1.3 Das Standardmodell der Teilchenphysik: Die fundamentalen

1.3 Das Standardmodell der Teilchenphysik:
Die fundamentalen Wechselwirkungen
und ihre Vereinheitlichung
Lokale Eichfeldtheorien (Yang-Mills-Theorien; Yang und Mills
1954) erlauben eine einheitliche Beschreibung aller bekannten
Wechselwirkungen der fundamentalen Materiebausteine
(Leptonen und Quarks) basierend auf einem Symmetrieprinzip.
Die Eichsymmetriegruppen legen die Eigenschaften der
Wechselwirkungen vollständig fest. Die elementaren Fermionen
(Spin 12 ) besetzen die Multipletts der fundamentalen
Darstellungen der Eichsymmetrien.
Die Generatoren der Eichsymmetriegruppen (Lie-Gruppen) sind
die verallgemeinerten Ladungsoperatoren der Wechselwirkungen
(hermitesch). Die Wechselwirkung wird vermittelt durch den
Austausch von Vektorbosonen (Spin 1), den Eichfeldquanten.
Die elektromagnetische, die schwache und die starke
Wechselwirkung lassen sich durch die einfachsten speziellen
unitären Symmetriegruppen beschreiben:
Wechselwirkung El. magn.
Eichsymmetrie
Theorie
Ladungen
Eichbosonen
Schwach
Stark
U (1)
SU (2)
SU (3)
QED
GSW
QCD
elektrische 3 schwache 8 FarbLadung Ladungen ladungen
Photon
W ±, Z 0 8 Gluonen
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123
Die Zahl der unabhängigen Parameter und damit der
Generatoren (verallgemeinerte Ladungen) der Gruppe SU (N )
ist N 2 − 1 (Ordnung der Gruppe).
Die Dimension der fundamentalen Darstellung ist N = Zahl
der inneren Freiheitsgrade der Teilchenzustände.
Die Eichsymmetriegruppe des Standardmodells ist das Produkt
der Lie-Gruppen
U (1) ⊗ SU (2) ⊗ SU (3)
Die freien Fermionenzustände des Standardmodells sind daher
(f = e, µ, τ, νe, νµ, ντ , u, d, s, c, b, t):
.
Teilchen :
µ
ψf+(x; E > 0) = u(p)e−ipµx × eiQf α ×
.
u
d
!
Antiteilchen :
µ
ψf−(x; E < 0) = v(p)eipµ·x × e−iQf α ×




r
 
× g 
L
b q
u
d
!
r̄
 
×  ḡ 
R
b̄ q̄
Vorbild für die moderne Beschreibung der Teilchenphysik durch
Eichtheorien ist die Quantenelektrodynamik.
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124
1.3.1 Die Quantenelektrodynamik (QED)
Eichfeldtheorie mit der Symmetriegruppe U(1) (elektrische
Ladung).
Eichfeld (Photonfeld): 4-Vektorpotential Aµ(x).
Eichboson (Photon):
Eichsymmetrie.
Spin 1,
masselos aufgrund der
Lagrangedichte für Kopplung an elementare Fermionen
(f = e, µ, τ, u, d, s, c, b, t):
LQED
1
= − Fµν F µν
4
1
= − Fµν F µν
4
+
X
f
+
X
f
− e
ψ f (iγ µDµ − mf )ψf
ψ f (iγ µ∂µ − mf )ψf
X
!
Qf ψ f γ µψf Aµ
f
= Lfrei + LW W
mit der kovarianten Ableitung
Dµ = ∂µ + ieQf Aµ(x)
und dem Feldtensor
Fµν (x) = ∂ν Aµ(x) − ∂µAν (x).
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125
Strom-Eichfeld-Kopplung:
γ
Aµ
µ
Aµ
LW W = −ejel.magn.
ψf
Qf e
ψ̄f
t
mit dem elektromagnetischen Strom
µ
jel.magn.
=
X
µ
jel.magn.
Qf ψ f γ µψf .
f
Die Kopplungstärke ist gegeben durch die Elementarladung e.
Qf ist Eigenwert des Ladungsoperators (Generator der U (1)Eichsymmetriegruppe).
Lokale U(1)-Eichtransformationen:
ψf (x)
ψ f (x)
Aµ(x)
Dµψf (x)
−→
−→
−→
−→
eiQf α(x)ψf (x)
e−iQf α(x)ψ f (x)
Aµ(x) − ∂µα(x)
eiQf α(x)Dµψf (x).
d.h. ψ f γµψf und ψ f Dµψf sind invariant.
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126
Globale U(1)-Eichsymmetrie =⇒ Erhaltung der elektrischen
Ladung (Noether-Theorem):
Kontinuitätsgleichung:
µ
=
∂µjel.magn.
=⇒
dQ
=
dt
Z
d3 x
∂ρ
=−
∂t
Z
∂ρ ~ ~
+ ∇ · j = 0.
∂t
~ · ~j = −
d3x∇
I
d~σ · ~j = 0.
Die Eichinvarianz verlangt mγ = 0.
Experimentell:
mγ < 4.5 · 10−16 eV aus der Vermessung des Magnetfelds des
Jupiter durch die Pioneer 10-Sonde und
mγ < 3 · 10−27 eV aus der Vermessung des galaktischen
Magnetfelds.
Die Eichwechselwirkungen müssen unendliche Reichweite
besitzen!
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127
Weitere Symmetrien der QED:
• Lorentzinvarianz + Invarianz unter Raum-Zeit-Translationen
(Homogenität und Isotropie der Raum-Zeit)
=⇒ Energie-Impuls- und Drehimpulserhaltung (NoetherTheorem).
• Diskrete Symmetrien:
1. Lepton- und Quarkflavour-Erhaltung.
2. Parität P (Raumspiegelung): ~x −→ −~x, p~ −→ −~
p.
3. Zeitinversion T: t −→ −t.
4. Ladungskonjugation C: Qf −→ −Qf .
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128
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129
1.3.2 Die Schwache Wechselwirkung
Beschreibung in Analogie zur QED mit Kopplung schwacher
Ströme an massive, elektrisch geladene Feldquanten W ±:
j µ−Wµ+ + j µ+Wµ−
Kurzreichweitige Wechselwirkung mit Änderung der Leptonund Quark-Flavour.
Nuklearer β-Zerfall: n −→ pe−ν e
jµ+
u
n d
d
p
n
e−
g
ν¯e
t
u
d p
u
e−
jµ+
W−
g
ν¯e
Myonzerfall: µ+ −→ e+νeν µ
jµ−
+
µ
Erweiterung der
4-Fermion-WW
Fermis:
µ+
e
+
g
t
W+
νe
g
jµ−
e+
GF
ν¯µ
ν¯µ
νe
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130
Schwache Übergänge legen Paarung der elementaren Fermionen
in Dubletts nahe, der fundamentalen Darstellung der SU(2)Gruppe (in Analogie zu Spin und Isospin).
Linkshändige Zustände in SU(2)-Dubletts:
L` :
Lq :
νe
e−
!
u
d0
!
L
L
νµ
µ−
c
s0
!
L
!
L
ντ
τ−
t
b0
!
!
L
L
Qf
Yf
If0
0
−1
−1
−1
+ 12
− 12
+ 23
− 13
+ 13
+ 13
+ 12
− 12
0
−2
+ 43
− 23
0
0
0
0
Rechtshändige Zustände in SU(2) − Singuletts :
νeR
e−
R
uR
dR
νµR
µ−
R
cR
sR
ντ R
τR−
tR
bR
0
−1
+ 23
− 13
Q = I 0 + Y /2
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131
Die schwache Wechselwirkung bewirkt flavour-ändernde
Übergänge innnerhalb der Fermion-Dubletts L` (Leptonen)
und Lq (Quarks).
Nur linkshändige Fermionen ψL bzw. rechtshändige AntiFermionen ψ R nehmen an der schwachen WW teil.
⇐⇒ beobachtete maximale Paritätsverletzung durch die
schwache WW (V − A-Form der schwachen Ströme).
Paritätsverletzung in der schwachen Wechselwirkung:
• K + → π +π 0 und K + → π +π −π + (Lee, Yang 1956).
• Elektronpolarisation im Kern-β-Zerfall (Wu 1957).
Projektion der Chiralitätszustände:
ψL = PLψ =
ψR = PRψ =
!
1 − γ5
ψ
2
!
1 + γ5
ψ
2
ψ L = (PLψ)†γ 0 = ψPR
ψ R = (PRψ)†γ 0 = ψPL
mit PL + PL = 1, PL2 = PL, PR2 = PR, γ µPL = PRγ µ.
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132
Chiralität γ5 = γ5†:
γ5ψL = −ψL
γ5ψR =
ψR
für masselose Teilchen.
·~
p
Die Helizität h = |~~ss·~
p| ist abhängig vom Bezugssystem
(Impulsrichtung), außer für masselose Teilchen. Für masselose
Teilchen haben Helizität und Chiralität den gleichen Wert.
Schwache Fermion-Ströme:
µ
= ψ Lγ µψL
jschwach
= (PLψ)†γ 0γ µPLψ = ψ †PLγ 0γ µPLψ
1
= ψγ µPLψ = ψγ µ(1 − γ5)ψ
2
d.h. Vektor (γ µ)–Axialvektor (γ µγ5)-, V − A-Strom.
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133
Lokale schwache Isospin-Eichsymmetrie SU (2)L:
~~
SU(2)-Dubletts (L): Lf −→ eiI·β(x)Lf .
SU(2)-Singuletts (R): ψR −→ ψR .
3 Parameter (z.B. Euler-Winkel), 3 Generatoren (Ladungen):


Ix


• Isospinvektor I~ =  Iy 
Iz
• Lie-Algebra: [Ii, Ij ] = iεijk Ik
mit Strukturkonstanten εijk .
• Auf- und Absteigeoperatoren: I ± = 21 (Ix ± iIy ); I 0 = Iz .
Fundamentale SU(2)-Darstellung (2-dimensional):
~ = 1 , Iz = ± 1 .
• Fermion-Dubletts mit |I|
2
2
• I~ =
~
τ
2
mit Pauli’schen Spin-Matrizen τi (i = 1, 2, 3).
[τi, τj ] = 2iεijk τk ,
τ+ =
τ ± = 12 (τ1 ± iτ2 ).
0 1
0 0
!
; τ− =
0 0
1 0
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!
.
134
1.5.2.1 Die Elektroschwache Wechselwirkung
(Glashow-Salam-Weinberg-Theorie)
Gemeinsamer Ansatz mit lokaler SU (2)L- und U (1)Y Eichsymmetrie
(Glashow 1961, Salam 1968, Weinberg 1967).
Die elektromagnetische Wechselwirkung muß wegen der
elektrisch geladenen schwachen Eichbosonen W ± miteingeschlossen werden.
Y ist die schwache Hyperladung mit [Iz , Y ] = 0 (direktes
Produkt der Symmetriegruppen).
Deshalb is Yf gleich für die beiden Mitglieder eines SU (2)LDubletts und Q 6= Y .
Die elektromagnetischen Ladungen in den Multipletts ergeben
sich konsistent aus der Beziehung Q = I3 + Y /2.
Damit entsteht eine vereinheitlichte Eichtheorie der schwachen
und der elektromagnetischen Wechselwirkung, die aber noch
zwei verschiedene Kopplungskonstanten g (schwacher Isospin)
und g 0 (schwache Hyperladung) enthält:
1
LSU (2)×U (1) = − fµν f µν
4
X
+
(ψ f R iγ µDµR)ψf R
f
1 i iµν
Fµν F
4
X
+
(Lf iγ µDµL)Lf
−
L
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135
mit den linkshändigen SU (2)-Dubletts Lf , den SU (2)Singuletts ψf und den kovarianten Ableitungen:
DµL = ∂µ · 1 + ig
DµR
0 Yf L
0
2
~ µ(x)
Bµ(x) · 1 + ig I~ · W
g
g
~ µ(x)
= ∂µ · 1 + i Yf LBµ(x) · 1 + i ~τ · W
2
2
Yf R
Bµ(x),
= ∂µ + ig 0
2
=⇒ minimale eichinvariante Kopplung an 4 masselose
Eichfelder für U (1)Y und SU (2)L:

~ µ(x) = 
Bµ(x) und W

Wµx(x)
Wµy (x)
Wµz (x)



mit den Definitionen der Feldtensoren
fµν
i
Fµν
= ∂ν Bµ(x) − ∂µBν (x)
.
= ∂ν Wµi (x) − ∂µWνi (x) + gεijk Wµj (x)Wνk (x).
so daß die Form der Lagrangedichte für die freien Eichfelder
wie für die QED ist (s.o.).
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136
Alle Fermion-Massen = 0 wegen globaler SU (2)L-Invarianz:
Unterschiedliche Massen in den Fermion-Dubletts verletzen die
SU(2)-Symmetrie. Ein Dirac-Massenterm mψψ = m(ψ LψR +
ψ RψL) ist nicht invariant.
=⇒ Massen der elektroschwachen Eichbosonen (außer γ) und
der Fermionen durch spontane Brechung der lokalen
SU (2)L ⊗ U (1)Y -Eichsymmetrie (Higgs-Mechanismus, s.u.).
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137
Lokale SU(2)-Eichtransformationen U(x):
~
ig ~τ2 β(x)
0
L −→ L = U (x) · L = e
L
Damit die Lagrange-Dichte invariant bleibt, ist die die
Transformation der kovarianten Ableitung nach Definition:
Dµ0 L0
~τ ~ 0 0
= (∂µ + ig · Wµ)L ≡ U (DµL)
2
(d.h. Dµ0 = U DµU −1).
~τ ~ 0
=⇒ U (∂µL) +
∂µ U L + ig · W
µ(U · L)
2
~τ ~
· Wµ L
≡ U (∂µL) + igU
2
~τ ~
~τ ~ 0
1
(U
·
L)
=
U
=⇒ · W
·
W
(∂µU )L.
L
−
µ
µ
2
2
ig
Damit ist die Eichtransformation der nicht-Abelschen Eichfelder
definiert durch:
~ µ −→ ~τ · W
~ µ0 = U (~τ · W
~ µ)U −1 + i (∂µU )U −1
~τ · W
g
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138
Für infinitesimale Eichtransformationen,
~τ ~
U (x) = 1 + ig · β(x),
2
gilt:
Wµi (x)
−→
Wµi0(x)
=
Wµi (x)
1
− ∂µβ i(x) − εijk β j (x)Wµk (x)
g
Für Abelsche U (1)Y -Eichtransformationen,
i Y2 α(x)
UY (x) = e
,
gilt allgemein:
Bµ(x) −→
Bµ0 (x)
=
UY BµUY−1
≡ Bµ(x) −
2i
+ 0 (∂µUY )UY−1
gY
1
∂µα(x)
0
g
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139
Umformung der Lagrange-Funktion:
unter Benutzung von
ψγ µ∂µψ = ψγ µ∂µ(PL2 + PR2 )ψ
= ψPRγ µ∂µPLψ + ψPLγ µ∂µPRψ
= ψ Lγ µ∂µ ψL + ψ Rγ µ∂µψR
mit γ µPL,R = PR,Lγ µ, ψ = ψ †γ 0
und ψ L = (PLψ)†γ 0 = ψ †PLγ 0 = ψPR.
.
LSU (2)×U (1) =
1 i iµν X
1
µν
fµν f − Fµν F
−
ψ f (iγ µ∂µ)ψf
+
4
4
f
X
X
Yf
~τ
~µ
− g0
ψ f γ µ ψf Bµ − g
Lf γ µ · Lf W
2
2
f
L
= Lfrei + LWW .
LW W
~µ
= −g 0jYµ Bµ − g~jIµ · W
g
= −g 0jYµ Bµ − gjIµ0Wµ0 − √ jIµ−Wµ+ + jIµ+Wµ−)
2
= LN C + LCC
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140
mit dem flavour-ändernden geladenen schwachen Strom (CC):
jIµ±
=
X
L
Lf γ µτ ± Lf = jIµ1 ± ijiµ2
und den geladenen schwachen Eichbosonen (siehe β-Zerfälle):
Wµ±
1
= √ (Wµ1 ± iWµ2)
2
Denn es gilt:
(jIµ−Wµ+ + jIµ+Wµ−) =
1
1
= (jI1 − ijI2) √ (Wµ1 + iWµ2) + (jIµ1 + ijIµ2) √ (Wµ1 − iWµ2)
2
√ µ1 1 2 µ2 2
=
2(jI Wµ + jI Wµ ).
.
Die flavour-erhaltenden neutralen elektroschwachen Ströme jYµ
und jIµ0 koppeln an die neutralen Eichbosonfelder Bµ(x) und
Wµ0.
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141
Fragen:
Wie läßt sich der elektromagnetische Strom der QED
identifizieren?
Gibt es einen neutralen schwachen Strom?
Die erhaltenen Ladungen aufgrund der globalen SU(2)Eichsymmetrie sind:
Ii =
Z
i
i
τ
dI
=0
d3xLγ 0 L;
2
dt
mit [I i, I j ] = iεijk I k .
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142
Beispiel:
Die erste Lepton-Familie L =
.
LW W (SU (2)) = −gL γ
g
= − (ν eL, eL)γ µ
2
νe
e−
µτ
i
2
!
:
L
Wµi L
!
νeL
Wµ3
Wµ1 − iWµ2
eL
Wµ1 + iWµ2
−Wµ3
!
!
√
−
0
2Wµ
νeL
W
√ µ+
eL
2Wµ
−Wµ0
g
= − (ν eL, eL)γ µ
2
g
= − [ν eγ µ(1 − γ5)νeWµ0 − eγ µ(1 − γ5)eWµ0]
2
g
. − √ [ν eγ µ(1 − γ5)eWµ− + eγ µ(1 − γ5)νeWµ+].
2
0
1
1
2
e, νe
e, νe
τ
=
,
τ
=
1
0
NC
W0
3
τ
=
e
νe
W
±
CC
0
i
1
0
−i
0
0
−1
!
,
X
Y
f
LW W (U (1)) = −g 0
ψ f (γ µ ψf Bµ
2
f
g0
= − YL[ν eLγ µνeL + eLγ µeL]Bµ
2
g0
. − [YνRν eR γ µνeR + YeReR γ µeR ]Bµ.
2

YL = −1 
1
mit Q = I0 + Y.
YeR = −2

2
Yν R = 0
PD Dr. H. Kroha: Tests des Standardmodells der Teilchenphysik, WS 2004/05
143
.
=⇒ Neutrale Ströme:
LN C
1
g0
0
µ
0
= − (gWµ + g YLBµ)(ν eLγ νeL) − YνRBµ(ν eRγ µνeR )
2
2
0
1
g
+ (gWµ0 − g 0YLBµ)(eLγ µeL) − YeR Bµ(eRγ µeR).
2
2
Neutrale Ströme der ungeladenen Neutrinos können nur durch
die schwache Wechselwirkung vermittelt werden.
Sie wurden 1973 am CERN entdeckt in der Reaktion: νµp →
νµp (kein Myon im Endzustand).
Nach orthonormaler Transformation (Rotation) der neutralen
Eichbosonfelder
Bµ
Wµ0
!
−→
Aµ
Zµ0
!
=
cos θW
− sin θW
sin θW
cos θW
!
Bµ
Wµ0
!
mit dem sog. Weinberg-Winkel θW und
g
cos θW = p
;
2
2
02
g + g YL
g 0YL
sin θW = p
g 2 + g 02YL2
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144
erhält man das Photonfeld
gBµ − g 0 YLWµ0
Aµ = p
g 2 + g 02YL2
und ein neues neutrales schwaches Eichbosonfeld (orthogonal
zum el.magn. Feld):
Zµ0
gWµ0 + g 0YLBµ
.
= p
2
2
02
g + g YL
Sowohl das Z 0-Boson als auch die W ±-Bosonen wurden 1983
am CERN in pp̄-Reaktionen direkt erzeugt und nachgewiesen
(s.u.).
Die neutrale schwache Wechselwirkung, Kopplung neutraler
schwacher Fermionströme an das Z 0-Eichboson, wird durch
die GSW-Theorie vorhergesagt (schon früher vermutet) und
wurde 1973 in Neutrinostreuung an Protonen in einem
Blasenkammerexperimnent am CERN nachgewiesen (s.u.).
PD Dr. H. Kroha: Tests des Standardmodells der Teilchenphysik, WS 2004/05
145
Durch Invertieren der Transformation,
Bµ =
Wµ0 =
gAµ + g 0YLZµ0
p
,
2
2
02
g + g YL
gZµ0 − g 0YLAµ
p
,
2
2
02
g + g YL
und Einsetzen in LN C ergibt sich:
.
L
pN C =
g 2 + g 02YL2 0
Zµ(ν eLγ µνeL)
−
2
gg 0YL
gg 0YR
µ
µ
p
− p
A
(e
A
(e
γ
e
)
−
γ
eR)
µ
µ
L
L
R
2
2
2
02
2
02
g + g YL
2 g + g YL
g 02YLYR
g 02YL2 − g 2
0
0
µ
µ
p
p
(e
(e
Z
Z
−
γ
e
)
−
γ
eR)
L
L
R
µ
µ
2
2
2
02
2
02
2 g + g YL
2 g + g YL
=⇒ Neutrinos koppeln nicht an das elektromagnetische Feld
Aµ.
Nur die linkshändigen Neutrinos wechselwirken durch die
neutrale schwache Kraft über Zµ0 .
Rechtshändige Neutrinos haben keine Wechselwirkung, da auch
ihre schwache Ladung Y (νR ) = 0.
PD Dr. H. Kroha: Tests des Standardmodells der Teilchenphysik, WS 2004/05
146
Die elektromagnetische WW wird identifizert durch die
Festlegung:
p
g 2 + g 02YL2
YL = −e
= −1 und YR = 2YL.
0
gg
Damit ist
p
g 2 + g 02 =
e
cos θW sin θW
gg 0
= g 0 cos θW = g sin θW
e=p
g 2 + g 02
02
2
g −g
p
2 g 2 + g 02
g 02
e
1
=
− + sin2 θW
cos θW sin θW
2
−p
g 2 + g 02
e
=
− sin2 θW
cos θW sin θW
PD Dr. H. Kroha: Tests des Standardmodells der Teilchenphysik, WS 2004/05
147
und die neutrale Stromwechselwirkung erhält die Form:
LN C = −
−
g
(ν eLγ µνeL)Zµ0
2 cos θW
e
1
− + sin2 θW (eLγ µeL)
cos θW sin θW
2 + (− sin2 θW )(eRγ µeR) Zµ0
X
− e
(Qf ψ f γ µψf )Aµ
f
Allgemein gilt:
LN C = −
·
e
·
cos
θ
sin
θ
W
XW
[(If3L,R − Qf L,R sin2 θW )(ψ f L,R γ µψf L,R )]Zµ0
fR ,fL
− e
X
(Qf ψ f γ µψf )Aµ.
f
e
(If3 − Qf sin2 θW )
cos θW sin θW
ist die schwache neutrale Kopplung aller linksrechtshändigen Fermionzustände an das Z 0-Boson.
PD Dr. H. Kroha: Tests des Standardmodells der Teilchenphysik, WS 2004/05
und
148
1.3.3 Die Starke Wechselwirkung:
Quantenchromodynamik (QCD)
SU(3)-Eichfeldtheorie der starken Wechselwirkung zwischen
Quarks mit 8 Ladungen (Generatoren) λa (a = 1, ..., 8):
[λa, λb] = 2if abcλc
mit den Strukturkonstanten fabc der SU (3)-Lie-Algebra.
Lokale Eichtransformation:
Ψq (x) −→
Ψ0q (x)
a
igs λ2 γ a (x)
= U (x)Ψq (x) = e
Ψq (x).
Lagrange-Funktion:
LQCD
1 a aµν X
= − Fµν F
Ψq (iγ µDµ − mq )Ψq
+
4
q
mit der kovarianten Ableitung (mit Dµ0 Ψ0 = U (DµΨ)):
λa a
Dµ = ∂µ + igs Gµ,
2
PD Dr. H. Kroha: Tests des Standardmodells der Teilchenphysik, WS 2004/05
149
den 8 masselosen Eichbosonfeldern Gaµ(x) (a = 1, ..., 8)
a0
a
und den Feldtensoren (mit λaFµν
= U λaFµν
U †):
a
Fµν
= ∂ν Gaµ − ∂µGaν + gsf abcGbµGcν .
In der fundamentalen SU(3)-Darstellung bilden die Quarkfelder
Tripletts mit einer neuen inneren Quantenzahl “Farbe” oder
Colour (rot, grün, blau): Ψq = ψq · χC :








1
qr
0
0

 

 
 
χC =  qg  ; χr =  0  ; χg =  1  ; χb =  0  .
qb
0
0
1
Die Antiquarks befinden sich in der konjugierten fundamentalen
Darstellung und besitzen Antifarben
(r̄, ḡ, b̄).
g
r
J+
Einführung von Schiebeoperatoren in
V+
U+
den SU (3)C Farb-Tripletts:
b
IC±
=
VC± =
UC± =
1
(λ1 ± iλ2 ); (Transformation g ←→ r),
2
1
(λ4 ∓ iλ5 ); (Transformation r ←→ b),
2
1
(λ6 ± iλ7 ); (Transformation b ←→ g).
2
PD Dr. H. Kroha: Tests des Standardmodells der Teilchenphysik, WS 2004/05
150
Ihre Funktion in Analogie zu τ ± für SU (2) ist offensichtlich mit
der 3-dim. Darstellung der λ-Matrizen (Gell-Mann-Matrizen):
λ1
λ4
λ6

0

=  1
0

0

=  0
1

0

=  0
0
λ3 =
λ8 =
1
0
0
0
0
0
0
0
1

r
1
1
√ 
3  0
0


0 −i
0
0



0
0  (g ←→ r)
0  ; λ2 =  i
0
0
0
0



1
0
0 −i



0  ; λ5 =  0
0
0  (r ←→ b)
0
i
0
0



0
0
0
0



0 −i  (b ←→ g)
1  ; λ7 =  0
0
0
i
0
r
g
1
0

 0 −1
0
0


b

0

0 
0
g
b

0
0

1
0 
0 −2
r̄
ḡ
b̄
(koppelt rr̄, −gḡ)
r̄
ḡ
b̄
(koppelt rr̄, gḡ, −2bb̄).
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151
=⇒ Wechselwirkungsterm der QCD-Lagrangedichte:
a
µλ
LW W (SU (3)C ) = −gs(Ψγ
Ψ)Gaµ = jcµ,a · Gaµ
2
"
erhaltener
Farbstrom
gs
µ +
µ −
= −√
Ψγ IC Ψ(gr̄)µ + Ψγ IC Ψ(rḡ)µ
2
+ Ψγ µVC+Ψ(r b̄)µ + Ψγ µVC−Ψ(br̄)µ
+ Ψγ µUC+Ψ(bḡ)µ + Ψγ µUC−Ψ(g b̄)µ
+
1
1
√ Ψγ µλ3ΨG3µ + √ Ψγ µλ8ΨG8µ
2
2
mit den 8 Gluonfeldern
#
Farbströme
g
r
1
gµ1 = (gr̄)µ = √ (G1µ − iG2µ), Antig1 =
g¯1 =
gluon
2
(gr̄)
(rḡ)
1
1
2
gµ2 = (rḡ)µ = √ (Gµ + iGµ) = g µ1,
2
+ t
J
1
gµ4 = (r b̄)µ = √ (G4µ + iG5µ),
2
analog zu
1
+
τ
gµ5 = (br̄)µ = √ (G4µ − iG5µ) = g µ4,
νe
e−
2
−
+
1
W
W
7
6
gµ6 = (bḡ)µ = √ (Gµ − iGµ ),
2
1
t
gµ7 = (g b̄)µ = √ (G6µ + iG7µ ) = g µ6,
2
r
r
1
3
Gluon gµ3 = √ (rr̄ − gḡ) = Gµ (farbneutral),
g3 , g8
2
=
ḡ
ḡ
1
8
Anti- g
µ8 = √ (rr̄ + gḡ − 2bb̄) = Gµ (farbneutral).
gluon
2
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152
zu 8 erhaltenen Farbladungsoperatoren, die sich in der N 2 −
1=8-dim. adjungierten Darstellung befinden:
3C ⊗ 3C = 1C + 8C .
Gluonaustausch ändert die
Quantenzahlen der Quarks.
Farb-,
nicht
die
Flavour-
Keine colour-Singulett-Gluonen in SU (3)C mit det U = 1 (im
Gegensatz zu U (3)):
würden an farbneutrale Zustände, Mesonen und Baryonen,
koppeln und starke Kernkräfte mit langer Reichweite, wie
elektromagnetische Felder, hervorrufen.
“Farbige” Teilchen (Quarks und Gluonen) sind in farbneutralen
colour-Singulett-Zuständen (Mesonen q q̄ und Baryonen qqq)
gebunden und treten nicht als freie Zustände auf (ConfinementHypothese).
Beispiel:
1
π + = √ (ur d¯r̄ + ug d¯ḡ + ubd¯b̄).
3
(Farbsingulettzustand 1C aus der Darstellung
3C ⊗ 3C = 1C + 8C ).
Kernkräfte sind Van-der-Waalssche Restwechselwirkung zur
Farbwechselwirkung der Quarks und Gluonen.
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153
Motivation der Farbquantenzahl:
1. Die neuen inneren Freiheitsgrade der SU (3)C Farbsymmetrie erlauben die Konstruktion einer antisymmetrischen Wellenfunktion für das Baryon ∆++ = (u ↑ u ↑ u ↑)
3+
P
mit J = 2 und L = 0:
1
χC (∆++) = √ εijk ui uj uk
6
(Farbsingulettzustand 1c aus der Darstellung
3C ⊗ 3C ⊗ 3C = 1C + 8C + 8C + 10C ).
2. Hadronischer
Vernichtung:
Wirkungsquerschnitt
+ −
R = σ(e e →
= NC ·
X
q(ECM >2mq )
X
in
e+e−-
der
q q̄)/σ(e+ e− → µ+µ−)
PSfrag
Q2q
e−
q(ECM >2mq )
e+
qr,g,b
γ
t
q̄r̄,ḡ,b̄
mit NC = 3 = Zahl der Farbfreiheitsgrade der Quarks im
Gegensatz zu Leptonen.
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154
3. Γ(π 0 → γγ) ∼ NC2 .
π
0
γ
u, d
ū, d¯
π 0 = uū + dd¯
γ
4. Renormierbarkeit der GSW-Eichfeldtheorie der elektroschwachen Wechselwirkung:
Aufhebung divergenter Terme in höherer Ordnung
der Störungstheorie, bei denen 2 Vektorströme und
1 Axialvektorstrom koppeln (sog. Dreiecks-Anomalien),
zwischen Lepton- und Quark-Beiträgen, falls gilt:
u
νe
Wµ−
X
f
Qf (L − Dubletts) = 0.
e−
d
Wν+
e+
d¯
t
Zλ0
Dies ist möglich, wenn Lepton- und Quark-Dubletts der
schwachen WW in jeder Familie gepaart sind, d.h. gleiche
Anzahl, und die Quarks jeweils in 3 Farben auftreten:
X
f
Qf =
X
`
Q` + NC ·
X
q
1
Qq = 3 · (−1 + NC · ) = 0.
3
D.h. Verknüpfung zwischen Leptonen und Quarks und
zwischen den Eichtheorien der elektroschwachen und der
starken WW: SU (2)L und SU (3)C !
PD Dr. H. Kroha: Tests des Standardmodells der Teilchenphysik, WS 2004/05
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