF mit einer Geraden in NVF
  3   5 
zB hb 5 x  12 y  18 b........ X     t  
  8   12 
hb  b : 5(3  5t )  12(8  12t )  18  t  ........  t
wieder einsetzen  x  3  (5)  0,5857
y  8  12  0,5857
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------Fa  ha  a
Fb  hb  b : Fc  hc  c Höhenfußpunkte
Umkreisradius r: r  UA  UB  UC
Inkreisradius :  
A
s
A  Dreiecksfläche
HeronscheFlächenformel : A  s  s  a  s  b  s  c
u
s  halber Umfang des Dreiecks u  AB  BC  AC
2
a, b, c.......Länge der Dreiecksse iten
Potenzen
1
 a n
n
a
negative ganzzahlige Hochzahl:
a
 
b
n
b
 
a
n
Potenzen mit gleicher Basis: Multiplikation: a r  a s  a r  s HZ addiert
ar
 a r  s HZ subtrahiert
as
Potenzen mit verschiedener Basis und gleicher HZ:
n
Multiplikation: a n  b n  a  b 
Division:
Division:
 
Potenzieren von Potenzen: a r
s
an  a 
 
bn  b 
n
 a r s HZ multiplizi ert
Potenzen über der Exponentenmenge Q- Gebrochen rationale Hochzahlen- Wurzeln
1
n
a  an
481382168
m
n
am  a n
-2-
481382168
6D
-3-
Übungszettel für 1.Mathe-SA
Fr,10.11.06- 1-stündig
Vektorrechnung- analytische Geometrie
1.)
Gegeben ist das Dreieck ABC
A 3 /  8
B6 / 4 C 8 / 4
1.) Ermittle die Koordinaten des Umkreismittelpunkts U als Schnitt von Geraden in
Parameterform
– schneide mBC mit m AC
und
als Schnitt von Geraden in Normalvektorform!!!
– schneide mBC mit m AB !!
2.) Ermittle die Koordinaten des Höhenschnittpunkts H als Schnitt von Geraden in
Parameterform
– schneide ha mit hb
und
als Schnitt von Geraden in Normalvektorform!!!
– schneide hc mit ha
3.) Ermittle weiters die Koordinaten des Schwerpunkts S mittels Formel
4.) Stelle die Gleichung der Eulerschen Geraden e in PF sowie auch in NVF auf!
(Lege e durch H und U überprüfe,ob S darauf liegt!)
Wie kannst du e als Funktion graphisch darstellen???
Verwandle zur Kontrolle e von PF in NVF!
Ermittle weiters
5.) die Koordinaten der Höhenfußpunkte Fa , Fb sowie Fc
a) durch Schnitt der Seiten in PF mit den Höhen in NVF!
b) durch Schnitt der Seiten in NVF mit den Höhen in PF!
6.) die Länge der Höhenabschnitte
7.) die Länge der 3 Höhen- durch Addition der Höhenabschnitte
8.) die Länge der jeweils beiden Seitenabschnitte die die Höhe mit der Seite bildet!
9.) die Länge des Umkreisradius r
10.) die Länge des Inkreisradius  mittels Heronscher Flächenformel
Fertige eine Konstruktion an und überprüfe deine Ergebnisse!!!!
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2.) Gegeben ist das Dreieck ABC
A 4 / 0
B8 / 12 C2 /  12
1.) Ermittle die Koordinaten des Umkreismittelpunkts U als Schnitt von Geraden in
Parameterform
– schneide mBC mit m AC
und
als Schnitt von Geraden in Normalvektorform!!!
– schneide mBC mit m AB !!
2.) Ermittle die Koordinaten des Höhenschnittpunkts H als Schnitt von Geraden in
Parameterform
– schneide ha mit hb
und
als Schnitt von Geraden in Normalvektorform!!!
– schneide hc mit ha
3.) Ermittle weiters die Koordinaten des Schwerpunkts S mittels Formel
4.) Stelle die Gleichung der Eulerschen Geraden e in PF sowie auch in NVF auf!
(Lege e durch H und U überprüfe,ob S darauf liegt!)
Wie kannst du e als Funktion graphisch darstellen???
Verwandle zur Kontrolle e von PF in NVF
481382168
-3-
481382168
-4-
Ermittle weiters
5.) die Koordinaten der Höhenfußpunkte Fa , Fb sowie Fc durch Schnitt
der Seiten in PF mit den Höhen in NVF!
6.) die Länge der Höhenabschnitte
7.) die Länge der 3 Höhen
! aufgrund der besonderen Lage: hier ist kein Addieren der Höhenabschnitte möglich!
8.) die Länge der beiden Seitenabschnitte die die Höhe mit der Seite a bildet!
9.) die Länge des Umkreisradius r
10.) die Länge des Inkreisradius  mittels Heronscher Flächenformel
Fertige eine Konstruktion an und überprüfe deine Ergebnisse!!!!
Welche besondere Lage liegt vor????
Einheit auf den Achsen: „halbiere die Werte“!!!! 4 entpricht 2cm etc.
Potenzen
Rechnen mit ganzzahligen Exponenten
Vereinfache (ohne TR) und stelle das Ergebnis mit positiven Hochzahlen dar:
 3a 2  3  2a  2   4a 3  3
 
3.)  2    3   : 
 5b   3b    5b 
 5a 3  3  3a  3   5a 3  2
3a)  2  :  2     3  
 3b   2b    4b 
 xy  3   x  4  24 y
4.)   :  2   : 7 
 2   y   x
 x 2 y   4 x  3  8 x 4
 :    :
5.) 

  2   3 y   27 y
Rechnen mit gebrochen rationalen Exponenten
Berechne zunächst ohne TR ,stelle das Ergebnis in der Form a r und in Wurzelschreibweise
dar, rechne am Ende dann-wo möglich- mit dem TR aus!!
1
2
6.) x  x

2
3
481382168
3

1

  19 


7.)  x   x 2 


1
 1 2
8.) 8 :   
2
1
2
-4-
9.)
y:y

2
3

481382168
-5-
10.) 0.008  0.2

7
3

1
14.) 2 z 


17.) a  b   7 x 2  y
1

5

17.a)
1
4
x2
3
24.)
0.2 
1
4
1
1
 x   x 4
27.)      
 27   3 
3
481382168

18.) 0.04

1
1


2

1
2
1
2

1
6

-5-
2
3
: y
1
19.) 5 2 : 5 3 

1
2
3

23.) 7 3 


1
 0.2 3 
 7 2
26.) 63    
4
 4 6
28.)  2   16 x 2
x 
13.) y
16.) 2  x  y 
22.) 30,5
 1 2  1 2
25.)      
 2   18 


0
  13 
 1 3  1 4
20.)   :    21.)  8  
 4   16 


2
3 3
 1 3
12.) 6    
8
15.) x 2  1.5 y  x1,5 

1
1
3
 1 6
11.) 14    
 49 
 z 2
:  
2
1
2
1
1
6
2
3

481382168
-6-
6D Lösungen zum Übungszettel zur 1.SA
  1
  5.5 
 0
  12 
1

U   1/ 
8

  u 

1.) 1.) mBC... X     t   m AC X  
 4    1
 2 
 5 
mBC
2.) ha
ha
x  1
m AB
3x  4 y  3.5
  3  0 
X     t   hb
  8    1
x  3 hc
6
  12 

X     u 
 4
 5 
1

H  3/ 
3x  4 y  8
4

 5 
3.) S   / 0 
 3 
  3   16 
  t   e in NVF : 3x  16 y  5
4.) e in PF : X  
 0.25    3 
3
5
y  kx  d  16 y  3x  5  y   x 
16
16
5.) a)
  3   5 
Fa  3 / 4  ha  a
Fb  5,9289 /  0,97   b : X     t  
  8  12 
 hb  b : 5(3  5t )  12(8  12t )  18  t  0,5857
6.)
AH  8,25
HFa  3,75
BH  9,75
Fc  hc  c : 0,96 /  2,72
HFb  3,146
CH  6,25
HFc  4,95
7.) ha  AH  HFa  12 LE hb  12,896 LE hc  11,2 LE
8.) Fa B  9 Fa C  5
Fb A  7,6046 Fb C  5,3954
Fc A  6,6 Fc B  8,4
9.) r  UA  UB  UC  8,125LE
10.)   4 LE
5
 1 
 4
 2
2.) 1.) mBC... X     t   m AC X     u  
 0    1
  6
1 
mBC
2.) ha
ha
3.)
 x  4 y  5
m AB
U 9 /  1
x y 8
  4  4 
8 
 2
X     t   hb X     u  
 0    1
12 
1 
 x  4y  4
hc x  y  10
H  12 / 2
S 2 / 0
 9  7
e in PF : X     t   e in NVF : x  7 y  2
  1   1 
1
y  kx  d  y  x  8
2
Fb  6,4 / 4,8  hb  b : Fc  hc  c :  7 /  3
5.) Fa 4,47 /  2,117  ha  a
4.)
481382168
-6-
481382168
-7-
Bsp 2-Fs. 6.)
AH  8,246211LE
HFa  15,94757
BH  22,36067
HFb  6,26099
CH  19,79898LE
HFc  7,0710678LE
7.) Fa A  ha  8,731282
8.)
Fa C  10,18649625
Fb B  hb  16,09968944
Fc C  hc  12,72792206LE
Fa B  14,5521375LE
10.)   3,918324388 LE
9.) r  UA  UB  UC  13,0384LE
Potenzen
3
4x
3125a 12
a 12
y4
9

0
,
1875
ab
3a)
2.143347050
4.)
5.) 
9
6
6
y
16ab
3
1458b
b
1
1
1
6.) 6
7.)
8.) 4
9.) 6 y 7
10.) 3 0,04  3
 0,341995189
5
6
x
25
x
3.)
11.)
6
2
 0,81156254
7


3
15.) x  1,5 y  x
14.) 2
17a) 4 x

2
3
21.) 1
26.)
12.)
2
16.)
19.)
6
27.)
x4
x

4
3
3

7
6
5
17.)
20.)
24.) 25
-7-
y 7
a  b x 2  y 7
5  1,30766
28.)
1
 6 y 7 
6
x  y 2
23.) 49
4
13.) y
2
3
18.) 0,2 2
1
22.)
3
441 21

 10.5
4
2
481382168
3
3
 0,908560296
4
5  2,236067978
3
2  1,25992105
1
25.)
6