EINFÜHRUNG II

1 ÜBUNGSAUFGABEN MESK 2BKI1
Bemerkungen zu einigen mathematischen Notationen:
x  17 ist eine mathematische Kurzschreibweise für: x < 17  x = 17
x ≥ 17 ist eine mathematische Kurzschreibweise für: x > 17  x = 17
15  x < 19 ist eine mathematische Kurzschreibweise für: 15  x  x < 19
1) Geben Sie sämtliche Teilmengen von A = {7; 8; 9} an.
2) Bestimmen Sie von folgenden Mengen A, B, C die Durchschnitte
A  B, A  C, B  C:
a) A = {13; 14; 15; 16}, B = {12; 13; 14}, C = {15; 16; 17}
b) A = {x  |N | x < 10 }, B = {x  |N | x > 5}, C = {x  |N | x = 10 }
c) A = {x  |N | x > 40}, B = {x  |N | x > 50}, C = {x  |N | 30  x  50}
3) Bestimmen Sie von folgenden Mengen A, B, C die Vereinigungsmengen
A  B, A  C, B  C:
a) A = {9; 12}, B = {6; 9; 12}, C = {3; 15}
b) A = {x  |N | 12 < x < 15}, B = {x  |N | 15  x  18}, C = {x  |N | 17 < x  19}
c) A = {x  |N | x = 77}, B = {x  |N | 74 < x < 77}, C = {x  |N | 77  x  79}
4) Bestimmen Sie von den Mengen A und B die Mengen A \ B und B \ A:
a) A = {1; 3; 9; 12}, B = {6; 12; 18}
b) A = {1; 3; 5}, B = {2; 4; 6}
c) A = {x  |N | x < 5}, B = {x  |N | x < 8}
d) A = {x  |N | x  4}, B = {x  |N | 2 < x < 7}
5) Bestimmen Sie die Vereinigungsmengen von:
a) A = {x  |R | -1 < x < 1}, B = {x  |R | 1  x < 2}
b) A = {x  |R | 3  x  8}, B = {x  |R | -2  x < 5}
c) A = {x  |R | -3 < x < -2}, B = {x  |R | 5 < x  9}
6) Bestimmen Sie die Schnittmengen von:
a) E = {x  |R | -1 < x < 1}, F = {x  |R | 1  x < 2}
b) E = {x  |R | 4 < x < 7}, F = {x  |R | 5  x  9}
7) Bestimmen Sie:
a) X  X
b) Z  Z
c) A \ A
d) B  
e) B  
8) Es sei A  B. Bestimmen Sie:
a) A  B
b) A  B
c) A \ B
9) Bestimmen Sie von folgenden Mengen
A = {4;5;6}, B = {5;6;7;9}, C = {7;8}
die Mengen:
a) A  B b) A  C c) B  C d) A  (B  C) e) (A  B)  (A  C)
10) Welche der Aussagen sind richtig bzw. falsch ?
a) {3} {3;4} b) 3  {3;4} c) 3  {3} d) {3;4} {3;7;4}
11) Welche der Aussagen sind richtig bzw. falsch ?
Falls eine Aussage falsch ist, geben Sie ein Element an, das Element der einen Menge (z.B.
der Menge LM links des Gleichheitszeichens), aber nicht Element der anderen Menge (z.B.
der Menge RM rechts des Gleichheitszeichens) ist.
a) {x  |R | x > 49} = {x  |R | x ≥ 50}
b) {x  |N | x > 49} = {x  |N | x ≥ 50}
c) {x  |N | x > 49} = {x  |R | x ≥ 50}
d) {x  |N | x > 49}  {x  |R | x ≥ 50}
e) {x  |N | x < 4} = {x  |N | x  3}
f) {x  |R | x < 4} = {x  |R | x  3}
Lösungen:
1) {7;8;9}, {7;8}, {7;9}, {8;9}, {7}, {8}, {9}, {}
2)
a) A  B = {13; 14}, A  C = {15; 16}, B  C = 
b) A  B = {x  |N | 6 <= x <= 9}, A  C = , B  C = {10}
c) A  B = { x  |N | x >= 51}, A  C = { x  |N | 41 <= x <= 50}, B  C = 
3)
a) A  B = {6; 9; 12}, A  C = {3; 9; 12; 15}, B  C = {3; 6; 9; 12; 15}
b) A  B = { x  |N | 13 <= x <= 18}, A  C = {13; 14; 18; 19},
B  C = { x  |N | 15 <= x <= 19}
c) A  B = { x  |N | 75 <= x <= 77}, A  C = { x  |N | 77 <= x <= 79},
B  C = { x  |N | 75 <= x <= 79}
4)
a) A \ B = {1; 3; 9}, B \A = {6; 18}
b) A \ B = {1; 3; 5}, B \A = {2; 4; 6}
c) A \ B = , B \A = {5; 6; 7}
d) A \ B = {x  |N | x  2}, B \A = {5; 6}
5)
a) A  B = {x  |R | -1 < x < 2} b) A  B = {x  |R | -2  x  8}
c) A = {x  |R | -3 < x < -2}, B = {x  |R | 5 < x  9}
A  B = {x  |R | -3 < x < -2  5 < x  9}
6)
a) E  F = 
7)
a) X b) Z
8)
a) B
b) A
b) E  F = {x  |R | 5  x < 7}
c) 
d) B
e) 
c) 
9)
a) {4;5;6;7;9} b) {4;5;6;7;8} c) {7} d) {4;5;6;7} e) {4;5;6;7}
10)
a) richtig b) falsch c) falsch d) richtig
11)
a) falsch (49,1LM und 49,1RM)
b) richtig
c) falsch (50,7RM und 50,7LM)
d) richtig
e) richtig
f) falsch (3,9LM und 3,9RM)
2 ÜBUNGSAUFGABEN MESK 2BKI1
Formen Sie die Terme so in einfachere Terme um, dass sich allgemeingültige Gleichungen
ergeben.
Beispiel: 8a+ 7a = 15a
1) 17 a  23 b  35c  9a  41c  30 b
1
8
3
3) (  ab )  (  bc )  (  ac )
2
3
4
5) 6x  2 y  ( 4 z  ( 3x  2 y)  2 x)  5z
2
4
1
3
7) ( u  v  w )  (  v )
3
5
2
4
9) a ( 2 b  c)  3b( 2a  c)  5c( 2a  b)
20a 2  15ab  35ac
11)
5a
2) 4  a  2  c  5  b  3 c  2  a
3
4) (  x ):(  x )
7
6) ( x  2 y  6 z )  (  4 a )
8)
10)
12)
13)
ax  ay
5x  5y
14)
15)
a
 1
b
b
 1
a
16)
17)
1
19)
20)
22)
24)
1
18)
x y
9 a  8 b  3c 3b  4 a  12 c 27 c  7 a  8 b


2 ab
3ac
6 bc
2a
2a
21)

3x 3x  2 y
34 a 3 b 2
54 a 4 b 3

23)
(  2a )  (  b)
( a 2 )  (9 b2 )
x 2  8 x  16
 120 t  48 t 2  75
38 u 2  57 uv
2 u  3v
m4  n 4
m2  n 2
x2
y2

2y 2x
2 2

x y
2x  1
x 1

x
x
3(1  2 a ) 4 ( 2 a  1)
:
c ( b  1) (1  b )  c
2z
5x
6y
(


)  42 xyz
3 xy 6 yz
7 xz
3( x  y  z )  5( x  y  z )  2 ( y  x  z )
Tipps zur Herstellung eigner Übungsaufgaben:
Nehmen Sie eine binomische Formel, wie z.B:
(3s - 5)
Multiplzieren Sie diese Formel aus:
9s² - 30s + 25
So, und nun legen Sie die obige Formel (3s - 5) weg und versuchen die Formel:
9s² - 30s + 25
als Produkt zu schreiben.
Lösungen:
1) 17 a  23 b  35c  9a  41c  30 b = 8a  7b  6c
2) 4  a  2  c  5  b  3 c  2  a = 240a 2 bc 2
1
8
3
1
8
3
ab )  (  bc )  (  ac ) = ( )  ( )  ( )  a  b  b  c  a  c = a 2 b 2 c 2
2
3
4
2
3
4
3
3
4) (  x ):(  x ) = 
7
7
5) 6x  2 y  ( 4 z  ( 3x  2 y)  2 x)  5z = 6 x  2 y  (4 z  (3x  2 y )  2 x)  5 z
= 6 x  2 y  4 z  (3x  2 y )  2 x  5 z = 6 x  2 y  4 z  3x  2 y  2 x  5 z = 11x  4 y 9 z
3) ( 
6) ( x  2 y  6 z )  (  4 a ) = x  ( 4a)  2 y  ( 4a)  6 z  ( 4a) =  4ax  8ay  24az
2
3
4
3
1
3
2
4
1
3
7) ( u  v  w )  (  v ) = u  ( v)  v  ( v)  w  ( v)
3
4
5
4
2
4
3
5
2
4
1
3
3
=  uv  v 2  vw
2
5
8
2
8) x  8 x  16 = x 2  2  4  x 4 2 = ( x  4) 2
9) a ( 2 b  c)  3b( 2a  c)  5c( 2a  b) = 2ab a c 6ab  3bc  10ac  5bc
= 8ab  11ac  8bc
10)  120 t  48 t 2  75 = 3(40t  16t 2  25) = 3((4t ) 2 2  4t  5  5 2 ) =  3(4t  5)2
20a 2  15ab  35ac 20a 2 15ab 35ac
=
= 4a  3b  7c


5a
5a
5a
5a
20a 2  15ab  35ac
2. Lösung:
= (20a 2 15ab 35ac) :5a  = 4a  3b  7c
5a
2
20a  15ab  35ac 5a (4a 3b 7c)
3. Lösung:
=
= 4a  3b  7c
5a
5a
11) 1. Lösung:
38u 2  57uv 19u (2u  3v)
=
= 19u
2u  3v
2u 3v
ax  ay
a( x  y )
a
13)
=
=
5
5x  5y 5( x  y )
12)
m4  n 4
(m 2 ) 2  (n 2 ) 2 (m 2  n 2 )( m 2  n 2 )
= m2  n2

2
2
2
2
2
2
m

n
m

n
m  n
a b
ab
a

 1
a
( a  b) a
15) b
= b b = b =
=
b
b a
ba
b
b( a  b)
 1

a
a a
a
2
2
3
x
y
x
y3
x3  y3


x3  y 3
2 y 2 x 2 xy 2 xy
( x 3  y 3 ) xy
2 xy
16)
=
=
=
=
2 2
2 y 2x
2 y  2x
4( y  x )
2 xy(2 y  2 x)


x y
xy xy
xy
14)
=
17) 1 
x  y 1
x y
1
1

=
=
x y xy xy
x y
2x  1
x  1 2 x  1  ( x  1)
2 x 1  x  1
=
=
=1

x
x
x
x
9 a  8 b  3c 3b  4 a  12 c 27 c  7 a  8 b
19)
=


2 ab
3ac
6 bc
(9a  8b  3c)  3c  (3b  4a 12c)  2b  (27c  7a  8b)  a
=
6abc
27ac 24bc  9c 2  6b 2  8ab  24cb  27ac  7a 2  8ab
=
6abc
7a 2  6b 2  9c 2
6abc
(3x  2 y )2a
(3x  2 y )2a  2a  3x
2a  3 x
6ax  4ay  6ax
2a
2a

20)
=
=
=

3x(3x  2 y )
3 x(3 x  2 y )
3x 3x  2 y 3x(3x  2 y ) 3x(3x  2 y )
 4ay
=
3 x(3 x  2 y )
3(1  2 a ) 4 ( 2 a  1) 3(1  2a)  (1  b) c
3(1  2a)  (1  b) c
3(1  b)
21)
=
=
=
:
c(b 1)  4(2a 1)
c  (1  b)  4  (1  2a) 4(1  b)
c ( b  1) (1  b )  c
18)
22)
34 a 3 b 2
54 a 4 b 3
=  17a 2 b  6a 2 b =  11a 2 b

2
2
(  2a )  (  b)
(a )  (9b )
2z
5x
6y
2z
5x
6y


)  42 xyz =
42 xyz 
42 xyz 
42 xyz
3 xy 6 yz
7 xz
3xy
6 yz
7 xz
= 28z 2  35x 2  36 y 2
23) (
24) 3( x  y  z )  5( x  y  z )  2 ( y  x  z ) =
3x  3 y 3 z  5 x  5 y  5 z  2 y  2 x  2 z =  4 y  10 z
3 Weitere ÜBUNGSAUFGABEN zur Termumformung MESK 2BKI1
Formen Sie die Terme so um, daß sich allgemeingültige Gleichungen ergeben.
1)
2d+(5d+4e)-(10d-8e-38)-6d-17
a b
:
23)
y y
2)
7-{[(26x+37y-25z)+19y-16a]-8x+9z+6}
3)
(3a+4x)-{6a-[5x-(9a-8x)]+13a}
4)
4x+6y-{6x-[7y-(5x+3y)-(6y-8x)-3x]-3x}
24)
4 ax 8ay
:
ax ax
25)

x a
 a   :
y y

5)
4xy-8xz-{2yz-[3xy-(5xz+6yz)+7yz]-2xy}
6)
{[4c-(5cd+d)]-[7d-(c-2cd)]}-(c+d)
26)
(x-3)2
7)
(-5i)(18a+12b-14c+15x)
27)
(7n+8m)2
8)
(y-9)(x-4)
28)
(3x2-4x3)2
9)
(a+b)(4x-5y)-(a-b)(5x+3y)
29)
(y-3)(y+3)
10)
(3a-5b)(6x-7y+9z)-(5x-8y+8z)(4a-5b)
30)
(3n+m)3
11)
(4a+3b-5c)7x-[(5a-4b+6c)3x]
31)
(5m+4)(5m-4)
12)
(4+2a-3c)(12-2d-5b)-[(12d-6b)9a]
32)
(-x-y)2
13)
(3a-2b)(2c-4d)(5x-2y)
33)
(5m+7n)2-(3m-4n)2
14)
21abx-6by+15bz
34)
(3x-7y)2-(7x-3y)2-(7x-3y)(3y+7x)
15)
25ab+125ac+75ax
16)
axnd-axnc+abnd-abnc
17)
R20+R20+R20()2
18)
19)
20)
21)
22)
a  b 6a  5b 2 a  b


5x
5x
5x
a 2 a 3a


3x 2 x x
6b  2 5b  3 3b  1


4y 8 2y  4 y  2
 a b  xy
   
x y z
3x
20 ( x  y )
*
5( x  y )
21 y
35)
36)
37)
a2  b2 a  b

a2  b2 a  b
a b2 a  b

a2  b2 a  b
4 c2  1 d  2

d 2  4 2c  1
38)
x2  1  2 x  x 1

x2  1
 x 12
39)
2 x  6 y2 : x  3 y
 x  y2 x2  y2
40)
2
x  xy
x2  x2 y
: 2
2 2y
x x
x  x2 y
41)
p2  4 p p  2

p
p2  4
2
42)
2
2
2
2
a  b a  4b

a  2b 4a  4b
43)
2  b a2  1

a  1 4  b2
44)
2
2
r s : rs
r  rs r 2  s 2
r  s 2 :
45)
rs
2
2
r  rs r  s
46)
p
p  2p
:
2
p 4 p2
47)
16 x2  4 4 x2  1
:
16 x  8 2 x  1
48)
I1R1 + I2R3 + I4R5 + I1R2 + I3R3 + I3R4 + I4R6
49)
I1R1 - U + I1R2 + I6R2 - I5R3 + I1R3 + I5R3 - I5R4 + I1R4
50)
a)
b)
c)
d)
G = Z = Menge aller ganzen Zahlen. Bestimmen Sie die Lösungsmengen.
7x - (2x-9) + (3x+8) - (5x+6) = 5
21x - [9-(5x-6)+8x] = 15- [(4x-7) - (6x-5)]
12x - [14 - (9x -11)] = 24x - [18 - (17x + 14)]
5(8x + 5) - 4(3x + 4) - 2(11x - 17) = 25 - 3(5x -7) + 6(3x - 2)
2
2
Lösungen: (bitte Kontrollieren)
1)
2d  (5d  4e)  (10d  8e  38)  6d  17 
2d  5d  4e  10d  8e  38  6d  17 
 9d  12e  21
2)
7  {[( 26 x  37 y  25 z )  19 y  16a ]  8 x  9 z  6} 
7  [( 26 x  37 y  25 z )  19 y  16a]  8 x  9 z  6) 
7  (26 x  37 y  25 z )  19 y  16a  8 x  9 z  6 
7  26 x  37 y  25 z  19 y  16a  8 x  9 z  6 
1  18 x  56 y  16 z  16a
3)
(3a  4 x)  {6a  [5 x  (9a  8 x)]  13a} 
3a  4 x  6a  [5 x  (9a  8 x)]  13a 
3a  4 x  6a  5 x  (9a  8 x)  13a 
3a  4 x  6a  5 x  9a  8 x  13a 
 25a  17 x
4)
4 x  6 y  {6 x  [7 y  (5 x  3 y )  (6 y  8 x)  3 x]  3x} 
4 x  6 y  6 x  [7 y  (5 x  3 y )  (6 y  8 x)  3x]  3x 
4 x  6 y  6 x  7 y  (5 x  3 y )  (6 y  8 x)  3x  3x 
4 x  6 y  6 x  7 y  5x  3 y  6 y  8x 
x  4y
5)
4xy - 8xz - {2yz - [3xy - (5xz  6yz)  7yz] - 2xy} 
4xy - 8xz - 2yz  [3xy - (5xz  6yz)  7yz]  2xy 
4xy - 8xz - 2yz  3xy - (5xz  6yz)  7yz  2xy 
4xy - 8xz - 2yz  3xy - 5xz  6yz  7yz  2xy 
4xy - 8xz - 2yz  3xy - 5xz  6yz  7yz  2xy
9 xy  13xz  yz
6)
{[ 4c  (5cd  d )]  [7d  (c  2cd ]}  c  d 
4c  (5cd  d )  7d  (c  2cd )  c  d 
4c  5cd  d  7d  c  2cd  c  d 
4c  7cd  9d
7)
(5i)(18a  12b  14c  15 x) 
 90ia  60bi  70ci  75xi
8)
(y - 9)  (x - 4) 
xy - 4y - 9x  36
9)
(a  b)( 4 x  5 y )  (a  b)(5 x  3 y ) 
4ax  5ay  4bx  5by  (5ax  3ay  5bx  3by ) 
4ax  5ay  4bx  5by  5ax  3ay  5bx  3by 
 ax  8ay  9bx  2by
10)
(3a  5b)(6 x  7 y  9 z )  (5 x  8 y  8 z )( 4a  5b) 
18ax  21ay  27 az  30bx  35by  45bz  (20ax  25bx  32ay  40by  32az  40bz )
18ax  21ay  27 az  30bx  35by  45bz  20ax  25bx  32ay  40by  32az  40bz
 2ax  11ay  5az  5bx  5by  5bz
11)
(4a  3b  5c)7 x  [(5a  4b  6c)3x] 
28ax  21bx  35cx  3x(5a  4b  6c) 
28ax  21bx  35cx  15ax  12bx  18cx 
13ax  33bx  53cx
12)
(4  2a - 3c)  (12 - 2d - 5b) - [(12d - 6b)  9a] 
48 - 8d - 20b  24a - 4ad - 10ab - 36c  6cd  15bc - 9a(12d - 6b) 
48 - 8d - 20b  24a - 4ad - 10ab - 36c  6cd  15bc - 108ad  54ab 
48 - 8d - 20b  24a - 112ad  44ab - 36c  6cd  15bc
13)
(3a - 2b)(2c - 4d)(5x - 2y) 
(6ac - 12ad - 4bc  8bd)(5x - 2y) 
30acx - 60adx - 20bcx  40bdx - 12acy  24ady  8bcy - 16bdy 
14)
21abx-6by+15bz
21abx - 6by  15bz 
3b(7ax - 2y  5z)
15)
25ab  125ac  75ax 
25a(b  5c  3 x)
16)
axnd - axnc  abnd - abnc 
an(xd - xc  bd  bc)
17)
R
R
20
 R20      R20  ß  () 2 
20
(1      ß  () 2 )
18)
a  b 6a  5b 2a  b


5x
5x
5x
a  b  6a  5b  (2a  b)

5x
a  b  6a  5b  2a  b

5x
5a  5b 5(a  b) a  b


5x
5x
x
19)
a 2a 3a



3x 2 x x
2a  6a  18a

6x
14a 7a

6 x 3x
20)
6b  2 5b  3 3b  1



4y 8 2y  4 y  2
6b  2 2(5b  3) 4(3b  1)



4 y  8 2 ( 2 y  4) 4( y  2)
6b  2 2(5b  3) 4(3b  1)



4y 8
4y 8
4y 8
6b  2  2(5b  3)  4(3b  1)

4y 8
6b  2  10b  6  12b  4

4y 8
4b
4b
b


4 y  8 4( y  2) y  2
21)
a b xy
(  ) 
x y z
axy bxy


xz
yz
ay bx ay  bx
 
z
z
z
22)
3x
20( x  y )


5( x  y )
21y
3x  20( x  y ) 3x  4( x  y )


5( x  y )  21y ( x  y )  21y
x  4( x  y ) 4 x( x  y )


( x  y)  7 y 7 y( x  y)
4x
7y
23)
a b a y a
:   
y y y b b
24)
4ax 8ay
:

ax ax
4ax a  x


a  x 8ay
4ax  (a  x)

(a  x)  8ay
4ax
x

8ay 2 y
25)
a x a
(  ): 
1 y y
a x y
(  ) 
1 y a
ay xy
x

 y
a ay
a
26)
( x  3) 2 
x 2  6x  9
27)
(7n  8m) 2
49n 2  112nm  64m 2
28)
(3x 2  4 x 2 ) 2  ( x 2 ) 2  x 4
29)
( y  3)( y  3) 
y2  9
30)
(3n  m) 3
(9n 2  6nm  m 2 )( 3n  m)
27n 3  18n 2 m  3nm 2  9n 2 m  6nm 2  m 3
27n 3  27n 2 m  9nm 2  m 3
9n(3n 2  3nm  m 2 )  m 3
30)
(3n  m) 3  (3n  m) 2  (3n  m) 
((3n) 2  2  3n  m  m 2 )(3n  m) 
(9n 2  6nm  m 2 )(3n  m) 
27 n 3  18n 2 m  3nm 2  9n 2 m  6nm 2  m 3 
27 n 3  27 n 2 m  9nm 2  m 3
31)
(5m  4)(5m  4)
25m 2  16)
32)
( x  y ) 2  ( x  ( y )) 2 
( x) 2  2( x)(  y )  ( y ) 2 
x 2  2 xy  y 2
oder:
( x  y) 2  (( x  y)) 2  ( x  y) 2 
x 2  2 xy  y 2
33)
(5m  7n) 2  (3m  4n) 2 
(25m 2  70nm  49n 2 )  (9m 2  24nm  16n 2 ) 
25m 2  70nm  49n 2  9m 2  24nm  16n 2 
16m 2  94nm  33n 2
34)
(3 x  7 y ) 2  (7 x  3 y ) 2  (7 x  3 y )(3 y  7 x) 
9 x 2  42 xy  49 y 2  (49 x 2  42 xy  9 y 2 )  (49 x 2  9 y 2 ) 
9 x 2  42 xy  49 y 2  49 x 2  42 xy  9 y 2  49 x 2  9 y 2 
 99 x 2  49 y 2
35)
a2  b2 a  b


a2  b2 a  b
a2  b2
a b


(a  b)( a  b) a  b
(a 2  b 2 )( a  b)

(a  b)( a  b)( a  b)
(a 2  b 2 )
(a 2  b 2 )

(a  b)( a  b) (a  b) 2
36)
( a  b ) 2 a  b ( a  b) 2  ( a  b )



a 2  b 2 a  b a 2  b 2  ( a  b)
( a  b) 2  ( a  b)
1
(a  b)( a  b)( a  b)
37)
4c 2  1 d  2 (2c) 2  12 d  2

 2


d 2  4 2c  1
d  2 2 2c  1
(2c  1)( 2c  1) d  2 (2c  1)( 2c  1)  (d  2)



(d  2)( d  2) 2c  1 (d  2)( d  2)  (2c  1)
2c  1
d 2
38)
x 2  1  2 x ( x  1) 2 ( x  1) 2 ( x  1) 2

 2


x 2  1 ( x  1) 2
x  1 ( x  1) 2
( x  1) 2
x2 1
39)
(2 x  6 y ) 2 x  3 y
:

( x  y) 2 x 2  y 2
(2 x  6 y ) 2  ( x 2  y 2 )

( x  y) 2  ( x  3 y)
(2( x  3 y )) 2  ( x  y )( x  y )

( x  y) 2  ( x  3 y)
4( x  3 y ) 2  ( x  y )( x  y )

( x  y) 2  ( x  3 y)
4( x  3 y )( x  y )
x y
40)
x 2  x 2 y 2 x  xy
:

x2  x2 y x2  x2 y
x2  x2 y2 x2  x2 y


x 2  x 2 y x  xy
( x 2  x 2 y 2 )  ( x 2  x 2 y)

( x 2  x 2 y )( x  xy)
( x 2  x 2 y 2 ) x 2 (1  y 2 )


( x  xy)
x(1  y )
x 2 (1  y )(1  y )
 x(1  y )
x(1  y )
41)
p2  4 p p  2


p
p2  4
p2  4 p p  2


p
p 2  22
p2  4 p
p2


( p  2)( p  2) p
p ( p  4)  ( p  2) p  4

( p  2)( p  2)  p p  2
42)
a 2  b 2 a 2  4b 2


a  2b 4a  4b
(a  b)( a  b) a 2  (2b) 2


a  2b
4(a  b)
(a  b)( a  b) (a  2b)( a  2b)


a  2b
4(a  b)
(a  b)( a  b)  (a  2b)( a  2b)

(a  2b)  4(a  b)
(a  b)( a  2b)
4
43)
2  b a 2 1


a 1 4  b2
2  b a 2  12


a 1 22  b2
2  b (a  1)( a  1)


a  1 (2  b)( 2  b)
(2  b)  (a  1)( a  1) a  1

(a  1)  (2  b)( 2  b) 2  b
44)
r 2  s2 r  s
:

r  rs r 2  s 2
r 2  s2 r 2  s2


r  rs r  s
(r  s )( r  s ) r 2  s 2


r (1  s )
rs
(r  s )( r  s )  (r 2  s 2 )

r (1  s )  (r  s )
(r  s)  (r 2  s 2 )
r (1  s )
45)
(r  s) 2 r  s
:

r 2  rs r 2  s 2
(r  s) 2 r 2  s 2


r 2  rs r  s
(r  s) 2 r 2  s 2


r (r  s ) r  s
(r  s) 2  (r 2  s 2 )

r (r  s)  (r  s)
r 2  s2

r
46)
p2  2 p
p
:

2
p 4 p2
p( p  2) p  2


p
p 2  22
p( p  2)
p2


( p  2)( p  2) p
p( p  2)  ( p  2)
1
( p  2)( p  2)  p
47)
16 x 2  4 4 x 2  1
:

16 x  8 2 x  1
16 x 2  4 2 x  1


16 x  8 4 x 2  1
(4 x) 2  2 2
2x 1


8(2 x  1) (2 x) 2  12
(4 x  2)( 4 x  2)
2x 1


8(2 x  1)
(2 x  1)( 2 x  1)
(4 x  2)( 4 x  2)  (2 x  1)

8(2 x  1)  (2 x  1)( 2 x  1)
2(2 x  1)  2(2 x  1)  (2 x  1)

8(2 x  1)  (2 x  1)( 2 x  1)
2  2  (2 x  1)
2x 1

8(2 x  1)
2(2 x  1)
48)
I1 R1  I 2 R3  I 4 R5  I1 R2  I 3 R3  I 3 R4  I 4 R6 
I1 ( R1  R2 )  R3 ( I 2  I 3 )  I 4 ( R5  R6 )  I 3  R4
49)
I1 R1  U  I1 R2  I 6 R2  I 5 R3  I1 R3  I 5 R3  I 5 R4  I1 R4 
I1 ( R1  R4 )  I 5 ( R4  R3 )  R3 ( I 5 I1 )  R2 ( I1  I 6 )  U
50)
a)
7 x  (2 x  9)  (3x  8)  (5 x  6)  5
7 x  2 x  9  3x  8  5 x  6  5
3x  11  5
3x  6
x  2
L={-2}
b)
21x  [9  (5 x  6)  8 x ]  15  [( 4 x  7)  (6 x  5)]
21x  9  5 x  6  8 x  15  4 x  7  6 x  5
18 x  15  17  2 x
16 x  32
x2
c)
12 x  [14  (9 x  11)]  24 x  [18  (17 x  14)]
12 x  14  (9 x  11)  24 x  18  (17 x  14)
12 x  14  9 x  11  24 x  18  17 x  14
21x  25  41x  4
20 x  21
21
20
L = {}
x
d)
5(8 x  5)  4(3x  4)  2(11x  17)  25  3(5 x  7)  6(3x  2)
40 x  25  12 x  16  22 x  34  25  15 x  21  18 x  12
6 x  43  16  3x
3x  27
x  9
L = {-9}
4 ÜBUNGSAUFGABEN MESK 2BKI1
Die Grundmenge ist G = R. Bestimmen Sie die Definitionsmenge D und die Lösungsmenge L der Gleichungen
Siehe Bemerkungen Rückseite
x x
1)   7
3
5
3 4
25)
 0
x 2 2
x x
2)   6
2 5
2
3
26)

7x 2 x
x 1 x 1
3)
 
10 5 2
1
1
3 x 5x 7
27)

4)  

x 1 1  x
4 2 6 12
3x x 5 x x
3
3
5)  
  x9
28)

5 6 12 15
2  x x 2
1
2
3
5
7
11
6) x  x  x  x  x 
1
1
2
3
4
6
12
12
29)
2 
x4 x4
x 3
2( x 3)
7)

2
14
6
15
15
19
x  3 2x  7 2
30)


8)


2 x  5 4 x 10 9 x  7
18
8
9
x  1 3x  1
5x
x
9)

x2
31)

2
3
5
2 x  2 3 x 3
3x  5 2 x  3 x  6 x  3
10)



2 x
4 x
4
6
3
2
32)
1 
3 x
x 3
1 3
2 1 5
11) 2 x   x    x
2 4
3 6 4
1
2
33)

1
x  3 2x  5 4  x 3
3
12)



x 3

1
6
3
2
2
x
5  3x x 2  3x
13)
 
x
6 x  4
18
2
9
34)

x
x 1
4
14)  5
x
3x  2 6 x
35)

0
3
15)
4
3 x 1 6 x 1
2x
1
x
9
17
36) 
1
16)  5 
2x
x
x x 1
1 7 1 12 3
17)    
3x 5
37)
 3
2 x 4 x 4
x 1 x
1 1 8
18) 

x 3x 9
3 x 1 5 x 1
7 x 5 8
38
)



3
3 7
4 x 10 6 x 15 10 x  25 5
19) 

4x 6x 8
3 5
3
2
2
2
39)  2 

20)  1 
x x x 1 ( x 1) 2
x
x
1 3 5 4 7 11
3  7 x 4 9 x
15  4 x 2
21)  
   
40
)


6

3 2 x 6 3x 2 6 x
1 x 1x
1 x2
9
1 3 13 3 1
22)
 
 
 1
3
2
5 x  20
10 x 5 5 x 15 2 x 3
41)

 2
4
x  4 x  4 x 16
23)
1
x5
2
24)
7
2
x3
3 8 x 13 x  21 x  4
42)  2

0
2 4 x  20 x  25 2 x 5
43)
7( x 5) 2 5 x 1 3 x  2


6 x 2 6 3x 3 6 x 6
44)
5 x 2  32 x  3
3x 9
2 
2
x 4x 3
x 1
45)
2
3
5


x 1 x  2 x 3
46)
4
1
3


x  2 x 1 x 1
PROBE machen!!!
Bemerkungen:
Machen Sie Proben (in der Ausgangsgleichung) wie folgt:
1)
a) Fall: Lösungsmenge ist die leere Menge
Man müsste für alle reelle Zahlen Probe machen und dann müsste IMMER eine falsche
Aussage entstehen (links und rechts des Gleichheitszeichens eine unterschiedliche Zahl sein).
Testen Sie dies für 3 Zahlen!
b) Fall: Lösungsmenge ist die Menge der reellen Zahlen
Man müsste für alle reelle Zahlen Probe machen und dann müsste IMMER eine wahre
Aussage entstehen (links und rechts des Gleichheitszeichens die gleiche Zahl sein).
Testen Sie dies für 3 Zahlen!
c) Fall: Lösungsmenge besteht aus endlich vielen Zahlen
Machen Sie die Probe für alle diese Zahlen.
2)
Falls bei der Probe festgestellt wird, dass ein Fehler gemacht wurde, muss bei jeder
Umformung eine (oder mehrere) Proben gemacht werden, bis man festgestellt hat, wo sich der
Fehler befindet.
Lösungen:
1)
x x
  7 | 12
3 4
DR
2)
x x
  6 | 10
2 5
DR
4 x  3 x  84
7 x  84
x  12
L  {12}
5 x  2 x  60
3 x  60
x  20
L  {20}
3)
7x 2 x
  | 10
10 5 2
DR
7 x  4  5x
1 7 x  5x  4
2x  4
x2
L  {2}
4)
3 x 5x 7
 

| 12
4 2 6 12
DR
5)
3x x 5 x x
 
  x  9 | 60
5 6 12 15
DR
9  6 x  10 x  7
16 x  2
1
x
8
1
L { }
8
(12  3 x)  (10  x)  (5  5 x)  (4  x)  60  ( x  9)
36 x  10 x  25 x  4 x  60 x  540
63 x  540
60
x
7
60
L { }
7
6)
1
2
3
5
7
11
x x x x x 
| 12
2
3
4
6
12
12
DR
6 x  8 x  9 x  10 x  7 x  11
4 x  11
11
x
4
11
L { }
4
7)
x4 x4

 2 | 42
14
6
DR
3  ( x  4)  7( x  4)  84
3 x  12  7 x  28  84
10 x  100
x  10
L  {10}
8)
x  3 2x  7 2

 | 72
18
8
9
DR
4  ( x  3)  9  (2 x  7)  16
4 x  12  18 x  63  16
 14 x  91 | (1)
14 x  91
13
x
2
13
L  { }
2
10)
3x  5 2 x  3 x  6 x  3



| 12
4
6
3
2
DR
3  (3 x  5)  2  (2 x  3)  4  ( x  6)  6  ( x  3)
9 x  15  4 x  6  4 x  24  6 x  18
3 x  27
x9
L  {9}
12)
x  3 2x  5 4  x 3


 | 6
6
3
2
2
DR
x  3  4 x  10  12  3 x  9
0  x  4
L  {}
9)
x  1 3x  1

 x  2 | 15
3
5
DR
5  ( x  1)  3  (3 x  1)  15  ( x  2)
5 x  5  9 x  3  15 x  30
19 x  38
x2
L  {2}
11)
1 3
2 1 5
 x    x | 12
2 4
3 6 4
DR
24 x  6  9 x  8  2  15 x
0 x  0
LDR
2x 
13)
5  3x x 2  3x
 
| 18
18
2
9
DR
5  3 x  9 x  2  (2  3x)
5  6x  4  6x
0 x 1
L  {}
14)
4
 5 | x
x
D  R \ {0}
15)
3
 4 | 2 x
2x
D  R \ {0}
16)
9
17
5
| 2 x
2x
x
D  R \ {0}
4  5x
3  8x
4
5
4
L { }
5
3
8
3
L { }
8
9  10 x  34
10 x  25
5
x
2
5
L { }
2
x
x
17)
1 7 1 12 3
  
 | 4 x
2 x 4 x 4
D  R \ {0}
2 x  28  x  48  3 x
0 x  20
L  {}
20)
2
2
 1  | x
x
x
D  R \ {0}
2 x2
x0
L  {}
18)
1 1 8

 | 9 x
x 3x 9
DR
19)
3
3 7

 | 24 x
4x 6x 8
D  R \ {0}
9  3  8x
8 x  12
3
x
2
3
L { }
2
18  12  21x
21x  30
10
x
7
10
L { }
7
21)
1 3 5 4 7 11
 
 
 
| 6 x
3 2 x 6 3x 2 6 x
D  R \ {0}
 2 x  9  5 x  8  21x  11
 18 x  1  11
 18 x  10
5
x
9
5
L  { }
9
22)
9
1 3 13 3 1
 
 
  1 | 30 x
10 x 5 5 x 15 2 x 3
D  R \ {0}
27  6 x  18  26 x  45  10 x  30 x
30 x  30 x
xx
LD
23)
4
 1 | x  5
x5
D  R \ {5}
4  x5
x  1
L  {1}
24)
7
 2 | x  3
x3
D  R \ {3}
25)
3
5
  0 | ( x  2)  2
x2 2
D  R \ {2}
7  2x  6
2 x  13
13
x
2
13
L { }
2
6  5 x  10  0
5 x  16
16
x
5
16
L  { }
5
26)
2
3

| ( x  1)( x  1)
x 1 x 1
D  R \ {1;1}
2 x  2  3x  3
x  5
L  {5}
27)
1
1

| (1  x)( x  1)
x 1 1 x
D  R \ {1}
1  x  x  1
1 x 1 x
LD
28)
3
3

| (2  x)( x  2)
2 x x2
D  R \ {2}
 3x  6  6  3x
6  3x  6  3x
LD
29)
1
1
2
| 2( x  3)
x3
2( x  3)
D  R | {3}
2  4( x  3)  1
2  4 x  12  1
4 x  13
13
x
4
13
L { }
4
30)
15
15
19


2 x  5 4 x  10 9 x  7
5 7
D  R \{  ; }
2 9
HN bestimmen:
2x+5 2x+5
4x+10 2x+5
2
9x-7
9x-7
HN
2x+5 9x-7 2
15
15
19


| 2(2 x  5)(9 x  7)
2 x  5 2(2 x  5) 9 x  7
15  2(9 x  7)  15  (9 x  7)  19  2(2 x  5)
30(9 x  7)  15(9 x  7)  38(2 x  5)
15(9 x  7)  38(2 x  5)
135 x  105  76 x  190
59 x  295
x5
L  {5}
31)
5x
x

2
2 x  2 3x  3
D  R \{1}
HN bestimmen:
2x-2
x-1
2
3x-3
x-1
3
HN
x-1
2
3
5x
x

 2 | 6( x  1)
2( x  1) 3( x  1)
3  5 x  2 x  2  6( x  1)
15 x  2 x  12( x  1)
13x  12 x  12
x  12
L  {12}
32)
2 x
4 x
1 
3 x
x3
D  R \{3}
2 x
4 x
1 
3 x
 ( x  3)
2 x
 (4  x)
1 
| (3  x)
3 x
3 x
2  x  1(3  x)  (4  x)
33)
1
2

1
3
x3
1
x
D = R\{0;-3}
1
2

1
3 x x 3
x
x
2

 1 | ( x  3)
3 x x 3
x2  x3
2  x  3  x  4  x
1  x  4
x3
L  {}
x  x 1
0 1
L  {}
34)
x6 x4

| x( x  1)
x
x 1
D = R\{0;-1}
( x  6)( x  1)  x( x  4)
x²  6 x  x  6  x²  4 x
7 x  6  4x
3 x  6
x  2
L  {2}
35)
3x  2
6x

 0 | (3x  1)(6 x  1)
3x  1 6 x  1
1 1
D  R \{ ; }
3 6
(3 x  2)(6 x  1)  6 x(3 x  1)  0
18 x ²  12 x  3 x  x  18 x ²  6 x  0
15 x  2
2
x
15
2
L { }
15
36)
1
x

 1 | x( x  1)
x x 1
D  R \ {0;1}
1( x  1)  x  x  x( x  1)
37)
3x
5
  3 | x( x  1)
x 1 x
D  R \ {1;0}
3 x  x  5  ( x  1)  3x( x  1)
x  1  x²  x²  x
2x  1
1
x
2
1
L { }
2
3x ²  5 x  5  3x ²  3x
2 x  5
5
x
2
5
L  { }
2
38)
3x  1
5x  1
7x  5
8



4 x  10 6 x  15 10 x  25 5
5
D  R \{ }
2
HN bestimmen:
4x-10
2x-5
2
6x-15
2x-5
3
10x-25
2x-5
5
HN
2x+5 2 3 5
3x  1
5x  1
7x  5
8



| 30(2 x  5)
2(2 x  5) 3(2 x  5) 5(2 x  5) 5
(3x  1)  15  (5 x  1)  10  (7 x  5)  6  8  6  (2 x  5)
45 x  15  50 x  10  42 x  30  48(2 x  5)
53x  25  96 x  240
215  43x
x5
L  {5}
39)
3 5
3
2
 2 

x x
x  1  x  12
D  R \ 0 ;1
|   x  1  x 2
2
3 x x  1  5 x  1  3 x 2  x  1  2 x 2
2
2


3 x( x 2  2 x  1)  5 x 2  2 x  1  3 x 3  3 x 2  2 x 2
HN bestimmen:
x
x
2
x
x x
x-1
x-1
(x-1)2
x-1
HN
x x x-1
x-1
x-1
3 x  6 x  3 x  5 x  10 x  5  3 x 3  3 x 2  2 x 2
3
2
2
2x 2  7x  5  2x 2
5  7 x |: 7
5
x
7
5 
L 
7 
40)
3  7x 4  9x
15  4 x

6
1 x
1 x
1 x2
D  R \ 1;  1
2
HN bestimmen:
1+x
1+x
1-x
1 - x2
1+x
HN
1+x
|  (1  x)(1  x)
3  7 x 1  x   4  9 x 1  x   61  x 1  x   15  4 x 2

1-x
1-x
1-x

3  3 x  7 x  7 x 2  4  4 x  9 x  9 x 2  6  6 x 2  15  4 x 2
3  3 x  7 x  7 x  4  4 x  9 x  9 x  6  6 x 2  15  4 x 2
2
2
5  9 x  4 x 2  15  4 x 2 | 4 x 2 | 5
9 x  10 |: 9
10
x
9
10 
L 
9
41)
3
2
5 x  20

 2
| x 2  16 
x  4 x  4 x  16
D  R \ 4 ;  4
3 x  4   2 x  4   5 x  20
3 x  12  2 x  8  5 x  20
x  20  5 x  20 |   20 |   5 x
 4x  0
L  0
HN bestimmen:
x+4
x+4
x-4
x2 - 16
x+4
HN
x+4
x-4
x-4
x-4
42)
3 8 x 2  13 x  21 x  4
2
 2

 0 |  22 x  5
2 4 x  20 x  25 2 x  5
5
D R\ 
2

Bem:
4x2 - 20x + 25 =
(2x)2 - 2*2x*5 + 52 =
(2x-5)2

32 x  5  2 8 x 2  13x  21  2x  4 2 x  5  0
2
HN bestimmen:
3 4 x  20 x  25  16 x  26 x  42  2 x  82 x  5  0
4x2 - 20x + 25 2x-5
2x - 5
2x-5
12 x 2  60 x  75  16 x 2  26 x  42  4 x 2  10 x  16 x  40  0
HN
2x-5
 28 x  7  0 | 7
 28 x  7 |:  28
1
x
4
 1
L   
 4

2

2
43)
2
7 x  5
5 x  1 3x  2


|  6 x  1 x  1
2
6 x  6 3x  3 6 x  6
D  R \ 1;  1
7 x  5  25 x  1 x  1  3 x  2  x  1

 
 
7 x  10 x  25  2 5 x  5 x  x  1  3 x  3 x  2 x  2
2
2

7 x 2  70 x  175  10 x 2  10 x  2 x  2  3 x 2  3 x  2 x  2
7 x 2  70 x  175  7 x 2  13 x  4 | 7 x 2 | 70 x | 4
171  57 x |: 57
x3
L  3
2x-5
Bem:
6x2 - 6 = 6(x2-1) =
6(x-1)(x+1)
2
2
2x-5
HN bestimmen:
6x2 - 6 x-1 x+1
3x+3
x+1
6x-6
x-1
HN
x-1 x+1
2 3
3
2 3
2 3
Lösung mit ungeschickt gewähltem Hauptnennen:
2
7 x  5 
5 x  1 3x  2


|  (6x² - 6)(3x  3)(6x - 6)
2
6 x  6 3x  3 6 x  6
7(x-5)²(3x+3)(6x-6) = (5x-1)(6x²-6)- (3x-2)(6x²-6) (3x+3)
7(x²-10x+25)(3x+3)(6x-6) = (5x-1)(6x²-6) – (3x-2)(6x²-6)(3x+3)
7x²-70x+175(3x+3)(6x-6) = (5x-1)(6x²-6) – (3x-2)(6x²-6)(3x+3)
7x²-70x+175(3x+3)(6x-6) = (30x²-6x²+6-30X)(6x-6) – (18x³-12x²-18x+12)(3x+3)
(21x³-210x²+525x+21x²-210x+525)(6x-6)=
(30x³-6x²-30x+6)(6x-6) – (18x³-12x²-18x+12)(3x+3)
126x4 -1134x³+1890x²+3150x-126x³+1134x²-1890x-3150 =
(18x4-36x³-180x²+36x-180x³+36x²+180x-36) – (54x4-36x³-54x²+36x+54x³-36x²-54x+36)
126x4-1260x³+1890x²+3150x-126x³+1134x²-1890x-3150 =
180x4 -216x³-144x²+216x-36 – (54x4 +18x³-90x²-18x-36)
126x4 -1260x³+3024x²+1260x-3150 =
180x4 -216x³-144x²+216x-36–54x4 -18x³+90x²+18x+36
126x4 -1260x³+3024x²+1260x-3150 =
126x4 -234x³-54x²+234-72
-1026x³+3078x²+1026x-3078 = 0
1026(-x³ + 3x² + x - 3) = 0
-x³ + 3x² + x = 3
-x³ + 3x² + x - 3 = 0
|+234x³ ; +54x² ; -234x ; +72 ; -126x4
|:1026
Mit Taschenrechner
L = {-1; 1; 3}
44)
5 x 2  32 x  3
3x  9
2
|  x 2  4 x  3 x  1
2
x 1
x  4x  3
D  R \ 1;  1;  3

5x
2






 32 x  3 x  1  2 x 2  4 x  3 x  1  3x  9 x 2  4 x  3


5 x 3  32 x 2  3x  5 x 2  32 x  3  2 x 3  4 x 2  3x  x 2  4 x  3  3x 3  12 x 2  9 x  9 x 2  36 x  27
5 x 3  32 x 2  3x  5 x 2  32 x  3  2 x 3  8 x 2  6 x  2 x 2  8 x  6  3x 3  12 x 2  9 x  9 x 2  36 x  27
3 x 3  21x 2  27 x  3  3x 3  21x 2  45 x  27 | 3 x 3 | 21x 2
 27 x  3  45 x  27 | 45 x | 3
 72 x  24 |:  72
x
1
3
 1
L   
 3
45)
2
3
5


|   x  1 x  2  x  3
x 1 x  2 x  3
D  R \ 1; 2 ; 3
2 x  2  x  3  3 x  1 x  3  5 x  1 x  2 

2x
 
 
2 x 2  3x  2 x  6  3 x 2  3x  x  3  5 x 2  2 x  x  2
2
 
 
 5 x  6  3 x 2  4 x  3  5 x 2  3x  2

2 x 2  10 x  12  3 x 2  12 x  9  5 x 2  15 x  10
5 x 2  22 x  21  5 x 2  15 x  10 | 5 x 2  15 x  21
 7 x  11 |:  7 
11
7
11
L 
7
x

HN bestimmen:
x-1
x-1
x-2
x-2
x-3
x-1
HN
x-1 x-2
x-3
x-3
46)
4
1
3


|  x  1 x  1 x  2
x  2 x 1 x 1
D  R \  1;1;  2
4 x  1 x  1  1 x  1 x  2  3 x  1 x  2 

 
 
4 x 2  1  1 x 2  2x  x  2  3 x 2  2x  x  2
4 x 2  4  x 2  2 x  x  2  3x 2  6 x  3x  6
3 x 2  6  3 x  3 x 2  3 x  6 | 3 x 2 | 6 | 3 x
 6 x  0 |:  6 
x0
L  0

HN bestimmen:
x+2
x+2
x-1
x-1
x+1
HN
x+2 x-1
x+1
x+1
Proben:
Bemerkung zu den Aufgaben 12, 13, 17, 20, 32, 33
Man müsste für alle reelle Zahlen Probe machen und dann müsste IMMER eine falsche
Aussage entstehen (links und rechts des Gleichheitszeichens eine unterschiedliche Zahl sein).
Man könnte zur Probe z.B. 3 Zahlen testen
Bemerkung zu den Aufgaben 11, 22, 28
Man müsste für alle reelle Zahlen Probe machen und dann müsste IMMER eine wahre
Aussage entstehen (links und rechts des Gleichheitszeichens die gleiche Zahl sein). Man
könnte zur Probe z.B. 3 Zahlen testen.
Lösungen:
1)
2)
12 12

7
3
4
43 7
7  7 ( w)
20 20

6
2
5
10  4  6
4)
5)
1
1
5
3 8
7
  8
4 2
6
12
3
1
5
7



4 8  2 48 12
3 1
5
7
 

| 48
4 16 48 12
36  3  5  28
33  3 ( w)
6  6 ( w)
60 60
60 60
5
7  7 
7  7  60  9
5
6
12
15
7
180
300
7  60  7  60  60  9
5
7  6 12 7  15 7
180 10 300 4 60
 
 
9
7  5 7 7  12 7
7
36 10 50 4 60
 
 
9
7
7 14 7
7
36 10 25 4 60
 
 
 9 | 7
7
7
7 7
7
36  10  25  4  60  63
3
 3  3 ( w)
6)
1 11 2 11 3 11 5 11 7 11 11
         
2 4 3 4 4 4 6 4 12 4 12
11 11 33 55 77 11
 



| 48
8 6 16 24 48 12
66  88  99  110  77  44
44  44 ( w)
3)
72 2 2
 
10 5 2
14 4 2


10 10 2
10 2

( w)
10 2
7)
10  4 10  4

2
14
6
14 6
 2
14 6
11  2
2  2 ( w)
8)
13
13
3 2  7
2
2
2


18
8
9
13 6
 
2 2   13  7  2
18
8
9
 19
2  6  2
18
8
9
 19 3 2
 
2  18 4 9
 19 3 2
 
| 36
36 4 9
 19  27  8
8  8 ( w)

14)
4
5
4
5
45
5
4
5  5 ( w)
15)
10)
2 1 3 2 1

 22
3
5
3 5
 0
3 5
0  0 ( w)
39  5 2 9  3 9  6 9  3



4
6
3
2
22 15 15 6
  
4 6 3 2
11 5
 5  3
2 2
16
5  3
2
85  3
3  3 ( w)
16)
3
2
9)
3
8
4
3
4
6
8
3
4
3
4
3 4
4
3
4  4 ( w)
9
17
5
5
2
2
2
9
17  2
5
| 5
5
5
9  25  35
34  34 ( w)
5
18)
1
1
8


3
3 9
3
2
2
2 1 8
 
3 9 9
2
2 2 8
 
| 9
3 9 9
6  2  8 ( w)
19)
3
3
7


10
10 8
4
6
7
7
3
3
7


40 60 8
7
7
37 37 7


40
60 8
21 21 7


| 120
40 60 8
21  3  21  2  7  15
63  42  105
105  105 ( w)
23)
4
1
1 5
4
1
4
1  1 ( w)
1
 
3
3

5

6
4

7

2
11
5
5
5
3 
6
9
9
9
1 3 5 4 7
11
 
   
10
3 10 6 5 2
9
3
3
1 39 5 43 7
11  3
 
 
 
3 10 6
5
2
10
1 27 5 12 7
33
 
   
| 30
3 10 6 5 2
10
 10  81  25  72  105  99
 99  99 ( w)
2
24)
25)
26)
7
2
13
3
2
7
2
13 6

2 2
7
2
7
2
72
2
7
2  2 ( w)
3
5
 0
16
2
 2
5
3
5
 0
16 10 2
 
5
5
3
5
 0
6 2

5
35 5

 0
6
2
5 5
   0 ( w)
2 2
2
3

 5 1  5 1
2
3

4
6
1
1
 
( w)
2
2
29)
1
1
2
13
13
3
2  (  3)
4
4
1
1
2
13 12
13 12

2(  )
4 4
4 4
1
1
2
1
1
2
4
4
1 4
1
2
1
1
2
42  2
2  2 ( w)
21)
30)
15
15
19

2  5  5 4  5  10 9  5  7
15 15 19


15 30 38
30 15 19


30 30 38
15 19

30 38
1 1
w 

2 2
31)
5  (12)
 12

2
2  (12)  2 3  (12)  3
 60  12

2
 26  39
60 12

2
26 39
30 4
 2
13 13
2  2 w
34)
(2)  6 (2)  4

2
(2)  1
4
2

 2 1
 2  2 ( w)
36)
37)
 5
3 
 2  5  3
 5
 5
  1  
 2
 2
15

52
2

3
 5 2 5
  
 2 2
15

2  52  3
52 5
2
15

2  52  3
3
5
2
15  2 5  2


3
2  (3)
5
52 3
3  3 w 
38)
35 1
5  5 1
75  5
8



4  5  10 6  5  15 10  5  25 5
16 24 40 8



10 15 25 5
8 8 8 8
  
5 5 5 5
8 8
w

5 5
1
1
 2 1
1 1
1
2 2
2 1  1
1  1 w
39)
3
5
3



2
5
5 5
1

7
7  7 
40)
2
5 
  1
7 
2
2
3
37 5



25 5 7  5 7  2
5

49 7 7  7  7 
2
3
21 5  49



2  2 2
25
5

7   7 
2
21 49 3  7



4
2
5
5
49
70 21 2  49


4
2
5
21 49

14 
2
2
28 21 49


2
2
2
49 49
w

2
2
41)
3
2
5  0  20

 2
04 04
0  16
3 2 20
 
4 4 16
5 5
w

4 4
 10 
10
10
15  4   
37
4 9
9
9 
9 6
2
10
10
 10 
1
1
1  
9
9
9
70
100
15  4 
4

10
9 
81
6
9 10 9 10
100


1
9 9 9 9
81
70
400
3
15 
9  6 6 
81
19
1
81 100


9
9
81 81
27 70
15  81 400


9
9  54  6  81
81
19
 19
9
81
97
1215 400

9  48  81
81
19
 19
9
81
1215  400
97  9
81
 48 
 19
9  19
81
815
97
 48   81
19
19
81
97  48  19
815  81

19
81  19
 815  815

( w)
19
19
3
2
42)
2
 1
 1
 1
8      13      21
   4
3
4
4
4



 
0
2
2
 1
 1
 1
4      20      25 2      5
 4
 4
 4
1
1
 1 16
8   13   21

3
16
4
4
4 0


1
1
1 10
2
4   20   25  
16
4
2 2
1 13
15
  21
3 2 4

 4 0
1
11
2
 5  25 
4
2
2 13
  21
3 4 4
 15  2


0
1
2
4  11
 30
4
15 84

3 4
4   15  2  0

2 1 120
4  11

4
4
99
3
15
 4 
0
2 121 22
4
3 99  4 15


0
2 4  121 22
3 9 15
 
0
2 11 22
33 18 15


0
22 22 22
0  0 ( w)
43)
2
73  5
5  3 1 3 3  2


2
63  6 33  3 6 3  6
7  4 14 7
 
48 12 12
7 7 7
 
12 6 12
7 14 7
 
12 12 12
7
7
w 

12 12
44)
2
 1
 1
5      32      3
 3
 3
2
2
 1
 1
   4   3
 3
 3
1 32
5 
3
1 9
9 3
2
1 4
1
 3
 1
9 3
3
5 32

3
8
9 3
2
1 4
4
 3
9 3
3
5 96

3
83
9 9
2
1 12
4
 3
9 9
91
 3
9
 2  6
11
 3
9
91 27
 
9
9  2  6
11 27
 
9
9
64

9  2  6
16
9
64  9

 2  6
9  16
 4  2  6
 6  6 ( w)
 1
3   9
 3
 1
  1
 3
45)
2
3
5


11
11
11
1
2
3
7
7
7
2
3
5


11 7 11 14 11 21



7 7 7 7
7 7
2
3
5


4
3
10


7
7
7
72 73
75


4
3
10
7
7
7  
2
2
7 14
7


2 2
2
7
7
 
( w)
2
2
46)
4
1
3


0  2 0 1 0 1
4 1 3
 
2 1 1
2 1 3
 
1 1 1
3  3 w 
5 ÜBUNGSAUFGABEN MESK 2BKI1
Im Freizeitpark Rust sprint ein Artist aus 25 Metern Höhe in ein Wasserbecken mit der
angeblichen Tiefe von 2,70Meter Tiefe.
a) Welche Geschwindigkeit (Kilometer pro Stunde) hat er beim Auftreffen auf die
Wasseroberfläche?
b) Wie groß ist die (durchschnittliche) Verzögerung (als Mehrfaches der Erdbeschleunigung
angeben), die der Artist beim Abbremsen erleidet ?
c) Wie lange wirkt die Verzögerung auf den Artisten ein?
d) Kann diese Verzögerung von einem Menschen überlebt werden (Recherche im Internet!)
oder ist die Angabe von 2,70 Meter Tiefe falsch?
Lösungen:
v=a∙t
1
s  at 2
2
(G1)
(G2)
a) Berechnung der Geschwindigkeit (a = g)
v = g ∙ t ==>
t 
v
ga
==> t 2 
v2
g2
In G2) eingesetzt
1
1
v2
v2
s  gt 2 ==> s  g  2 ==> s 
==> v 2  2 gs (G3) ==> v  2 gs (G4)
2
2 g
2g
also konkret:
m2
m
500
=
=
v  2  10 2  25m
s2
s
km
36 5
≈ 80,5 km/h
h
500
m
=
s
5  100
b) Berechnung der Verzögerung:
nach (G3) gilt für die Verzögerung a:
v2
v 2  2as ==> a 
2s
also konkret:
2
2 

 500 m 
m2
2 
500

2
s 
v
s 2 ≈ 92,6 m = 9,26g
a
= 
=
2  2,7m
5,4m
2s
s2
m
m
km
= 10 5 = 3,6  10 5
=
s
s
h
c) Dauer der Verzögerung:
nach (G2) gilt für die Zeit t der Verzögerung:
2s
2s
t2 
==> t 
a
a
also konkret:
2  2,7m
5,4m
2s
5,4  5,4 2
29,16
=
=
=
t
s =
s ≈ 0,24 s
500 m
500 m
a
500
500
5,4 s 2
5,4 s 2
d) Recherche im Internet:
Kurzfristig müsste das auszuhalten sein.