Ergänzung F

Ergänzungsübungen zur Physik für
Nicht-Physikerinnen und Nicht-Physiker(SoSe 14)
Prof. W. Meyer
Übungsgruppenleiter: A. Berlin & J. Herick (NB 2/28)
Ergänzung F
Temperatur
In der Wärmelehre lernen wir nun eine weitere SI-Basiseinheit kennen; das Kelvin. Die Temperatur ist
eine Größe die jedem aus dem Alltag bekannt ist und mit der jeder etwas anfangen kann. Im Laufe
der Zeit wurden zahlreiche Methoden entwickelt, um die Temperatur zu bestimmen; somit auch ein
regelrechter Zoo von unterschiedlichen Temperatureinheiten. Die gängigsten Einheiten sind Celsius und
Fahrenheit; letzteres hauptsächlich in den USA gebräuchlich. Diese Temperaturskalen sind jeweils über
mindestens zwei Fixpunkte definiert, die gut reproduzierbar sein ’sollten’. Bei der Celsius-Skala ist der
untere Fixpunkt dort wo Wasser gefriert und bekommt den Wert 0 ℃. Der obere Fixpunkt befindet
sich am Siedepunkt1 von Wasser; dieser bekommt den Wert 100 ℃. Dazwischen teilt man den Bereich
in 100 gleichgroße Abstände.
Wasser ist leicht zu bekommen und eigentlich kann jeder solch eine Kalibrierung durchführen. Bei
der Fahrenheit-Skala sieht das wie folgt aus: Der untere Fixpunkt (0 °F) wird durch eine Wasser-EisSalmiak Mischung festgelegt (-17,8 ℃), ein mittlerer Fixpunkt liegt bei dem Gefrierpunkt von Wasser
(32 °F =
b 0 ℃) und der obere Fixpunkt bei 98,6 °F entspricht der normalen Temperatur eines menschlichen Körpers (37 ℃).
Mal davon abgesehen, dass nicht jeder Zugang zu einer Wasser-Eis-Salmiak Mischung hat, sieht man
besonders am oberen Fixpunkt, dass dieser recht schwer zu reproduzieren sein könnte.
Umrechnung zwischen Celsius und Fahrenheit:
T [°F] = T [ ℃] · 1,8 + 32
Nachdem um das Jahr 1700 erste Hinweise gefunden wurden, dass es eine untere Grenze der Temperatur geben könnte, entwickelte William Thomson (Lord Kelvin) eine Temperaturskala in der es einen
absoluten Nullpunkt2 gibt (0 K). Dieser Nullpunkt korrespondiert zu ein Temperatur von -273,15 ℃.
Die Einteilung der Grade wurde jedoch aus dem Celsiussystem beibehalten; also eine Differenz von 1 K
entspricht auch 1 ℃. Lediglich der Nullpunkt wurde verschoben. Wichtig zu merken ist, dass es keine
negative Temperaturen in der Kelvin-Skala gibt. Auch sind prinzipiell alle Formeln so konstruiert, dass
man immer die Temperatur in Kelvin eingeben muss. Umrechnung zwischen Celsius und Kelvin:
T [ K] = T [ ℃] + 273,15
Die Temperatur ist eine Eigenschaft, die jeder Körper, Flüssigkeit oder Gas hat.
Doch was ist Temperatur eigentlich genau?
Die Atome/Moleküle in einem Festkörper, einer Flüssigkeit oder einem Gas stehen nicht still, sondern
sind ständig in Bewegung. Während in Flüssigkeiten und Gase sich die Moleküle tatsächlich translatorisch fortbewegen, können Atome in Festkörpern Schwingungen ausführen. Jede dieser Bewegungen
ist verbunden mit kinetischer Energie (Bewegungsenergie).
1
2
bei einem Normaldruck von 101325 Pa
Nach dem dritten Hauptsatz der Thermodynamik ist der absolute Nullpunkt eine ideale Messgröße, welche nicht
erreichbar ist, jedoch können reale Temperaturen beliebig nahe dem absoluten Nullpunkt realisiert werden.
1
Abbildung 1: Vereinfachte Vorstellung der Zustände von Festkörpern, Flüssigkeiten und Gase.
Nun haben wir es nicht nur mit einem einzelnen Molekül oder Atom zu tun sondern mit einer ganzen
Schar (Ensemble) dieser Teilchen. Jedes von ihnen besitzt eine gewisse Menge an kinetischer Energie,
aber diese Energie ist nicht notwendigerweise bei allen Teilchen gleich groß. Es gibt in dem Ensemble
energie-reichere (schnelle) und energie-ärmere (langsame) Teilchen. Man kann jedoch dem Teilchenhaufen eine mittlere kinetische Energie < Ekin > zuweisen, indem man über alle Teilchen mittelt.
Diese mittlere Größe lässt sich auch anders ausdrücken (hier ohne Herleitung):
1
3
< Ekin >= m < v 2 >= kB T
2
2
kB ist eine wichtige Naturkonstante, die Boltzmankonstante und T entspricht der Temperatur in Kelvin.
Somit ist die mittlere kinetische Energie eines Systems ein Maß für die Temperatur. Gibt es viele
’schnelle’ Teilchen im System so ist seine Temperatur hoch; bei langsamen Teilchen ist die Temperatur
kleiner.
Wärmemenge
Wir sehen, dass die Temperatur eines Systems mit einer Energie verbunden ist. Wenn wir also dem
System Energie hinzufügen, sollte auch die Temperatur steigen. Dies wird durch folgende Gleichung
ausgedrückt:
∆Q1→2 = c m ∆T = c m (T1 − T2 )
∆Q ist die Wärmemenge (in Joule) die vom System abgegeben (positiv) oder aufgenommen (negativ)
wird, m die Masse des Körpers und ∆T die Temperaturdifferenz (in Kelvin). Der Faktor c ist eine
materialspezifische Konstante (spezifische Wärmekapazität) und muss gemessen werden.
Beispiel:
Um 1 g Wasser von 14,5 ℃ auf 15,5 ℃ zu erwärmen benötigt man somit
∆Q = 4186,8 J/ kg K · 0,001 kg · 1 K = 4,186 J = 1 cal
Dieser Wert könnte einem aus einer früheren Übungsaufgabe bekannt vorkommen, denn
darüber ist die Einheit Kalorie definiert.
Hier sehen wir auch, dass Wärme nicht das Gleiche ist wie Temperatur; was oft verwechselt wird.
Wärmeausdehnung
Erwärmt man ein System so erhöht man dessen mittlere kinetische Energie. Für einen Festkörper
bedeutet dies, dass die Atome stärkere Schwingungen ausführen und somit effektiv mehr Platz in Anspruch nehmen. Auf großen Skalen (makroskopisch) bemerken wir dies als Ausdehnung des Körpers,
d.h. eine Vergrößerung seines Volumens.
2
L0
L0
T1
T2
DL
T2-T1=DT
Abbildung 2: Lineare thermische Ausdehnung
Betrachten wir zunächst nur eine Dimension, so können wir die Gleichung für die lineare thermische
Ausdehnung hinschreiben:
∆L = L0 α ∆T
∆L ist die Längenänderung, L0 die Ausgangslänge und α ist wieder eine Materialkonstante, der lineare
thermische Ausdehnungskoeffizient. Um direkt die neue Länge L′ zu erhalten kann man auch
folgendes schreiben:
L′ = L0 + ∆L = L0 + L0 α ∆T = L0 (1 + α ∆T )
Wichtig zu bemerken ist, dass die Längenänderung ∆L von der Ausgangslänge L0 abhängt. Da wir es
hier mit einer Temperaturdifferenz zu tun haben, ist hier auch ein negativer Wert erlaubt. Wenn also
ein Körper abkühlt ist ∆T negativ und der Körper zieht sich zusammen.
Ein Körper dehnt sich aber in alle Richtungen aus und man kann – sofern der Körper sich gleichmäßig
ausdehnt – folgendes für die Volumenänderung angeben:
V ′ = V0 (1 + γ ∆T )
mit γ = 3 · α
γ ist der thermische Volumenausdehnungkoeffizient.
Für Flüssigkeiten und Gase, welche keine feste Form haben, kann man nur einen Volumenausdehnungkoeffizient angeben.
Temperatur [°C]
100
Mischtemperatur
Bringt man zwei Körper mit unterschiedlichen Temperaturen zusammen, so gleichen sich ihre Temperaturen an. Es findet ein Energietransport vom wärmeren zum kälteren Körper statt und es endet dann
in einem thermischen Gleichgewicht. Sind zwei Körper im thermischen Gleichgewicht so haben diese die gleiche Temperatur.
23,5
20
0
Kupfer
Wasser
Zeit
Abbildung 3: Temperaturangleich
Beispiel:
Legt man einen heißen Kupferblock in ein Wasserbad so gibt der Kupferblock Wärmeenergie
ab und überträgt dies auf das Wasser. Es gibt 2 Wege um an dieses Problem heranzugehen.
Entweder man überlegt sich, dass die Energieänderung des System gleich Null ist
∆QCu + ∆QWasser = 0
mCu cCu (T100 ℃ − TEnd ) + mW cW (T20 ℃ − TEnd ) = 0
3
Kupfer
Wasser
100°C
20°C
500g
386 J/K kg
T=373K
Kupfer + Wasser
?
1kg
4180 J/K kg
T=293K
Abbildung 4: Mischungstemperatur mit einem Kupferklotz im Wasserbad
Oder man geht so vor, dass man die absoluten Werte nimmt und sie vorher und nachher
vergleicht (Achtung, gleiche Endtemperatur)
QCu + QWasser = QCu+Wasser
mCu cCu T100 ℃ + mW cW T20 ℃ = (mCu cCu + mW cW ) TEnd
Beide Wege führen zu dem Ausdruck für die gemeinsame Endtemperatur im thermischen
Gleichgewicht (Temperaturen in Kelvin eingeben!)
TEnd =
mCu cCu T100 ℃ + mW cW T20 ℃
= 296,5 K =
b 23,5 ℃
mCu cCu + mW cW
Phasenübergang
T
Stoffe wie z.B. Wasser, Alkohol oder auch Metalle
können in verschiedenen Zuständen vorkommen.
Fest, flüssig und gasförmig. Dies sind die verschiedenen Aggregatzustände (Phase). Jeder Stoff hat
charakteristische Temperaturwerte an dem ein
Phasenübergang von einem Aggregatzustand zu
einem anderen statt findet; einen Schmelzpunkt
(fest → flüssig) und einen Siedepunkt (flüssig →
gasförmig).
Wir haben gelernt, dass eine Zufuhr von Energie – in Form von Wärme – eine Erhöhung der
Temperatur zur Folge hat.
100°C
TSiedepunkt
50°C
flüssig +
gasförmig
gasförmig
flüssig
TSchmelzpunkt
0°C
fest
fest +
flüssig
Abbildung 5: Temperatur von Wasser bei konstanter Wärmezufuhr (qualitativ)
Dies gilt allerdings nur innerhalb eines Aggregatzustandes. Befindet sich ein Stoff an einem der
Übergangstemperaturen, so geht die zugeführte Wärme (Energie) nicht in die Temperaturerhöhung
des Stoffes ein. Die zugeführte Energie dient ausschließlich dazu den Stoff von der einen Phase in die
andere zu überführen.
Dies ist auch der Grund warum das Wasser in einem Kochtopf nie über 100 ℃ heiß wird3 ,
obwohl die Temperatur der Herdplatte über 200 ℃ liegt.
3
Der Siedepunkt einer Flüssigkeit ist vom umgebenen Druck abhängig, weswegen man in der Küche auch sogenannte
Hochdrucktöpfe (Schnellkochtopf) einsetzt. Der erhöhte Druck im Topf führt dazu, dass das Wasser erst bei einer
Temperatur oberhalb von 100 ℃ anfängt zu kochen, weswegen das Essen dann auch schneller fertig ist.
4
Die Formel ist recht einfach und beinhaltet neben der benötigten Energie lediglich die Masse, die einen
Phasenübergang erfährt und eine materialspezifische Konstante.
Q = m Qschmelz/verdampf
Während eines Phasenübergangs koexistieren zwei Phasen nebeneinander. Erst wenn der eine Aggregatzustand komplett in den anderen übergegangen ist, steigt bei Wärmezufuhr die Temperatur wieder.
Abbildung 5 veranschaulicht dieses Verhalten an Wasser.
Stoffmenge
Die Stoffmenge gibt an, wie viele Teilchen (Atome, Moleküle, ...) in einem Stoff vorhanden sind; sie ist
eine Anzahl von Etwas. Da die Anzahl der Teilchen in einem Stoff für gewöhnlich sehr groß ist, gibt es
dafür eine Ersatzgröße, die es auch in das SI-System als Basiseinheit geschafft hat – das Mol.
Hat man von einem Stoff 6,02214129 · 1023 Teilchen, so hat man 1 mol von diesem Stoff, ungeachtet
davon was das für ein Stoff ist.
1 mol =
b 6,02214129 · 1023 Teilchen
Triviales Beispiel: Hätte man 1 mol 1–Euro Stücke, so hätte man ein Vermögen von ca.
6,022 · 1023 Euro (=
b 602 Trilliarden Euro)
Somit ist die Stoffmenge n definiert als
n=
N
NA
[n] = mol
, NA = 6,02214129 · 1023 mol−1
Dabei ist N die absolute Anzahl an Teilchen und NA die Avogadrokonstante.
Diese Zahl geht zurück auf die Anzahl der Atome in 12 g Kohlenstoff (12 C).
Um noch einmal auf das zurückzukommen was gezählt wird. Man zählt beim Mol immer nur Einzelteilchen, dies können einzelne Atome oder ganze Moleküle sein; hier wird das Molekül als ein Teilchen
aufgefasst.
Bsp:
– 1 mol Helium entsprechen 6,022 · 1023 Atome (He)
– 1 mol Wasser entsprechen 6,022 · 1023 Wassermoleküle (H2 O)
obwohl es 3 · 6,022 · 1023 Atome sind (2·H+1·O)
Um herauszufinden wie schwer nun ein Mol eines Stoffes ist, hilft uns das Periodensystem der Elemente
ungemein. Die Masse eines Mols wird auch als molare Masse, oder Molmasse bezeichnet.
Als erstes müssen wir uns überlegen wie viele Nukleonen das entsprechende Atom hat und wie schwer
das Atom ist. Mit Hilfe des Kohlenstoffs wurde eine Größe definiert, die man die atomare Masseneinheit
u nennt. 1 u entspricht 1/12 der Masse eine Kohlenstoffatoms (12
6 C), welches 12 Nukleone besitzt.
1u =
b 1,660538921 · 10−27 kg
d.h.
1 kg =
b 6,02214129 · 1026 u
(1)
(2)
Dieser Zahlenwert sollte einem bekannt vorkommen; die Avogadrokonstante, lediglich um 3 Größenordnungen größer.
Somit wiegt ein Atom mit der Massenzahl A (Anzahl der Nukleonen)
mAtom = A · u
5
Nun muss nur noch die Anzahl der Atome N bekannt sein und dann ergibt sich für die Masse m des
Stoffes, mit der Anzahl der Atome N = n · NA :
m = N · mAtom = N · A · u = n · NA · A · u
n=Stoffmenge, NA =Avogadrokonstante, A=Massenzahl, u=atomare Masseneinheit
Dieses unübersichtliche Gebilde lässt sich vereinfachen indem man die molare Masse identifiziert, also
die Masse eines Mols des Stoffes mit der Massenzahl A.
m = n · NA · A · u = n · mmol
| {z }
[mmol ] =
mmol
kg
mol
Die molare Masse lässt sich jedoch noch weiter vereinfachen, denn wenn man genau hinschaut erkennt
man, dass die Konstanten NA und u über ihre Definitionen miteinander verbunden sind, siehe Gl. (1)
und (2). Dies führt zu folgender Identität:
h g i
=
b A
mmol = NA · u · A = A · 10−3 kg/ mol
oder
mmol
| {z }
mol
≡ 0,001 kg/ mol
Somit lässt sich die molare Masse einfach aus dem Periodensystem der Elemente ablesen. Dabei entspricht die Massenzahl A des Elements der molaren Masse mmol in der Einheit Gramm pro Mol.
Bsp:
– 42 He → mmol = 4 g/ mol
– H2 O = 2 · 11 H + 1 ·
16 O
8
→ mmol = 2 · 1 g/ mol + 1 · 16 g/ mol = 18 g/ mol
Merke:
– 1 mol eines Stoffes sind 6,022 · 1023 Teilchen
– Die molare Masse eines Stoffes in Gramm pro Mol entspricht der Massenzahl A im Periodensystem
der Elemente
– Um die molare Masse eines Moleküls zu erhalten muss man die molare Masse jedes einzelnen
Elements aufaddieren.
Zustandsgleichung des idealen Gases
Die Zustandsgleichung gibt – wie der Name schon sagt – den Zustand eines Gases an. Es vereinigt die
Eigenschaften Volumen, Druck, Temperatur und Teilchenzahl miteinander. Es gibt zwei Darstellungsformen dieser Gleichung, welche in ihrer Aussagekraft gleichbedeutend sind und sich nur in der
Angabe der Teilchenzahl unterscheiden.
absolute Teilchenzahl N :
p V = N kB T
Anzahl der Mole n :
pV =nR T
kB wird die Boltzmann-Konstante und R die allgemeine Gaskonstante genannt. Die Verbindung zwischen diesen beiden Gleichungen ist die Avogadrokonstante NA die aus dem Stoffmengen-Kapitel bekannt ist. Denn man kann Folgendes ersetzen:
mit N = n NA
→
N kB = n NA kB = n R
| {z }
R
Um mit diesen Gleichungen zu Rechnen muss man sich zunächst sicher sein welche Werte gefragt sind
und welche eventuell konstant bleiben.
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Beispiel:
Ein Gas befindet sich in einem Behälter mit einem verschiebbaren
Stempel als Deckel. Was passiert, wenn man den Stempel runter
drückt und dabei die Temperatur des Gases konstant hält?
p1
Die Teilchenzahl bleibt konstant (da geschlossen) sowie die Temperatur. Das Volumen des Behälters wird mit dem Stempel geändert
und man kann dann folgende Gleichung aufstellen:
V1
T=const
p V = n R T = const.
(p V )vorher,1 = (p V )nachher,2
→ p2 =
V1
p1
V2
p2
V2
p 2 > p1
Verringert man somit das Volumen von V1 auf V2 , so steigt der Druck
von p1 auf p2 an.
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Abbildung 6: Kompression
eines Gases
Aufgabe 1
Sie geben in 50 kg Wasser der Temperatur 60 ℃ einen Metallklotz (mKlotz = 4 kg) der Temperatur
20 ℃. Sobald das thermische Gleichgewicht erreicht ist, bestimmen Sie die neue Wassertemperatur auf
55 ℃.
Wie groß ist die spezifische Wärmekapazität des Metalls?
Aufgabe 2
Recherchieren Sie fehlende Parameter.
Vor sich haben Sie eine lokale Bierspezialität in einer 0,5-Liter-Bügelverschlussflasche mit einem Alkoholgehalt von 4,9 % vol.
Wie viele Alkoholmoleküle (Ethanol) N befinden sich in der Flasche?
Aufgabe 3
Eine kugelförmige Luftblase steigt im Wasser auf. In einer Tiefe von 20 m hat sie einen Durchmesser
von 1 cm. (p0 = 105 Pa, Temperaturunterschiede können vernachlässigt werden)
Welchen Durchmesser hat sie kurz vor Erreichen der Oberfläche?
Überlegen Sie sich, wie Sie an den Druck in 20 m Wassertiefe kommen.
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