3 Mengen

3 Mengen
Schon in den letzten Abschnitten haben wir mit Mengen gearbeitet. Das Konzept
scheint uns aus der Schule schon bekannt. Wir arbeiten häufig mit N, Z, Q und R.
Nun wollen wir betrachten, was eine Menge tatsächlich ist.
Menge
Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens, welche die Elemente der
Menge genannt werden, zu einem Ganzen. Die Objekte können beliebige Dinge sein, z.B. Zahlen, Punkte, Gegenstände, Körper, sogar wiederum Mengen
selbst.
Die Tatsache, dass wir Mengen scheinbar nur durch deutsche Worte beschreiben können, sollte uns hier zurecht stutzig machen. Wie wir noch sehen werden,
hat diese Art Mengen zu definieren, ein gemeines Problem. Zum Glück ist dieses
Problem für (fast) alle praktischen Aspekte unwichtig.
Beispiel 3.1
{1, a, 2, ∅} ist eine Menge mit den Elementen 1, 3, a und ∅, welches selbst eine
Menge ist (die leere Menge).
Ein grundlegendes Konzept von Mengen ist es, dass eine Menge ein Objekt nur
maximal einmal enthalten kann. Egal wie häufig ich etwas in eine Menge reinstecke,
es wird immer nur einmal enthalten sein. Dies korrespondiert mit der Idee, dass
jedes Objekt des Denkens nur ein einzigen Mal existiert. Die Zahl 10 (nicht ihr
Symbol!) gibt es nur einmal. Es gibt keine zwei verschiedenen Dinge, die 10 sind.
Höchstens verschiedene Darstellungen, wie 10, 1 + 9 oder 3 + 7. Daher gibt es auch
keinen Sinn, ein solches Objekt mehrmals in eine Menge tun zu wollen.
3.1 Schreibweisen von Mengen
Wir verwenden zwei Schreibweisen für Mengen. Die Schreibweise, die meistens
für Mengen mit nur wenigen Elemente gebraucht wird, ist die Aufzählung. Man
listet alle Elemente auf, und drückt die Tatsache, dass wir sie zu einer Menge
zusammenfassen, durch geschweifte Klammern aus.
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3 Mengen
Beispiel 3.2
Die Zeichenfolge {1, 2, 3, 4} bezeichnet die Menge mit den Elementen 1, 2, 3 und
4. Ebenso bezeichnet der Ausdruck {1, 4, 2, 3} diese Menge. Die Reihenfolge, in
der wir die Elemente aufschreiben, spielt für die Menge selbst keine Rolle. Ebenso
wenig wie häufig wir ein Element aufschreiben, wenn wir es mindestens einmal
aufschreiben. Auch {1, 1, 1, 1, 2, 3, 4, 4, 4} ist die selbe Menge.
Für Mengen mit vielen Elementen, insbesondere mit unendlich vielen Elementen,
benutzt man die Prädiktenschreibweise. Diese ist, wie wir noch sehen werden, auch
besser zum Beweisen geeignet als die aufzählende Schreibweise.
Aufgabe 3.1
Wir können übrigens jede aufzählende Schreibweise auch in Prädiktenschreibweise
aufschreiben. Wie?
Beispiel 3.3
• N = {0, 1, 2, 3, ...} = {x | x ist eine natürliche Zahl}.
• Die Menge G der geraden Zahlen ist beschreibbar als G
x ist eine gerade Zahl} = {x ∈ Z | ∃k ∈ N : x = 2 · k}.
=
{x
|
Zum Beweisen ist es natürlich von Vorteil, das Prädikat (genauer, die Aussageform)
innerhalb der Menge möglichst formal aufzuschreiben.
Mit Hilfe der Prädiktenschreibweise können wir auch die elementare Beziehung zwischen Elementen und Mengen, die “ist-Element-von”-Beziehung exakt
aufschreiben. Wir definieren
Definition 3.1 (“ist-Element-von” - Beziehung)
Sei M = {x | P (x)}. Dann
v ∈ M := P (v).
Wenn wir über Mengen und ihre Elemente reden, dann nehmen wir stets (implizit) an, dass alle Elemente aus einer Grundmenge U, dem Universum, stammen.
Diese Menge U kann beliebig kompliziert sein, und selbst wiederum beliebig verschachtelte Mengen enthalten. Selbst wir ein Element v nicht genauer mit Hilfe
des ∈ Operators einschränken, dann nehmen wir immer an, dass v ∈ U gilt.
Eine weitere besondere Menge, die uns sehr häufig begegnet, ist die leere Menge
∅. Sie enthält kein Element. Wenn wir sie mit Hilfe der Prädikatenschreibweise
definieren wollen, dann ist das Prädikat P , genauer die Aussageform, die sie spezifiziert, P (x) := ⊥. Denn damit gilt für alle v ∈ U, dass P (v) ≡ ⊥, und damit
v 6∈ ∅.
Definition 3.2 (leere Menge)
∅ := {x | ⊥}
90
3.2 Mengenvergleiche
Intuition
Wir stellen fest: Mathematik hat viel mit Töpfen zu tun. So haben wir schon
betrachtet, wie wir Töpfe zum Kochen gebrauchen können. Wir erinnern uns:
Es ist nicht hinreichend den Topf auf den Herd zu stellen, damit das Wasser
darin kocht. Im Folgenden wollen wir Mengen mit Töpfen vergleichen. Stellen
uns wir einen Topf mit Essen darin vor, so haben wir eine Menge mit Elementen, die selbst keine Mengen sinda . Wir können das Essen aus verschiedenen
Töpfen zusammenbringen oder das Essen aus einem Topf trennen (z.B. das
Suppenfleisch aus der Suppe herausnehmen). Versuchen wir aber nun Töpfe
platzsparend im Schrank unterbringen, so stapeln wir sie oft ineinander. Das
können wir mit Mengen von Mengen vergleichen. Beim Spülen haben wir sogar Töpfe, die wiederum Töpfe und Essen gleichzeitig enthalten. Auch dies
hat eine Entsprechung in der Mengenlehre: Wir können Mengen haben, die
sowohl Elemente als auch Mengen enthalten. Wir wollen nun nochmals die verschiedenen Mengenkonzepte, die wir mit Töpfen dargestellt haben, an einem
konkreten mathematischen Beispiel verdeutlichen: {1, 2, 3, 4} ist eine Menge,
die Elemente enthält (Topf mit Essen), {∅, {∅}} ist eine Menge von Mengen,
die sogar wieder eine Menge mit einer Menge enthählt (Töpfe im Schrank
stapeln) und {1, 2, 3, 4, ∅, {∅}} ist eine Menge, die beides enthält – sowohl
Elemente als auch Mengen (die Situation beim Spülen).
a Wir
gehen davon aus, dass wir keinen Topf-Eintopf essen möchten.
Darstellungen von Mengen
Überlegen Sie sich den Unterschied zwischen 2, {2}und{{2}}.
3.2 Mengenvergleiche
Wir nennen A eine Teilmenge von B, falls jedes Element von A auch in B enthalten
ist. Um diesen Umstand symbolisch, und formal, festzuhalten, definieren wir einen
Vergleichsoperator ⊆, der zwei Mengen nimmt, und w oder f (im semantischen
Sinne) zurückliefert. Anders gesagt, ist ⊆ ein zweistelliges Prädikat!
Definition 3.3
A ⊆ B := ∀x : x ∈ A → x ∈ B
Oft begegnet uns eine andere prädikatenlogische Charakterisierung dieser Beziehung. Deshalb wollen wir sie auch hier festhalten
Satz 3.1
A ⊆ B ≡ ∀x ∈ A : x ∈ B 1
1 machen
Sie sich klar, dass dies eine einfache prädikatenlogische Umformung der Aussagen ist.
91
3 Mengen
Zwei Mengen sind gleich, wenn jede Teilmenge der jeweils anderen ist.
Satz 3.2
A = B ↔ A ⊆ B ∧ B ⊆ A.
Manchmal wollen wir sicherstellen, dass A ⊆ B, aber nicht A = B. Wir definieren
Definition 3.4
A ( B := A ⊆ B ∧ ¬(A = B)
Eine alternative Schreibweise ist auch A ⊂ B. Allerdings verwenden manche
Autoren diese Schreibweise auch für A ⊆ B. Man muss hier also aufpassen. In
diesem Skript werden wir diese Schreibweise daher (absichtlich zumindest) nicht
verwenden.
Wir kommen nun zu zwei scheinbar sehr offensichtlichen Aussagen, die wir jedoch beweisen müssen, um an Sie glauben zu dürfen. Wie wir sehen, ist der Beweis
ansich gar nicht so einfach, wie man denkt. Sich mit diesen scheinbar offensichtlichen Beweisen genau zu beschäftigen schärft ungemein den Blick dafür, wie man
formal korrekt beweist. Wir werden die Beweise daher sehr genau durchgehen.
Satz 3.3
• ∀M : M ⊆ M
• ∀M : ∅ ⊆ M
Wir nennen die ⊆-Beziehung zwischen Mengen auch Inklusionsbeziehung oder
kurz Inklusion.
Beweis 3.1 (von Satz 3.3)
• ∀M : M ⊆ M :
Sei Ṁ eine beliebige Menge (∀:Bew). Wir müssen zeigen, dass ∀x : x ∈
M → x ∈ M gilt ((=-Subst) mit der Definition von “⊆”). Sei ẋ ∈ M
beliebig ((∀:Bew), (→:Bew)). Nun müssen wir zeigen, dass dann auch x ∈
M gilt. Da das gerade unsere Annahme ist, folgt die Behauptung2 .
• ∀M : ∅ ⊆ M :
Sei Ṁ eine beliebige Menge (∀:Bew). Wir müssen hier nun zeigen, dass
∀x : x ∈ ∅ → x ∈ M gilt. Sei ẋ ∈ ∅ beliebig (∀:Bew). Dies ist aber für
alle ẋ ∈ U nach Definition der leeren Menge falsch ((=-Subst) mit der
Definition von “∈”). Damit wir die Implikation in der Definition für alle ẋ
wahr und die Aussage gilt.
q.e.d
Off-Topic: Wie müssten Sie die Aussage ∃x ∈ A : P (x) umformen, wenn Sie sie in die Form
∃x : x ∈ A . . . bringen wollen?
2 Der entsprechende Beweisbaum für den Schluss von x ∈ M auf x ∈ M ist minimal, da die
Prämisse schon gleich der Konklusion ist.
92
3.3 Kardinalität oder Mächtigkeit von Mengen
Bemerkung 3.1
Beachten Sie, dass ∅ ⊆ M für jede beliebige Menge M gilt, die leere Menge also
Teilmenge jeder Menge ist. Insbesondere gilt also auch ∅ ⊆ ∅.
Achtung: Das ist nicht das selbe wie zu sagen: ∅ ∈ M . Diese Aussage gilt im Allgemeinen nicht. So ist z.B. ∅ ∈
/ ∅, da die leere Menge nichts enthält, und damit auch
nicht die leere Menge. Verwechseln Sie also nicht die Begrifflichkeiten “Teilmenge
sein”, und “Teil einer Menge sein (= Element einer Menge sein)”.
Bemerkung 3.2
Die leere Menge ist jedoch tatsächlich ein wunderliches Ding. Ganz oft spielt sie
in mathematischen Aussagen und Beweisen eine ganz besondere, aber auch sehr
seltsame Rolle.
Betrachten wir einmal alle Mengen, die ausschließlich gerade Zahlen enthalten.
Eine solche Menge wäre z.B. {2, 4, 10, 84}, oder aber auch {x ∈ N | ∃k ∈ N : x =
2 · k}.
Ebenso ist auch ∅ eine solche Menge! Überlegen wir uns nochmal genau, weshalb: Wenn eine Menge M ausschließlich gerade Zahlen enthalten soll, dann muss
jedes ihrer Elemente x gerade sein (also das Prädikat gerade(x) muss w liefern). Formal, mithilfe des Prädikats gerade, können wir das dann so schreiben: ∀x ∈ M : gerade(x). Mit Hilfe unserer Umformungsregeln erhalten wir nun
∀x ∈ M : gerade(x) ≡ ∀x : x ∈ M → gerade(x) ≡ ∀x : x ∈
/ M ∨ gerade(x). Wenn
nun M = ∅ gilt, dann wissen wir, dass x ∈
/ ∅ ≡ > gilt, daher können wir in diesem
Fall schreiben ∀x : > ∨ gerade(x), was wiederum äquivalent ist zu ∀x : > ≡ >.
Also erfüllt jedes beliebige Element der leeren Menge (die es ja gar nicht gibt!)
die Eigenschaft gerade. Dies geht mit jeder beliebigen Eigenschaft, nicht nur mit
geraden Zahlen.
Merke: Die leere Menge erfüllt jede Eigenschaft, die nur von den Eigenschaften
ihrer Elemente abhängt!
Anders ist dies jedoch, wenn die gewünschte Eigenschaft nicht alleine von den
Eigenschaften der Elemente abhängt. So ist die leere Menge keine Menge, die alle
geraden Zahlen enthält. Dazu müsste sie ja auch wirklich Elemente enthalten, da
wir wissen, dass es gerade Zahlen gibt. Alle geraden Zahlen zu enthalten ist eine
Eigenschaft einer Menge, die nicht alleine von den Eigenschaften der einzelnen
Elemente abhängt.
3.3 Kardinalität oder Mächtigkeit von Mengen
Oft interessiert es uns, wie viele Elemente eine Menge hat. Dazu betrachtet man
in der Informatik und Mathematik oft folgendes Konzept:
93
3 Mengen
Kardinalität
Die Anzahl der unterschiedlichen Elemente einer Menge M bezeichnet man als
deren Kardinalität oder Mächtigkeit. Wir schreiben |M |, um die Kardinalität
einer Menge zu bezeichnen.
Beispiel 3.4
1. |{1, 2, 3, a}| = 4.
2. |∅| = 0.
3. |{∅}| = 1
4. |{{{{∅}}}}| = 1
5. |{{{{∅}, ∅}}}| = 1
6. |{{{{∅}, ∅}}, ∅}| = 2
| · | ist hier nur definiert für Mengen mit endlich vielen Elementen. Eine Menge
kann jedoch auch unendliche viele Elemente enthalten. Die Menge N aller natürlichen Zahlen z.B. enthält unendlich viele Elemente. Den Begriff der Kardinalität
für unendliche Mengen zu definieren ist nicht so einfach. So gilt z.B. N ( N ∪ {∅},
da ∅ ∈
/ N. Jedoch ist die Kardinalität beider Mengen gleich! Eben so ist die Kardinalität von N, Z und Q gleich! Die Kardinalität von R ist jedoch echt größer als
die dieser Mengen.
Kardinalität
Welches Vorwissen haben Sie schon zur Kardinalität unendlicher Mengen?
Können Sie noch defininieren? Falls nicht, wie würden Sie sie definieren?
3.4 Potenzmenge
Zu einer Menge M bezeichnet P(M ) die Potenzmenge von M , also die Menge aller
Teilmengen.
Definition 3.5
P(M ) := {Y | Y ⊆ M }
Beispiel 3.5
Für M = {1, 2, a} gilt:
P(M ) = {∅, {1}, {2}, {a}, {1, 2}, {1, a}, {2, a}, {1, 2, a}}
94
3.4 Potenzmenge
Satz 3.4
Sei M endlich. Dann ist |P(M )| = 2|M | .
Durch diesem Zusammenhang der Kardinalität einer Menge und ihrer Potenzmenge kann man sich eine alternative Notation für P(M ) erklären, bei der wir die
Potenzmenge von M als 2M schreiben.
Satz 3.5
1. ∅ ∈ P(M ), M ∈ P(M )
2. M ⊆ M 0 impliziert |P(M )| ≤ |P(M 0 )|
3. |P(M )| ≥ 1
Bemerkung 3.3 (Notation von Sätzen)
Bevor wir diesen Satz nun gleich beweisen wollen, eine kurze Anmerkung zur Notation von Sätzen. Bisher haben wir alle Sätze als prädikatenlogische Ausdrücke
geschrieben. Wir hätten hier also über M und M 0 mit einem ∀-Quantor quantifizieren müssen. Da dies die Lesbarkeit erschwert, lässt man ∀-Quantoren, die auf
der äußersten Ebene eines Satzes gelten, meist komplett weg. Mit anderen Worten
heißt dies, dass nicht explizit quantifizierte Objekte stets implizit ∀-quantifiziert
sind. Ebenso schreibt man gerne deutsche Phrasen wie “impliziert”, oder “genau
dann wenn” anstelle der logischen Wörter → oder ↔, wenn genau klar ist, welcher
Operator gemeint ist. Man sollte sich diese Wörter zu Beginn immer in ihre logische Pendants übersetzen, und sich dabei stets bewusst machen, dass jeder mathematische Satz ein prädikatenlogischer Ausdruck ist, egal ob dieser mit Operatoren,
oder mit deutschen Worten aufgeschrieben ist.
Beweis 3.2 (von Satz 3.5)
Die erste Behauptung folgt sehr leicht aus den Definitionen. Sei Ṁ im Folgenden eine beliebige Menge (∀:Bew). ∅ ∈ P(M ) bedeutet gerade ∅ ⊆ M , nach der
Definition von ∈ (=-Subst). Da wir Satz 3.3 bereits bewiesen haben, ist die erste Aussage gezeigt (W). Der Beweis für M ∈ P(M )) geht vollständig analog3 .
Für die zweite Behauptung kann man keinen vollständig formalen Beweis angeben, da wir | · | selbst nicht komplett formal definiert haben, sondern nur als die
Anzahl ihrer Elemente bezeichnen. Daher genügt es hier zu argumentieren, dass
aus M ⊆ M 0 folgt, dass alle Elemente aus M auch in M 0 enthalten sein müssen,
und daher mindestens so viele Elemente in M 0 sein müssen, wie auch in M 4 . Die
letzte Behauptung können wir wie folgt beweisen. Für ∅ gilt nach Definition von
3 Wir
dürfen nur behaupten, ein Beweis ginge analog zu einem anderen Beweis, wenn die notwendigen Änderungen rein syntaktisch sind, und tatsächlich kein einziger neuer Gedanke oder
Schritt für den Beweis notwendig ist
4 Man kann endliche Mengen auch induktiv definieren (wir werden das in Programmierung 1
tun). Dann ist es möglich, solche Aussagen komplett formal durchzubeweisen
95
3 Mengen
P, dass ∅ ∈ P(∅). Somit ist |P(∅)) ≥ 1. Sei nun Ṁ eine beliebige Menge (∀:Bew).
Nach Satz 3.3 gilt, dass ∅ ⊆ M . Nach der bereits bewiesenen zweiten Behauptung
dieses Satzes muss also gelten, dass |P(M )| ≥ |P(∅)| ≥ 1 (=-Subst).
q.e.d
Aufgabe 3.2
Gilt |P(M )| > |M | für alle Mengen M? Beweisen Sie diese Aussage oder widerlegen Sie sie durch ein Gegebenbeispiel.
3.5 Produktmenge
Eine Anordnung (a, b) zweier Elemente a ∈ A und b ∈ B nennen wir geordnetes
Paar. Eine Anordnung von n Elementen aus eventuell verschiedenen Mengen,
nennt man n-Tupel. Für n = 3 nennen wir das Tupel Tripel, für n = 4 Quadrupel.
Die Menge aller Paare (a, b) für a ∈ A und b ∈ B nennt man das Produkt von
A und B, bzw. das kartesische Produkt oder das Kreuzprodukt. Wir schreiben A×B.
A × B := {(a, b) | a ∈ A ∧ b ∈ B}.
n-mal
}|
{
z
Wir schreiben auch A × A = A2 (bzw. A × A × · · · × A = An ).
Letzteres Produkt heißt auch n-stelliges Produkt.
A1 × A2 × · · · × An : {(a1 , a2 , a3 , . . . , an ) | a1 ∈ A1 ∧ a2 ∈ A2 ∧ . . . , an ∈ An } =
{(a1 , a2 , . . . , an ) | ∀i ∈ {1, 2, . . . , n} : ai ∈ Ai }
Definition 3.6
Zwei Tupel (a1 , . . . , an ) und (b1 , . . . , bm ) (für n und m natürliche Zahlen) sind
genau dann gleich, wenn n = m und sie an allen Stellen übereinstimmen.
Zum Beispiel ist (1, 2, 3, 4) 6= (1, 2) und (1, 2, 3) 6= (3, 2, 1). Es ist aber die Menge
{1, 2, 3} = {1, 3, 2}.
Beispiel 3.6
Sei A = {1, 2} und B = {a, b, c}. Dann ist:
A × B = {(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c)}
und
B × A = {(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2)}
Satz 3.6
1. Es gilt: A × B 6= B × A für A 6= B.
2. ∅ × A = ∅
96
3.6 Mengenoperationen
3. |A × B| = |A| · |B|
4. |A1 × A2 × ... × An | = |A1 | · |A2 |... · |An |
Aufgabe 3.3
Beweisen Sie den Satz 3.6.
Intuition
Wozu brauchen wir Produktmengen? Jeder von uns verwendet regelmäßig
Produktmengen. Jeder Bruch ist ein Paar aus der Menge Z × (Z \ {0}). Dabei
ist die erste Stelle der Zähler und die zweite der Nenner des Bruchs.
3.6 Mengenoperationen
Sei die Grundmenge U und seien A, B ⊆ U
Vereinigung: A ∪ B := {x ∈ U | x ∈ A ∨ x ∈ B}
Durchschnitt: A ∩ B := {x ∈ U | x ∈ A ∧ x ∈ B}
Differenz: A \ B := {x ∈ U | x ∈ A ∧ x6∈B} (Wir schreiben auch A − B)
Symmetrische Differenz: A ⊕ B := {x ∈ U | (x ∈ A ∧ x6∈B) ∨ (x ∈ B ∧ x6∈A)} =
{x ∈ U | x ∈ A ⊕ x ∈ B}
/ A}
Komplement: A := {x ∈ U | x ∈
Definition 3.7
Zwei Mengen A und B heißen disjunkt, wenn sie elementfremd sind, also
A∩B =∅
.
Satz 3.7
Zwei Mengen A = {x ∈ U | ϕ} und B = {x ∈ U | ψ} heißen genau dann gleich,
wenn ϕ ≡ ψ.
Beispiel 3.7
Sei die Grundmenge U = {a, b, c, d, e, f, π} und Teilmengen A = {a, b, c, d}, B =
{b, c, e, π} und C = {e, f, π} gegeben. So ist A ∩ B = {b, c}, A ∩ C = ∅, B \ A =
{e, π}, B ⊕ C = {b, c, f }, A ∪ C = {a, b, c, d, e, f, π} = U und B ∪ C = {b, c, e, f, π}.
A und C sind disjunkt.
97
3 Mengen
B
B
A
A
B
A
Abbildung 3.1: A ∩ B, A \ B und A ∪ B
Satz 3.8
Für eine Grundmenge U und A, B, C ∈ P (U) gelten folgende Gesetze
a: Kommutativität
• A∪B =B∪A
• A∩B =B∩A
b: Assoziativität
• (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) = A ∪ B ∪ C
• (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) = A ∩ B ∩ C
c: Identität
• A∪∅=A
• A∩U =A
d: Dominanz
98
3.6 Mengenoperationen
• A∩∅=∅
• A∪U =U
e: Idempotenz
• A∪A=A
• A∩A=A
f: Komplement
• A=A
• A∪A=U
g: Distributivität
• A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
• A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
h: Absorption
• A ∪ (A ∩ B) = A
• A ∩ (A ∪ B) = A
i: Gesetze von de Morgan
• A ∩ C = (A ∪ B)
• A ∪ B = (A ∩ B)
Die Gesetze gleichen den Gesetzen über die logische Äquivalenz
Prädikatenkalkül. Beide Strukturen sind sogenannte “Bool’sche Algebren”.
im
Beweis 3.3
Wir beweisen mit Hilfe von Satz 3.7 dass A ∪ B = B ∪ A für beliebige Mengen
A und B. Seien also Ȧ und Ḃ beliebig ((∀:Bew), (∀:Bew)). Mit Hilfe unseres
Satzes ist zu zeigen, dass die Prädikate der Mengen gleich sind ((=-Subst) mit
der Definition der Prädikate von Vereinungsmengen): Sei ẋ beliebig in Ȧ ∪ Ḃ:
ẋ ∈ Ȧ ∪ Ḃ ≡ ẋ ∈ Ȧ ∨ ẋ ∈ Ḃ ≡ ẋ ∈ Ḃ ∨ ẋ ∈ Ȧ ≡ ẋ ∈ Ḃ ∪ Ȧ
q.e.d
Beweis 3.4
Nun wollen wir mit Hilfe von Satz 3.7 beweisen, dass (A ∪ B) = A ∩ B für
beliebige Mengen A und B. Dazu formen wir dieses Mal die Prädikate direkt
in der Menge um, dann müssen wir den Allquantor nicht auflösen. Dazu wenden wir (Subst) und (=-Subst) mit der Definition von Mengenoperatoen an:
({x ∈ U | x ∈ A ∨ x ∈ B}) = {x ∈ U | ¬(x ∈ A ∨ x ∈ B)} = {x ∈ U | ¬(x ∈ A) ∧
¬(x ∈ B)} = {x ∈ U | x6∈A∧x6∈B} = {x ∈ U | x6∈A}∩{x ∈ U | x6∈B} = A∩Bq.e.d
99
3 Mengen
Beweis 3.5
Seien Ȧ und Ḃ beliebige Mengen ((∀:Bew),(∀:Bew)). Wir zeigen (Ȧ ∩ Ḃ) =
Ȧ ∪ Ḃ, indem wir beide Richtungen von ⊆ zeigen ((=-Subst) mit der Definition
von “=” auf Mengen). Im Folgenden wenden wir hauptsächlich (=-Subst) an,
um Definitionen aufzuösen, und (Subst), um Aussagen in logisch äquivalente zu
überführen. Seien Ȧ und Ḃ beliebig. Sei ẋ ∈ (Ȧ ∩ Ḃ) beliebig, so ist also ẋ6∈Ȧ ∩ Ḃ.
Dann ist ẋ6∈Ȧ oder ẋ6∈Ḃ. Damit ist ẋ ∈ Ȧ oder ẋ ∈ Ḃ, also ist ẋ ∈ Ȧ ∪ Ḃ.
Sei nun ẋ ∈ Ȧ ∪ Ḃ beliebig, ẋo ist also ẋ ∈ Ȧ oder ẋ ∈ Ḃ, d.h. es ist ẋ6∈Ȧ oder
ẋ6∈Ḃ. Damit ist insbesondere ẋ6∈Ȧ ∩ Ḃ, d.h. es ist ẋ ∈ (Ȧ ∩ Ḃ).
q.e.d
Kleine Anwendung der Gesetze: Es gilt (A ∪ (B ∩ C)) = (C ∪ B) ∩ A
Beweis 3.6
Wir schreiben jeweils an das Ende der Zeile das Gesetz, mit dem wir die Gleichheit
zwischen dieser und der darauffolgenden Zeile begründen können.
(A ∪ (B ∩ C)) De Morgan
= A ∩ (B ∩ C)
De Morgan
= A ∩ (B ∪ C)
Kommutativität
= (C ∪ B) ∩ A
Damit haben wir die Behauptung gezeigt.
q.e.d
Versuchen Sie den Zusammenhang zwischen der Mengenlehre und der Logik
darszutellen. Was war zuerst da - Mengenlehre oder Logik? Können Sie es
sich auch umgekehrt vorstellen, also die Logik über Mengen zu definieren?
3.7 Probleme der Mengenlehre
Die Mengenlehre, so wir wie sie bisher kennengelernt haben, nennt man auch
naive Mengenlehre. Dies liegt daran, dass der ihr zugrundeliegende Mengenbegriff
einfältig ist. Wir haben gesagt, dass eine Menge eine Gruppierung von Objekten
des Denkens ist. Wir können damit auch die folgenden Mengen erdenken.
• Sei X die Menge aller Mengen, die sich selbst nicht enthalten.
• Sei Y die Menge aller Mengen.
Das Problem der Menge X ist, dass man nicht entscheiden kann, ob X in sich
selbst enthalten ist, also X ∈ X (nicht: X ⊆ X) gilt. Nehmen wir an, X ∈ X,
dann impliziert dies nach der Definition von X direkt X ∈
/ X, was ein logischer
Widerspruch zu unserer Annahme ist. Andersherum, wenn wir annehmen, X ∈
/ X,
dann muss gelten X ∈ X, was wiederum ein Widerspruch ist. Wir haben also mit
100
3.7 Probleme der Mengenlehre
X eine Menge geschaffen, die sich selbst weder enthält, noch nicht enthält, was
aber wiederum ebenfalls logisch nicht sein kann. Dies entspricht damit keiner uns
sinnvoll erscheinenden Vorstellung von Mengen.
Wir haben bereits gesehen, dass wir Mengen über Mengen bauen können. Eine solche Menge ist z.B. {{{∅, {∅}}}, ∅}. Wenn wir eine Menge “aufmachen”, die
in ihr enthaltenen Mengen betrachten, und diese wiederum aufmachen, und dies
immer weiter so machen, dann erwarten wir intuitiv, dass wir letzen Endes immer an leeren Mengen ankommen, die nichts mehr enthalten. Das heisst, es kann
immer nur endliche Ketten der Form X1 3 X2 · · · 3 Xn geben, wobei die Xi alles Mengen sind. Die Menge Y , die wir oben definiert haben, enthält sich jedoch
nach Definition selbst. Daher gilt Y 3 Y 3 Y 3 · · · . Diese Menge Y ist mit einer
Matroschka-Puppe vergleichbar, die jedoch nicht irgendwann eine kleinste Puppe
enthält, sondern die man unendlich oft öffnen kann, um wieder eine weitere Puppe
zu finden.
Die Widersprüchlichkeit um die Menge X wird Russel’s Parádoxon genannt,
und ist benannt nach seinem Entdecker Bertrand Russel. Er wollte damit beweisen, dass die bis dahin in der Mathematik verwendete Mengenlehre5 nicht widerspruchsfrei war. Die Erkenntnis hatte die mathematische Welt sehr erschüttert.
Diese scheinbar so elementare und gottgegeben erscheinende Theorie der Mengen
hatte ihre Wahrhaftigkeit verloren.
Die daraufhin entstandene axiomatische Mengenlehre basiert auf einer Anzahl
von Axiomen, die sehr exakt festlegen, was Mengen sind, und welche Eigenschaften
diese haben. Genau genommen gibt es nicht nur eine solche Mengenlehre, sondern
eine Vielzahl verschiedener Mengenlehre. Diejenige, die der intuitiven, also der naiven Mengenlehre am nächsten kommt, ohne ihre Widersprüchlichkeit zu enthalten,
ist die Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre, benannt nach ihren beiden Entdeckern. Ihr
Hautpmerkmal ist es, dass Mengen nur aus Mengen aufgebaut sind, es also keine Urobjekte, so etwas wie z.B. Zahlen gibt, die von den Mengen verschieden
wären. Alle mathematischen Dinge sind damit Mengen. Tatsächlich kann man die
natürlichen Zahlen aus Mengen sehr einfach konstruieren, und aus diesen Zahlen
kann man alle anderen Zahlen konstruieren. Das zweite Merkmal, dass Russel’s
Parádoxon vermeidet, ist das Verbot von Mengen, die eine unendlich lange Kette
der Form X1 3 X2 · · · hervorbringen würden. Man nennt das Axiom, das diese
Ketten ausschließt, Fundiertheitssaxiom.
Somit ist Y , wie wir es oben naiv definiert haben, keine Menge. Insbesondere
bedeutet dies für uns auch, dass die naive Vorstellung eines Universum U, das
wir anfangs eingeführt haben, nur bedingt gilt. Wenn wir beliebige Mengen über
Mengen betrachten wollen, dann gibt es U nicht. Daher haben wir in diesem Skript
bei allgemeinen Aussagen auch öfter auf die explizite Nennung von U verzichtet.
5 Eben
diese, die wir hier eingeführt haben.
101
3 Mengen
Bemerkung 3.4
Da solche Konstruktionen des Geistes, wie die Menge aller Mengen dennoch denkbar sind, und damit mathematische Objekte sind, arbeiten Mathematiker auch damit. Man nennt sie Klassen. Wenn wir uns nicht sicher sind, dass etwas eine
Menge ist, dann nennen wir es einfach eine Klasse. Jede Menge ist damit auch eine Klasse, aber nicht jede Klasse eine Menge. Wir können mit Klassen im Prinzip
die selben Dinge tun, wie auch mit Mengen. Wir können sie also auch vereinigen
oder schneiden. Klassen werden Ihnen in Ihrem Studium doch kaum, oder auch nie,
begegnen, deshalb brauchen sie sich nur zu merken, dass man beim naiven Bauen
von Mengen aufpassen muss, dass dabei wirklich noch eine Menge herauskommt.
Bemerkung 3.5
Es gibt heute auch mehrere axiomatische Mengenlehren, die das Fundiertheitsaxiom nicht besitzen. Es darf dort also auch Mengen geben, bei der wir unendlich viele
Matroschka-Puppen ineinander gestapelt finden können. Damit es hierbei zu keinen
Paradoxien kommt, müssen natürlich weitere Axiome zur Theorie von ZermeloFraenkel hinzugefügt werden, und bestehende variiert werden6 .
Mengen sind die Fundamente der Mathematik. Doch was eine Menge genau ist,
kann niemand sagen. Vielmehr gibt es eine Vielzahl von Möglichkeiten zu definieren, was eine Menge ist. Keine dieser Definitionen ist richtiger oder wahrer als eine
andere. Wir haben also hier wieder einmal entdecken müssen, dass die Mathematik
keine absolut gültige Wahrheit verkündet, und alle Objekte der Mathematik immer nur von einer relativen Perspektive aus existieren, und ihre Aussagen ebenso
nur eine relative Gütligkeit besitzen.
In der Mathematik, ebenso wie in der “realen” Welt, scheint uns Wahrheit und
Wirklichkeit also nichts festes und absolut existierendes zu sein, sondern nur das,
was der Mehrheit der Menschen zu einer bestimmten Zeit, an einem bestimmten
Ort, und in einer bestimmten Situation als sinnvoll und dienlich erscheint.
6 Einige
dieser Mengenlehren haben einen starken Bezug zur Theorie der Bisimulationen, die Sie
im vierten Semester in der Vorlesung Nebenläufige Programmierung kennenlernen werden.
102
4 Relationen
Relationen sind mathematische Objekte, die ausdrücken, dass zwei Elemente zweier (verschiedener) Mengen miteinander in einer bestimmten Beziehung stehen. Eine allgemein bekannte Beziehung ist z.B. die Ordnungsbeziehung ≤ zweier Zahlen.
So ist z.B. 4 ≤ 7.43. Wir sagen damit, dass 4 und 7.43 auf eine gewisse Weise geordnet sind, und eben nicht andersherum. Eine andere Art von Beziehung zwischen
Objekten, die uns inzwischen sehr bekannt sein sollte, ist die semantische Gleichheit zweier logischer Ausdrücke. So ist z.B. > ≡ p ∨ ¬p. Die beiden syntaktischen
Objekte > und p∨¬p stehen in der Beziehung zueinander, dass beide – semantisch
gesehen – gleich sind. Syntaktisch sind sie jedoch höchst verschieden.
Es gibt unendlich viele Relationen. Zwei der am häufigsten vorkommenden Typen von Relationen sind Ordnungsrelationen, so wie ≤, und Äquivalenzrelationen,
so wie ≡.
In der Informatik spielen Relationen in vielen Gebieten eine wichtige Rolle, so
zum Beispiel bei Datenbanken. Gerade relationale Datenbanken - hier steckt die
Relation sogar schon im Namen - sind nichts anderes als große Relationen, die
meist einem Objekt mehrere Eigenschaften zuordnen. Auch Graphen, die als anschauliches Bild von Relationen dienen, betrachtet man häufig in der Informatik.
Man kann mit ihnen das Straßennetz für Navigationssysteme modellieren, Fahrund Flugpläne optimieren und sogar die Zusammenhänge zwischen Proteinen in
der Biologie modellieren. Um Algorithmen, die diese Probleme lösen können anzuwenden und um über die Korrektheit zu argumentieren, brauchen wir häufig
bestimmte Eigenschaften der Relation.
Im Folgenden werden wir nun daher formal definieren, was Relationen mathematisch genau sind, und welche besonderen Eigenschaften sie haben können.
Definition 4.1 (Relationen)
Seien A und B beliebige Mengen. Eine Teilmenge R ⊆ A × B heißt eine binäre
Relation von A und B. Wir schreiben für (a, b) ∈ R auch a R b1 .
Quell- und Zielmenge
Wir nennen A Quellmenge und B Zielmenge der Relation R. Wenn A = B
gilt, dann sagen wir auch, A ist die Grundmenge der Relation.
1 Man
nennt diese Art der Darstellung auch Infix-Notation.
103
4 Relationen
Beispiel 4.1
Sei R ⊆ {2, 3} × N definiert als
R = {(a, b) | a teilt b} = {(2, 2), (2, 4), (2, 6), . . . , (3, 3), (3, 6), (3, 9), . . . }.
Diese Relation setzt die Zahlen 2 und 3 mit all denjenigen natürlichen Zahlen in
Verbindung, die sie jeweils teilen.
Beispiel 4.2
Relationen müssen nicht immer “sinnvoll” sein. Eine mögliche Relation ist z.B.
R ⊆ {0, 1, 2} × {a, b, c}, die wir definieren als R = {(0, a), (0, b), (1, b), (1, c), (2, b)}
Es ist also z.B. 1 R b und 2 R a. Für (a, b)∈R
/ schreiben wir auch a 6R b.
Weder die komplette Quellmenge A, noch die komplette Zielmenge B muss in
einer Relation vorkommen. So ist z.B. auch ∅ ⊆ A × B eine Relation, ebenso
wie {(1, 1)} ⊆ N × N eine Relation auf der Menge der natürlichen Zahlen ist. Wir
unterscheiden jedoch zwischen der Quellmenge und der Teilmenge der Quellmenge,
die tatsächlich in der Relation verwendet wird. Ebenso unterscheiden wir zwischen
der Zielmenge und ihren tatsächlich in der Relation verwendeten Elementen.
Definition 4.2
Der Definitionsbereich DR einer Relation R ist definiert als DR := {x ∈ A | ∃y ∈
B : (x, y) ∈ R} und der Wertebereich WR ist definiert als WR := {y ∈ B | ∃x ∈
A : (x, y) ∈ R}.
Beispiel 4.3
1. Die bekannte strike Ordnungsrelation auf natürlichen Zahlen < ist eine
Relation auf N. Mit anderen Worten, < ⊆ N × N. Es ist also < =
{(0, 1), (0, 2), . . . , (1, 2), (1, 2), . . . }. Hier gilt DR = N und auch WR = N,
da jede Zahl aus N mindesten einmal links in einem Paar aus < vorkommt,
und ebenso jede Zahl mindestens einmal rechts in einem Paar vorkommt.
2. In der Relation S = {(1, 2), (2, 3), (2, 1)} auf den natürlichen Zahlen haben
wir DS = {1, 2} und Ws = {1, 2, 3}.
Beispiel 4.4 (Besondere Relationen)
1. Leere Relation: ∅ ⊆ A × B. Sie enthält kein einziges Paar aus der Quellbzw. Zielmenge. Es gilt damit W∅ = D∅ = ∅.
2. Universelle Relation: (A × B) ⊆ A × B. Diese Relation enthält alle Paare
aus A × B. Offensichtlich gilt DA×B = A und WA×B = B.
3. Inverse Relation: Zu einer Relation R ⊆ A × B heißt R−1 := {(b, a) | (a, b) ∈
R} ⊆ B × A die inverse Relation bzw. die Umkehrrelation, z.B. ist > die
Umkehrrelation zu < auf N. Es gilt DR−1 = WR , WR−1 = DR .
104
4.1 Darstellung von Relationen
4.1 Darstellung von Relationen
Wir haben verschiedene Möglichkeiten Relationen darzustellen. Wir werden vier
verschiedene Möglichkeiten anhand der Relation R = {(1, 2), (2, 3), (1, 3)} über
{1, 2, 3} einführen.
Relationen als Paarmengen haben wir bereits gesehen. Wir können diese Relation aber auch als Wertetabelle darstellen:
1
2
3
1
0
0
0
2
1
0
0
3
1
1
0
Wir tragen sowohl als Spalten als auch als Zeilen die Grundmenge ein. Haben
wir die Zeile a und Spalte b als Paar (a, b) in der Relation, so tragen wir in der
entsprechenden Zelle eine 1 ein. Eine ähnliche Darstellung, die in der Informatik
ein paar Vorteile hat – z.B. nimmt sie bei Relationen mit großer Grundmenge aber
wenigen Paaren sehr viel weniger Platz im Speicher ein als die Matrixdarstellung
–, ist die Darstellung als Werteliste:
1:
2:
3:
2
3
3
Wir listen einfach für jeden Wert a der Grundmenge auf, welche Werte b als
Paar (a, b) in der Relation vorkommt. Die intuitivste Darstellung ist jedoch die als
Pfeilbild :
2
1
3
Wir sprechen in diesem Zusammenhang von Knoten, den Werten der Grundmege, und Kanten, die von einem Knoten a zu einem Knoten b verlaufen. Damit sind
Kanten gerade die Paare (a, b) in der Relation.
4.2 Eigenschaften von binären Relationen R
Definition 4.3
Sei R ⊆ A × B. R heißt
• links-total, wenn ∀a ∈ A : ∃b ∈ B : (a, b) ∈ R gilt. Mit anderen Worten
DR = A.
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4 Relationen
• rechts-total, wenn ∀b ∈ B : ∃a ∈ A : (a, b) ∈ R gilt. Mit anderen Worten
WR = B.
• links-eindeutig (auch: injektiv), wenn ∀a, c ∈ A : ∀b ∈ B : (a, b) ∈ R∧(c, b) ∈
R → a = c. Das bedeutet, jedes Element aus B hat maximal einen Partner
in A.
• rechts-eindeutig (auch: funktional), wenn ∀a ∈ A : ∀b, c ∈ B : (a, b) ∈
R ∧ (a, c) ∈ R → b = c. Das bedeutet, jedes Element aus A hat maximal
einen Partner in B.
Beispiel 4.5
• ∅ ist weder links-total noch rechts-total.
• ≤ und < sind sowohl links-total als auch rechts-total auf R × R.
• {(1, 1), (1, 2), (1, 3)} ist links-total und rechts-total bezüglich der Quellmenge
{1} und der Zielmenge {1, 2, 3}. Sie ist jedoch weder links- noch rechts-total
wenn Quell- und Zielmenge N sind.
Wenn wir eine Relation R graphisch veranschaulichen, dann können wir die Elemente von A untereinander auf eine Seite schreiben, und die aus B auf die andere,
und dann die Verbindung, die durch R gegeben ist durch einen Pfeil darstellen.
1
1
1
1
2
2
2
2
(a) nicht-injektiv,
nicht rechts-total
(b) nicht-funktional,
nicht links-total
Abbildung 4.1: Gegenbeispiele für Eigenschaften bei Relationen aus {1, 2} × {1, 2}
Intuition
Woran erkennt man rechts-totale und links-totale Relationen anschaulich?
Betrachten wir die graphische Darstellung von Relationen, so haben wir eine rechts-totale Relation, wenn auf jeden Knoten der Zielmenge mindestens
ein Pfeil zeigt, und eine links-totale Relation, wenn von jedem Knoten der
Quellmenge mindestens ein Pfeil ausgeht.
106
4.2 Eigenschaften von binären Relationen R
Intuition
Woran erkennt man rechts-eindeutige (funktionale) bzw. linkseindeutige(injektive) Relationen anschaulich? Wir haben bereits ein
Beispiel dafür gesehen wie Relationen aussehen, die nicht injektiv bzw. nicht
funktional sind. Pfeilbilder injektiver Relationen erkennt man daran, dass
maximal ein Pfeil pro Knoten eingeht, d.h. auf einen Knoten zeigt maximal
ein Pfeil. Funktionale Relationen erkennt man hingegen daran, dass pro
Knoten maximal ein Pfeil ausgeht.
Bemerkung 4.1
Funktionen sind nicht unbedingt total, Funktionen sind zunächst nur funktionale
Relationen. Im Folgenden werden wir Abbildung sagen, wenn wir nur über totale
Funktionen reden wollen.
Bemerkung 4.2
Funktionen, die Ihnen unter anderem aus der Schule bekannt sind, sind mathematisch nichts anderes als spezielle Relationen. Es sind Relationen, die funktional und links-total sind sind. Funktionen, die nicht links-total sind, nennt man
partielle Funkionen. Die Eigenschaften Surjektivität und Injektivität sind typische
Eigenschaften von Funktionen, und werden auch meistens in diesem Kontext gebraucht. Wir werden am Ende des Kapitels nochmals auf Funktionen und einige
Besonderheiten bei ihrer Notation zurückkommen.
Die meisten Relationen, die nicht funktional sind, und denen wir in der Mathematik begegnen werden, haben die selbe Quell- und Zielmenge, d.h. für eine
beliebige Menge A ist eine solche Relation R Teilmenge von A × A. Wir definieren
nun die besonderen Eigenschaften solcher Relationen.
Definition 4.4
Sei R ⊆ A × A. R heisst
• reflexiv, wenn ∀a ∈ A : (a, a) ∈ R. Dies bedeutet, dass jedes Element aus der
Grundmenge A zu sich selbst in Beziehung stehen muss. Die kleinste Menge,
die dies erfüllt, ist IdA := {(a, a) | a ∈ A}, die sogenannte Identitätsrelation2 .
• irreflexiv, wenn ∀a ∈ A : (a, a) ∈
/ R. Hier verbieten wir alle Paare (a, a) in
unserer Relation. Beachten Sie, dass irreflexiv nicht das selbe ist wie nicht
reflexiv!
• symmetrisch, wenn ∀ab ∈ A : (a, b) ∈ R → (b, a) ∈ R.
• antisymmetrisch, wenn ∀a, b, c ∈ A : (a, b) ∈ R ∧ (b, a) ∈ R → a = b.
2 Machen
Sie sich klar, dass jede echte Teilmenge von IdA nicht reflexiv ist!
107
4 Relationen
• transitiv, wenn ∀a, b, c ∈ A : (a, b) ∈ R ∧ (b, c) ∈ R → (a, c) ∈ R.
Graphisch stellen wir Relationen über A × A als eine Menge von Punkten dar,
die mit Pfeilen verbunden sind, ganz ähnlich wie zuvor bei allgemeinen Relationen
über A × B. Da dieses Mal jedoch A = B gilt, ist es nicht mehr sinnvoll, die
Elemente aus der Quellmenge links, und die Elemente aus der Zielmenge rechts zu
schreiben. Stattdessen ordnen wir die Elemente aus A beliebig so an, wie es uns
hilft, die Zusammenhänge der Relation besser zu verstehen.
(a) transitiv
(b) Reflexiv
(c) symmetrisch,
aber nicht
transitiv
(d) symmetrisch
und transitiv
Abbildung 4.2: Eigenschaften für Relationen über einer Grundmenge A.
Intuition
Wie erkennen wir an der graphischen Darstellung die oben definierten Eigenschaften?
• reflexiv: Jeder Knoten hat eine Kante zu sich selbst.
• irreflexiv: Es gibt keinen Knoten, der eine Kante zu sich selbst hat.
• transitiv: Alle Knoten a, von denen man zu einem Knoten c über zwei
Kanten (a, b) und (b, c) gelangen kann, haben auch eine direkte Kante
von a nach c.
• symmetrisch: Existiert zwischen Knoten a und b eine Verbindung, so
kann man sowohl von a nach b als auch von b nach a kommen.
• antisymmetrisch: Man kann entweder nur von a nach b oder von b
nach a kommen.
108
4.2 Eigenschaften von binären Relationen R
Definition 4.5 (Äquivalenzrelationen)
Eine Relation R auf A heißt Äquivalenzrelation, wenn sie reflexiv, transitiv und
symmetrisch ist.
Äquivalenzrelationen
Eine sehr bekannte Äquivalenzrelation ist Gleichheit = bzw. die logische
Äquivalenz ≡. Überlegen Sie sich, welche Konsequenzen es hätte, wenn die
Gleichheit bzw. die logische Äquivalenz keine Äquivalenzrelation wäre
Definition 4.6
Sei R eine Äquivalenzrelation auf A. Die Menge [x]
Äquivalenzklasse mit Repräsentanten x.
=
{y|xRy} heißt
Die bekanntesten Äquivalenzklassen sind Brüche. Wir lernen sehr schnell, dass
sich zum Beispiel 12 und 24 unter allen Umständen gleich verhalten. Wir wissen,
dass es egal ist, welche der beiden Repräsenationen wir zum Rechnen benutzen.
Kürzen und Erweitern, was wir aus der Bruchrechnung kennen, sind Operationen auf Brüchen, die die Äquivalenzklasse erhalten, da sie nur die Repräsentation
ändern.
Definition 4.7
Eine Relation R auf A heißt Ordnungsrelation, wenn sie reflexiv, transitiv und
antisymmetrisch ist.
Ordnungsrelationen
Eine sehr bekannte Ordnungsrelation ist die Kleiner-Gleich-Beziehung ≤.
Überlegen Sie sich, welche Konsequenzen es hätte, wenn es keine Ordnungsrelation wäre.
Wozu brauchen wir nun Ordnungsrelationen? Wie der Name schon sagt, ordnen
sie die Elemente von Mengen. Mit Hilfe von ⊆ kann man sogar eine Ordnung auf
der Mengen einführen.
Aufgabe 4.1
Beweisen Sie: ⊆ ist eine Ordnungsrelation auf Mengen.
Nun die nächste Frage: Wozu braucht man eine Ordnung? Ordnungen sind immer dann von Vorteil wenn man zwei Elemente nach gewissen Eigenschaften miteinander vergleichen möchte. Denn sobald man sie vergleichen kann, dass heißt
sobald ein Paar mit beiden Elementen in der Relation vorkommt, ist es eindeutig.
Eindeutigkeit
Mit welcher Eigenschaft können wir die Eindeutigkeit begründen?
109
4 Relationen
Die ≤-Ordnung hat noch eine besonders schöne Eigenschaft: Je zwei natürliche
Zahlen sind miteinander vergleichbar.
Definition 4.8
Sei R eine Ordnungsrelation über der Menge M. R heißt total oder linear genau
dann, wenn für alle a, b ∈ M mit a6=b entweder (a, b) ∈ R oder (b, a) ∈ R.
Wie können wir uns eine totale Ordnung vorstellen? Betrachten wir die beiden natürlichen Zahlen 4 und 100, dann gilt zum Beispiel: (4, 100) ∈≤, aber
(100, 4) 6∈≤. Somit haben wir nur eines der möglichen Paare in unserer Relation.
Aufgabe 4.2
Ist ⊆ eine Totalordnung auf Mengen? Beweisen Sie Ihre Behauptung.
Intuition
Im sprachlichen Umgang erkennen wir relativ einfach, ob eine Relation eine
Ordnungsrelation oder eine Äquivalenzrelation ist, indem wir darauf achten,
was wir mit der Relation erreichen möchten. Wollen wir eine hierarchische
Ordnung auf den Elementen der Grundmenge etablieren, dann handelt es
sich mit großer Wahrscheinlichkeit um eine Ordnungsrelation. Möchten wir
dahingehend aber die Elemente, nach Ähnlichkeit zusammenfassen, z.B. eine
Menge von Tieren nach Merkmalen wie “hat Wirbersäule” und “hat keine
Wirbelsäule” oder Pflanzen nach “fleischfressend” und“nicht fleischfressend”
ordnen, also eine Grundmenge nach Merkmalen unterteilen, dann haben wir
es vermutlich mit einer Äquivalenzrelation zu tun.
Die 0 hat in der Relation ≤ eine besondere Stellung. Sei dazu a ∈ N. Dann gilt
- egal welche Zahl a ist - (0, a) ∈ R.
Definition 4.9
Sei R eine Totalordnung auf einer Menge M. Sei U ⊆ M eine nicht-leere Teilmenge. x ∈ U heißt minimales Element in U, wenn ∀x0 ∈ U : (x0 , x) ∈ U → x = x0 .
y ∈ U ist Minimum von U, falls ∀x ∈ U : y ≤ x.
Besonders schön finden die meisten Mathematiker und Informatiker sogenannte
wohlfundierte Relationen - wir werden in Kapitel 5 noch sehen wieso.
Definition 4.10
Sei R eine Totalordnung auf der Menge M. R heißt wohlfundiert, falls jede nichtleere Teilmenge von R ein minimales Element besitzt.
In der Tat ist ≤ eine Wohlordnung auf den natürlichen Zahlen.
110
4.3 Relationskomposition
Wohlordnungen auf unendlichen Mengen
Ist ≤ eine Wohlordnung auf den ganzen Zahlen? Können Sie eine (andere)
Wohlordnung auf den ganzen Zahlen einführen?
Genau auf diese Wohlordnungen bezieht sich das Wohlfundiertheitsaxiom. Es
besagt, dass es für jede Menge M eine Relation R ⊆ M × M eine solche Wohlordnung gibt.
Intuition
Man kann wohlgeordnete Mengen daran erkennen, dass es von einem Startpunkt aus nicht möglich sein darf unendlich oft abzusteigen, d.h. wir dürfen
keine Kette der folgenden Form finden: Sei R eine Relation auf der Menge
M. Sei x ∈ R. Es darf keine unendliche Folge von verschiedenen Werten in
M geben, so dass von x ausgehend zunächst (y, x) ∈ R, dann (z, y) ∈ R für
y, z ∈ R und so weiter.
In der graphischen Repräsentation erkennen wir eine unendliche Kette daran, dass wir im Graphen unendlich weit laufen können ohne einen Knoten
wiederzusehen.
4.3 Relationskomposition
Betrachten wir einmal die Studenten einer Universität. Jeder Student hat eine
Matrikelnummer. Als Relation können wir das in etwa so modellieren: Sei R die
Student-Matrikelnummerbeziehung. Dann ist R ⊆ Studenten × Matrikelnummern.
Nun werden nach einer Vorlesung die Noten in Abhängigkeit von den Matrikelnummern herausgegeben, wir haben also eine Relation S ⊆ Matrikelnummern × Noten.
Nun wollen wir wissen, welcher Student welche Note erhalten hat. Dazu betrachten
wir zunächst welcher Student, welche Matrikelnummer hat, merken uns die Matrikelnummer und schauen dann, welche Note dieser Matrikelnummer zugeorndet
ist. Diesen Vorgang nennen wir Relationskomposition.
Definition 4.11
Seien M, N und P Mengen und R und S Relationen mit R ⊆ M ×N und S ⊆ N ×P .
Die Komposition der Relationen R ◦ S ist definiert wie folgt:
(x, z) ∈ R ◦ S ↔ ∃y : (x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ S
Beispiel 4.6
Seien die Relationen R
=
{(1, 4), (2, 3), (3, 1), (1, 2)} und S
=
{(4, 2), (1, 3), (3, 1), (2, 4)} gegeben. Die Komposition R ◦ S ist nun definiert
als {(1, 2), (2, 1), (1, 4), (3, 3)}.
In der Praxis . . .
111
4 Relationen
Betrachten wir erneut die Relationen R = {(1, 4), (2, 3), (3, 1), (1, 2)} und
S = {(4, 2), (1, 3), (3, 1), (2, 4)}. Im Bild TODO::Pfeilbild::ODOT schreiben
wir drei Spalten mit den Zahlen von 1 bis 4. Zwischen den ersten beiden
Spalten tragen wir R, zwischen den letzten beiden Spalten S ab. Wir haben
nun alle Paare in R ◦ S, die über zwei Pfeile miteinander verbunden sind, so
zum Beispiel (1, 2). Wir können nämlich von 1 nach 4 und schließlich von 4
zu 2 laufen.
Funktionskomposition Die Komposition auf Funktionen ist umgekehrt definiert: Seien M , N und P Mengen und seien f : N → P und g : M → N
Funktionen. Dann ist (f ◦ g)(x) := f (g(x)). Betrachen wir f und g als Relationen, so würde (x, z) ∈ f ◦ g genau dann gelten, wenn es ein y ∈ N gibt, so
dass (x, y) ∈ f und (y, z) ∈ g. Damit ist die Komposition genau umgekehrt
definiert.
4.4 Alternative Definitionen
Zum Abschluss von Relationen wollen wir nun noch alternative Charakterisierungen von Transitivität, Symmetrie und Antisymmetrie einführen.
Satz 4.1
Sei R eine Relation auf einer Menge M. Sei außerdem Ref (M ) := {(x, x) | x ∈
M }.
1. R ist transitiv, wenn R ◦ R ⊆ R.
2. R ist antisymmetrisch, wenn R ∩ R−1 ⊆ Ref (M ).
3. R ist symmetrisch, wenn R−1 ⊆ R.
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