Chapter 10

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160
Teilchenphysik, HS 2007-SS 2008, Prof. A. Rubbia (ETH Zurich)
Wir können die Zeitentwicklung in zwei Terme aufteilen, und nur die
Zeitentwicklung des H 0 -Operators betrachten. Wir definieren das Feld im
Wechselwirkungs-Bild:
Kapitel 10
φI (xµ ) = eiH0 (t−t0 ) φ(#x, t0 )e−iH0 (t−t0 )
(10.5)
φ(#x, t) = eiH(t−t0 ) φ(#x, t0 )e−iH(t−t0 )
= eiH(t−t0 ) e−iH0 (t−t0 ) φI (#x, t)eiH0 (t−t0 ) e−iH(t−t0 )
= U † (t, t0 )φI (#x, t)U (t, t0 )
(10.6)
Dann gilt
Wechselwirkungen und die
Propagatortheorie
wobei
U (t, t0 ) ≡ eiH0 (t−t0 ) e−iH(t−t0 )
(10.7)
der Zeitentwicklungsoperator ist. Wir bemerken, dass die zeitliche Ableitung des Operators gleich
10.1
Wechselwirkungsmodell
10.1.1
Der Zeitentwicklungsoperator
i
∂
U (t, t0 ) = eiH0 (t−t0 ) (H − H0 )e−iH(t−t0 )
∂t
) −iH(t−t0 )
= eiH0 (t−t0 ) (HW )e−iH0 (t−t0 ) e!iH0 (t−t0 "#
e
$
!
"#
$
Bis jetzt haben wir nur freie Klein-Gordon- oder Dirac-Teilchen betrachtet.
Wie führen wir Wechselwirkungen ein? Im Allgemeinen wird die LagrangeDichte des Systems zwei Terme enthalten: der erste Term beschreibt die freien
Felder und der zweite ihre Wechselwirkungen:
ist, wobei H W (t) der (zeitabhängige) Wechselwirkungsoperator im
Wechselwirkungs-Bild ist.
Wir können diese Differentialgleichung lösen:
i
L ≡ L0 + LW
(10.1)
∂
U (t, t0 ) = HW (t)U (t, t0 ) und U (t0 , t0 ) = 1
∂t
U (t, t0 ) = 1−i
Die Hamiltondichte ist gleich
U (t, t0 ) = 1 − i
&t
(10.3)
= 1−i
&t
t0
159
(10.10)
dt1 HW (t1 )U (t1 , t0 )
dt1 HW (t1 ) 1 − i
&t
&t
t0
&t1
t0
dt1 ...

dt2 HW (t2 )U (t2 , t0 )
dt1 HW (t1 ) + (−i)2
t0
+(−i)n
(10.4)

= 1 + (−i)
Man benutzt die sogenannte Heisenberg-Darstellung der Operatoren, um
die Zeitentwicklung des Feldes auszudrücken:
φ(xµ ) = eiH(t−t0 ) φ(#x, t0 )e−iH(t−t0 )
t0
dt1 HW (t1 )U (t1 , t0 )
t0
wenn die Lagrangedichte des Wechselwirkungsterms unabhängig von der Ableitung des Feldes ist. In diesem Fall spricht man von einer direkten Kopplung
(“direct or nonderivative coupling”).
%t
Wir können diese Integration iterativ berechnen:
wobei H W die Wechselwirkung darstellt.
HW
(10.9)
Die formale Lösung ist gleich
Als Folge wird der Hamilton-Operator als Summe von zwei Termen ausgedrückt:
H = H0 + HW
(10.2)
∂LW
=
(∂ 0 φ) − LW = −LW
∂(∂ 0 φ)
(10.8)
=U (t,t0 )
=HW (t)
&t
t0
t&n−1
dt1
&t1
dt2 HW (t1 )HW (t2 ) + ...
t0
dtn HW (t1 )...HW (tn ) + ...
t0
(10.11)
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Wir bemerken, dass
&t
dt1
t0
&t1
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Die S-Matrix wird definiert als
1
dt2 HW (t1 )HW (t2 ) =
2
t0
&t
dt1
t0
&t
dt2 T [HW (t1 )HW (t2 )]
S ≡ U (−∞, +∞)
&∞
&∞
∞
+
(−i)n
dt1 ...
dtn T [HW (t1 )...HW (tn )]
=1+
n!
n=1
−∞
−∞
&
&
∞
+
(−i)n
=1+
d4 x1 ... d4 xn T [HW (t1 )...HW (tn )]
n!
n=1
(10.12)
t0
wobei T der zeitordnende Dyson-Operator
1
ist. Siehe Abb. 10.1.
(10.14)
wobei HW die Hamiltondichte des Wechselwirkungsterms ist. Die S-Matrix
kann als eine Reihe von Termen dargestellt werden:
S ≡ 1 + S1 + S2 + ...
wobei der n-te Term gleich
%
n %
Sn = (−i)
d4 x1 ... d4 xn T [HW (t1 )...HW (tn )]
n!
(10.15)
(10.16)
ist. Jeder Term kann im Prinzip berechnet werden, und die gesamte Amplitude
wird dann als die Summe dieser Terme gewonnen.
Abbildung 10.1: Transformation der Zeitintegration.
10.2
Wenn wir alle Terme in ähnlicher Weise anordnen, erhalten wir
U (t, t0 ) = 1+
,
&t
∞
+
(−i)n
n=1
Rt
−i
=T e
t0
n!
dt1 ...
t0 dt" HW (t" )
&t
dtn T [HW (t1 )...HW (tn )]
t0
(10.13)
Die Entwicklung wird dann definiert als Taylor-Reihe von zeitgeordneten Termen! In der Praxis werden wir nur die ersten Terme der Reihe berechnen (Siehe
Kap. 10.4).
10.1.2
Übergangsamplitude: die S-Matrix
In der Störungstheorie (Siehe Kap. 3.3) haben wir die Übergangsamplitude
zwischen Zuständen betrachtet. Um die Anordnung zu beschreiben, die wir
in der Praxis treffen, haben wir die Übergangsamplitude zwischen −T /2 →
∞ und T/2→+∞ angenommen. Hier sind wir am Zeitentwicklungsoperator
zwischen –∞ und +∞ interessiert.
1
. Der zeitordnende Dyson-Operator wird definiert als: T [A(t1 )B(t2 )]
A(t1 )B(t2 ), falls t1 ≥ t2
B(t2 )A(t1 ), falls t1 ≤ t2
=
Einfacher Prozess: lokale Wechselwirkung
Die einfachste Form der Wechselwirkung ist lokal, d.h. die Terme, die die Wechselwirkung beschreiben, werden im selben Punkt der Raumzeit angenommen.
Wenn keine Ableitungen der Felder im Wechselwirkungsterm erscheinen, heisst
die Wechselwirkung direkt (“direct or nonderivative”, Siehe Kap. 10.1.1).
Als Beispiel bauen wir ein einfaches Modell mit einem reellen skalaren Feld σ(x)
der Masse M und drei reellen skalaren Feldern φa (x), a=1,2,3 der Massen m.
Die Felder φ1 (x) und φ2 (x) werden kombiniert, um ein komplexwertiges Feld
aufzubauen (Siehe Kap. 7.6):
1
ϕ ≡ √ (φ1 + iφ2 )
2
(10.17)
Dieses Feld beschreibt geladene Teilchen, z.B. π + und π − . Das Feld φ(x)=φ3 (x)
beschreibt ein neutrales Teilchen, z.B. π 0 . In Abwesenheit einer Wechselwirkung wird das freie System durch die folgende Lagrange-Dichte beschrieben
(Siehe Kap. 7.3):
0
+ /1
1
1
1
L0 =
(∂µ σ)2 − M 2 σ 2 +
(∂µ φa ) (∂ µ φa ) − m2 φ2a
2
2
2
2
a
2
1
1 2 2 1
1 2 2 1
2
µ
=
(∂µ σ) − M σ + (∂µ φ) (∂ φ) − m φ + ∂µ ϕ† (∂ µ ϕ) − m2 ϕ† ϕ
2
2
2
2
(10.18)
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10.2.1
163
Neutraler Zerfall
Wir betrachten die Reaktion: σ → π 0 π 0 .
Eine lokale, direkte Kopplung wird eingeführt, wenn man Produkte von Feldern
betrachtet. Man kann z.B. folgende Terme annehmen:
φ4 , σφ3 , σ 2 φ2 , σ 3 φ, σ 4 , φ3 , σφ2 , σ 2 φ, oder σ 3
(10.19)
Diese Terme sind Lorentz-invariant. Die Stärke der Kopplung wird durch eine Kopplungskonstante definiert. Durch eine Dimensionsanalyse sieht man,
dass Terme wie φ4 eine dimensionslose Kopplungskonstante haben, weil Terme wie φ3 eine Kopplungskonstante mit der Dimension einer Energie (Masse)
haben:
gφ4 , g # σφ3 , g ## σ 2 φ2 , ..., λφ3 , λ# σφ2 , λ## σ 2 φ, ...
(10.20)
Um das Problem zu vereinfachen, können wir bestimmte Eigenschaften unter
gewissen Symmetrien betrachten. Natürlich muss die Lagrange-Dichte immer
Lorentz-invariant sein. Man kann dazu z.B. auch die Parität (Raumspiegelung,
Siehe Kap. 4.4) betrachten:
. #0
x = x0
(10.21)
x#i = −x#i i = 1, 2, 3
Wir nehmen an, dass das Feld σ(x) skalar unter der Parität ist, und dass das
Feld φ(x) ein Pseudoskalar (der Partität) ist. Es gilt daher:
P :
σ(t, #x) → σ(t, −#x) = +σ(t, #x)
φ(t, #x) → φ(t, −#x) = −φ(t, #x)
(10.22)
Wir bemerken:
Die freie Lagrange-Dichte ist invariant under der Parität. Wenn das wechselwirkende System diese Eigenschaft erhalten muss, dürfen die Kopplungen
nur gerade Potenzen von φ enthalten. Für das Feld σ gibt es keine spezielle
Bedingung.
Daher hat die Wechselwirkungs-Lagrange-Dichte die folgende allgemeine Form:
LW = −gφ4 − g # σ 2 φ2 − g ## σ 4 − λσφ2 − λ# σ 3
(10.23)
Weil es keine Ableitungen der Felder in den Kopplungen gibt, gilt:
HW = −LW = gφ4 + g # σ 2 φ2 + g ## σ 4 + λσφ2 + λ# σ 3
(10.24)
Die Lagrange-Dichte L0 beschreibt das freie System und die Lagrange-Dichte
LW entspricht der Störung des Systems. Wir nehmen nun an, dass die Felder
quantisiert werden. Wir schreiben (Siehe Kap. 7.5):
&
2
d3 p#
1 1
3
φ(#x, t) ≡
a(#p)e−ip·x + a† (#p)e+ip·x
(2π)3/2 2Ep
(10.25)
&
5
d3#k
1 4 # −ik·x
√
σ(#x, t) ≡
+ c† (#k)e+ik·x
c(k)e
3/2
(2π)
2Ek
164
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mit Kommutationsregeln

[a(#p), a(#p # )] = [a† (#p), a† (#p # )] ≡ 0
 9[a(#p), a† (#p # )]: ≡ δ 3 (#p − p# # )
c(#p), c† (#p # ) ≡ δ 3 (#p − p# # )
[c(#p), c(#p # )] = [c† (#p), c† (#p # )] ≡ 0

[a(#p), c(#p # )] = [a† (#p), c† (#p # )] = [a(#p), c† (#p # )] = [a† (#p), c(#p # )] = 0
(10.26)
Wir müssen nun die Kinematik des Zerfalls einführen:
σ(k µ ) → π 0 (q1µ ) + π 0 (q2µ )
(10.27)
Daher wird der Anfangszustand mit Hilfe des Erzeugungsoperators definiert:
3
| k(
≡ (2π)3 2Ek
c† (#k)
| 0(
(10.28)
!"#$
! "# $
!"#$
!
"#
$
T eilchen im Impulseigenzustand !k
N ormierung erzeugt T eilchen V akuum
In ähnlicher Weise ist der Endzustand:
;
;
| q1 q2 ( ≡ (2π)3 2Eq1 (2π)3 2Eq2 a† (#q1 )a† (#q2 )| 0(
(10.29)
(2π)3 2Eq1
(10.30)
oder
)q1 q2 | ≡
;
;
(2π)3 2Eq2 )0|a(#q1 )a(#q2 )
In erster Ordnung ist die Kopplung durch den Term λσφ2 gegeben. Das entsprechende Element der S-Matrix ist gleich:
&
S1 = (−i))q1 q2 | d4 x1 λσ(x1 )φ2 (x1 )| k(
(10.31)
oder
;
;
3
S1 = (−iλ) (2π)3 2Eq1 (2π)3 2Eq2 (2π)3 2Ek ×
&
)0|a(#q1 )a(#q2 ) d4 x1 σ(x1 )φ2 (x1 )c† (#k)| 0(
(10.32)
Wir betrachten das Matrixelement:
&
)0|a(#q1 )a(#q2 ) d4 xσ(x)φ2 (x)c† (#k)| 0( =
&
&
5
d3#k #
1 4 # # −ik" ·x
"
√
)0|a(#q1 )a(#q2 ) d4 xφ2 (x)
c(k )e
+ c† (#k # )e+ik ·x c† (#k)| 0( =
3/2
(2π)
2Ek"
&
&
3# #
1
d
k
"
√
)0|a(#q1 )a(#q2 ) d4 xφ2 (x)
e−ik ·x c(#k # )c† (#k)| 0(
(10.33)
(2π)3/2 2Ek"
Es gilt mit Hilfe der Kommutationsregeln:
)0|c(#k # )c† (#k)| 0( = )0|δ 3 (#k # − #k)| 0( + )0|c† (#k)c(#k # )| 0(
= )0|δ 3 (#k # − #k)| 0(
(10.34)
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Daher:
&
d4 xσ(x)φ2 (x)c† (#k)| 0(
&
&
d3#k #
1
"
√
= )0|a(#q1 )a(#q2 ) d4 xφ2 (x)
e−ik ·x δ 3 (#k # − #k)| 0(
(2π)3/2 2Ek"
&
1
√
=
)0|a(#
q
)a(#
q
)
d4 xφ2 (x)e−ik·x | 0(
(10.35)
1
2
(2π)3/2 2Ek
)0|a(#q1 )a(#q2 )
In ähnlicher Weise kann das Feld φ eingefügt werden:
da
&
d4 xφ2 (x)e−ik·x | 0(
<&
=2
&
2
d3 p#
1 1
4
−ip·x
†
+ip·x
3
= )0|a(#q1 )a(#q2 ) d x
a(#p)e
+ a (#p)e
e−ik·x | 0(
(2π)3/2 2Ep
&
&
&
d3 p#1
d3 p#2
1
1
3
3
= )0|a(#q1 )a(#q2 ) d4 x
(2π)3/2
(2π)3/2 2Ep1 2Ep2
1 †
21
2
a (#p1 )e+ip1 ·x a† (#p2 )e+ip2 ·x e−ik·x | 0(
(10.36)
)0|a(#q1 )a(#q2 )
166
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Nun kann die S-Matrix berechnet werden:
;
;
3
S1 = (−iλ) (2π)3 2Eq1 (2π)3 2Eq2 (2π)3 2Ek ×
&
1
√
)0|a(#q1 )a(#q2 ) d4 xφ2 (x)e−ik·x | 0(
3/2
(2π)
2Ek
;
;
= (−iλ) (2π)3 2Eq1 (2π)3 2Eq2 ×
&
&
&
d3 p#1
d3 p#2
1
1
3
3
d4 xe−ik·x
e+ip1 ·x e+ip2 ·x ×
(2π)3/2
(2π)3/2 2Ep1 2Ep2
1 3
2
δ (#q1 − p#1 )δ 3 (#q2 − p#2 ) + δ 3 (#q1 − p#2 )δ 3 (#q2 − p#1 )
3
3
= (−iλ) 2Eq1 2Eq2 ×
&
&
&
1
1
3
e+i(p1 +p2 −k)·x ×
d4 x d3 p#1 d3 p#2 3
2Ep1 2Ep2
1 3
2
δ (#q1 − p#1 )δ 3 (#q2 − p#2 ) + δ 3 (#q1 − p#2 )δ 3 (#q2 − p#1 )
3
3
= (−iλ) 2Eq1 2Eq2 ×
&
2
1
1 1 +i(q1 +q2 −k)·x
3
d4 x 3
e
+ e+i(q2 +q1 −k)·x
2Eq1 2Eq2
&
1
2
= (−iλ) d4 x e+i(q1 +q2 −k)·x + e+i(q2 +q1 −k)·x
= (−iλ)2(2π)4 δ 4 (q1 + q2 − k)
(10.40)
Schliesslich haben wir gezeigt:
)0|a(#q1 )a(#q2 )a(#p1 )a(#p2 )| 0( = 0
)0|a(#q1 )a(#q2 )a(#p1 )a† (#p2 )| 0( = 0
)0|a(#q1 )a(#q2 )a† (#p1 )a(#p2 )| 0( = 0
S1 = (iM)(2π)4 δ 4 (q1 + q2 − k) = (−2iλ)(2π)4 δ 4 (q1 + q2 − k)
(10.37)
Wir betrachten den Term:
In der Praxis werden wir die Amplitude so ausdrücken (Siehe Kap. 5.3):
<
=
+
+
4 4
Amplitude ≡ −(iM)(2π) δ
pi −
pf
(10.42)
Anf angszustand
)0|a(#q1 )a(#q2 )a† (#p1 )a† (#p2 )| 0( =
δ 3 (#q1 − p#1 )δ 3 (#q2 − p#2 ) + δ 3 (#q1 − p#2 )δ 3 (#q2 − p#1 )
(10.38)
Daher:
&
)0|a(#q1 )a(#q2 ) d4 xφ2 (x)e−ik·x | 0( =
&
&
&
d3 p#1
d3 p#2
1
1
3
3
e+ip1 ·x e+ip2 ·x ×
= d4 xe−ik·x
3/2
(2π)
(2π)3/2 2Ep1 2Ep2
1 3
2
δ (#q1 − p#1 )δ 3 (#q2 − p#2 ) + δ 3 (#q1 − p#2 )δ 3 (#q2 − p#1 )
(10.39)
(10.41)
Endzustand
d.h. das Matrix-Element des Zerfalls in unserer Theorie ist
iM = 2iλ
(σ → π 0 π 0 )
(10.43)
Graphisch wird dieses Resultat mit Hilfe von sogenannten FeynmanDiagrammen dargestellt. Für diese Reaktion ist das entsprechende Diagramm
in Abb. 10.2 gezeigt. Das Diagramm enthält einen Vertex, der die Wechselwirkung darstellt, und drei äussere Linien, die das zerfallende Teilchen und die
auslaufenden Teilchen (Endzustandsprodukte) darstellen.
Der Vertex wurde mit dem Faktor -iλ bezeichnet. Der Faktor 2 kommt aus der
Symmetrisierung des Endzustands: die zwei Teilchen sind identische Bosonen
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π 0 (q2 )
σ(k)
167
Vertex: −iλ
π 0 (q1 )
Abbildung 10.2: Diagramm des Zerfalls σ → π 0 π 0 in unserer Theorie.
und es gibt zwei Möglichkeiten die Bosonen an den Vertex zu koppeln. Der
Symmetrie-Faktor wird im Diagramm nicht dargestellt.
168
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Wie im Fall des neutralen Zerfalls kann das Matrixelement berechnet werden.
Man findet:
&
S1 = (−i))q1 q2 | d4 x1 2λσ(x1 )ϕ† (x1 )ϕ(x1 )| #k(
&
= (−2iλ))0|b(#q2 )a(#q1 ) d4 x ×
&
&
&
4
5
1
2
1
2
"
d3 p#1 a† (#p1 )e+ip1 ·x
d3 p#2 b† (#p2 )e+ip2 ·x
d3#k # c(#k # )e−ik ·x c† (#k)| 0(
= (−2iλ)(2π)4 δ 4 (q1 + q2 − k)
d.h., die Amplitude ist gleich:
Die Zerfallsrate des σ-Teilchens kann mit den kinematischen Faktoren berechnet werden. Die Formel ist (Siehe Kap. 5.3.2):
|M|2
d3 #q1
d3 #q2
S
(2π)4 δ 4 (k − q1 − q2 )
3
2EA (2π) 2Eq1 (2π)3 2Eq2
|2iλ|2 1 q
1√ 2
=
dΩ wobei q =
M − 4m2 (10.44)
32π 2 2 M 2
2
dΓ(M → 1 + 2) =
wobei wir als statistischen Faktor S=1/2 verwendet haben. Die Integration
über den Raumwinkel liefert:
√
4λ2 1 12 M 2 − 4m2
Γ(σ → π 0 π 0 ) =
4π
22
32π√
M2
2
λ M 2 − 4m2
=
(10.45)
8π
M2
10.2.2
Geladener Zerfall
(σ → π + π − )
(10.50)
und das entsprechende Diagramm ist in Abb. 10.3 gezeigt. In diesem Fall
braucht man keine Symmetrisierung, weil der Endzustand unterschiedliche Teilchen enthält. Der Vertex-Faktor ist daher 2i λ.
Die Zerfallsrate kann leicht berechnet werden, wie im Fall des neutralen Zerfalls.
Man erhält:
(10.51)
Γ(σ → π + π − ) = 2Γ(σ → π 0 π 0 )
π − (q2 )
σ(k)
Vertex: −2iλ
(10.46)
Wir nehmen an, dass die geladenen Teilchen mit dem σ-Teilchen wie die neutralen koppeln. Der Term, der die Kopplung beschreibt, ist daher:
2
1
2
1
LW = −λσ(x) φ21 (x) + φ22 (x) ... = −2λσ(x) ϕ† (x)ϕ(x) ...
(10.47)
Das Feld ϕ wird so quantisiert (Siehe Kap. 7.6):
&

2
d3 p#
1 1

 ϕ(x) ≡
3
a(#p)e−ip·x + b† (#p)e+ip·x

(2π)3/2 2Ep
&
2
d3 p#
1 1 †


3
a (#p)e+ip·x + b(#p)e−ip·x
 ϕ† (x) ≡
(2π)3/2 2Ep
iM = 2iλ
π + (q1 )
Abbildung 10.3: Diagramm des Zerfalls σ → π + π − in unserer Theorie.
Wir betrachten nun den Zerfall in zwei geladene Teilchen:
σ(k µ ) → π + (q1µ ) + π − (q2µ )
(10.49)
(10.48)
10.3
Streuprozesse
Im letzten Abschnitt haben wir gesehen, wie lokale Wechselwirkungen in die
Theorie eingeführt werden. Wir haben als Beispiel den Zerfall eines skalaren
Teilchens berechnet. Eine solche Form entspricht der grundlegenden Art von
Wechselwirkung. In der Praxis will man auch die Wechselwirkung zwischen
zwei Teilchen beschreiben, die sich nicht im selben Punkt befinden.
Wie schon im Kap. 1 erwähnt, wird die Wechselwirkung über eine Distanz im
Raum durch den Austausch eines Feldquants erklärt, das Energie und Impuls
überträgt. Wir bemerken:
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169
170
Teilchenphysik, HS 2007-SS 2008, Prof. A. Rubbia (ETH Zurich)
ausdrücken können.
Der Austausch-Prozess wird durch die Amplitude für die Erzeugung eines Feldquants in einem Punkt der Raumzeit und die Vernichtung des Feldquants in
einem anderen Punkt der Raumzeit charakterisiert. Diese Ausbreitungsamplitude wird als Propagator bezeichnet.
10.3.1
Ausbreitungsamplitude
Wir definieren den normierten Zustand, der ein Teilchen mit bestimmtem Impuls p darstellt:
;
| p( ≡ (2π)3 2Ep a† (#p)| 0(
(10.52)
Wir betrachten die Anwendung des Feldoperators auf das Vakuum:
&
2
d3 p#
1 1
3
φ(xµ )| 0( =
a(#p)e−ip·x + a† (#p)e+ip·x | 0(
(2π)3/2 2Ep


=
&
∝
&
d3 p#
1
3
(2π)3/2 2Ep
3
+ip·x
d p#e
| p#(




a(#p)e−ip·x | 0( + a† (#p)e+ip·x | 0(
!
"#
$ !
"#
$


|p#
→0
→√
3
(2π) 2Ep
(10.53)
Diese Summe ist eine Überlagerung von Zuständen mit verschiedenen Impulsen
p#. Sie sieht ähnlich aus, wie der Ausdruck eines Eigenzustandes des Ortsvektors
| #x( in der Quantenmechanik.
Wir können deshalb sagen, dass der Feldoperator ein Teilchen in einem bestimmten Punkt der Raumzeit erzeugt:
φ(xµ )| 0( ≡Feldzustand eines Teilchens im Raumzeitpunkt xµ
(10.54)
Wir können leicht beweisen, dass gilt
&
&
d3 p#
1
d3 #q
3
φ(x)φ(y) =
×
3/2
(2π)
(2π)3/2 4Ep Eq
1
2
1
2
a(#p)e−ip·x + a† (#p)e+ip·x a(#q )e−ip·y + a† (#q )e+ip·y
1
2
∝ (a(#p)a(#q )...) + (a(#p)a† (#q )...) + (a† (#p)a(#q )...) + (a† (#p)a† (#q )...)
(10.57)
Aber
)0|a(#p)a(#q )| 0(
)0|a(#p)a† (#q )| 0(
)0|a† (#p)a(#q )| 0(
)0|a† (#p)a† (#q )| 0(
=
=
=
=
0
δ 3 (#p − #q )
0
0
(10.58)
und wir erhalten
)0|φ(x)φ(y)| 0( = D(x − y) =
%
d3 p
! 1 −ip·(x−y)
e
(2π)3 2Ep
(Ep > 0)
(10.59)
Dieser Ausdruck ist ganz allgemein. Bis jetzt haben wir nichts bezüglich x µ
oder y µ gesagt. Die Beziehung gibt die Amplitude der Ausbreitung zwischen
x µ und y µ , wobei x µ oder y µ zwei beliebige Raumzeitpunkte sind.
Wir sehen, dass gilt
&
&
d3 p# 1 −ip·(y−x)
d3 p# 1 −i(−p)·(x−y)
D(y − x) =
e
=
e
3
(2π) 2Ep
(2π)3 2Ep
(10.60)
d.h., wie erwartet hat der Feynman-Propagator die folgende Eigenschaft: die
Ausbreitung vorwärts in der Zeit mit 4-Impuls p µ ist gleich der Ausbreitung rückwärts in der Zeit mit Impuls –p µ (Siehe Kap. 8.8).
d.h. der Operator φ(xµ ) erzeugt ein Teilchen im Raumzeitpunkt x µ .
In ähnlicher Weise kann man beweisen, dass gilt


&
d3 p
1
µ
−ip·x
†
+ip·x 

3
)0|φ(x ) =
)0| a(#p)e
+ a (#p)e
! "# $
(2π)3/2 2Ep
→0
&
∝
d3 p#e−ip·x )#p|
(10.55)
Es folgt daraus, dass wir die Amplitude der Ausbreitung eines Teilchens
von y µ nach x µ als
D(x, y) ≡
D(x − y)
! "# $
wegen T ranslationsinvarianz
= )0|φ(x)φ(y)| 0(
(10.56)
10.3.2
Zeitgeordnete Ausbreitung - Der FeynmanPropagator
Wir können zwei Fälle unterscheiden:
1. y0 >x0 : Ausbreitung rückwärts in der Zeit
2. y0 <x0 : Ausbreitung vorwärts in der Zeit
Im Prinzip wollen wir nicht denselben Ausdruck verwenden für die Ausbreitung
rückwärts in der Zeit und die Ausbreitung vorwärts in der Zeit. Wir führen
den Feynman-Propagator ein:
Teilchenphysik, HS 2007-SS 2008, Prof. A. Rubbia (ETH Zurich)
171
172
Teilchenphysik, HS 2007-SS 2008, Prof. A. Rubbia (ETH Zurich)
Die Summe liefert den Propagator:
Feynman schlug vor, dass man die folgende Form für den Propagator verwenden muss, um eine “kovariante” Form zu gewinnen:
DF (x − y) ≡
.
D(x − y) wenn x0 > y 0
D(y − x) wenn x0 < y 0
(10.61)
Man kann den Feynman-Propagator mit Hilfe der Stufenfunktion schreiben:
DF (x − y) = θ(x0 − y 0 )D(x − y) + θ(y 0 − x0 )D(y − x)
= θ(x0 − y 0 ))0|φ(x)φ(y)| 0( + θ(y 0 − x0 ))0|φ(y)φ(x)| 0(
(10.62)
DF (x − y) = θ(x0 − y 0 )D(x − y) + θ(y 0 − x0 )D(y − x)
&
&
d3 p# 1 −ip·(x−y)
d3 p# 1 −ip·(y−x)
= θ(x0 − y 0 )
e
+ θ(y 0 − x0 )
e
3
(2π) 2Ep
(2π)3 2Ep
&
3
2
d p# 1 1 0
=
θ(x − y 0 )e−ip·(x−y) + θ(y 0 − x0 )e−ip·(y−x)
(2π)3 2Ep
&
5
d3 p# 1 4 0
0 0
0
0 0
0
=
θ(x − y 0 )e−ip (x −y ) e+i!p·(!x−!y) + θ(y 0 − x0 )e−ip (y −x ) e+i!p·(!y−!x)
3
(2π) 2Ep
&
5
d3 p# 1 4 0
0 0
0
0 0
0
=
θ(x − y 0 )e−ip (x −y ) e+i!p·(!x−!y) + θ(y 0 − x0 )e−ip (y −x ) e−i!p·(!x−!y)
(2π)3 2Ep
&
5
d3 p# 1 −i!p·(!x−!y) 4 0
0 0
0
0 0
0
e
(10.66)
=
θ(x − y 0 )e−ip (x −y ) + θ(y 0 − x0 )e−ip (y −x )
3
(2π) 2Ep
wobei wir in der letzen Zeile das Vorzeichen des räumlichen Exponenten des
ersten Terms geändert haben, ohne das Resultat zu ändern. Die Stufenfunktion
kann als Integral ausgedrückt werden:
wobei θ(t) die Stufenfunktion ist. Daher kann der Feynman-Propagator auch
mit Hilfe des Dyson-Symbols T ausgedrückt werden:
θ(t) = lim+
#→0
−1
2πi
&+∞
e−izt
dz
z + i*
(10.67)
−∞
DF (x − y) ≡ )0|T [φ(x)φ(y)] | 0(
(10.63)
wobei T der zeitordnende Dyson-Operator ist.
Tatsächlich kann das Integral berechnet werden, wenn wir eine Konturintegration in der komplexen Ebene betrachten. Der Integrand ist analytisch ausser
im Pol –i * in der unteren Halbebene. Es folgt:
1. wenn t>0 , muss die Kontur in der unteren Halbebene geschlossen werden.
Wir bestimmen nun den Feynman-Propagator. Wir fügen die Entwicklungen
der skalaren reellen (quantisierten) Felder ein. Wir betrachten den ersten Term:
θ(x0 − y 0 ))0|φ(x)φ(y)| 0( =
&
2
1 1
d3 p#
3
a(#p)e−ip·x + a† (#p)e+ip·x ×
θ(x0 − y 0 ))0|
(2π)3/2 2Ep
&
5
d3 p# #
1 4
"
"
3
a(#p # )e−ip ·y + a† (#p # )e+ip ·y | 0(
(2π)3/2 2Ep"
&
d3 p# 1 −ip·(x−y)
= θ(x0 − y 0 )
e
(10.64)
(2π)3 2Ep
In ähnlicher Weise ist der zweite Term gleich:
θ(y 0 − x0 ))0|φ(x)φ(y)| 0( = θ(y 0 − x0 )
&
d3 p# 1 −ip·(y−x)
e
(2π)3 2Ep
(10.65)
2. wenn t<0 , muss die Kontur in der oberen Halbebene geschlossen werden.
Damit trägt das Integral über den Halbkreis nichts bei, weil die Exponentialfunktion nach Null geht. Es gilt daher:
θ(t) = lim+
#→0
−1
2πi
.
&+∞
e−izt
1 wenn t > 0
dz
=
0 wenn t < 0
z + i*
(10.68)
−∞
Man kann diese Darstellung der Stufenfunktion im Propagator einfügen und
erhält: (* → 0+ )
0
0
0
0
0
0
θ(x0 − y 0 )e−ip (x −y ) + θ(y 0 − x0 )e−ip (y −x ) =
 +∞

&
&+∞
0
0
0
0
0
0
0
0
−1 
e−iz(x −y ) e−iEp (x −y )
e−iz(y −x ) e−iEp (y −x ) 
=
dz
+
dz

2πi 
z + i*
z + i*
−∞
−∞
 +∞

&
&+∞
0
0
0
0
e−i(z+Ep )(x −y )
−1 
e−i(z+Ep )(y −x ) 
dz
dz
=
+
(10.69)

2πi 
z + i*
z + i*
−∞
−∞
Teilchenphysik, HS 2007-SS 2008, Prof. A. Rubbia (ETH Zurich)
173
Wir nehmen p 0 als Integrationsvariable an:
#
p0 ≡ z + Ep
+
d.h. (*, * → 0 )
0
−iEp (x0 −y 0 )
0
z = p0 − Ep
=⇒
0
(10.70)
=
=
≈
=
2
2
2
2
2
2
2
− (p0 ) = p# + m − (p0 ) = m − ((p0 ) − p# ) = m − p
2
0
0
=
1
i
1
=
i
d3 p#
(2π)4
&
d3 p#
(2π)4
&
(10.76)
Für geladene Teilchen muss ein komplexwertiges Feld verwendet werden. In
diesem Fall ist der Feynman-Propagator so definiert:
DFq ≡ )0|T (ϕ(x)ϕ† (y))| 0(
(10.72)
0
&+∞
0 0
0
e−i!p·(!x−!y) e−ip (x −y )
dp0
2
2
#
(m − p − i* )
(10.77)
In ähnlicher Weise kann man zeigen, dass der Propagator des komplexwertigen (geladenen) Klein-Gordons-Felds gleich dem der reellen (neutralen)
Felder ist:
iDFq (x−y) = iDF (x−y) =
10.3.3
&
d4 p
e−ip·(x−y)
4
2
(2π) (p − m2 + i*)
(10.78)
Pion-Streuung
Wir betrachten die Streuung von vier skalaren Teilchen:
−∞
π + (q1 ) + π − (q2 ) → π + (q3 ) + π − (q4 )
&+∞
0 0
0
e+i!p·(!x−!y) e−ip (x −y )
dp0
2
2
#
(m − p − i* )
−∞
d4 p
e−ip·(x−y)
4
2
(2π) (m − p2 − i*# )
1
(p2 − m2 + i*)
ist.
−∞
&
D̃F (p) ≡
(10.71)
DF (x − y) = θ(x − y )D(x − y) + θ(y − x )D(y − x)
&
2
d3 p# 1 1 0
=
θ(x − y 0 )e−ip·(x−y) + θ(y 0 − x0 )e−ip·(y−x)
(2π)3 2Ep
 +∞

&
&
0 0
0
d3 p# 1 −i!p·(!x−!y) 2Ep 
e−ip (x −y )
0

=
e
dp
(2π)3 2Ep
2πi
(Ep2 − (p0 )2 − i*# )
1
=
i
(10.74)
wobei der Feynman-Propagator im Impulsraum gleich
Zusammenfassend haben wir gefunden:
0
d4 p
e−ip·(x−y)
4
2
(2π) (p − m2 + i*)
Man kann den Ausdruck für den Propagator als ein Fourier-Integral interpretieren:
&
d4 p −ip·(x−y)
e
D̃F (p)
(10.75)
iDF (x − y) =
(2π)4
−∞
2
&
wobei m die Ruhemasse des Teilchens ist. Dieser Ausdruck entspricht dem
Feynman-Propagator eines reellen Klein-Gordon-Felds. Er gilt für
y 0 >x 0 und y 0 <x 0 ! Die physikalische Interpretation ist die folgende: der erste
und zweite Term des Propagators müssen als die Ausbreitung eines Teilchens
und eines Antiteilchens interpretiert werden. Die letzte Gleichung sorgt daher
gleichzeitig für Teilchen und Antiteilchen.
wobei p 0 =p 0 . Wir bemerken, dass das Endergebnis nur einen Term enthält,
der für y 0 >x 0 und y 0 <x 0 gilt, obwohl der Feynman-Propagator als Summe
von Ausbreitungen rückwärts und vorwärts in der Zeit ausgedrückt wurde. Der
Nenner kann vereinfacht werden:
Ep2
Diese Gleichung wird oft so ausgedrückt: (* → 0+ )
−iEp (y 0 −x0 )
0
Teilchenphysik, HS 2007-SS 2008, Prof. A. Rubbia (ETH Zurich)
iDF (x − y) =
θ(x − y )e
+ θ(y − x )e
 +∞

&
&+∞

−ip0 (x0 −y 0 )
−ip0 (y 0 −x0 ) 
−1
0 e
0 e
dp 0
dp 0
+
2πi 
p − Ep + i*
p − Ep + i* 
−∞
−∞
 +∞

&
&+∞
−ip0 (x0 −y 0 )
−ip0 (y 0 −x0 ) 
1 
0 e
0 e
dp
dp
+
2πi 
Ep − p0 − i*
Ep − p0 − i* 
−∞
−∞
 +∞

&
&+∞
−ip0 (x0 −y 0 )
−ip0 (x0 −y 0 ) 
1 
0 e
0 e
dp
+
dp
2πi 
Ep − p0 − i*
Ep + p0 − i* 
−∞
−∞
 +∞

&
0 0
0
−ip0 (x0 −y 0 )
+ (Ep )e−ip (x −y ) 
1 
0 (Ep )e
dp
2πi 
(Ep − p0 − i*)(Ep + p0 − i*) 
−∞

 +∞
&
0 0
0

2Ep 
e−ip (x −y )
0
dp
2πi 
(Ep2 − (p0 )2 − i*# ) 
=
174
(10.73)
(10.79)
In erster Ordnung wird diese Reaktion durch einen 4-Punkt-Vertex dargestellt
(Siehe Abb. 10.4). Sie kann mit Hilfe der 4-Feld-Kopplung ausgedrückt werden.
Bisher haben wir die folgende Kopplung betrachtet: λσφ2 . Nun wollen wir
Teilchenphysik, HS 2007-SS 2008, Prof. A. Rubbia (ETH Zurich)
175
sie mit den drei reellen skalaren Feldern φa (x), a=1,2,3 (Siehe Kap. 10.2)
erweitern und betrachten auch die Selbst-Kopplung in 4-ter Potenz gφ4 :
LW = −g(φ21 + φ22 + φ23 )2 − λσ(φ21 + φ22 + φ23 ) + ...
= −gφ4 − λσφ2 − 4g(ϕ† ϕ)2 − 4gϕ† ϕφ2 − 2λσ(ϕ† ϕ) + ... (10.80)
Die Amplitude des 4-Punkt-Vertexes, der unsere Reaktion in erster Ordnung
beschreibt, kann so berechnet werden:
&
S1 = (−i))q3 q4 | d4 x1 4g(ϕ† (x1 )ϕ(x1 ))2 | q1 q2 (
(10.81)
q2
q4
q1
q3
Abbildung 10.4: Vier-Punkt-Vertex für Pion-Streuung.
Wie früher wird man die Entwicklung des quantisierten Felds einfügen und
einen Ausdruck als Funktion der Erzeugungs- und Vernichtungs-Operatoren
erhalten. Durch gewöhnliche Algebra man findet:
&
S1 = (−i))q3 q4 | d4 x1 4g(ϕ† (x1 )ϕ(x1 ))2 | q1 q2 (
(10.82)
Die Amplitude in erster Ordnung ist daher:
iM1 = 16ig
(π + π − → π + π − )
(10.83)
In zweiter Ordnung kann man den folgenden Wechselwirkungsterm betrachten:
−2λσ(ϕ† ϕ)
Er liefert:
(10.84)
&
&
(−i)2
)q3 q4 | d4 x1 d4 x2
2!
9
:
T 2λσ(x1 )(ϕ† (x1 )ϕ(x1 ))2λσ(x2 )(ϕ† (x2 )ϕ(x2 )) | q1 q2 (
&
&
(−2λi)2
)q3 q4 | d4 x1 d4 x2
=
2
9
:
T σ(x1 )(ϕ† (x1 )ϕ(x1 ))σ(x2 )(ϕ† (x2 )ϕ(x2 )) | q1 q2 (
(10.85)
S2 =
Teilchenphysik, HS 2007-SS 2008, Prof. A. Rubbia (ETH Zurich)
Wir bemerken, dass wenn die Felder ϕ und ϕ† auf den Anfangs- und Endzustand wirken, liefern sie wie früher Exponentialfunktionen der kinetischen
4-Impulse. Tatsächlich findet man mit Algebra in unserem Fall die folgenden
Terme:
&
&
d4 x1 d4 x2 )q3 q4 |ϕ† (x1 )ϕ(x1 )ϕ† (x2 )ϕ(x2 )| q1 q2 ( =
&
&
9
d4 x1 d4 x2 eix1 (q3 −q1 ) eix2 (q4 −q2 ) + eix1 (q3 +q4 ) e−ix2 (q1 +q2 ) +
:
e−ix1 (q1 +q2 ) eix2 (q3 +q4 ) + eix1 (q4 −q2 ) eix2 (q3 −q1 )
&
&
9
:
= 2 d4 x1 d4 x2 eix1 (q3 +q4 ) e−ix2 (q1 +q2 ) + eix1 (q4 −q2 ) e−ix2 (q1 −q3 ) (10.86)
Die resultierende S-Matrix ist schliesslich gleich:
&
&
S2 = (−2λi)2 d4 x1 d4 x2
H ix1 (q3 +q4 ) −ix2 (q1 +q2 )
I
e
e
+ eix1 (q4 −q2 ) e−ix2 (q1 −q3 ) )0|T [σ(x1 )σ(x2 )] | 0(
(10.87)
16g
= (−4gi)4(2π)4 δ 4 (q1 + q2 − q3 − q4 )
= (−16ig)(2π)4 δ 4 (q1 + q2 − q3 − q4 )
176
Wir bemerken eine Art von Fourier-Transformierte des Vakuumerwartungswerts des zeitgeordneten Produkts des Feldes σ. Wir erkennen den FeynmanPropagator: weil das Feld σ nicht auf externe Impulse wirkt, liefert es den
Propagator:
&
1
d4 p
e−ip·(x1 −x2 )
)0|T [σ(x1 )σ(x2 )] | 0( = DF (x1 − x2 ) =
(10.88)
4
2
i
(2π) (p − M 2 + i*)
wobei M die Ruhemasse des σ-Teilchens ist. Schliesslich erhalten wir die folgende S-Matrix:
&
&
&
1
d4 p
e−ip·(x1 −x2 )
S2 = (−2λi)2
d4 x1 d4 x2
i
(2π)4 (p2 − M 2 + i*)
H ix1 (q3 +q4 ) −ix2 (q1 +q2 )
I
e
e
+ eix1 (q4 −q2 ) e−ix2 (q1 −q3 )
&
&
&
1
d4 p
= (−2λi)2
d4 x1 d4 x2
i
(2π)4
. ix1 (q3 +q4 −p) −ix2 (q1 +q2 −p)
J
e
e
eix1 (q4 −q2 −p) e−ix2 (q1 −q3 −p)
+
(p2 − M 2 + i*)
(p2 − M 2 + i*)
&
21
4
4
= (−2λi) (2π)
dp
i
. 4
J
δ (q3 + q4 − p)δ 4 (q1 + q2 − p) δ 4 (q4 − q2 − p)δ 4 (q1 − q3 − p)
+
(p2 − M 2 + i*)
(p2 − M 2 + i*)
= (−2λi)2 (2π)4 δ 4 (q3 + q4 − q1 − q2 )
.
J
1
1
1
+
(10.89)
2
2
2
2
i ((q1 + q2 ) − M + i*) ((q1 − q3 ) − M + i*)
Teilchenphysik, HS 2007-SS 2008, Prof. A. Rubbia (ETH Zurich)
177
Die entsprechende Amplitude kann daher so geschrieben werden:
178
Teilchenphysik, HS 2007-SS 2008, Prof. A. Rubbia (ETH Zurich)
ist, wobei e die Ladung des Teilchens ist. Dann gilt
K
L
iM2 = (−2λi)2 iD̃F (q1 + q2 ) + iD̃F (q1 − q3 )
HW = (eΨ̄γ µ Ψ)Aµ
(10.90)
Die ersten Terme der S-Matrix-Entwicklung sind gleich
Die physikalische Bedeutung ist in Abb. 10.5 gezeigt.
S1 =
1. Der erste Term stellt die Vernichtung der Teilchen in ein σ-Teilchen, die
Ausbreitung des σ-Teilchens und den Zerfall des σ-Teilchen in ein ππPaar dar.
2. Der zweite Term stellt die direkte Streuung des ππ-Paars durch den Austausch eines σ-Teilchens dar.
q2
q4
q2
q4
Die Amplitude der Streuung wird durch die Summe der zwei Amplituden in
erster und zweiter Ordnung gegeben:
(10.91)
Wir betonen, dass wir die Amplituden addieren und nicht die Wahrscheinlichkeiten der Prozesse. Dies kann Interferenz-Phänomene zwischen Diagrammen
erzeugen und wird später diskutiert.
10.4
Elementare Prozesse in der Quantenelektrodynamik
Aus Kap. 9.5.2 wissen wir, dass die Lagrangedichte der elektromagnetischen
Wechselwirkung in Abwesenheit von Quellen gleich
LW = −(J µ + eΨ̄γ µ Ψ)Aµ = −(eΨ̄γ µ Ψ)Aµ
wenn J µ = 0
%
d4 x1 Ψ̄(x1 )γ µ Ψ(x1 )Aµ (x1 )
(10.94)
:
9
d4 x1 d4 x2 T Ψ̄(x1 )γ µ Ψ(x1 )Aµ (x1 )Ψ̄(x2 )γ ν Ψ(x2 )Aν (x2 )
(10.95)
usw... Die S-Matrix wird deshalb als eine Reihe von Termen geschrieben, wobei
der Term n-ter Ordnung proportional zur n-ten Potenz der Ladung ist:
S2 =
(−ie)2
2
%%
(10.96)
Die Beziehung zwischen elektrischer Ladung und der Feinstruktur- Konstante
α ist die folgende:
1
e2
(10.97)
α≡
≈
4π*0 !c
137, 036
q1
q3 q1
q3
Abbildung 10.5: Die Diagramme stellen den Mechanismus des Austausches eines σ-Teilchens in der ππ-Streuung dar (links) Vernichtungs-Diagramm (rechts)
Austausch-Diagramm.
iM = iM1 + iM2
und
(−ie)
1
S ≡ 1 + (−ie)(...) + (−ie)2 (...)
q1 − q3
q1 + q2
(10.93)
(10.92)
In natürlichen Einheiten (*0 = ! = c = 1) ist dann die elektrische Ladung
gleich
√
(10.98)
e = 4πα
Diese Zahl ist ziemlich klein, deshalb erwarten wir, dass die Entwicklung der
S-Matrix als Funktion der elektrischen Ladung schnell konvergieren wird und
die Näherung mit nur einigen Termen wird im Allgemeinen eine gute Näherung
sein.
Im Allgemeinen sind wir an folgender Art von Vorgängen interessiert:
A
+ C + ...$ → 1! + 2 +
"#3 + ...$
! + B "#
m T eilchen
(10.99)
n T eilchen
wobei die Anzahl m der Teilchen des Anfangszustands verschieden von der
Anzahl n der Teilchen des Endszustands sein kann.
Jedes Teilchen wird durch seinen 4-Impuls und seine internen Freiheitsgrade
(d.h. Spin) charakterisiert:
. µ µ µ
pA , pB , pC , ..., pµ1 , pµ2 , pµ3 , ...
Spin sA , sB , ..., s1 , s2 , ...
Vom Standpunkt der QFT werden wir die folgende Amplitude berechnen:
)pµ1 s1 , pµ2 s2 , pµ3 s3 , ...| S | pµA sA , pµB sB , pµC sC , ...(
"#
$ !
!
"#
$
Endzustand
Anf angszustand
(10.100)
Teilchenphysik, HS 2007-SS 2008, Prof. A. Rubbia (ETH Zurich)
179
wobei die Teilchen den folgenden Zuständen entsprechen:
Spin 0 Boson:
| pµA ( =
Spin 1/2 Fermion (Dirac):
|
Antifermion:
pµA sA (
3
(2π)3 2EA a† (#pA )| 0(
3
= (2π)3 2EA a†s (#pA )| 0(
3
| pµA sA ( = (2π)3 2EA b†s (#pA )| 0(
180
Teilchenphysik, HS 2007-SS 2008, Prof. A. Rubbia (ETH Zurich)
Wir betrachten den Term, der den a-Operator enthält (wir sind an Elektronen
interessiert) und erhalten:
&
(10.101)
&
(10.102)
&
(10.103)
&
d.h., ein allgemeiner Zustand mit vielen Teilchen (wie z.B. ein Anfangszustand
mit spinlosen Teilchen) wird so erzeugt:
3
| pµA , pµB , pµC , ...( = (2π)3 2EA a† (#pA ) ×
3
3
(2π)3 2EB a† (#pB ) (2π)3 2EC a† (#pC )| 0(
10.4.1
(10.104)
(10.105)
(10.106)
(10.107)
wobei ψ und Aµ Feldoperatoren sind. Wir betrachten den Dirac-Feldoperator
und finden, dass gilt:
Ψ|
3
=
2
d3 p#
1 +1
3
as (#p)u(s) (#p)e−ip·x + b†s (#p)v (s) (#p)e+ip·x ×
(2π)3/2 2Ep s=1,2
(2π)3 2E1 a†s1 (#p1 )| 0(
d p#
2
E1 + 1 (s)
u (#p)e−ip·x δ 3 (#p − p#1 )δs,s1 | 0( =
Ep s=1,2
Aµ | pµ , *(
In erster Orndung
müssen wir den ersten Term S1 der S-Matrix betrachten:
%
S1 = (−ie) d4 xΨ̄(x)γ µ Ψ(x)Aµ (x) d.h., wir sind an der folgenden Amplitude
interessiert:
&
M
(10.109)
=⇒
)0|e+ip2 ·x ū(s2 ) (#p2 )
(10.110)
*µ (#p)e−ip·x | 0(
(10.111)
und auch
Der Endzustand:
pµ1 s1 (
3
2H
I
E1 + 1 (s)
u (#p)e−ip·x as (#p), a†s1 (#p1 ) | 0( =
Ep s=1,2
In ähnlicher Weise kann man zeigen, dass der adjungierte Feldoperator den
folgenden Term liefert:
Der Anfangszustand ist:
%
(−ie) d4 x)pµ2 s2 |Ψ̄(x)γ µ Ψ(x)Aµ (x)| pµ1 s1 , pµ *µ (
M
d3 p#
2
E1 + 1 (s)
u (#p)e−ip·x as (#p)a†s1 (#p1 )| 0( =
Ep s=1,2
)pµ2 , s2 |Ψ̄
Beispiel: Photon-Absorption an einem Elektron e− γ → e−
| e− ( = | pµ2 s2 (
M
d3 p#
2
E1 + 1
as (#p)u(s) (#p)e−ip·x a†s1 (#p1 )| 0( =
Ep s=1,2
= e−ip1 ·x u(s1 ) (#p1 )| 0(
Diagramme der niedrigsten Ordnung
| e− γ( = | pµ1 s1 , pµ *µ (
M
d3 p#
(10.108)
=⇒
Es folgt, dass die gesamte Amplitude zu
&
(−ie) d4 x)0|e−i(p+p1 −p2 )·x ū(s2 ) (#p2 )u(s1 ) (#p1 )*µ (#p)| 0(
(10.112)
proportional ist. Die Integration liefert einen Term der Form:
(−ie)
δ 4 (p + p1 − p2 )
!
"#
$
Energie−Impuls−Erhaltung


 (s2 )

µ (s )
ū (#p2 )γ u 1 (#p1 )*µ (#p)
!
"#
$
(10.113)
Amplitude des P rozesses
Die Dirac-Funktion entspricht der Bedingung der Energie-Impuls-Erhaltung.
Der letzte Term gibt die Form der Amplitude für den Prozess.
Die Amplitude des Prozesses kann als ein Diagramm dargestellt werden. Siehe Abb. 10.6. In der Abbildung werden das einfallende und das auslaufende
Elektron sowie das Photon als externe “Beine” gezeichnet. Die kinematischen
(4-Impulse) und die internen Grössen (Spin, usw.) werden neben den Beinen
angezeigt.
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e− (p2 , s2 )
181
182
Teilchenphysik, HS 2007-SS 2008, Prof. A. Rubbia (ETH Zurich)
5. Der Vertex-Faktor ist gleich
γ
p, *µ
(10.114)
(−ie)γ µ
Im Fall eines Positrons werden wir die folgenden Regeln verwenden:
e− (p1 , s1 )
Abbildung 10.6: Diagramm der Photon-Absorption an einem Elektron.
10.4.2
1. Die Kontraktion des adjungierten Dirac-Spinorfeldes mit einem Positronzustand liefert ein einfallendes Positron der Form:
Feldkontraktion
Im Allgemeinen können wir Regeln angeben, die die Berechnung der Amplituden von beliebigen Prozessen vereinfachen. Die folgenden Regeln müssen
verwendet werden:
(Beachte die Richtung des Pfeils!)
1. Wir betrachten die Kontraktion der Felder, wie z.B.
2. Die Kontraktion des Dirac-Spinorfeldes mit einem Positronzustand liefert
ein auslaufendes Positron der Form:
Man spricht von der Kontraktion der äusseren Beine.
2. Die Kontraktion des elektromagnetischen Feldes mit einem Photonzustand liefert den folgenden Faktor in der Amplitude:
(Beachte die Richtung des Pfeils!)
Beispiel: Photon-Absorption an einem Positron e+ γ → e+
Das Diagramm ist das folgende:
e+ (p2 , s2 )
3. Die Kontraktion des Dirac-Spinorfeldes mit einem Elektronzustand liefert
ein einfallendes Elektron der Form:
γ
p, *µ
e+ (p1 , s1 )
4. Die Kontraktion des adjungierten Dirac-Spinorfeldes mit einem Elektronzustand liefert ein auslaufendes Elektron der Form:
Die entsprechende Amplitude ist gleich




(−ie)δ 4 (p+p1 −p2 ) v̄ (s1 ) (#p1 )γ µ v (s2 ) (#p2 )*µ (#p)
!
"#
$
Amplitude des P rozesses
(10.115)
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10.4.3
183
Diagramme der nächsten Ordnung; das WickTheorem
Wir müssen den zweiten Term der S-Matrix betrachten:
& &
9
:
(−ie)2
S2 =
d4 x1 d4 x2 T Ψ̄(x1 )γ µ Ψ(x1 )Aµ (x1 )Ψ̄(x2 )γ ν Ψ(x2 )Aν (x2 )
2
(10.116)
der auf den Anfangs- und Endzustand wirkt, d.h., )...|S2 | ...(.
Man verwendet das Wick-Theorem, um das zeitgeordnete Produkt zu berechnen.
Skalares Feld (n=2): Wir beginnen mit dem Fall, bei dem wir ein zeitgeordnetes Produkt von zwei skalaren Feldern haben. In diesem Fall sagt das
Wick-Theorem voraus, dass das zeitgeordnete Produkt gleich einem “normalgeordneten” Produkt ist:
4
5
T (φ(x)φ(y)) = N φ(x)φ(y) + φ(x)φ(y)
(10.117)
!
"#
$
!
"#
$
zeitgeordnet
normalgeordnet
wobei
1. normalgeordnet heisst, dass alle Vernichtungs-Operatoren rechts von den
Erzeugungs-Operatoren sind. Z.B.:
1
2
N a(#q1 )a† (#q2 )a(#q3 ) = a† (#q2 )a(#q1 )a(#q3 )
(10.118)
184
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Wir haben z.B. für n=4 (wir definieren φa = φ(x a ))
T (φ1 φ2 φ3 φ4 ) = N (φ1 φ2 φ3 φ4 +
φ1 φ2 φ3 φ4 + φ1 φ3 φ2 φ4 + φ1 φ4 φ2 φ3 + φ2 φ3 φ1 φ4 +
φ2 φ4 φ1 φ3 + φ3 φ4 φ1 φ2 + φ1 φ2 φ3 φ4 + φ1 φ3 φ2 φ4 + φ1 φ4 φ2 φ3 )
(10.122)
Wenn wir den Vakuumerwartungswert eines zeitgeordneten Produkts betrachten, verschwinden alle normalgeordneten Terme, die nicht völlständig kontrahiert sind. Nämlich:
)0|T (φ1 φ2 φ3 φ4 )| 0( = )0|φ1 φ2 φ3 φ4 | 0( + )0|φ1 φ3 φ2 φ4 | 0( + )0|φ1 φ4 φ2 φ3 | 0(
(10.123)
Die graphische Darstellung dieses Resultats ist in Abb. 10.7 gezeigt. Wir bemerken:
1. zwei Teilchen werden in zwei Punkten der Raumzeit erzeugt;
2. jedes Teilchen breitet sich aus. Diese Ausbreitung kann in drei verschiedenen Arten geschehen, die allen Möglichkeiten entsprechen, mit welchen
die Punkte paarweise verbunden werden können;
3. die Teilchen werden vernichtet.
Wir bemerken, dass der Vakuumerwartungswert (v.e.w) eines beliebigen
Normalprodukts verschwindet:
)0|N (beliebig)| 0( = 0
(10.119)
2. der Vakuumerwartungswert der Kontraktion von zwei Feldern ist gleich
dem Feynman-Propagator:
)0|φ(x)φ(y)| 0( = DF (x − y)
(10.120)
Skalares Feld (n beliebig): Das Theorem kann zu einer beliebigen Anzahl
von Produkten in verschiedenen Punkten der Raumzeit erweitert werden. Es
gilt:
T (φ(x1 )...φ(xn )) = N (φ(x1 )...φ(xn ) + alle moeglichen Kontraktionen)
!
"#
$ !
"#
$
zeitgeordnet
normalgeordnet
(10.121)
Abbildung 10.7: Graphische Darstellung (Feynman-Diagramm) des zeitgeordneten Produkts.
Die gesamte Amplitude des Prozesses <0|T(φ1 φ2 φ3 φ4 )|0> ist daher gleich der
Summe der drei Diagramme.
Dirac-Feld: Das Theorem gilt auch für Dirac-Felder. Es gilt:
4
5
1
2
T Ψ(x)Ψ̄(y) = N Ψ(x)Ψ̄(y) + Ψ(x)Ψ̄(y)
!
"#
$ !
"#
$
zeitgeordnet
normalgeordnet
(10.124)
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185
wobei
)0|Ψ(x)Ψ̄(y)| 0( ≡ SF (x − y)
(10.125)
Feynman − Elektron − Propagator
)0|Ψ(x)Ψ(y)| 0( = )0|Ψ̄(x)Ψ̄(y)| 0( = 0
(10.126)
Der Feynman-Propagator eines Dirac-Felds wird in Kap. 10.4.6 diskutiert.
186
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Diese Kontraktion entspricht dem Diagramm, das in Abb. 10.8 gezeigt ist. Die
entsprechende Amplitude ist gleich (wir vernachlässigen die Spins):
(−ie)2 (ū(p2 )γµ u(p1 ))
!
"#
$
Strom des Elektrons
/
0
−ig µν
2
q
! "# $
P hoton−P ropagator
δ 4 (p1
!
(ū(k2 )γν u(k1 )) ×
!
"#
$
Strom des M yons
− p2 − q)δ 4 (k1 + q − k2 )
"#
$
Energie−Erhaltung an jedem V ertex
10.4.4
Elektron-Myon-Streuung
e− (p2 , s2 )
Das Myon ist ein “schweres Elektron”, d.h. es besitzt dieselben Eigenschaften wie das Elektron, ausser der Ruhemasse: me ≈ 0,511 MeV und mµ ≈
105,659 MeV ≈ 200 × me . Der Hauptzerfallskanal ist µ → eνν (τ = 2,2 µs und
cτ = 660 m.
µ− (k2 , t2 )
(10.130)
γ(q µ )
Wir betrachten den elastischen Streuprozess:
e− (p1 , s1 ) + µ− (k1 , t1 ) → e− (p2 , s2 ) + µ− (k2 , t2 )
e− (p1 , s1 )
µ− (k1 , t1 )
Abbildung 10.8: Diagramm der Elektron-Myon-Streuung.
(10.127)
d.h., wir wollen die folgende Amplitude berechnen:
2
1
)p2 , s2 ; k2 , t2 |T Ψ̄γ µ ΨAµ |x1 Ψ̄γ ν ΨAν |x2 | p1 , s1 ; k1 , t1 (
(10.128)
Als Folge des Wick-Theorems gilt
)|T (...)| ( = )|N (... + alle moeglichen Kontraktionen)| (
10.4.5
Elementare elektromagnetische Prozesse
Wir können verschiedene elementare Prozesse betrachten:
(10.129)
d.h. wir müssen jedes mögliche Diagramm betrachten2 .
Z.B.,
1. Elastische Elektron-Myon-Streuung (e− µ− → e− µ− )
µ−
e−
γ
wobei die Kontraktion von zwei elektromagnetischen Potentialen dem PhotonPropagator entspricht:
e−
µ−
Man spricht von Photon-Austausch-Diagramm.
2
Man kann beweisen, dass nur ganz verbundene Diagramme (d.h. bei denen die
äusseren Beine verbunden sind) beitragen.
2. Elastische Elektron-Elektron-Streuung e− e− → e− e−
(Möller-Streuung)
Das Wick-Theorem besagt, dass man alle Diagramme betrachten muss.
Die gesamte Amplitude ist gleich der Summe der Amplituden aller Diagramme.
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187
Im Fall der Möller-Streuung betrachten wir zwei Diagramme, weil die
auslaufenden Teilchen ununterscheidbar sind und deshalb nicht entschieden werden kann, von welchem Vertex die auslaufenden Teilchen
stammen (Siehe Abb. 10.9).
Wie müssen wir die Diagramme addieren? Wir müssen nun etwas über
das Vorzeichen bemerken. Die Q.F.T. sagt voraus, dass sich unter Vertauschung von ununterscheidbaren Fermionen das Vorzeichen der Amplitude
ändern muss (d.h. Antikommutation).
188
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e− (3)
e+ (4)
e− (1)
e+ (2)
e+ (2)
Abbildung 10.10: Diagramme der Bhabha-Streuung.
Als Folge haben die Amplituden der beiden Diagramme ein entgegengesetztes Vorzeichen, d.h. die gesamte Amplitude ist gleich
M = M1 − M2
γ
γ
e− (1)
e− (3)
e+ (4)
µ− (3)
µ+ (4)
(10.131)
γ
wobei M1 die Amplitude des ersten Diagramms und M2 die des zweiten
ist.
Das entgegengesetzte Vorzeichen berücksichtigt den Austausch von ununterscheidbaren Fermionen.
3. Elastische Elektron-Positron-Streuung e− e+ → e− e+
(Bhabha-Streuung)
In diesem Fall müssen wir zwei Diagramme betrachten: den PhotonAustausch- und den Vernichtungs- Vorgang (Siehe Abb. 10.10).
Wie müssen wir die Diagramme addieren? Wie im Fall der MöllerStreuung gibt es ein negatives Vorzeichen zwischen den Diagrammen.
Das entgegengesetzte Vorzeichen berücksichtigt den Austausch von einem
einfallenden Elektron und einem auslaufenden Positron.
e− (1)
e+ (2)
Abbildung 10.11: Diagramm der inelastischen Myonpaar-Erzeugung.
10.4.6
Boson- und Fermion-Propagator
Wir haben bis jetzt nur den Klein-Gordon-Teilchen-Propagator und den
Photon-Propagator angetroffen. Man kann auch die Propagatoren von DiracFermionen betrachten.
Im Fall der Spin-0 Bosonen haben wir gesehen:
4. Inelastische Myonpaar-Erzeugung
Siehe Abb. 10.11.
e− (3)
e− (4)
e− (3)
γ
e− (1)
e− (4)
γ
e− (2)
e− (1)
Abbildung 10.9: Diagramme der Möller-Streuung.
e− (2)
In ähnlicher Weise kann man den Feynman-Propagtor eines Dirac-Teilchens
definieren. In diesem Fall müssen wir die Antikommutationsregeln verwenden,
und schliesslich findet man (Beachte das negative Vorzeichen!):
SF (x − y) = θ(x0 − y 0 ))0|Ψ(x)Ψ̄(y)| 0( − θ(y 0 − x0 ))0|Ψ̄(y)Ψ(x)| 0(
1
2
(10.132)
≡ )0|T Ψ(x)Ψ̄(y) | 0(
Teilchenphysik, HS 2007-SS 2008, Prof. A. Rubbia (ETH Zurich)
189
190
Teilchenphysik, HS 2007-SS 2008, Prof. A. Rubbia (ETH Zurich)
Es gilt für den Feynman-Propagator des Dirac-Teilchens:
SF (x − y) = )0|T
&
1
=
i
&
1
=
i
wobei
iS̃F (p) =
1
2
Ψ(x)Ψ̄(y) | 0(
d4 p −ip(x−y)
.p + m
e
(2π)4
(p2 − m2 + i*)
d4 p −ip(x−y)
e
S̃F (p)
(2π)4
N
i ui ūi
i(.p + m)
=
(p2 − m2 + i*)
(p2 − m2 + i*)
(10.133)
Das kovariante Diagramm ist tatsächlich die Summe von zwei unabhängigen Termen. Jeder Term für sich allein ist nicht kovariant, aber die Summe ist in kovarianter Form ausgedrückt.
Wenn x 0 <y 0 , sprechen wir von der Ausbreitung eines Elektrons, das sich
mit dem einfallenden Positron vernichten wird. Wenn x 0 >y 0 , können wir
das Diagramm wie die Ausbreitung eines Positrons darstellen, wobei das
Positron sich mit dem einfallenden Elektron vernichtet.
Wie schon erwähnt, hat Feynman diese Eigenschaft so interpretiert: Materie und Antimaterie sind nötig, um eine kovariante Theorie zu bekommen.
(10.134)
Der Propagator des Dirac-Teilchens ist daher eine 4x4-Matrix. Er wird mit
einer Linie und einem Pfeil bezeichnet:
2. Paar-Erzeugung γγ →e+ e−
1. Paar-Vernichtung e+ e− → γγ
Die entsprechenden Diagrammen sind in Abb. 10.12 gezeigt. In diesen
Diagrammen bemerken wir die Anwesenheit eines Elektron-Propagators.
In welcher Richtung bewegt sich das Elektron?
Der Propagator entspricht dem Feynman-Propagator des Elektrons. In
einer kovarianten Theorie können wir die Ausbreitung eines Elektrons
vorwärts in der Zeit nicht von der Ausbreitung eines Positrons rückwärts
in der Zeit unterscheiden.
γ(3)
γ(4)
γ(3)
γ(4)
e− (1)
e+ (2)
e− (1)
e+ (2)
Abbildung 10.12: Diagramme der Paar-Vernichtung.
Die physikalische Interpretation des Diagramms ist dann die folgende:
e− (3)
e+ (4)
e− (3)
e+ (4)
γ(1)
γ(2)
γ(1)
γ(2)
3. Compton-Streuung e− γ →e− γ
γ(3)
e− (4)
e− (4)
γ(3)
e− (1)
γ(2)
γ(2)
e− (1)
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