Aufgaben zu 5.4,5.5,5.6

A5.4.1 Sei fn(x)=(1+x/n)n für xR und nN. Zeige, dass die
Voraussetzungen von Sxx für jedes abgeschlossenen Intervall
[a,b] erfüllt sind. Gib durch Anwendung dieses Satzes einen
neuen Beweis für die Differenzierbarkeit von ex.
A5.4.2 Untersuche, ob S5.4.1 auf die Folge (fn) mit fn(x)=(1-x)xn,
0  x  1 angewandt werden kann.
A5.5.1 Zeige:(tan x)’=1/cos2x für (k-1/2)/2<x<(k+1/2)/2, mit kZ und
die Tangensfunktion nimmt auf jedem der obigen Intervalle jede
reelle Zahl als Wert an.
A5.5.2 Beweise die Teile b)-d) S5.5.2
A5.5.3 Benutze die Beh5.5.1 um zu zeigen:
arcsin x=/2-arccos x  x(-1,1)
Finde eine analoge Beziehung zwischen arctan und arccot.
A5.5.4 Zeige:
 Die Funktion sinh x ist auf R streng monoton
wachsend und die Wertemenge ist gleich R.
Ihre Umkehrfunktion Arsinh: RR heißt Areasinushyperbolicus.
 Die Funktion cosh x ist auf R+ streng monoton wachsend und die
Wertemenge ist gleich [1,].
Ihre Umkehrfunktion Arcosh:[1,]  R+ heißt Areacosinushyperbolicus.
Somit wandert z weiter bis zur negativ-imaginären Achse.
A5.6.1 Diskutiere, in welchem Sinne folgende Aussage richtig ist:
Beim Multiplizieren zweier komplexer Zahlen addieren sich deren
Argumente
A5.6.2 Finde den Hauptwert des Arguments und des Logarithmus für die
folgenden Zahlen –1, i, 1+i, 2(1-i), -i
A5.6.3 Zeige: Genau dann ist ez=1, wenn z=2k ist für ein kZ.
A5.6.4 Zeige e i =-1
3000
A5.6.6 Bestimme alle xR, in denen die folgende Funktion
differenzierbar ist und bestimme dort die Ableitung
 ex
x  2

| x|
 2  x   / 2
cos x  e
f(x)= 
 Ar sinh x  / 2  x  2 6
 log( x  5)
2 6x
Hinweis: Zeige Arsinh x=log(x+ x²  1 )
//S3.6.4(2150)Eigenschaften der hyperbolischen Funktionen  z C gilt://

z2   1
// sinh z=-sinh(-z)= 
, ungerade Funktion, KR R=//
  0 (2   1)!
//3.)cosh(z1+z2)=cosh z1cosh z2+sinh z1 sinh z2 (Additionstheoreme)//
// sinh(z1+z2)=sinh z1cosh z2+cosh z1 sinh z2//
//
speziell:cosh2z-sinh2z=1//
//D3.6.4(2150) Hyperbolische Funktionen//
//
cosh z:=1/2(ez+e-z)  zC(Cosinus hyperbolicus)//
//
sinh z:=1/2(ez-e-z)  zC(Sinus hyperbolicus)//
Lös:Arsinh x=y  x=sinh y R R,  (Arsinh : R R,  )
ey=1/2(ey+e-y)+1/2(ey-e-y)=cosh y+sinh y, cos²y-sinh²y=1,
ey= 1  sinh²y +sinh y
eArsinh x= 1  x² +x, Arsinh x=log (x+ 1  x² ): R R,
e-x, cos x, Arsinh x differenzierbar auf R,
e|x| differenzierbar auf R\{0},
log(x+5) differenzierbar auf (-5,),
 f ( x), x  a
Allgemein:f(x)  1
...f1,f2 stetig differenzierbar,
 f 2 ( x), x  a
f(x) differenzierbar in a, falls f stetig in a und
f ( x)  f (a )
f2’(a)=f1’(a), lim f 2 ( x)  f (a ) = lim 1
x a
x
a
xa
xa




-(-2
)
2
|-2
|
2
-2: e
=e =cos(-2)=e
=e  f stetig in -2.
2 
(e-x)’=-e-x 
-e

x 2
(cos

 (cos xe-x)’=(-sin xe-x+cos x(-e-x)=
xe|x|)’
x 0
 x
 e 2
 2
x)e-x 
 f differenzierbar in -2
 1
0
 x
x
x  1,
(cos xe|x|)’ 
 (cos xe )’=(-sin x+cos x)e x
0
(sin x-cos
x 0
f nicht differenzierbar in 0
(cos xe|x|) 
 0  Arsinh x x>0  f ist nicht stetig in /2 
x  / 2
 / 2
f nicht differenzierbar in /2
Arsinh x=log(x+ 1  x² 
 log(2 6 + 1 24 )=log(5+2 6 ),
x2 6
log(5+x) 
 log(5+2 x )  f stetig in 2 6
x2 6
(Arsin x)’=
1
x 
1  x
2
(1+
1  2x
2 1  x
2
)=
3001
1
1  x2

 1/5
x2 6
(log(5+x))’=
1
1


5  x 5  2 6
f nicht differenzierbar in 2 6
 e  x
x  2

x
x
 2  x  0

sin xe  cos x e



1
(
x

0
)

x
x
0  x  /2
 sin xe  cos x e

f’(x)= 
 1(x  0)
1

0  x  2 6
 x²  1
 1

2 6  x
5  x
f ist differenzierbar in R\{0,/2,2 6 )
A5.6.10 Berechne die folgenden Grenzwerte
log(1  ex )
a) lim
x
1  x2
//S5.2.8(2850)Grenzwertregeln von de l’Hospital//
//Vor:Sei -<a<b, I=a,b) R. Die Funktionen f,g:I R seien //
f'(x)
//
differenzierbar auf I und g’(x)0  xI.  := lim
.//
xb g'(x)
//Beh: Gilt (.) lim f(x)= lim g(x)=0 oder (..) lim |g(x)|= so//
x  b
x  b
x  b
f'(x)
f ( x)
f ( x)
//
 lim
mit lim
== lim
(R, =, =-)//
x  b g ( x )
x b g ( x )
xb g'(x)
1
x
1
1 e
 1
x
x
log(1  ex )
e
1

e
Lös: lim
= lim
=1

 lim
x
x
1
1  x2 S 5.2.8 x   1  2 x
1
2 1  x²
 1
x²
e x  1  xe x / 2
b) lim
x0
x3



x2 x3  xk
x2 x3
xk
xk
xk
x




x
(
x


)


1

x


 k!

k 1
k
2
6 k 4 k!
2
8
(k  1)!
k 4 2
k  0 2 k!
lim
Lös:…= lim k 0
=
=
3
3
x0
x

0
x
x
x3 x3
x3 x3





x k 3
x k 4
x k 3 
x k 4
lim ( 6 3 8 + 
-  k 1
)= lim ( 6 3 8 +x 
-x  k 1
)=
x0
x0
k! k 4 2 (k  1)!
k!
(k  1)!
x
x
k 4
k 4
k 4 2
1 1 1
- =
6 8 24
3002
c)
lim (tan x)tan
x / 4
2x.
lim (tan x)tan
Lös:
x / 4
2x=
lim elog(tan
x / 4
x)tan 2x=
lim etan
x / 4
2x*log(tan x)=
log(tan x)


x / 4
1
d'lHosp lim log(tan x) 0  lim 1 / tan 2x
x /4
x /4
tan 2x
1
1
1
sin x cos x
tan x cos ² x
= lim
=
lim
x / 4
x / 4
2
1
1 2



(sin 2x)²
(tan 2 x)² (cos 2 x)²
sin ²2x
1
=
=-1
lim
x   / 4  2 sin x cos x
 1
NR: lim
lim (tan)
x / 4
d) lim
x 0
x(sin ³x)(1  cos x)
1  x³  1  x³  2
Lös:..= lim
x 0
= lim
x 0
lim
x 0
lim
x 0
tan 2x=e-1.
x sin 3 x(1  cos x)(1  cos x)( 1  x³  1  x³  2)
( 1  x³  1  x³  2)(1  cos x)( 1  x³  1  x³  2)
x sin 5 x( 1  x³  1  x³  2)
(1  cos x)(( 1  x³  1  x³ ) 2  4)
= lim
x 0
x sin 5 x( 1  x³  1  x³  2)
(1  cos x)2( 1  x³ 1  x³  1)
x sin 5 x( 1  x ³  1  x ³  2)( 1  x 3 1  x 3  1)
(1  cos x)2( 1  x ³ 1  x ³  1)( 1  x 3 1  x 3  1)
=
x sin 5 x( 1  x 3  1  x 3  2)( 1  x 3 1  x 3  1)
=
(1  cos x)2((1  x 3 )(1  x 3 )  1)
x sin 5 x( 1  x 3  1  x 3  2)( 1  x 3 1  x 3  1)
lim
=
x 0
(1  cos x)2((1  x 6  1)
lim
x 0
x sin 5 x( 1  x 3  1  x 3  2)( 1  x 3 1  x 3  1)
=
 (1  cos x)2 x 6
3
3
3
3
 sin x  ( 1  x  1  x  2)( 1  x 1  x  1)
lim 
=-2

x 0
x

2
(
1

cos
x
)



 


5
1
=
2
sin x
cos x
lim
= lim
=1
x 0
x 0
4
x
3003
=