15 Kombinatorische Funktionen

Sebastian Thomas
RWTH Aachen, WS 2016/17
11.01.2017
Diskrete Strukturen
Vorlesung 18
15
Kombinatorische Funktionen
Bevor wir im nächsten Abschnitt zu kombinatorischen Problemen und zugehörigen Lösungsansätzen kommen,
führen wir nun einige Funktionen ein, welche uns dann im nächsten Abschnitt immer wieder begegnen werden.
Fakultäten
Wir beginnen mit der Fakultätsfunktion.
(15.1) Definition (Fakultät). Für n ∈ N0 heißt
Y
n! =
i,
i∈[1,n]
gelesen n fakultät, die Fakultät von n.
(15.2) Beispiel. Es gilt
0! = 1,
1! = 1,
2! = 2,
3! = 6,
4! = 24.
Beweis. Es gilt
Y
0! =
i = 1,
i∈[1,0]
1! =
Y
i = 1,
i∈[1,1]
2! =
Y
i = 1 · 2 = 2,
i∈[1,2]
3! =
Y
i = 1 · 2 · 3 = 6,
i∈[1,3]
4! =
Y
i = 1 · 2 · 3 · 4 = 24.
i∈[1,4]
Die Fakultätsfunktion erfüllt folgende Rekursionsgleichung:
(15.3) Bemerkung. Es gilt
(
1,
für n = 0,
n! =
(n − 1)! n, für n ∈ N.
Beweis. Für n = 0 gilt
Y
n! =
i = 1,
i∈[1,0]
und für n ∈ N gilt
Y
n! =
i=(
i∈[1,n]
Y
i) n = (n − 1)! n.
i∈[1,n−1]
1
Binomialkoeffizienten
Als nächstes kommen wir zu den Binomialkoeffizienten, welche im nächsten Abschnitt bei der Bestimmung der
Anzahl von Kombinationen und Multikombinationen auftreten werden.
(15.4) Definition (Binomialkoeffizient). Für n ∈ Z, k ∈ N0 heißt
Q
n
i∈[1,k] (n − i + 1)
,
=
k!
k
gelesen n über k, der Binomialkoeffizient von n über k.
Im Regelfall werden wir nur Binomialkoeffizienten nk für n, k ∈ N0 betrachten.
(15.5) Beispiel. Es gilt
5
= 10.
3
Beweis. Es gilt
Q
5
5·4·3
i∈[1,3] (5 − i + 1)
=
=
= 10.
3
3!
1·2·3
(15.6) Bemerkung. Für n, k ∈ N0 mit k > n gilt
n
= 0.
k
Beweis. Für n, k ∈ N0 mit k > n ist n + 1 ∈ [1, k], also
Y
Y
(n − i + 1) =
(n − i + 1) · (n − (n + 1) + 1) = 0
i∈[1,k]
i∈[1,k]\{n+1}
und damit
Q
n
i∈[1,k] (n − i + 1)
=
= 0.
k
k!
Die Binomialkoeffizienten erfüllen folgende Rekursionsgleichung:
(15.7) Proposition. Es gilt


für n ∈ Z, k = 0,
1,
n
= 0,
für n = 0, k ∈ N,

k
 n−1
n−1
+
,
für n ∈ Z \ {0}, k ∈ N.
k
k−1
Beweis. Für n ∈ Z, k = 0 gilt
Q
n
n
1
i∈[1,0] (n − i + 1)
=
=
= = 1.
0!
1
k
0
Für n = 0, k ∈ N gilt
n
0
=
=0
k
k
nach Bemerkung (15.6). Für n ∈ Z \ {0}, k ∈ N gilt
Q
Q
n−1
n−1
i∈[1,k] (n − 1 − i + 1)
i∈[1,k−1] (n − 1 − i + 1)
+
=
+
k
k−1
k!
(k − 1)!
Q
Q
(n
−
i)
·
(n
−
k)
+
i∈[1,k−1]
i∈[1,k−1] (n − i) · k
=
k!
Q
Q
Q
(n
−
i)
·
(n
−
k + k)
i∈[1,k−1]
i∈[0,k−1] (n − i)
i∈[1,k] (n − i + 1)
=
=
=
k!
k!
k!
n
=
.
k
2
(15.8) Korollar. Für n, k ∈ N0 ist
n
k
∈ N0 .
Nach Proposition (15.7) lassen sich die Binomialkoeffizienten nicht-negativer ganzer Zahlen rekursiv im sogenannten Pascalschen Dreieck berechnen:
(15.9)
Beispiel. Die Binomialkoeffizienten nk für n, k ∈ [0, 4] sind wie folgt gegeben.
n
0 1 2 3 4 k
k
0
1 0 0 0 0
1
1 1 0 0 0
1 2 1 0 0
2
3
1 3 3 1 0
1 4 6 4 1
4
n
(15.10) Proposition. Für n ∈ N0 , k ∈ [0, n] gilt
n
n!
=
.
k
k! (n − k)!
Beweis. Es seien n ∈ N0 , k ∈ [0, n] gegeben. Dann ist [1, k] → [n − k + 1, n], i 7→ n − i + 1 eine wohldefinierte
Bijektion mit Inverser [n − k + 1, n] → [1, k], j 7→ n − j + 1. Folglich gilt
Q
Q
Q
n!
n
j∈[n−k+1,n] j
j∈[1,n] j
i∈[1,k] (n − i + 1)
Q
=
=
=
.
=
k!
k!
k! j∈[1,n−k] j
k! (n − k)!
k
(15.11) Korollar. Für alle n ∈ N0 , k ∈ [0, n] gilt
n
n
=
.
n−k
k
Beweis. Nach Proposition (15.10) gilt
n
n!
n
n!
=
=
=
n−k
(n − k)! (n − (n − k))!
(n − k)! k!
k
für alle n, k ∈ N0 .
(15.12) Proposition (binomischer Lehrsatz). Es seien ein Ring R und x, y ∈ R mit xy = yx gegeben. Für
n ∈ N0 gilt
X n
(x + y)n =
xk y n−k .
k
k∈[0,n]
Beweis. Wir führen Induktion nach n. Für n = 0 gilt
X 0
X n
0 0 0
n
0
k 0−k
(x + y) = (x + y) = 1 =
x y =
x y
=
xk y n−k .
0
k
k
k∈[0,0]
k∈[0,0]
Es sei also n ∈ N mit
(x + y)
n−1
=
X
k∈[0,n−1]
n − 1 k n−1−k
x y
k
gegeben. Nach Proposition (15.7) gilt dann auch
X n − 1 n
n−1
(x + y) = (x + y)
(x + y) = (
xk y n−1−k )(x + y)
k
k∈[0,n−1]
X n − 1
X n − 1
=
xk y n−1−k x +
xk y n−1−k y
k
k
k∈[0,n−1]
k∈[0,n−1]
3
X n − 1 n − 1 k+1 n−1−k
x
y
+
xk y n−k
k
k
k∈[0,n−1]
k∈[0,n−1]
X n − 1
X n − 1 =
xk y n−k +
xk y n−k
k−1
k
k∈[1,n]
k∈[0,n−1]
X n − 1
X n − 1
n − 1 n n−n
n − 1 0 n−0
=
xk y n−k +
x y
+
x y
+
xk y n−k
k−1
n−1
0
k
k∈[1,n−1]
k∈[1,n−1]
X
n − 1 0 n−0
n−1
n−1
n − 1 n n−n
k n−i
=
x y
+
(
+
)x y
+
x y
0
k−1
k
n−1
k∈[1,n−1]
X n
X n
n 0 n−0
n n n−n
k n−k
=
x y
+
x y
+
x y
=
xk y n−k .
0
k
n
k
=
X
k∈[1,n−1]
k∈[0,n]
Nach dem Induktionsprinzip gilt
X n
(x + y)n =
xk y n−k
k
k∈[0,n]
für alle n ∈ N0 .
(15.13) Korollar. Für n ∈ N0 gilt
X n
X n
=
= 2n .
k
k
k∈N0
k∈[0,n]
Beweis. Es sei n ∈ N0 gegeben. Für k ∈ N0 \ [0, n] ist dann nk = 0 nach (15.6). Nach dem binomischen
Lehrsatz (15.12) folgt
X n
X n
X n
=
=
· 1k · 1n−k = (1 + 1)n = 2n .
k
k
k
k∈N0
k∈[0,n]
k∈[0,n]
Multinomialkoeffizienten
Binomialkoeffizienten lassen sich zu sogenannten Multinomialkoeffizienten verallgemeinern:
(15.14) Definition (Multinomialkoeffizient). Für n ∈ Z, r ∈ N0 , k ∈ Nr0 heißt
Q
P
i∈[1, j∈[1,r] kj ] (n − i + 1)
n
n
Q
=
:=
,
k
k1 , . . . , kr
j∈[1,r] kj !
gelesen n über k (oder n über k1 , . . . , kr ), der Multinomialkoeffizient von n über k.
(15.15) Beispiel. Es gilt
7
= 210.
3, 2
Beweis. Es gilt
Q
7·6·5·4·3
7
i∈[1,3+2] (7 − i + 1)
=
=
= 210.
3, 2
3! · 2!
1·2·3·1·2
Viele der obigen Aussagen über Binomialkoeffizienten lassen sich ebenfalls zu Aussagen über Multinomialkoeffizienten verallgemeinern. Wir überlassen die Beweise dem Leser.
P
(15.16) Bemerkung. Für n, r ∈ N0 , k ∈ Nr0 mit j∈[1,r] kj > n gilt
n
= 0.
k
4
Beweis. Dies sei dem Leser zur Übung überlassen.
(15.17) Proposition. Es gilt


1,


0,
n
=
n

,
k

k
,...,k
,k
,...,k
1
r
l−1
l+1


 n−1 + P
für n ∈ Z, r ∈ N0 , k = 0,
für n = 0, r ∈ N, k ∈ Nr0 \ {0},
für n ∈ Z \ {0}, r ∈ N, l ∈ [1, r], k ∈ Nr0 mit kl = 0,
n−1
l∈[1,r] k1 ,...,kl−1 ,kl −1,kl+1 ,...,kr
k
, für n ∈ Z \ {0}, r ∈ N, k ∈ Nr .
Beweis. Dies sei dem Leser zur Übung überlassen.
(15.18) Korollar. Für n, r ∈ N0 , k ∈ Nr0 ist nk ∈ N0 .
(15.19) Bemerkung. Für n ∈ Z, r ∈ N, k ∈ Nr0 gilt
P
n − l∈[1,r−1] kl
n
n
=
.
k
k1 , . . . , kr−1
kr
Beweis. Dies sei dem Leser zur Übung überlassen.
(15.20) Korollar. Für n ∈ Z, r ∈ N, k ∈ Nr0 gilt
P
Y n −
n
l∈[1,j−1] kl
=
.
k
kj
j∈[1,r]
Beweis. Dies sei dem Leser zur Übung überlassen.
(15.21) Proposition. Es seien n, r ∈ N0 und k ∈ Nr0 gegeben.
P
(a) Wenn i∈[1,r] ki ≤ n gilt, dann ist
n
n!
P
.
=Q
k
!
·
(n
− i∈[1,r] ki )!
k1 , . . . , kr
j
j∈[1,r]
P
(b) Wenn i∈[1,r] ki = n gilt, dann ist
n
n!
.
=Q
k1 , . . . , kr
j∈[1,r] kj !
Beweis. Dies sei dem Leser zur Übung überlassen.
P
(15.22) Korollar. Für n, r ∈ N0 , k ∈ Nr0 mit i∈[1,r] ki ≤ n gilt
n
n
P
=
.
k1 , . . . , k r
k1 , . . . , kr , n − i∈[1,r] ki
Beweis. Dies sei dem Leser zur Übung überlassen.
(15.23) Proposition (Multinomialsatz). Es seien ein Ring R, r ∈ N0 und x = (x1 , . . . , xr ) ∈ Rr mit xi xj =
xj xi für i, j ∈ [1, r] gegeben. Für n ∈ N0 gilt
Y
X
X
n
k
n
(
xj ) =
xj j .
k
r
j∈[0,r]
P
k∈N0
kj =n
j∈[1,r]
j∈[1,r]
Beweis. Dies sei dem Leser zur Übung überlassen.
(15.24) Korollar. Für n, r ∈ N0 ist
X
n
= rn .
k
r
P
k∈N0
kj =n
j∈[1,r]
Beweis. Dies sei dem Leser zur Übung überlassen.
5
Stirlingzahlen
Schließlich führen wir die sogenannten Stirlingzahlen ein, welche analog zu den Binomialkoeffizienten eine Rekursionsgleichung erfüllen, vgl. Proposition (15.7), und über diese definiert werden können. Im Gegensatz zu
den Binomialkoeffizienten werden wir die Stirlingzahlen in beiden Argumenten für ganze Zahlen definieren. Im
nächsten Abschnitt werden die Stirlingzahlen bei der Bestimmung der Anzahlen von Partitionen und Permutationen auftreten.
n
(15.25) Proposition. Es gibt genau eine Abbildung −
= : Z × Z → Z, (n, k) 7→ k mit
(
1, für n = 0, k = 0,
n
=
k
0, für n ∈ Z \ {0}, k = 0 und für n = 0, k ∈ Z \ {0},
und so, dass die folgenden drei äquivalenten Bedingungen erfüllt sind.
n−1
• Für n, k ∈ Z gilt nk = k n−1
+ k−1 .
k
n • Für n, k ∈ Z gilt nk = k1 ( n+1
− k−1 ).
k
n n+1
n • Für n, k ∈ Z gilt k = k+1 − (k + 1) k+1
.
Diese Abbildung erfüllt
(
1, für n, k ∈ Z mit n = k,
n
=
k
0, für n, k ∈ Z mit n < k und mit n ≥ 0, k < 0.
Beweis. Es gibt genau eine Abbildung

1,





0,





0,
n
= 0,

n−1
k


k n−1
+
,

k

n+1 k−1


n
1
 (
− k−1 ),


n k n+1k
k+1 − (k + 1) k+1 ,
−
=
: Z × Z → Z, (n, k) 7→
falls
falls
falls
falls
falls
falls
falls
n = 0,
n > 0,
n < 0,
n = 0,
n > 0,
n < 0,
k < 0.
k
k
k
k
k
k
n
k
mit
n
k
für n, k ∈ Z gegeben durch
= 0,
= 0,
= 0,
> 0,
> 0,
> 0,
Zunächst zeigen wir nk = 0 für n, k ∈ Z mit n ≥ 0, k < 0 durch Induktion nach k. Für k = −1, n ∈ Z
mit n ≥ 0 gilt n + 1 ≥ 1 > 0 und damit
n
n
n+1
n
n+1
=
=
−0·
=
= 0.
k
−1
0
0
0
n Es sei k ∈ Z mit k < −1 so gegeben, dass k+1
= 0 für n ∈ Z mit n ≥ 0 ist. Dann gilt auch
n
n+1
n
=
− (k + 1) ·
= 0 − (k + 1) · 0 = 0
k
k+1
k+1
für n ∈ Z mit n ≥ 0. Nach dem Induktionsprinzip gilt nk = 0 für n, k ∈ Z mit n ≥ 0, k < 0.
Insbesondere gilt k0 = 0 für k ∈ Z mit k < 0 und damit
(
1, für n = 0, k = 0,
n
=
k
0, für n ∈ Z \ {0}, k = 0 und für n = 0, k ∈ Z \ {0}.
n−1
Als nächstes zeigen wir, dass nk = k n−1
+ k−1 für alle n, k ∈ Z gilt. Für n, k ∈ Z mit n > 0, k > 0
k
n
n−1
n−1
gilt k = k k
+ k−1 nach Definition. Für n, k ∈ Z mit n ≤ 0, k > 0 gilt n − 1 < n ≤ 0,
n
n−1 n−1
also n−1
= k1 ( nk − n−1
+ k−1 . Für n, k ∈ Z mit k ≤ 0 gilt k − 1 < k ≤ 0,
k−1 ) und damit k = k
k
k
6
n
n−1
n−1
n−1
also n−1
und damit nk = k n−1
+ k−1 . Insgesamt gilt nk = k n−1
+ k−1 für
k−1 = k − k
k
k
k
alle n, k ∈ Z.
Die Äquivalenz der drei
genannten Bedingungen
lässt sich analog zeigen.
Schließlich zeigen wir nn = 1 für n ∈ Z und nk = 0 für n, k ∈ Z mit n < k durch Induktion nach n. Für n = 0
gilt nk = 00 = 1 für k = 0 = n und nk = k0 = 0 für k ∈ Z mit k > 0 = n. Für n ∈ Z mit n > 0 so,
n−1
n−1
dass n−1 = 1 und k = 0 für k ∈ Z mit k > n − 1 gilt, gilt auch
) (
(
n · 0 + 1, für k = n,
1, für k = n,
n
n−1
n−1
=n
+
=
=
k
k
k−1
n · 0 + 0, für k ∈ Z mit k > n
0, für k ∈ Z mit k > n.
Es n ∈ Z mit n < 0 so gegeben, dass n+1
= 1 und n+1
= 0 für k ∈ Z mit k > n + 1 gilt. Um zu zeigen,
n+1
k
n
n n
1
dass k = 0 für
kn ∈Z mit k > n gilt, führen wir Induktion nach k ( ). Für k = 0 gilt k = 0 = 0. Für k ∈ Z
mit k > 0 und k−1 = 0 gilt auch
n
1 n+1
n
1
−
) = (0 − 0) = 0
= (
k
k
k−1
k
k
nach (innerer und äußerer) Induktionsvoraussetzung. Für k ∈ Z mit n < k < 0 und
n
k+1
= 0 gilt auch
n
n+1
n
=
− (k + 1)
= 0 − (k + 1) · 0 = 0
k
k+1
k+1
nach (innerer und äußerer) Induktionsvoraussetzung. Nach dem Induktionsprinzip gilt nk = 0 für k ∈ Z
mit k > n. Nach (äußerer) Induktionsvoraussetzung folgt
n
n+1
n
=
− (n + 1)
= 1 − (n + 1) · 0 = 1.
n
n+1
n+1
Nach dem Induktionsprinzip gilt nn = 1 für n ∈ Z und nk = 0 für n, k ∈ Z mit n < k.
n
(15.26) Definition (Stirlingzahl). Es sei −
= : Z×Z → Z, (n, k) 7→ k die nach Proposition (15.25) eindeutige
Abbildung mit
(
1, für n = 0, k = 0,
n
=
k
0, für n ∈ Z \ {0}, k = 0 und für n = 0, k ∈ Z \ {0},
und mit
n
n−1
n−1
=k
+
k
k
k−1
für n, k ∈ Z. Für n, k ∈ Z heißt nk die Stirlingzahl von n über k.
Für n, k ∈ Z setzen wir ferner
n
−k
:=
.
k
−n
Die doppelte
Schreibweise der Stirlingzahlen hat Ihren Ursprung in der Tatsache, dass man historisch die
Zahlen nk für n, k ∈ N0 als Stirlingzahlen erster Art und die Zahlen nk für n, k ∈ N0 als Stirlingzahlen zweiter
Art bezeichnet.
Die Stirlingzahlen lassen sich rekursiv im sogenannten Stirlingschen Tandem berechnen:
(15.27) Beispiel. Die Stirlingzahlen nk und nk für n, k ∈ [−4, 4] sind wie folgt gegeben.
1 Wir
führen also eine Induktion innerhalb des Induktionsschlusses.
7
n
k
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
n
−4
1
6
11
6
0
0
0
0
0
−3
0
1
3
2
0
0
0
0
0
−2
0
0
1
1
0
0
0
0
0
−1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
1
1
1
2
0
0
0
0
0
0
1
3
7
3
0
0
0
0
0
0
0
1
6
4
0
0
0
0
0
0
0
0
1
n
k
k
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
n
−4
1
6
7
1
0
0
0
0
0
−3
0
1
3
1
0
0
0
0
0
−2
0
0
1
1
0
0
0
0
0
−1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
1
2
6
2
0
0
0
0
0
0
1
3
11
3
0
0
0
0
0
0
0
1
6
Die die Stirlingzahlen definierende Rekursionsgleichung lässt sich auch wie folgt ausdrücken.
(15.28) Bemerkung. Für n, k ∈ Z gilt
n
n−1
n−1
= (n − 1)
+
.
k
k
k−1
Beweis. Für n, k ∈ Z gilt
n−1
−(k − 1)
−k + 1
−k
−k
n−1
n
=
=
= (−n + 1)
+
= (−n + 1)
+
k−1
−(n − 1)
−n + 1
−n + 1
−n
k
k
und damit
n−1
n−1
n
= (n − 1)
+
.
k
k−1
k
8
4
0
0
0
0
0
0
0
0
1