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Prof. Dr. Reinhard Höpfner
Frederik Klement
Grundlagen der Stochastik
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Aufgabe 1:
Wir betrachten eine Folge von zehn Münzwürfen, wobei jeder Wurf Zahl oder Kopf ergeben kann.
Wir modellieren daher dieses Experiment mithilfe des Grundraums Ω := {Z, K}10 . Hierbei steht
An := {x ∈ Ω : xn = Z} für das Ereignis, dass wir beim n-ten Wurf Zahl erhalten.
Drücken Sie mit Hilfe der Ereignisse A1 , ..., A10 und den Mengenoperatoren ∩, ∪ sowie dem
Komplementäroperator { (B { := Ω\B) folgende Ereignisse aus:
(a) Der erste Wurf und der letzte Wurf ist Zahl.
(b) Der zweite Wurf oder(logisches ”oder”) der dritte Wurf ist Kopf.
(c) Die ersten 5 Würfe ergeben die Folge: ZZKZK.
(d) Die ersten 5 Würfe ergeben nicht die Folge: ZKZZK
(e) Alle Würfe sind Kopf.
(f) Es existiert ein Wurf mit dem Ergebnis Zahl.
(g) Beim 7-ten Wurf wird zum ersten Mal Zahl geworfen.
(h) Es wird mindestens 5 Mal Zahl geworfen.
(i) Alle geraden Würfe sind Kopf oder alle ungeraden Würfe sind Zahl.
Aufgabe 2:
Sei I eine beliebige Indexmenge und Ω ein Grundraum. Für jedes i ∈ I sei Ai eine Teilmenge
von Ω. Beweisen Sie die De Morganschen Regeln:
\
i∈I
{
Ai
=
[
[
A{i ,
i∈I
i∈I
1
{
Ai
=
\
i∈I
A{i .
Prof. Dr. Reinhard Höpfner
Frederik Klement
Aufgabe 3:
In einem undurchsichtigen Beutel befinden sich N gleichartige Kugeln, welche mit den Zahlen 1
bis N beschriften sind. In einem Zufallsexperiment wollen wir nacheinander k ≥ N Kugeln aus
dem Beutel ziehen, wobei wir zwischen vier Varianten unterscheiden.
Ziehen mit Zurücklegen mit Beachtung der Reihenfolge (MZMR):
Nach jeder Ziehung legen wir die gezogene Kugel wieder in den Beutel zurück und merken
uns die Reihenfolge, in der wir die Kugeln gezogen haben.
Ziehen mit Zurücklegen ohne Beachtung der Reihenfolge (MZOR):
Wir legen die gezogene Kugel in den Beutel, merken uns aber nicht die Reihenfolge, mit
der wir die Kugeln gezogen haben.
Ziehen ohne Zurücklegen mit Beachtung der Reihenfolge (OZMR):
Nach jeder Ziehung legen wir die gezogene Kugel beiseite, merken uns aber die Reihenfolge
der Kugeln.
Ziehen ohne Zurücklegen ohne Beachtung der Reihenfolge (OZOR):
Wir legen die gezogene Kugel zur Seite und merken uns auch nicht die Reihenfolge der
Kugel.
Wir wollen nur diese Experimente modellieren. Sei [M ] := {1, 2, ..., M } für M ∈ N, wir betrachten die folgende Grundräume:
Ω1 :=[N ]k ,
Ω2 := (x1 , x2 , ..., xk ) ∈ [N ]k | xi 6= xj für i 6= j ,
N
X
F (i) = k , Ω4 := F : [k] → [N ] | F ist injektiv ,
Ω3 := F : [N ] → {0, 1} i=1
Ω5 := F : [N ] → N0
N
X
F
(i)
=
k
,
Ω6 := A ⊆ [N ] |A| = k .
i=1
1. Ordnen Sie die Grundräume den Experimenten zu. Wie lässt sich ω ∈ Ωi interpretieren ?
2. Um die Experimente MZMR und OZMR weiter zu modellieren, wollen wir die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte ω ∈ Ωi definieren. Hierbei soll jede Realisierung gleich wahrscheinlich sein. Bestimmen Sie die Anzahl der in Ω1 und Ω2 enthalten Elemente. Welchen Wert
hat also P (ω) für ω ∈ Ω1 bzw. ω ∈ Ω2 .
3. Offensichtlich entspricht jede Realisierung von MZMR (bzw. OZMR) einer Realisierung von
MZOR (bzw. OZOR), indem wir die Reihenfolge der Kugeln vergessen. Eine Möglichkeit
dies zu modellieren, ist durch die folgende Abbildung gegeben:
H : Ω2 → Ω6 ; (x1 , x2 , ..., x6 ) 7−→ {x1 , x2 , ..., x6 }.
Wir definieren ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf Ω6 durch:
Q(ω) = P (H −1 (ω))
für alle ω ∈ Ω6
wobei es sich bei P um das Wahrscheinlichkeitsmaß auf Ω2 aus vorigen Aufgabenteil handelt. Welchen Wert besitzt Q(ω) ?
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