Formelsammlung - FH

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Formelsammlung zur Finanzmarkttheorie (Finance)
Prof. Dr. rer. pol. Martin Ehret
Fachhochschule Südwestfalen, Standort Meschede
Version vom 07.04.2017
1.
Rechnen mit Renditen:
2
2.
Mittelwerte und Varianz
3
3.
Die Normalverteilung
4
4.
Portfoliotheorie
5
5.
Das Dividend Discount Model:
6
6.
Preis eines Bonds
6
7.
Die Put Call Parität:
6
Formelsammlung zu Finanzmarkttheorie
Prof. Dr. Martin Ehret
Fachhochschule Südwestfalen, Standort Meschede
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07.04.2017
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1. Rechnen mit Renditen:
Symbol
Bedeutung
Beispiel
p%
= der Nominalzins pro Periode
p% = 7%
i
= das Verhältnis p/100
i = 0,07
q
=1+i
q = 1,07
K0
= Kapital heute
K0 = 1.000
Kn
= Kapital nach n Jahren
K5 = 1.402,55
z
Anzahl der Teilperioden
z = 4 (vierteljährlich)
Einfache Rendite 
Preis Heute - Preis Vortag
 100 %
Preis Vortag
Einfache Rendite bei Wertpapieren:
rtein 
Pt 1  D t  Pt
 100 %
Pt
Zinseszins::
K n  K 0  1  i
n
Unterjährige Verzinsung:
i

K n  K 0  1  
z

zn
Stetige Verzinsung:
K t  K 0  eit mit e  2,718281828459045235360....
bzw.
K 0  K t  e it
1 K  1
1
i*   ln  n    ln q    ln  K n   ln  K 0  
t
t
 K0  t
Zusammenhang zwischen stetiger und einfacher Verzinsung
i*  ln(1  iein )
iein  ei*  1
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2. Mittelwerte und Varianz
Arithmetisches Mittel
ari
rein

1 n
 ri
n i1

bzw.
n
ari
rein


2 
 fi  ri  E r  
i1
n
fi  ri
mit
 fi  1
i1
Geometrisches Mittel

geo
1  rein
geo
rein
n

n
 1  r1   1  r2   ....  1  rn  
Kn
K0
Kn
1
K0
Varianz
2 
1
n
n
 ri  E r  
2
bzw.
n
i i
i i
2
n
mit
 fi  1
i1
Stichprobenvarianz
2 
1 n
ri  E r 
n  1 i i


2
Annualisierung
r[Jahr ]  n  r
[n-te Teilperiode]
[Jahr ]  n  
[n-te Teilperiode]
Ist die n-te Teilperiode ein Tag, so ist bei einem Jahr n = 250, bei einer Woche ist n = 52,
bei einem Monat ist n = 12 usw.
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3. Die Normalverteilung
Die Dichtefunktion
f ( x) 
1
2 
e

x   2
2  2
Die Standardnormalverteilung N(z) hat den Mittelwert  = 0 und die Standardabweichung  = 1
Standardisierung:
zi 
xi  

Tabelle der Wahrscheinlichkeiten der Standardnormalverteilung:
z
N(z)
1 – N(z)
2 N(z) – 1
0
0,50000
0,50000
0
0,2
0,57926
0,42074
0,15852
0,4
0,65542
0,34458
0,31084
0,6
0,72575
0,27425
0,45149
0,8
0,78814
0,21186
0,57629
1,0
0,84134
0,15866
0,68269
1,2
0,88493
0,11507
0,76986
1,4
0,91924
0,08076
0,83849
1,6
0,94520
0,05480
0,89040
1,8
0,96407
0,03593
0,92814
2,0
0,97725
0,02275
0,95450
2,2
0,98610
0,01390
0,97219
2,4
0,99180
0,00820
0,98360
2,6
0,99534
0,00466
0,99068
2,8
0,99744
0,00256
0,99489
3,0
0,99865
0,00135
0,99730

N(z) ist der Wert der Verteilungsfunktion an der Stelle z der Standardnormalverteilung, d.h. die
Wahrscheinlichkeit, dass die Realisation kleiner oder gleich z ist.

1 – N(z) ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Realisation größer als z ist, da gilt N(-z) = 1 –
N(z).

2 N(z) – 1 ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Wert zwischen –z und +z liegt.

Die z-Werte ausgewählter Wahrscheinlichkeiten
Wahrscheinlichkeit
in Prozent
Abstand vom Mittelwert in
Standardabweichungen
90,0%
95,0%
97,5%
99,0%
99,9%
-1,28
-1,64
-1,96
-2,33
-3,09
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4. Portfoliotheorie
4.1.
Portfolio aus zwei risikobehafteten Anlagen
P  w A   A  wB  B
mit w A  w B  1
Kovarianz
COVA,B 
1 n
rA,i  E rA   rB,i  E rB 
n i1



bzw.
COVA,B 
n
 fi  rA,i  E rA   rB,i  E rB 
i1
n
mit
 fi  1
i1
Korrelationskoeffizient
A,B 
COVA,B
mit
 A  B
 1    1
Die Volatilität eines Portfolios aus zwei Anlagen
P  w 2A  2A +wB2  B2 + 2  w A  wB  COVA,B
P  w 2A  2A +wB2  B2 + 2  w A  wB  A  B  A,B
4.2.
Portfolio aus risikoloser und risikobehafteter Anlage
 P  w A   A  w rf  rf
 P  w 2A   2A  w rf  0  2  w A  0  0  w A   A
4.3.
Das CAPM
Der erwartete Ertrag eines effizienten Portfolios (EP)
ErEP   rf 
4.4.
i 
ErMarkt  rf 
 rEP 
rMarkt 
Das Beta
Cov  ri ,rM 
2
Markt
 i,Markt 
i
Markt
da
Cov  ri ,rM   i,Markt  Markt  i
E(ri )  rf  E(rMarkt )  rf   i
COVi,Markt
E(ri )  rf  E(rMarkt )  rf  
2
Markt
E(ri )  rf  E(rMarkt )  rf  
4.5.
i,Markt  i
Markt
Berechnung des a zur Titelselektion:
 = E(ri) – [rf +   (E(rM) – rf)]
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5. Das Dividend Discount Model:
D 1  g D1
mit r = Diskontfaktor, g = Gewinnwachstumsrate
W  0

0
r g
W0 
r g
EPS
 GWGM
r
mit EPS = Earnings per Share (= Gewinn pro Aktie)
GWGM = Gegenwartswert der zukünftigen Gewinnmöglichkeiten
P0 
D
r g
mit D  EPS  (1  b) und g  ROE  b
b  Theasaurierungsquote
EPS  (1  b)
r  ROE  b
p0
(1  b)

EPS r  ROE  b

1  b   Ausschüttungsquote
ROE  Return on Equity


P0
1  GWGM  1  GWGM 
KGV 
  1
  1 
EPS 
EPS r 
EPS / r  r 
r


6. Preis eines Bonds
Preis eines Bonds = Preis des replizierenden Zerobond-Portfolio
P0 
T

t 1
CFt
1  r0,t 
t

CF1

CF2
1  r0,1  1  r0,2 
1
2
 ... 
CFT
1  r0,T 
T
darin ist CFt der Zahlungsstrom am Ende der Periode t (Kupons oder Rückzahlung) und T ist die
Anzahl der Jahre bis zur Fälligkeit.
7. Die Put Call Parität:
St  Pt  er(Tt)  K  Ct