DAS DYNAMISCHE VERHALTEN DER FELDORIENTIERT

Übertragungsverhalten geregelter Asynchronmaschinen für die
Prüfstandsanwendung
von Pierre Köhring und Torsten Wichert
Gewidmet Herrn Prof. Dr.-Ing. habil. Hans Kuß zur Emeritierung
Abstract:
In diesem Artikel wird das dynamische Verhalten der feldorientiert geregelten Asynchronmaschine für
den Einsatz im Prüffeldsektor untersucht. Zunächst wird hierfür ein Funktionsmodell der feldorientiert
geregelten Asynchronmaschine abgeleitet und hinsichtlich seiner statischen und dynamischen Grenzwertparameter untersucht. Im Einzelnen wird eine Methode zur analytischen Berechnung von maximal erzielbaren Drehmomenten und von maximalen Drehmomentdifferentialen gezeigt und die Berechnungsergebnisse abschließend kritisch ausgewertet.
1
Einführung und Motivation
Der Anstoß zur Untersuchung des dynamischen Verhaltens feldorientiert geregelter Asynchronmaschinen entsteht
aus den hohen Anforderungen, welche
heute an hochdynamische Prüfstandsmotoren gestellt wird. Zum Verhalten des
Elektromotors als solches, ist ein umfassendes Theoriemodell vorhanden, welches sowohl das stationäre, das quasistationäre als auch das dynamische Verhalten umfassend beschreibt. Der hohe
Entwicklungsgrad der Stromrichtertechnik führt nun dazu, dass auch jene Antriebssektoren, welche bisher den
Gleichstrommaschinen vorbehalten waBild 1: Elektromotoren in der Prüfstandsanwendung
ren, durch adäquate Drehstromantriebe
ersetzt werden können. Hierunter zählen drehzahlgeregelte Antriebe, an welche ein Höchstmaß
an Drehzahlstabilität und Drehmomentstabilität gestellt wird, wie Antriebe von Hebezeugen in
der Schwerindustrie oder Prüfstandsantriebe in der Automobilindustrie. Der Einsatz von Drehstrommaschinen ist vor allem im Prüffeldsektor den trägeren und wartungsaufwendigeren
Gleichstrommaschinen vorzuziehen. Die Drehstrommaschinen sind aufgrund ihrer höheren
Ausnutzung [11] kleiner und billiger als vergleichbare Gleichstrommaschinen, weiterhin besteht
in der Prüfstandsanwendung häufig die Forderung nach einem möglichst kleinen Massenträgheitsmoment um die Drehmomentoberschwingungen von Verbrennungsmotoren möglichst real
zu simulieren, was durch die Drehstromantriebstechnik wesentlich einfacher zu bewältigen ist.
2
Mathematische Beschreibung des Maschinenverhaltens
2.1
Allgemeines
Die mathematische Beschreibung des Verhaltens einer Asynchronmaschine mit Kurzschlussläufer und vernachlässigbarer Läufer- und Ständerstromverdrängung wurde bereits in [2], [3], [4],
[7] und [10] hinreichend beschrieben. Ziel dieses Abschnittes soll daher lediglich die Zusammenstellung der einzelnen Ansätze mit einer Bewertung der Einsatzbereiche sein.
1
Für alle hier vorgestellten Berechnungsansätze des Maschinenverhaltens bedient man sich des
Raumzeigermodells der Drehstrommaschine. Es besagt, dass die Überlagerung von drei räumlich- sinusförmig verteilten Feldern beliebiger Amplituden wieder ein räumlich- sinusförmiges
Feld im Luftspalt der Maschine erzeugt. Dieses Feld kann eindeutig durch einen Lagewinkel und
eine Amplitude beschrieben werden, dem sog. Raumzeiger. Im Umkehrschluss lässt sich dieses
Feld auch mit einer zweisträngigen Wicklung erzeugen. Jede mehrsträngige Wicklungsanordnung, so sie eine sinusförmige Durchflutungsverteilung im Luftspalt erzeugt, kann mit einer solchen zweisträngigen Ersatzwicklung beschrieben werden. Die Umrechnung von Strömen und
Spannungen kann mittels der Gleichung (2.1) von der originalen zur Modellwicklung bzw. mit
(2.2) umgekehrt erfolgen. Die Größe g ist hier als Platzhalter für die zutreffende Größe zu verstehen. Die Größe g0 beschreibt das Nullsystem einer Drehstromwicklung, welches eine stehende
pulsierende Luftspaltdurchflutung zur Folge hat. Diese Nullkomponente wird bei einer Sternschaltung nur relevant, wenn die Summe der drei Strangströme nicht null ergibt. Für eine Dreieckschaltung ergeben sich relativ komplizierte Zusammenhänge für die Beschreibung dieser
Nullkomponentengrößen. Ihre Beschreibung wird jedoch fast ausschließlich für die Beschreibung von Havariefällen notwendig, und bleibt in dieser Arbeit unberücksichtigt.
⎛ gα ⎞
⎜ ⎟
⎜ gβ ⎟
⎜g ⎟
⎝ 0⎠
∠S
⎛
⎜1
⎜
2⎜
=
0
3⎜
⎜1
⎜
⎝2
⎛
⎜
⎛ ga ⎞ ⎜ 1
⎜ ⎟
1
⎜ gb ⎟ = ⎜−
⎜g ⎟ ⎜ 2
⎝ c⎠ ⎜ 1
⎜−
⎝ 2
1 ⎞
⎟
2 ⎟⎛ g a ⎞
⎜ ⎟
1
1
3 −
3 ⎟⎜ g b ⎟
⎟
2
2
⎜ ⎟
1
1 ⎟⎝ g c ⎠
⎟
2
2 ⎠
−
1
2
−
⎞
⎟
∠S
0
1⎟⎛ g α ⎞
⎜ ⎟
1
3 1⎟⎜ g β ⎟
⎟⎜ ⎟
2
⎟⎝ g 0 ⎠
1
3 1⎟
2
⎠
(2.1)
(2.2)
Ein weiterer Schritt ist es, die beiden Wicklungen gemäß der Zeigervorstellung zu einer komplexen Größe zusammenzufassen. Die Größe der β- Achse repräsentiert dabei den Imaginär- und
die α- Achse den Realteil des Zeigers. Es können somit Ströme und Spannungen als ortsabhängige Zeiger aufgefasst werden. Die Rotation dieser Zeiger erfolgt gemäß den zeitlich veränderlichen Stranggrößen. Darüber hinaus kann die Wirkung der Feldgrößen der Wicklungsanordnung
des Ständers auf die des Läufers und umgekehrt, auch bei sich ändernder Rotorposition, beschrieben werden. Hierzu müssen die Größen des Ständers im Läufer und die des Läufers im
Ständer dargestellt werden, wie mit dem Zusammenhang (2.3) und (2.4) gezeigt wird. Der Winkel γ entsprich hierbei dem relativen Lagewinkel der Wicklungen. Er kann auch mit Gleichung
(2.5) aus dem Verlauf der mechanischen Läuferwinkelgeschwindigkeit berechnet werden. Für
den Sonderfall einer konstanten Winkelgeschwindigkeit gilt die Gleichung (2.5a).
∠S
∠R
∠R
∠S
∠R
∠S
g 2 = g 2 ⋅ e jγ ⇒ g 2 = g 2 ⋅ e − jγ
∠S
∠R
(2.3)
g 1 = g 1 ⋅ e − jγ ⇒ g 1 = g 1 ⋅ e jγ
(2.4)
γ (t ) = γ 0 + p ∫ ϖ L (t )dt
(2.5)
γ (t ) = γ 0 + pϖ L t
(2.5a)
2
Für die Spannungsgleichung der Ständerstränge kann allgemein die Gleichung (2.6) angegeben
werden. Für die Läuferstränge gilt die Gleichung (2.7).
∠S
u
∠S
1
u
∠R
2
=i
∠S
1
=i
∠R
2
⋅ R1 +
dψ 1
(2.6)
dt
∠R
⋅ R2 +
dψ 2
(2.7)
dt
Für die Berechnung der Flussverkettungen ergibt sich die Besonderheit, dass jeweils ein Strom
nicht in seinem ursprünglichen Koordinatensystem als Faktor auftritt. Diese Ströme müssen nach
den Gleichungen (2.3) und (2.4) umgerechnet werden.
ψ ∠2 R = i ∠2 R L2 + i 1∠R Lh
(2.8)
ψ 1∠S = i 1∠S L1 + i ∠2 S Lh
(2.9)
2.2
Das Gleichungssystem der Asynchronmaschine in einem mit beliebiger Kreisfrequenz umlaufenden Koordinatensystem
Die Grundlage für die mathematische Beschreibung der feldorientierten Regelung bildet das
Gleichungssystem in einem mit einer willkürlich festgelegten Kreisfrequenz umlaufenden Koordinatensystem. Es bewegt sich relativ zu Läufer und Ständer mit der Winkelgeschwindigkeit ωK
zum Ständer und mit ω2 zum Läufer. Mit ωK = pωL + ω2 kann auch der Schlupf zum mit ωK umlaufenden System nach Gleichung (2.10) definiert werden.
ϖ 2 = s ⋅ϖ K
(2.10)
Die Winkelgeschwindigkeit des frei umlaufenden Systems ergibt sich durch die Änderung des
Winkels ϑ nach der Zeit. Sinnvoll ist es, die Umlaufgeschwindigkeit an die des rotierenden Feldes anzupassen, welche im motorischen Betriebsfall schneller und im generatorischen langsamer
als der Läufer ist. Es ergibt mit der Ständerfrequenz f1 für ωK:
ϖ K = 2π ⋅ f1 =
d
ϑ
dt
(2.11)
Die Spannungsgleichungen können im Einzelnen der Tafel 2.1 entnommen werden
Tafel 2.1–Das mitϖK umlaufende Gleichungssystem der Kurzschlussläuferasynchronmaschine
d
ψ 1α − ϖ K ⋅ψ 1β ;
dt
d
u1β = R1 ⋅ i1β + ψ 1β + ϖ K ⋅ψ 1α ;
dt
d
0 = R2 ⋅ i2α + ψ 2α − ϖ 2 ⋅ψ 2 β ;
dt
u1α = R1 ⋅ i1α +
ψ 1α = i1α ⋅ L1 + i2α ⋅ Lh
ψ 1β = i1β ⋅ L1 + i2 β ⋅ Lh
ψ 2α = i2α ⋅ L2 + i1α ⋅ Lh
3
0 = R2 ⋅ i 2 β +
d
ψ 2 β + ϖ 2 ⋅ψ 2α ;
dt
ψ 2 β = i2 β ⋅ L2 + i1β ⋅ Lh
Die Umrechnung der Stranggrößen der originalen Ständerwicklung in das mit ωK umlaufende
System erfolgt mit Gleichung (2.12).
⎛ uα ⎞
⎜ ⎟
⎜uβ ⎟
⎜u ⎟
⎝ 0⎠
∠K
⎞
⎛
∠S
⎜ cos(ϑ ) cos(ϑ − 120°) cos(ϑ + 120°) ⎟⎛ u a ⎞
2⎜
⎟⎜ ⎟
= ⎜ − sin (ϑ ) − sin (ϑ − 120°) − sin (ϑ + 120°)⎟⎜ u b ⎟
3
1
1
⎟⎜⎝ u c ⎟⎠
⎜ 1
⎟
⎜
2
2
⎠
⎝ 2
(2.12)
Fasst man die ohmschen Spannungsabfälle und die Bewegungsspannungen zusammen, so ergibt
sich die Spannungsgleichung der Kurzschlussläuferasynchronmaschine zu:
⎛ uα
⎜
⎜uβ
⎜ 0
⎜
⎜ 0
⎝
2.3
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
∠K
⎛ R1
⎜
⎜ϖ L
=⎜ k 1
0
⎜
⎜ϖ L
⎝ 2 h
− ϖ k L1
R1
− ϖ 2 Lh
0
0
ϖ k Lh
R2
ϖ 2 L2
− ϖ k L h ⎞⎛ i1α
⎟⎜
0 ⎟⎜ i1β
− ϖ 2 L2 ⎟⎜ i 2α
⎟⎜
R 2 ⎟⎠⎜⎝ i 2 β
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
∠K
⎡⎛ L
⎢⎜ 1
d ⎢⎜ 0
+ ⎢⎜
dt L h
⎢⎜
⎢⎜⎝ 0
⎣
0
L1
0
Lh
Lh
0
L2
0
0 ⎞⎛ i1α
⎟⎜
L h ⎟⎜ i1β
0 ⎟⎜ i 2α
⎟⎜
L 2 ⎟⎠⎜⎝ i 2 β
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
∠K
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
(2.13)
Das Gleichungssystem der Asynchronmaschine in gemischten Koordinaten
Stellt man alle Größen in ihren eigenen Bezugssystemen dar, so gelangt man zu einem Gleichungssystem entsprechend (2.14):
⎡uα ⎤ ⎡ R1
⎢u ⎥ ⎢
⎢ β⎥=⎢0
⎢u d ⎥ ⎢ 0
⎢ ⎥ ⎢
⎢⎣ u q ⎥⎦ ⎣ 0
0
R1
0
0
0
0
R2
0
⎡⎡ L1
0 ⎤ ⎡iα ⎤
⎢
⎢i ⎥
⎥
0
0 ⎥ ⎢ β ⎥ d ⎢⎢⎢
+
⎢
0 ⎥ ⎢id ⎥ dt ⎢ Lh cos γ
⎢⎢
⎥⎢ ⎥
R2 ⎦ ⎢⎣ iq ⎥⎦
⎢⎣⎣− Lh sin γ
0
L1
Lh cos γ
Lh sin γ
Lh sin γ
Lh cos γ
L2
0
− Lh sin γ ⎤ ⎡iα ⎤ ⎤
⎢ ⎥⎥
Lh cos γ ⎥⎥ ⎢i β ⎥ ⎥
⎥ ⎢id ⎥ ⎥
0
⎥ ⎢ ⎥⎥
L2 ⎦ ⎢⎣ iq ⎥⎦ ⎥⎦
(2.14)
t
Der Winkel γ entspricht dabei dem Lagewinkel des Rotors vgl. γ = ∫ pϖ L (t )dt .
0
Dieses Gleichungssystem ist für die numerische Lösung ungeeignet, da es mit einer variablen
Induktivitätsmatrix arbeitet. Es eignet sich aber durchaus für eine analytische Näherungslösung
quasistationärer Vorgänge, wie der Untersuchung des elektrodynamischen Verhaltens der Drehstromasynchronmaschine bei sprunghafter Änderung der Strangspannungen, welches im nachfolgenden Abschnitt behandelt wird.
3
Rotorflussorientierte Regelung der Asynchronmaschine
Mathematische Methoden erlauben es, Drehstrommaschinen ähnlich einfach einer fremderregten
Gleichstrommaschine zu steuern. Es wird jedoch ein höherer Aufwand an Mess- und Auswertelektronik notwendig. Um diesen so gering wie möglich zu halten, wurden verschiedene Steuerverfahren entwickelt, um die notwendigen Parameter zur Berechnung der einzuspeisenden Ströme bereitzustellen. Es kann damit umgangen werden, die Lage der Hauptflussverkettung im
Luftspalt oder die Lage des Rotors zu messen. In [6] und [9] wird eine ganze Reihe von Model4
len beschrieben, welche es ermöglichen, aus der Messung der Ständerströme und der Winkelgeschwindigkeit des Läufers alle fehlenden Parameter zu berechnen oder zu schätzen. Das Aufzählen dieser Modelle soll jedoch nicht Gegenstand dieses Beitrages sein. Ziel des folgenden
Abschnittes ist es, die Regelstrecke Frequenzumrichter und Maschine näher zu beleuchten.
Um eine mit einer Gleichstrommaschine vergleichbare magnetische Anordnung zu erreichen,
legt man den Fluss auf eine synchron mit dem Drehfeld umlaufende Achse. Es wird definiert,
dass der Rotorfluß keinen imaginären Anteil enthält, es gilt Gleichung (3.1). Hierbei werden alle
Größen in einem mit der Winkelgeschwindigkeit ωK rotierendem Koordinatensystem nach Abschnitt 2.2 dargestellt. Die erste Steuerbedingung lautet:
ψ 2 = ψ 2α ⇒ ψ 2 β = 0
(3.1)
Es kann somit der Rotorstrom in der β- Achse durch den Statorstrom dargestellt werden.
ψ 2 β = 0 = Lh ⋅ i1β + L2 ⋅ i2 β ⇒ i2 β = −
Lh
i1β
L2
(3.2)
Der Fluss in der α- Achse entspricht dem Magnetisierungsfluss, welcher allein durch den Stator
bereitgestellt wird. Daraus resultiert die zweite Steuerbedingung:
i2α = 0 ⇒ ψ 2α = i1α ⋅ Lh = I µ 2 ⋅ Lh
(3.3)
Darin ist Iµ der Magnetisierungsstrom. Es kann damit die Spannungsgleichung der β- Achse im
Rotor dazu verwendet werden, die Winkelgeschwindigkeit ω2 der Rotorgrößen zu bestimmen.
0 = R2 ⋅ i 2 β +
ϖ2 = −
d
d
ψ 2 β + ω 2 ⋅ψ 2α , mit der Steuerbedingung ψ 2 β = 0 ⇒ ψ 2 β = 0
dt
dt
R2 ⋅ i 2 β
ψ 2α
=
R2 ⋅ i1β L1
L2ψ 1α
=
R2 ⋅ i1β
L2 i1α
(3.4)
Das von der Maschine erzeugte Drehmoment mi ergibt sich entsprechend Gleichung (3.5):
mi = −
L
3
p (ψ 2α ⋅ i2 β − ψ 2 β ⋅ i2α ) mit i2α = 0 und i2 β = − h i1β gilt also:
L2
2
3 Lh
p ψ 2α ⋅ i1β
(3.5)
2 L2
Mit den Beziehungen aus den Steuerbedingungen lassen sich die Spannungsgleichungen nach
Tafel 2.1 vereinfachen. Da die Magnetisierung unterhalb der Bemessungsdrehzahl als konstant
dψ 1α
= 0 gilt, lässt sich nach Einsetzen von (3.1) bis (3.4) für die
betrachtet werden kann, also
dt
α-Komponente der Statorspannung schreiben:
mi =
u1α
⎛ L1 L2h ⎞ R2
⎛
L2h ⎞
2
⎜
⎟
= R1 ⋅ i1α − ⎜ L1 − ⎟ pϖ L ⋅ i1β − ⎜⎜
− 2 ⎟⎟
⋅ i1β
L2 ⎠
⎝
⎝ L2 L2 ⎠ i1α
(3.6)
5
mit ϖ K = pϖ L + ϖ 2 = pϖ L +
R 2 ⋅ i1β
(3.7)
L 2 i1α
2
⎛
L ⎞
Analog ergibt sich mit der Statorflußverkettung ψ 1β = i1β ⋅ L1 + i2 β ⋅ Lh = ⎜⎜ L1 − h ⎟⎟i1β die GleiL2 ⎠
⎝
chung für die β-Komponente der Statorspannung:
2
⎛
⎛
Lh ⎞ d
L1 ⎞
⎟ ⋅ i1β
⎟ ⋅ i1β + ⎜ L1 −
u1β = p ⋅ ω L ⋅ L1 ⋅ i1α + ⎜⎜ R1 + R2
(3.8)
⎜
L2 ⎟⎠
L2 ⎟⎠ dt
⎝
⎝
Für einen stationären Betriebspunkt kann mit (3.6) und (3.7) das Zeigerbild entsprechend Abbildung 3.1 konstruiert werden.
α
⎛ L1 L2h ⎞ R2
⎜ − 2 ⎟ ⋅ i1β 2
⎟
⎜L
⎝ 2 L2 ⎠ i1α
⎛
L⎞
⎜⎜R1 + R2 1 ⎟⎟⋅ i1β
L2 ⎠
⎝
p ⋅ϖ L ⋅ L1 ⋅ i1α
β
Û1
⎛
L2 ⎞
⎜⎜ L1 − h ⎟⎟ pϖ L ⋅ i1β
L2 ⎠
⎝
R1 ⋅ i1α
Bild3.1: Zeigerbild der feldorientiert gesteuerten Asynchronmaschine im stationären Betrieb
4
Das zustandsabhängige maximal erzeugbare Drehmoment des Antriebs
unter Vernachlässigung der Läuferstromverdrängung
Gelten im dynamischen Betrieb der Asynchronmaschine mit Kurzschlussläufer die Steuerbedingungen aus Kapitel 3, so wirkt sich das auch auf das dynamische Verhalten des kompletten Antriebsstranges aus. Im Folgenden soll das von der Zwischenkreisspannung abhängige maximal
erzielbare Drehmoment berechnet werden. Diese Berechnung fällt streng genommen nicht in den
Bereich des dynamischen Verhaltens des Antriebes, bereitet aber die Ermittlung des erzeugbaren
Drehmomentdifferentials im späteren Abschnitt 5 vor.
Für Prüfstandsantriebe ist es zumeist interessant, welche größtmöglichen Überlastdrehmomente
abgegeben werden können. Da das Drehmoment direkt dem Strom i1β proportional ist, wird es
∧
durch die maximal mögliche Klemmenspannung U 1 entsprechend dem Zeigerbild 3.1 begrenzt.
Die analytische Entwicklung dieses Problems führt zu einem Polynom 4. Ordnung. Eine allgemeine Lösung dieser Gleichung ist somit möglich, aber nicht mehr mit vertretbarem Aufwand
durchführbar. Es wird daher auf eine iterative Lösung in wenigen (meist zwei) Schritten zurückgegriffen. Die allgemeingültige Gleichung ergibt sich dem Zeigerbild 3.1:
6
2
⎛⎛ L L2 ⎞ R 2 ⎛ L2 ⎞
⎞
2
Uˆ1 = ⎜⎜⎜ 1 − h2 ⎟⎟ 2 ⋅i1β +⎜⎜L1 − h ⎟⎟pϖL ⋅i1β −R1 ⋅i1α ⎟
⎜ L L i
⎟
⎝ L2 ⎠
⎝⎝ 2 2 ⎠ 1α
⎠
2
⎞
⎛⎛
L⎞
+⎜⎜⎜⎜R1 + R2 1 ⎟⎟⋅i1β + pϖLL1i1α ⎟⎟
L2 ⎠
⎠
⎝⎝
(4.1)
Eine numerische Lösung dieser Gleichung kann mit konventionellen iterativen Verfahren erfolgen, wobei sich die Spannung Û1 als Funktion der Zwischenkreisspannung ergibt. Für die Dreieckschaltung der Statorstränge kann die Zwischenkreisspannung vermindert um die Spannungsabfälle über die Halbleiterventile und über die Zuleitungen eingesetzt werden. Bei einer Sternschaltung muss zusätzlich durch 3 geteilt werden.
Für eine analytische Näherungslösung muss die Gleichung an geeigneter Stelle vereinfacht werden. Dies geschieht mit der Vernachlässigung der ohmschen Spannungsabfälle in Stator und
Rotor. Der Maximalstrom ergibt sich damit als zu groß und muss unter Berücksichtigung der
Randbedingungen korrigiert werden. Die Spannung in der β- Achse wird zur Konstanten, und es
gilt Gleichung (4.2).
2
⎛ ⎛ L1 L2h ⎞ R2
⎞
⎛
L2h ⎞
2
2
ˆ
⎜
⎟
⎜
⎜
⋅ i1β + ⎜ L1 − ⎟⎟ pϖ L ⋅ i1β ⎟ + ( pϖ L L1i1α )
U1 * = ⎜ − 2 ⎟
⎜ L2 L
⎟
i
L2 ⎠
⎝
2 ⎠ 1α
⎝⎝
⎠
2
pϖ L L1 − pϖ L
i1β =
L2h
L2
2
+
L2h − L1 L2
i1α L2
(
(4.2)
)
2
2
2
2
p 2ϖ L i1α Lh − L1 L2 − 4 R2 Uˆ 1 * −( pϖ L L1i1α )
R
2 2
L2 i1α
(4.3)
⎛
L2 ⎞
⎜ L1 − h ⎟
⎜
L2 ⎟⎠
⎝
Die Gleichung (4.3) gibt den Näherungswert für den drehmomentbildenden Strom an. Es hat sich
∧
*
praktisch bewährt, die Spannung Û1 um zehn Prozent reduziert in die Gleichung als U1 einzusetzen. Die Kontrolle wird anhand der Gleichung (4.1) vorgenommen. Falls es erforderlich ist,
∧
kann der Strom nochmals mit einer korrigierten Zwischenkreisspannung
den.
5
*
U1 abgeglichen wer-
Das erzeugbare Drehmomentdifferential unter Vernachlässigung der
Läuferstromverdrängung
Sehr interessant für Maschinen in der Prüfstandsanwendung ist die maximal erreichbare Drehzahl- und Drehmomentänderung. Als Grundlage hierfür dient uns die Gleichung (3.8), welche,
so man den maximal möglichen Strom i1β nach Gleichung (4.3) einsetzt, die maximale stationär
erreichbare Spannung der β- Achse ergibt. So wird davon ausgegangen, dass ein Führungsgrößensprung zur sprunghaften Änderung der Spannungen führt. Der drehmomentbildende Strom
stellt sich dann entsprechend der in seinem Stromkreis befindlichen Widerstände ein. Wichtig
dabei ist, dass zu jedem Zeitpunkt die Steuerbedingungen erfüllt bleiben.
Zum Zeitpunkt t=0 befindet sich die Maschine in einem stationären Zustand, in welchem die
Spannung u1β den Wert u1β0 nach Gleichung (5.1) annehmen muss. Auch wenn die Maschine
kein Drehmoment entwickelt, so ist in der β- Achse doch eine Bewegungsspannung vorhanden.
7
⎛
L ⎞
u1β 0 = pϖ L L1 ⋅ i1α + ⎜⎜ R1 + R 2 1 ⎟⎟ ⋅ i1β 0
L2 ⎠
⎝
(5.1)
Zum Zeitpunkt t= 0 springt die Spannung u1β auf einen Wert u1β(0)+∆uβ. Die Spannung ∆uβ kann
maximal auf einen Wert nach Gleichung (5.2) springen.
⎛
L ⎞
∆u1β = ⎜⎜ R1 + R2 1 ⎟⎟ ⋅ (i1β max − i1β 0 )
L2 ⎠
⎝
(5.2)
Der Strom i1βmax ergibt sich als der maximal mögliche drehmomentbildende Strom nach Gleichung (4.3). Der Strom i1β0 berücksichtigt ein stationäres Drehmoment zum Zeitpunkt t=0.
Zur Berechnung der Sprungantwort auf einen Spannungssprung wird die Gleichung (3.8) in den
Laplace- Bereich transformiert und die Spannung u1β mit dem Faktor 1/s, wobei s den LaplaceOperator darstellt, multipliziert.
u1β
2
⎛
L ⎞
⎜ L1 − h ⎟
⎜
L2 ⎟⎠
⎝
=
p ⋅ ω L ⋅ L1 ⋅ i1α
2
⎛
L ⎞
⎜ L1 − h ⎟
⎜
L2 ⎟⎠
⎝
⎛
L ⎞
⎜⎜ R1 + R2 1 ⎟⎟
L2 ⎠
d
+⎝
⋅ i1β + i1β
2
dt
⎛
L ⎞
⎜ L1 − h ⎟
⎜
L2 ⎟⎠
⎝
⎛
L ⎞
⎜⎜ R1 + R2 1 ⎟⎟
∆u1β
L2 ⎠
⎝
=
⋅ i1β + s ⋅ i1β − i1β 0
⎛
⎛
L2h ⎞
L2h ⎞
⎜⎜ L1 − ⎟⎟
s⎜⎜ L1 − ⎟⎟
L2 ⎠
L2 ⎠
⎝
⎝
(5.3)
Zur Rücktransformation in den Zeitbereich werden die transiente Statorreaktanz L1’ und die
transiente Rotorreaktanz L2’ eingeführt:
L1 L2 − L2h
L1 ' =
L2
L2 ' =
L1 L2 − L2h
L
, bzw. L2 ' = L1 ' 2
L1
L1
(5.4)
(5.5)
Mit den zugehörigen Widerständen ergeben sich die transienten Zeitkonstanten:
T1 ' =
L1 ' L1 L2 − L2h
=
R1
R1 L2
L2 ' L1 L2 − L2h L1 ' L2
L R
T2 ' =
=
=
= T1 ' 2 1
R2
R2 L1
R2 L1
L1 R2
(5.6)
(5.7)
8
Die Zeitkonstante T’12, mit welcher der Strom i1β und damit das Drehmoment steigt, entspricht
der Parallelschaltung der transienten Ersatzzweipole für Ständer und Läufer:
⎛1
1 ⎞
T12 ' = ⎜⎜ + ⎟⎟
⎝ T1 ' T2 ' ⎠
−1
(5.8)
Nach Einsetzen der Zeitkonstanten, Rücktransformation und Umstellung der Gleichung (5.3) in
den Zeitbereich ergibt sich für den Ständerstrom i1β die Gleichung (5.9) bei einer sprungförmigen Änderung der Spannung u1β:
t
t
−
−
⎞
⎛
T12 ' ⎟
T12 '
⎜
1− e
+i e
i1β (t ) =
⎟ 1β 0
R2 L1 + L2 R1 ⎜⎝
⎠
∆u1β L2
i1β 0 =
(5.9)
u1β ( 0 ) − p ⋅ ϖ L L1i1α
R1 + R2
L1
L2
(5.10)
Der Ansatz, mit einem Sprung der Spannung in der β- Achse den Drehmomentenanstieg zu berechnen, ist nicht wirklich exakt, da dynamisch eine Spannungsreserve in der α-Achse bestehen
bleibt, wie Gleichung (5.1) zeigt. Es sind also theoretisch noch höhere Stromanstiege möglich,
ohne dass die Steuerbedingungen verletzt werden. In der Praxis setzt man fast immer Trägheitsglieder erster Ordnung ein, um die Sollwerte zu glätten. Diese führen dann zu kleineren Drehmomentdifferentialen als sie nach Gleichung (5.8) zu berechnen wären. Für praktische Belange
kann eine solche Berechnung damit nur ein Näherungslösung darstellen. Exakte Grenzwerte lassen sich nur nach einer Nachbildung der Übertragungsfunktion des Frequenzumrichters berechnen und sind damit vom Umrichtertyp und den eingestellten Parametern abhängig.
6
Zusammenfassung und Ausblick
Mit dem hier vorgestellten Beitrag zum dynamischen Übergangsverhalten der feldorientiert geregelten Asynchronmaschine wurde eine Möglichkeit aufgezeigt, theoretische Grenzwerte, wie
das maximal erzeugbare Drehmoment bzw. den maximal erzeugbaren Drehmomentanstieg, zu
berechnen. Es wurde sich hierbei eines vereinfachten Maschinenmodells bemächtigt. In realen
Maschinen kommen weitere Effekte des dynamischen Verhaltens hinzu. So wurde die Ständersowie die Läuferstromverdrängung vernachlässigt, die jedoch bei Maschinen höherer Baugrößen
bemerkbar in Erscheinung tritt. Es sollte daher das Ziel anschließender Arbeiten sein, unter Berücksichtigung der transienten Stromverdrängung und der Maschinengeometrie die hier gefundenen Beziehungen zu verallgemeinern.
9
Literatur
[1] Geisler, B.: Messungen an Induktionsmotoren mit Drehzahlen bis zu 80.000 min-1. VDI Verlag, Düsseldorf, 2003
[2] Kovacs, K. P.: Betriebsverhalten von Asynchronmaschinen. VEB Verlag Technik,
Berlin, 1957
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Verfasser
M.Sc. Pierre Köhring
M.Sc. Torsten Wichert
Zentrum für angewandte Forschung und Technologie ZAFT e.V. an der
Hochschule für Technik und Wirtschaft Dresden (FH)
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