2. Potentialströmungen

2. Potentialströmungen
Bei der Umströmung schlanker Körper ist Reibung oft nur in einer dünnen
Schicht um den Körper signifikant groß.
Erinnerung:
Strömung um ein zweidimensionales
Tragflügelprofil:
Fluidmechanik II, N. A. Adams
1
2. Potentialströmungen
Aufteilung des Gesamtwiderstands einiger Flugzeugtypen:
• Reiseflug (%)
• Start und Landung (%)
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
auftriebsabhängiger
Widerstand
Reibungswiderstand,
Druckwiderstand,
Wellenwiderstand
A300,
Ma=0.8
Concorde
Ma=2.2
B‐70,
Ma=2.0
F‐14,
Ma=2.0
100
90
80
70
auftriebsabhängiger
Widerstand
60
50
Reibungswiderstand,
Druckwiderstand,
Wellenwiderstand
40
30
20
10
0
A300
Concorde
Fluidmechanik II, N. A. Adams
B‐70
F‐14
2
2. Potentialströmungen
Nach Ludwig Prandtl (1875-1953) kann man eine Körperumströmung
(anliegend) aufteilen in:
• Einen rotationsbehafteten Anteil in unmittelbarer Körpernähe: Reibung
verzögert oder beschleunigt das Fluid, bis auf der Körperoberfläche die
Geschwindigkeit des Körpers erreicht wird. Fluidelemente haften bei
reibungsbehafteter Strömung an der Wand, d.h. an der Wand ist die
Fluidgeschwindigkeit gleich der Wandgeschwindigkeit. Die Schicht, über
welche die Geschwindigkeitsdifferenz auf- oder abgebaut wird, nennt man
Grenzschicht.
• Einen rotationsfreien Anteil außerhalb der Grenzschicht
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2. Potentialströmungen – 2.1 Geschwindigkeitspotential
Die Druckverteilung wird der (anliegenden) Grenzschicht im Wesentlichen
von der rotationsfreien Außenströmung aufgeprägt. Die Resultierende der
Druckkräfte (Auftrieb, Druckwiderstand) kann daher mit sehr guter
Genauigkeit anhand der rotationsfreien Außenströmung berechnet werden.
Kann die rotationsfreie Außenströmung einfacher berechnet werden als
durch Lösen der Navier-Stokes-Gleichungen ?
Erinnerung:
• Ein Geschwindigkeitsfeld kann in einen rotationsfreien und einen
rotationsbehafteten Anteil zerlegt werden (Helmholtz-Zerlegung).
• Ein rotationsfreies Vektorfeld (und damit auch ein rotationsfreies
Geschwindigkeitsfeld) hat ein Potential (siehe Analysis).

 
Für die rotationsfreie Außenströmung ist also u  u
 u  

wobei   u    0 .
Also gilt:
u  
u

(2.1)
Eine Strömung mit dieser Eigenschaft nennt man Potentialströmung.
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2. Potentialströmungen – 2.1 Geschwindigkeitspotential
Anstelle die drei Komponenten der Impulsgleichung zu lösen, um damit ein
Vektorfeld (Geschwindigkeit) zu bestimmen, kann man also die
Potentialfunktion  berechnen, und dann anschließend die
Geschwindigkeit durch Gradientenbildung finden.
Wie kann man die Potentialfunktion berechnen ?
Wir konzentrieren uns jetzt auf inkompressible Strömungen, also
Damit ist aber
u  0
  u        0
woraus eine Laplace-Gleichung folgt:
 2  2  2
  2  2  2  0
x1
x2
x3
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(2.2)
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2. Potentialströmungen – 2.1 Geschwindigkeitspotential
Zusammenfassung einiger mathematischer Eigenschaften der LaplaceGleichung:
• Die Laplace-Gleichung ist eine lineare partielle Differentialgleichung, daher
gilt das Superpositionsprinzip von Lösungen:
1  0 und  2  0 . Dann ist   1   2 auch eine Lösung
der Laplace-Gleichung              0
1
2
1
2
• Die Laplace-Gleichung hat elliptischen Charakter, d.h. eine eindeutige
Lösung auf einem einfach zusammenhängenden Gebiet V ist unter
folgenden Randbedingungen möglich:
1. Fall: V beschränkt mit Rand A

Entweder muß eine Neumann-Randbedingung
 n  
auf A vorgegeben werden und  an einem Punkt, n A
oder es muß eine Dirichlet-Randbedingung 
A
auf A vorgegeben werden.
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A
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2. Potentialströmungen – 2.1 Geschwindigkeitspotential
2. Fall: V unbeschränkt
Es muß eine Bedingung
werden.
0
für
x 
vorgegeben
Bemerkung:
Bei einer instationären Strömung erfüllt  x,t die zeitunabhängige
Laplace-Gleichung  x,t  0 zu jedem Zeitpunkt t . Instationarität folgt
dann alleine aus den instationären Randbedingungen.



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
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2. Potentialströmungen – 2.1 Geschwindigkeitspotential
Beispiel für ein einfach zusammenhängendes Gebiet:
Beispiel für ein nicht-einfach-zusammenhängendes Gebiet:
Box 20: Gebeite
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2. Potentialströmungen – 2.1 Geschwindigkeitspotential
Für ein nicht-einfach-zusammenhängendes Gebiet ist die Lösung von
  0
mit
 / n A
gegeben auf dem Gebietsrand und
 / n  0 auf der Wand eines im Gebiet liegenden Körpers
(typischer Fall der Körperumströmung) nicht eindeutig.
Mögliche Lösungen:
Box 21: Gebeite
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2. Potentialströmungen – 2.1 Geschwindigkeitspotential
Potentialströmung entlang von Wänden:
Eine Potentialströmung folgt der Wandkontur (undurchlässige Wand), kann aber
nicht an der Wand haften, da sie reibungsfrei ist:
u  n  0    n   / n  0
Es gilt also eine Neumann-Bedingung an der Wand.
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2. Potentialströmungen – 2.1 Geschwindigkeitspotential
Gemäß obigen Bemerkungen zu den mathematischen Eigenschaften der
Laplace-Gleichung kann keine weitere Randbedingung aufgeprägt werden, da
das Problem sonst überbestimmt wäre.
Die Wandkontur ist für Potentialströmungen also immer eine Stromlinie.
Daher kann auch eine Stromlinie für Potentialströmungen immer als mögliche
Wandkontur aufgefaßt werden.
Körperumströmungen können also „modelliert“ werden, indem man durch
Superposition von Potentialfunktionen von Elementarströmungen ein
Strömungsfeld erzeugt, bei dem eine Stromlinie mit der gewünschten
Wandkontur zusammenfällt.
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2. Potentialströmungen – 2.2 Bernoulli-Gleichung für Potentialströmungen
Bereits in FM I wurde gezeigt, daß die Bernoulli-Gleichung für
Potentialströmungen im gesamten Strömungsfeld gilt. Dies wird zur Erinnerung
hier nochmal kurz zusammengefaßt.
Für eine inkompressible Potentialströmung gilt bei konstanter Dichte und
Volumenkraft mit Potential:
u  
u  0
  u  0   const
f  G
Die Impulsgleichung (siehe FM I) lautet in differentieller Form:
1
u
  u    u   p  u  f
t

1
2
  u  u    u 
2
1
2
  u
2
    u       u 
 G
0
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2. Potentialströmungen – 2.2 Bernoulli-Gleichung für Potentialströmungen
Damit erhält man:
1
u 1
2
  u   p  G
t 2

p
 1
2

      G  0
2
t

  1

p
2
 
    G   0

 t 2

  1
p
2
    G  F  t 
t 2

(2.3)
Das ist die Bernoulli-Gleichung für Potentialströmungen.
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2. Potentialströmungen – 2.2 Bernoulli-Gleichung für Potentialströmungen
Eigenschaften der Bernoulli-Gleichung für Potentialströmungen:
1. Gilt im gesamten Strömungsgebiet mit derselben (möglicherweise
zeitabhängigen) Bernoulli-Konstanten F t

2. Gibt einen Zusammenhang zwischen Druck und Potentialfunktion, d.h. der
Druck kann aus der Potentialfunktion, bzw. deren Gradienten, berechnet
werden.
3. Da (2.3) nichtlinear in  ist, sind die Druckbeiträge zweier superponierter
Potentialströmungen nicht additiv. D.h. wenn man ein Strömungsfeld durch
Überlagerung von Potentialfunktionen von Elementarströmungen erzeugt hat,
kann man den Druck nicht einfach durch Addition der Drücke der
Elementarströmungen berechnen.
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2. Potentialströmungen
• Worin besteht die Prandtlsche Annahme bei Körperumströmungen ?
• Was ist eine Potentialströmung ?
• Was versteht man unter dem Superpositionsprinzip bei
Potentialströmungen ?
• Wie lautet die Randbedingung für die Potentialfunktion an einer Wand ?
• Was sind die wesentlichen Eigenschaften der Bernoulli-Gleichung für
Potentialströmungen ?
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